专题10 期中复习 易错23大题型- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题10 期中复习易错23大题型 题型1 一元二次方程概念判定(含参数) 题型2 含参数方程有实数根求参数范围 题型3 韦达定理求代数式值、求参数 题型4 配方法解方程、求最值 题型5 增长率问题 题型6 单循环/双循环问题 题型7 矩形面积围栏问题 题型8 销售利润问题 题型9 二次函数概念判定(含参数) 题型10 a,b,c,△符号判断 题型11 比较函数值大小 题型12 三种解析式互化、求顶点对称轴 题型13 二次函数平移 题型14 二次函数与一元二次方程、不等式 题型15 区间内最值问题 题型16 利润、拱桥、喷水实际最值 题型17 反比例函数概念判定(含参数，k≠ 0) 题型18 比较函数值大小(不看象限直接比较) 题型19 k的几何意义求面积、由面积求k(注意正负) 题型20 反比例与一次函数交点问题 题型21 根据图像求不等式解集 题型22 反比例函数多解问题 题型23 反比例函数与几何综合 题型1 一元二次方程概念判定(含参数) 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：含，不是整式方程，不符合． B选项：整理得，是仅含一个未知数且最高次数为2的整式方程，符合． C选项：化简得，未知数最高次数为1，不符合． D选项：含、两个未知数，不符合． 2．一元二次方程 的二次项系数 、一次项系数 、常数项 的值分别是 （     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据一元二次方程一般形式确定，，的值． 【详解】解：方程中，，，． 3．若关于的方程是一元二次方程，则的值是________． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴未知数的最高次数为2，即， 解得. 题型2 含参数方程有实数根求参数范围 4．一元二次方程有两个不相等的实数根．那么应满足（     ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】需同时考虑二次项系数非零与判别式大于0两个条件. 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴， 解得， 综上，且. 5．关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】分二次项系数为0和不为0两类讨论，分别求解后合并范围． 【详解】解：当，即时，方程为，是一元一次方程，有实数根，符合条件． 当，即时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， 此时的取值范围为且． 综上，的取值范围是． 6．一元二次方程有两个相同的实数根，则满足的条件为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式列式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相同的实数根， ∴，即， 解得． 题型3 韦达定理求代数式值、求参数 7．关于的一元二次方程有两个实数根，．当时，的值为（     ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】C 【分析】将已知等式变形为含两根和与两根积的形式，利用根与系数的关系列方程求解，结合方程有两个实根的条件验证结果． 【详解】解：∵ 方程有两个实数根， ∴， 解得， 由根与系数的关系，得，． ∵， ∴， 代入得， 解得 ∵，符合题意， ∴的值为． 8．在解一元二次方程时，小明看错了系数，解得方程的根为和；小红看错了系数，解得方程的根为和，则_________． 【答案】 【分析】小明看错系数说明常数项正确，可由他所得两根的乘积求；小红看错系数说明一次项系数正确，可由她所得两根的和求，再计算的值． 【详解】解：∵小明看错了系数，解得方程的根为和， ∴的值正确，根据根与系数的关系，两根之积等于，即； ∵小红看错了系数，解得方程的根为和， ∴的值正确，根据根与系数的关系，两根之和等于，即， ∴； ∴． 9．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1)证明：在中，，，， ∴ ， ∴无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为或 【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系，将变形为含两根和与两根积的形式，代入已知条件求解k． 【详解】（1）略 （2）解：方程的两个实数根为， ∴在中，，， ， 解得，， 由（1）可知无论k取何值，方程均有两个不相等的实数根， 的值为1或． 题型4 配方法解方程、求最值 10．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式． 例如：，∵，， ∴．试利用配方法解决下列问题： (1)填空：因为（______）＋______，所以当______时，代数式有最______（填“大”或“小”）值，这个最值为______； (2)试说明无论x取何值代数式的值都是非正数； (3)求的最值． 【答案】(1)3；4；；小；4 (2)解：∵ ， ， ∴无论x取何值代数式的值都是非正数； (3)有最小值，最小值为5 【分析】（1）用配方法进行配方后，再完成填空即可； （2）配方后得出 ，即可说明结论； （3）配方后得出 ，即可求出最值； 【详解】（1）解：因为， 所以当时，代数式有最小值，这个最值为4； （2）略 （3）解： ， ∵， ， ∴有最小值，最小值为5． 11．我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ， ，，原式有最小值是-2； ， ，，原式有最大值是-2； 并完成下列问题： （1）求代数式的最值； （2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务． ①用含的式子表示花圃的面积； ②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米? 【答案】（1）代数式的最小值是；（2）①花圃的面积为平方米；②当米时，花圃的最大面积为1250平方米． 【分析】（1）将代数式配方可求解； （2）①利用长方形的面积=长×宽可得结论； ②利用配方法即可解决问题． 【详解】（1）=， ∴原式有最小值是； （2）①根据题意，花圃的面积为：平方米； ②由①可知：， 当米时，花圃的最大面积为1250平方米． 【点睛】本题考查了非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最值问题． 12．阅读材料： 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或求最值．例如： 材料一： 材料二： 的最小值为． 根据以上材料，解答下列问题： (1)依照阅读材料的方法分解因式：； (2)已知a、b、c是的三边长，且满足，求的周长； (3)已知实数a、b满足，求的最值． 【答案】(1) (2)12 (3)的最小值4，无最大值 【分析】本题考查了配方法、平方差公式以及完全平方公式的应用，熟记公式是解题的关键． （1）先通过配方法将多项式转化为完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解． （2）通过配方法将等式转化为完全平方和的形式，根据非负性求出三边长度，进而求出周长． （3）先用含的式子表示, 再代入, 通过配方法求最值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 解得， 的周长为； （3）解：， ， ， ， ， ， 有最小值4，无最大值． 题型5 增长率问题 13．2026国庆期间，赣州江南宋城景区热度很高，第一天游客数量为3万人，第三天游客数量为4.32万人．设平均增长率为x，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定增长次数为2次，结合平均增长率的数量关系列方程． 【详解】解：∵第一天游客数量为3万人，平均增长率为 ∴第二天游客数量为万人 ∴第三天游客数量为万人 ∵第三天游客数量为4.32万人 ∴可列方程． 14．某厂一月份生产产品150台，计划二、三月份共生产该产品450台，设二、三月平均月增长率为x，根据题意列出方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以二、三月总产量为等量关系，分别表示两个月产量后列方程． 【详解】解：设二、三月平均月增长率为x， 二月份产量为台， 三月份产量为台， 由二、三月份共生产450台，得． 题型6 单循环/双循环问题 15．为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，一共需要组织场比赛，赛制是参赛的每两个队之间都要比赛一场．设有个球队参加比赛，则可列方程为_______________________． 【答案】 【分析】赛制为单循环（每两个队之间仅比赛一场），已知总比赛场次为28，设参赛球队数为x，需根据单循环场次的计数逻辑建立等量关系列方程. 【详解】解：∵ 共有x个球队参赛，每个球队需与除自身外的个球队各进行一场比赛， ∴ 若不剔除重复计数，所有球队的比赛累计场数为， ∵ 每一场比赛由两个球队参与，上述累计计数中每场比赛被重复计算了2次， ∴ 实际总比赛场数为累计场数的一半，即， 已知总比赛场数为28，因此可列方程. 16．毕业晚会上同学们互相送照片，每人给其他同学送一张照片，一共送出张照片，设晚会上有人，根据题意，可列方程为__________． 【答案】 【分析】根据总送出照片数的等量关系列方程，总人数与每人送出照片数的乘积即为送出的总照片数． 【详解】解：设晚会上有人，根据题意得， ． 17．某社区开展“科技之冬”培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信210条．若设参加培训的有x人，则根据题意可列方程为_____． 【答案】 【分析】根据互发短信的规则计算总短信数量，列出符合题意的方程． 【详解】解：设参加培训的有人， ∵每人不需要给自己发短信，且每两人之间互发一条短信， ∴每个人需要给其余人各发条短信，总短信条数为条， 结合总发送短信共条，可得方程． 题型7 矩形面积围栏问题 18．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．若要建的矩形养鸡场面积为，求养鸡场的长和宽； 【答案】长为，宽为 【分析】本题考查运用一元二次方程解决实际问题．设的长为 ，则的长为，根据养鸡场面积为列一元二次方程求解，再选出满足题意的解即可． 【详解】解：设的长为 ，则的长为，根据题意得 ， 整理得， ， ，（不合题意，舍去）， ∴，． 答：养鸡场的长为，宽为． 19．某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)__________米（用含的代数式表示）； (2)若饲养场面积为160平方米，求木栏的长． 【答案】(1) (2)10米 【分析】（1）用总长加上两个门宽再减去2个的长，列出代数式即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：米； （2）解：根据题意得：， 解得：， ∵位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米， ， 解得：， ∴， 即木栏的长为10米． 20．某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域（即阴影部分）的面积为576平方米，求道路的宽度（米）． 【答案】4米 【分析】根据阴影部分的面积列出方程，求出解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 检验：时，，边长不能为负数，不符合实际，舍去． 所以道路的宽度是4米． 21．某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米． (1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）属于典型的增长率问题，需利用公式“增长后的量=增长前的量×（增长率）”建立方程．设出增长率，根据两年后的面积列方程，并根据实际意义（增长率为正数）对解进行取舍． （2）属于几何图形面积问题，需根据图形特征（一边靠墙、中间有隔断）和板材长度（含门的宽度）表示出长方形的长和宽，然后根据长方形面积列方程，最后根据墙长限制条件对解进行检验． 【详解】（1）解：设这个增长率为x，由题意得： 解得：，（舍去） 答：这个增长率为． （2）解：设场地的宽为y米，则的长为米， 由题意得： 整理得： 因式分解，得 解得：，． 当时，长为米， 因为，超过了墙长，不符合题意，舍去． 当时，长为米， 因为，符合墙长限制，符合题意． 答：场地的宽为15米． 题型8 销售利润问题 22．某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品涨价x元． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品涨价多少元． 【答案】(1)该商品每日的销售量为件 (2)该商品涨价5元 【分析】通过题目所给的信息列出对应的式子即可解决第一问；通过利润（售价进价）日均销售量列出对应式子即可解决第二小问． 【详解】（1）解：设日销售量为，由题意得： （2）由题意得：，即 设利润为，则 ， ， 解得，， ， 将舍去，即， 答：该商品涨价5元． 23．国庆节期间，成都市某景区销售“熊猫”主题纪念币，每件成本为50元，经市场调研，该纪念币的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求该纪念币的日销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)若该景区国庆节当天销售这种纪念币共获利12000元，求该纪念币当日的销售单价． 【答案】(1) (2)当获利12000元时，该纪念币的销售单价是70或80元 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由题意，， 解得， 答：当获利12000元时，该纪念币的销售单价是70或80元． 24．综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款内存芯片，周一的日出货收入为400万元，随着下游客户备货需求激增，周三的日出货收入达到576万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套．为尽快减少库存，厂商决定降价销售． 问题解决 (1)任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款内存芯片出货收入的日平均增长率； (2)任务2，根据素材2，若每套售价下降80元，厂商每天的利润是多少元？ (3)任务3，根据素材2，该厂商每天给某助学基金捐款2000元，捐款后每天的利润能否达到13840元，若能，求出每套模组降价多少钱；若不能，请说明理由． 【答案】(1)日平均增长率为． (2)厂商每天的利润为元． (3)能，每套模组降价元． 【分析】（1）设日平均增长率为，由平均增长率问题列一元二次方程求解即可． （2）设每套模组降价元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可． （3）根据第（2）问的利润和的关系式，结合条件，找等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为，由题意得， ， ， ， ， ，（舍去）． 日平均增长率为． （2）解：设每套售价降低元，每天的利润为元， 根据题意列方程得， ， 每套售价下降80元， （元）． 厂商每天的利润为元． （3）解：结合第（2）问，由题意得 ， ， ， 或． 减少库存， （舍去）， 能，每套模组降价元． 题型9 二次函数概念判定(含参数)25．已知是关于的二次函数，那么的值为（     ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】需同时满足x的次数为2、二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：由二次函数定义得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 26．若函数是二次函数，则___________________． 【答案】 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得． 27．已知函数是关于的二次函数，则的取值范围是___． 【答案】 【分析】根据二次函数定义，二次项系数不能为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 函数是关于的二次函数， ∴ 二次项系数不为，可得 ， 解得． 题型10 a,b,c,△符号判断 28．在二次函数中，二次项系数______________，一次项系数______________，常数项______________． 【答案】 【分析】根据二次函数的一般形式（为常数，），对比给定函数即可得到对应系数． 【详解】解：二次函数，与一般形式对比可得 二次项系数， 一次项系数， 常数项． 29．已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ）． A．1，，5 B．1，3，5 C．5，3，1 D．5，，1 【答案】D 【分析】将函数整理为的一般形式，再对应确定各项系数． 【详解】解：， 所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 30．已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．2，，1 B．2，3，1 C．1，3，2 D．1，，2 【答案】D 【详解】解：∵二次函数为一般形式， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 题型11 比较函数值大小 31．已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各点横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 同理，得，. ， ． 32．若二次函数的图象经过点、和，则下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定二次函数的对称轴与开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大， ∴点到对称轴的距离为．点到对称轴的距离为．点到对称轴的距离为． ∵， ∴． 33．已知，，是二次函数图象上的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将代入，得； 将代入，得； 将代入，得； ∵， ∴. 题型12 三种解析式互化、求顶点对称轴 34．函数化成的形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配方法计算即可得出结果． 【详解】解：． 35．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A． B． C．2，12，20 D． 【答案】A 【分析】将二次函数的顶点式化为一般式，再确定各项系数． 【详解】解：，二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，． 36．若二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的关系式为__________． 【答案】(或) 【详解】解：设该二次函数的关系式为，代入 解得： ∴(或) 题型13 二次函数平移 37．若将抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将抛物线向左平移4个单位，得；再向下平移2个单位，得． 38．抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度 【答案】B 【分析】利用抛物线平移时顶点同步平移的规律，对比平移前后抛物线的顶点坐标确定平移方式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∴点向右平移个单位长度得到点， ∴抛物线向右平移个单位长度． 39．把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左加下减的平移法则，解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，得，即； 再向下平移3个单位长度，得，即． 题型14 二次函数与一元二次方程、不等式 40．二次函数的图象在平面直角坐标系中如图所示，则一元二次方程的根的近似值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系，将方程的根转化为函数图象与 轴交点的横坐标． 【详解】解：由 移项得 ， ∴ 方程 的根即为二次函数 图象与 轴交点的横坐标， 观察图象可知，抛物线与 轴的两个交点横坐标分别约为 和 ， ∴ ． 41．已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】观察函数图象，找出纵坐标时对应的横坐标x的值，再根据图象在直线下方的部分确定x的取值范围． 【详解】解：由图象知，当时，； 当时，， 由函数图象可得，x的取值范围是． 42．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为_________ ． 【答案】 【分析】利用对称性找出抛物线与轴的另一个坐标，再根据图象作答即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的其中一个交点为 ∴根据对称性，抛物线与轴的另一个坐标为， ∴由题意可得：时，的取值范围为： ． 43．如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围是 __________ ． 【答案】 【分析】根据图象即可得出时，直线在抛物线的上方，即可得出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 抛物线与直线的交点为，， 从图象看，当时，直线在抛物线的上方，即． 题型15 区间内最值问题 44．已知二次函数，当，则y的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将二次函数配方为顶点式，结合开口方向、对称轴与x的取值范围，利用增减性确定y的取值范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，取得最大值， 当时，； 当时，， ∵当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∴当时，． 45．已知函数在上的最大值是，最小值是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由二次函数的顶点和最值确定对称轴需在区间内，结合最大值对应的自变量取值推导的范围． 【详解】解：函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，， ∵ 函数在上的最小值为， ∴ 对称轴在范围内， ∴ ； 令，得， 整理得， 解得或， ∵ 函数开口向上， ∴ 当或时，， ∵ 函数在上的最大值为， ∴ ， 综上，． 46．已知函数：在上的最大值是2，最小值是，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据函数解析式得出开口向上，最小值为，然后得出值为2的对应自变量的值，然后结合题意即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴开口向上，最小值为， ∵在上的最大值是2， ∴， 解得：， ∵最小值是， ∴必须包含对称轴， ∴， ∵最大值是2， ∴内无大于2的函数值， ∴， ∴． 题型16 利润、拱桥、喷水实际最值 47．如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱浸在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，需要增加吃水深度，求至少要增加多少吃水深度？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为（）． (2)①能顺利通过．②至少要增加的吃水深度． 【分析】（1）以中点为原点、直线为轴、过拱顶且垂直于的直线为轴建立坐标系；用待定系数法设，代入、两点坐标求参数； （2）利用解析式计算拱顶及集装箱顶部到水面的高度并比较． 【详解】（1）解：以的中点为原点，直线为轴，过拱顶且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，． 设抛物线的函数表达式为． ∵正常水位时水面宽为，警戒水位比正常水位高时水面宽为， ∴，，且点、都在抛物线上． ∴ 解得，． ∴抛物线的函数表达式为（）． （2）解：①集装箱为棱长的正方体，吃水深度为， ∴露出水面的高度为，即集装箱顶部距水面． 在正常水位时，拱顶距水面；在集装箱宽度范围内（距桥中心不超过），拱高最低处为时，． ∴集装箱顶部低于拱顶，能顺利通过． ②警戒水位时水面上升，拱顶距警戒水面；在集装箱宽度范围内拱高最低处为时，距警戒水面． 集装箱顶部距警戒水面仍为，故不能直接通过． 设需增加吃水深度，则集装箱顶部距警戒水面变为． 需满足，解得． ∴至少要增加的吃水深度． 48．第33届奥运会上我国网球选手郑钦文荣获女子单打冠军，创造了历史，各地迅速掀起网球训练热潮．某网球训练营教练自制一种网球发球器（图①），已知该发球器的网球出口C离地竖直高度米．如图②，网球在最大力量和最小力量发射出去的路线可以抽象为两条抛物线的一部分，最小力量发球得到的抛物线可以看作由最大力量发球得到的抛物线向左平移得到，最大力量发球得到的抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.5米． (1)求最大力量时，网球射出去得到的抛物线的函数解析式，并求出网球射出的最大射程； (2)求最小力量时，网球射出的最大射程． 【答案】(1)，网球射出的最大射程为6米 (2)最小力量时网球射出的最大射程为2米 【分析】（1）根据题意可得点的坐标，把对应的函数解析式设为顶点式，利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出时的值即可得到答案； （2）根据对称性得到点的对称点为，那么最小力量发射出网球得到的抛物线是由最大力量发射出网球得到的抛物线向左平移4米得到的，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得是最大力量时网球发射出去得到的抛物线的顶点，则设其函数解析式为． ∵抛物线经过点， ， ， ∴最大力量时网球发射出去得到的抛物线的函数解析式为． 当时，， 解得，（舍去）， ∴网球射出的最大射程为6米． （2）解：∵最大力量时网球发射出的抛物线的函数解析式为， ∴对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴最小力量发射出网球得到的抛物线是由最大力量发射出网球得到的抛物线向左平移4米得到的， ∴将点A向左平移4米得到点B的坐标为，即最小力量时网球射出的最大射程为2米． 49．某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量（个）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表： 销售单价（元） 85 95 105 115 日销售量（个） 175 125 75 日销售利润（元） 875 1875 1875 875 注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价） (1)求关于的函数解析式（不要求写出的取值范围）及的值； (2)根据以上信息，完成下列问题： ①填空：该产品的成本单价是__________元； ②求当销售单价是多少元时，日销售利润最大，最大值是多少． 【答案】(1)，． (2)①；②当销售单价为元时，日销售利润最大，最大值为元． 【分析】（1）选取表格中两组x和y， 用待定系数法求一次函数解析式，再将代入解析式即可求出m的值． （2）①根据日销售利润的计算公式，代入已知数据求解成本单价； ②根据日销售利润公式列出w关于x的二次函数关系式，通过配方结合二次函数的性质求最大值． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， 则， 解得， 即关于的函数解析式为． 当时，． （2）解：①设成本为a元/个， 当时，， 解得； ②由题意得∶， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值，最大值为2000． 即当销售单价为元时，日销售利润最大，最大值为元． 题型17 反比例函数概念判定(含参数，k≠ 0) 50．若函数是反比例函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式 反比例函数的一般形式为（），即，因此指数必须为． 【详解】函数是反比例函数， ， ， ． 故选：A． 51．若反比例函数的图象经过点，则k的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，根据反比例函数图象上点的坐标特征，将代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得． 故选：B． 52．函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数，反比例函数的形式为，因此指数必须为且系数非零，解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：C． 题型18 比较函数值大小(不看象限直接比较) 53．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ，，， ∴ ． 54．在函数（m是常数）的图象上有三点、、，已知，则下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再结合自变量的取值范围，利用函数的增减性与象限特征比较函数值大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∵， ∴点，在第二象限的图象上， ∴． ∵， ∴点在第四象限的图象上， ∴， ∴． 55．若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用的非负性确定反比例函数比例系数的符号，再结合图象的象限分布与增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴点在第二象限，． ∵，， ∴点、在第四象限，，． ∵第四象限内y随x的增大而增大，， ∴， ∴． 题型19 k的几何意义求面积、由面积求k(注意正负) 56．如图，过原点的直线与双曲线（为常数，且）交于，两点，过点作轴的垂线，垂足为点，若的面积为8，则值为（     ） A．16 B．32 C．8 D．4 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义可得，，进而根据同底等高可求出，进而即可求解． 【详解】解：由题意得，过原点的直线与双曲线的两个交点A、B关于原点对称， ∴， ∵双曲线在第一、三象限， ∴， ∵双曲线为， ∴， ∵，和以、为底时，底相等，且高都是点C到直线的距离（同高）， ∴， ∴的面积为， ∴， ∵， ∴． 57．如图，的边在轴上，若过点的反比例函数的图象还经过边上的中点，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点坐标，利用平行四边形性质和中点公式表示点坐标，结合反比例函数性质建立坐标之间的关系，利用三角形面积公式列方程求解． 【详解】解：设，则， ∵四边形是平行四边形，在轴上， ，， ， 是的中点，， ， ∵点在反比例函数图象上 ， ， ∵是中点 ， ∴，即， ∵， ∴， ， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 58．如图，，两点在反比例函数的图象上，分别过，两点向坐标轴作垂线段．若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】设阴影部分的面积为，根据，得，继而得到，结合解答即可． 本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键． 【详解】解：设阴影部分的面积为，根据，得，故， 又， 故； 解得， 故选：A． 59．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是（   ） A．32 B．16 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 过点A作轴于点E，过点C作轴于点D，再根据反比例函数系数k的几何意义，求得的面积的面积相等，的面积的面积相等，最后计算平行四边形的面积． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点C作轴于点D，则， ∵平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∴与的面积相等， 又∵顶点C在反比例函数上， ∴的面积的面积相等， 同理可得：的面积的面积相等， ∴平行四边形的面积， 故选：B． 题型20 反比例与一次函数交点问题 60．若正比例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点坐标的求法，解题的关键是求得解析式后再联立方程组即可求出交点坐标．将交点坐标代入解析式中，求出a，b的值，然后再联立方程组求另一个交点坐标． 【详解】解：将代入中，即， ∴正比例函数为：， 将代入中，即， ∴反比例函数为：， 联立方程组：，即：， 整理得： 解之得：， 将代入正比例函数中， 解得 ∴另一个交点的坐标为 故选：D． 61．已知反比例函数与一次函数图象的一个交点纵坐标为4，则的值为（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】先根据交点纵坐标，代入一次函数解析式求出交点横坐标，得到交点坐标后，再代入反比例函数解析式即可求出k的值. 【详解】解：∵ 交点纵坐标为4，且交点在一次函数的图象上， ∴ 将代入，得， 解得， ∴ 交点坐标为， ∵ 交点也在反比例函数的图象上， ∴ 将代入，得. 62．若正比例函数与反比例函数的图像一个交点为，则另一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握反比例函数的对称性是解题的关键．反比例函数的图像是中心对称图形，即反比例函数图像与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此即可获得答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的两个交点关于原点对称， 又∵两函数图像的一个交点为， ∴另一个交点的坐标为． 故选：C． 题型21 根据图像求不等式解集 63．如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交点坐标，观察图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，即可得的取值范围． 【详解】解：由图象可知，一次函数图象位于反比例函数图象上方部分位于点，之间， ∴当时，的取值范围是． 64．一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 则时，的取值范围是或． 65．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是____________． 【答案】或 【分析】找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】解：直线与双曲线交于点和点， 由函数图象可得，不等式的解集是或． 题型22 反比例函数与几何综合 66．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且． (1)求反比例函数解析式； (2)若点为轴上一点，是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)、、 【分析】第问：先用三角形面积求出点的纵坐标，再由借助两点间距离公式求出横坐标，得到点坐标后代入反比例函数求参数． 第问：等腰三角形存在性问题，题目限定为腰，只需分、两类讨论；点在轴上设可简化距离计算，最后要舍去与重合的无效点． 【详解】（1）解：， ∴， 又， ∴． 设，，由面积： 由，、： 由图象知A在第一象限且，故，，即． 把代入： 反比例函数解析式为． （2）解：设，，以为腰分两类： 当时：， 得或， 即、； 当时：， 得， 或（与重合，舍去）， 即． 答：点的坐标为、、． 【点睛】本题是一次函数、反比例函数与等腰三角形存在性的综合题．面积法求点坐标是反比例函数综合题的常用第一步：由面积得纵坐标，再由距离得横坐标；等腰三角形存在性，先看清谁是腰、谁是底，分类标准不能乱；点在坐标轴上时设，距离公式只剩一个未知量，计算更简；求出坐标后必须检验三点能否构成三角形，重合的点舍去；区分两种问法：以为腰只有两类；是等腰三角形还要加一类． 67．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，其中，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)若的面积为6，求点B的坐标及直线的解析式； (3)随着点B的变化四边形的形状也在变化，在变化过程中，四边形能变为菱形吗？，如果能，请求出B点坐标．如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)四边形能变为菱形，此时点B的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得，根据点A和点B的坐标可推出，，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可； （3）根据题意可得，根据点A和点B的坐标可推出，根据菱形的对角线互相平分建立方程求出m、n的值即可得到结论． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵轴，轴， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； （3）解：∵轴，轴， ∴，即， ∵，， ∴，，， ∴，， 当四边形是菱形时，则， ∴， ∴， 此时，即点B在反比例函数的图象上， ∴四边形能变为菱形，此时点B的坐标为． 68．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求点的坐标； (2)若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集是 ； (4)若点在轴上，点在反比例函数的图象上，且，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)或； (4)或或． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数解析式，然后联立解方程即可； 根据列出方程，然后解方程即可； 根据点，的坐标，然后结合图象即可求解； 分为边及为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴点的坐标为； （2）解：设直线与轴的交点为，如图， 令时，， 解得， ∴， 设点的坐标为， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴，整理得， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：∵点的坐标为，， ∴由图象可知，不等式的解集是或； （4）解：设点的坐标为，点的坐标为， 分两种情况考虑： 为边，如图， 当四边形为平行四边形时， ，解得， ∴点的坐标为； 当四边形为平行四边形时， ，解得， ∴点的坐标为； 为对角线，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上所述：当，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点时，点的坐标为或或． 69．如图，已知反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，在轴负半轴上有一点，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)请用无刻度直尺和圆规，在轴正半轴上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (3)在（2）的基础上，若点的坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把代入，即可求解； （2）过点B作交x轴于点，由同角的余角相等即可得出． （3）根据、轴，可得，进而可得，由此得出． 【详解】（1）解： 反比例函数的图象经过点， ，解得， 反比例函数的表达式为． （2）略 （3）解：由作法，得． 轴，， ，轴， ，， ． 点的坐标为， ． 在和中， ， ， 点的坐标为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 期中复习易错23大题型 题型1 一元二次方程概念判定(含参数) 题型2 含参数方程有实数根求参数范围 题型3 韦达定理求代数式值、求参数 题型4 配方法解方程、求最值 题型5 增长率问题 题型6 单循环/双循环问题 题型7 矩形面积围栏问题 题型8 销售利润问题 题型9 二次函数概念判定(含参数) 题型10 a,b,c,△符号判断 题型11 比较函数值大小 题型12 三种解析式互化、求顶点对称轴 题型13 二次函数平移 题型14 二次函数与一元二次方程、不等式 题型15 区间内最值问题 题型16 利润、拱桥、喷水实际最值 题型17 反比例函数概念判定(含参数，k≠ 0) 题型18 比较函数值大小(不看象限直接比较) 题型19 k的几何意义求面积、由面积求k(注意正负) 题型20 反比例与一次函数交点问题 题型21 根据图像求不等式解集 题型22 反比例函数多解问题 题型23 反比例函数与几何综合 题型1 一元二次方程概念判定(含参数) 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程 的二次项系数 、一次项系数 、常数项 的值分别是 （     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若关于的方程是一元二次方程，则的值是________． 题型2 含参数方程有实数根求参数范围 4．一元二次方程有两个不相等的实数根．那么应满足（     ） A． B．且 C．且 D． 5．关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．C．且D．且 6．一元二次方程有两个相同的实数根，则满足的条件为（     ） A． B． C． D． 题型3 韦达定理求代数式值、求参数 7．关于的一元二次方程有两个实数根，．当时，的值为（     ） A． B．0 C．1 D．5 8．在解一元二次方程时，小明看错了系数，解得方程的根为和；小红看错了系数，解得方程的根为和，则_________． 9．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根为，，且，求的值． 题型4 配方法解方程、求最值 10．“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式． 例如：，∵，， ∴．试利用配方法解决下列问题： (1)填空：因为（______）＋______，所以当______时，代数式有最______（填“大”或“小”）值，这个最值为______； (2)试说明无论x取何值代数式的值都是非正数； (3)求的最值． 11．我们已学完全平方公式：，观察下列式子： ， ，，原式有最小值是-2； ， ，，原式有最大值是-2； 并完成下列问题： （1）求代数式的最值； （2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务． ①用含的式子表示花圃的面积； ②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米? 12．阅读材料： 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或求最值．例如： 材料一： 材料二： 的最小值为． 根据以上材料，解答下列问题： (1)依照阅读材料的方法分解因式：； (2)已知a、b、c是的三边长，且满足，求的周长； (3)已知实数a、b满足，求的最值． 题型5 增长率问题 13．2026国庆期间，赣州江南宋城景区热度很高，第一天游客数量为3万人，第三天游客数量为4.32万人．设平均增长率为x，可列方程为（    ） A． B． C． D． 14．某厂一月份生产产品150台，计划二、三月份共生产该产品450台，设二、三月平均月增长率为x，根据题意列出方程是（     ） A． B． C． D． 题型6 单循环/双循环问题 15．为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，一共需要组织场比赛，赛制是参赛的每两个队之间都要比赛一场．设有个球队参加比赛，则可列方程为_______________________． 16．毕业晚会上同学们互相送照片，每人给其他同学送一张照片，一共送出张照片，设晚会上有人，根据题意，可列方程为__________． 17．某社区开展“科技之冬”培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信210条．若设参加培训的有x人，则根据题意可列方程为_____． 题型7 矩形面积围栏问题 18．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．若要建的矩形养鸡场面积为，求养鸡场的长和宽； 19．某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)__________米（用含的代数式表示）； (2)若饲养场面积为160平方米，求木栏的长． 20．某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域（即阴影部分）的面积为576平方米，求道路的宽度（米）． 21．某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米． (1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 题型8 销售利润问题 22．某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品涨价x元． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品涨价多少元． 23．国庆节期间，成都市某景区销售“熊猫”主题纪念币，每件成本为50元，经市场调研，该纪念币的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求该纪念币的日销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)若该景区国庆节当天销售这种纪念币共获利12000元，求该纪念币当日的销售单价． 24．综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款内存芯片，周一的日出货收入为400万元，随着下游客户备货需求激增，周三的日出货收入达到576万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套．为尽快减少库存，厂商决定降价销售． 问题解决 (1)任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款内存芯片出货收入的日平均增长率； (2)任务2，根据素材2，若每套售价下降80元，厂商每天的利润是多少元？ (3)任务3，根据素材2，该厂商每天给某助学基金捐款2000元，捐款后每天的利润能否达到13840元，若能，求出每套模组降价多少钱；若不能，请说明理由． 题型9 二次函数概念判定(含参数) 25．已知是关于的二次函数，那么的值为（     ） A． B．2 C． D．0 26．若函数是二次函数，则___________________． 27．已知函数是关于的二次函数，则的取值范围是___． 题型10 a,b,c,△符号判断 28．在二次函数中，二次项系数______________，一次项系数______________，常数项______________． 29．已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ）． A．1，，5 B．1，3，5 C．5，3，1D．5，，1 30．已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．2，，1 B．2，3，1 C．1，3，2D．1，，2 题型11 比较函数值大小 31．已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（     ） A． B． C． D． 32．若二次函数的图象经过点、和，则下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 33．已知，，是二次函数图象上的点，则（    ） A． B． C． D． 题型12 三种解析式互化、求顶点对称轴 34．函数化成的形式是（     ） A． B． C． D． 35．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A． B． C．2，12，20D． 36．若二次函数图象的顶点坐标为，且经过点，则该二次函数的关系式为__________． 题型13 二次函数平移 37．若将抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 38．抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度 39．把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 题型14 二次函数与一元二次方程、不等式 40．二次函数的图象在平面直角坐标系中如图所示，则一元二次方程的根的近似值是（     ） A． B． C． D． 41．已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（     ） A． B． C．D．或 42．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围为_________ ． 43．如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围是 __________ ． 题型15 区间内最值问题 44．已知二次函数，当，则y的取值范围为（     ） A． B． C．D． 45．已知函数在上的最大值是，最小值是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 46．已知函数：在上的最大值是2，最小值是，则m的取值范围是________． 题型16 利润、拱桥、喷水实际最值 47．如图①是一座抛物线型拱桥，图②是其侧面部分示意图，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升，就达到警戒水位，此时水面的宽为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，现有一棱长为的封闭正方体铁制集装箱，从上游漂流到拱桥处，其吃水深度（集装箱浸在水下的部分）为，集装箱正面朝前从桥正中心径直通过，其上表面与水面平行． ①在正常水位时，此集装箱能否顺利通过这座拱桥，为什么？ ②由于连日暴雨，水面快速上涨到警戒水位，若要此集装箱能顺利通过这座拱桥，需要增加吃水深度，求至少要增加多少吃水深度？ 48．第33届奥运会上我国网球选手郑钦文荣获女子单打冠军，创造了历史，各地迅速掀起网球训练热潮．某网球训练营教练自制一种网球发球器（图①），已知该发球器的网球出口C离地竖直高度米．如图②，网球在最大力量和最小力量发射出去的路线可以抽象为两条抛物线的一部分，最小力量发球得到的抛物线可以看作由最大力量发球得到的抛物线向左平移得到，最大力量发球得到的抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.5米． (1)求最大力量时，网球射出去得到的抛物线的函数解析式，并求出网球射出的最大射程； (2)求最小力量时，网球射出的最大射程． 49．某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量（个）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表： 销售单价（元） 85 95 105 115 日销售量（个） 175 125 75 日销售利润（元） 875 1875 1875 875 注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价） (1)求关于的函数解析式（不要求写出的取值范围）及的值； (2)根据以上信息，完成下列问题： ①填空：该产品的成本单价是__________元； ②求当销售单价是多少元时，日销售利润最大，最大值是多少． 题型17 反比例函数概念判定(含参数，k≠ 0) 50．若函数是反比例函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 51．若反比例函数的图象经过点，则k的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 52．函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 题型18 比较函数值大小(不看象限直接比较) 53．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A． B．C．D． 54．在函数（m是常数）的图象上有三点、、，已知，则下列各式中正确的是（     ） A． B．C．D． 55．若，，三点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ）． A． B． C． D． 题型19 k的几何意义求面积、由面积求k(注意正负) 56．如图，过原点的直线与双曲线（为常数，且）交于，两点，过点作轴的垂线，垂足为点，若的面积为8，则值为（     ） A．16 B．32 C．8D．4 57．如图，的边在轴上，若过点的反比例函数的图象还经过边上的中点，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 58．如图，，两点在反比例函数的图象上，分别过，两点向坐标轴作垂线段．若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 59．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是（   ） A．32 B．16 C．8 D． 题型20 反比例与一次函数交点问题 60．若正比例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为 （    ） A． B． C． D． 61．已知反比例函数与一次函数图象的一个交点纵坐标为4，则的值为（   ） A． B． C．4 D．3 62．若正比例函数与反比例函数的图像一个交点为，则另一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型21 根据图像求不等式解集 63．如图，函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 64．一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 65．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是____________． 题型22 反比例函数与几何综合 66．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且． (1)求反比例函数解析式； (2)若点为轴上一点，是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 67．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，其中，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)若的面积为6，求点B的坐标及直线的解析式； (3)随着点B的变化四边形的形状也在变化，在变化过程中，四边形能变为菱形吗？，如果能，请求出B点坐标．如果不能，请说明理由． 68．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求点的坐标； (2)若点为轴上一点，的面积为，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集是 ； (4)若点在轴上，点在反比例函数的图象上，且，，，恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出符合条件的所有点的坐标． 69．如图，已知反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，在轴负半轴上有一点，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)请用无刻度直尺和圆规，在轴正半轴上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (3)在（2）的基础上，若点的坐标为，求点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $