专题03 三角形全等的判定（期中重难点复习）2026-2027学年人教版八年级上学期数学期中考试重难点专题训练（人教版）

专题03 三角形全等的判定（期中重难点复习） 【新教材人教版八年级上册】 题型归纳 【题型1 用SAS证明三角形全等（SAS）】 1 【题型2 全等的性质和SAS综合（SAS）】 3 【题型3 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 5 【题型4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）】 7 【题型5 用SSS证明三角形全等（SSS）】 9 【题型6 全等的性质和SSS综合（SSS）】 11 【题型7 用HL证全等（HL）】 13 【题型8 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）】 15 【题型9 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）】 17 【题型10 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)】 18 【题型11 全等三角形综合问题】 20 【题型12 尺规作一个角等于已知角】 24 【题型1 】 1．下列命题中，为假命题的是（     ） A．全等三角形的对应角相等 B．两边及夹角分别相等的两个三角形全等 C．对顶角相等 D．同旁内角互补 2．如图，已知，可得，则判断的依据是（     ） A． B． C． D． 3．如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知，，请你添加一个适当的条件__________根据可判定． 4．如图，小谊将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为O，即，．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中与全等的依据是________． 5．如图，是的中点，，．求证：． 6．如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)证明：； (2)证明：； 【题型2 】 7．如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点、、、均在格点上，则（     ） A． B． C． D． 8．如图，是的中线，，下列说法：；；和面积相等；；．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．在 中， 是 上的中线，，，则 的取值范围是____________． 10．如图，在长方形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，当与全等时，点运动的时间__________秒． 11．如图，，，．求证：． 12．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 13．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为第二象限一点，过点作轴于点，且，． (1)如图1，直接写出点坐标______． (2)如图2，点为射线上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的关系式，不要求写出的取值范围； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上时，在轴正半轴上取点，使，过点作交轴于点，在上取点，使，连接，为上一点，连接并延长交轴于点，连接，若，求的面积． 【题型3 】 14．根据下列所给的各组条件，不能唯一确定的形状和大小的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 15．小亮不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有①、②、③、④的四块），他只带了①与④去玻璃店，就配到一块与原来一样大小的三角形玻璃．他利用了全等三角形判定中的（     ） A． B． C． D． 16．如图，在中，，的角平分线，交于点，过点作交于点，交的延长线于点，则的度数为_________；若，且，则_________． 17．如图所示，点，分别在线段，上，与相交于点，， 证明：. 18．如图，在中，为的中点，，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)若，，，，求的长． 19．探究以下问题： (1)【基础回顾】 如图1，在中，，，直线l经过点C，分别从点A，B向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：． (2)【变式探究】 如图2，在中，，直线l经过点C，点D，E在直线l上．如果，猜想之间的数量关系，并给予证明． (3)【拓展应用】 在航天科技展中，小华设计了一款卫星太阳能板的展开示意图（如图3）．已知卫星主体部分为，两侧的太阳能板展开后形成两个三角形，分别为和，其中，，．为确保太阳能板能稳定展开，小华在卫星主体的边上设置了高，并延长交太阳能板连接线于点N．若，，，请直接写出的面积． 【题型4 】 20．如图，是的平分线，于点C，于点D，若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 21．小乐同学在国庆假期去方特游玩时乘坐了海盗船（如图①），如图②，当静止时，海盗船中心位于铅垂线上，转轴到地面的距离为；当海盗船中心摇摆到处时，于点；此时测得处到地面的距离为；当海盗船中心从处摇摆到处时，于点．则此时点到的距离是（     ） A． B． C． D． 22．在等腰直角三角形中，，，过点A、点B分别作垂直于经过点C的直线的垂线，垂足分别为E、F，且，，则的长是______． 23．如图，中，，，为延长线上一点，，且，与的延长线交于点，若，则的值为________． 24．如图，在中，，平分，于点，点在上且满足． (1)求证：； (2)求证：． 25．如图，在中，点D在边的延长线上，过点D作，点E是射线上一个点，满足． (1)请用无刻度的直尺和圆规在射线的右侧作，与射线交于点F.（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 26．实践与探究 (1)如图，在中，，点正好落在直线上，则，的关系为____________； (2)①如图，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； ②如图，将①中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【题型5 】 27．如图，已知，请你添加一个条件使，请问添加下列条件不能判断的是（     ） A． B． C． D． 28．数学课上，老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点，作直线，使得，且经过点（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点，交直线于点； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点； ④过点、作直线，则直线即为所求．则的长度是（   ）． A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 29．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，根据，可得，则说明的依据是______． 30．如图，，，．求证：． 31．已知：如图，相交于点． (1)求证：； (2)时，求的度数． 【题型6 】 32．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 33．如图，在和中，，，，，，与相交于点P，则的度数为（     ） A． B． C． D． 34．如图，在四边形中，，，，点E从点D出发，以1个单位长度的速度沿向点A匀速移动，点F从点C出发，以3个单位长度的速度沿方向匀速移动，点G从点B出发沿向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．当点G的运动速度取值为______时，与在某一时刻会全等． 35．如图，已知，，，则．请说明理由（填空）． 解：，， （已知）， ，即 ． 在和中， （ ）． （全等三角形的对应角相等）． 36．如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 37．如图，工人师傅要检查人字梁的和是否相等，但他手边没有量角器，只有一把刻度尺．他是这样操作的：分别在和上取点、，使；在上取点、，使；量出的长为米，的长为米．如果，则说明． (1)请说明“如果，则”的理由； (2)若，，求的度数． 【题型7 】 38．如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是54，则线段的长为（    ） A．13 B．15 C．16 D．18 39．如图，，．若用“”判定，则需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 40．如图，于点C，且，点在上，连接、，只需添加一个条件即可证明，则添加的条件可以是____________．（写出一个即可） 41．如图，在中，，，于点D，于点E，若，，则线段的长为______． 42．如图，于点，于点，与交于点，连接，且． (1)求证：； (2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有全等的三角形． 43．如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接． (1)求证：； (2)试判断的位置关系，并说明理由（适当做辅助线）． 44．【旧知重现】 小明在探究教材第题得到这样一个结论：如果两个三角形全等，那么对应角的角平分线也对应相等，爱探究的他又有了新结论，请聪明的你帮他完成． (1)如图，，、分别是和的、边上的中线，小明的结论是中线、也对应相等．他的结论成立吗？请说明理由． (2)【深入研究】 如图，、分别是和的、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等，并说明理由． (3)【类比思考】 下列结论正确的是________．（填写相应的序号） ①斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等； ②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等； ③两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等； ④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等； 【题型8 】 45．如图，射线平分，连接，，要用“角边角”的方法判定，还需要添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 46．如图，，，，添加一个条件____，即可证明．下列添加的条件不正确的是（     ） A． B． C． D． 47．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（     ） A． B． C． D． 48．如图，在四边形中，连接交于点，若，只需添加一个条件即可证明，则这个条件可以是______．（写出一个即可） 49．如图，点是平分线上的一点，点、分别在边、上，如果要得到，需要添加下列条件中的一个即可，所有符合条件的序号为__________．①；②；③；④． 50．如图，已知，，请添加一个条件，使，并加以证明． (1)你添加的条件是______（）． (2)写出证明过程． 51．如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【题型9 】 52．如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（     ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 53．在学习全等三角形时，小明发现有两个结论：在与中：①若，，且它们的周长相等，则；②若，，，则对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 54．如图，，将沿方向平移，使点A与点D重合，此时点E平移至点F处，则______，______． 55．如图，点在上，点在上，与相交于点，连接．已知，，． (1)任意写出图中的两组全等三角形： ； ； (2)从（1）中选取一组你写出的全等三角形进行证明． 【题型10 】 56．如图，在中，平分，E为的中点，．若，则（     ） A． B． C． D． 57．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 58．如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 59．如图，在中，是边上的中线，，． (1)延长至点，使，连接．求证：； (2)求的取值范围． 60．【提出问题】数学活动课上，老师提出了如下问题：如图①，已知中，是边上的中线．求证：．智慧小组的证法如下： 证明：如图，延长至P，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中 ， ∴（依据一）， ∴， 在中，（依据二）， ∴． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)任务：完成上述证明过程中的“依据一”和“依据二” 依据一：____________； 依据二：____________． (2)【解决问题】如图②，在图①的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连结．试探究与的数量关系，并说明理由． (3)【应用拓展】如图③，在中，点D是边的中点，点M在边上，过点D作，交边于点N，连结．若，，则直接写出的取值范围． 【题型11 】 61．如图，，以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（     ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 62．如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），连接，，则的面积比的面积大；④点是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，则，所有正确结论的序号是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④ 63．如图，在和中，，，，，连接，交于点M，与相交于E，与相交于F，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 64．如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点于点，设运动时间为秒，则当为___________秒时，与全等 65．如图，已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动，同时，点以每秒个单位长度的速度沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点立即停止运动，它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②若，两点同时到达点，则； ③若，，，则与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的是__________． 66．如图，在中，，，是边上一点（点与，不重合），连接，过点作，且，连接交于点，连接． (1)求证：． (2)求证：． 67．如图，中，为边上一点，点为延长线上一点． (1)在图中按要求完成尺规作图：在右侧作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，的角平分线的反向延长线与的延长线交于点，有以下三个条件：①，②，③，从中选出两个作为题设，另一个作为结论可得到一个命题．请按“”的形式写出一个真命题并证明； 68．如图， △ABC中， ，O为 边上的点（不与两端点B、C重合），过点B作的延长线于点E，交的延长线于点D． (1)试说明：． (2)若，点P从点B出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒，求t为何值时，的面积为10． (3)在（2）的条件下，点Q从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向点A运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达A点时，P，Q两点同时停止运动，点F是射线上的一点，若，问是否存在t值，使得以点B，O，Q为顶点的三角形与以点D，F，P为顶点的三角形全等?若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【题型12 尺规作一个角等于已知角】 69．如图1，已知，，线段，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（     ） A． B． C． D． 70．如图，已知，根据尺规作图痕迹，可知的度数为（     ） A． B． C． D． 71．如图，已知中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，；②保持半径不变，以点为圆心作弧，分别交边，于点，；③以点为圆心，长为半径作弧，交弧于点；④连接并延长交于点，则的度数为_______． 72．如图，已知三角形，点是上一点． (1)尺规作图：在上找到一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．若，，且平分，求的度数． 73．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，． (1)尺规作图，过点D作射线，在射线上截取，交线段于点G，连接（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)请写出与之间的关系，并证明你的结论． 74．图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点在格点上，格点在边上，按下列要求在给定的网格中画图： (1)在图①中画的一个余角； (2)在图②中射线的右侧画，使． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形全等的判定（期中重难点复习） 【新教材人教版八年级上册】 题型归纳 【题型1 用SAS证明三角形全等（SAS）】 1 【题型2 全等的性质和SAS综合（SAS）】 5 【题型3 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 12 【题型4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）】 19 【题型5 用SSS证明三角形全等（SSS）】 27 【题型6 全等的性质和SSS综合（SSS）】 30 【题型7 用HL证全等（HL）】 35 【题型8 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）】 45 【题型9 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）】 50 【题型10 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)】 52 【题型11 全等三角形综合问题】 60 【题型12 尺规作一个角等于已知角】 74 【题型1 】 1．下列命题中，为假命题的是（     ） A．全等三角形的对应角相等 B．两边及夹角分别相等的两个三角形全等 C．对顶角相等 D．同旁内角互补 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质和判定方法，对顶角的性质，平行线的性质判断即可． 【详解】解：选项：全等三角形的对应角相等，是真命题； 选项：两边及夹角分别相等的两个三角形全等，是真命题； 选项：对顶角相等，是真命题； 选项：两直线平行时同旁内角才互补，缺少前提条件，是假命题． 2．如图，已知，可得，则判断的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，，结合公共边，利用证明即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ． 3．如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知，，请你添加一个适当的条件__________根据可判定． 【答案】 【分析】由已知两组对应边相等，可得若要根据判定，需添加这两边的夹角相等，即可得结论． 【详解】解：∵，， ∴需要根据判定，则添加这两边的夹角相等，即， 在和中， ， ∴． 4．如图，小谊将两根长度不等的木条，的中点连在一起，记中点为O，即，．测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离．图中与全等的依据是________． 【答案】 【分析】已知点O分别为线段、的中点即可得到边相等，根据对顶角相等即可得到角相等，则可判定三角形全等即可得知判定全等的依据． 【详解】解：∵O为线段、的中点， ∴，， ∴在和中， ∴． 5．如图，是的中点，，．求证：． 【答案】证明：∵点是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． 【分析】先根据中点的定义说明，再根据“边角边”解答即可． 【详解】略 6．如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)证明：； (2)证明：； 【答案】(1)证明：∵和都是等腰直角三角形，且， ∴，， ∴， ∴； (2)证明：由（1）得， ∴， ∵，且， ， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义得到，证明，则可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理证明，则可证明． 【题型2 】 7．如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点、、、均在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用网格特征构造全等直角三角形，通过角度转换求解． 【详解】解：设小正方形边长为，如图，构造和． 在所在的中，，， 在所在的中，，． ，， 又， ． ． ， ． 8．如图，是的中线，，下列说法：；；和面积相等；；．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定和性质，三角形的中线，平行线的判定和性质，进行解答，即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，即⑤正确； ∴，即①正确； ， ∴，即④正确； 过点作于点， ∵，， ∴，即③正确； ∵意味着平分，但只是中线，不一定是角平分线， ∴②不一定正确； 综上正确的为：． 9．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．在 中， 是 上的中线，，，则 的取值范围是____________． 【答案】 【分析】延长到点E，使，用证明，三角形全等对应的边相等，用三角形三边关系进行求解即可， 【详解】解：延长到点E，使， 是 上的中线， ， 在和中，， ， ， 在中，，，，， ， 即， ． 10．如图，在长方形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，当与全等时，点运动的时间__________秒． 【答案】5 【分析】根据全等三角形的判定，解答即可． 【详解】解：，，， 时，， （秒）． 11．如图，，，．求证：． 【答案】证明：，，， ， ， ． 【分析】用证明，结合图形证明即可． 【详解】略 12．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由推导出，结合已知，，用证明． （2）利用全等三角形对应角相等，得到，再由邻补角求出，进而得到． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ． 13．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为第二象限一点，过点作轴于点，且，． (1)如图1，直接写出点坐标______． (2)如图2，点为射线上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的关系式，不要求写出的取值范围； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上时，在轴正半轴上取点，使，过点作交轴于点，在上取点，使，连接，为上一点，连接并延长交轴于点，连接，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用加减消元法求出，从而得到点的坐标； （2）先表示出，再利用三角形面积公式表示出； （3）延长至点，使得，连接，作轴于点，容易证明，则，，进而可证明，则，．利用一线三等角模型可证明，则，，由可得，最后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， 将，得， 解得， 将代入②，得， 解得， ∴由图可知，点的坐标为； （2）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵轴， ∴； （3）解：如图，延长至点，使得，连接，作轴于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵轴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 【题型3 】 14．根据下列所给的各组条件，不能唯一确定的形状和大小的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】将唯一确定三角形形状和大小的问题转化为判断三角形全等的条件问题，逐一验证各选项． 【详解】解：选项A，两边、及其夹角确定，符合判定定理，可唯一确定，不符合题意； 选项B，直角三角形的斜边和直角边确定，符合判定定理，可唯一确定，不符合题意； 选项C，两角、及其中一角的对边确定，符合判定定理，可唯一确定，不符合题意； 选项D，两边、及其中一边的对角确定，没有对应的全等判定定理，不能唯一确定的形状和大小，符合题意． 15．小亮不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有①、②、③、④的四块），他只带了①与④去玻璃店，就配到一块与原来一样大小的三角形玻璃．他利用了全等三角形判定中的（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】“碎玻璃还原”类问题可根据“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”进行判断即可． 【详解】解：（1）观察四块碎片：碎片②不含原三角形的任何完整角，无法用于确定三角形，舍去； （2）碎片④保留了原三角形的顶角，同时保留了从顶点出发的两条边的方向； （3）碎片①保留了原三角形的左下角，以及从左下角出发的两边所在的方向； （4）由碎片④的两边方向与碎片①的一边方向相交，可以确定原三角形的边以及两个顶点的位置，从而确定两个角及它们的夹边 ； （5）在玻璃店中，按“两角及其夹边”即可裁剪出一块与原三角形全等的玻璃，满足原三角形的所有要素，故能配到同样大小的玻璃。 根据“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”可知，小亮利用的是． 16．如图，在中，，的角平分线，交于点，过点作交于点，交的延长线于点，则的度数为_________；若，且，则_________． 【答案】 /45度 / 【分析】根据三角形内角和定理及角平分线性质求出的度数，进而得出的度数；证明，得到，利用面积的和差关系及等高三角形面积比等于底边比求解． 【详解】解：①， ， 、分别平分、， ，， ， ， ．故的度数为． ②， ， ， ， 又点在的延长线上， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ， 又，， ，， ， ， 又， ， ， ． 17．如图所示，点，分别在线段，上，与相交于点，， 证明：. 【答案】证明：， ， ， 又， 在和中， ， . 【分析】根据等角的补角相等可证，利用证明三角形全等即可． 【详解】略 18．如图，在中，为的中点，，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴； (2)． 【分析】由得，然后通过“”证明即可； 由得，，然后通过，求得，最后由即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴，，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 19．探究以下问题： (1)【基础回顾】 如图1，在中，，，直线l经过点C，分别从点A，B向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：． (2)【变式探究】 如图2，在中，，直线l经过点C，点D，E在直线l上．如果，猜想之间的数量关系，并给予证明． (3)【拓展应用】 在航天科技展中，小华设计了一款卫星太阳能板的展开示意图（如图3）．已知卫星主体部分为，两侧的太阳能板展开后形成两个三角形，分别为和，其中，，．为确保太阳能板能稳定展开，小华在卫星主体的边上设置了高，并延长交太阳能板连接线于点N．若，，，请直接写出的面积． 【答案】(1)证明：直线l，直线l， ， ． ， ， ． 在和中， ， ． (2)． 证明：， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ． (3)18 【分析】（1）先根据同角的余角相等证明，再根据证明即可； （2）证明即可； （3）证明，，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点D作于点G，过点E作并交的延长线于点H． ， ， ． ， ， ． 在和中， ， ． 同理，可证明， ， ． 【题型4 】 20．如图，是的平分线，于点C，于点D，若，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据垂直得出直角，根据角平分线得出相等的角，利用证明，得出相等的边即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 21．小乐同学在国庆假期去方特游玩时乘坐了海盗船（如图①），如图②，当静止时，海盗船中心位于铅垂线上，转轴到地面的距离为；当海盗船中心摇摆到处时，于点；此时测得处到地面的距离为；当海盗船中心从处摇摆到处时，于点．则此时点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于点F，先证，进而证明，推出，根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，作于点F， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 点到的距离是． 22．在等腰直角三角形中，，，过点A、点B分别作垂直于经过点C的直线的垂线，垂足分别为E、F，且，，则的长是______． 【答案】2或6 【分析】结合等腰直角三角形的直角条件与垂直关系，通过角的等量代换证明三角形全等，利用全等三角形对应边相等的性质，结合线段和差关系计算的长度 【详解】解：如图1，∵， ∴， ∵直线，直线， ∴， ∴在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 此时； 如图2，∵， ∴， ∵直线，直线， ∴， ∴在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 此时． 23．如图，中，，，为延长线上一点，，且，与的延长线交于点，若，则的值为________． 【答案】 【分析】过点E作，交的延长线于点M，通过证明得到，再根据已知条件证明，从而得到，设，找出和与x的关系即可得解答． 【详解】解：过点E作，交的延长线于点M，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， ∴． 24．如图，在中，，平分，于点，点在上且满足． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：平分， ，， ， ， ； (2)证明：， ， ， ， ． 【详解】（1）略 （2）略 25．如图，在中，点D在边的延长线上，过点D作，点E是射线上一个点，满足． (1)请用无刻度的直尺和圆规在射线的右侧作，与射线交于点F.（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：． 【答案】(1)在射线的右侧作，与射线交于点F如下： (2)证明：如图， ， ， 根据（1）得：， ∵， ， ， ． 【分析】（1）根据尺规作图作一个角等于已知角的方法在射线的右侧作，与射线交于点F即可； （2）根据（1）得，根据平行线性质结合已知得，再根据条件，即可证明，根据全等三角形性质得，再根据平行线判定定理即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 26．实践与探究 (1)如图，在中，，点正好落在直线上，则，的关系为____________； (2)①如图，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； ②如图，将①中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)①数量关系：，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； ②结论成立．证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 【分析】（1）根据平角定义，减去直角，直接得到； （2）①先找等角，用证三角形全等，转化线段，推导线段和的关系；②类比①的方法，用角的等量代换推出相等角，同样用证全等，结论不变． 【详解】（1）解：， ； （2）略 【题型5 】 27．如图，已知，请你添加一个条件使，请问添加下列条件不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定，进行解答，即可． 【详解】解：已知，是公共角； A、， 在和中， ， 属于“边边角”的情况， 不能判定全等于，符合题意； B、， 在和中， ， ∴，不符合题意； C、， 在和中， ， ∴，不符合题意； D、， 在和中， ， ∴，不符合题意． 28．数学课上，老师给出这样一道题：如图①，已知直线及外一点，作直线，使得，且经过点（不写作法，保留作图痕迹）． 某学习小组根据“内错角相等，两直线平行”作图．如图②，过点作直线交直线于点，作．作法步骤如下： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，交直线于点，交直线于点； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点； ④过点、作直线，则直线即为所求．则的长度是（   ）． A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【分析】利用全等构造相等的内错角，再根据“内错角相等，两直线平行”得到平行线．要使得，就要保证两个角所在的三角形三边对应相等． 【详解】解：根据作图步骤： 第一步：以为圆心，任意长为半径画弧，交直线于，交于，得到，线段是弧上两点的距离； 第二步：以为圆心，长为半径画弧，交于点，得到； 要构造，已经有、，第三组对应边需要满足． 所以第三步中，以为圆心画弧时，半径的长度等于线段的长，这样就能保证，得到． 由内错角相等，两直线平行，得． 因此的长度是线段的长度． 29．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，根据，可得，则说明的依据是______． 【答案】 【详解】解：从作图可知，， 在和中 ， ， ． 30．如图，，，．求证：． 【答案】在和中， ， ． 【分析】直接根据已知的三组对应边相等，利用全等判定定理证明两个三角形全等． 【详解】略 31．已知：如图，相交于点． (1)求证：； (2)时，求的度数． 【答案】(1)证明：在和中， ， ； (2) 【分析】（1）根据即可得证； （2）根据全等三角形的性质、三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】（1）略； （2）解：， ， ， ， ． 【题型6 】 32．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作一个角等于已知角的方法得到，利用””可得出和全等，进而由全等三角形的对应角相等可得出． 【详解】解：由作图可得，，， ∴， ∴． 综上所述，全等的依据为””． 33．如图，在和中，，，，，，与相交于点P，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件可证，可求得，再利用三角形内角和求得，即可求解， 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 34．如图，在四边形中，，，，点E从点D出发，以1个单位长度的速度沿向点A匀速移动，点F从点C出发，以3个单位长度的速度沿方向匀速移动，点G从点B出发沿向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．当点G的运动速度取值为______时，与在某一时刻会全等． 【答案】个单位长度或个单位长度或个单位长度 【分析】先证明得到，设运动时间为，点G的运动速度为v个单位长度，分以下几种情况：和，再分和分别求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 设运动时间为，点G的运动速度为v个单位长度， 由题意，分以下几种情况： 当时，点F由方向移动，则，，， ∴，， 当时，，， 则，解得； 当时，，， 则，解得，不符合题意，舍去； 当时，点F由方向移动，则，，， ∴，， 当时，，， 则，解得； 当时，，， 则，解得， 综上，当点G的运动速度取值为个单位长度或个单位长度或个单位长度时，与在某一时刻会全等． 35．如图，已知，，，则．请说明理由（填空）． 解：，， （已知）， ，即 ． 在和中， （ ）． （全等三角形的对应角相等）． 【答案】，，，，，，， 【分析】首先利用线段的和差得到，然后利用证明，即可得到． 【详解】解：，， （已知）， ，即． 在和中， ． （全等三角形的对应角相等）． 36．如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【分析】先证明，再利用证明，则可证明． 【详解】略 37．如图，工人师傅要检查人字梁的和是否相等，但他手边没有量角器，只有一把刻度尺．他是这样操作的：分别在和上取点、，使；在上取点、，使；量出的长为米，的长为米．如果，则说明． (1)请说明“如果，则”的理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)在和中， ， ∴， ∴； (2)． 【分析】证明，然后通过全等三角形的性质即可解答； 由，则，然后通过三角形内角和定理求出度数即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， 即的度数为． 【题型7 】 38．如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是54，则线段的长为（    ） A．13 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】 先证明全等，进而求出的值，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 39．如图，，．若用“”判定，则需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， 在和中，为公共直角边， 若用“”判定， 则需要斜边相等， 即． 40．如图，于点C，且，点在上，连接、，只需添加一个条件即可证明，则添加的条件可以是____________．（写出一个即可） 【答案】（或或或）. 【分析】根据已知条件（一条直角边相等和一个直角相等），结合全等三角形的判定定理（、、、），找出缺失的对应边或对应角． 【详解】解：因为于点C，所以， 已知， 在和中，已经具备了一组直角相等和一条直角边相等，根据全等三角形的判定定理，我们可以从以下几个角度添加条件： 第一种：利用“边角边”（）： 根据已知条件，需要另一组直角边相等，即添加条件：； 第二种：利用“角边角”（）： 根据已知条件，需要夹这组边的另一组角相等，即添加条件：； 第三种：利用“角角边”（）： 根据已知条件，需要除直角外的另一组角相等，即添加条件：； 第四种：利用“斜边、直角边”（）： 根据已知条件，需要斜边相等，即添加条件：． 题目要求“只需添加一个条件”，以上分析出的任意一个条件均符合要求． 41．如图，在中，，，于点D，于点E，若，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】根据垂直定义可得，结合和利用判定，从而得出，最后根据线段的和差关系求解的长． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ， ，，， ，， ． 42．如图，于点，于点，与交于点，连接，且． (1)求证：； (2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有全等的三角形． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)，，， 【分析】（1）利用角角边的判定定理证明，即可得到； （2）利用全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 综上，全等的三角形为，，，． 43．如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接． (1)求证：； (2)试判断的位置关系，并说明理由（适当做辅助线）． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)解：，理由如下： 如下图，延长，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）首先证明，然后利用“”证明全等即可； （2）延长，交于点，首先由三角形内角和定理证明，再根据全等三角形的性质证明，进而可得，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 44．【旧知重现】 小明在探究教材第题得到这样一个结论：如果两个三角形全等，那么对应角的角平分线也对应相等，爱探究的他又有了新结论，请聪明的你帮他完成． (1)如图，，、分别是和的、边上的中线，小明的结论是中线、也对应相等．他的结论成立吗？请说明理由． (2)【深入研究】 如图，、分别是和的、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等，并说明理由． (3)【类比思考】 下列结论正确的是________．（填写相应的序号） ①斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等； ②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等； ③两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等； ④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等； 【答案】(1)解：他的结论成立，理由如下： ∵， ∴， 由三角形中线的定义可得， ∴， ∴， ∴， ∴他的结论成立； (2)解：，理由如下： ∵、分别是和的、边上的中线， ∴， ∵， ∴； 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (3)①②③ 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，再证明，则可证明，得到， （2）根据三角形中线的定义证明，先证明，可得，再证明即可； （3）画出每个结论对应的图形，根据三角形的性质与判定定理逐一判断即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①如图，，中，，， ，分别是高，，分别取的中点，连接，延长到点N，使得，连接， ∴； 又∵，， ∴， ∴， ； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； 同理可得， ∴； ∵，分别是高， ∴， 又∵， ∴， ∴； 同理可得， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ②如图，，中，，，分别是，的中线，，分别是高，，， ∵，分别是高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，分别是，的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，故②正确； ③如图，，中，，，，分别平分，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ④如图，在与中，，，高相同，但是与不全等，故④错误． 综上所述，正确的有①②③． 【题型8 】 45．如图，射线平分，连接，，要用“角边角”的方法判定，还需要添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知一角及公共边，根据“角边角”判定定理，需添加夹边的另一组对应角相等． 【详解】解：射线平分， ， 在和中，已知，， 用“”判定，需添加夹边的另一组对应角相等，即， ∴， ∴． 46．如图，，，，添加一个条件____，即可证明．下列添加的条件不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：， ， ， ，， ， 添加， 在和中，， ， 添加可以证明， 故A选项不符合题意； 是的边，不是中的边， 添加不能证明， 故B选项符合题意； 添加， 在和中，， ， 添加可以证明， 故C选项不符合题意； 添加， 在和中，， ， 添加可以证明， 故D选项不符合题意． 47．如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意可得，， 添加条件，结合，，不可以用证明，故A选项符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故B选项不符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故C选项不符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故D选项不符合题意． 48．如图，在四边形中，连接交于点，若，只需添加一个条件即可证明，则这个条件可以是______．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：，，， ． 49．如图，点是平分线上的一点，点、分别在边、上，如果要得到，需要添加下列条件中的一个即可，所有符合条件的序号为__________．①；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】利用全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：点是平分线上的一点， ， ①添加，利用“”可证，则； ②添加，利用“”可证，则； ③添加，利用“”无法证明，得不到； ④添加，则，利用“”可证，则． 50．如图，已知，，请添加一个条件，使，并加以证明． (1)你添加的条件是______（）． (2)写出证明过程． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 【分析】（1）通过证明，已知一对边的相等关系，通过证明可以得到一对角的相等关系，只需要添加相等的边另一侧的一对角的相等关系即可证明结论； （2）根据，利用角的和差关系即可得，继而根据证明． 【详解】（1）略； （2）略． 51．如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】(1)③ (2)证明：在与中， ， ． 【详解】（1）解：选择③，即． （2）略 【题型9 】 52．如图，已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和全等的图形是（     ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】利用全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：对于甲，由图可知，两个三角形有两条边和一组对角对应相等，不符合全等的判定； 对于乙，由图可知，两个三角形有两条边和一组夹角对应相等，符合“”的全等判定； 对于丙，由图可知，两个三角形有两组角和一条对边对应相等，符合“”的全等判定； 综上，符合要求的图形为乙和丙． 53．在学习全等三角形时，小明发现有两个结论：在与中：①若，，且它们的周长相等，则；②若，，，则对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 【答案】A 【详解】解：对于结论①：，，且两个三角形周长相等，即， ， ，故①正确； 对于结论②：已知条件为，，，属于两边及其中一边的对角对应相等（）的情况，不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误； 综上，①正确，②错误． 54．如图，，将沿方向平移，使点A与点D重合，此时点E平移至点F处，则______，______． 【答案】 【分析】根据平移的性质，平移前后的两个图形全等，对应角相等．由题意可知平移后得到，且与是对应角． 【详解】解：根据平移的性质，平移前后的图形全等， 沿方向平移，使点与点重合，点平移至点， ， 平移前后对应角相等， ， ， ， ． 55．如图，点在上，点在上，与相交于点，连接．已知，，． (1)任意写出图中的两组全等三角形： ； ； (2)从（1）中选取一组你写出的全等三角形进行证明． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2)证明：在和中， (SSS)． 在和中， ∴ ． 【分析】（1）由已知、及公共边，可用“边边边”判定；“角角边”证明； （2）选取进行证明，用“边边边”即可得证，选取进行证明，用“角角边”即可得证． 【详解】（1）解：图中可填的两组全等三角形为，（答案不唯一）． （2）略 【题型10 】 56．如图，在中，平分，E为的中点，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长至点F，使，再根据“边角边”证明，可得，然后根据，接下来根据可得，最后根据“角角边”证明可得，则此题可解． 【详解】解：如图所示，延长至点F，使， ∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 57．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 【详解】解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 58．如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 59．如图，在中，是边上的中线，，． (1)延长至点，使，连接．求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)解：为的中点， ． 在与中， ． (2)． 【分析】（1）采用“中线倍长”法：延长中线至使，连接，以证； （2）由全等得，在中用三边关系把转化为的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ． 在中，，，． 由三角形三边关系得， 代入数值得， 即， ． 60．【提出问题】数学活动课上，老师提出了如下问题：如图①，已知中，是边上的中线．求证：．智慧小组的证法如下： 证明：如图，延长至P，使， ∵是边上的中线， ∴， 在和中 ， ∴（依据一）， ∴， 在中，（依据二）， ∴． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)任务：完成上述证明过程中的“依据一”和“依据二” 依据一：____________； 依据二：____________． (2)【解决问题】如图②，在图①的基础上，分别以和为边作等腰直角三角形，在中，，；中，，．连结．试探究与的数量关系，并说明理由． (3)【应用拓展】如图③，在中，点D是边的中点，点M在边上，过点D作，交边于点N，连结．若，，则直接写出的取值范围． 【答案】(1)；三角形任意两边之和大于第三边 (2)解：与的数量关系为． 理由如下：如图2，延长至点M，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴． (3) 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理及三角形的三边关系解答即可； （2）延长至点M，使，连接，证明，得到，推出，由，，推出，证明，得到，即可得到； （3）延长至点，使，连接，，证明，得到，证明，得到，在中，利用三角形三边关系即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：∵和全等的条件为，两组对应边相等，并且对应边的夹角也相等， ∴依据一为， ∵是的两边之和，是的第三边， ∴依据二为三角形任意两边之和大于第三边． （2）略 （3）解：如图所示，延长至点，使，连接，， ∵点D是边的中点， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵，， 在中，，即， ∴． 【题型11 】 61．如图，，以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（     ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由全等三角形的性质可得，，，，，再结合线段的和差、平行线的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，，，，，故①正确； ∴，，故③正确； ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴，即，故②正确； 综上所述，正确的有①②③④． 62．如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），连接，，则的面积比的面积大；④点是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，则，所有正确结论的序号是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】由三角形中线平分三角形面积，可得①正确；看到中线不等式，利用倍长中线构造全等，再利用三角形三边关系即可求证②正确；判断面积大小，利用“同高则面积比等于底之比”即可求证③错误；利用全等三角形证明角相等，进而证明平行即可． 【详解】解：验证结论①：与的面积相等， ∵在中，，是中线， ∴ 过点作于点，则 ， ∵， ∴，①正确； 验证结论②：， 延长到，使，连接， 在和中，有， ∴， ∴， 在中，根据三角形三边关系有 ∵， ∴ ∴，②正确； 验证结论③：若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），连接，，则的面积比的面积大； 过点作交于点，则 ∵， ∵， ∴， 由①得 ∴, ∴，③错误； 验证结论④：点是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，则， 在和中，有， ∴， ∴， ∴，④正确； 综上可得：①②④正确． 63．如图，在和中，，，，，连接，交于点M，与相交于E，与相交于F，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由证明得出，则①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得，得出，则③正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定得出平分，假设，证明，可得到，从而得到，与矛盾，则④错误． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ，则①正确； ，，，则②正确； 由三角形的外角性质得：， ，则③正确； 如图，作于H，于G，则， 在和中， ， ， ，， 平分，即， ， ， 假设， ， 在和中， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，即，与矛盾， 则假设不成立，则④错误； 故正确的有3个． 64．如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点于点，设运动时间为秒，则当为___________秒时，与全等 【答案】或或 【分析】根据题意，与均为直角三角形，若要全等，斜边必须相等，即．根据点、的运动路径和速度，分三种情况讨论：点在上且点在上；点、都在上；点在上且点在上或到达终点．分别列出关于的方程求解即可． 【详解】由题意可知，点的速度为，点的速度为． ，． 点到达点需，到达点需． 点到达点需，到达点需． ，， ． 要使， 需满足． 分三种情况讨论： ①当时，点在上，点在上． ，． 令， 解得． ②当时，点在上，点在上． ，． 令， 解得． ③当时，点在上． 若，点在上， ，． 令， 解得，不合题意，舍去． 若，点到达点并停止， ． ． 令， 解得． 综上所述，当或或时，与全等． 故答案为：或或． 65．如图，已知，，，其中，点以每秒2个单位长度的速度沿着路径运动，同时，点以每秒个单位长度的速度沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点立即停止运动，它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②若，两点同时到达点，则； ③若，，，则与垂直； ④若与全等，则或． 以上说法正确的是__________． 【答案】①④/④① 【分析】①根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，、，，然后得到与不全等，进而证明出，即可判断③；根据题意分两种情况∶ 和，然后根据全等三角形的性质列出方程求解即可判断④． 【详解】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为t秒， ∴点P运动路程为， 若，则点Q运动路程为t， ∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确； ②当P点到达A点时，秒， ∵P、Q两点同时到达A点， ∴，故②错误； ③如图所示， 当时，点P运动的路程为，点Q运动的路程为， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴和不全等 ∴， ∵ ∴， ∴ ∴与不垂直，故③错误； ④当时， ∴，即；，即， ∴； 当时， ∴，即；，即， ∴， ∴若与全等，则或．故④正确， 综上所述，正确的选项为①④． 66．如图，在中，，，是边上一点（点与，不重合），连接，过点作，且，连接交于点，连接． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 在和中 ∴ (2)证明：∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ． 【分析】（1）由和，推导出，再结合，，用 SAS 证明． （2）先由等腰直角三角形性质得到，利用全等得到，算出，从而证明． 【详解】（1）略． （2）略． 67．如图，中，为边上一点，点为延长线上一点． (1)在图中按要求完成尺规作图：在右侧作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，的角平分线的反向延长线与的延长线交于点，有以下三个条件：①，②，③，从中选出两个作为题设，另一个作为结论可得到一个命题．请按“”的形式写出一个真命题并证明； 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2)解：三个条件中任取两个作题设、另一个作结论均可构成真命题，即②③→①、①③→②、①②→③，证明如下． 由题意，是的平分线的反向延长线与的延长线的交点， ∴、、三点共线，、、三点共线， ∴与是对顶角，． 又． ②③→①：若，，则． 在与中， ，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ①③→②：若，，则． ∵，， ∴． 在与中， ，，， ∴， ∴． ①②→③：若，，则． ∵，， ∴． 在与中， ，，， ∴， ∴． 【分析】（1）以点为顶点、为一边，在右侧作，边与的交点即为点； （2）由点在的延长线上、点在上，可知与是对顶角，这是判定与全等的隐含条件；再由（1）的把条件①改写成，于是②、③与改写后的①恰好是这两个三角形的两组对应边与一组对应角，任取其中两个配合对顶角，即可分别用、或判定全等，进而推出第三个． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查尺规作图（作一个角等于已知角）与全等三角形的判定和性质；解题关键是把条件①中的用（1）的换成，使①、②、③恰为与的一组对应角与两组对应边，再与对顶角配合，三个条件中任选两个作题设都能判定全等并推出第三个． 68．如图， △ABC中， ，O为 边上的点（不与两端点B、C重合），过点B作的延长线于点E，交的延长线于点D． (1)试说明：． (2)若，点P从点B出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为t秒，求t为何值时，的面积为10． (3)在（2）的条件下，点Q从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向点A运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达A点时，P，Q两点同时停止运动，点F是射线上的一点，若，问是否存在t值，使得以点B，O，Q为顶点的三角形与以点D，F，P为顶点的三角形全等?若存在，请求出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明： ，的延长线于点E， ，， ， ， ， ， (2) 或 (3)存在t值，使得以点B，O，Q为顶点的三角形与以点D，F，P为顶点的三角形全等，理由如下： 由（1）知：， ， ，即， 如下图，当点P在线段上时， ，, 当时，， 此时， 解得：； 如图，当点P在的延长线上时， ，, 当时，，此时， 解得：； 综上所述，当或秒时， 【分析】（1）先证，再根据证三角形全等即可； （2）分两种情况，当点P在线段上时和当点P在线段上时，利用三角形面积公式计算即可； （3）分两种情况，当点P在线段上时和当点P在线段上时，利用三角形全等，计算即可． 【详解】（1）解：略； （2）由（1）知：， ， 如下图，当点P在线段上时，， ， 解得：； 如下图，当点P在线段上时，， ， 解得：； 综上所述，当 或秒时，； （3）略． 【题型12 尺规作一个角等于已知角】 69．如图1，已知，，线段，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析作图步骤，第一步作出长度为的线段，第二步在的同一侧，以为顶点作角等于，以为顶点作角等于，两个角的边交于点；识别得到已知元素为边，以及这条边两端的两个角，符合两角夹一边的 全等判定，确定答案为 ． 【详解】解：∵ 作图步骤①作线段，确定了三角形的一条边； ∵ 作图步骤②在的同旁作，，确定了线段两端的两个角； ∴ 得到的条件是：两角及其夹边对应相等． 根据全等三角形判定定理，两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简写为 ． 所以该作图的依据是． 故选：． 70．如图，已知，根据尺规作图痕迹，可知的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图痕迹，判断作图是作一个角等于已知角，得到，然后利用三角形外角的性质，求出． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作． 是的外角， ． 71．如图，已知中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点，；②保持半径不变，以点为圆心作弧，分别交边，于点，；③以点为圆心，长为半径作弧，交弧于点；④连接并延长交于点，则的度数为_______． 【答案】/度 【分析】由作图可知，，再由，即可求解． 【详解】解：由作图可知，， ∵， ∴． 72．如图，已知三角形，点是上一点． (1)尺规作图：在上找到一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接．若，，且平分，求的度数． 【答案】(1)如图，点即为所求作的点． (2) 【分析】（1）要作，本质是：以为顶点、为一边，作一个角等于，角的另一边交于点． （2）在（1）的条件下，，可得，再由两直线平行内错角相等得，利用三角形内角和求出，再由角平分线得,即可得的度数． 【详解】（1）要在上找到一点，使得， ∵ 在中有， 在中有， 又∵, ∴ 以点为圆心任意长为半径作弧分别交于点，交于点， 以点为圆心以为半径作弧交于点， 以点为圆心以为半径作弧，交前弧于点， 连接并延长，交于点， ∴点即为所求作的点． 作图略． （2） 在（1）的条件下，， ∴ ∴ ∵在中有， 又∵，， ∴, ∵平分， ∴ 即 73．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，． (1)尺规作图，过点D作射线，在射线上截取，交线段于点G，连接（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)请写出与之间的关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)结论：，     证明：， ，即.   ， ∵， （两直线平行，同位角相等）. 在和中 ， ∴     ， ∴． 【分析】（1）以点为顶点，作，得到射线（同位角相等，两直线平行，保证）；在射线上截取，连接，与交于； （2）证明得出，，从而得出． 【详解】（1）略； （2）略． 74．图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点在格点上，格点在边上，按下列要求在给定的网格中画图： (1)在图①中画的一个余角； (2)在图②中射线的右侧画，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点作图题，尺规作一个角等于已知角，求一个角的余角，解题关键是掌握上述知识点． （1）通过作或的垂线即可； （2）为的正方形的对角线，过点找到类似的线即可． 【详解】（1）解：如图， ，， ，， 所以与即为所求作； （2）如图，点、、都满足要求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $