5.3 二元一次方程组的实际应用 专项训练 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

二元一次方程组的实际应用 类型1 方案问题 类型2 购买问题 类型2 分配问题 类型3 工程问题 类型5 数字问题 类型6 其他问题 类型1 方案问题 1.在“五一”黄金周期间，小明、小亮等同学随父母一同去某地旅游，在某景点购买门票时，小明与小亮的对话：问： (1)小明他们一共去了几个成人几个学生？ (2)请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱并说明理由． 2.某中学组织七年级学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15名学生没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车日租金为每辆300元．（题中客车均不考虑司机座） (1)七年级有多少名学生？原计划租用45座客车多少辆？ (2)如果只能租用45座客车或60座客车中的一种，要使每名同学都有座位，租用哪种车辆更合算？ 3.某旅游团队（包含成人和儿童，儿童身高均超过）一行7人来淮安西游乐园游玩．当日的票务信息如图所示： 经过测算，若按照A方案购票，则共需支付1190元． (1)求该团队成人与儿童的人数． (2)请你直接给出一个最优惠的购票方案及所需费用． 4.有36名分别了多年的老同学约定到某个地方故地重游，他们决定租用汽车前往．可租用的汽车有两种：甲种每辆可以乘8人，乙种每辆可以乘4人．他们不愿意让车子留出空位，但也不能超载．（乘坐人数不包含司机） (1)你能想出几种租车的方案？ (2)已知甲种汽车每天的租金为300元，乙种汽车每天的租金为200元．请帮助他们选择一个最便宜的租车方案． 5.某商场计划花9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助该商场设计进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？ 6.项目化学习 项目主题：确定最省钱的租车方案 项目背景：为迎接“七一”党的生日，某校决定于六月下旬组织本校七、八年级学生前往靖宇革命纪念馆进行“传承红色基因，弘扬革命精神”主题研学活动． 数据收集： ①七、八年级师生共485人． ②平安出租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量 租用B型客车数量 租金总费用 3 2 3800 1 3 3600 问题解决：利用以上数据完成下列问题． (1)根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号每辆客车的租金分别是多少元． (2)该学校本次研学准备租用平安出租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并从中选出最省钱的方案． 7.随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题．在某山区水果种植基地，果农计划租用，两款无人机进行吊运作业．据了解，2架款无人机和1架款无人机每次满载可吊运水果共300千克；1架款无人机和2架款无人机每次满载可吊运水果共330千克． (1)求，两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？ (2)现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用，两款无人机若干架（每架飞机都是满载），恰好一次运完，则需要分别租用，两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案． 8.某校七年级开展了主题为“同住地球村，共筑绿色梦”的环保知识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发A，B，C，D四种奖品，购买奖品的收据如下表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的信息，解决下列问题： 奖名 单价（元/件） 数量/件 金额/元 A 90 2 180 B 60 C 40 D 30 14 合计 32 1360 (1)购买D种奖品的金额为_______元； (2)求购买的B，C两种奖品的数量； (3)为进一步培养学生的环保意识，鼓励更多的学生学习环保知识，该校决定扩大受奖人数并以上面的价格再购进B，C，D三种奖品共20件，计划刚好花费700元．请确定所有可能的购买方案． 9.杭州以“构建全球数字经济第一城”为目标，在智慧物流领域持续发力．某杭州生鲜电商企业计划在环杭州湾区域开通无人机冷链配送服务．现需采购两种型号的冷链无人机，请根据以下素材完成相关任务． 素材一：甲型无人机：适用于城区内即时配送，续航里程30公里；乙型无人机：适用于郊区跨城配送，续航里程80公里． 素材二：采购3架甲型无人机和2架乙型无人机总价为108万元；采购2架甲型无人机和4架乙型无人机总价为136万元． 素材三：根据环杭州湾配送网络规划，该企业采购的甲、乙两种无人机的总续航里程恰好为680公里． (1)任务一：求甲型无人机和乙型无人机的单价各是多少万元？ (2)任务二：在满足总续航里程恰好680公里的前提下，列出采购甲型无人机、乙型无人机的所有可能的购买方案，并通过计算，确定哪种方案的总费用最少． 10.请你根据下列素材，完成有关任务： 背景 为了落实教育目标，实现知行合一，培养核心素养，让孩子开阔眼界、锻炼能力、激发兴趣，某市建立了综合实训基地．该市一学校开展“研学实践”项目式活动，计划租赁两种型号的客车，接送学生前往实训基地． 素材一 租赁1辆A型客车与租赁2辆B型客车的单日费用相等． 素材二 租赁3辆A型客车和4辆B型客车的单日总费用为3200元． 素材三 该校计划租赁两种客车共8辆，且A型客车的数量不超过B型客车数量的3倍，两种客车均需租赁． 请完成下列任务： (1)任务一：每辆A型客车、每辆B型客车的单日租赁费用分别是多少元？ (2)任务二：若A型客车可乘坐40人、B型客车可乘坐25人，研学学生共260人，要求所有学生都能乘坐，且A型客车不少于4辆，求单日租赁总费用的最小值及对应的租赁方案． 11．综合与实践：租船与购票方案． 背景：某旅行团由成人、少年与儿童组成，儿童与成人共34人，少年比儿童的2倍少4人，少年比成人的一半多4人． 素材：如图，景区有甲船、乙船各条，旅行团租船（一客一位，不分批）从景点前往景点．到达后，购票进入景点，现剩余经费元用于购买门票． 景点B门票报价表 单人票价格 元/人 成人 全价 少年 半价 儿童 免票 团队票价格 元/团，人组团，免票不计入成团人数 (1)问题1：该旅行团中成人、少年与儿童分别是多少人？ (2)问题2：如何租用确保船只刚好坐满？根据要求设计方案． (3)问题3：在经费不超额的前提下，请你设计一个购票费用最省的方案． 12.七年级有400名学生到厦门参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；已知小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请设计出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 类型2 购买问题 13.列方程（组）解下列问题： 某乡镇农产品展销店售卖A款土蜂蜜与B款菌菇干货．已知卖出1罐A款土蜂蜜和1袋B款菌菇的总销售额为65元；卖出5罐A款土蜂蜜和2袋B款菌菇的总销售额为250元． (1)求每罐A款土蜂蜜、每袋B款菌菇的售价分别为多少元？ (2)该展销店在8月份共销售A款土蜂蜜2000罐，B款菌菇3000袋．由于B款菌菇采摘成本上涨，从9月1日起，每袋B款菌菇的售价增加，A款蜂蜜的售价保持不变．统计9月的销量和销售额发现：A款蜂蜜的销量在8月的基础上降低，B款菌菇的销量在8月的基础上增加，这两款产品的总销售额在8月的基础上增加，求的值． 14.【综合与实践】： 背景 为庆祝2026年的到来，某班级计划在元旦节这天开展新年联欢活动，同学们提前购买了A、B两种款式的中国结布置教室． 素材 若购买10个A款中国结，5个B款中国结，共需160元；若购买15个A款中国结，10个B款中国结，共需270元． 问题解决 (1)任务1：问A款中国结和B款中国结的销售单价各是多少元？ (2)任务2：购买A、B两种款式的中国结共19个，刚好花了220元，请问购买A款中国结和B款中国结各多少个？ 15.如图，某化工厂与，两地有公路和铁路相连．这家工厂从地购买每吨元的原料运回工厂，制成每吨元的产品运到地．已知公路的运价为元／（吨），铁路的运价为元／（吨）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨． (1)这批原料从地运回，生产成产品运到地，若两次运输共支出公路运费元，铁路运费元，问这批原料有多少吨？ (2)已知生产这批产品，其它成本费为元，每吨的生产费为元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：毛利润销售额原料费其它成本费生产费运输费） 16.某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下： ①篮球、足球、排球各买一个的价格共为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)学校要购买篮球、足球共10个，设购买篮球m个，篮球、足球的总费用为w元，求w关于m的函数解析式 (3)在（2）的条件下，且购买足球的个数不超过篮球个数的2倍．请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？ 17.小刚去文具店购买画笔，第一次用27元买了3支A型画笔和4支B型画笔，第二次用49元买了8支A型画笔和3支B型画笔． (1)求A型画笔和B型画笔的单价． (2)小刚使用两种画笔后，决定以后使用A型画笔，但感觉其价格稍贵，和文具店沟通后，文具店给出以下优惠方案：若一次购买A型画笔不超过24支，每支打九折；若一次购买A型画笔超过24支，则前24支不打折，超过的部分打七五折． 设小刚购买A型画笔支，购买费用为元，请写出关于的函数关系式． (3)在（2）的优惠方案下，若小刚计划用210元（全部花完）购买A型画笔，则能购买多少支A型画笔？ 类型3 分配问题 18.《考工记》是我国古代的一部工科巨著，其中记载了制作鼎和铜镜的铜锡比例．某工厂按书中记载比例制作鼎和铜镜，制作一个鼎需要12千克铜和2千克锡，制作一面铜镜需要1千克铜和1千克锡，现用60千克铜和20千克锡制作鼎和铜镜、这些铜和锡恰好全部用完时．可制作多少个鼎和多少面铜镜？ 19.某公司计划租用甲乙两种型号的冷柜车运送吨水果，甲型冷柜车每天运送量为吨，乙型冷柜车每天运送量为吨．甲型冷柜车先运送了若干天之后退出，剩余的水果由乙型冷柜车负责运送直至完成，整个运送过程总共用时天．求甲乙两种型号的冷柜车各运送多少天？若设甲型冷柜车运送吨水果，乙型冷柜车运送吨水果，请列方程组并解答． 20.图1是一款学生课桌，主要由一块桌面、一块桌腿挡板及部分铁架组成．经测量，该款课桌的桌面为长方形板材，尺寸为，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为．学校批量采购课桌，某工厂仓库已储备足量课桌铁架，仅需购进板材加工桌面和桌腿挡板．如图2所示，该型号板材为长方形，长，宽．（板材切割无损耗，仅沿直线裁切，裁切后的小块板材不可拼接使用） 【任务一】拟定裁切方式 (1)若将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板_______块； (2)若将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料．请求出所有满足条件的裁切方案（每种方案需明确：单张板材裁切出桌面多少块，桌腿挡板多少块）； 【任务二】确定搭配数量 (3)现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板，缺少的桌面和桌腿挡板均需通过采购该型号板材进行裁切获得． 要求： ①从【任务一】第（2）问设计出的所有可行裁切方案中，任选其中两种不同的方案进行搭配裁切，（即这两种方案均须被使用）； ②裁切出的所有桌面、桌腿挡板恰好全部用完、无剩余板材； 请直接写出满足条件的该型号板材需要购买多少张，以及所选的两种裁切方案各需使用多少张板材． 21.项目主题：探究纸盒配套的最优方案 素材一 甲车间的工人负责生产如图所示的长方形纸板和正方形纸板． 素材二 乙车间的工人负责用甲车间工人生产的纸板制作出如图所示的竖式和横式两种不同长方体形状的无盖纸盒（不考虑裁剪和接缝）． (1)任务一：请根据以上信息，填写下表： 无盖纸盒 所需长方形纸板/张 所需正方形纸板/张 竖式 横式 (2)任务二：若甲车间工人生产了长方形纸板张，正方形纸板张，且乙车间工人在制作竖式、横式两种纸盒时将纸板恰好用完，则乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为多少？ (3)任务三：若甲车间共有名工人，每名工人一天能生产张长方形纸板或张正方形纸板，已知个竖式纸盒与个横式纸盒配成一套，要使甲车间一天生产的纸板与乙车间所做成的产品恰好配套，则甲车间应该如何安排工人生产两种纸板？ 22．项目化学习 校园社团器材采购规划 素材一 学校学生会采购两类活动器材套装：科创套装、美术套装，每套所需管理志愿者人数、单套采购费用如下表： 器材类型 每套需管理志愿者人数 单套采购费用（元） 科创套装 2 800 美术套装 3 1100 素材二 本次采购分配志愿者共 34 名，所有志愿者全部用来管理两类器材，每人只负责一类器材；两类器材采购总花费 12800 元． (1)求科创套装、美术套装分别采购多少套？ (2)学校新增社团后，可用志愿者共 40 名，全部投入器材管理，要求美术套装采购数量多于 9 套．若要让器材采购总花费最低，科创套装、美术套装应各采购多少套？ 23.综合与实践：设计制作纸盒方案 如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片． 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 ① n个竖式无盖纸盒 n ② (1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示） (2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 类型4 工程问题 24.骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 25.为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 26.山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 类型5 数字问题 27.小明爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔看到一个里程碑上的数，下面是对三个数的描述．请确定小明在时看到的里程碑上的数． 是一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为7． 十位数字和个位数字与时所看到的正好互换了． 比时看到的两位数中间多了个0． 28.爸爸骑摩托车带着小靖在公路上匀速行驶，小靖每隔一段时间看到的里程表上的数如下所示： 时刻 里程表 上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与8:00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比8:00时看到的两位数中间多了个0 设8:00时里程表上的这个两位数十位数字为，个位数字为，回答下列问题： (1)用含的代数式表示：时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数____； (2)列方程组并求出时里程表上的数． 29.一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 30.根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 31.甲正在阅读《三国演义》，每天所读页数相同，当他读完第84页时，乙从头开始阅读同一本书籍，每天所读页数相同；下列表格记录了甲乙两人同读《三国演义》的进度．例如：第五天结束时，两人已读页数之和为424，此时甲比乙多读了24页，即甲5天读的总页数乙5天读的总页数，甲5天读的总页数乙5天读的总页数． 同读天数 1 2 3 4 5 已读页数之和 152 220 288 424 已读页数之差 72 60 48 24 (1)请直接写出表格中的值； (2)列方程求解：甲、乙两人每天各读书多少页？ (3)若这本书共有520页，从第6天起，甲每天比原来多读页，乙每天所读页数不变，这样到第11天结束时，甲、乙两人已读页数相同，求的值． 类型6 其他问题 32．相传，阿基米德在洗澡时发现了著名的阿基米德原理，并据此鉴定了纯金皇冠是否掺假．假设皇冠浸没在水中时排开的水的体积为，皇冠的质量是，这个皇冠是纯金的吗？如果掺入了白银，你知道皇冠中到底有黄金多少立方厘米，白银多少立方厘米吗？（，黄金的质量约为，白银的质量约为） 33．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表中是某省的电价标准（每月），例如，方女士家5月份用电500度，电费二档电价三档电价元，李先生家5月份用电460度，交费316元． 阶梯 电量 电价 一档 电量 元/度 二档 电量 二档电价 三档 电量 三档电价 请解答下列问题： (1)若王先生家5月份用电160度，则电费多少元？ (2)求二档电价和三档电价分别为多少？ (3)若何女士家5月份用电600度，则电费多少元？ 34．列方程组解应用题： 2026年5月11日凌晨，伦敦世乒赛落下帷幕，中国女队成功卫冕考比伦杯，实现世乒赛团体七连冠，男队成功卫冕斯韦思林杯，实现世乒赛团体十二连冠，两队共同捍卫了国乒荣耀．如图，斯韦思林杯每层底座高度都相等，底座下面的垫台高与一层底座高之比为，杯身高比6层底座高多，垫台高与杯身高之和是，求这届斯韦思林杯的总高度． 35．每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，积极倡导并实践 “低碳” 生活是我们每一个人的社会责任．小亮统计自家5、6月的能耗数据，制成家庭月度 “碳足迹” 统计表． 姓名：小亮 家庭人数：4人 月份 家庭用电消耗量（度） 天然气消耗量（） 总碳足迹（） 月 月 （家庭碳足迹计算公式：总碳足迹=家庭用电消耗量×每度电的碳排放量+天然气消耗量×每立方米天然气的碳排放量） 设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为，请列二元一次方程组求出，的值． 36．丰富的营养对学生的身体和智力发展具有至关重要的作用．小畅家长为初中生小畅订购了某种盒装牛奶和袋装坚果作为早餐，它们的营养成分表如表： 食品种类营养成分 一盒牛奶 一袋坚果 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天早晨，小畅从这两种食品中恰好摄入能量和蛋白质． (1)求这天小畅早餐的牛奶及坚果数量； (2)初中生每日脂肪摄入量的标准约为，若小畅这天其他时间段从其他食品中共摄入脂肪，试判断这天小畅脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 二元一次方程组的实际应用 类型1 方案问题 类型2 购买问题 类型2 分配问题 类型3 工程问题 类型5 数字问题 类型6 其他问题 类型1 方案问题 1.在“五一”黄金周期间，小明、小亮等同学随父母一同去某地旅游，在某景点购买门票时，小明与小亮的对话：问： (1)小明他们一共去了几个成人几个学生？ (2)请你帮小明算一算，用哪种方式买票更省钱并说明理由． 【答案】(1)小明他们一共去了个成人，个学生 (2)购买团体票更省钱，理由如下： 若购买团体票张共需：（元） ， 因为， 所以他们购买团体票更省钱． 【分析】（1）设出未知数，根据题意建立等式求解二元一次方程组即可． （2）计算团体票的价格进行比较求解即可． 【详解】（1）解：设共有个成人，名学生． 由题意得，解得， 答：小明他们一共去了个成人，个学生． （2）略 2.某中学组织七年级学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15名学生没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满．已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车日租金为每辆300元．（题中客车均不考虑司机座） (1)七年级有多少名学生？原计划租用45座客车多少辆？ (2)如果只能租用45座客车或60座客车中的一种，要使每名同学都有座位，租用哪种车辆更合算？ 【答案】(1)七年级有240名学生，原计划租用45座客车5辆 (2)全租用60座客车更合算 【分析】（1）设七年级有名学生，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15名学生没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少辆，由总租金=每辆车的租金×租车辆数分别求出租这两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设七年级有名学生． 根据题意，得． 解得． ． 答：七年级有240名学生，原计划租用45座客车5辆． （2）解：当全租用45座客车时，要使每名同学都有座位，需要租辆，此时费用为（元）． 当全租用60座客车时，要使每名同学都有座位，需要租辆，此时费用为（元）． 因为， 所以全租用60座客车更合算． 3.某旅游团队（包含成人和儿童，儿童身高均超过）一行7人来淮安西游乐园游玩．当日的票务信息如图所示： 经过测算，若按照A方案购票，则共需支付1190元． (1)求该团队成人与儿童的人数． (2)请你直接给出一个最优惠的购票方案及所需费用． 【答案】(1)该团成人有4人，儿童有3人 (2)最优惠的购票方案是购买一个B套票，两个C套票，所需费用为964元 【分析】（1）设该团队成人有x人，儿童有y人，根据题意列方程组去求解即可； （2）根据成人有4人，儿童有3人，结合票务信息制定不同方案，分别求出所需费用，然后比较大小即可解答． 【详解】（1）解：设该团队成人有x人，儿童有y人， 根据题意，得 解得 答：该团队成人有4人，儿童有3人； （2）解：方案一：按照A方案购票，则所需费用为1190元； 方案二：购买两个B套票，一个儿童票，则所需费用为（元）； 方案三：购买一个B套票，两个C套票，则所需费用为（元）； 方案四：购买四个C套票，则所需费用为（元）； ∵， ∴按照方案三购票最省钱， 答：最优惠的购票方案是购买一个B套票，两个C套票，所需费用为964元． 4.有36名分别了多年的老同学约定到某个地方故地重游，他们决定租用汽车前往．可租用的汽车有两种：甲种每辆可以乘8人，乙种每辆可以乘4人．他们不愿意让车子留出空位，但也不能超载．（乘坐人数不包含司机） (1)你能想出几种租车的方案？ (2)已知甲种汽车每天的租金为300元，乙种汽车每天的租金为200元．请帮助他们选择一个最便宜的租车方案． 【答案】(1)共有5种租车方案，分别为：方案1：租用甲种车0辆，乙种车9辆；方案2：租用甲种车1辆，乙种车7辆；方案3：租用甲种车2辆，乙种车5辆；方案4：租用甲种车3辆，乙种车3辆；方案5：租用甲种车4辆，乙种车1辆； (2)最便宜的租车方案为租用甲种车4辆，乙种车1辆，每天租金为1400元． 【分析】（1）设租用甲种汽车辆，乙种汽车辆，根据总人数为人，列出方程，再根据、均为非负整数，找出不同的整数解，即为不同的租车方案； （2）根据甲种汽车和乙种汽车的租金，分别计算各方案的费用，比较后得出费用最少的方案，也可以通过建立总费用的函数表达式，结合的取值范围，利用函数性质求出最小值． 【详解】（1）解：设租用甲种汽车辆，租用乙种汽车辆， 由题意得，即． ，均为非负整数， 可取，，，，，则依次为，，，，， 共有5种租车方案，分别为：方案1：租用甲种车0辆，乙种车9辆；方案2：租用甲种车1辆，乙种车7辆；方案3：租用甲种车2辆，乙种车5辆；方案4：租用甲种车3辆，乙种车3辆；方案5：租用甲种车4辆，乙种车1辆； （2）解：根据题意，得租用甲种汽车每人的平均日租金比租用乙种汽车少， 欲使费用最少，则必须多租用甲种汽车， 符合要求且费用最少的租车方案为租用甲种汽车辆，乙种汽车辆，此时的费用为（元）． 5.某商场计划花9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助该商场设计进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？ 【答案】(1)共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． (2)应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案． 【分析】（1）根据等量关系“两种不同型号的电视机共50台”和“买两种电视花去的费用9万元”．然后分进的两种电视是甲乙，乙丙，甲丙三种情况分别列二元一次方程组求解即可； （2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后确定出获利最多的方案即可． 【详解】（1）解：①设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台． 则有： ，解得：， 所以购进甲种电视机25台，乙种电视机25台． ②设购进乙种电视机a台，丙种电视机b台． 则有： ，解得：，（不符合题意舍去）． ③设购进甲种电视机c台，丙种电视机d台． 则有： ，解得：． 所以购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． 综上，共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． （2）解：方案一获利为：（元）； 方案二获利为：（元）． 因为， 所以应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案，此时获利最多． 6.项目化学习 项目主题：确定最省钱的租车方案 项目背景：为迎接“七一”党的生日，某校决定于六月下旬组织本校七、八年级学生前往靖宇革命纪念馆进行“传承红色基因，弘扬革命精神”主题研学活动． 数据收集： ①七、八年级师生共485人． ②平安出租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，A型客车每辆有25个座位，B型客车每辆有55个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用A型客车数量 租用B型客车数量 租金总费用 3 2 3800 1 3 3600 问题解决：利用以上数据完成下列问题． (1)根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号每辆客车的租金分别是多少元． (2)该学校本次研学准备租用平安出租车公司的客车．若每辆客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案，并从中选出最省钱的方案． 【答案】(1)A型号每辆客车租金为600元，B型号每辆客车租金为1000元 (2)满足条件的租车方案有2种：方案1：租用A型客车15辆，B型客车2辆；方案2：租用A型客车4辆，B型客车7辆；最省钱的方案为租用A型客车4辆，B型客车7辆，租金为9400元 【分析】（1）设A型号每辆客车租金为元，B型号每辆客车租金为元，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设租用A型客车辆，B型客车辆，根据题意列出关于、的二元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设A型号每辆客车租金为元，B型号每辆客车租金为元， 由题意得， 解得， ∴A型号每辆客车租金为600元，B型号每辆客车租金为1000元； （2）解：设租用A型客车辆，B型客车辆， 由题意可得， 整理得， ∴， ∵、均为正整数， ∴当时，，当时，， ∴满足条件的租车方案有2种：方案1：租用A型客车15辆，B型客车2辆；方案2：租用A型客车4辆，B型客车7辆； 方案1的费用为：（元）， 方案2的费用为：（元）， ∵， ∴最省钱的方案为租用A型客车4辆，B型客车7辆，租金为9400元． 7.随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题．在某山区水果种植基地，果农计划租用，两款无人机进行吊运作业．据了解，2架款无人机和1架款无人机每次满载可吊运水果共300千克；1架款无人机和2架款无人机每次满载可吊运水果共330千克． (1)求，两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？ (2)现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用，两款无人机若干架（每架飞机都是满载），恰好一次运完，则需要分别租用，两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案． 【答案】(1) A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克 (2) 共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 【分析】（1）根据两组不同架数组合的吊运总质量，列二元一次方程组求解两款无人机的单架次吊运量； （2）根据总吊运质量列二元一次方程，结合租用架数为正整数的条件，枚举所有符合要求的解． 【详解】（1）解：设A款无人机每架次满载可吊运水果千克，B款无人机每架次满载可吊运水果千克， 根据题意，得 ， 解得 ， 答：A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克． （2）解：设租用A款无人机架，B款无人机架， 根据题意，得 ， 整理得， ∵，均为正整数， ∴，即，且是3的正倍数， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 8.某校七年级开展了主题为“同住地球村，共筑绿色梦”的环保知识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发A，B，C，D四种奖品，购买奖品的收据如下表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的信息，解决下列问题： 奖名 单价（元/件） 数量/件 金额/元 A 90 2 180 B 60 C 40 D 30 14 合计 32 1360 (1)购买D种奖品的金额为_______元； (2)求购买的B，C两种奖品的数量； (3)为进一步培养学生的环保意识，鼓励更多的学生学习环保知识，该校决定扩大受奖人数并以上面的价格再购进B，C，D三种奖品共20件，计划刚好花费700元．请确定所有可能的购买方案． 【答案】(1)420元 (2)B奖品6件，C奖品10件 (3)共3种可能方案，方案一：再购进B奖品1件，购进C奖品7件，购进D奖品12件；方案二：再购进B奖品2件，购进C奖品4件，购进D奖品14件；方案三：再购进B奖品3件，购进C奖品1件，购进D奖品16件 【分析】（1）由数据直接列式计算即可； （2）由表格数据可知，B，C两种奖品的数量和为（件），总金额为（元），列方程组即可解答； （3）设再购进B奖品件，购进C奖品件，则购进D奖品件，根据题意列二元一次方程，求二元一次方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：购买D种奖品的金额为：（元）． （2）解：设B奖品数量为件，C奖品的数量为件， 解得 答：B奖品6件，C奖品10件． （3）解：设再购进B奖品件，购进C奖品件，则购进D奖品件． 由题意得： 因为为正整数， 所以： 当时，； 当时，； 当时，． 共有3种可能购买方案，分别为： 方案一：购进B奖品1件，购进C奖品7件，购进D奖品12件； 方案二：购进B奖品2件，购进C奖品4件，购进D奖品14件； 方案三：购进B奖品3件，购进C奖品1件，购进D奖品16件． 9.杭州以“构建全球数字经济第一城”为目标，在智慧物流领域持续发力．某杭州生鲜电商企业计划在环杭州湾区域开通无人机冷链配送服务．现需采购两种型号的冷链无人机，请根据以下素材完成相关任务． 素材一：甲型无人机：适用于城区内即时配送，续航里程30公里；乙型无人机：适用于郊区跨城配送，续航里程80公里． 素材二：采购3架甲型无人机和2架乙型无人机总价为108万元；采购2架甲型无人机和4架乙型无人机总价为136万元． 素材三：根据环杭州湾配送网络规划，该企业采购的甲、乙两种无人机的总续航里程恰好为680公里． (1)任务一：求甲型无人机和乙型无人机的单价各是多少万元？ (2)任务二：在满足总续航里程恰好680公里的前提下，列出采购甲型无人机、乙型无人机的所有可能的购买方案，并通过计算，确定哪种方案的总费用最少． 【答案】(1) 甲型无人机单价为20万元，乙型无人机单价为24万元. (2) 方案一：采购甲型无人机20架，乙型无人机1架；方案二：采购甲型无人机12架，乙型无人机4架；方案三：采购甲型无人机4架，乙型无人机7架； 方案一：甲型20架，乙型1架，总费用为（万元）； 方案二：甲型12架，乙型4架，总费用为（万元）； 方案三：甲型4架，乙型7架，总费用为（万元）； ， 采购甲型4架，乙型7架时总费用最少. 【分析】 （1）设甲型、乙型无人机的单价分别为x万元和y万元，根据给定的两种采购总价信息列二元一次方程组，求解即可得到单价； （2）设采购甲型a架，乙型b架，根据总续航里程要求列等式，结合a,b为非负整数，找出所有可行方案，再分别计算各方案的总费用，比较后得到费用最少的方案. 【详解】（1） 解 ：设甲型、乙型无人机的单价分别为x万元和y万元， 根据题意得，解得； 答：甲型无人机单价为20万元，乙型无人机单价为24万元. （2）解：设采购甲型无人机架，乙型无人机架，其中均为正整数， 根据题意得， 整理得， ∴， 又∵均为正整数， ∴当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 故有三种方案：方案一：采购甲型无人机20架，乙型无人机1架；方案二：采购甲型无人机12架，乙型无人机4架；方案三：采购甲型无人机4架，乙型无人机7架； 略. 10.请你根据下列素材，完成有关任务： 背景 为了落实教育目标，实现知行合一，培养核心素养，让孩子开阔眼界、锻炼能力、激发兴趣，某市建立了综合实训基地．该市一学校开展“研学实践”项目式活动，计划租赁两种型号的客车，接送学生前往实训基地． 素材一 租赁1辆A型客车与租赁2辆B型客车的单日费用相等． 素材二 租赁3辆A型客车和4辆B型客车的单日总费用为3200元． 素材三 该校计划租赁两种客车共8辆，且A型客车的数量不超过B型客车数量的3倍，两种客车均需租赁． 请完成下列任务： (1)任务一：每辆A型客车、每辆B型客车的单日租赁费用分别是多少元？ (2)任务二：若A型客车可乘坐40人、B型客车可乘坐25人，研学学生共260人，要求所有学生都能乘坐，且A型客车不少于4辆，求单日租赁总费用的最小值及对应的租赁方案． 【答案】(1)每辆A 型客车单日租赁费用为640元，每辆B型客车单日租赁费用为320元； (2)单日租赁总费用的最小值为3840元，此时对应的租赁方案为：租用A型客车4辆，B型客车4辆． 【详解】（1）解：设每辆 A 型客车单日租赁费用为 x 元，每辆B型客车单日租赁费用为y元， 依题意，得：， 解得：， 答：每辆A型客车单日租赁费用为640元，每辆B型客车单日租赁费用为320元； （2）解：设租赁A型客车a辆，则B型客车辆；单日租赁总费用为W元， ， ∵A型客车的数量不超过B型客车数量的3倍， ∴， ∴， ∵A型客车不少于4辆， ∴， ∴， 由知，W随a增大而增大， 时，W最小值为3840元， 答：单日租赁总费用的最小值为3840元，此时对应的租赁方案为：租用A型客车 4 辆，B型客车4辆． 11．综合与实践：租船与购票方案． 背景：某旅行团由成人、少年与儿童组成，儿童与成人共34人，少年比儿童的2倍少4人，少年比成人的一半多4人． 素材：如图，景区有甲船、乙船各条，旅行团租船（一客一位，不分批）从景点前往景点．到达后，购票进入景点，现剩余经费元用于购买门票． 景点B门票报价表 单人票价格 元/人 成人 全价 少年 半价 儿童 免票 团队票价格 元/团，人组团，免票不计入成团人数 (1)问题1：该旅行团中成人、少年与儿童分别是多少人？ (2)问题2：如何租用确保船只刚好坐满？根据要求设计方案． (3)问题3：在经费不超额的前提下，请你设计一个购票费用最省的方案． 【答案】(1)旅游团中成人、少年与儿童分别是24人、16人、10人 (2)租用甲船5条，乙船2条 (3)购票费用最省的方案为购买2份团队票，10张半价票，购票费用为1700元 【分析】（1）设旅行团中儿童人，成人人，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设租用甲船条，乙船条，根据题意列出二元一次方程，然后根据，均为整数求解； （3）根据题意分两种情况讨论，分别列式计算比较即可． 【详解】（1）解：设旅行团中儿童人，成人人． 由题意，得， 解得， 所以（人）． 答：旅行团中成人、少年与儿童分别是24人、16人、10人； （2）解：设租用甲船条，乙船条． 由题意得， 所以， 因为，均为整数，且，， 所以， 答：租用甲船5条，乙船2条； （3）解：因为1份团队票的费用低于15张全价票的费用，而成人已超过15人， 所以购买团队票会更省，分两种情况： ①当购买1份团队票时，费用，不超额； ②当购买2份团队票时，费用，费用更省； 答：购票费用最省的方案为购买2份团队票，10张半价票，购票费用为1700元． 12.七年级有400名学生到厦门参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；已知小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请设计出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1) 每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生. (2) 最省钱的租车方案为租小客车2辆，大客车8辆，最少租金是2300元. 【分析】先根据题干给出的两种运送人数的条件，设未知数列出方程组求解得到每辆车的载客量，再根据总人数和每辆车坐满的条件列出等式，求出所有符合要求的非负整数租车方案，分别计算各方案租金后比较，得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生 根据题意得 解得 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； （2）解：由题意得，租车满足 ，其中，为非负整数 整理等式得 ， 变形得 因为为非负整数， 所以必须是4的倍数， 分情况计算租金： 当，时，租金为 (元)； 当，时，租金为 (元)； 当，时，租金为 (元)； 当时，，不符合要求， 因为 ， 所以最省钱的方案是租小客车2辆，大客车8辆，最少租金为2300元 答：最省钱的租车方案是租小客车2辆，大客车8辆，最少租金为2300元． 类型2 购买问题 13.列方程（组）解下列问题： 某乡镇农产品展销店售卖A款土蜂蜜与B款菌菇干货．已知卖出1罐A款土蜂蜜和1袋B款菌菇的总销售额为65元；卖出5罐A款土蜂蜜和2袋B款菌菇的总销售额为250元． (1)求每罐A款土蜂蜜、每袋B款菌菇的售价分别为多少元？ (2)该展销店在8月份共销售A款土蜂蜜2000罐，B款菌菇3000袋．由于B款菌菇采摘成本上涨，从9月1日起，每袋B款菌菇的售价增加，A款蜂蜜的售价保持不变．统计9月的销量和销售额发现：A款蜂蜜的销量在8月的基础上降低，B款菌菇的销量在8月的基础上增加，这两款产品的总销售额在8月的基础上增加，求的值． 【答案】(1) 每罐A款土蜂蜜售价为40元，每袋B款菌菇售价为25元 (2) 的值为16 【分析】（1）根据两组总销售额的等量关系，设未知数列二元一次方程组求解； （2）分别表示9月两款产品的销售额，结合总销售额的增长比例列方程求解． 【详解】（1）解：设每罐A款土蜂蜜售价为元，每袋B款菌菇售价为元， 根据题意，得 解得 答：每罐A款土蜂蜜售价为40元，每袋B款菌菇售价为25元； （2）解：8月总销售额为（元）， 9月A款蜂蜜销量为罐，B款菌菇销量为袋，B款菌菇售价为元/袋， 根据题意，得 化简得 解得 答：的值为16． 14.【综合与实践】： 背景 为庆祝2026年的到来，某班级计划在元旦节这天开展新年联欢活动，同学们提前购买了A、B两种款式的中国结布置教室． 素材 若购买10个A款中国结，5个B款中国结，共需160元；若购买15个A款中国结，10个B款中国结，共需270元． 问题解决 (1)任务1：问A款中国结和B款中国结的销售单价各是多少元？ (2)任务2：购买A、B两种款式的中国结共19个，刚好花了220元，请问购买A款中国结和B款中国结各多少个？ 【答案】(1)A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元； (2)购买A款中国结个，则购买B款中国结个． 【分析】（1）设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，根据购买的数量和对应的费用列出方程组并解方程组即可； （2）设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，根据刚好花了220元列出方程并解方程即可． 【详解】（1）解：设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，则 解得 答：A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元； （2）解：设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，则 解得， 则， 答：购买A款中国结个，则购买B款中国结个． 15.如图，某化工厂与，两地有公路和铁路相连．这家工厂从地购买每吨元的原料运回工厂，制成每吨元的产品运到地．已知公路的运价为元／（吨），铁路的运价为元／（吨）．设这批原料有吨，生产成的产品有吨． (1)这批原料从地运回，生产成产品运到地，若两次运输共支出公路运费元，铁路运费元，问这批原料有多少吨？ (2)已知生产这批产品，其它成本费为元，每吨的生产费为元，若这批产品的毛利润为元，直接写出的值．（规定：毛利润销售额原料费其它成本费生产费运输费） 【答案】(1)吨 (2)元 【分析】（1）根据“两次运输共支出公路运费元，铁路运费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用毛利润销售额原料费其它成本费生产费运输费，即可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得， 答：这批原料有吨． （2）解：由（1）得，生产成的产品有吨． 根据题意得： ． 答：的值为元． 16.某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下： ①篮球、足球、排球各买一个的价格共为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)学校要购买篮球、足球共10个，设购买篮球m个，篮球、足球的总费用为w元，求w关于m的函数解析式 (3)在（2）的条件下，且购买足球的个数不超过篮球个数的2倍．请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元 (2)w关于m的函数解析式为 (3)购买4个篮球时花费最少，最少费用540元 【分析】（1）设每个篮球元，每个足球元，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）根据题意列出函数解析式即可； （3）根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）解：购买篮球个，则足球个，依题意，得 ∴w关于m的函数解析式为； （3）解：由题意，得 解得， ∵为正整数， ∴，且为正整数， ∵函数中，，随增大而增大， ∴当取最小值4时，总费用最少，为 答：购买4个篮球时花费最少，最少费用540元． 17.小刚去文具店购买画笔，第一次用27元买了3支A型画笔和4支B型画笔，第二次用49元买了8支A型画笔和3支B型画笔． (1)求A型画笔和B型画笔的单价． (2)小刚使用两种画笔后，决定以后使用A型画笔，但感觉其价格稍贵，和文具店沟通后，文具店给出以下优惠方案：若一次购买A型画笔不超过24支，每支打九折；若一次购买A型画笔超过24支，则前24支不打折，超过的部分打七五折． 设小刚购买A型画笔支，购买费用为元，请写出关于的函数关系式． (3)在（2）的优惠方案下，若小刚计划用210元（全部花完）购买A型画笔，则能购买多少支A型画笔？ 【答案】(1)A型画笔的单价为5元，B型画笔的单价为3元 (2)（其中x是自然数） (3)购买48支A型画笔 【分析】（1）设A型画笔的单价为元，B型画笔的单价为元．根据“27元买了3支A型画笔和4支B型画笔，49元买了8支A型画笔和3支B型画笔”列出二元一次方程组，求解即可； （2）分和两种情况列出函数关系式即可； （3）把代入（2）中的函数关系式，求解即可． 【详解】（1）解：设A型画笔的单价为元，B型画笔的单价为元．根据题意，得 ，解得． 答：A型画笔的单价为5元，B型画笔的单价为3元． （2）解：当时，． 当时，． 关于的函数关系式为（其中x是自然数）． （3）解：当，解得． ， ∴不合题意，舍去． 当，解得． ， 符合题意． 答：若小刚计划用210元（全部花完）购买A型画笔，则能购买48支A型画笔． 类型3 分配问题 18.《考工记》是我国古代的一部工科巨著，其中记载了制作鼎和铜镜的铜锡比例．某工厂按书中记载比例制作鼎和铜镜，制作一个鼎需要12千克铜和2千克锡，制作一面铜镜需要1千克铜和1千克锡，现用60千克铜和20千克锡制作鼎和铜镜、这些铜和锡恰好全部用完时．可制作多少个鼎和多少面铜镜？ 【答案】可制作4个鼎和12面铜镜 【分析】设制作x个鼎、y面铜镜，根据铜总质量、锡总质量列出二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：设这些铜和锡恰好全部用完时，可制作个鼎和面铜镜．根据题意，得      解得     答：这些铜和锡恰好全部用完时，可制作4个鼎和12面铜镜． 19.某公司计划租用甲乙两种型号的冷柜车运送吨水果，甲型冷柜车每天运送量为吨，乙型冷柜车每天运送量为吨．甲型冷柜车先运送了若干天之后退出，剩余的水果由乙型冷柜车负责运送直至完成，整个运送过程总共用时天．求甲乙两种型号的冷柜车各运送多少天？若设甲型冷柜车运送吨水果，乙型冷柜车运送吨水果，请列方程组并解答． 【答案】解：根据题意得：， 原方程组整理得， 由①得，， 将代入②得， 解得， 将代入①得， ∴， 甲型冷柜车运送天数为（天）， 乙型冷柜车运送天数为（天）． 答：甲型冷柜车运送8天，乙型冷柜车运送4天． 【分析】根据“租用甲乙两种型号的冷柜车运送吨水果”得到，然后根据“整个运送过程总共用时天”列出方程，即可得到方程组，再由代入消元法求解即可． 【详解】略 20.图1是一款学生课桌，主要由一块桌面、一块桌腿挡板及部分铁架组成．经测量，该款课桌的桌面为长方形板材，尺寸为，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为．学校批量采购课桌，某工厂仓库已储备足量课桌铁架，仅需购进板材加工桌面和桌腿挡板．如图2所示，该型号板材为长方形，长，宽．（板材切割无损耗，仅沿直线裁切，裁切后的小块板材不可拼接使用） 【任务一】拟定裁切方式 (1)若将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板_______块； (2)若将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料．请求出所有满足条件的裁切方案（每种方案需明确：单张板材裁切出桌面多少块，桌腿挡板多少块）； 【任务二】确定搭配数量 (3)现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板，缺少的桌面和桌腿挡板均需通过采购该型号板材进行裁切获得． 要求： ①从【任务一】第（2）问设计出的所有可行裁切方案中，任选其中两种不同的方案进行搭配裁切，（即这两种方案均须被使用）； ②裁切出的所有桌面、桌腿挡板恰好全部用完、无剩余板材； 请直接写出满足条件的该型号板材需要购买多少张，以及所选的两种裁切方案各需使用多少张板材． 【答案】(1) (2)解：∵， ∴只能先将的板材先切成四个的小长方形板材，再去切割桌面或者桌腿挡板， ∵桌面为长方形板材，尺寸为，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为， ∴每个小长方形板材可以切成一块桌面和一块桌腿挡板或四块桌腿挡板， ∴板材最多可以切出四块桌面， ∵将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料， ∴满足条件的裁切方案： 方案一：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； 方案二：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； 方案三：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； 方案四：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； (3)该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为张和张板材；或者方案一和方案三用到的板材分别为张和张板材 【分析】（1）将的板材先切成四个的小长方形板材，每个又可以切成四个的小长方形板材即可求解； （2）先将的板材先切成四个的小长方形板材，每个小长方形板材可以切成一块桌面和一块桌腿挡板或四块桌腿挡板，据此设计方案即可； （3）根据题意还需要块桌面，块桌腿挡板，分别选择两种方案，设出每种方案需要用到的板材数量，根据桌面和桌腿挡板数量列方程组求解即可． 【详解】（1）解：将的板材先切成四个的小长方形板材，每个又可以切成四个的小长方形板材，即桌腿挡板尺寸， ∴将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板块； （2）略 （3）解：∵现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板， ∴还需要块桌面，块桌腿挡板， ①选择方案一和方案二， 设方案一和方案二用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得， 此时该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为张和张板材； ②选择方案一和方案三， 设方案一和方案三用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得， 此时该型号板材需要购买张，方案一和方案三用到的板材分别为张和张板材； ③选择方案一和方案四， 设方案一和方案四用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得不是整数，不合题意； ④选择方案二和方案三， 设方案二和方案三用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得，不合题意； ⑤选择方案二和方案四， 设方案二和方案四用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得，不合题意； ⑥选择方案三和方案四， 设方案三和方案四用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得，不合题意； 综上所述，该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为块和块张板材；或者方案一和方案三用到的板材分别为块和块张板材． 21.项目主题：探究纸盒配套的最优方案 素材一 甲车间的工人负责生产如图所示的长方形纸板和正方形纸板． 素材二 乙车间的工人负责用甲车间工人生产的纸板制作出如图所示的竖式和横式两种不同长方体形状的无盖纸盒（不考虑裁剪和接缝）． (1)任务一：请根据以上信息，填写下表： 无盖纸盒 所需长方形纸板/张 所需正方形纸板/张 竖式 横式 (2)任务二：若甲车间工人生产了长方形纸板张，正方形纸板张，且乙车间工人在制作竖式、横式两种纸盒时将纸板恰好用完，则乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为多少？ (3)任务三：若甲车间共有名工人，每名工人一天能生产张长方形纸板或张正方形纸板，已知个竖式纸盒与个横式纸盒配成一套，要使甲车间一天生产的纸板与乙车间所做成的产品恰好配套，则甲车间应该如何安排工人生产两种纸板？ 【答案】(1) 无盖纸盒 所需长方形纸板/张 所需正方形纸板/张 竖式 横式 (2)乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为个和个 (3)甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板 【分析】（1）分析两种无盖纸盒构造，数出各自所需长方形、正方形纸板数量填表； （2）设工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为，个，根据长、正方形纸板总量列二元一次方程组，求解得纸盒数量； （3）设甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，结合总人数和竖横的配套比例列方程组，算出工人分配方案． 【详解】（1）解：据图可知，竖式无盖纸盒侧面需要个长方形纸板，底面需要个正方形纸板， 横式无盖纸盒侧面需要个长方形纸板和个正方形纸板，底面需要个长方形纸板． （2）解：设乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为，个， 根据题意可得， 解得， 故乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为个和个． （3）解：设甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板， 根据题意可得， 解得， 故甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板． 22．项目化学习 校园社团器材采购规划 素材一 学校学生会采购两类活动器材套装：科创套装、美术套装，每套所需管理志愿者人数、单套采购费用如下表： 器材类型 每套需管理志愿者人数 单套采购费用（元） 科创套装 2 800 美术套装 3 1100 素材二 本次采购分配志愿者共 34 名，所有志愿者全部用来管理两类器材，每人只负责一类器材；两类器材采购总花费 12800 元． (1)求科创套装、美术套装分别采购多少套？ (2)学校新增社团后，可用志愿者共 40 名，全部投入器材管理，要求美术套装采购数量多于 9 套．若要让器材采购总花费最低，科创套装、美术套装应各采购多少套？ 【答案】(1)采购科创套装套，采购美术套装套 (2)当采购科创套装套，美术套装套时，采购总花费最低 【分析】（1）设采购科创套装套，采购美术套装套，列二元一次方程组求解； （2）设采购套科创套装，采购美术套装套，可列二元一次方程，根据，均为非负整数，且，求出方程的解即为采购方案． 【详解】（1）解：设采购科创套装套，采购美术套装套， 根据题意得：， 解得：， 答：采购科创套装套，采购美术套装套； （2）解：设采购套科创套装，采购美术套装套， 根据题意得：， 整理可得：， 又，均为非负整数，且， 或， 共有种采购方案， 方案1：采购总成本为（元） 方案2：采购总成本为（元）； ， 当采购科创套装套，美术套装套时，采购总花费最低． 23.综合与实践：设计制作纸盒方案 如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片． 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 ① n个竖式无盖纸盒 n ② (1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示） (2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【答案】(1)； (2)能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个． (3)分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． 【分析】（1）根据制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片，竖式无盖纸盒需要和4个长方形纸片列代数式即可． （2）能做成横式无盖纸盒x个，制作竖式无盖纸盒y个，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （3）设分配x名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，则一天生产长方形纸板张，生产正方形纸板张，设生产横式无盖纸盒k个，制作竖式无盖纸盒h个，配套要求，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片， 则制作横式无盖纸盒m个，则需要个正方形纸片， ∵竖式无盖纸盒需要4个长方形纸片． 则制作竖式无盖纸盒n个，则需要个长方形纸片， 故答案为：，． （2）解：能做成横式无盖纸盒x个，制作竖式无盖纸盒y个， ， 解得：， 答：能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个． （3）解：设分配x名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板， 则一天生产长方形纸板张，生产正方形纸板张， 设生产横式无盖纸盒k个，制作竖式无盖纸盒h个，配套要求， 根据题意得：， ∵， ∴原式变成， 解得：， ∴， 答：分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． 类型4 工程问题 24.骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 【答案】一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车 【分析】设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车．已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．据此列出方程组并解方程组即可． 【详解】解：设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 由题意得． 解得． 一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 25.为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用的天数，，． (2)整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【分析】（1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用的天数， 根据题意，得 （2）解：选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 ②，得．③ ①，得．④ ③－④，得．把代入①，得． 答：整治任务完成后，甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 选小华同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道用天，乙工程队整治河道用天，根据题意，得 ． ①，得．③ ②－③，得， ．把代入①，得， ，． 答：整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 26.山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 【答案】(1)甲工程队修建道路的长度；乙工程队修建道路的长度 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】（1）根据题意及小红同学列出的方程组即可得到答案； （2）设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天，由题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是甲工程队修建道路的长度，未知数表示的是乙工程队修建道路的长度； （2）解：设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天， 据题意得， 解得， 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 类型5 数字问题 27.小明爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔看到一个里程碑上的数，下面是对三个数的描述．请确定小明在时看到的里程碑上的数． 是一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为7． 十位数字和个位数字与时所看到的正好互换了． 比时看到的两位数中间多了个0． 【答案】小明在时看到的里程碑上的数是16． 【分析】设看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据两数字之和为7，匀速行驶1小时的路程相等列方程组求解． 【详解】解：设时看到的数的十位数字为，个位数字为． 根据题意，得， 解得：， ∴． 答：小明在时看到的里程碑上的数是16． 28.爸爸骑摩托车带着小靖在公路上匀速行驶，小靖每隔一段时间看到的里程表上的数如下所示： 时刻 里程表 上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与8:00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比8:00时看到的两位数中间多了个0 设8:00时里程表上的这个两位数十位数字为，个位数字为，回答下列问题： (1)用含的代数式表示：时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数____； (2)列方程组并求出时里程表上的数． 【答案】(1)；；； (2)，时里程表上的数为51 【分析】（1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字可求得时两位数；同样用数位的概念进行表达即可表示时和时的数； （2）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程． 【详解】（1）解：∵时里程表上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y， ∴时里程表上的数可表示为； ∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴时看到里程表上的数表示为； ∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴时看到里程表上的数； （2）解：根据题意，得， 解得：． ∴小靖在时看到里程表上的两位数． 答：小靖在时看到里程表上的两位数是51． 29.一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)35 (2)大18 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，然后进一步即可得出答案． （2）对调后的新两位数为53，然后和原数相减即可得出答案． （3）设该两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出，由a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8，此时（不是个位数），不符合题意， 【详解】（1）解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y， 根据题意，得 解得， ∴这个两位数是． （2）解：对调后的新两位数为53， 答：新两位数比原两位数大18． （3）解：不存在 理由：设该两位数的十位数字为a，个位数字为b， 根据题意得 整理方程②： ，即 ． ∵ a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8， 此时（不是个位数），不符合题意， 故不存在这样的两位数． 30.根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 31.甲正在阅读《三国演义》，每天所读页数相同，当他读完第84页时，乙从头开始阅读同一本书籍，每天所读页数相同；下列表格记录了甲乙两人同读《三国演义》的进度．例如：第五天结束时，两人已读页数之和为424，此时甲比乙多读了24页，即甲5天读的总页数乙5天读的总页数，甲5天读的总页数乙5天读的总页数． 同读天数 1 2 3 4 5 已读页数之和 152 220 288 424 已读页数之差 72 60 48 24 (1)请直接写出表格中的值； (2)列方程求解：甲、乙两人每天各读书多少页？ (3)若这本书共有520页，从第6天起，甲每天比原来多读页，乙每天所读页数不变，这样到第11天结束时，甲、乙两人已读页数相同，求的值． 【答案】(1) ， (2) 甲每天读书28页，乙每天读书40页 (3) 的值为8 【分析】（1）根据表格中已读页数之和、之差的每日变化量，计算第4天的对应值； （2）设甲、乙每天读书页数为未知数，结合第5天的页数和与差列方程组求解； （3）根据第11天结束时两人已读页数相等的等量关系列方程求解． 【详解】（1）解：观察表格数据：已读页数之和每日增加量为， ∴， 已读页数之差每日减少量为， ∴； （2）解：设甲每天读书页，乙每天读书页， 根据题意，得 ， 解得：，， 答：甲每天读书28页，乙每天读书40页； （3）解：由题意，到第11天结束时，乙的总读书页数为页， 甲前5天读书页数为页， 第6天到第11天共6天，每天读书页， 甲的总读书页数为， ∵两人已读页数相同， ∴， 整理得， 解得， 答：的值为8． 类型6 其他问题 32．相传，阿基米德在洗澡时发现了著名的阿基米德原理，并据此鉴定了纯金皇冠是否掺假．假设皇冠浸没在水中时排开的水的体积为，皇冠的质量是，这个皇冠是纯金的吗？如果掺入了白银，你知道皇冠中到底有黄金多少立方厘米，白银多少立方厘米吗？（，黄金的质量约为，白银的质量约为） 【答案】这个皇冠不是纯金的． 皇冠中黄金的体积为，白银的体积为． 【分析】计算体积为的纯金质量，与皇冠实际质量比较判断是否为纯金；根据皇冠的总体积与总质量列二元一次方程组，求解黄金和白银的体积． 【详解】解：∵ 皇冠排开水的体积为，且， ∴皇冠的体积为． 若皇冠为纯金，则其质量为， ∵ ， ∴ 这个皇冠不是纯金的． 设皇冠中黄金的体积为，白银的体积为． 根据题意，得， 解得， 答：这个皇冠不是纯金的，其中黄金的体积为，白银的体积为． 33．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表中是某省的电价标准（每月），例如，方女士家5月份用电500度，电费二档电价三档电价元，李先生家5月份用电460度，交费316元． 阶梯 电量 电价 一档 电量 元/度 二档 电量 二档电价 三档 电量 三档电价 请解答下列问题： (1)若王先生家5月份用电160度，则电费多少元？ (2)求二档电价和三档电价分别为多少？ (3)若何女士家5月份用电600度，则电费多少元？ 【答案】(1)96元 (2)二档电价为0.7元/度，三档电价为0.9元/度 (3)442元 【分析】（1）根据所给收费标准列式求解即可； （2）设二档电价为x元/度，三档电价为y元/度，根据方女士和李先生家的电费建立方程组求解即可； （3）根据所给收费标准列式求解即可． 【详解】（1）解：（元）． 答：王先生家5月份应交电费96元． （2）解：设二档电价为x元/度，三档电价为y元/度， 依题意，得， 解得． 答：二档电价为0.7元/度，三档电价为0.9元/度． （3）解：（元）． 答：何女士家5月份应交电费442元． 34．列方程组解应用题： 2026年5月11日凌晨，伦敦世乒赛落下帷幕，中国女队成功卫冕考比伦杯，实现世乒赛团体七连冠，男队成功卫冕斯韦思林杯，实现世乒赛团体十二连冠，两队共同捍卫了国乒荣耀．如图，斯韦思林杯每层底座高度都相等，底座下面的垫台高与一层底座高之比为，杯身高比6层底座高多，垫台高与杯身高之和是，求这届斯韦思林杯的总高度．    【答案】 【分析】设垫台高为，则一层底座高为，则6层底座高为，杯身高为，根据题意列出方程组并解方程组得到的值，即可求出斯韦思林杯的总高度． 【详解】解：设垫台高为，则每层底座高为，则6层底座高为，杯身高为， 根据题意可得， 解得， 则这届斯韦思林杯的总高度为． 35．每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，积极倡导并实践 “低碳” 生活是我们每一个人的社会责任．小亮统计自家5、6月的能耗数据，制成家庭月度 “碳足迹” 统计表． 姓名：小亮 家庭人数：4人 月份 家庭用电消耗量（度） 天然气消耗量（） 总碳足迹（） 月 月 （家庭碳足迹计算公式：总碳足迹=家庭用电消耗量×每度电的碳排放量+天然气消耗量×每立方米天然气的碳排放量） 设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为，请列二元一次方程组求出，的值． 【答案】 【分析】设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为． 根据题意得 化简整理得 用得， 解得， 将代入中得， 解得， ∴方程组的解为， 答：每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为． 36．丰富的营养对学生的身体和智力发展具有至关重要的作用．小畅家长为初中生小畅订购了某种盒装牛奶和袋装坚果作为早餐，它们的营养成分表如表： 食品种类营养成分 一盒牛奶 一袋坚果 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天早晨，小畅从这两种食品中恰好摄入能量和蛋白质． (1)求这天小畅早餐的牛奶及坚果数量； (2)初中生每日脂肪摄入量的标准约为，若小畅这天其他时间段从其他食品中共摄入脂肪，试判断这天小畅脂肪摄入量是否超标，并说明理由． 【答案】(1)1盒牛奶，2袋坚果 (2)这天小畅脂肪摄入量没有超标 【分析】（1）根据题干给出的总能量和总蛋白质摄入量，设未知数列出二元一次方程组，求解即可得到两种食品的数量； （2）先计算出早餐摄入的脂肪量，加上其他时间段摄入的脂肪量得到总脂肪量，再和标准范围比较即可判断是否超标． 【详解】（1）解：设这天小畅早餐食用了盒牛奶，袋坚果， 根据题意列方程组， 化简方程组得 解得 即这天小畅早餐吃了1盒牛奶，2袋坚果； （2）解： ∵初中生每日脂肪摄入量的标准约为，且 ∴总脂肪摄入量在标准摄入量范围内 这天小畅脂肪摄入量没有超标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $