专题03 二元一次方程组的特殊解法（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题03 二元一次方程组的特殊解法 常考题型·精准突破 题型1 解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘（重） 题型2 不解二元一次方程组求值（重） 题型3 整体代入法解二元一次方程组（高频） 题型4 换元法解二元一次方程组（难） 题型5 二元一次方程组中的新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）解方程组： 【答案】 【详解】解：方程组化简为， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解为． 2．（25-26七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 整理得 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 3．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：整理得， 由得， 解得， 将代入①得， ∴， ∴方程组的解为． ◆题型2 不解二元一次方程组求值 4．（25-26七年级下·山东滨州·期末）已知，满足方程组，则的值为________． 【答案】6 【分析】两方程相加，即可获得答案． 【详解】解：， 由，可得． 5．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知关于x，y的方程组满足，则k的值为__________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组的加减消元可进行求解． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·四川泸州·期末）若关于，的方程组的解满足，则的值是________． 【答案】3 【分析】将两式相加，再根据题意求解即可． 【详解】解：将两个方程相加，得， ， ， 解得． ◆题型3 整体代入法解二元一次方程组 7．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．例如，在解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请运用整体思想完成下列问题： (1)已知关于的三元一次方程组，则_________； (2)已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为_________； (3)已知关于的方程组：，求的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）将三个方程相加提取公因式直接得到的值； （2）对比两个方程组的结构，得到关于的新方程组，用加减消元法求解； （3）将、看作整体整理方程组，再用加减消元法计算． 【详解】（1）解：， 得， 解得 ； （2）解：∵关于，的二元一次方程组的解为 ，且关于，的二元一次方程组为 ， ∴， 得， 解得， 将代入，得， 解得 ， ∴方程组的解为； （3）解：原方程组整理得 ， 得 ， 解得 ， 把代入①得 ， 解得， 即，． 8．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）解方程组时若设，，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)知识迁移：请用这种方法解方程组； (2)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 解得， ， 解得， 即：方程组的解为； （2）解：设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， 解得：， 故方程组的解为：． 9．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，原方程组可化为解得，即，解得； 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：； 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求y的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法，掌握“换元法”，“整体代换”是关键． （1）根据题意，设，运用“换元法”求解即可； （2）把代入，结合所求方程组中相同字母的系数相同得到，由此即可求解； （3）根据题意变形，即，代入求解即可． 【详解】（1）解：设，则原方程组变形得， 解得，， ∴， 解得，； （2）解：关于，的方程组的解为， ∴， ∴， 解得，； （3）解：∵，， ∴， ∴， 解得，． ◆题型4 换元法解二元一次方程组 10．（25-26七年级下·江苏南通·期中）材料阅读：小明在解方程组时发现，如果把方程组中的，分别看成两个整体，通过换元，可以简化运算．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为解得 把代入，，得解得 所以原方程组的解为 (1)学以致用：运用上述方法解方程组 (2)拓展提升：已知关于x，y的方程组的解为请直接写出关于的方程组的解是__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组，掌握换元法是解题的关键． （1）根据题目描述，利用换元法将复杂方程转化为简答方程即可求解； （2）将方程组进行变形后得，利用换元法和已知解即可求解． 【详解】（1）解：设，， 原方程组可化为，解得， 把代入，得， ， 解得； （2）解：将化简得， ， 设，， 原方程组化为， 由题可知，解为， 将代入得，， 解得． 11．（2026八年级下·福建泉州·专题练习）阅读下列材料：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为． (1)学以致用．运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升．已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m，n的方程组的解是________． (3)已知方程组的解是，求方程组的解（写出过程）． 【答案】(1)原方程组的解为 (2)关于m，n的方程组的解为 (3) 【详解】（1）解：， 设， ∴， 得，， 整理得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴， 解得，， ∴原方程组的解为； （2）解：关于x，y的方程组的解为， ∴， ∴， 解得，， ∴关于m，n的方程组的解为； （3）解：∵方程组的解是， ∴， ∴， 由可知， 解得，． 12．（25-26七年级下·广东江门·期中）阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． 【答案】(1)B (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可． （1）根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， （2）仿照材料中的解题思路，设，，则方程组可化为，解方程组求出，从而可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （3）首先把方程组，整理成的形式，根据方程组的解为，可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （4）根据新定义，列出关于的方程组，得出，进而根据新定义得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． （4）解：∵ ∴ ∴ ∴ ◆题型5 二元一次方程组中的新定义型问题 13．（25-26八年级下·山东淄博·期末）定义：若点的坐标满足，则称点为“好点”． (1)判断点、是否为“好点”； (2)若点和点都是“好点”，求、的值； (3)已知关于，的方程组的解对应的点恰好是“好点”，且，（）为正整数，方程组的解，也是整数，求所有符合条件的，的值． 【答案】(1) 点和点都是“好点”； (2) ，； (3) 所有符合条件的值：；；；；． 【分析】（1）将两个点代入验证即可； （2）先根据“好点”的定义，将点坐标代入得到方程组，然后解方程组即可； （3）先解方程组，再根据，为正整数，方程组的解，也是整数，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点为“好点”； ∵， ∴点为“好点”； （2）解：∵点和点都是“好点”， ∴， ∴； （3）解：， 由得，代入， 得，即， ∴， 因为，为整数，且，（）为正整数， 所以必须整除，且为整数． 当时，为整数，得或； 当时，为整数，得； 当时，为整数，得或 ； ∴综上，所有符合条件的值为：；；；；． 14．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 【答案】(1)C； (2)的平方根是 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，平方根 ． （1）由定义直接可求； （2）根据定义得到计算得到，再求平方根即可 【详解】（1）解：的共轭二元一次方程是， 故答案为：C． （2）解：由题意可得整理得， ②－①，得，即． 的平方根是， 的平方根是． 15．（25-26七年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 新定义：规定用一组有序数对表示一个点，通常用括号和逗号将两个数隔开来表示，第一个数叫做点的横坐标，第二个数叫做点的纵坐标．如点． ①已知点，且、为有理数． 当、满足时，就称点为“理想点”． 例如：点，令，得 不是“理想点”； 点，令，得 是“理想点”． ②已知点，且为有理数．当满足时，就称点为“开心点”．反之，当点为“开心点”时，则． 认真阅读上面材料，完成下面问题： (1)请仿照上述材料中①的方法判断点是否为“理想点”． (2)已知是二元一次方程组的解，若点是“开心点”，求的值． 【答案】(1)点不是“理想点” (2) 【分析】本题考查新定义，以及二元一次方程组的解法；解题关键是理解新定义以及样例的解法，解二元一次方程组时，先观察再选择合适方法求解． （1）仿照材料中①的方法，列出方程即可判断； （2）先解出二元一次方程组的解，再根据定义，列出求解． 【详解】（1）解：令得， ∵， ∴点不是“理想点”． （2）由①+②，得， 解得， 将代入②，得， ∴， ∵点是“开心点”， ∴， ∴， 解得． 答：的值为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知x，y满足方程组，则的值为（   ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【分析】此题考查解二元一次方程组-特殊方法，根据所求的式子中各系数与方程组的关系，将原方程组对应相加或相减即可得到答案的方法更为简便． 根据两个方程系数的关系将两个方程相加即可得到答案． 【详解】解：， 得：， 则， 故选：C． 2．已知方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先分别求出，，然后利用因式分解转化为求解． 【详解】 将①式与②式相加： ∴ 用②式减去①式： ∴ ∴ 故选B． 3．已知关于，的方程组的解满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，利用两式相加化简得到，根据题意，方程组的解满足，得到，求解即可． 【详解】解：， ①②得：， 两边同时除以3，得：， 根据题意，方程组的解满足， 因此：， 解得：． 故选：C． 4．若关于、的方程组的解为，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同解二元一次方程组问题，熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键．先将恒等变形为，由与的解相同可得，直接求解即可得到答案． 【详解】解：将恒等变形为， 关于、的方程组的解为， 关于、的方程组的解为， 解得， 故选：B 二、填空题 5．已知，满足方程组，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的特点灵活选用恰当的方法是解题的关键． 将两方程相加除以3即可． 【详解】解： 得， 即， 故答案为：． 6．已知方程组，那么x与y的关系是 ． 【答案】． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用整体的思想进行计算，即可解答． 【详解】解：， ②得：③， ①③得：， 即， 故答案为：． 7．若方程组的解是，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的意义，掌握方程组解的意义是解决本题的关键． 把和看作整体，根据二元一次方程组的解的意义可得，再解方程组即可． 【详解】解：方程组的解是， 对于方程组，可得， ． 故答案为：． 8．两位同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说∶“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说∶ “它们的系数有一定的规律，可以试试把第二个方程组的两个方程的两边都除以，然后通过整体换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊法解二元一次方程组，理解题中乙的想法是解题的关键．根据题中乙的想法将方程组化为：，结合已知条件得到，进行求解即可． 【详解】解：方程组可化为：， ∵方程组的解是， ∴， 解得：； ∴方程组的解为． 故答案为：． 三、解答题 9．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）把看成一个整体，利用加减法解答即可求解； （2）将方程组化简，得到，利用代入法解答即可求解． 【详解】（1）解： 得，， 得，， 解得， 把代入中，得， 解得， 原方程组的解为． （2）解：方程组整理得，， 把代入中，得， 解得， 把代入③，得， 原方程组的解为． 10．先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 由①得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③得，所以这个方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． 【详解】解： 由①，得：．③ 把③代入②，得：，解得：． 把代入③，得，解得：． ∴原方程组的解为． 11．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）两个方程分别相加或相减，即可求解； （2）将②可变形为，将①代入求解即可； （3）由整体思想得，即可求解． 【详解】（1）解： ①②得， ①②得， ， 的值为，的值为3； （2）解： 解：②可变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①，得， 原方程组的解为； （3）解：方程组的解是， ， 解得． 故原方程组的解为． 12．阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数，满足，求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得出，的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由，可得，由，可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组，则______________，_______________． (2)已知关于，的二元一次方程组，若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)2，16 (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握“整体思想”是解题的关键． （1）参照题干中小逸的作法求解； （2）由，得出，即可求解． 【详解】（1）解： 由，可得， 由，可得． 故答案为：2，16； （2）解： 由，可得， 方程组的解满足， ， 解得． 13．在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题． 【类比观察】（1）求下列方程组的解 方程组的解为：________； 方程组的解为：________； 【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________； 【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】（1）；；（2）相同；相同；（3） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法． （1）用加减消元法求出方程组的解即可； （2）根据方程组的解得出规律即可； （3）根据解析（2）得出的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； ， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； （2）两个方程组的未知数的系数相同；两个方程组的解相同； （3）∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足：， 解得：； 14．“整体思想”是中学数学解题过程中的一种重要的思想方法，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 例如，已知方程组：，求，的值． 解：原方程组即为，设， 原方程组可变形为：， 解得，即． 理解上述内容，解决下列问题： (1)若关于的一元一次方程（，为常数，且）的解为，则关于的一元一次方程的解为________； (2)已知关于，的方程组，求的值； (3)已知关于，，的方程组，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题围绕“整体思想”展开，通过将复杂式子中的部分看作整体进行代换，简化计算，涉及解二元一次方程组，完全平方公式的应用，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）利用换元法，设，因为，所以，即可求得的值； （2）设，，解关于，的二元一次方程组，求出的值，再利用，即可求出的值； （3）设，，解关于，的二元一次方程组，即可求出，的值，进而可求出的值． 【详解】（1）解：设， ，即， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：原方程组为， 设，， 原方程组可变形为：， 解得，即， ∵， ∴； （3）解：设，， 由可得，即①， 由可得，即②， ①②得， 解得， 把代入①得，， ． 15．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 以下是他的解题过程：令． 原方程组化为，解得， 把代入， 得， 解得，所以原方程组的解为． (1)学以致用运用上述方法解下列方程组： (2)拓展提升已知关于的方程组的解为，请直接写出关于、的方程组的解是_________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求解；解题的关键是结合题意理解整体代入法，并正确求解方程组． （1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即，即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，则可化为，且解为，则有，求解即可． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得：， 把代入，，得， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：在中， 令，， 则可化为， 且解为， 则有， ； 故答案为： 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二元一次方程组的特殊解法 常考题型·精准突破 题型1 解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘（重） 题型2 不解二元一次方程组求值（重） 题型3 整体代入法解二元一次方程组（高频） 题型4 换元法解二元一次方程组（难） 题型5 二元一次方程组中的新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）解方程组： 2．（25-26七年级下·内蒙古兴安·阶段检测）解方程组 (1) (2) 3．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）解下列方程组： (1)； (2)． ◆题型2 不解二元一次方程组求值 4．（25-26七年级下·山东滨州·期末）已知，满足方程组，则的值为________． 5．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知关于x，y的方程组满足，则k的值为__________． 6．（25-26七年级下·四川泸州·期末）若关于，的方程组的解满足，则的值是________． ◆题型3 整体代入法解二元一次方程组 7．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．例如，在解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请运用整体思想完成下列问题： (1)已知关于的三元一次方程组，则_________； (2)已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组的解为_________； (3)已知关于的方程组：，求的值． 8．（25-26八年级下·山东淄博·阶段检测）解方程组时若设，，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)知识迁移：请用这种方法解方程组； (2)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 9．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，原方程组可化为解得，即，解得； 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：； 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于，的方程组：的解； (2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． (3)已知、、，满足，试求y的值． ◆题型4 换元法解二元一次方程组 10．（25-26七年级下·江苏南通·期中）材料阅读：小明在解方程组时发现，如果把方程组中的，分别看成两个整体，通过换元，可以简化运算．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为解得 把代入，，得解得 所以原方程组的解为 (1)学以致用：运用上述方法解方程组 (2)拓展提升：已知关于x，y的方程组的解为请直接写出关于的方程组的解是__________． 11．（2026八年级下·福建泉州·专题练习）阅读下列材料：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组．小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得，∴原方程组的解为． (1)学以致用．运用上述方法解下列方程组：． (2)拓展提升．已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m，n的方程组的解是________． (3)已知方程组的解是，求方程组的解（写出过程）． 12．（25-26七年级下·广东江门·期中）阅读与思考：为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，则原方程组可化为， 解关于的方程组，得， 所以 解方程组，得． (1)材料中运用的数学思想是___________； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． (4)对于有理数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知．求的值． ◆题型5 二元一次方程组中的新定义型问题 13．（25-26八年级下·山东淄博·期末）定义：若点的坐标满足，则称点为“好点”． (1)判断点、是否为“好点”； (2)若点和点都是“好点”，求、的值； (3)已知关于，的方程组的解对应的点恰好是“好点”，且，（）为正整数，方程组的解，也是整数，求所有符合条件的，的值． 14．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 15．（25-26七年级下·山西临汾·期末）阅读与思考 新定义：规定用一组有序数对表示一个点，通常用括号和逗号将两个数隔开来表示，第一个数叫做点的横坐标，第二个数叫做点的纵坐标．如点． ①已知点，且、为有理数． 当、满足时，就称点为“理想点”． 例如：点，令，得 不是“理想点”； 点，令，得 是“理想点”． ②已知点，且为有理数．当满足时，就称点为“开心点”．反之，当点为“开心点”时，则． 认真阅读上面材料，完成下面问题： (1)请仿照上述材料中①的方法判断点是否为“理想点”． (2)已知是二元一次方程组的解，若点是“开心点”，求的值． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．已知x，y满足方程组，则的值为（   ） A．9 B．7 C．5 D．3 2．已知方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 3．已知关于，的方程组的解满足，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．若关于、的方程组的解为，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知，满足方程组，则的值是 ． 6．已知方程组，那么x与y的关系是 ． 7．若方程组的解是，则关于x，y的方程组的解为 ． 8．两位同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说∶“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说∶ “它们的系数有一定的规律，可以试试把第二个方程组的两个方程的两边都除以，然后通过整体换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 三、解答题 9．解下列方程组： (1)； (2)． 10．先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 由①得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③得，所以这个方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程组：． 11．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 12．阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数，满足，求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得出，的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由，可得，由，可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组，则______________，_______________． (2)已知关于，的二元一次方程组，若方程组的解满足，求的值． 13．在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题． 【类比观察】（1）求下列方程组的解 方程组的解为：________； 方程组的解为：________； 【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________； 【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 14．“整体思想”是中学数学解题过程中的一种重要的思想方法，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 例如，已知方程组：，求，的值． 解：原方程组即为，设， 原方程组可变形为：， 解得，即． 理解上述内容，解决下列问题： (1)若关于的一元一次方程（，为常数，且）的解为，则关于的一元一次方程的解为________； (2)已知关于，的方程组，求的值； (3)已知关于，，的方程组，求的值． 15．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 以下是他的解题过程：令． 原方程组化为，解得， 把代入， 得， 解得，所以原方程组的解为． (1)学以致用运用上述方法解下列方程组： (2)拓展提升已知关于的方程组的解为，请直接写出关于、的方程组的解是_________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二元一次方程组的特殊解法 常考题型·精准突破 题型1 解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘（重） 题型2 不解二元一次方程组求值（重） 题型3 整体代入法解二元一次方程组（高频） 题型4 换元法解二元一次方程组（难） 题型5 二元一次方程组中的新定义型问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 解含分母二元一次方程组时去分母不要漏乘 1． 【答案】 【详解】解：方程组化简为， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解为． 2． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 整理得 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 3． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：整理得， 由得， 解得， 将代入①得， ∴， ∴方程组的解为． ◆题型2 不解二元一次方程组求值 4．6 5． 6．3 ◆题型3 整体代入法解二元一次方程组 7． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）将三个方程相加提取公因式直接得到的值； （2）对比两个方程组的结构，得到关于的新方程组，用加减消元法求解； （3）将、看作整体整理方程组，再用加减消元法计算． 【详解】（1）解：， 得， 解得 ； （2）解：∵关于，的二元一次方程组的解为 ，且关于，的二元一次方程组为 ， ∴， 得， 解得， 将代入，得， 解得 ， ∴方程组的解为； （3）解：原方程组整理得 ， 得 ， 解得 ， 把代入①得 ， 解得， 即，． 8． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， 解得， ， 解得， 即：方程组的解为； （2）解：设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， 解得：， 故方程组的解为：． 9． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法，掌握“换元法”，“整体代换”是关键． （1）根据题意，设，运用“换元法”求解即可； （2）把代入，结合所求方程组中相同字母的系数相同得到，由此即可求解； （3）根据题意变形，即，代入求解即可． 【详解】（1）解：设，则原方程组变形得， 解得，， ∴， 解得，； （2）解：关于，的方程组的解为， ∴， ∴， 解得，； （3）解：∵，， ∴， ∴， 解得，． ◆题型4 换元法解二元一次方程组 10． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组，掌握换元法是解题的关键． （1）根据题目描述，利用换元法将复杂方程转化为简答方程即可求解； （2）将方程组进行变形后得，利用换元法和已知解即可求解． 【详解】（1）解：设，， 原方程组可化为，解得， 把代入，得， ， 解得； （2）解：将化简得， ， 设，， 原方程组化为， 由题可知，解为， 将代入得，， 解得． 11． 【答案】(1)原方程组的解为 (2)关于m，n的方程组的解为 (3) 【详解】（1）解：， 设， ∴， 得，， 整理得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴， 解得，， ∴原方程组的解为； （2）解：关于x，y的方程组的解为， ∴， ∴， 解得，， ∴关于m，n的方程组的解为； （3）解：∵方程组的解是， ∴， ∴， 由可知， 解得，． 12． 【答案】(1)B (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可． （1）根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， （2）仿照材料中的解题思路，设，，则方程组可化为，解方程组求出，从而可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （3）首先把方程组，整理成的形式，根据方程组的解为，可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； （4）根据新定义，列出关于的方程组，得出，进而根据新定义得出的值，即可求解． 【详解】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． （4）解：∵ ∴ ∴ ∴ ◆题型5 二元一次方程组中的新定义型问题 13． 【答案】(1) 点和点都是“好点”； (2) ，； (3) 所有符合条件的值：；；；；． 【分析】（1）将两个点代入验证即可； （2）先根据“好点”的定义，将点坐标代入得到方程组，然后解方程组即可； （3）先解方程组，再根据，为正整数，方程组的解，也是整数，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点为“好点”； ∵， ∴点为“好点”； （2）解：∵点和点都是“好点”， ∴， ∴； （3）解：， 由得，代入， 得，即， ∴， 因为，为整数，且，（）为正整数， 所以必须整除，且为整数． 当时，为整数，得或； 当时，为整数，得； 当时，为整数，得或 ； ∴综上，所有符合条件的值为：；；；；． 14． 【答案】(1)C； (2)的平方根是 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，平方根 ． （1）由定义直接可求； （2）根据定义得到计算得到，再求平方根即可 【详解】（1）解：的共轭二元一次方程是， 故答案为：C． （2）解：由题意可得整理得， ②－①，得，即． 的平方根是， 的平方根是． 15． 【答案】(1)点不是“理想点” (2) 【分析】本题考查新定义，以及二元一次方程组的解法；解题关键是理解新定义以及样例的解法，解二元一次方程组时，先观察再选择合适方法求解． （1）仿照材料中①的方法，列出方程即可判断； （2）先解出二元一次方程组的解，再根据定义，列出求解． 【详解】（1）解：令得， ∵， ∴点不是“理想点”． （2）由①+②，得， 解得， 将代入②，得， ∴， ∵点是“开心点”， ∴， ∴， 解得． 答：的值为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．C 2．B 3．C 4．B 二、填空题 5． 6．． 7． 8. 三、解答题 9． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）把看成一个整体，利用加减法解答即可求解； （2）将方程组化简，得到，利用代入法解答即可求解． 【详解】（1）解： 得，， 得，， 解得， 把代入中，得， 解得， 原方程组的解为． （2）解：方程组整理得，， 把代入中，得， 解得， 把代入③，得， 原方程组的解为． 10． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． 【详解】解： 由①，得：．③ 把③代入②，得：，解得：． 把代入③，得，解得：． ∴原方程组的解为． 11． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）两个方程分别相加或相减，即可求解； （2）将②可变形为，将①代入求解即可； （3）由整体思想得，即可求解． 【详解】（1）解： ①②得， ①②得， ， 的值为，的值为3； （2）解： 解：②可变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①，得， 原方程组的解为； （3）解：方程组的解是， ， 解得． 故原方程组的解为． 12． 【答案】(1)2，16 (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握“整体思想”是解题的关键． （1）参照题干中小逸的作法求解； （2）由，得出，即可求解． 【详解】（1）解： 由，可得， 由，可得． 故答案为：2，16； （2）解： 由，可得， 方程组的解满足， ， 解得． 13． 【答案】（1）；；（2）相同；相同；（3） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法． （1）用加减消元法求出方程组的解即可； （2）根据方程组的解得出规律即可； （3）根据解析（2）得出的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； ， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； （2）两个方程组的未知数的系数相同；两个方程组的解相同； （3）∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足：， 解得：； 14． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题围绕“整体思想”展开，通过将复杂式子中的部分看作整体进行代换，简化计算，涉及解二元一次方程组，完全平方公式的应用，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）利用换元法，设，因为，所以，即可求得的值； （2）设，，解关于，的二元一次方程组，求出的值，再利用，即可求出的值； （3）设，，解关于，的二元一次方程组，即可求出，的值，进而可求出的值． 【详解】（1）解：设， ，即， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：原方程组为， 设，， 原方程组可变形为：， 解得，即， ∵， ∴； （3）解：设，， 由可得，即①， 由可得，即②， ①②得， 解得， 把代入①得，， ． 15． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求解；解题的关键是结合题意理解整体代入法，并正确求解方程组． （1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即，即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，则可化为，且解为，则有，求解即可． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得：， 把代入，，得， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：在中， 令，， 则可化为， 且解为， 则有， ； 故答案为： 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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