专题02 二元一次方程（组）的实际应用（题型专练）数学新教材北师大版八年级上册

专题02 二元一次方程（组）的实际应用 （题型突破·举一反三） ▌题型01 年龄问题 【典例1】 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 【变式1-1】 【答案】小亮今年的年龄为8岁 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小亮今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为岁，根据题意列出方程并求解，即可求解． 【详解】解：设小亮今年的年龄为岁，爸爸今年的年龄为岁 由题意可得： 解得： 答：小亮今年的年龄为8岁． 【变式1-2】 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【变式1-3】 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得                         解得                                       答：现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【变式1-4】 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁，由题意：父亲今年44岁，x年前父亲的年龄是儿子的8倍，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴， 即当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是岁， 故答案为：． 【变式1-5】 【答案】27 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年岁，小强今年岁，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得： ，解得：， ∴数学老师今年岁； 故答案为：27． 【变式1-6】 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． ▌题型02 分配问题 【典例2】 【答案】租用甲种类型货车12辆，乙种类型货车8辆 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设租用甲种类型货车辆，设租用乙种类型货车辆，利用每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，再建立方程求解即可； 【详解】解：设租用甲种类型货车辆，设租用乙种类型货车辆， 则： 解得：， 答：租用甲种类型货车12辆，乙种类型货车8辆. 【变式2-1】 【答案】可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将300张长方形硬纸片和150张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】解：设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 【变式2-2】 【答案】(1)用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子 (2)2100元 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用以及有理数混合运算的实际应用． （1）设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）先计算出总的运动服套数，再根据利润等于总盈利减去总成本计算即可． 【详解】（1）解：设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子， 由题意可得： ， 解得：， 答：用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子． （2）由（1）可得300米布料可生产上衣（件），生产裤子（件）， ∴可生产120套运动服， （元）． 答：生产该批次运动服能盈利2100元． 【变式2-3】 【答案】租住了三人间8间、双人间13间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可． 【详解】解：∵凡团体入住一律五折优惠， ∴三人间为每人每天（元），双人间为每人每天（元）， 设三人间有a间，双人间有b间， 根据题意得：， 解得：， 答：租住了三人间8间、双人间13间． 【变式2-4】 【答案】有 144 名住宿新生，19 间宿舍 【分析】本题主要考查了一元一次方程应用．熟练掌握总人数与每个房间人数和房间数的关系，列方程，是解题的关键． 设有 x 间宿舍，根据每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，列方程解答． 【详解】解：设有 x 间宿舍， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：有 144 名住宿新生，19 间宿舍． 【变式2-5】 【答案】该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双，根据题意，列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双， 根据题意，得， 解得． 答：该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双． 【变式2-6】 【答案】(1)用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子 (2)2100元 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用以及有理数混合运算的实际应用． （1）设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）先计算出总的运动服套数，再根据利润等于总盈利减去总成本计算即可． 【详解】（1）解：设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子， 由题意可得：， 解得：， 答：用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子． （2）由（1）可得300米布料可生产上衣（件），生产裤子（件）， ∴可生产120套运动服， （元）． 答：生产该批次运动服能盈利2100元． 【变式2-7】 【答案】(1)甲、乙型车分别需要8辆、10辆 (2)乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握建立方程组是解题关键． （1）设需要甲型车a辆，乙型车b辆，根据“120吨物资”和“运费9600元”建立方程组，解方程组即可得； （2）设需要乙型车x辆，丙型车y辆，根据“甲、乙、丙型车共14辆”，“一次运完全部物资”建立关于x，y的方程组，解方程组即可得． 【详解】（1）设甲、乙型车分别需要a辆、b辆． 根据题意，得， 解得， 答：甲、乙型车分别需要8辆、10辆； （2）设乙、丙型车分别需要x辆、y辆， 根据题意得， 解得， 此时总运费为（元）． 答：乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元． ▌题型03 行程问题 【典例3】 【答案】(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时 (2)小时或小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设甲车的速度是x千米/小时，乙车的速度是y千米/小时，根据题意列出方程组求解即可； （2）设经过t小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车未相遇时，当两车相遇后，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度是x千米/小时，乙车的速度是y千米/小时， 根据题意，得 解得， 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设经过t小时两车相距30千米， 根据题意，得： 当两车未相遇时，， 解得， 当两车相遇后，， 解得， 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 【变式3-1】 【答案】①②④ 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设上坡路长x千米，平路长y千米，根据时间、路程、速度之间的关系列方程组，逐项判断即可． 【详解】解：设上坡路长x千米，平路长y千米， 则，故①正确； 解上述方程组，得， 甲地到乙地的全程：，故②正确； 表示往返所用时间差，表示下坡与上坡速度差，两者之比不能得出上坡路长，故③错误； 设上坡路长x千米，根据上坡、下坡所用时间差等于往返所用时间差，可得，故④正确； 综上可知，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【变式3-2】 【答案】A 【详解】试题分析：根据题意可得，顺水速度=x+y，逆水速度=x-y， ∴根据顺水时间×顺水速度=360；逆水时间×逆水速度=360，可列方程组为 故选A． 【变式3-3】 【答案】快车每秒行米，慢车每秒行米． 【分析】设快车每秒行米，慢车每秒行米，根据若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车，所用时间为20秒．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，列出方程组，解方程组即可求得． 【详解】设快车每秒行米，慢车每秒行米，根据题意得， 解得 答：快车每秒行米，慢车每秒行米． 【变式3-4】 【答案】次列车的长度为，速度为． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键． 直接利用火车完全在主桥上的时间为35秒，火车上主桥到完全通过主桥用了45秒，主桥长800米，分别得出等式组成方程组，求出答案． 【详解】解：设次列车的长度为，速度为根据题意可得： ， 解得： 答：次列车的长度为，速度为． 【变式3-5】 【答案】船在静水中的速度及水流的速度分别为、 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设船在静水中的速度及水流的速度分别为、，则顺水速度为，逆水速度为，根据往返路程相等建立等量关系，求出其解就可以求出结论． 【详解】解：设船在静水中的速度及水流的速度分别为、，由题意可得： ， 解得：， 答：船在静水中的速度及水流的速度分别为、． 【变式3-6】 【答案】上坡用1分钟，下坡用9分钟 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设上坡的时间是x分钟，下坡的时间是y分钟，根据小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设上坡的时间是x分钟，下坡的时间是y分钟， 4.8千米/时米/分，12千米/时米/分， 由题意得，， 解得． 答：上坡用1分钟，下坡用9分钟． 【变式3-7】 【答案】(1)该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； (2)工厂每天能生产90盒纪念币． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用． （1）设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时，根据路程速度时间，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设每天安排名工人生产正方体纪念币，依题意得，解得即可． 【详解】（1）解：设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时， 依题意，得：， 解得：， 答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； （2）解：设每天安排名工人生产正方体纪念币，则每天安排名工人生产半圆形纪念币， 依题意得， 解得：， 则工厂每天能生产的纪念币数为：（盒）， 答：工厂每天能生产90盒纪念币． 【变式3-8】 【答案】(1)a的值为，b的值为120 (2)①；②两车相遇时，离A地千米 【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等，可得，再结合即可求出a、b的值； （2）①由乙车以两种速度行驶的时间相等，可得，即可求出a、b的值； ②求出两车相遇时所用的时间，再根据甲车所走的路程，即为相遇时离A的距离． 【详解】（1）由题意，得 ，解得：， 答：a的值为，b的值为120； （2）①由题意，得 ， 解得：； ②由题意，得甲前一半路程的时间为：小时， 乙一小时行驶的路程为：千米， ∴相遇时甲还没行驶到60千米处， ∴相遇时甲行驶的时间为：小时； ∴乙离A地距离，即为甲行驶的距离为：千米， 答：两车相遇时，离A地千米． 【变式3-9】 【答案】甲的速度为10千米时，乙的速度为15千米时 【分析】设甲的速度为千米时，乙的速度为千米时，根据“4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲的速度为千米时，乙的速度为千米时， 依题意得：， 解得：． 答：甲的速度为10千米时，乙的速度为15千米时． ▌题型04 工程问题 【典例1】 【答案】女工要比男工多18人． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用——工程问题．解题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间关系，列方程计算． 设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y，根据2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件，列出方程组，解方程组即可． 【详解】设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y， 根据题意得，， 解得，， 如果单独让男工加工或单独让女工加工， 需要女工（人）， 需要男工（人）， 女工比男工多（人）． 故女工比男工要多18人． 【变式4-1】 【答案】型机器人每小时搬运千克，型机器人每小时搬运千克． 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意列出二元一次方程组并求解． 设每台型机器人每小时搬运千克，每台型机器人每小时搬运千克，根据题意列出二元一次方程组后求解即可． 【详解】解：设每台型机器人每小时搬运千克，每台型机器人每小时搬运千克． 依题得， 解得． 答：型机器人每小时搬运千克，型机器人每小时搬运千克． 【变式4-2】 【答案】(1)甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米； (2)两组还需要190天才能完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用—工程问题，本题关键在于设出两个未知数，找出等量关系列方程组． （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可； （2）用剩余的隧道工程长度除以两组每天共掘进的长度数，即可求得结果． 【详解】（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）按此施工进度，还需要：（天）， 答：按此施工进度，两组还需要190天完成任务． 【变式4-3】 【答案】(1)甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元 (2)安排甲乙合作施工更有利于商店经营，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，列出方程组，解方程组即可； （2）分别求出三种情况下的费用，然后进行比较得出答案即可． 【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元， 依题意得：， 解得：， 所以，甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元． （2）解：设甲、乙装修组的工作效率分别为m，n， 由题意得， 解得：， 所以，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要24天． 选择①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）． 因为，所以，安排甲乙合作施工更有利于商店经营． 【变式4-4】 【答案】(1)甲组每天铺设50平方米，乙组每天铺设30平方米 (2)甲组施工一天的工时费为3000元，乙组施工一天的工时费为1400元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设甲组每天铺设平方米，乙组每天铺设平方米．利用两组每天可共铺设地面80平方米，再建立方程求解即可； （2）设甲组施工一天的工时费为元，乙组施工一天的工时费为元．结合两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，再建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：设甲组每天铺设平方米，乙组每天铺设平方米． ， ， ∴乙组每天铺设（平方米）， 答：甲组每天铺设50平方米，乙组每天铺设30平方米． （2）设甲组施工一天的工时费为元，乙组施工一天的工时费为元． ， 得：， 答：甲组施工一天的工时费为3000元，乙组施工一天的工时费为1400元． 【变式4-5】古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：；乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______，y表示_______； 乙：x表示______，y表示______． (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)补全方程组见解析；A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； (2)A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用． （1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数工程队整治河道的米数，由此进行解答即可； （2）选择其中一个方程组解答解决问题． 【详解】（1）解：甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，由此列出的方程组为 ； 乙同学：A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，由此列出的方程组为 ； 故答案为：A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； （2）解：选甲同学所列方程组解答如下： ， 得， 解得， 把代入①得， 所以方程组的解为， A工程队整治河道的米数为：， B工程队整治河道的米数为：； 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 选乙同学所列方程组解答如下： 由题意可得， 解得， 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 【变式4-6】巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天． (1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答） (2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 【答案】(1)工程队整治河道天，工程队整治河道天 (2)元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用， （1）设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天完成认为列出方程组进行求解即可； （2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可． 【详解】（1）解：设工程队整治河道天，工程队整治河道天， 根据题意得：， 解得：． 答：工程队整治河道天，工程队整治河道天； （2）解：根据题意得： 元． 答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是元． ▌题型05 销售问题 【典例5】 【答案】(1)5月份购进甲种水果120千克、乙种水果100千克 (2)7折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲种水果为x千克，乙种水果为y千克，根据题意列二元一次方程组，即可解答； （2）设甲种水果打m折，则打折后的售价为元，即得打折后甲水果每千克利润为元，再列一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：设甲种水果为x千克，乙种水果为y千克， 由题意可知， 解得， 答：5月份购进甲种水果120千克、乙种水果100千克． （2）解：设甲种水果打m折，则打折后的售价为元，所以打折后甲水果每千克利润为元， 由题意可知， 解得， 答：甲种水果打了7折． 【变式5-1】 【答案】B 【分析】设甲、乙两种服装的原单价分别是x元、y元，满足等量关系：①甲、乙两种服装的原单价共为880元；②打折后两种服装的单价共为684元，由此列出方程组求解． 【详解】解：设甲、乙两种服装的原单价分别是x元、y元． 根据题意，得： 解得： 即：甲、乙两种服装的原单价分别是480元、400元． 故选B. 【变式5-2】 【答案】任务1：A款普通奶茶的销售单价是14元，B款普通奶茶的销售单价是16元；任务2：①；②班主任购买奶茶总杯数为12杯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的解等知识．熟练掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的解是解题的关键． （1）设A款普通奶茶的销售单价是x元，B款普通奶茶的销售单价是y元，依题买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元；买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元列出方程组，计算求解即可； （2）①根据题意得A款加料奶茶与B款普通奶茶杯数之和；②根据题意列出方程，可得．再由m，n，均为正整数，求解作答即可． 【详解】解：任务1：设A款普通奶茶的销售单价是x元，B款普通奶茶的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A款普通奶茶的销售单价是14元，B款普通奶茶的销售单价是16元； 任务2：①根据题意得：买奶茶总杯数是 ∴A款加料奶茶与B款普通奶茶杯数之和为； ②， ∴． 又∵m，n，均为正整数， ∴， ∴． 答：班主任购买奶茶总杯数为12杯． 【变式5-3】 【答案】(1)若只购买冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣，则冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣应各买20，10个； (2)商场共有种购进方案，方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个；方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个；方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个． (3)应选择购进方案，购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个．此时获利为元． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣应各买入x，y个，用1050元从厂家购进30 个冰墩墩产品，据此列方程组并解方程组即可； （2）利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，，均为正整数，即可得出各购进方案； （3）利用销售总利润每个的销售利润销售数量进货数量，可分别求出选择各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣应各买入x，y个，则 解得 答：若只购买冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣，则冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣应各买20，10个； （2）解：根据题意得：， ， 又，，均为正整数， 或或， 则或或 商场共有种购进方案， 方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个； 方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个； 方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个． （3）解：选择方案可获利元； 选择方案可获利元； 选择方案可获利元． ， 应选择购进方案，购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个．此时获利为元． 【变式5-4】 【答案】(1)电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； (2)当时，方案一更省钱；当时，两种方案花费一样；当时，方案二更省钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答的关键是根据题意找出等量关系列出方程组或一次函数表达式，用分类讨论的方法确定优惠方案． （1）根据题意，列出相应的二元一次方程组，从而可以求得电子白板和平板电脑的单价各是多少万元； （2）根据题意，分别写出两种方案下，关于的函数关系式，再利用分类讨论的方法可以得到该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【详解】（1）解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元， ， 解得： ， 答：电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； （2）由题意可得，方案一∶关于的函数表达式为∶， 方案二∶关于a的函数表达式为∶， 当时，得，即当时，选择方案一； 当时，得，即当时，方案一和方案二花费一样多； 当，得，即当时，选择方案二； 综上所述，当时，方案一更省钱，当时，两种方案花费一样，当时，方案二更省钱． 【变式5-5】 【答案】(1)该商场冰墩墩毛绒玩具购进60个，雪容融毛绒玩具购进40个. (2)商场将毛绒玩具全部售出后会获利1840元. 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设该商场冰墩墩毛绒玩具购进个，雪容融毛绒玩具购进个，根据某商场购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共100个，共花去10000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）由题意列式计算即可． 【详解】（1）设该商场冰墩墩毛绒玩具购进个，雪容融毛绒玩具购进个， 由题意得：， 解得：， 答：该商场冰墩墩毛绒玩具购进60个，雪容融毛绒玩具购进40个； （2）（元， 答：商场将这两种毛绒玩具全部售出后会获利1840元． 【变式5-6】 【答案】(1)帽子件，手套件 (2)元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设第一次购买顶帽子，副手套，由题意得，即可求解； （2）设第二次购买了顶帽子，副手套，由题意得：，求出即可求解； 【详解】（1）解：设第一次购买顶帽子，副手套， 由题意得：， 解得：， 故：第一学年购买帽子件，手套件 （2）解：设第二次购买了顶帽子，副手套， 由题意得：， 解得：， ∴学校需要准备资金：（元） 【变式5-7】 【答案】(1)礼盒装共包装了35箱，简易装共包装了40箱； (2)礼盒装共包装了116箱，则简易装共包装了4箱，此时a的值为9． 【分析】此题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解． （1）设礼盒装共包装了箱，则简易装共包装箱，根据等量关系可得出方程组，解出即可； （2）设礼盒装共包装了箱，则简易装共包装了箱，根据等量关系可得出关于的方程，根据，都是正整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：设礼盒装共包装了箱，简易装共包装了箱，由题意，得： ， 解得：， 答：礼盒装共包装了35箱，简易装共包装了40箱； （2）解：设礼盒装共包装了箱，则简易装共包装了箱， 由题意，得：， 解得：， ∵，都是正整数，且， ∴且， ∴， ∵，，都是正整数 ∴， ∴，， 答：礼盒装共包装了116箱，则简易装共包装了4箱，此时a的值为9． 【变式5-8】 【答案】任务1：甲种消毒液进价25元/件，乙种消毒液进价30元/件；任务2：超市获得1395元利润；任务3：9，9，549 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算的应用，任务一，设甲种消毒液进价x元/件，乙种消毒液进价y元/件，根据题意列出二元一次方程组，求出x，y的值；任务二：根据销售量×每件利润可得结论；任务三：分类讨论求解即可 【详解】任务1：解：设甲种消毒液进价x元/件，乙种消毒液进价y元/件，根据题意得： ， 解得， 答：甲种消毒液进价25元/件，乙种消毒液进价30元/件． 任务2： 元     答：超市获得1395元利润． 任务3：①甲种消毒液进价9件，乙种消毒液9件，需要549元， ②甲种消毒液进价12件，乙种消毒液7件，需要562元． ③甲种消毒液进价15件，乙种消毒液5件，需要575元． 故答案为：9，9，549 【变式5-9】 【答案】(1)购进甲种商品150件，购进乙种商品90件 (2)1950元 (3)70 【分析】（1）设购进甲，乙商品分别为m，n件，根据题意列方程求解即可． （2）根据利润公式求解即可． （3）设以五折售出的乙商品有y件，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进甲，乙商品分别为m，n件， 依题意可知： 解得： ， 故购进甲种商品150件，购进乙种商品90件． （2）解：（元） 故该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得1950元． （3）解：设以五折售出的乙商品有y件． 根据题意得： 解得： 故以五折售出的乙商品有70件． ▌题型06 方案问题 【典例6】 【答案】(1)购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆 (2)共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）． （1）设购买A型号的汽车a辆，B种型号的汽车b辆，根据题意列二元一次方程组，即可求解； （2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为240万元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案． 【详解】（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元， 由题意可得， 解得， 答：购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆； （2）解：设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆， 由题意可得， ∴， ∵，，m和n均为整数， ∴或或． 答：共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆． 【变式6-1】 【答案】(1)，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元 (2)该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆 【分析】本题考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组以及二元一次方程是解此题的关键． （1）设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元，根据“1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆，根据“该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车”列出二元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元， 由题意得：， 解得：， ∴，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元； （2）解：设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆， 由题意得：， 整理得：， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆． 【变式6-2】 【答案】(1)1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送 (2)一共有3种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B 型车4辆；方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆 (3)最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，根据2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走，用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，列出方程组，解方程组即可； （2）根据1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送，现有脐橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可； （3）分别求出三种方案的租车费用，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，依题意得： 解得：， 答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送； （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴一共有3种租车方案： 方案一：租A型车1辆，B型车7辆； 方案二：租A型车5辆，B 型车4辆； 方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆． （3）解：方案一所需租金为：（元）； 方案二所需租金为：（元）； 方案三所需租金为： （元）； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元． 【变式6-3】 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车 (2)工厂有3种新工人的招聘方案：①新工人9人，熟练工2人；②新工人6人，熟练工3人；③新工人3人，熟练工4人 (3)应招聘6名新工人 【分析】本题主要考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是要能够理解题意，正确找到等量关系和不等关系，熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．根据“1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车”和“2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车”列方程组求解． （2）设工厂有名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据，都是正整数和，进行分析的值的情况； （3）根据总费用熟练工人的费用新工人的费用列出代数式，分别代入（2）中方案，计算比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． 根据题意得：， 解得：． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车． （2）解：设工厂有名熟练工． 根据题意，得， ， ， 又，都是正整数，， 所以，6，3． 即工厂有3种新工人的招聘方案： ①，，即新工人9人，熟练工2人； ②，，即新工人6人，熟练工3人； ③，，即新工人3人，熟练工4人． （3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的数量多于熟练工，则，或，； 根据题意得：． 当时，（元） 当时，（元） ， 当，时，即工厂应招聘6名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额（元）尽可能少． 【变式6-4】 【答案】(1)①A种奶食品购进50袋，B种奶食品购进40袋；②该超市5月份已售出奶食品的进货款为800元 (2)购进A种奶食品33袋，B种奶食品39袋，C种奶食品37袋或购进A种奶食品66袋，B种奶食品18袋，C种奶食品34袋 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，利用方程中代数式恰好呈倍数和未知数只能取整数巧妙解方程是解题关键． （1）①设A种奶食品购进x袋，B种奶食品购进y袋，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可， ②设5月份售出A种奶食品m袋，B种奶食品n袋．根据题意有，化简得，则． （2）设6月份该超市购进A种奶食品a袋，B种奶食品b袋，则购进C种奶食品袋，利用总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，再结合a，b均为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：①设A种奶食品购进x袋，B种奶食品购进y袋． 依题意，得 解得 答：A种奶食品购进50袋，B种奶食品购进40袋． ②设5月份售出A种奶食品m袋，B种奶食品n袋． 依题意，得， 化简得， ∴． 答：该超市5月份已售出奶食品的进货款为800元． （2）设6月份该超市购进A种奶食品a袋，B种奶食品b袋，则购进C种奶食品袋． 依题意，得， 化简，得，所以． 又因为a，b，均为正整数， 所以a既是3的整数倍，又是11的整数倍，b是3的整数倍， 所以或 当，时，； 当，时，． 答：购进A种奶食品33袋，B种奶食品39袋，C种奶食品37袋或购进A种奶食品66袋，B种奶食品18袋，C种奶食品34袋． 【变式6-5】 【答案】(1)购买一台型空调需要2500元，购买一台型空调需要3200元． (2)该单位选择优惠一更划算． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设购买一台型空调需要元，购买一台型空调需要元，根据购买1台型空调和2台型空调需要8900元；购买2台型空调和3台型空调需要14600元列出方程组求解即可； （2）分别计算出优惠一和优惠二的费用即可得到结论． 【详解】（1）解：设购买一台型空调需要元，购买一台型空调需要元， 由题意，得 解得， 答：购买一台型空调需要2500元，购买一台型空调需要3200元． （2）解：选择优惠一所需费用为（元）； ∵（元）， ∴选择优惠二所需费用为元， ∵， ∴该单位选择优惠一更划算． 【变式6-6】 【答案】(1)8辆 (2)10辆甲型车，7辆丙型车 (3)2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算，以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）需甲型车的数量（物资的总质量—每辆乙型车的运载量使用乙型车的数量—每辆丙型车的运载量使用丙型车的数量）每辆甲型车的运载量，即可求出答案； （2）设需要辆甲型车，辆丙型车，根据“全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出答案； （3）设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车，根据公司使用的16辆车的总运载量为120吨，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为正整数，即可得出各运输方案，再求出各方案所需运费，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （辆） 还需要8辆甲型车来运送； （2）解：设需要辆甲型车，辆丙型车， 根据题意得：， 解得：， 需要10辆甲型车，7辆丙型车来运送； （3）解：设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车， 根据题意得：， ， 又，，均为正整数， 或， 共有2种运输方案， 方案1：使用6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车，所需运费为 （元）； 方案2：使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车，所需运费为 （元）； ， 使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车时，运费最省， 共有2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省． 【变式6-7】 【答案】任务一：12；36；任务二：还需从仓库拿100张布料； 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找到题中的等量关系，列出二元一次方程和二元一次方程组是解题的关键. （1）设一张该布料裁剪张豌豆的布料和张豌豆荚的布料，根据原始布料尺寸和所需布料尺寸，可以先将原始布料对半裁剪，再根据长度进行裁剪，利用布料长度相等列出二元一次方程，求出整数解即可； （2）设用张布料按方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；用张布料按方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料，列方程组可得答案． 【详解】解：任务一：设一张该布料裁剪张豌豆的布料和张豌豆荚的布料，根据布料尺寸为，豌豆所需布料的尺寸是，豌豆荚所需布料的尺寸是，因此可以先将原始布料对半裁剪，即得到2块的布料，然后裁剪所需布料的长度即可．根据裁剪前后布料长度相等，可得： ，即， ，其中为正整数， 当，，即为方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 当，，即为方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料； 当，，即为方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 任务二：设用张布料按方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；用张布料按方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 则， 解得， ， 还需从仓库拿100张布料． 答：在没有布料浪费的条件下，还需从仓库拿100张布料． ▌题型07 数字问题 【典例1】 【答案】(1)； (2)35 【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程的应用： （1）一个两位数的值等于其十位数字乘以10再加上个位数字，据此求解即可； （2）根据原来两位数得到十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，原来的两位数为，新的两位数为， 故答案为：；； （2）由题意得，， 解得， ∴原来的两位数为35． 【变式7-1】 【答案】C 【分析】设小明12：00时看到的两位数的十位数字为x，各位数字为y，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案. 【详解】解：设小明12：00时看到的两位数的十位数字为x，各位数字为y 由题意可得： 解得： ∴12：00时看到的两位数是10y+x=51 故答案为：C 【变式7-2】 【答案】这个三位数是615，小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，由题意得出百位拨的数字是6，再根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，设出未知数列方程组并解出即可解决．找出等量关系列方程组是解题关键． 【详解】解：由题意得：小华在百位拨的数字是6， 设个位数字是，十位数字是， 由题意得：， 解这个方程组，得：， 答：这个三位数是615， 小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠． 【变式7-3】 【答案】(1)(答案不唯一) (2)任意一个“极数”都是的倍数，理由见解析 (3)或或或 【分析】本题考查了有理数，整式的加减，解二元一次方程等知识．理解题意，正确表示四位数是解题的关键． （1）根据定义求解作答即可； （2）设任意一个“极数”的千位数为，百位数为，则十位数为，个位数为，其中（，且a、b为整数），则“极数”为，然后作答即可； （3）设“极数”的千位数为，百位数为，则十位数为，个位数为，其中（，且x、y为整数），则四位数m为，，由是完全平方数，，且x、y为整数，可得或或或，计算求解，然后作答即可 【详解】（1）解：由“极数”的定义得，两个“极数”为， 故答案为：； （2）解：任意一个“极数”都是的倍数，理由如下： 设任意一个“极数”的千位数为，百位数为，则十位数为，个位数为，其中（，且a、b为整数）， ∴“极数”为， ∵，且a、b为整数， ∴是整数， ∴任意一个“极数”都是的倍数． （3）解：设“极数”的千位数为，百位数为，则十位数为，个位数为，其中（，且x、y为整数）， ∴四位数m为， ∴， ∵是完全平方数，，且x、y为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴m可以为或或或， 故答案为：或或或． 【变式7-4】 【答案】(1)答案不唯一，只要是1、2、3组合的三位数都对 (2)k的最小值为 【分析】本题考查了二元一次方程的运用，解题的关键是读懂题意，学会求二元一次方程的正整数解． （1）由定义可得； （2）根据题意先求出，，，代入可得二元一次方程，求出x，y的解代入可得k的值． 【详解】（1）任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且不为零，那么称这个数为“相异数”，如果， ∴（也可为213或321等）； （2），，， ， ， ，， 或或或或或， a是“相异数”， ，． b是“相异数”，，． 或或， 或或 ，，， k的最小值为． 【变式7-5】 【答案】这个两位数为34 【分析】设十位上的数为，个位上的数为，依据题意建立二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设十位上的数为，个位上的数为， 根据题意得， ∴， 由得， ∴， 将代入得， ∴， ∴这个两位数为34． 【变式7-6】 【答案】外圆和内圆空白处数字依次为2和9 【分析】设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设外圆空白处的数字为x，内圆空白处的数字为y， 则，整理得：             解得 答：外圆和内圆空白处数字依次为2和9． 【变式7-7】 【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5 (2)第一次他们拼成的两位数为45 (3)第二次拼成的两位数是54 【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y． 第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为． 根据题意得： ， 由②，得：③， 得：． 把代入①得：， ∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． （2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5， 所以第一次他们拼成的两位数为45． （3）解：根据（1）得，x，y的位置调换，所以十位数字是5，个位数字是， 所以第二次拼成的两位数是54． 【变式7-8】 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为，个位数字为，根据“一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数加上16后，比十位数字大49”列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为，个位数字为， 由题意可知：， 解得：， 答：这个两位数为36． ▌题型08 几何问题 【典例1】 【答案】(1)小长方形的长和宽分别为45米，15米 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、长方形的面积等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组成为解题的关键． （1）设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形的摆放建立方程组，再解方程组求出x、y的值即可； （2）先求出大长方形的长与宽，然后根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x米，宽为y米， 由题意得：， 解得． 答：小长方形的长和宽分别为45米，15米． （2）解：大长方形的长为米，宽为60米， 所以大长方形的面积． 答：该实践基地的面积为． 【变式8-1】 【答案】C 【分析】设小长方形的长为，宽为，则由①图可知，，，可得，，由②图可知，大长方形的宽为，表示出两个图中阴影部分的周长，计算求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为 由①图可知，， ∴， 由②图可知，大长方形的宽为 ∴①图阴影部分周长为 ②图阴影部分周长为 ∴图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是 故选C． 【变式8-2】 【答案】(1)见解析 (2)可以做成甲种盒子个，乙种盒子个 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意即可作图； （2）设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意得，即可求解； 【详解】（1）解如图： （2）解：设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意，得 解这个方程组，得 答：可以做成甲种盒子个，乙种盒子个． 【变式8-3】 【答案】(1)7；3 (2)可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图形，找出加工1个竖式铁容器与横式铁容器所需长方形及正方形铁皮张数，将其相加即可得出结论； （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个，根据加工这两种铁容器正好将两种铁皮用完，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）（张，（张． 故答案为：7；3． （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个， 依题意，得：， 解得：． 答：可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 【变式8-4】 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）由长方形面积公式，结合原长方形长宽变化代值求解即可得到答案； （2）由，结合（1）中，得到，再得到将原长方形的长和宽各增加后得到的新长方形的面积表达式，代值求解即可得到答案； （3）由题意，根据新长方形的边长，分分两种情况拼接，如图所示，由正方形边长关系列方程组求解，再由判定即可得到答案． 【详解】（1）解：长方形的长为，宽为， 将原长方形的长和宽各增加，得到的新长方形的面积记为； 将原长方形的长和宽各减少，得到的新长方形的面积记为； （2）解：由（1）知，， ， ，即， 将原长方形的长和宽各增加后得到的新长方形的面积为； （3）解：面积记为的新长方形长为、宽为；面积记为的新长方形长为、宽为， 用一个面积为的长方形和两个面积为的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形时，正方形的边长应为， 分两种情况拼接，如图所示： ①或②， 解①得；解②得； ， 满足题意，即，． 【变式8-5】 【答案】能，长宽分别为，，理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设这些长方形的长和宽分别为，，根据长和宽的关系得到二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：能求出这些长方形的长和宽， 理由如下：设这些长方形的长和宽分别为，， 根据两个图形可得：， 解得， 答：这些长方形的长和宽分别为，． 【变式8-6】 【答案】(1)3，2 (2)横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个 (3)是5的整数倍，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据长方体的六个面的特点求解即可； （2）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完300张长方形纸板和100张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合均为正整数．即可得出是5的整数倍． 【详解】（1）解：做一个横式无盖纸盒需要3张长方形纸板和2张正方形纸板， 故答案为：3，2； （2）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个； （3）解：是5的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是5的整数倍． 【变式8-7】 【答案】长为4米，宽为2米 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，先设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形可以得出，，由这两个方程构成方程组求出其解即可． 【详解】解：设长方形的长为米，宽为米． 依题意得： 解得：． 经检验，符合题意 长方形的长为4米，宽为2米． 【变式8-8】 【答案】 【分析】此题考查二元一次方程组的运用，看清图意，正确列出方程组解决问题．设小长方形的长为，宽为，由图可知，长方形展厅的长是，宽为，由此列出方程组求解即可． 【详解】解：小长方形的长为，宽为，由图可得： ， 两式相加得，， ∴， 则小长方形的周长为． ▌题型09 数学文化问题 【典例1】 【答案】大和尚人，小和尚人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列方程组是解题关键．设大和尚人，小和尚人，根据“有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完”列方程组求解即可． 【详解】解：设大和尚人，小和尚人， 由题意得：，解得：， 答：大和尚人，小和尚人． 【变式9-1】 【答案】A 【分析】根据题意“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50”可得：乙的钱×+甲的钱=50；根据“甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50”可得：甲的钱×+乙的钱=50．根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y 故选：A 【变式9-2】 【答案】鸡有23只，兔有12只 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用；根据总头数和总脚数得到两个等量关系是解决本题的关键． 设鸡有只，兔有只，根据：鸡的头数兔的头数；鸡的头数兔的头数，列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解：设鸡有只，兔有只， 由题意得：， 解得． 答：鸡有23只，兔有12只． 【变式9-3】 【答案】共有126家共同买牛，牛价为3750个钱 【分析】设有x家，牛价为y个钱，然后根据题意可列二元一次方程组进行求解． 【详解】解：设有x家，牛价为y个钱，根据题意，得： ， 解得：， 答：共有126家共同买牛，牛价为3750个钱． 【变式9-4】 【答案】D 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，列出方程组即可．正确的找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，交换前甲袋重量为两，乙袋重量为两，由两袋重量相等，得；交换后，甲袋有黄金8枚，白银1枚，重两，乙袋有白银10枚，黄金1枚，重两．由甲袋比乙袋轻13两，得， ∴可列方程组为 故选 D． 【变式9-5】 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案即可． 【详解】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为： ． 故答案是：． 【变式9-6】 【答案】驴子原来所驮货物是5袋． 【分析】考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．根据题意可知，本题中的相等关系是“如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍”和“如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多”，列方程组求解即可． 【详解】解：设驴子原来所驮货物的袋数是，骡子原来所驮货物的袋数是． 由题意得， 解得． 答：驴子原来所驮货物是5袋． 【变式9-7】 【答案】(1)该店有客房间，房客有人； (2)应选择一次性定客房间更合算． 【分析】（）设该店有客房间，房客有人，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）分别求出每间客房住人，定客房间需付的房费与一次性定客房间需付的房费，比较即可判断求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设该店有客房间，房客有人， 由题意得，， 解得， 答：该店有客房间，房客有人； （2）解：若每间客房住人，则需要定客房间，需付房费元， 若一次性定客房间，需付房费元， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性定客房间更合算． 【变式9-8】 【答案】共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元，根据每人出8文钱，则多出3文钱；每人出7文钱，则缺少4文钱，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元，由题意得： ，解得：， 答：共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程（组）的实际应用 （题型突破·举一反三） 题型01 年龄问题 题型02 分配问题 题型03 行程问题 题型04 工程问题 题型05 销售问题 题型06 方案问题 题型07 数字问题 题型08 几何问题 题型09 数学文化问题 ▌题型01 年龄问题 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： ①审：审题，明确各数量之间的关系。 ②设：设未知数 ③找：找题中的等量关系 ④列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组 ⑤解：解方程组，求出未知数的值 ⑥答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案。 分析数量关系的常用方法 ①直译法分析数量关系:将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有直接给出的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 ②列表分析数量关系:当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 【典例1】某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【变式1-1】根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    【变式1-2】2027年4月20日，是云大附中建校100周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【变式1-3】7月4日，长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【变式1-4】父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是 岁． 【变式1-5】小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 【变式1-6】某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． ▌题型02 分配问题 【典例2】为了响应国家“脱贫致富”的号召，某煤炭销售公司租用了甲、乙两种类型的货车若干辆为贫困地区运输了880吨的煤炭，已知每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，求煤炭销售公司租用甲乙两种类型货车各多少辆？ 【变式2-1】如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 【变式2-2】某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 【变式2-3】已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房．如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ 【变式2-4】七年级新生入学，若每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，有多少名住宿新生？有多少间宿舍？ 【变式2-5】在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 【变式2-6】某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 【变式2-7】运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示． 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 5 8 10 运费（元/辆） 450 600 700 解答下列问题：（假设每辆车均满载） (1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？ (2)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车分别需要多少辆？此时的总运费是多少？ ▌题型03 行程问题 【典例3】甲、乙两车分别从相距210千米的A，B两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【变式3-1】一道来自课本的习题： 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？ 根据以上条件，下列解题思路或结论说法正确的有______． ①设上坡路长x千米，平路长y千米，可列方程组． ②根据条件，能求出甲地到乙地的全程是3.1千米． ③列算式即可求出上坡路长． ④设上坡路长x千米，可列方程 【变式3-2】甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】一列快车长70米，慢车长80米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车，所用时间为20秒．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每秒钟各行多少米？ 【变式3-4】青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 【变式3-5】已知A、B两码头之间的距离为，一艘船航行于A、B两码头之间，顺流航行需3小时；逆流航行时需6小时，求船在静水中的速度及水流的速度？ 【变式3-6】小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是4.8千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？ 【变式3-7】今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？ 【变式3-8】已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地．两车均先以千米每小时的速度行驶，再以b千米每小时的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求和b的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为小时． ①求和b的值； ②求两车相遇时，离A地多少千米． 【变式3-9】A，B两地相距，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，后两人相遇，后，甲剩余的的路程是乙剩余的路程的4倍．求甲、乙两人的速度． ▌题型04 工程问题 【典例1】一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？ 【变式4-1】某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物．已知台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克，台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克．求每台型机器人和每台型机器人每小时分别搬运货物多少千克？ 【变式4-2】穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【变式4-3】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？ (2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由． 【变式4-4】为拓展办学空间，凤中教育集团总校的新食堂正在紧锣密鼓的装修，其中由甲、乙两个装修组同时铺设地面． (1)甲装修组每天比乙装修组多铺设20平方米，两组每天可共铺设地面80平方米，求甲、乙两个装修组每天各铺设地面多少平方米？ (2)已知两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，若甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，求甲、乙装修组施工一天的工时费分别是多少元？ 【变式4-5】古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：；乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______，y表示_______； 乙：x表示______，y表示______． (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 【变式4-6】巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天． (1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答） (2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ ▌题型05 销售问题 【典例5】某水果店4月份购进甲、乙两种水果共花费1400元，其中甲种水果5元千克，乙种水果8元千克；5月份，这两种水果的进货价上调为：甲种水果6元千克，乙种水果元千克，该店5月份购进这两种水果的数量与4月份都相同，却多支付货款170元． (1)求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？ (2)该店5月份甲种水果售价为10元千克，乙种水果售价为15元千克，在甲种水果出售70千克、乙种水果售完后，商店决定对甲种水果打折处理，在售完全部水果后，获得的总利润为980元，问甲种水果打了几折？ 【变式5-1】为处理甲.乙两种积压服装，商场决定打折销售，已知甲.乙两种服装的原单价共为880元，现将甲服装打八折，乙服装打七五折，结果两种服装的单价共为684元，则甲.乙两种服装的原单价分别是（        ） A．400元，480元 B．480元，400元 C．560元，320元 D．320元，560元 【变式5-2】根据以下素材，探索完成任务． 背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励． 素材1 买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元；买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元． 素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料． 素材3 班主任购买A，B两款普通奶茶和加料奶茶各若干杯，其中A款普通奶茶的杯数是购买奶茶总杯数 问题解决 任务1 求A款普通奶茶和B款普通奶茶的销售单价． 任务2 学习委员为更好的了解班主任所买的各种奶茶的杯数情况，制作了以下不完全统计表格： 款式 普通奶茶（杯） 加料奶茶（杯） A m B n ①A款加料奶茶与B款普通奶茶杯数之和为______（用含m，n的代数式表示）； ②若班主任购买奶茶一共用了190元，求班主任购买奶茶的总杯数． 【变式5-3】北京冬奥会，给世界一个温暖的拥抱；北京冬奥会，让世界见证了中国科技和中国智慧；北京冬奥会，让世界记住了一个冬奥明星“冰墩墩”．某商场为了跟上冬奥的脚步，计划用1050元从厂家购进30个冰墩墩产品，已知该厂家生产冰墩墩钥匙扣、冰墩墩手办、冰墩墩挎包三种不同的冰墩墩产品，设冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣应各买入x，y个，其中每个的价格、销售获利如表： 冰墩墩钥匙扣 冰墩墩手办 冰墩墩挎包 价格（元/个） 25 40 50 销售获利（元/个） 12 15 20 (1)若只购买冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣，则可以购买产品各多少个？ (2)若商场同时购进三种不同的冰墩墩产品（每种产品至少有一个），恰好用了1050元，则商场有哪几种购进方案？ (3)在第（2）题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？ 【变式5-4】某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【变式5-5】某商场购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共100个，共花去10000元，这两种吉祥物毛绒玩具的进价、标价如下表： 冰墩墩 雪容融 进价（元/个） 120 70 标价（元/个） 160 100 (1)求该商场冰墩墩和雪容融这两种毛绒玩具分别购进了多少个? (2)如果商场将冰墩墩毛绒玩具按标价的9折出售，雪容融毛绒玩具按标价的8折出售，那么商场将这两种毛绒玩具全部售出后会获利多少元? 【变式5-6】某学年计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子单价是元，手套单价为元，并且学年用于购进帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件）． (1)第一次购进的帽子和手套共件，求第一学年购买帽子和手套各多少件？ (2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折，不超过件的部分不予以优惠；手套件起售，超过件的部分，每件优惠2元，不超过件的部分不予以优惠，经过学年统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学年第二次需准备多少资金用来购买手套和帽子． 【变式5-7】古田水蜜桃有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点．当季是水蜜桃成熟的季节，市场上水蜜桃的销量也与日俱增，某水蜜桃种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的水蜜桃，对总计1000斤的水蜜桃进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：礼盒装每箱8斤，售价100元；简易装每箱18斤，售价180元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤水蜜桃（箱数为整数且两种方式至少各有一箱）． (1)若这批水蜜桃全部售完，销售总收入10700元，请问礼盒装共包装了多少箱，简易装共包装了多少箱？ (2)若水蜜桃种植大户留下箱礼盒装水蜜桃送人，其余水蜜桃全部售出，应该如何分配两种打包方式才能使销售总收入达到11420元，求此时a的值． 【变式5-8】甲流爆发后，某校购买一批消毒液．购买人员到超市后了解到以下信息：信息一  乙种消毒液比甲种消毒液每件进价贵5元，甲种消毒液每件可以消毒2个教室或功能室，乙种消毒液每件可以消毒3个教室或功能室．消毒液不宜久存，启封即要用完． 信息二：货物清单部分信息如下： XX超市货物库存货物清单 购进货物 已出售货物 库存货物 进价（元） 件数 售价（元） 件数 件数 甲种消毒液 100 30 85 15 乙种消毒液 100 40 90 10 …… … … … … … 信息三：超市购进甲、乙两种消毒液共计5500元货物，出售175件后，库存货物打折出售，甲种消毒液9折出售，乙种消毒液8.5折出售． 任务1：求出甲、乙两种消毒液每件进价各多少元？ 任务2：计算该超市将第一次购进的甲、乙两种消毒液全部销售完，可获得多少利润？ 任务3：某中学现有45个教室或功能室需要消毒，请在不浪费消毒液前提下为该校设计一种省钱购买消毒液方案，购买甲种消毒液______件，乙种消毒液______件，共需______元． 【变式5-9】某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (3)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ ▌题型06 方案问题 【典例6】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价进价）销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？ (2)由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 【变式6-1】某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元． (1)求，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【变式6-2】“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【变式6-3】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 【变式6-4】近期，坐落于乌兰察布市高铁站南侧特莫沁路的“乌兰察布之夜”火爆出圈，景区内某内蒙古特色奶食品超市购进A、B两种奶食品销售，其中两种奶食品的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A种奶食品 20 30 B种奶食品 30 45 (1)该超市在5月份购进A、B两种奶食品共90袋，进货款恰好为2200元． ①求这两种奶食品各购进多少袋？ ②据5月份的销售统计，两种奶食品的销售总额为1200元，求该超市5月份已售出奶食品的进货款为多少元？ (2)为刺激销量，超市决定在同时购进A、B两种奶食品且进货款仍为2200元的情况下，6月份增加购进C种奶食品作为赠品，进价为每袋10元，并推出了“买3袋A种奶食品送1袋C种奶食品，买3袋B种奶食品送2袋C种奶食品”的促销方案．若6月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种奶食品各多少袋？ 【变式6-5】6月以来，某地持续高温，最高气温超过了30度，许多市民纷纷购买空调防暑降温，已知购买1台型空调和2台型空调需要8900元；购买2台型空调和3台型空调需要14600元． (1)求购买一台型空调和一台型空调分别需要多少元； (2)某单位需要购买型空调5台，型空调3台，现商家推出店庆活动． 优惠一：型空调满3台每台打8折，型空调不优惠； 优惠二：总购物金额满20000元减2000元（两种优惠不同时享受），问该单位如何购买更划算． 【变式6-6】赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载）． 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？ (2)若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？ (3)若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 【变式6-7】下表是某工厂设计玩具的裁剪方案． 课题 设计裁剪方案 素材1 如图①所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成．如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是；如图③所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是．三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具． 素材2 某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸．（不计剪裁时的损耗） 我是裁剪师 任务一 拟定裁剪方案 若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整． 方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 方案二：裁剪8张豌豆的布料和______张豌豆荚的布料； 方案三：裁剪______张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 任务二 解决实际问题 若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料？ ▌题型07 数字问题 【典例1】有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． (1)原来的两位数为 ，新的两位数为 ．（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【变式7-1】小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 12：00 13：00 14：30 碑上的数 是 一 个 两 位数，数字之和为 6 十位与个位数字与 12：00时所看到的正好颠倒了 比 12：00时看到的两位数中间多了个 0 则12：00时看到的两位数是(　　). A．24 B．42 C．51 D．15 【变式7-2】算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0． 小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数． 【变式7-3】对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”． (1)请任意写出两个“极数” ， ； (2)猜想任意一个“极数”是否是的倍数，请说明理由； (3)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记，则满足是完全平方数的所有m的值是 ． 【变式7-4】一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”n的各个数位上的数字之和记为．例如∶时，． (1)对于“相异数”n，若，请你写出一个n的值； (2)若a，b都是“相异数”，其中，，（，，x，y都是正整数），规定：，当时，求k的最小值． 【变式7-5】一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，求这个两位数． 【变式7-6】《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字．    【变式7-7】小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ (3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！ 【变式7-8】一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数加上16后，比十位数字大49，求这个两位数？ ▌题型08 几何问题 【典例1】某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 【变式8-1】在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入形状、大小完全相同的四个小长方形后得图①、图②，已知大长方形长为a，大长方形未被覆盖的部分均用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（用含a的代数式表示（    ） A． B．a C． D．a 【变式8-2】某铁器制品厂利用边角余料加工出同样大小的正方形铁片张，长方形铁片张，长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等（如图）．如果将这些铁片全部用于制作甲、乙两种无盖的长方体铁盒子，（每一种长方体盒子都要同时用到正方形铁片和长方形铁片）． (1)画出甲、乙两种铁盒子的直观图． (2)问：可以做成甲、乙两种铁盒子各多少个？ 【变式8-3】某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片　　　　张，正方形铁片　　　　张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【变式8-4】已知长方形的长为，宽为，其中（，如果将原长方形的长和宽各增加，得到的新长方形的面积记为；如果将原长方形的长和宽各减少，得到的新长方形的面积记为． (1)求，； (2)如果，求将原长方形的长和宽各增加后得到的新长方形的面积； (3)如果用一个面积为的长方形和两个面积为的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形，求的值． 【变式8-5】小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如左图所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如右图所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为的小正方形!你能求出这些长方形的长和宽吗?．若能，请写出过程；若不能，请说出理由． 【变式8-6】用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． (1)做一个横式无盖纸盒需要______张长方形纸板和_____张正方形纸板． (2)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？ (3)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【变式8-7】如图，在长为10米，宽为8米的长方形空地中，沿平行于长方形各边方向分割出三个能完全重合的小长方形作为生物兴趣小组的实验基地．求每个小长方形的长和宽． 【变式8-8】如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求一个小长方形的周长． ▌题型09 数学文化问题 【典例1】中国16至17世纪数学领域集大成的著作《算法统宗》，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，完善了珠算口诀，搜集了古代流传的595道应用题的数字计算．其中有这样一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？ 【变式9-1】《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料．下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”问题是其中之一．原题如下：令有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？ 【变式9-3】我国古代数学名著《九章算术》一书中记载了这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何．”大意为：今有若干户人家共同买牛，若每7家共出190个钱，则少330个钱：若每9家共出270个钱，则多30个钱．问共同买牛的家数和牛价各是多少？请你解决上述问题． 【变式9-4】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银 11枚（每枚白银质量相同）．称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重 y两，根据题意得（    ） A． B． C． D． 【变式9-5】中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 ． 【变式9-6】有这样一个故事：一头驴子和一只骡子驮着不同袋数的货物一同走，每袋货物都是一样重，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗?如果你给我一袋，那么我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，那么我们才恰好驮的一样多！”驴子原来所驮货物为多少袋? 【变式9-7】明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就有一间房少人． (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有间客房，每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上（含间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【变式9-8】《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八、盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？” 译文：“几个人一起凑钱去买某物品，如果每人出8文钱，则多出3文钱；如果每人出7文钱，则缺少4文钱．问共有多少人凑钱买此物品，该物品的价格是多少？” 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程（组）的实际应用 （题型突破·举一反三） 题型01 年龄问题 题型02 分配问题 题型03 行程问题 题型04 工程问题 题型05 销售问题 题型06 方案问题 题型07 数字问题 题型08 几何问题 题型09 数学文化问题 ▌题型01 年龄问题 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： ①审：审题，明确各数量之间的关系。 ②设：设未知数 ③找：找题中的等量关系 ④列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组 ⑤解：解方程组，求出未知数的值 ⑥答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案。 分析数量关系的常用方法 ①直译法分析数量关系:将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有直接给出的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 ②列表分析数量关系:当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 【典例1】某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 【变式1-1】根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    【答案】小亮今年的年龄为8岁 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小亮今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为岁，根据题意列出方程并求解，即可求解． 【详解】解：设小亮今年的年龄为岁，爸爸今年的年龄为岁 由题意可得： 解得： 答：小亮今年的年龄为8岁． 【变式1-2】2027年4月20日，是云大附中建校100周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【变式1-3】7月4日，长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得                         解得                                       答：现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【变式1-4】父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是 岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁，由题意：父亲今年44岁，x年前父亲的年龄是儿子的8倍，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴， 即当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是岁， 故答案为：． 【变式1-5】小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 【答案】27 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年岁，小强今年岁，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得： ，解得：， ∴数学老师今年岁； 故答案为：27． 【变式1-6】某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． ▌题型02 分配问题 【典例2】为了响应国家“脱贫致富”的号召，某煤炭销售公司租用了甲、乙两种类型的货车若干辆为贫困地区运输了880吨的煤炭，已知每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，求煤炭销售公司租用甲乙两种类型货车各多少辆？ 【答案】租用甲种类型货车12辆，乙种类型货车8辆 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设租用甲种类型货车辆，设租用乙种类型货车辆，利用每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，再建立方程求解即可； 【详解】解：设租用甲种类型货车辆，设租用乙种类型货车辆， 则： 解得：， 答：租用甲种类型货车12辆，乙种类型货车8辆. 【变式2-1】如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 【答案】可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将300张长方形硬纸片和150张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】解：设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 【变式2-2】某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 【答案】(1)用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子 (2)2100元 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用以及有理数混合运算的实际应用． （1）设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）先计算出总的运动服套数，再根据利润等于总盈利减去总成本计算即可． 【详解】（1）解：设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子， 由题意可得： ， 解得：， 答：用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子． （2）由（1）可得300米布料可生产上衣（件），生产裤子（件）， ∴可生产120套运动服， （元）． 答：生产该批次运动服能盈利2100元． 【变式2-3】已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房．如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ 【答案】租住了三人间8间、双人间13间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可． 【详解】解：∵凡团体入住一律五折优惠， ∴三人间为每人每天（元），双人间为每人每天（元）， 设三人间有a间，双人间有b间， 根据题意得：， 解得：， 答：租住了三人间8间、双人间13间． 【变式2-4】七年级新生入学，若每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，有多少名住宿新生？有多少间宿舍？ 【答案】有 144 名住宿新生，19 间宿舍 【分析】本题主要考查了一元一次方程应用．熟练掌握总人数与每个房间人数和房间数的关系，列方程，是解题的关键． 设有 x 间宿舍，根据每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，列方程解答． 【详解】解：设有 x 间宿舍， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：有 144 名住宿新生，19 间宿舍． 【变式2-5】在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 【答案】该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双，根据题意，列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双， 根据题意，得， 解得． 答：该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双． 【变式2-6】某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 【答案】(1)用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子 (2)2100元 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用以及有理数混合运算的实际应用． （1）设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）先计算出总的运动服套数，再根据利润等于总盈利减去总成本计算即可． 【详解】（1）解：设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子， 由题意可得：， 解得：， 答：用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子． （2）由（1）可得300米布料可生产上衣（件），生产裤子（件）， ∴可生产120套运动服， （元）． 答：生产该批次运动服能盈利2100元． 【变式2-7】运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示． 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 5 8 10 运费（元/辆） 450 600 700 解答下列问题：（假设每辆车均满载） (1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车分别需要多少辆？ (2)若用甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，其中甲型车有2辆，则乙、丙型车分别需要多少辆？此时的总运费是多少？ 【答案】(1)甲、乙型车分别需要8辆、10辆 (2)乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握建立方程组是解题关键． （1）设需要甲型车a辆，乙型车b辆，根据“120吨物资”和“运费9600元”建立方程组，解方程组即可得； （2）设需要乙型车x辆，丙型车y辆，根据“甲、乙、丙型车共14辆”，“一次运完全部物资”建立关于x，y的方程组，解方程组即可得． 【详解】（1）设甲、乙型车分别需要a辆、b辆． 根据题意，得， 解得， 答：甲、乙型车分别需要8辆、10辆； （2）设乙、丙型车分别需要x辆、y辆， 根据题意得， 解得， 此时总运费为（元）． 答：乙、丙型车分别需要5辆、7辆，此时的总运费为8800元． ▌题型03 行程问题 【典例3】甲、乙两车分别从相距210千米的A，B两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时 (2)小时或小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设甲车的速度是x千米/小时，乙车的速度是y千米/小时，根据题意列出方程组求解即可； （2）设经过t小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车未相遇时，当两车相遇后，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度是x千米/小时，乙车的速度是y千米/小时， 根据题意，得 解得， 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设经过t小时两车相距30千米， 根据题意，得： 当两车未相遇时，， 解得， 当两车相遇后，， 解得， 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 【变式3-1】一道来自课本的习题： 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需，从乙地到甲地需．甲地到乙地全程是多少？ 根据以上条件，下列解题思路或结论说法正确的有______． ①设上坡路长x千米，平路长y千米，可列方程组． ②根据条件，能求出甲地到乙地的全程是3.1千米． ③列算式即可求出上坡路长． ④设上坡路长x千米，可列方程 【答案】①②④ 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设上坡路长x千米，平路长y千米，根据时间、路程、速度之间的关系列方程组，逐项判断即可． 【详解】解：设上坡路长x千米，平路长y千米， 则，故①正确； 解上述方程组，得， 甲地到乙地的全程：，故②正确； 表示往返所用时间差，表示下坡与上坡速度差，两者之比不能得出上坡路长，故③错误； 设上坡路长x千米，根据上坡、下坡所用时间差等于往返所用时间差，可得，故④正确； 综上可知，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【变式3-2】甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：根据题意可得，顺水速度=x+y，逆水速度=x-y， ∴根据顺水时间×顺水速度=360；逆水时间×逆水速度=360，可列方程组为 故选A． 【变式3-3】一列快车长70米，慢车长80米，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车，所用时间为20秒．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，求两车每秒钟各行多少米？ 【答案】快车每秒行米，慢车每秒行米． 【分析】设快车每秒行米，慢车每秒行米，根据若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开慢车，所用时间为20秒．若两车相向而行，则两车从相遇到离开时间为4秒，列出方程组，解方程组即可求得． 【详解】设快车每秒行米，慢车每秒行米，根据题意得， 解得 答：快车每秒行米，慢车每秒行米． 【变式3-4】青藏铁路全线有一座大桥—拉萨河大桥全长920多米，其中主桥长800米，小明在去年暑假乘次列车从北京到拉萨游玩，小明为了探究次列车的长度与速度，记录了以下两个数据： （1）火车完全在主桥上的时间为35秒． （2）火车上主桥到完全通过主桥用了45秒． 知道这两个数据后，小明就会算出了次列车的长度与速度吗？ 【答案】次列车的长度为，速度为． 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键． 直接利用火车完全在主桥上的时间为35秒，火车上主桥到完全通过主桥用了45秒，主桥长800米，分别得出等式组成方程组，求出答案． 【详解】解：设次列车的长度为，速度为根据题意可得： ， 解得： 答：次列车的长度为，速度为． 【变式3-5】已知A、B两码头之间的距离为，一艘船航行于A、B两码头之间，顺流航行需3小时；逆流航行时需6小时，求船在静水中的速度及水流的速度？ 【答案】船在静水中的速度及水流的速度分别为、 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设船在静水中的速度及水流的速度分别为、，则顺水速度为，逆水速度为，根据往返路程相等建立等量关系，求出其解就可以求出结论． 【详解】解：设船在静水中的速度及水流的速度分别为、，由题意可得： ， 解得：， 答：船在静水中的速度及水流的速度分别为、． 【变式3-6】小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是4.8千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？ 【答案】上坡用1分钟，下坡用9分钟 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设上坡的时间是x分钟，下坡的时间是y分钟，根据小红家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设上坡的时间是x分钟，下坡的时间是y分钟， 4.8千米/时米/分，12千米/时米/分， 由题意得，， 解得． 答：上坡用1分钟，下坡用9分钟． 【变式3-7】今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？ 【答案】(1)该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； (2)工厂每天能生产90盒纪念币． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用． （1）设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时，根据路程速度时间，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设每天安排名工人生产正方体纪念币，依题意得，解得即可． 【详解】（1）解：设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时， 依题意，得：， 解得：， 答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； （2）解：设每天安排名工人生产正方体纪念币，则每天安排名工人生产半圆形纪念币， 依题意得， 解得：， 则工厂每天能生产的纪念币数为：（盒）， 答：工厂每天能生产90盒纪念币． 【变式3-8】已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地．两车均先以千米每小时的速度行驶，再以b千米每小时的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等． (1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求和b的值； (2)若，且乙车行驶的总时间为小时． ①求和b的值； ②求两车相遇时，离A地多少千米． 【答案】(1)a的值为，b的值为120 (2)①；②两车相遇时，离A地千米 【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等，可得，再结合即可求出a、b的值； （2）①由乙车以两种速度行驶的时间相等，可得，即可求出a、b的值； ②求出两车相遇时所用的时间，再根据甲车所走的路程，即为相遇时离A的距离． 【详解】（1）由题意，得 ，解得：， 答：a的值为，b的值为120； （2）①由题意，得 ， 解得：； ②由题意，得甲前一半路程的时间为：小时， 乙一小时行驶的路程为：千米， ∴相遇时甲还没行驶到60千米处， ∴相遇时甲行驶的时间为：小时； ∴乙离A地距离，即为甲行驶的距离为：千米， 答：两车相遇时，离A地千米． 【变式3-9】A，B两地相距，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，后两人相遇，后，甲剩余的的路程是乙剩余的路程的4倍．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度为10千米时，乙的速度为15千米时 【分析】设甲的速度为千米时，乙的速度为千米时，根据“4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲的速度为千米时，乙的速度为千米时， 依题意得：， 解得：． 答：甲的速度为10千米时，乙的速度为15千米时． ▌题型04 工程问题 【典例1】一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？ 【答案】女工要比男工多18人． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用——工程问题．解题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间关系，列方程计算． 设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y，根据2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件，列出方程组，解方程组即可． 【详解】设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y， 根据题意得，， 解得，， 如果单独让男工加工或单独让女工加工， 需要女工（人）， 需要男工（人）， 女工比男工多（人）． 故女工比男工要多18人． 【变式4-1】某快递公司为了提高工作效率，计划购买，两种型号的机器人来搬运货物．已知台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克，台型机器人和台型机器人每小时共搬运货物千克．求每台型机器人和每台型机器人每小时分别搬运货物多少千克？ 【答案】型机器人每小时搬运千克，型机器人每小时搬运千克． 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意列出二元一次方程组并求解． 设每台型机器人每小时搬运千克，每台型机器人每小时搬运千克，根据题意列出二元一次方程组后求解即可． 【详解】解：设每台型机器人每小时搬运千克，每台型机器人每小时搬运千克． 依题得， 解得． 答：型机器人每小时搬运千克，型机器人每小时搬运千克． 【变式4-2】穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米； (2)两组还需要190天才能完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用—工程问题，本题关键在于设出两个未知数，找出等量关系列方程组． （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可； （2）用剩余的隧道工程长度除以两组每天共掘进的长度数，即可求得结果． 【详解】（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）按此施工进度，还需要：（天）， 答：按此施工进度，两组还需要190天完成任务． 【变式4-3】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？ (2)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由． 【答案】(1)甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元 (2)安排甲乙合作施工更有利于商店经营，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，列出方程组，解方程组即可； （2）分别求出三种情况下的费用，然后进行比较得出答案即可． 【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元， 依题意得：， 解得：， 所以，甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元． （2）解：设甲、乙装修组的工作效率分别为m，n， 由题意得， 解得：， 所以，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要24天． 选择①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）； 选择③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（元）． 因为，所以，安排甲乙合作施工更有利于商店经营． 【变式4-4】为拓展办学空间，凤中教育集团总校的新食堂正在紧锣密鼓的装修，其中由甲、乙两个装修组同时铺设地面． (1)甲装修组每天比乙装修组多铺设20平方米，两组每天可共铺设地面80平方米，求甲、乙两个装修组每天各铺设地面多少平方米？ (2)已知两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，若甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，求甲、乙装修组施工一天的工时费分别是多少元？ 【答案】(1)甲组每天铺设50平方米，乙组每天铺设30平方米 (2)甲组施工一天的工时费为3000元，乙组施工一天的工时费为1400元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设甲组每天铺设平方米，乙组每天铺设平方米．利用两组每天可共铺设地面80平方米，再建立方程求解即可； （2）设甲组施工一天的工时费为元，乙组施工一天的工时费为元．结合两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，再建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：设甲组每天铺设平方米，乙组每天铺设平方米． ， ， ∴乙组每天铺设（平方米）， 答：甲组每天铺设50平方米，乙组每天铺设30平方米． （2）设甲组施工一天的工时费为元，乙组施工一天的工时费为元． ， 得：， 答：甲组施工一天的工时费为3000元，乙组施工一天的工时费为1400元． 【变式4-5】古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：；乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______，y表示_______； 乙：x表示______，y表示______． (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)补全方程组见解析；A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； (2)A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用． （1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数工程队整治河道的米数，由此进行解答即可； （2）选择其中一个方程组解答解决问题． 【详解】（1）解：甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，由此列出的方程组为 ； 乙同学：A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，由此列出的方程组为 ； 故答案为：A工程队用的时间，B工程队用的时间；A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； （2）解：选甲同学所列方程组解答如下： ， 得， 解得， 把代入①得， 所以方程组的解为， A工程队整治河道的米数为：， B工程队整治河道的米数为：； 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 选乙同学所列方程组解答如下： 由题意可得， 解得， 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 【变式4-6】巴川河是铜梁的母亲河，为打造巴川河风光带，现有一段长为米的河道整治任务由、两个工程队先后接力完成；工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天． (1)求、两工程队分别整治河道多少天？（用二元一次方程组解答） (2)若工程队整改一米的工费为元，工程队整改一米的工费为元，求完成整治河道时，这两工程队的工费共是多少？ 【答案】(1)工程队整治河道天，工程队整治河道天 (2)元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用， （1）设工程队整治河道天，工程队整治河道天，根据工程队每天整治米，工程队每天整治米，共用时天完成认为列出方程组进行求解即可； （2）分别求出A、B两个工程队的工费，然后求和即可． 【详解】（1）解：设工程队整治河道天，工程队整治河道天， 根据题意得：， 解得：． 答：工程队整治河道天，工程队整治河道天； （2）解：根据题意得： 元． 答：完成整治河道时，这两工程队的工费共是元． ▌题型05 销售问题 【典例5】某水果店4月份购进甲、乙两种水果共花费1400元，其中甲种水果5元千克，乙种水果8元千克；5月份，这两种水果的进货价上调为：甲种水果6元千克，乙种水果元千克，该店5月份购进这两种水果的数量与4月份都相同，却多支付货款170元． (1)求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？ (2)该店5月份甲种水果售价为10元千克，乙种水果售价为15元千克，在甲种水果出售70千克、乙种水果售完后，商店决定对甲种水果打折处理，在售完全部水果后，获得的总利润为980元，问甲种水果打了几折？ 【答案】(1)5月份购进甲种水果120千克、乙种水果100千克 (2)7折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲种水果为x千克，乙种水果为y千克，根据题意列二元一次方程组，即可解答； （2）设甲种水果打m折，则打折后的售价为元，即得打折后甲水果每千克利润为元，再列一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：设甲种水果为x千克，乙种水果为y千克， 由题意可知， 解得， 答：5月份购进甲种水果120千克、乙种水果100千克． （2）解：设甲种水果打m折，则打折后的售价为元，所以打折后甲水果每千克利润为元， 由题意可知， 解得， 答：甲种水果打了7折． 【变式5-1】为处理甲.乙两种积压服装，商场决定打折销售，已知甲.乙两种服装的原单价共为880元，现将甲服装打八折，乙服装打七五折，结果两种服装的单价共为684元，则甲.乙两种服装的原单价分别是（        ） A．400元，480元 B．480元，400元 C．560元，320元 D．320元，560元 【答案】B 【分析】设甲、乙两种服装的原单价分别是x元、y元，满足等量关系：①甲、乙两种服装的原单价共为880元；②打折后两种服装的单价共为684元，由此列出方程组求解． 【详解】解：设甲、乙两种服装的原单价分别是x元、y元． 根据题意，得： 解得： 即：甲、乙两种服装的原单价分别是480元、400元． 故选B. 【变式5-2】根据以下素材，探索完成任务． 背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励． 素材1 买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元；买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元． 素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料． 素材3 班主任购买A，B两款普通奶茶和加料奶茶各若干杯，其中A款普通奶茶的杯数是购买奶茶总杯数 问题解决 任务1 求A款普通奶茶和B款普通奶茶的销售单价． 任务2 学习委员为更好的了解班主任所买的各种奶茶的杯数情况，制作了以下不完全统计表格： 款式 普通奶茶（杯） 加料奶茶（杯） A m B n ①A款加料奶茶与B款普通奶茶杯数之和为______（用含m，n的代数式表示）； ②若班主任购买奶茶一共用了190元，求班主任购买奶茶的总杯数． 【答案】任务1：A款普通奶茶的销售单价是14元，B款普通奶茶的销售单价是16元；任务2：①；②班主任购买奶茶总杯数为12杯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的解等知识．熟练掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的解是解题的关键． （1）设A款普通奶茶的销售单价是x元，B款普通奶茶的销售单价是y元，依题买2杯A款普通奶茶，3杯B款普通奶茶共需76元；买4杯A款普通奶茶，5杯B款普通奶茶共需136元列出方程组，计算求解即可； （2）①根据题意得A款加料奶茶与B款普通奶茶杯数之和；②根据题意列出方程，可得．再由m，n，均为正整数，求解作答即可． 【详解】解：任务1：设A款普通奶茶的销售单价是x元，B款普通奶茶的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A款普通奶茶的销售单价是14元，B款普通奶茶的销售单价是16元； 任务2：①根据题意得：买奶茶总杯数是 ∴A款加料奶茶与B款普通奶茶杯数之和为； ②， ∴． 又∵m，n，均为正整数， ∴， ∴． 答：班主任购买奶茶总杯数为12杯． 【变式5-3】北京冬奥会，给世界一个温暖的拥抱；北京冬奥会，让世界见证了中国科技和中国智慧；北京冬奥会，让世界记住了一个冬奥明星“冰墩墩”．某商场为了跟上冬奥的脚步，计划用1050元从厂家购进30个冰墩墩产品，已知该厂家生产冰墩墩钥匙扣、冰墩墩手办、冰墩墩挎包三种不同的冰墩墩产品，设冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣应各买入x，y个，其中每个的价格、销售获利如表： 冰墩墩钥匙扣 冰墩墩手办 冰墩墩挎包 价格（元/个） 25 40 50 销售获利（元/个） 12 15 20 (1)若只购买冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣，则可以购买产品各多少个？ (2)若商场同时购进三种不同的冰墩墩产品（每种产品至少有一个），恰好用了1050元，则商场有哪几种购进方案？ (3)在第（2）题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？ 【答案】(1)若只购买冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣，则冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣应各买20，10个； (2)商场共有种购进方案，方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个；方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个；方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个． (3)应选择购进方案，购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个．此时获利为元． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣应各买入x，y个，用1050元从厂家购进30 个冰墩墩产品，据此列方程组并解方程组即可； （2）利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，，均为正整数，即可得出各购进方案； （3）利用销售总利润每个的销售利润销售数量进货数量，可分别求出选择各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣应各买入x，y个，则 解得 答：若只购买冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣，则冰墩墩手办、冰墩墩钥匙扣应各买20，10个； （2）解：根据题意得：， ， 又，，均为正整数， 或或， 则或或 商场共有种购进方案， 方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个； 方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个； 方案：购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个． （3）解：选择方案可获利元； 选择方案可获利元； 选择方案可获利元． ， 应选择购进方案，购买冰墩墩手办个，冰墩墩挎包个，冰墩墩钥匙扣个．此时获利为元． 【变式5-4】某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【答案】(1)电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； (2)当时，方案一更省钱；当时，两种方案花费一样；当时，方案二更省钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答的关键是根据题意找出等量关系列出方程组或一次函数表达式，用分类讨论的方法确定优惠方案． （1）根据题意，列出相应的二元一次方程组，从而可以求得电子白板和平板电脑的单价各是多少万元； （2）根据题意，分别写出两种方案下，关于的函数关系式，再利用分类讨论的方法可以得到该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【详解】（1）解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元， ， 解得： ， 答：电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； （2）由题意可得，方案一∶关于的函数表达式为∶， 方案二∶关于a的函数表达式为∶， 当时，得，即当时，选择方案一； 当时，得，即当时，方案一和方案二花费一样多； 当，得，即当时，选择方案二； 综上所述，当时，方案一更省钱，当时，两种方案花费一样，当时，方案二更省钱． 【变式5-5】某商场购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共100个，共花去10000元，这两种吉祥物毛绒玩具的进价、标价如下表： 冰墩墩 雪容融 进价（元/个） 120 70 标价（元/个） 160 100 (1)求该商场冰墩墩和雪容融这两种毛绒玩具分别购进了多少个? (2)如果商场将冰墩墩毛绒玩具按标价的9折出售，雪容融毛绒玩具按标价的8折出售，那么商场将这两种毛绒玩具全部售出后会获利多少元? 【答案】(1)该商场冰墩墩毛绒玩具购进60个，雪容融毛绒玩具购进40个. (2)商场将毛绒玩具全部售出后会获利1840元. 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设该商场冰墩墩毛绒玩具购进个，雪容融毛绒玩具购进个，根据某商场购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共100个，共花去10000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）由题意列式计算即可． 【详解】（1）设该商场冰墩墩毛绒玩具购进个，雪容融毛绒玩具购进个， 由题意得：， 解得：， 答：该商场冰墩墩毛绒玩具购进60个，雪容融毛绒玩具购进40个； （2）（元， 答：商场将这两种毛绒玩具全部售出后会获利1840元． 【变式5-6】某学年计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子单价是元，手套单价为元，并且学年用于购进帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件）． (1)第一次购进的帽子和手套共件，求第一学年购买帽子和手套各多少件？ (2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折，不超过件的部分不予以优惠；手套件起售，超过件的部分，每件优惠2元，不超过件的部分不予以优惠，经过学年统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学年第二次需准备多少资金用来购买手套和帽子． 【答案】(1)帽子件，手套件 (2)元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设第一次购买顶帽子，副手套，由题意得，即可求解； （2）设第二次购买了顶帽子，副手套，由题意得：，求出即可求解； 【详解】（1）解：设第一次购买顶帽子，副手套， 由题意得：， 解得：， 故：第一学年购买帽子件，手套件 （2）解：设第二次购买了顶帽子，副手套， 由题意得：， 解得：， ∴学校需要准备资金：（元） 【变式5-7】古田水蜜桃有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点．当季是水蜜桃成熟的季节，市场上水蜜桃的销量也与日俱增，某水蜜桃种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的水蜜桃，对总计1000斤的水蜜桃进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：礼盒装每箱8斤，售价100元；简易装每箱18斤，售价180元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤水蜜桃（箱数为整数且两种方式至少各有一箱）． (1)若这批水蜜桃全部售完，销售总收入10700元，请问礼盒装共包装了多少箱，简易装共包装了多少箱？ (2)若水蜜桃种植大户留下箱礼盒装水蜜桃送人，其余水蜜桃全部售出，应该如何分配两种打包方式才能使销售总收入达到11420元，求此时a的值． 【答案】(1)礼盒装共包装了35箱，简易装共包装了40箱； (2)礼盒装共包装了116箱，则简易装共包装了4箱，此时a的值为9． 【分析】此题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解． （1）设礼盒装共包装了箱，则简易装共包装箱，根据等量关系可得出方程组，解出即可； （2）设礼盒装共包装了箱，则简易装共包装了箱，根据等量关系可得出关于的方程，根据，都是正整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：设礼盒装共包装了箱，简易装共包装了箱，由题意，得： ， 解得：， 答：礼盒装共包装了35箱，简易装共包装了40箱； （2）解：设礼盒装共包装了箱，则简易装共包装了箱， 由题意，得：， 解得：， ∵，都是正整数，且， ∴且， ∴， ∵，，都是正整数 ∴， ∴，， 答：礼盒装共包装了116箱，则简易装共包装了4箱，此时a的值为9． 【变式5-8】甲流爆发后，某校购买一批消毒液．购买人员到超市后了解到以下信息：信息一  乙种消毒液比甲种消毒液每件进价贵5元，甲种消毒液每件可以消毒2个教室或功能室，乙种消毒液每件可以消毒3个教室或功能室．消毒液不宜久存，启封即要用完． 信息二：货物清单部分信息如下： XX超市货物库存货物清单 购进货物 已出售货物 库存货物 进价（元） 件数 售价（元） 件数 件数 甲种消毒液 100 30 85 15 乙种消毒液 100 40 90 10 …… … … … … … 信息三：超市购进甲、乙两种消毒液共计5500元货物，出售175件后，库存货物打折出售，甲种消毒液9折出售，乙种消毒液8.5折出售． 任务1：求出甲、乙两种消毒液每件进价各多少元？ 任务2：计算该超市将第一次购进的甲、乙两种消毒液全部销售完，可获得多少利润？ 任务3：某中学现有45个教室或功能室需要消毒，请在不浪费消毒液前提下为该校设计一种省钱购买消毒液方案，购买甲种消毒液______件，乙种消毒液______件，共需______元． 【答案】任务1：甲种消毒液进价25元/件，乙种消毒液进价30元/件；任务2：超市获得1395元利润；任务3：9，9，549 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算的应用，任务一，设甲种消毒液进价x元/件，乙种消毒液进价y元/件，根据题意列出二元一次方程组，求出x，y的值；任务二：根据销售量×每件利润可得结论；任务三：分类讨论求解即可 【详解】任务1：解：设甲种消毒液进价x元/件，乙种消毒液进价y元/件，根据题意得： ， 解得， 答：甲种消毒液进价25元/件，乙种消毒液进价30元/件． 任务2： 元     答：超市获得1395元利润． 任务3：①甲种消毒液进价9件，乙种消毒液9件，需要549元， ②甲种消毒液进价12件，乙种消毒液7件，需要562元． ③甲种消毒液进价15件，乙种消毒液5件，需要575元． 故答案为：9，9，549 【变式5-9】某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表： 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 (1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (3)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【答案】(1)购进甲种商品150件，购进乙种商品90件 (2)1950元 (3)70 【分析】（1）设购进甲，乙商品分别为m，n件，根据题意列方程求解即可． （2）根据利润公式求解即可． （3）设以五折售出的乙商品有y件，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进甲，乙商品分别为m，n件， 依题意可知： 解得： ， 故购进甲种商品150件，购进乙种商品90件． （2）解：（元） 故该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得1950元． （3）解：设以五折售出的乙商品有y件． 根据题意得： 解得： 故以五折售出的乙商品有70件． ▌题型06 方案问题 【典例6】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价进价）销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？ (2)由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 【答案】(1)购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆 (2)共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）． （1）设购买A型号的汽车a辆，B种型号的汽车b辆，根据题意列二元一次方程组，即可求解； （2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为240万元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案． 【详解】（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元， 由题意可得， 解得， 答：购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆； （2）解：设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆， 由题意可得， ∴， ∵，，m和n均为整数， ∴或或． 答：共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆． 【变式6-1】某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元． (1)求，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【答案】(1)，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元 (2)该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆 【分析】本题考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组以及二元一次方程是解此题的关键． （1）设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元，根据“1辆型新能源汽车和3辆型新能源汽车的进价共计55万元；4辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计120万元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆，根据“该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车”列出二元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元， 由题意得：， 解得：， ∴，两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为，万元； （2）解：设购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆， 由题意得：， 整理得：， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴该公司共有三种购买方案：方案一：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆；方案二：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车10辆；方案三：购买型新能源汽车辆，型新能源汽车辆． 【变式6-2】“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送 (2)一共有3种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B 型车4辆；方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆 (3)最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，根据2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走，用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，列出方程组，解方程组即可； （2）根据1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送，现有脐橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可； （3）分别求出三种方案的租车费用，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，依题意得： 解得：， 答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送； （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴一共有3种租车方案： 方案一：租A型车1辆，B型车7辆； 方案二：租A型车5辆，B 型车4辆； 方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆． （3）解：方案一所需租金为：（元）； 方案二所需租金为：（元）； 方案三所需租金为： （元）； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元． 【变式6-3】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车 (2)工厂有3种新工人的招聘方案：①新工人9人，熟练工2人；②新工人6人，熟练工3人；③新工人3人，熟练工4人 (3)应招聘6名新工人 【分析】本题主要考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是要能够理解题意，正确找到等量关系和不等关系，熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．根据“1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车”和“2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车”列方程组求解． （2）设工厂有名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据，都是正整数和，进行分析的值的情况； （3）根据总费用熟练工人的费用新工人的费用列出代数式，分别代入（2）中方案，计算比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． 根据题意得：， 解得：． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车． （2）解：设工厂有名熟练工． 根据题意，得， ， ， 又，都是正整数，， 所以，6，3． 即工厂有3种新工人的招聘方案： ①，，即新工人9人，熟练工2人； ②，，即新工人6人，熟练工3人； ③，，即新工人3人，熟练工4人． （3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的数量多于熟练工，则，或，； 根据题意得：． 当时，（元） 当时，（元） ， 当，时，即工厂应招聘6名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额（元）尽可能少． 【变式6-4】近期，坐落于乌兰察布市高铁站南侧特莫沁路的“乌兰察布之夜”火爆出圈，景区内某内蒙古特色奶食品超市购进A、B两种奶食品销售，其中两种奶食品的进价、售价如下表： 类型 进价（元/袋） 售价（元/袋） A种奶食品 20 30 B种奶食品 30 45 (1)该超市在5月份购进A、B两种奶食品共90袋，进货款恰好为2200元． ①求这两种奶食品各购进多少袋？ ②据5月份的销售统计，两种奶食品的销售总额为1200元，求该超市5月份已售出奶食品的进货款为多少元？ (2)为刺激销量，超市决定在同时购进A、B两种奶食品且进货款仍为2200元的情况下，6月份增加购进C种奶食品作为赠品，进价为每袋10元，并推出了“买3袋A种奶食品送1袋C种奶食品，买3袋B种奶食品送2袋C种奶食品”的促销方案．若6月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种奶食品各多少袋？ 【答案】(1)①A种奶食品购进50袋，B种奶食品购进40袋；②该超市5月份已售出奶食品的进货款为800元 (2)购进A种奶食品33袋，B种奶食品39袋，C种奶食品37袋或购进A种奶食品66袋，B种奶食品18袋，C种奶食品34袋 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，利用方程中代数式恰好呈倍数和未知数只能取整数巧妙解方程是解题关键． （1）①设A种奶食品购进x袋，B种奶食品购进y袋，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可， ②设5月份售出A种奶食品m袋，B种奶食品n袋．根据题意有，化简得，则． （2）设6月份该超市购进A种奶食品a袋，B种奶食品b袋，则购进C种奶食品袋，利用总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，再结合a，b均为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：①设A种奶食品购进x袋，B种奶食品购进y袋． 依题意，得 解得 答：A种奶食品购进50袋，B种奶食品购进40袋． ②设5月份售出A种奶食品m袋，B种奶食品n袋． 依题意，得， 化简得， ∴． 答：该超市5月份已售出奶食品的进货款为800元． （2）设6月份该超市购进A种奶食品a袋，B种奶食品b袋，则购进C种奶食品袋． 依题意，得， 化简，得，所以． 又因为a，b，均为正整数， 所以a既是3的整数倍，又是11的整数倍，b是3的整数倍， 所以或 当，时，； 当，时，． 答：购进A种奶食品33袋，B种奶食品39袋，C种奶食品37袋或购进A种奶食品66袋，B种奶食品18袋，C种奶食品34袋． 【变式6-5】6月以来，某地持续高温，最高气温超过了30度，许多市民纷纷购买空调防暑降温，已知购买1台型空调和2台型空调需要8900元；购买2台型空调和3台型空调需要14600元． (1)求购买一台型空调和一台型空调分别需要多少元； (2)某单位需要购买型空调5台，型空调3台，现商家推出店庆活动． 优惠一：型空调满3台每台打8折，型空调不优惠； 优惠二：总购物金额满20000元减2000元（两种优惠不同时享受），问该单位如何购买更划算． 【答案】(1)购买一台型空调需要2500元，购买一台型空调需要3200元． (2)该单位选择优惠一更划算． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设购买一台型空调需要元，购买一台型空调需要元，根据购买1台型空调和2台型空调需要8900元；购买2台型空调和3台型空调需要14600元列出方程组求解即可； （2）分别计算出优惠一和优惠二的费用即可得到结论． 【详解】（1）解：设购买一台型空调需要元，购买一台型空调需要元， 由题意，得 解得， 答：购买一台型空调需要2500元，购买一台型空调需要3200元． （2）解：选择优惠一所需费用为（元）； ∵（元）， ∴选择优惠二所需费用为元， ∵， ∴该单位选择优惠一更划算． 【变式6-6】赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载）． 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 (1)全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？ (2)若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？ (3)若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 【答案】(1)8辆 (2)10辆甲型车，7辆丙型车 (3)2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算，以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）需甲型车的数量（物资的总质量—每辆乙型车的运载量使用乙型车的数量—每辆丙型车的运载量使用丙型车的数量）每辆甲型车的运载量，即可求出答案； （2）设需要辆甲型车，辆丙型车，根据“全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出答案； （3）设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车，根据公司使用的16辆车的总运载量为120吨，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为正整数，即可得出各运输方案，再求出各方案所需运费，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （辆） 还需要8辆甲型车来运送； （2）解：设需要辆甲型车，辆丙型车， 根据题意得：， 解得：， 需要10辆甲型车，7辆丙型车来运送； （3）解：设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车， 根据题意得：， ， 又，，均为正整数， 或， 共有2种运输方案， 方案1：使用6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车，所需运费为 （元）； 方案2：使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车，所需运费为 （元）； ， 使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车时，运费最省， 共有2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省． 【变式6-7】下表是某工厂设计玩具的裁剪方案． 课题 设计裁剪方案 素材1 如图①所示是一套豌豆样式的玩具，主要由一个豌豆荚和三个豌豆组成．如图②所示，制作一个豌豆所需布料的尺寸是；如图③所示，制作一个豌豆荚所需布料的尺寸是．三个豌豆和一个豌豆荚可以组成一套完整的玩具． 素材2 某玩具加工厂在清点库存时发现仓库有一批的布料，于是厂家准备将这批布料裁剪成豌豆玩具所需的尺寸．（不计剪裁时的损耗） 我是裁剪师 任务一 拟定裁剪方案 若要不造成布料浪费，请你将下列方案补充完整． 方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 方案二：裁剪8张豌豆的布料和______张豌豆荚的布料； 方案三：裁剪______张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 任务二 解决实际问题 若该工厂现要制作800套豌豆玩具，按照方案一裁剪了4张布料，剩下按照方案二和方案三的方案裁剪，在没有布料浪费的条件下还需从仓库拿几张布料？ 【答案】任务一：12；36；任务二：还需从仓库拿100张布料； 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找到题中的等量关系，列出二元一次方程和二元一次方程组是解题的关键. （1）设一张该布料裁剪张豌豆的布料和张豌豆荚的布料，根据原始布料尺寸和所需布料尺寸，可以先将原始布料对半裁剪，再根据长度进行裁剪，利用布料长度相等列出二元一次方程，求出整数解即可； （2）设用张布料按方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；用张布料按方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料，列方程组可得答案． 【详解】解：任务一：设一张该布料裁剪张豌豆的布料和张豌豆荚的布料，根据布料尺寸为，豌豆所需布料的尺寸是，豌豆荚所需布料的尺寸是，因此可以先将原始布料对半裁剪，即得到2块的布料，然后裁剪所需布料的长度即可．根据裁剪前后布料长度相等，可得： ，即， ，其中为正整数， 当，，即为方案一：裁剪50张豌豆的布料和0张豌豆荚的布料； 当，，即为方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料； 当，，即为方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 任务二：设用张布料按方案二：裁剪8张豌豆的布料和12张豌豆荚的布料；用张布料按方案三：裁剪36张豌豆的布料和4张豌豆荚的布料． 则， 解得， ， 还需从仓库拿100张布料． 答：在没有布料浪费的条件下，还需从仓库拿100张布料． ▌题型07 数字问题 【典例1】有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． (1)原来的两位数为 ，新的两位数为 ．（用含有x、y的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)； (2)35 【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程的应用： （1）一个两位数的值等于其十位数字乘以10再加上个位数字，据此求解即可； （2）根据原来两位数得到十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，原来的两位数为，新的两位数为， 故答案为：；； （2）由题意得，， 解得， ∴原来的两位数为35． 【变式7-1】小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 12：00 13：00 14：30 碑上的数 是 一 个 两 位数，数字之和为 6 十位与个位数字与 12：00时所看到的正好颠倒了 比 12：00时看到的两位数中间多了个 0 则12：00时看到的两位数是(　　). A．24 B．42 C．51 D．15 【答案】C 【分析】设小明12：00时看到的两位数的十位数字为x，各位数字为y，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案. 【详解】解：设小明12：00时看到的两位数的十位数字为x，各位数字为y 由题意可得： 解得： ∴12：00时看到的两位数是10y+x=51 故答案为：C 【变式7-2】算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产.以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0． 小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，请求出这个三位数，并回答怎样在算盘上拨出十位数和个位数． 【答案】这个三位数是615，小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，由题意得出百位拨的数字是6，再根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字与十位数字的差是4，设出未知数列方程组并解出即可解决．找出等量关系列方程组是解题关键． 【详解】解：由题意得：小华在百位拨的数字是6， 设个位数字是，十位数字是， 由题意得：， 解这个方程组，得：， 答：这个三位数是615， 小华应当在十位拨一颗下珠，在个位拨一颗上珠． 【变式7-3】对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”． (1)请任意写出两个“极数” ， ； (2)猜想任意一个“极数”是否是的倍数，请说明理由； (3)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记，则满足是完全平方数的所有m的值是 ． 【答案】(1)(答案不唯一) (2)任意一个“极数”都是的倍数，理由见解析 (3)或或或 【分析】本题考查了有理数，整式的加减，解二元一次方程等知识．理解题意，正确表示四位数是解题的关键． （1）根据定义求解作答即可； （2）设任意一个“极数”的千位数为，百位数为，则十位数为，个位数为，其中（，且a、b为整数），则“极数”为，然后作答即可； （3）设“极数”的千位数为，百位数为，则十位数为，个位数为，其中（，且x、y为整数），则四位数m为，，由是完全平方数，，且x、y为整数，可得或或或，计算求解，然后作答即可 【详解】（1）解：由“极数”的定义得，两个“极数”为， 故答案为：； （2）解：任意一个“极数”都是的倍数，理由如下： 设任意一个“极数”的千位数为，百位数为，则十位数为，个位数为，其中（，且a、b为整数）， ∴“极数”为， ∵，且a、b为整数， ∴是整数， ∴任意一个“极数”都是的倍数． （3）解：设“极数”的千位数为，百位数为，则十位数为，个位数为，其中（，且x、y为整数）， ∴四位数m为， ∴， ∵是完全平方数，，且x、y为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴m可以为或或或， 故答案为：或或或． 【变式7-4】一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”n的各个数位上的数字之和记为．例如∶时，． (1)对于“相异数”n，若，请你写出一个n的值； (2)若a，b都是“相异数”，其中，，（，，x，y都是正整数），规定：，当时，求k的最小值． 【答案】(1)答案不唯一，只要是1、2、3组合的三位数都对 (2)k的最小值为 【分析】本题考查了二元一次方程的运用，解题的关键是读懂题意，学会求二元一次方程的正整数解． （1）由定义可得； （2）根据题意先求出，，，代入可得二元一次方程，求出x，y的解代入可得k的值． 【详解】（1）任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且不为零，那么称这个数为“相异数”，如果， ∴（也可为213或321等）； （2），，， ， ， ，， 或或或或或， a是“相异数”， ，． b是“相异数”，，． 或或， 或或 ，，， k的最小值为． 【变式7-5】一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，求这个两位数． 【答案】这个两位数为34 【分析】设十位上的数为，个位上的数为，依据题意建立二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设十位上的数为，个位上的数为， 根据题意得， ∴， 由得， ∴， 将代入得， ∴， ∴这个两位数为34． 【变式7-6】《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字．    【答案】外圆和内圆空白处数字依次为2和9 【分析】设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设外圆空白处的数字为x，内圆空白处的数字为y， 则，整理得：             解得 答：外圆和内圆空白处数字依次为2和9． 【变式7-7】小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ (3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！ 【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5 (2)第一次他们拼成的两位数为45 (3)第二次拼成的两位数是54 【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y． 第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为． 根据题意得： ， 由②，得：③， 得：． 把代入①得：， ∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． （2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5， 所以第一次他们拼成的两位数为45． （3）解：根据（1）得，x，y的位置调换，所以十位数字是5，个位数字是， 所以第二次拼成的两位数是54． 【变式7-8】一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数加上16后，比十位数字大49，求这个两位数？ 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为，个位数字为，根据“一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数加上16后，比十位数字大49”列出二元一次方程组即可，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为，个位数字为， 由题意可知：， 解得：， 答：这个两位数为36． ▌题型08 几何问题 【典例1】某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 【答案】(1)小长方形的长和宽分别为45米，15米 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、长方形的面积等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组成为解题的关键． （1）设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形的摆放建立方程组，再解方程组求出x、y的值即可； （2）先求出大长方形的长与宽，然后根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x米，宽为y米， 由题意得：， 解得． 答：小长方形的长和宽分别为45米，15米． （2）解：大长方形的长为米，宽为60米， 所以大长方形的面积． 答：该实践基地的面积为． 【变式8-1】在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入形状、大小完全相同的四个小长方形后得图①、图②，已知大长方形长为a，大长方形未被覆盖的部分均用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（用含a的代数式表示（    ） A． B．a C． D．a 【答案】C 【分析】设小长方形的长为，宽为，则由①图可知，，，可得，，由②图可知，大长方形的宽为，表示出两个图中阴影部分的周长，计算求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为 由①图可知，， ∴， 由②图可知，大长方形的宽为 ∴①图阴影部分周长为 ②图阴影部分周长为 ∴图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是 故选C． 【变式8-2】某铁器制品厂利用边角余料加工出同样大小的正方形铁片张，长方形铁片张，长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等（如图）．如果将这些铁片全部用于制作甲、乙两种无盖的长方体铁盒子，（每一种长方体盒子都要同时用到正方形铁片和长方形铁片）． (1)画出甲、乙两种铁盒子的直观图． (2)问：可以做成甲、乙两种铁盒子各多少个？ 【答案】(1)见解析 (2)可以做成甲种盒子个，乙种盒子个 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据题意即可作图； （2）设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意得，即可求解； 【详解】（1）解如图： （2）解：设可以做成甲种铁盒子个，乙种铁盒子个，根据题意，得 解这个方程组，得 答：可以做成甲种盒子个，乙种盒子个． 【变式8-3】某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片　　　　张，正方形铁片　　　　张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【答案】(1)7；3 (2)可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图形，找出加工1个竖式铁容器与横式铁容器所需长方形及正方形铁皮张数，将其相加即可得出结论； （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个，根据加工这两种铁容器正好将两种铁皮用完，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）（张，（张． 故答案为：7；3． （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个， 依题意，得：， 解得：． 答：可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 【变式8-4】已知长方形的长为，宽为，其中（，如果将原长方形的长和宽各增加，得到的新长方形的面积记为；如果将原长方形的长和宽各减少，得到的新长方形的面积记为． (1)求，； (2)如果，求将原长方形的长和宽各增加后得到的新长方形的面积； (3)如果用一个面积为的长方形和两个面积为的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）由长方形面积公式，结合原长方形长宽变化代值求解即可得到答案； （2）由，结合（1）中，得到，再得到将原长方形的长和宽各增加后得到的新长方形的面积表达式，代值求解即可得到答案； （3）由题意，根据新长方形的边长，分分两种情况拼接，如图所示，由正方形边长关系列方程组求解，再由判定即可得到答案． 【详解】（1）解：长方形的长为，宽为， 将原长方形的长和宽各增加，得到的新长方形的面积记为； 将原长方形的长和宽各减少，得到的新长方形的面积记为； （2）解：由（1）知，， ， ，即， 将原长方形的长和宽各增加后得到的新长方形的面积为； （3）解：面积记为的新长方形长为、宽为；面积记为的新长方形长为、宽为， 用一个面积为的长方形和两个面积为的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形时，正方形的边长应为， 分两种情况拼接，如图所示： ①或②， 解①得；解②得； ， 满足题意，即，． 【变式8-5】小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如左图所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如右图所示的正方形．但是中间还留下了一个小洞，恰好是边长为的小正方形!你能求出这些长方形的长和宽吗?．若能，请写出过程；若不能，请说出理由． 【答案】能，长宽分别为，，理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设这些长方形的长和宽分别为，，根据长和宽的关系得到二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：能求出这些长方形的长和宽， 理由如下：设这些长方形的长和宽分别为，， 根据两个图形可得：， 解得， 答：这些长方形的长和宽分别为，． 【变式8-6】用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． (1)做一个横式无盖纸盒需要______张长方形纸板和_____张正方形纸板． (2)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？ (3)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【答案】(1)3，2 (2)横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个 (3)是5的整数倍，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据长方体的六个面的特点求解即可； （2）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完300张长方形纸板和100张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合均为正整数．即可得出是5的整数倍． 【详解】（1）解：做一个横式无盖纸盒需要3张长方形纸板和2张正方形纸板， 故答案为：3，2； （2）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个； （3）解：是5的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是5的整数倍． 【变式8-7】如图，在长为10米，宽为8米的长方形空地中，沿平行于长方形各边方向分割出三个能完全重合的小长方形作为生物兴趣小组的实验基地．求每个小长方形的长和宽． 【答案】长为4米，宽为2米 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，先设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形可以得出，，由这两个方程构成方程组求出其解即可． 【详解】解：设长方形的长为米，宽为米． 依题意得： 解得：． 经检验，符合题意 长方形的长为4米，宽为2米． 【变式8-8】如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求一个小长方形的周长． 【答案】 【分析】此题考查二元一次方程组的运用，看清图意，正确列出方程组解决问题．设小长方形的长为，宽为，由图可知，长方形展厅的长是，宽为，由此列出方程组求解即可． 【详解】解：小长方形的长为，宽为，由图可得： ， 两式相加得，， ∴， 则小长方形的周长为． ▌题型09 数学文化问题 【典例1】中国16至17世纪数学领域集大成的著作《算法统宗》，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法，完善了珠算口诀，搜集了古代流传的595道应用题的数字计算．其中有这样一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？ 【答案】大和尚人，小和尚人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列方程组是解题关键．设大和尚人，小和尚人，根据“有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完”列方程组求解即可． 【详解】解：设大和尚人，小和尚人， 由题意得：，解得：， 答：大和尚人，小和尚人． 【变式9-1】《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50”可得：乙的钱×+甲的钱=50；根据“甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50”可得：甲的钱×+乙的钱=50．根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y 故选：A 【变式9-2】《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料．下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”问题是其中之一．原题如下：令有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？ 【答案】鸡有23只，兔有12只 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用；根据总头数和总脚数得到两个等量关系是解决本题的关键． 设鸡有只，兔有只，根据：鸡的头数兔的头数；鸡的头数兔的头数，列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解：设鸡有只，兔有只， 由题意得：， 解得． 答：鸡有23只，兔有12只． 【变式9-3】我国古代数学名著《九章算术》一书中记载了这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何．”大意为：今有若干户人家共同买牛，若每7家共出190个钱，则少330个钱：若每9家共出270个钱，则多30个钱．问共同买牛的家数和牛价各是多少？请你解决上述问题． 【答案】共有126家共同买牛，牛价为3750个钱 【分析】设有x家，牛价为y个钱，然后根据题意可列二元一次方程组进行求解． 【详解】解：设有x家，牛价为y个钱，根据题意，得： ， 解得：， 答：共有126家共同买牛，牛价为3750个钱． 【变式9-4】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银 11枚（每枚白银质量相同）．称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重 y两，根据题意得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，列出方程组即可．正确的找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，交换前甲袋重量为两，乙袋重量为两，由两袋重量相等，得；交换后，甲袋有黄金8枚，白银1枚，重两，乙袋有白银10枚，黄金1枚，重两．由甲袋比乙袋轻13两，得， ∴可列方程组为 故选 D． 【变式9-5】中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案即可． 【详解】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为： ． 故答案是：． 【变式9-6】有这样一个故事：一头驴子和一只骡子驮着不同袋数的货物一同走，每袋货物都是一样重，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗?如果你给我一袋，那么我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，那么我们才恰好驮的一样多！”驴子原来所驮货物为多少袋? 【答案】驴子原来所驮货物是5袋． 【分析】考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．根据题意可知，本题中的相等关系是“如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍”和“如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多”，列方程组求解即可． 【详解】解：设驴子原来所驮货物的袋数是，骡子原来所驮货物的袋数是． 由题意得， 解得． 答：驴子原来所驮货物是5袋． 【变式9-7】明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就有一间房少人． (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有间客房，每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上（含间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【答案】(1)该店有客房间，房客有人； (2)应选择一次性定客房间更合算． 【分析】（）设该店有客房间，房客有人，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）分别求出每间客房住人，定客房间需付的房费与一次性定客房间需付的房费，比较即可判断求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设该店有客房间，房客有人， 由题意得，， 解得， 答：该店有客房间，房客有人； （2）解：若每间客房住人，则需要定客房间，需付房费元， 若一次性定客房间，需付房费元， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性定客房间更合算． 【变式9-8】《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八、盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？” 译文：“几个人一起凑钱去买某物品，如果每人出8文钱，则多出3文钱；如果每人出7文钱，则缺少4文钱．问共有多少人凑钱买此物品，该物品的价格是多少？” 【答案】共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元，根据每人出8文钱，则多出3文钱；每人出7文钱，则缺少4文钱，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元，由题意得： ，解得：， 答：共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $