精品解析：山东济南市历城区济南稼轩学校2026-2027学年上学期九年级期中数学试题

济南稼轩学校九年级期中数学试题 2026.10 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）． 1. 如图，该正三棱柱的俯视图是（    ） A. B. C. D. 2. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知菱形的面积为，对角线与相交于点，对角线的长为，于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 若方程的两个根是和，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD点F，则△DAF与四边形BCEF的面积之比为（　　） A. 3：4 B. 9：16 C. 12：19 D. 9：28 9. 如图，在矩形中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧交于点P，作射线，交于点H，过点D作的垂线交的延长线于点Q，垂足为点G，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）． 11. 若，则____________________． 12. 工厂对某批零件进行质检，结果如表： 抽取的零件数 优等品的频数 优等品的频率 从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为_______（结果精确到）． 13. 如图，甲楼AB高16米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，已知两楼相距BD为12米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝_____米（结果保留根号）． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________． 15. 如图，中，，，边上的高，点、、分别在边、、上，且四边形为正方形；点、、分别在边、、上，且四边形为正方形，…按此规律操作下去，则线段的长度为__________． 三、解答题（本大题共10道小题，共90分）． 16. 解下列方程： （1）； （2）； 17. 如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 18. 已知，在平面直角坐标系中的位置如图-所示，点，，的坐标分别为，，．与是以点为位似中心的位似图形． （1）直接写出点的坐标____________； （2）以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使与相似比为； （3）请仅用无刻度的直尺作出中与边平行的中位线（保留作图痕迹）． 19. 如图，在平行四边形中，连接是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． （1）求证：； （2）如果，求的长 20. 为了提高学生应用数学方法解决实际问题的能力，王老师组织学生开展了测量物体高度的实践活动，小刚与小亮所在小组的任务为测量公园古树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部，如图，栅栏米，小刚和小亮研究需要两次测量，方法如下：小刚在延长线上放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点，镜子不动，小刚看着镜面上的标记来回走动，走到点时，看到树顶与镜面上的标记重合，这时测量小刚眼睛与地面高度米，米，米；同时，小亮在延长线上的处安装了测倾器（测倾器高度忽略不计），测得树顶的仰角为，米，请你根据题中提供的相关信息，求出古树的高度（小平面镜的大小忽略不计）． 21. 年月日是中国第个“全民健身日”．为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表． 一分钟跳绳成绩统计表 成绩等级 一分钟跳绳次数 频数 请根据以上信息，完成下列问题． （1）随机抽取的学生人数为___________人，统计表中的___________，统计图中B等级对应扇形的圆心角为___________度； （2）该校共有人参加比赛，请你估计该校成绩达到等级及以上的有多少人？ （3）该比赛服务组有两名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率． 22. 某校羽毛球队为了提高运动员成绩，训练中心配备了一架如图1所示的高度可调的羽毛球发球机器人．如图2，发球机器人固定站在地面的点处，其弹射出口记为点，所发出的羽毛球的运动路径呈抛物线状．设飞行过程中羽毛球与发球机器人之间的水平距离为（单位：米），羽毛球到地面的高度为（单位：米），已知当点的高度为1.25米时，羽毛球的最高点离地面的距离为米，羽毛球在最高点处离发球机器人的水平距离为米（发球机器人的半径忽略不计）． （1）求与的函数解析式． （2）调整弹射出口的高度可以改变球的落地点．为了训练运动员的后场能力，需要使羽毛球的落地点到点的水平距离增加1米．若此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，则发球机器人的弹射出口高度应调整为多少米？ 23. 如图，在中，，，，点P从点A出发，沿的方向匀速运动，速度为；同时点M由点C出发，沿的方向匀速运动，速度为，过点M作交于点N．设运动时间为 （1）用含的代数式表示线段__________，__________； （2）连接，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在说明理由； （3）连接、，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 24. 【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 25. 如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，点的坐标是，点的坐标是，是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）为线段上的一个动点，过点作轴于点，点坐标为． ①在上是否存在点，使为直角三角形？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由； ②连接，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南稼轩学校九年级期中数学试题 2026.10 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）． 1. 如图，该正三棱柱的俯视图是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握俯视图是从上往下看得到的图形是解题的关键．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：如图所示的正三棱柱的俯视图是 故选：A． 2. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出比例式是解答此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例，据此列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 3. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ∴该二次函数的顶点坐标为． 4. 如图，已知菱形的面积为，对角线与相交于点，对角线的长为，于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的面积公式可计算出，结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可计算出． 【详解】解：∵菱形的面积为，且， ∴， 在菱形中，点为的中点， 又∵， ∴． 5. 若方程的两个根是和，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 6. 某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 7. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像及性质，二次函数的图像及性质．根据一次函数的图像经过的象限确定，，进而根据二次函数的图像的开口方向及对称轴，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的图像开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为C． 故选：C． 8. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD点F，则△DAF与四边形BCEF的面积之比为（　　） A. 3：4 B. 9：16 C. 12：19 D. 9：28 【答案】C 【解析】 【分析】根据等高的三角形面积之比等于底之比和相似三角形得出、和、的比例关系，再结合图形可得四边形BCEF的面积=，结合平行四边形的性质可得，从而得出结论． 【详解】解：连接BE， ∵DE：EC=3：1， ∴设DE=3k，EC=k，则CD=4k，， ∵ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD=4k，， ∴△DEF∽△BFA， ∴， ∴， ∴，, ∴,， ∴四边形BCEF的面积=， ∴△DAF与四边形BCEF的面积之比为:， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质．掌握等高的三角形面积之比等于底之比是解题关键． 9. 如图，在矩形中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧交于点P，作射线，交于点H，过点D作的垂线交的延长线于点Q，垂足为点G，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作图过程可知，为的平分线，，可得出．由矩形的性质可得，由勾股定理得，，则．在中，利用勾股定理求出的长，即可得出的长，再根据即可求解． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵四边形为矩形， ， 由勾股定理得，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得，． ∴，， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查作图-基本作图、角平分线的定义、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10. 一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．由题意得，二倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出． 【详解】解：解：由题意得，二倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， ∴， 解得， 把代入得，代入得， ，解得； 把代入得，代入得， ，解得：， 综上，c的取值范围为：． 故答案为：． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）． 11. 若，则____________________． 【答案】 【解析】 【分析】已知，可通过拆分所求分式，将已知比值整体代入化简求解，无需单独计算a、b的具体数值； 【详解】解：根据同分母分式的减法法则，将所求分式拆分变形， ∵， ∴将已知条件代入上式得原式． 12. 工厂对某批零件进行质检，结果如表： 抽取的零件数 优等品的频数 优等品的频率 从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为_______（结果精确到）． 【答案】 【解析】 【详解】解：由表格中的数据可知，随着抽取零件数增大，优等品的频率逐渐稳定在附近， 因此任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为． 13. 如图，甲楼AB高16米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，已知两楼相距BD为12米，那么甲楼的影子落在乙楼上的高DE＝_____米（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】过点E作FE⊥AB于点F，解直角三角形AEC可以求得AF的长，进而求得DE=AB-AF即可解题． 【详解】解：如图，过点E作FE⊥AB于点F，则四边形BDEF是矩形，则BF=DE，EF=BD=12 在Rt△AEF中，∠AFE=90°，EF=BD=12米． ∵物高与影长的比是1：， ， 即米， （米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角似三角形的应用，根据物高与影长的比是1：，得出AF的值是解题的关键． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 化简得， 解得． 15. 如图，中，，，边上的高，点、、分别在边、、上，且四边形为正方形；点、、分别在边、、上，且四边形为正方形，…按此规律操作下去，则线段的长度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据，是边上的高，计算的长度，再结合求出的长度，得到的直角边的长度，设第一个正方形边长为，因为，所以，利用相似三角形对应边成比例列方程，求解得到​，即的长度；设第二个正方形的边长为，同理，由，可得​，利用相似三角形对应边成比例列方程，求解得到，即的长度，观察的规律，推导其通项公式，代入即可得到对应结果． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形，设其边长为， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，即， ∴， 同理对第二个正方形，设边长为​， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 继续推导可发现规律：第个正方形的边长为，即： 将代入规律式： ． 三、解答题（本大题共10道小题，共90分）． 16. 解下列方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴． 17. 如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 【答案】证明：四边形是菱形， ∴， ∵于点E，于点F， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，首先得到，然后得到，证明出，得到，进而证明即可． 【详解】略 18. 已知，在平面直角坐标系中的位置如图-所示，点，，的坐标分别为，，．与是以点为位似中心的位似图形． （1）直接写出点的坐标____________； （2）以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使与相似比为； （3）请仅用无刻度的直尺作出中与边平行的中位线（保留作图痕迹）． 【答案】（1） （2）如图，即为所求； （3）如图，的中位线即为所作： 【解析】 【分析】（1）连接对应点并延长，交点就是点P，写出坐标即可得到答案； （2）连接点O与的三个顶点并反向延长，使，连接三个顶点即可得到； （3）根据三角形中位线的定义作出图形即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，，并延长交于点P， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，在平行四边形中，连接是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． （1）求证：； （2）如果，求的长 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得出，结合可得出，再由即可证出； （2）由，利用相似三角形的性质可求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ． 20. 为了提高学生应用数学方法解决实际问题的能力，王老师组织学生开展了测量物体高度的实践活动，小刚与小亮所在小组的任务为测量公园古树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部，如图，栅栏米，小刚和小亮研究需要两次测量，方法如下：小刚在延长线上放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点，镜子不动，小刚看着镜面上的标记来回走动，走到点时，看到树顶与镜面上的标记重合，这时测量小刚眼睛与地面高度米，米，米；同时，小亮在延长线上的处安装了测倾器（测倾器高度忽略不计），测得树顶的仰角为，米，请你根据题中提供的相关信息，求出古树的高度（小平面镜的大小忽略不计）． 【答案】古树的高度为米． 【解析】 【分析】设古树的高度为米，根据树顶的仰角为得出，进而得出，由光线的反射原理得出，即可证明，得出，即，解方程求出的值，即可得出答案． 【详解】解：设古树的高度为米， ∵树顶的仰角为，， ∴，是等腰直角三角形， ∴米， ∵米，米，米， ∴米， 由光线的反射原理可知，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴古树的高度为米． 21. 年月日是中国第个“全民健身日”．为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表． 一分钟跳绳成绩统计表 成绩等级 一分钟跳绳次数 频数 请根据以上信息，完成下列问题． （1）随机抽取的学生人数为___________人，统计表中的___________，统计图中B等级对应扇形的圆心角为___________度； （2）该校共有人参加比赛，请你估计该校成绩达到等级及以上的有多少人？ （3）该比赛服务组有两名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率． 【答案】（1），，； （2）人； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查概率、统计表和扇形统计图： 结合统计表中的频数是和扇形统计图中占的百分比可以求出抽取的学生人数为人，用总人数减去、、的频数，即可得到的值，根据的频数是，抽取的学生总数是即可求出占的百分比，这个百分比就是扇形的圆心角占的百分比； 根据抽取的学生中成绩达到等级及以上占抽取比例为，利用样本代替总体求出全校达到级以上的人数； 根据题意列表，从表可以看出共有种情况，每种情况出现的机会均等，其中是一男一女的情况共有种，可以求出恰好选中“一男一女”的概率． 【小问1详解】 解：(人)， (人)， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：(人)， 答：该校成绩达到等级及以上的有人； 【小问3详解】 解：列表如下， 男1 男2 女1 女2 男1 男2，男1 女1，男1 女2，男1 男2 男1，男2 女1，男2 女2，男2 女1 男1，女1 男2，女1 女2，女1 女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2 由表可知，共有种情况，每种情况出现的机会均等，其中是一男一女的情况共有种， 恰好选中“一男一女”的概率， 答：恰好选中“一男一女”的概率为． 22. 某校羽毛球队为了提高运动员成绩，训练中心配备了一架如图1所示的高度可调的羽毛球发球机器人．如图2，发球机器人固定站在地面的点处，其弹射出口记为点，所发出的羽毛球的运动路径呈抛物线状．设飞行过程中羽毛球与发球机器人之间的水平距离为（单位：米），羽毛球到地面的高度为（单位：米），已知当点的高度为1.25米时，羽毛球的最高点离地面的距离为米，羽毛球在最高点处离发球机器人的水平距离为米（发球机器人的半径忽略不计）． （1）求与的函数解析式． （2）调整弹射出口的高度可以改变球的落地点．为了训练运动员的后场能力，需要使羽毛球的落地点到点的水平距离增加1米．若此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，则发球机器人的弹射出口高度应调整为多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）由题可知，抛物线的顶点为，且抛物线与轴交点为，可设抛物线的解析式为：， 将点代入，即可求解； （2）令抛物线解析式的，即可求出原先羽毛球的落地点到发球机点的水平距离，根据题意可设抛物线的解析式为：，根据题意可知该抛物线过点，进而求出抛物线解析式，将代入解析式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：由题可知，抛物线的顶点为，且抛物线与轴交点为， 可设抛物线的解析式为：， 将点代入， 得：， 解得：， 关于的函数表解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：，（舍去）， 抛物线的形状和对称轴位置都不变， 可设抛物线的解析式为：， 要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加米， 当时，， ， 解得：， ， 当时，， 发球机的弹射口高度应调整为米． 23. 如图，在中，，，，点P从点A出发，沿的方向匀速运动，速度为；同时点M由点C出发，沿的方向匀速运动，速度为，过点M作交于点N．设运动时间为 （1）用含的代数式表示线段__________，__________； （2）连接，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在说明理由； （3）连接、，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在；或 （3）存在； 【解析】 【分析】（1）证明，列出比例式进行求解即可； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式，列出一元二次方程进行求解即可； （3）作于点，证明，求出的长，根据中垂线的性质得到，由（2）可知，进而得到，三线合一，得到，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 由题意，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； 【小问2详解】 解：存在； 由（1）知：，， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得或； 故当或时，； 【小问3详解】 解：存在； 作于点，则：， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 当点P在线段的垂直平分线上时，则：， 由（2）可知四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 24. 【基础巩固】（1）如图1，在中，，，D是边上一点，F是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中．，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，求的长． 【答案】 （1）证明：，， ， ， ∴， ， ， ， ； （2）5；（3）10 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． （1）利用一线三等角模型，可说明，得； （2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，（舍去） ． 25. 如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，点的坐标是，点的坐标是，是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）为线段上的一个动点，过点作轴于点，点坐标为． ①在上是否存在点，使为直角三角形？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由； ②连接，若，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）①存在；或；② 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求得答案； （2）①由于，不可能为直角，故分两种情况：当时，当时，分别求出m的值即可； ②连接，过点D作，交延长线于点E，过点E作轴于点F，过点E作轴于点G，交于点H，首先推导出，利用推导出，设，，从而得出，进一步求得，通过证明，得到，代入得，解得． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，两点，代入得： ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①在上存在点P，使为直角三角形，理由如下： ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴，不可能为直角； 当时，则， ∴轴， ∴， 解得：； 当时，过点P作轴于K，如图1， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴； 综上，当为直角三角形时，或； ②如图2，连接，过点D作，交延长线于点E，过点E作轴于点F，过点E作轴于点G，交于点H． 在中，， ∴， ∵， ∴， 由（2）知， ∴， 由题意得， ∴， 由题意知，四边形、四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $