专题09 期中复习 易错题型练习 -2026-2027学年北师大版八年级数学上册
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内容正文：
专题09 期中复习易错20大题型
题型 1勾股定理直接计算、分清斜边直角边(多解)
题型 2 立体图形最短路径(圆柱、长方体展开)
题型 3勾股逆定理判定直角三角形、网格直角判定
题型 4 勾股定理折叠求线段长
题型 5 平方根、算术平方根、立方根概念辨析
题型 6 无理数识别、实数分类、无理数估算大小
题型 7 二次根式化简、隐含条件(被开方数>0)
题型 8 二次根式混合运算、分母有理化
题型 9 平面直角坐标系点的象限判断、坐标轴上点特征
题型 10 点关于 x轴、y 轴对称坐标
题型 11 点到坐标轴距离、平行坐标轴线段长度计算
题型 12 割补法求坐标系内三角形面积
题型 13 已知面积反求点坐标(多解)
题型 14 一次函数定义辨析、求参数(k ≠ 0，次数为 1)
题型 15 一次函数k、b符号与图像位置判断
题型 16 一次函数增减性，比较函数值大小
题型 17 待定系数法求一次函数解析式
题型 18 一次函数与坐标轴围成三角形面积计算
题型 19 一次函数实际应用(行程、方案问题)
题型 20 一次函数 +勾股定理几何综合
题型 1勾股定理直接计算、分清斜边直角边(多解)
1．在中，，，则（ ）
A．28 B．28或10 C．28或100 D．10
【答案】C
【详解】解：在中，，，
①若为斜边，则；
②若为斜边，则；
∴或．
【点睛】运用勾股定理时，一定要先弄清哪个角是直角，再分别确定哪条边是直角边，哪条边是斜边．
2．已知一个直角三角形的两边长分别为12和13，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．5 C．313 D．25或313
【答案】D
【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分情况讨论，避免漏解．
【详解】解：由直角三角形两边长为12和13，未明确两条边是直角边还是斜边，分两种情况讨论：
①当12和13均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得，第三边长的平方为；
②当13为斜边，12为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得，第三边长的平方为；
∴第三边长的平方是25或313．
3．若直角三角形的两边长分别是5和4，则它的第三边边长是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】分两种情况：长为5的边是斜边和长为5的边是直角边，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当长为5的边是斜边时，则第三边长；
当长为5的边是直角边时，则第三边长
∴该直角三角形的第三边长为或．
题型 2 立体图形最短路径(圆柱、长方体展开)
4．如图，圆柱的底面周长为，，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，则移动的最短距离为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．20
【答案】A
【分析】将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵为的中点，高，
∴，
将圆柱侧面展开，如图所示：
∵这个圆柱的底面周长为，
∴在侧面展开图中，，，
∴在中，，
即动点从点出发沿着圆柱的侧面爬到点的最短距离为．
5．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为，和，和是两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物．若这只蚂蚁从顶点出发，沿着表面爬行到顶点处，则最短的路线长为（ ）
A．17cm B．13cm C．12cm D．9cm
【答案】B
【详解】台阶的展开图如图所示，连接，标示点．
∵，，
∴在中，，
即蚂蚁爬行的最短路线长为．
6．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为 ，在杯内离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜜蜂点的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用圆柱的侧面展开图，结合两点之间线段最短（将军饮马问题）、勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图所示，点在圆柱侧面展开图所成矩形两边对边中点的连线上，过点作关于矩形上面一条边的对称点，连结，则的长就是蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离．
过点作于点，
由题意得：，
在直角三角形中，由勾股定理得：
，
蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为．
7．如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，C为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点C的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长．
【详解】解：根据题意如图，
∵正方体棱长为，
，．
在中， ．
从顶点A爬行到点C的最短路程是．
题型 3勾股逆定理判定直角三角形、网格直角判定
8．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A． B． C． D．7，24，25
【答案】C
【分析】根据勾股定理逆定理进行判断即可．
【详解】解：A：，，能作为直角三角形三边长度，故A不符合题意；
B：，，能作为直角三角形三边长度，故B不符合题意；
C：，，不能作为直角三角形三边长度，故C符合题意；
D：，，能作为直角三角形三边长度，故D不符合题意．
9．如图，在正方形网格中有两条直线与，则的度数为__________．
【答案】/45度
【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，利用勾股定理及其逆定理得是直角三角形，，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：由勾股定理得：
，，，
，，
是直角三角形，，
，
故答案为：．
10．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 __．
【答案】4
【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】由勾股定理得：，，，
，
是直角三角形，，，，，
，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查勾股定理和直角三角形斜边高的求法，掌握这些是本题关键．
11．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求点A到边的距离．
【答案】(1)
解：是直角三角形．
理由：由题意，得，，，
∴，
∴是直角三角形，且．
(2)点A到边的距离为2
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
（1）由题意易得，，，然后利用勾股定理逆定理可求解；
（2）设点A到边的距离为h，则由等面积法可进行求解．
【详解】（1）略
（2）∵，
∴．
设点A到边的距离为h，
∴，即，
∴，即点A到边的距离为2．
题型 4 勾股定理折叠求线段长
12．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长度为（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4 D．5
【答案】C
【分析】利用折叠的性质得出，设，则，在中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵D是的中点，，
∴，
设，则，
由折叠的性质可知，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴．
13．如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】在中，由勾股定理得，由翻折可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可．
【详解】解：∵在中，，有，
∴，
∵沿翻折，落在点处，沿翻折，点与点重合，
∴， ， ， ，
∵，
∴，即．
设，则，，
在中，有，
∴，
解得，
∴的长为．
14．在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），．点在边上，沿折叠，点落在边的处．则的面积为（ ）
A．3 B．4 C． D．2.5
【答案】C
【分析】根据折叠的性质可得，接着在中，利用勾股定理求得，设，在中利用勾股定理列式计算求得，最后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：由折叠可得，
∴，，
∵四边形是长方形，，，
∴，，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，得，
解得，，
∴的面积为．
题型 5 平方根、算术平方根、立方根概念辨析
15．计算（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【详解】解：．
16．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出，再结合平方根的定义计算即可得出结果．
【详解】解：，
9的平方根是．
17．实数64的立方根是（ ）
A．4 B． C．16 D．32
【答案】A
【分析】根据立方根的定义计算即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴实数64的立方根是．
题型 6 无理数识别、实数分类、无理数估算大小
18．在，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】、、、都是有理数；
、、（相邻两个之间的个数逐次加）都是无理数，共个．
19．介于两个相邻的整数之间，下列判断正确的是（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】B
【详解】解： ，，且，
，即，
因此介于和之间，
故选：B．
20．如图，若数轴上的点，，，表示数，，，，则表示数的点应在（ ）
A．，之间 B．，之间 C．，之间 D．点右侧
【答案】B
【分析】先估算出的范围，进而求出的范围，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故表示数的点应在，之间．
21．估计在哪两个整数之间（ ）
A．24与25 B．3与4 C．4与5 D．5与6
【答案】D
【分析】先估算的取值范围，再根据不等式性质得到的范围，即可得到结果．
【详解】解：
，即
不等式三边同时加1，得
因此在和之间，
故选D．
题型 7 二次根式化简、隐含条件(被开方数>0)
22．若实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由数轴可知，
∴，
即
．
23．实数，在数轴上对应点的位置如图所示（，且），化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数轴上的位置，定出的符号，从而得解．
【详解】解：，且，
，
．
，，
，
．
24．若，化简的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵
∴
题型 8 二次根式混合运算、分母有理化
25．计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用二次根式的性质，化简成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式的乘除混合运算法则解答即可；
（3）利用二次根式的混合运算，解答即可；
（4）根据二次根式的分母有理化，完全平方公式，二次根式的运算，解答即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
（4）解：原式
．
26．计算
(1) ；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）先计算二次根式乘除法，再化简二次根式，最后计算加减法即可得到答案；
（3）先化简二次根式，再计算小括号内的加减法，最后计算除法即可；
（4）先根据完全平方公式去括号，然后计算加减法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
27．利用分母有理化解决问题：
(1)将分母有理化得_________，分母有理化得_________．
(2)，，求的值；
(3)化简．
【答案】(1)；
(2)18
(3)
【分析】（1）利用分母有理化的方法计算即可；
（2）先利用分母有理化求出，，再利用完全平方公式代入计算即可；
（3）利用分母有理化的方法计算即可．
【详解】（1）解：，
；
（2）解： ，，
；
（3）解：
．
题型 9 平面直角坐标系点的象限判断、坐标轴上点特征
28．在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察图形确定小手盖住的点位于第二象限，根据第二象限内点的坐标符号特征进行判断即可．
【详解】解：由图可知，小手盖住的点位于第二象限，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正．
A．横坐标为负，纵坐标为正，符合题意；
B．横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限，不符合题意；
C．横坐标为正，纵坐标为正，在第一象限，不符合题意；
D．横坐标为负，纵坐标为负，在第三象限，不符合题意．
29．点在（ ）
A．第二象限 B．第四象限 C．x轴上 D．y轴上
【答案】D
【详解】解：∵点的横坐标为．
∴点在轴上．
30．若点在轴上，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，在第三象限．
题型 10 点关于 x轴、y 轴对称坐标
31．点关于轴对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为．
32．点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，
∴点关于轴对称的点的坐标为．
33．已知在直角坐标系中的位置如图所示，如果与关于轴对称，那么点的对应点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标系中对称点的坐标特征，关键掌握关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数．
先与关于轴对称推出点和点也关于轴对称，再通过平面直角坐标系得到点坐标，然后求解点的坐标即可．
【详解】解： ∵与关于轴对称，
∴点和点也关于轴对称，
∵由图可知点的坐标为，
∴点的坐标为．
故选：B．
题型 11 点到坐标轴距离、平行坐标轴线段长度计算
34．已知：点，，根据下列条件解决问题．
(1)若轴，求点的坐标；
(2)若点在第二象限的角平分线上，求、两点间的距离．
【答案】(1)
(2)、两点间的距离为
【分析】（1）根据平行于y轴的直线上的所有点，横坐标相等求出a的值，从而求出的坐标；
（2）根据第二象限角平分线上的点横坐标小于0，纵坐标大于0，且横纵坐标的绝对值相等，求出B点坐标，再根据两点间距离公式求出结果．
【详解】（1）解：线段轴，
，
解得：，
点；
（2）点在第二象限的角平分线上，
，且，，即，
解得：，
点B的坐标为，
．
35．已知点，分别根据下列条件求出点的坐标．
(1)点的坐标为，直线轴；
(2)点到轴、轴的距离相等．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等列式求出a，然后解答即可；
（2）根据点M到两坐标轴的距离相等列出方程求出a，再求解即可．
【详解】（1）解：∵轴，
∴点的横坐标相同，
∵点，点的坐标为，
∴，解得．
∴．
∴点的坐标为．
（2）解：∵点到轴、轴的距离相等，
，
或，
解得：或．
∴点的坐标为或．
36．在平面直角坐标系中，有，，三点．
(1)当轴时，求A，B两点间的距离．
(2)当轴于点D，且时，求点C的坐标．
【答案】(1)3
(2)C点坐标为或
【分析】（1）根据轴得出A、B点的纵坐标相同，由此求出的值，即可得出结果；
（2）由题意可得，求出的值即可得出结果．
【详解】（1）解：∵轴，
∴A、B点的纵坐标相同，
∴，
解得，
∴，，
∴A，B两点间的距离；
（2）解：∵轴于点D，，
∴，
解得或，
∴C点坐标为或．
题型 12 割补法求坐标系内三角形面积
37．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
(1)在图中作出关于轴对称的（点的对应点分别为点）；
(2)在（1）的条件下，求的面积．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）因为关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，所以先根据该坐标变换规律求出的坐标，再在坐标系中描出对应点，顺次连接三点即可得到．
（2）因为和全等，面积相等，所以可以通过割补法，用包含的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积计算．
【详解】（1）解：∵，
∴关于轴对称的对应点坐标：，，，
在坐标系中描出这三个点，再依次连接、、，即可得到．
（2）解：把三角形放在一个能完全包裹它的矩形内，
该矩形横向占3个单位、纵向占4个单位，面积为；
再减去矩形内三个多余直角三角形的面积：
左上角直角三角形面积：
左下角直角三角形面积：
右侧直角三角形面积：
，
∴的面积．
∴的面积为4．
38．如图，按照要求解答：
(1)请画出关于y轴对称的．（其中，，分别是A，B，C的对应点，不写画法）
(2)直接写出，，的坐标．
(3)求出的面积．
【答案】(1)如图，即为所求；
(2)，，
(3)
【分析】（1）分别作出点关于y轴对称的，再顺次连接即可；
（2）根据图形在坐标系中的位置，直接写出答案；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：的面积
39．如图，在边长为1的正方形网格中，中任意一点经平移后对应点为 ．已知，，将作同样的平移得到．
(1)画出平移后的；
(2)直接求出的面积为___________；
(3)已知点在轴上，且的面积等于面积的一半，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由点的坐标可知，三角形向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，依次连接，即可；
（2）直接利用割补法求出三角形面积，即可；
（3）以为底，高为点到轴的距离，则，再根据的面积等于面积的一半，即可．
【详解】（1）略
（2）．
（3）∵以为底，高为点到轴的距离，
∴，
∵的面积等于面积的一半，
∴，
∴，
∵点，
∴或．
题型 13 已知面积反求点坐标(多解)
40．在平面直角坐标系中，点 分别在 y 轴、x 轴上，且 a、b 满足.
(1)求 a、b 的值；
(2)求的面积；
(3)点P在x轴上，且的面积是面积的一半，求点P的坐标.
【答案】(1)，．
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用非负性进行求解即可；
（2）直接利用面积公式进行求解即可；
（3）设，根据三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】（1）解：∵，
∴，．
∴，．
（2）解：∵，，
∴，
∴；
（3）解：设，则，
由题意，．
，
或
或
∴或．
41．如图，在平面直角坐标系中，已知，C三点，其中a，b满足，轴，且，点C在第一象限．
(1)求a，b的值和点C的坐标．
(2)在坐标系内有一点，若的面积为四边形面积的，求点P的坐标．
【答案】(1)，，点C坐标为
(2)或
【分析】（1）先求出，，即可得点A坐标为，点B坐标为，再根据轴可得点C的横坐标，然后求出进而得出答案；
（2）先求出，再根据求出m的值，则此题可解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得，，
∴点A坐标为，点B坐标为．
∵轴，
∴点C的横坐标为6．
又∵，，
∴，
∴C点纵坐标为8，
∴点C坐标为．
（2）解：．
∴，
解得．
∴点P的坐标为或．
42．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且a，b满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点．
(1)求出点A，B的坐标；
(2)如图2，若，，，分别平分，，求（用含的代数式表示）；
(3)如图3，在y轴上是否存在一点P，使得的面积和的面积相等？若存在请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在．P点坐标为或
【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性，求出、的值，即可得到点A、B的坐标；
（2）过点作，根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义可得，，再根据即可表示出；
（3）连接，根据、、三点坐标，求出的面积，设，根据列方程求出的值，设，分别表示出的面积，进而列方程求解即可．
【详解】（1）解：，
，，
，，
，；
（2）解：如图，过点作，交轴于点，
，
又，
，
，
，，
，
又，分别平分，，，
，，
，，
；
（3）解：存在．连接，如图3．
设，
，
，
解得，
点坐标为，，
当点在轴上时，设，
，
，
解得或，
此时P点坐标为或．
题型 14 一次函数定义辨析、求参数(k ≠ 0，次数为 1)
43．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义，形如，进行逐项判断即可．
【详解】解：一次函数的标准形式为，
对于：，分母含，不是一次函数，不符合题意；
对于：，的最高次数为，是二次函数，不符合题意；
对于：，符合形式，的最高次数为，且，是一次函数，符合题意；
对于D：，的指不是，不是一次函数，不符合题意．
44．若函数是一次函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】一次函数要求自变量的次数为，且一次项系数不为，据此列出条件计算即可．
【详解】解：∵是一次函数，
∴，
解得．
45．已知函数是一次函数．则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】一次函数需满足两个条件：自变量的次数为，且的系数不为，据此列方程计算即可得到的值．
【详解】解：∵函数是一次函数，
∴，
解，得或，即或，
∵，即，
∴．
题型 15 一次函数k、b符号与图像位置判断
46．一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】一次函数的图象和性质：①当时，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三象限；若，则图象经过一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．
【详解】解：∵一次函数中，，，
∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
47．一次函数中，随的增大而减小，那么它的图象经过（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二、三象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】D
【分析】先根据增减性得到比例系数的符号，再得到的符号，最后判断图象经过的象限
【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小，
∴，
∴，即一次函数与轴交于正半轴，
∴该一次函数的图象经过第一、二、四象限
48．在平面直角坐标系中，函数的图象经过（）象限．
A．第一、第二、第三 B．第二、第三、第四
C．第一、第三、第四 D．第一、第二、第四
【答案】A
【详解】解：对于一次函数，，
∴该直线经过第一、第二、第三象限．
题型 16 一次函数增减性，比较函数值大小
49．已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象和性质，进行解答，即可．
【详解】解：∵在一次函数中，，
∴随的增大而增大，
∵点，在一次函数的图象上，且，
∴．
50．已知点和点都在直线上，则与的大小关系（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】根据一次函数的增减性分析即可．
【详解】解：∵，
∴随着的增大而减小，
∵，
∴．
51．已知点，在一次函数的图像上．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：将代入，
得，
将代入，
得，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即，
∴ ．
题型 17 待定系数法求一次函数解析式
52．已知与成正比例，且时，
(1)求y与x的函数表达式；
(2)点在该函数图象上，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)点M的坐标为
【分析】（1）利用正比例函数的定义，设 ，然后把已知的对应值代入求出即可；
（2）把代入（1）中的解析式得到关于的方程，然后解方程即可．
【详解】（1）设与的表达式为，
把时，代入得，
解得，
∴与的关系式为，
即；
（2）∵点在该函数图象上，
∴，
解得，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数，则需要两组的值．也考查了一次函数的性质．
53．已知y是x的一次函数，且当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＝1时，求y的值．
【答案】（1）y=-5x+29；（2）24
【分析】（1）设y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得关于k和b的方程组，解方程组即可；
（2）把x=1代入函数表达式计算即可．
【详解】解：（1）设y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得
，
解得：，
∴此一次函数的表达式为y=-5x+29；
（2）将x=1代入y=-5x+29，
得：y=-5×1+29=24．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解决这类问题一般先设函数的一般式，再代入两个点构造方程组求解．
题型 18 一次函数与坐标轴围成三角形面积计算
54．如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点；
(1)直接写出点B的坐标为________；
(2)求出的面积；
(3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)5
(3)或
【分析】（1）求出时y的值即可得到答案；
（2）根据列式求解即可；
（3）由（2）可得，则，据此求出点M的横坐标，进而求出其纵坐标即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵点B的坐标为，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由（2）得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴点M的坐标为或．
55．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)求的面积．
(3)若点C在直线上，且，求点C的坐标．
【答案】(1)；
(2)1
(3)或.
【分析】（1）分别令，求出两点的坐标即可；
（2）直接利用三角形的面积公式进行求解即可；
（3）设出点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】（1）解：∵，
∴当时，；当时，；
∴；
（2）解：由（1）知：；
∴，
∴的面积；
（3）解：∵点C在直线上，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∴或.
56．如图，直线交轴，轴分别为A、B，点为轴上的一个动点，过点作直线于点．
(1)求出点A、B的坐标，以及线段长．
(2)当点与点重合时，求的面积．
(3)连接，当为等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)
(3)或或或
【分析】（1）根据解析式，分别令和，求出的坐标，勾股定理求出的长即可；
（2）根据三角形的面积公式进行求解即可；
（3）分3种情况进行讨论求解即可.
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，
由（1）知：，；
∴，，
∵过点作直线AB于点且点与点重合，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴的面积；
（3）解：设，由（1）知：，；
当为等腰三角形时，分种情况：
①时，则，解得或，
∴或
②当时，则，解得，
∴；
③当时，
∵轴，
∴，
∴；
综上：或或或.
57．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动．
(1)求直线的解析式．
(2)求的面积．
(3)当的面积是的面积的时，求出这时点的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式、三角形的面积，熟练掌握解一次函数的解析式的方法和三角形的面积公式是解题关键．
（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求得点的坐标，即的长，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）当的面积是的面积的时，先求出的面积和的面积，再分类讨论：①当点在直线上，先求出直线求解析，运用三角形公式代入求解即可；②当点在直线上，已知直线解析式，运用三角形公式代入求解即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式是，
将点、点代入得：，
把①代入②中得：，
，
，
解得：，
∴直线的解析式是：；
（2）解：∵在中，令，解得：，
∴点，．
∵点，
∴，
∴．
（3）解：∵点、点，
∴，，
∴
∵当的面积是的面积的时，
∴
①当点在直线上，
∵设直线的解析式是，
代入点得，
解得：，
∴则直线的解析式是：，
∴设点，
∴
∴，即，
把代入，得
∴；
②当点在直线上，
∴设点，
∴
∴，即，
把代入，得
∴；
综上，点的坐标是：或．
题型 19 一次函数实际应用(行程、方案问题)
58．呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题
内容
材料一
某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示．
材料二
为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋．
任务：
(1)求y关于x的函数解析式．
(2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案．
【答案】(1)
(2)，进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）根据题意得款牛奶贝的进货量为袋，根据题意列出w与x之间的函数关系式，根据一次函数的性质求最大值即可．
【详解】（1）解：设函数解析式为，
由图可知直线穿过原点，当时，，
可得，
解得，
所以y关于x的函数解析式为；
（2）解：由材料2可得，
，
化简得，
∵，
∴随增大而减小，
∴当时，有最大值为8500，
答：进款牛奶贝300袋，款牛奶贝700袋，该特产店能获得最大利润．
59．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中．
品名
厂家批发价（元/个）
商场零售价（元/个）
篮球
120
145
足球
100
120
(1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式；
(2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润；
(3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值．
【答案】(1)
(2)2300元
(3)
【分析】（1）根据题意列函数解析式即可；
（2）设商场能获得的利润为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可；
（3）设利润为W元，根据题意，列出函数关系式，分三种情况，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
即该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式为；
（2）解：设商场能获得的利润为w元，根据题意得：
，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w取得最大值，最大值为，
即商场能获得的最大利润为2300元；
（3）解：设利润为W元，根据题意得：
，
当，即时，W随x的增大而增大，
∵，
∴当时，W取得最小值，
∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，
∴，
解得：，不符合题意，舍去；
当，即时，，不符合题意，舍去；
当，即时，W随x的增大而减小，
∵，
∴当时，W取得最小值，
∵将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，
∴，
解得：；
综上所述，m的值为．
60．绿道骑行与健步已成为我市市民的一种低碳生活新风尚，周末，甲、乙两人沿着相同的路线分别骑自行车和步行，两人同时从A地出发驶往B地，甲到达B地停留一段时间后沿原路返回A地，他们离A地的距离（）随时间（h）的变化关系如下图所示，且甲返回时在离B地处与乙相遇．请根据图中提供的信息，解决下列问题：
(1)A，B两地相距__________，去B地时，甲的速度为__________，乙离A地的距离与时间的函数关系式为__________；（无需指出的取值范围）
(2)求甲离A地的距离与时间的函数关系式，并指出对应的取值范围；
(3)甲在往返过程中，当为何值时，甲，乙两人相距？（直接写出结果）
【答案】(1)10，20，
(2)
(3)当为或或时，甲，乙两人相距．
【分析】（1）根据图象求解即可；
（2）分三种情况求解即可；
（3）根据题意列出方程解答即可．
【详解】（1）解：A、B两地相距，甲的速度为，
，
∴乙离A地的距离与时间的关系为；
（2）解：甲离A地的距离与时间的关系：
去程：，；
停留：，；
返程：；
令，
，
∵直线过点和，
设解析式为，
∴，解得，
得，
令，得，
甲离地的距离与时间的函数关系式为：
∴；
（3）解：甲、乙相距时：
由A去B：
，
解得；
由B返A：
，
解得或，
答：当为或或时，甲，乙两人相距．
61．某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时直轨道跑测试．已知甲、乙同时同地出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为20米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程，（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题：
(1)求“全速模式”下乙的速度；
(2)求图中m的值以及线段所在直线和线段所在直线的解析式；
(3)两个机器人出发多少分钟时，它们离出发地相差30米？
【答案】(1)60米/分钟
(2)；；
(3)两个机器人出发分钟或分钟或分钟时，它们离出发地相差30米
【分析】（1）根据“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，即可解答；
（2）利用待定系数法即可解答；
（3）分三种情况，即乙在段，乙在段，乙在段，分别计算即可解答．
【详解】（1）解：∵“基础模式”下乙机器人运动1分钟的距离为20米，
∴“基础模式”下乙机器人的速度为20米/分钟，
∵“全速模式”下乙机器人的速度是“基础模式”下乙机器人的速度的3倍，
∴“全速模式”下乙的速度为（米/分钟）；
（2）解：∵乙机器人5分钟运动的距离为（米），
∴；
设线段所在直线的解析式为，将代入得，解得，
∴线段所在直线的解析式为；
由（1）知，
∴点，
设线段所在直线的解析式为，将点，点代入，
得，
解得，
∴线段所在直线的解析式为；
（3）解：设线段所在直线的解析式为，将代入得，
∴线段所在直线的解析式为，
当时，由题意得，解得（舍），
当时，由题意得，解得，
当时，由题意得，
解得或，
综上，两个机器人出发分钟或分钟或分钟时，它们离出发地相差30米．
题型 20 一次函数 +勾股定理几何综合
62．阅读材料
通过前面的学习我们已经知道了两点之间的距离，点到直线的距离和两条平行线间的距离，那么我们如何在平面直角坐标系中求这些距离呢？
如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分为，，由勾股定理得，所以A、B两点间的距离为．这样就可以求出平面直角坐标系中任意两点间的距离．
我们用下面的公式可以求出平面直角坐标系中任意一点到某条直线的距离：
已知点和直线，则点P到直线的距离d可用公式．
计算：例如：求点到直线的距离．
解：因为直线可变形为，其中，．
所以点到直线的距离为．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)已知，，写出线段的长度 ；（只写答案）
(2)求出点到直线的距离；
(3)已知直线与平行，求这两条直线的距离．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了直角坐标系中两点之间的距离公式以及根据题目给出的方法求解点到直线的距离的知识，灵活运用题中给出的计算公式，细心计算，是解答本题的关键．
（1）利用公式直接计算即可；
（2）利用公式直接计算即可，进而即可判断点与直线的位置关系；
（3）现在直线上取一点，再利用公式直接计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵直线变形得：，
∴点到直线的距离，
（3）解：取直线上一点，
∵，即，，，
∴点到直线的距离，
则两平行线间的距离为．
63．如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求的值；
(2)求的面积；
(3)若点在直线上，且使得是直角三角形，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征，将点代入求解即可；
（2）先确定，根据两点间的距离得，，，继而得到，推出，再利用三角形的面积公式即可得出结论；
（2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴，
∴的值为；
（2）∵直线与轴交于点，
当时，得：，解得：，
∴，
由（1）知：，
∴，，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为；
（3）①当时，
由（2）知：，
此时点与点重合，
∴点的坐标为，
②当时，即，此时点的横坐标为，如图，
∵直线，
当时，得：，
∴点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查函数图象点的坐标特征，勾股定理的逆定理，两点间的距离，直角三角形的定义等知识点．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
64．如图，已知直线经过点，，直线与直线交于点A，直线与x轴交于点C．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求点A的坐标；
(3)如图，点P为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点E．当为直角三角形时，求点P的坐标；
(4)点M是直线上一动点，点N是直线上一动点，且满足为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）联立直线的函数表达式解方程组即可求解；
（3）当为直角三角形有两种情况，讨论如下：①时，由翻折可得，，过点作于点，则为等腰直角三角形，再由等腰直角三角形的性质求解；②时，即轴，则，由翻折可得，，，那么，设，则，，再对运用勾股定理建立方程求解；
（3）分两种情况讨论，添加辅助线构造全等三角形求解即可．
【详解】（1）解：∵直线经过点，，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：∵直线与直线交于点A，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵直线与 x轴交于点C．
∴当，则，
解得，
∴
当为直角三角形有两种情况，讨论如下：
①时，如图，
∴，
由翻折可得，
过点作于点，则为等腰直角三角形，
∵
，
∴点的坐标为；
②时，即轴，如图，
∵，
∴，
由翻折可得，，，
∴，
设，
则，，
∵，
∴，
，
解得，
∴点的坐标为；
综上：点的坐标为或；
（4）解：设
①当点M在第二象限时，过点作轴的垂线交轴于点，过点作于点，如图：
则，
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点代入，则，
解得，
∴；
②当点M在第一象限时，过点作轴的垂线交轴于点，过点作于点，如图：
∴，
∴，
∴，
∴，
将点代入，则，
解得，
∴，
综上，点M的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求解函数解析式，勾股定理与折叠，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点．
1
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专题09 期中复习易错20大题型
题型 1勾股定理直接计算、分清斜边直角边(多解)
题型 2 立体图形最短路径(圆柱、长方体展开)
题型 3勾股逆定理判定直角三角形、网格直角判定
题型 4 勾股定理折叠求线段长
题型 5 平方根、算术平方根、立方根概念辨析
题型 6 无理数识别、实数分类、无理数估算大小
题型 7 二次根式化简、隐含条件(被开方数>0)
题型 8 二次根式混合运算、分母有理化
题型 9 平面直角坐标系点的象限判断、坐标轴上点特征
题型 10 点关于 x轴、y 轴对称坐标
题型 11 点到坐标轴距离、平行坐标轴线段长度计算
题型 12 割补法求坐标系内三角形面积
题型 13 已知面积反求点坐标(多解)
题型 14 一次函数定义辨析、求参数(k ≠ 0，次数为 1)
题型 15 一次函数k、b符号与图像位置判断
题型 16 一次函数增减性，比较函数值大小
题型 17 待定系数法求一次函数解析式
题型 18 一次函数与坐标轴围成三角形面积计算
题型 19 一次函数实际应用(行程、方案问题)
题型 20 一次函数 +勾股定理几何综合
题型 1勾股定理直接计算、分清斜边直角边(多解)
1．在中，，，则（ ）
A．28 B．28或10 C．28或100 D．10
2．已知一个直角三角形的两边长分别为12和13，则第三边长的平方是（ ）
A．25 B．5 C．313 D．25或313
3．若直角三角形的两边长分别是5和4，则它的第三边边长是（ ）
A． B． C．或 D．或
题型 2 立体图形最短路径(圆柱、长方体展开)
4．如图，圆柱的底面周长为，，动点从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点，则移动的最短距离为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．20
5．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为，和，和是两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物．若这只蚂蚁从顶点出发，沿着表面爬行到顶点处，则最短的路线长为（ ）
A．17cm B．13cm C．12cm D．9cm
6．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为 ，在杯内离杯底 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜜蜂点的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，C为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点C的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
题型 3勾股逆定理判定直角三角形、网格直角判定
8．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A． B． C．D．7，24，25
9．如图，在正方形网格中有两条直线与，则的度数为__________．
10．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 __．
11．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求点A到边的距离．
题型 4 勾股定理折叠求线段长
12．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长度为（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4 D．5
13．如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
14．在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），．点在边上，沿折叠，点落在边的处．则的面积为（ ）
A．3 B．4 C． D．2.5
题型 5 平方根、算术平方根、立方根概念辨析
15．计算（ ）
A． B．3 C． D．
16．的平方根是（ ）
A． B． C． D．
17．实数64的立方根是（ ）
A．4 B． C．16 D．32
题型 6 无理数识别、实数分类、无理数估算大小
18．在，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．介于两个相邻的整数之间，下列判断正确的是（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间D．和之间
20．如图，若数轴上的点，，，表示数，，，，则表示数的点应在（ ）
A．，之间 B．，之间 C．，之间 D．点右侧
21．估计在哪两个整数之间（ ）
A．24与25 B．3与4 C．4与5 D．5与6
题型 7 二次根式化简、隐含条件(被开方数>0)
22．若实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
23．实数，在数轴上对应点的位置如图所示（，且），化简结果是（ ）
A． B． C． D．
24．若，化简的结果是( )
A． B． C． D．
题型 8 二次根式混合运算、分母有理化
25．计算
(1)； (2)；
(3)； (4)．
26．计算
(1) ； (2)；
(3)； (4)．
27．利用分母有理化解决问题：
(1)将分母有理化得_________，分母有理化得_________．
(2)，，求的值；
(3)化简．
题型 9 平面直角坐标系点的象限判断、坐标轴上点特征
28．在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A． B． C．D．
29．点在（ ）
A．第二象限 B．第四象限 C．x轴上 D．y轴上
30．若点在轴上，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型 10 点关于 x轴、y 轴对称坐标
31．点关于轴对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
32．点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C．D．
33．已知在直角坐标系中的位置如图所示，如果与关于轴对称，那么点的对应点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
题型 11 点到坐标轴距离、平行坐标轴线段长度计算
34．已知：点，，根据下列条件解决问题．
(1)若轴，求点的坐标；
(2)若点在第二象限的角平分线上，求、两点间的距离．
35．已知点，分别根据下列条件求出点的坐标．
(1)点的坐标为，直线轴；
(2)点到轴、轴的距离相等．
36．在平面直角坐标系中，有，，三点．
(1)当轴时，求A，B两点间的距离．
(2)当轴于点D，且时，求点C的坐标．
题型 12 割补法求坐标系内三角形面积
37．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
(1)在图中作出关于轴对称的（点的对应点分别为点）；
(2)在（1）的条件下，求的面积．
38．如图，按照要求解答：
(1)请画出关于y轴对称的．（其中，，分别是A，B，C的对应点，不写画法）
(2)直接写出，，的坐标．
(3)求出的面积．
39．如图，在边长为1的正方形网格中，中任意一点经平移后对应点为 ．已知，，将作同样的平移得到．
(1)画出平移后的；
(2)直接求出的面积为___________；
(3)已知点在轴上，且的面积等于面积的一半，求点的坐标．
题型 13 已知面积反求点坐标(多解)
40．在平面直角坐标系中，点 分别在 y 轴、x 轴上，且 a、b 满足.
(1)求 a、b 的值；
(2)求的面积；
(3)点P在x轴上，且的面积是面积的一半，求点P的坐标.
41．如图，在平面直角坐标系中，已知，C三点，其中a，b满足，轴，且，点C在第一象限．
(1)求a，b的值和点C的坐标．
(2)在坐标系内有一点，若的面积为四边形面积的，求点P的坐标．
42．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且a，b满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点．
(1)求出点A，B的坐标；
(2)如图2，若，，，分别平分，，求（用含的代数式表示）；
(3)如图3，在y轴上是否存在一点P，使得的面积和的面积相等？若存在请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
题型 14 一次函数定义辨析、求参数(k ≠ 0，次数为 1)
43．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
44．若函数是一次函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
45．已知函数是一次函数．则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
题型 15 一次函数k、b符号与图像位置判断
46．一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
47．一次函数中，随的增大而减小，那么它的图象经过（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二、三象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
48．在平面直角坐标系中，函数的图象经过（）象限．
A．第一、第二、第三 B．第二、第三、第四
C．第一、第三、第四 D．第一、第二、第四
题型 16 一次函数增减性，比较函数值大小
49．已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
50．已知点和点都在直线上，则与的大小关系（ ）
A． B． C． D．无法确定
51．已知点，在一次函数的图像上．若，则（ ）
A． B． C．D．
题型 17 待定系数法求一次函数解析式
52．已知与成正比例，且时，
(1)求y与x的函数表达式；
(2)点在该函数图象上，求点M的坐标．
53．已知y是x的一次函数，且当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＝1时，求y的值．
题型 18 一次函数与坐标轴围成三角形面积计算
54．如图，直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点；
(1)直接写出点B的坐标为________；
(2)求出的面积；
(3)在直线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
55．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)求的面积．
(3)若点C在直线上，且，求点C的坐标．
56．如图，直线交轴，轴分别为A、B，点为轴上的一个动点，过点作直线于点．
(1)求出点A、B的坐标，以及线段长．
(2)当点与点重合时，求的面积．
(3)连接，当为等腰三角形时，求点的坐标．
57．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运动．
(1)求直线的解析式．
(2)求的面积．
(3)当的面积是的面积的时，求出这时点的坐标．
题型 19 一次函数实际应用(行程、方案问题)
58．呼和浩特被誉为“中国乳都”，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中牛奶贝因其味道醇美且容易携带而深受外地游客欢迎．某特产店销售、两款牛奶贝，结合材料解决问题
内容
材料一
某特产店购进，两款牛奶贝进行销售，、两款牛奶贝的售价分别为32元/袋和25元/袋，款牛奶贝的进价为22元/袋，款牛奶贝的进货总金额y（单位：元）与款牛奶贝的进货量x（单位：袋）之间的关系如图所示．
材料二
为了满足市场需求，七月份该特产店计划采购这两款牛奶贝共1000袋，其中款牛奶贝的进货量不低于300袋，且不高于600袋．
任务：
(1)求y关于x的函数解析式．
(2)若采购的所有牛奶贝能全部售出，设销售完、两款牛奶贝获总利润为（单位：元），请求出关于x的函数解析式，并为该特产店设计出获得最大总利润的进货方案．
59．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中．
品名
厂家批发价（元/个）
商场零售价（元/个）
篮球
120
145
足球
100
120
(1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式；
(2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润；
(3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求的值．
60．绿道骑行与健步已成为我市市民的一种低碳生活新风尚，周末，甲、乙两人沿着相同的路线分别骑自行车和步行，两人同时从A地出发驶往B地，甲到达B地停留一段时间后沿原路返回A地，他们离A地的距离（）随时间（h）的变化关系如下图所示，且甲返回时在离B地处与乙相遇．请根据图中提供的信息，解决下列问题：
(1)A，B两地相距__________，去B地时，甲的速度为__________，乙离A地的距离与时间的函数关系式为__________；（无需指出的取值范围）
(2)求甲离A地的距离与时间的函数关系式，并指出对应的取值范围；
(3)甲在往返过程中，当为何值时，甲，乙两人相距？（直接写出结果）
61．某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该科技兴趣小组设计了5分钟定时直轨道跑测试．已知甲、乙同时同地出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为20米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程，（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题：
(1)求“全速模式”下乙的速度；
(2)求图中m的值以及线段所在直线和线段所在直线的解析式；
(3)两个机器人出发多少分钟时，它们离出发地相差30米？
题型 20 一次函数 +勾股定理几何综合
62．阅读材料
通过前面的学习我们已经知道了两点之间的距离，点到直线的距离和两条平行线间的距离，那么我们如何在平面直角坐标系中求这些距离呢？
如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分为，，由勾股定理得，所以A、B两点间的距离为．这样就可以求出平面直角坐标系中任意两点间的距离．
我们用下面的公式可以求出平面直角坐标系中任意一点到某条直线的距离：
已知点和直线，则点P到直线的距离d可用公式．
计算：例如：求点到直线的距离．
解：因为直线可变形为，其中，．
所以点到直线的距离为．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)已知，，写出线段的长度 ；（只写答案）
(2)求出点到直线的距离；
(3)已知直线与平行，求这两条直线的距离．
63．如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求的值；
(2)求的面积；
(3)若点在直线上，且使得是直角三角形，直接写出点的坐标．
64．如图，已知直线经过点，，直线与直线交于点A，直线与x轴交于点C．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求点A的坐标；
(3)如图，点P为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点E．当为直角三角形时，求点P的坐标；
(4)点M是直线上一动点，点N是直线上一动点，且满足为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．
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