5.2导数的运算（讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.2 导数的运算 知识点一 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 即学即练 1．（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数，则 【答案】 【分析】对函数进行求导后代入计算即可. 【详解】，把代入， ． 故答案为： 知识点二 导数的四则运算 ①函数和差求导法则：； ②函数积的求导法则：； ③函数商的求导法则：，则． ④常数乘以函数的导数： 即学即练 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）（1） ； （2） ． 【答案】 【分析】根据基本初等函数的导数和导数的运算法则求解. 【详解】（1）； （2）． 故答案为：①；②. 知识点三 复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为注： 即学即练 1．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数，则 . 【答案】 【分析】先利用导数的定义转化目标式，再利用基本初等函数的导数公式结合导数的运算法则得到，最后得到结果即可. 【详解】由导数的定义得 因为，所以， 则，可得，即. 故答案为： 题型01 求基本初等函数的导数 / 根据公式求基本初等函数的导数，熟悉公式，然后注意： 1. 系数勿漏：对幂函数求导时，系数要保留并乘上指数；对对数函数求导时，系数要放在分母上。 2. 符号别错：余弦的导数是负的正弦；反三角函数的导数常有正负号区分，务必记准。 3. 复合函数：遇到基本初等函数的复合形式，切记要使用链式法则（由外向内求，逐层求导相乘），不要只套用公式求外层。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·江苏南京·期末）以下求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的运算公式和运算法则即可求解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：A. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）下列说法中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据初等函数的导数公式依次计算各选项即可判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B 2．（多选）（25-26高二上·江苏连云港·月考）下列结论中正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据常数的导数为零，判断选项A；利用幂函数的求导法则求导判断选项B；利用对数函数的求导法则求导判断选项C；利用指数函数的求导法则求导判断选项D． 【详解】是常数，，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：CD． 3．（多选）（25-26高二下·全国·课堂例题）（多选）下列结论错误的是（   ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABC 【分析】由导数的四则运算及初等函数导数逐项判断即可. 【详解】因为，所以A错误； ，而，所以B错误； ，所以C错误； ，所以D正确. 故选：ABC 题型02 导数的四则运算的应用 / 将函数拆解为“两块”，根据连接它们的运算符号选择对应操作： 1. 加法/减法：拆开分别求导再相加减。 2. 乘法：“前导乘后 + 后导乘前”（轮流求导相加）。 3. 除法：（分子导分母积 - 分母导分子积）除以分母的平方。 注意事项： 除法顺序：分子求导乘分母在前，分母求导乘分子在后，中间是减号，切勿颠倒。 化简先行：若函数可化简（如多项式乘法展开、约分），先化简再求导往往更简单。 符号判断：注意减法与除法中负号对每一项的影响，避免丢失符号。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知函数，则（    ） A．2e B．3e C． D． 【答案】C 【分析】根据瞬时变化率的定义将所求式化成，再对函数求导代值计算即得. 【详解】由求导得， 由. 故选：C. 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高二上·河北石家庄·期末）下列导数计算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据求导公式逐项求导即可求解. 【详解】对于A选项，由，故A选项正确； 对于B选项，，故B选项错误； 对于C选项，，故C选项正确； 对于D选项，由，故D选项正确. 故选：ACD. 2．（25-26高二上·福建莆田·期末）若函数，则 ． 【答案】3 【分析】求导得，令，解得，从而得，再代入，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 令， 则有， 解得， 所以， 所以. 故答案为： 3．（25-26高二下·全国·课后作业）设，求． 【答案】 【分析】求出导函数，写出，然后由错位相减法求和可得. 【详解】由题设， 所以，① ．② 得， 所以． 题型03 复合函数的求导 / 对复合函数的求导： 1. 层层分解：将复合函数拆解为由外到里的若干层基本初等函数。 2. 逐层求导：从最外层开始，逐层对当前层求导（暂不顾内层）。 3. 相乘回代：将所有层的导数相乘，并把每层的“自变量”换回下一层的表达式。 注意事项： 分解要彻底：确保分解到最内层的基本初等函数，避免遗漏中间层。 顺序不乱：必须由外向内逐层进行，不能跳层或从内开始。 记号清晰：多层复合时，每一步明确当前是对谁求导，避免混淆自变量。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数，其中，若，则 ． 【答案】1 【分析】先求导，根据求出的值. 【详解】， 所以．所以． 故答案为：1 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数，其导函数为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分别计算与的值，代入可得结果. 【详解】， 所以为偶函数，所以， 因为， 所以， 所以． 故选：C. 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的导数公式进行求解. 【详解】. 故选：C. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）求下列函数的导数. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用换元法结合复合函数求导计算求解； （2）应用乘法求导运算律及换元法，再结合复合函数求导计算求解. 【详解】（1）设， 则. （2）. 先求的导数. 设，则， . . 题型04 求切线的倾斜角范围 / 根据导数的几何意义，曲线在某点处的导数等于该点处的切线的斜率，表达出斜率后，再根据斜率求倾斜角范围。求斜率范围的时候，要注意定义域。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二下·全国·课后作业）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导函数，从而求出导函数函数值的范围，即切线的斜率的范围，即可得出答案. 【详解】因为，所以．设， 由题意知切线的斜率存在，则曲线在点P处的切线的斜率． 所以．因为，所以． 故选：D 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知点P在曲线上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，得到导函数的范围，即切线斜率的范围，从而得到倾斜角的范围. 【详解】由题意得，即， 由倾斜角的范围，解得. 故选：D 2．（25-26高二上·湖北武汉·期末）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，结合基本不等式可得，即可根据求解. 【详解】， 由于，则，故， 故，由于，故， 故选：A 3．（25-26高三上·河南·期中）曲线的切线斜率的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求导，再利用导数的几何意义结合函数性质求解． 【详解】，求导得， 当时，取得最小值， 曲线的切线斜率的最小值为． 故答案为：． 题型05 求曲线的切线方程 / 求曲线的切线方法分两种情况： ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； ②若已知点不是切点，则应先设出切点，列出切线方程，再代入已知点。 若函数与切点，有以下关系： 1、根据切点在函数图像上，有 2、根据切线与导数的关系，斜率 3、利用点斜式写出切线方程 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·浙江衢州·期末）函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再根据点斜式可得结果． 【详解】，所以， 则切线方程为，整理得． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据分段函数的定义求出，再求出时对应的表达式，然后求导由点斜式可得. 【详解】由题意可得， 当时，，此时， 所以， 求导可得， 所以， 所以切线方程为，即. 故选：C. 2．（25-26高三上·河北·月考）设函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，利用导数的公式求出，从而求出，利用点斜式得到在点处的切线方程. 【详解】， ， ， ， 曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 3．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数，则函数在处的切线方程是 . 【答案】 【分析】求得，利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程，即可求得结果. 【详解】由题可得：，所以，解得：, 所以， 则函数在处的切线方程是，即; 故答案为： 题型06 切线平行、垂直问题 / 1、 根据题目条件以及切线的性质先列出方程，设切点,有,切线方程 2、 根据平行或者垂直可以得出切线的斜率值 3、 根据斜率值可以求出参数值。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高三上·河北承德·期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则该切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据两直线垂直的关系得到切线斜率，再利用点在的图象上求出，利用点斜式写出直线方程即可. 【详解】由直线与切线垂直可得切线斜率， 又，即， 所以，解得得， 即切点坐标为， 故切线方程为，整理得：. 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三上·湖北襄阳·期末）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 . 【答案】-3 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据两直线垂直的判断方法列方程求解即得. 【详解】由求导可得，则， 因为该切线与直线垂直， 则，解得. 故答案为：. 2．（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点，利用在切点处的斜率等于0即可求得结果. 【详解】设切点坐标为，函数，所以， 因为切线与x轴平行，所以，解得，，故切点坐标为 故选：B 3．（多选）（2026高二·全国·专题练习）（多选）下列函数中，其图象在某点处的切线与直线平行的是（ ） （） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据导数的几何意义和常用函数的导数对选项一一分析即可. 【详解】对于A，由，可得，无解，所以A不符合题意； 对于B，由，可得，有解，所以B符合题意； 对于C，由，可得，有解，所以C符合题意； 对于D，由，可得，有解，所以D符合题意. 故选：BCD. 题型07 公切线问题 / 1. 设切点：分别在两条曲线上设切点和。 2. 双等式列方程： 斜率相等：两个切点处的导数值相等，即 。 同一直线：用两点求斜率公式，与任一导数值相等，即。 3. 消元求解：联立上述方程解出和，再回代求切线。 注意事项： 同一切线：两个切点必须在同一条直线上，仅斜率相等不足，还需过同一直线（即截距相等或两点斜率一致）。 谁与谁切：分清公切线是同时切于两曲线，还是与其中一条相切而与另一条相交（后者非公切）。 多重情况：方程组可能有零解、一解或多解，对应无公切线、一条或多条公切线。 典｜例｜精｜析 1．（2025·陕西汉中·一模）若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 【答案】B 【分析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养．首先求导，设出曲线上的切点坐标后列方程组求得公切线的斜率，再结合曲线列方程求解. 【详解】令，，则，． 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以公切线，即. 令，解得，所以，解得． 故选：B. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则 【答案】1 【分析】首先根据导数的几何意义求出直线与曲线的交点（切点），然后根据切点在直线上求出，最后求出直线与的交点（切点）即可求出. 【详解】设直线在处的切点坐标为， 在处的切点坐标为，，， 因为直线是曲线和的公切线，所以， 解得，则， 把代入直线中可得，又，解得， 把代入直线中可得， 再把代入中可得，即，所以. 故答案为：1 2．（25-26高三上·天津和平·月考）已知直线是曲线与的公切线，则的方程为 【答案】或 【详解】根据切线的斜率相等求出切点坐标，从而求出切线方程. 【解答】因为，， 设与曲线相切于点，与曲线相切于点， 则， 消去，整理得，解得或. 当时，切线的斜率为，切点为，则的方程为； 当时，切线的斜率为1，切点为，则的方程为. 故答案为：或. 3．（25-26高三上·山东·期中）若直线为曲线与的公切线，则直线的方程可以为 .（写出符合条件的一个方程即可） 【答案】（或） 【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程． 【详解】直线与曲线的切点为， ，切线的斜率为， 所以切线方程为，即． 直线与曲线的切点为， ，切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 因为直线为曲线与的公切线， 所以， 由得，两边取自然对数得， 即，即， 代入得，即，解得或， 所以或， 所以的方程为或． 故答案为：（或）． 题型08 切线综合问题 / 1、切线问题首先要确定是否已知切点，不知的话，可以设切点，然后写切线方程 2、根据题目给出的条件，再联立切线方程解。 注意事项： 1. 已知点属性：先明确已知点是在曲线上还是曲线外。 2. 切点唯一性：方程组可能有多个解，意味着存在多条切线，切勿遗漏。 3. 斜率存在否：考虑切线斜率不存在（即垂直于轴）的情况，单独验证是否满足题意。 典｜例｜精｜析 1． （25-26高三上·江苏苏州·期中）过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，，若两条切线斜率之积为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义表示出切线方程，联立切线方程，求出、，再由两条切线的斜率之积为得到，即可用的式子表示、，代入化简可得，利用基本不等式求解即可 【详解】因为，所以，则，， 依题意可知两条切线的方程分别为， 联立两条切线的方程 解得，则， 因为两条切线的斜率之积为，所以，所以，则 由，， 可得 所以， 当且仅当，即时取得最小值，由因为，所以， 则， 故选：D 变｜式｜巩｜固 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，过原点分别作曲线，的切线，且两切线的斜率互为倒数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求得两条切线方程，然后根据斜率之间的关系可知，然后根据求得，最后可知结果. 【详解】设切线对应切点为，切线方程为， 将代入，解得，，从而． 设与曲线的切点为， ，解得，① 切线方程为， 将代入，得，② 将①代入②，得， 令，则， 在区间上单调递减，在区间上单调递增． 若，由，，则． 而在上单调递减，故； 若，因在区间上单调递增，且， 所以，与题设矛盾，故不可能． 综上，. 故选：B． 2．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）两条直线的夹角指的是两条直线所形成的小于或等于的角.若曲线与曲线的两条公切线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反函数的对称性可分析出倾斜角更大的直线的斜率是，设出该公切线在，的切点，根据导数的几何意义，用两种方式表达出切线方程，然后根据两个方程的截距相等列出等式，进而求解. 【详解】 由题易知，曲线与曲线关于直线对称， 由两条切线的夹角是，根据对称性知曲线的切线的倾斜角为， 即切线的斜率为. 设直线与曲线的切点坐标为， ，所以， 直线的方程为，即， 设直线和的切点坐标是， ，所以， 直线的方程为，即， 于是， 即，即 由，两边取对数可得， 由，得到，两边取对数得， 分别把上述条件代回原等式，得到， 即， 整理可得. 故选：C 3．（25-26高三上·辽宁·月考）过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（    ） A．16 B．15 C．10 D．5 【答案】A 【分析】解法一：先设出切点坐标，再对求导找到切线的斜率，再根据切点在曲线上得出，由点斜式写出切线方程，又因为切线过点，求出，得到切点坐标，进而可求线段及到的距离最后计算出的面积； 解法二：先设出切线方程与曲线方程联立通过得出切线的斜率进而得到切点坐标，进而可求线段及到的距离最后计算出的面积. 【详解】解法一：因为，所以， 设切点，所以在处的切线斜率， 所以在处的切线方程为， 又点在曲线上，所以， 所以在处的切线方程为， 因为此切线过点，所以）， 解得，即，当时，，当时，， 所以不妨设，所以直线的方程为， 整理得，又到的距离， 则. 解法二：过原点且斜率不存在的直线为易知它与曲线相交， 故过原点且与曲线相切的直线斜率存在， 设切线方程为，切点为，，联立， 整理得0，令，得或， 由，得，所以， 当时，，当时，， 不妨设，所以， 所以直线的方程为，即0， 又到的距离，则. 故选：A 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第五章一元函数的导数及其应用 5.2 导数的运算 知识网络 理清腺格、▲钢苯目轮 题型01求基本初等函数的导数 题型02导数的四则运算的应用 题型03复合函数的求导 知识点一基本初等函数的导数公式 题型04求切线的倾斜角范围 知识点二导数的四则运算 导数的运算 题型05求曲线的切线方程 知识点三复合函数的导数 题型06切线平行、垂直问题 题型07公切线问题 题型08切线综合问题 知识梳理 梳理教材 奔实基础 。知识点一 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=0 f(x)=x(aEQ) f(x)=axa1 fx)=ax(a>0,a≠1) f(x)=aMIna fs=log(a>0,a≠ f(x)=品a f(x)=ex f(x=ex 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 f(x)=Inx f(x)=京 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=cosx f(x)=-sinx ◇即学即练 1.2526高三下全国课后作业)已知函数f)=，则3023网 《。知识点二号数的四则运算 ①函数和差求导法则：[(x)±gx=f(x)±g(x: ②函数积的求导法则：[fx)g(x=f(x)gx)+fx)g(&: ③函数商的求导法则：gx≠0，则四] 「fs_f(sgxf(sg(& E(x) ④常数乘以函数的导数：[Cf(x)]=Cf(x) 《◇即学即练 1.(25-26高二下·全国·课堂例题)(1) (2)(xe= 《。知识点三 复合函数的导数 复合函数y=f[g(x的导数和函数y=f(),u=gx的导数间关系为y=f(u)g'(x)注： 器-需盥 。即学即练 （2s26商上安登六安期未和已知函数/=s2r,则及+A上8】 △x 2/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型突破 抓住核心 突破重点 >题型01求基本初等函数的导数 三方佐弹易精 根据公式求基本初等函数的导数，熟悉公式，然后注意： 1.系数勿漏：对幂函数求导时，系数要保留并乘上指数；对对数函数求导时，系数要放在分母上。 2.符号别错：余弦的导数是负的正弦；反三角函数的导数常有正负号区分，务必记准。 3.复合函数：遇到基本初等函数的复合形式，切记要使用链式法则（由外向内求，逐层求导相乘），不 要只套用公式求外层。 典|例1精|析 1.(25-26高二上江苏南京·期末)以下求导运算正确的是() A.(2)=2In2B.(x=x D.(cosx)=sinx 变式巩固 1.(25-26高二上·安徽芜湖·期末)下列说法中正确的有() A.cos=-sin 6 B.(lgx)'=-1 ln10 c-品 D.同-2 2.(多选)(25-26高二上江苏连云港·月考)下列结论中正确的有() B.（x=x C.(log;x)=xin3 1 D.(2)'=2In2 3.(多选)(25-26高二下·全国课堂例题)（多选）下列结论错误的是() A.(cosx)'=sinx B. sm-cos C若子则r (j 3/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 >题型02导数的四则运算的应用 点方法 舞易绪 将函数拆解为“两块”，根据连接它们的运算符号选择对应操作： 1.加法/减法：拆开分别求导再相加减。 2.乘法：“前导乘后+后导乘前”（轮流求导相加）。 3. 除法：（分子导分母积一分母导分子积)除以分母的平方。 注意事项： 除法顺序：分子求导乘分母在前，分母求导乘分子在后，中间是减号，切勿颠倒。 化简先行：若函数可化简（如多项式乘法展开、约分），先化简再求导往往更简单。 符号判断：注意减法与除法中负号对每一项的影响，避免丢失符号。 典例精析 1.(25-26高二上福建莆田期末)已知函数f(x)=x2+e,则1i f1-Ax)-四-（) Ar-→0 △x A.2e B.3e C.-2-e D.2+e 变式|巩固 1.(多选)(25-26高二上河北石家庄·期末)下列导数计算正确的有（) B.(xsinx+cosx)xcosx+2sinx 2 C x-1 3-2x D.(log:(2x+1))=2x+1)m2 2.(25-26高二上福建莆田·期末)若函数f(x)=x3-f'1x2+3,则f1)= 3.(25-26高二下·全国课后作业)设fn(x)=x+x2+…+x”-1,x≥0，n∈N,n≥2，求fn(2) ◆题型03复合函数的求导 皮方法 科易猪 对复合函数的求导： 1.层层分解：将复合函数拆解为由外到里的若干层基本初等函数。 2. 逐层求导：从最外层开始，逐层对当前层求导（暂不顾内层)。 3. 相乘回代：将所有层的导数相乘，并把每层的“自变量”换回下一层的表达式。 注意事项： 分解要彻底：确保分解到最内层的基本初等函数，避免遗漏中间层。 4/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 顺序不乱：必须由外向内逐层进行，不能跳层或从内开始。 记号清晰：多层复合时，每一步明确当前是对谁求导，避免混淆自变量。 典1例精引标 1.(25-26高二下全国课后作业)已知函数f)=nax++-x,x≥0，其中a>0,若/0=0，则 1+x a= 变式巩固 (25-26高下全国课后作业)已知函数)。+x，其导函数为f，则 f(2022)+f(-2022)+f(2023)-f(-2023)的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(25-26高二下·全国课堂例题)函数y=(2023-8x)的导数为() A.y=8(2023-8x) B.y=-64x C.y=64(8x-2023) D.y=64(2023-8x) 3.(25-26高二下·全国·课堂例题)求下列函数的导数 (1)y=ln2x2+x); (2)y=xV2x-1. ◆题型04求切线的倾斜角范围 点方法 ,舞易绪 根据导数的几何意义，曲线在某点处的导数等于该点处的切线的斜率，表达出斜率后，再根据斜率求倾 斜角范围。求斜率范围的时候，要注意定义域。 典|例丨精|析 1.(25-26高二下全国课后作业)已知点P在曲线y=2 sincos上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角， 2 2 则的取值范围是() A.) [π3π 4’4 c[剖 [[ D. 变式巩固 1.(25-26高二上山西朔州期末)已知点P在曲线y=x3-x+2上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为 a,则a的取值范围是() 5/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ( c. 2.(2526高=上藏北武议期未)点P在曲线y=女+r上移动，设点P处切线的顿斜角为a,则角口 的范围是() A[别 3 D. 4,π 3.（25.26高三上河南期中)曲线y--的切线斜率的最小值为 ◆题型05求曲线的切线方程 三方法阴易错 求曲线的切线方法分两种情况： ①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； ②若已知点不是切点，则应先设出切点，列出切线方程，再代入己知点。 若函数fx)与切点xoy。,有以下关系： 1、根据切点在函数图像上，有y。=(x 2、根据切线与导数的关系，斜率k=f(o) 3、利用点斜式写出切线方程y-y。=(x小·（公x 典例精标 1.(25-26高二上·浙江衢州·期末)函数f(x)=e在点(1，©处的切线方程为() A.y=e B.y=x-l+e C.y=ex-2e D.y=ex 变|式|巩|固 【2526上安登宣玻末和已函故心22物则线在点3，训处的7 切线方程为() A.2x+y-6=0 B.3x+y-10=0 6/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.2x-y-6=0 D.3x-y-10=0 2.(25-26高三上河北月考)设函数f(x)=x.2-（x2-1ln2,则曲线y=f(x)在点(L,f(I)处的切线方程 为() A.2x-y=0 B.2x+y=0 C.2x-y-4=0 D.2x+y-4=0 3.(25-26高二上安微六安期末)己知函数f(x=∫'(0)e3+sinx,则函数f(x)在x=0处的切线方程 是 ◆题型06切线平行、垂直问题 点方法 耕易猪 1、 根据圈目条件以及切发的性质先列出方程，设切点(y刀有y。二(x。),切线方程 y-y。=fxox-xo 2、 根据平行或者垂直可以得出切线的斜率值 3、 根据斜率值可以求出参数值。 典|例精1析 1.(25-26高三上河北承德·期末)已知函数f(x=ln2axa>0)的图象在点 20 1 处的切线与直线 x+y-1=0垂直，则该切线方程为」 变式|巩|固 1.(25-26高三上湖北襄阳期末)已知函数f八到=2血x一是的图象在x=1处的切线与直线x-4y-2=0垂 直，则a= 2.(2025甘肃兰州一模)若函数y=e+e(e为自然对数的底)的一条切线与x轴平行，则切点的坐标 2 为() A.1,0) B.(01) C.(L,1) D.(1,e) 3。(多选)(2026高二全国专题练习)（多选）下列函数中，其图象在某点处的切线与直线y=?x+b平行 的是( ) ((cosx)'=-sinx,(Inx)'=) 7/9 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.f(r)=1 B.f(x)=x C.f(x)=cosx D.f(x)=Inx ◆题型07公切线问题 皮方法 ,易转 1.设切点：分别在两条曲线上设切点(x_1,f(x_)和x2g(x2) 2.双等式列方程： 斜率相等：两个切点处的导数值相等，即f'(x)=g(x)。 同一直线：用两点求斜率公式，与任一导数值相等，即f(x=gx= 1g) 81X2 3.消元求解：联立上述方程解出x1和x2,再回代求切线。 注意事项： 同一切线：两个切点必须在同一条直线上，仅斜率相等不足，还需过同一直线（即截距相等或两点斜率 一致)。 谁与谁切：分清公切线是同时切于两曲线，还是与其中一条相切而与另一条相交（后者非公切）。 多重情况：方程组可能有零解、一解或多解，对应无公切线、一条或多条公切线。 典例精析 1.(2025陕西汉中.一模)若直线y=x-2(teR)是曲线y=lnx与曲线y=e-b(b∈R)的公切线， 则b=() A.1 B.2 C.e D.I e 变|式|巩|固 1.(25-26高三上河南南阳·期末)己知a,beR，若直线y=3x+a是曲线f(x)=e+2x-b与曲线 gx=x+2lnx的公切线，则a+b=」 2.(25-26高三上·天津和平.月考)己知直线1是曲线y=e与y=nx+2的公切线，则1的方程为 3.(25-26高三上山东期中)若直线1为曲线f(x)=e-1与gx=lnx+1的公切线，则直线1的方程可以 为 (写出符合条件的一个方程即可) ◆题型08切线综合问题 皮方法，群易精 1、切线问题首先要确定是否已知切点，不知的话，可以设切点，然后写切线方程 2、根据题目给出的条件，再联立切线方程解。 8/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 注意事项： 1. 已知点属性：先明确已知点是在曲线上还是曲线外。 2. 切点唯一性：方程组可能有多个解，意味着存在多条切线，切勿遗漏。 3. 斜率存在否：考虑切线斜率不存在（即垂直于x轴）的情况，单独验证是否满足题意。 典例精析 1. (25-26高三上江苏苏州期中)过点P(x'yo)作曲线y=x的两条切线，记两切点分别为Axy,), B,为，若两条切线斜率之积为1，则+的取值范围是(） Xo A.(0,1 B.(0,1 C.[l,+oo） D.1,+0 变1式|巩|固 1.(2025高三·全国.专题练习)己知函数f(x=lnx-ax-1)(a>0),gx=e,过原点分别作曲线 y=f(x),y=gx)的切线l,l,且两切线的斜率互为倒数，则实数a的取值范围是() a c.) e 2.(25-26高三上·山东聊城开学考试)两条直线的夹角指的是两条直线所形成的小于或等于90°的角.若曲 线y=e“与曲线y=m的两条公切线的夹角为30，则(5+10+1na=（) A.（5-1n3 (3+1n3 C.(3-1)in3 D. (3+1)In3 2 3.(25-26高三上辽宁.月考)过原点0(0,0)作曲线y=-x2+2x-4的两条切线4，☑，切点分别为M,N, 则aOMN的面积为() A.16 B.15 C.10 D.5 9/9