精品解析：山东省济南实验初级中学2026-2027学年上学期九年级期中数学试题

2026.10济南实验初级中学九年级期中数学试题 一．选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 如图，以箭头方向为主视方向，那么这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图（左视图），解题的关键是明确左视图是从左侧观察几何体得到的平面图形，能区分可见轮廓线（实线）与不可见轮廓线（虚线）． 从左侧观察该几何体，主体为圆柱，内部有一条水平的不可见分割线，因此左视图应为一个矩形，中间有一条水平虚线． 【详解】解：A、该选项为圆形，不符合从左侧观察到的矩形轮廓，此选项不符合题意； B、该选项为矩形，中间有一条水平虚线，符合从左侧观察到的图形，此选项符合题意； C、该选项为L形，与几何体的圆柱轮廓不符，此选项不符合题意； D、该选项为矩形，中间为实线，代表可见轮廓线，与实际不可见的分割线不符，此选项不符合题意． 故选：B． 2. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 先根据平行线等分线段定理列比例式求得，再运用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵， ，即，解得：． ． 故选C． 3. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴A、添加，根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； B、添加，得到，根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； C、添加，根据“两组边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”可以得到，选项不符合题意； D、添加，不能判定与相似，选项符合题意． 4. 将抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，所得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将抛物线向下平移个单位，得到， 再向右平移个单位，得到． 5. 不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A. 12个 B. 15个 C. 18个 D. 20个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设口袋中白球大约有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【详解】解：设口袋中白球大约有x个， ∵摸到白色球的频率稳定在0.6左右， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴估计口袋中白球大约有15个． 故选：B 6. 已知点和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，并利用增减性比较函数值的大小问题，能够理解在二次函数中比较函数值大小的方法并灵活运用是解决问题的关键．利用二次函数的增减性比较大小即可． 【详解】解；由题知：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 离对称轴越远则函数值越小， 题中三个点离直线距离由远及近为， 故选：B． 7. 如图，小明到操场测量旗杆AB的高度，他手拿一支铅笔MN，边观察边移动（铅笔MN始终与地面垂直）．当小明移动到D点时，眼睛C与铅笔，旗杆的顶端M，A共线，同时眼睛C与它们的底端N，B也恰好共线．此时测得DB＝50m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6m，铅笔MN的长为0.16m，则旗杆AB的高度为（ ） A. 15m B. m C. m D. 14m 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形对应边的比等于对应高的比，过作于,交于，先证四边形是矩形，再明，得出，从而求出． 【详解】解：过作于,交于， 根据题意 ， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ， 又， ∴∠CMN=∠A，∠CNM=∠CBA， ， ， ， ． 故选择C． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，矩形的判定与性质，三角形相似判定与性质，掌握相似三角形的应用于测量的方法，矩形的判定与性质，三角形相似判定与性质是解题关键． 8. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向和对称轴位置确定，的符号，然后结合一次函数图象经过的象限，判断、是否前后一致． 【详解】解：选项：由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得； 一次函数图象过第一、三、四象限，可得，， a，b的值前后结论不一致，本选项不符合题意； 选项：由抛物线开口向下可知，对称轴在轴左侧，，可得； 一次函数图象过第一、二、四象限，可得，； a，b的值前后结论一致； 联立两个函数，得， 整理可得，该方程无解， 所以两个函数图象没有交点， 而本选项中两个函数图象有交点，故本选项不符合题意； 选项：由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得； 一次函数图象经过第二、三、四象限，可得，； a，b的值前后结论一致，且两个函数图象没有交点，故本选项符合题意； 选项：由二次函数可得抛物线过原点，而本选项的抛物线不过原点，故本选项不符合题意． 9. 如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意延长交的延长线于点是解答本题的关键．如图，延长交的延长线于点，先证明，可得，则，根据点是的中点，得，，证明，即可证明． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，     ∵在中， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论： ①； ②； ③； ④ 其中，正确结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，由对称轴公式判断与的关系，由抛物线与轴交点及与轴交点位置判断的取值范围，结合图象性质对各个结论进行判断． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向上，∴． ∵对称轴为直线， ∴，即． ∵抛物线与轴交于点， ∴，． ∵抛物线与轴的交点在和之间， ∴． 对于①，由对称性可知抛物线与轴的另一个交点为，∴当时，，即，故①正确； 对于②，∵抛物线与轴有两个交点，∴．∵，∴．∴，故②正确； 对于③，，，，∴，即，故③正确； 对于④，∵，且，∴，∴，故④错误． 综上所述，正确的结论有①②③．故选A． 二．填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11. 若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查比例的性质，掌握运算法则是解题关键． 根据比例设，，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 12. 若函数是二次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式为（是常数，且），其中最高次项的次数为．要确定函数为二次函数，需根据二次函数定义，先令最高次项的次数为2，再保证二次项系数不为，从而求解的值． 【详解】是二次函数， ，， ，， ， 故答案为：． 13. 中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗合黄金分割．如扇面高度（）与扇柄长度（）之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适．若，则___________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，确定线段与的数量关系，即较短线段与较长线段的比等于黄金比，代入的长度进行计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，与之比符合黄金比，且由图形可知为较长线段，为较短线段， 根据黄金分割的定义可得  因为  所以  14. 二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象可得，的x的取值范围就是二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：根据函数图象可得，的x的取值范围就是二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围 由图像可知，时二次函数图象在一次函数图象上方． 故答案为 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键． 15. 如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：①定是直角三角形；②；③当M与C重合时，有；④平分正方形的面积；③，在以上5个结论中，正确的有______． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】由折叠的性质可得°，由“”可证，可得，由平角的性质可求，故①和②正确；通过证明，可得，可得，故⑤正确；如图1，设．则，通过证明，可得，可求，可得，故③正确；当点F与点D重合时，直线不平分正方形的面积，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵E为的中点， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴是直角三角形， 故①②正确， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵ ∴，故⑤正确， 如图1中，当M与C重合时， 设．则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，故③正确， 如图2中， 当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故④错误， 综上所述，正确的有：①②③⑤， 故答案为：①②③⑤ 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等知识，利用相似三角形的性质求线段的关系是解题的关键． 三．解答题（共10小题，共90分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将A和B两点坐标代入抛物线的解析式，求得b，c，从而得出结果； （2）运用配方法求出顶点的坐标，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线 经过点， ∴， 解得：， 所以，抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点P的坐标为， ∵， ∴， ∴． 17. 如图，点，分别是的边，上的点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：，， ． ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）利用补角性质，由结合已知证得，再结合公共角，依据两角分别相等的两个三角形相似完成证明． （2）先算出长度，再利用（1）得到的相似三角形对应边成比例列式求出，最后用得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ， ， ， ， ． 18. 2026年江苏省城市足球联赛火热进行中，7月11日南通队将在南通体育会展中心迎来扬州队的挑战．在，，，四个入口中，甲、乙两人随机选择一个开展志愿服务活动． （1）甲选入口开展志愿服务活动的概率为________． （2）求甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）确定甲选入口的等可能总结果数与选B入口的结果数，计算对应概率； （2）通过列表法或树状图法列举甲、乙选入口的所有等可能结果，统计两人选同一入口的结果数，计算对应概率． 【小问1详解】 解：∵甲从A、B、C、D四个入口中随机选择一个，共有4种等可能的结果，其中选B入口的结果有1种， ∴甲选B入口开展志愿服务活动的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由图可以看出一共有16种结果，它们出现的可能性相等，其中甲、乙两人选同一入口开展志愿服务活动的结果有4种， ∴ 甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率为． 19. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】（1） 解：如图所示，点为所作； （2） 解：如图所示，为所作； （3）10 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 20. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元／盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元／盒时，每天可售出100盒；售价每降低1元／盒时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元／盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． （1）求出关于的函数解析式； （2）要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ （3）每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）74元 （3）75元，3125元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式是解题的关键： （1）根据总利润等于每盒利润乘以销量，列出函数关系式即可； （2）令，求出的值，即可； （3）利用二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，； 【小问2详解】 当时， 解得， ∵尽快减少库存， ∴，此时售价为（元）； 答：每盒月饼的售价应定为74元； 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的开口向下，当时，函数有最大值为； 故当售价为元时，每天销售该月饼获得利润最大，为3125元． 21. 在“利用相似三角形测高”的数学实践课上，小星准备用标杆、皮尺测量旗杆的高度．已知升旗台的高度．如图所示，他设计的测量步骤如下： ①在地上立了两根高度均为的标杆和，两根标杆的距离，且G，D，三点在同一条直线上； ②从点后退到点，从处观察点，此时A，C，E三点在同一条直线上； ③再从点后退到点，从处观察点时，A，F，H三点在同一条直线上． 请帮他完成以下任务． 任务一：设的长为，用含的代数式表示_________m； 任务二：求旗杆的高． 【答案】任务一：；任务二： 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质和判定的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． 任务一：由题意，的长为，，，则可表示； 任务二：可证，，则，因为，所以可得，设列方程即可求得，再根据可求长，则可求． 【详解】解：任务一：的长为，，， 故答案为：； 任务二：， ． ， ． ， 同理：． ． ， ． ， ． ． ． ， 即， ， ， ， ∴旗杆的高为． 22. 在某次消防实战演练中，从水枪喷水口处喷出的水流呈抛物线形状，落到高楼外墙上的点处，已知喷出水流的高度与水流到喷水口的水平距离之间的关系如图所示，当水流到喷水口的水平距离为时，达到最高点，此时喷出水流的高度为． （1）求关于的函数表达式； （2）已知水枪喷水口处到高楼外墙的水平距离为，高楼外墙上的点处距离地面的高度是，假设将水枪喷水口平移，喷出的水流所在抛物线的形状保持不变． ①若将水枪喷水口沿竖直方向向上平移，使喷出的水流恰好落到高楼外墙上的点处，求平移的距离； ②若将水枪喷水口沿水平方向平移，使喷出的水流恰好落到高楼外墙上的点处，直接写出平移的方向和距离． 【答案】（1） （2）①平移的距离为；②向右平移或 【解析】 【分析】（）设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可； （）①设水枪喷水口沿竖直方向向上平移，则平移后的抛物线解析式为，把代入求出的值即可求解； ②分将水枪喷水口沿水平方向向右平移和向左平移两种情况，利用待定系数法求出平移的距离即可求解； 本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①设水枪喷水口沿竖直方向向上平移，则平移后的抛物线解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴水枪喷水口沿竖直方向向上平移； ②若将水枪喷水口沿水平方向向右平移，设平移，则平移后的抛物线解析式为， ∵， ∴， 解得或， ∴水枪喷水口沿水平方向向右平移或； 若将水枪喷水口沿水平方向向左平移，设平移，则平移后的抛物线解析式为， ∵， ∴， 解得或，不合题意； ∴水枪喷水口沿水平方向向右平移或，能使喷出的水流恰好落到高楼外墙上的点处． 23. 如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为． （1）______（用含的代数式表示）； （2）点在边上运动时，当是等腰三角形时，求出此时的值； （3）点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． 【答案】（1） （2）t的值为 （3）当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据题意即可用t可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t； （3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值； 【小问1详解】 解：∵点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：点Q从B向C运动，速度为， 故Q在上时，运动时间满足， 当是等腰三角形时，，则， ∵， ∴， 解得：， ∴是等腰三角形时，t的值为； 【小问3详解】 解：当是以为底边的等腰三角形时，，如图： ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 已知点Q的速度为， ∴； 当是以为底边的等腰三角形时，，如图： ∴， ∴， 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 24. 如图，矩形中，，，在边上取一点E，将翻折，使点C落在点P处，折痕为，交于点Q． 【特例感知】（1）如图1，若点P恰好落在边上，求证：； 【变式求异】（2）如图2，若点E是的中点，点P落在矩形内部，求点P到的距离； 【化归探究】（3）如图3，若，交于点F，求的长． 【答案】 （1）∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，证明是解题的关键． （1）先证明，再由，即可证明． （2）如图，作于点H，同理可证明，则可推出，设，，则，由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）如图，作交于点H，连接，先求出，，同理可证明，得到，设，，则，由折叠的性质可得，在中，由勾股定理得，解方程求出，再证明，即，可得． 【详解】解：（1）略 （2）如图，作于点H， 同理可证明， ∴， ∴， 设，， ∴， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得 ∴， ∴（舍）， ∴， ∴点P到的距离为； （3）如图，作交于点H，连接， ∵， ∴，， 同理可证明， ∴， ∴， 设，， ∴， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得 ∴， ∴（舍），． ∴， ∵平行， ∴，， ∴，即 ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段下方抛物线上的一动点，连接，，点，分别是对称轴上两动点（在点下方）且，连接，．当取得最大值时，求的最大值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）点坐标为或 【解析】 【分析】（1）设抛物线解析式为，将代入即可求解； （2）过点作轴交于点，设，则，分别求出的面积，的面积，则，当时，取最大值，此时；连接，过点作，过点作，可得，再由，可求的最大值为； （3）先求出，，取，连接，推导出，由平移可知点在直线上，过点作，则，直线与抛物线的交点为；作直线关于直线的对称直线，与直线交于点，根据，设，求出，直线与抛物线的交点为． 【小问1详解】 解：当时，， ， 设抛物线解析式为， 将点代入，， 解得， ； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ， 解得， ， 过点作轴交于点， 设，则， ， 的面积，的面积， ， 当时，取最大值，此时； 连接，过点作，过点作， ，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 的最大值为； 【小问3详解】 解：抛物线沿射线方向平移个单位长度， 向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度， ，， 取，连接， ， ， ， ， 由平移可知点在直线上， 过点作，则， 直线的解析式为， 设的直线解析式为， 代入，得， ∴， ∴的直线解析式为， 当时， 解得或， ； 作直线关于直线的对称直线，与直线交于点， ， ， 设， ， 解得， ， 直线的解析式为， 当时， 解得或， ， 综上所述：点坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026.10济南实验初级中学九年级期中数学试题 一．选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 如图，以箭头方向为主视方向，那么这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，所得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（　　） A. 12个 B. 15个 C. 18个 D. 20个 6. 已知点和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明到操场测量旗杆AB的高度，他手拿一支铅笔MN，边观察边移动（铅笔MN始终与地面垂直）．当小明移动到D点时，眼睛C与铅笔，旗杆的顶端M，A共线，同时眼睛C与它们的底端N，B也恰好共线．此时测得DB＝50m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6m，铅笔MN的长为0.16m，则旗杆AB的高度为（ ） A. 15m B. m C. m D. 14m 8. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A. B. 2 C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论： ①； ②； ③； ④ 其中，正确结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二．填空题（共5小题，每题4分，共20分） 11. 若，则的值为______． 12. 若函数是二次函数，则______． 13. 中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗合黄金分割．如扇面高度（）与扇柄长度（）之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适．若，则___________．（结果保留根号） 14. 二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的x的取值范围是____________． 15. 如图，已知正方形，E为的中点，F是边上的一个动点，连接将沿折叠得，延长交于M，现在有如下5个结论：①定是直角三角形；②；③当M与C重合时，有；④平分正方形的面积；③，在以上5个结论中，正确的有______． 三．解答题（共10小题，共90分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，求的面积． 17. 如图，点，分别是的边，上的点，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 18. 2026年江苏省城市足球联赛火热进行中，7月11日南通队将在南通体育会展中心迎来扬州队的挑战．在，，，四个入口中，甲、乙两人随机选择一个开展志愿服务活动． （1）甲选入口开展志愿服务活动的概率为________． （2）求甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率． 19. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 20. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元／盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元／盒时，每天可售出100盒；售价每降低1元／盒时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元／盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． （1）求出关于的函数解析式； （2）要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ （3）每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 21. 在“利用相似三角形测高”的数学实践课上，小星准备用标杆、皮尺测量旗杆的高度．已知升旗台的高度．如图所示，他设计的测量步骤如下： ①在地上立了两根高度均为的标杆和，两根标杆的距离，且G，D，三点在同一条直线上； ②从点后退到点，从处观察点，此时A，C，E三点在同一条直线上； ③再从点后退到点，从处观察点时，A，F，H三点在同一条直线上． 请帮他完成以下任务． 任务一：设的长为，用含的代数式表示_________m； 任务二：求旗杆的高． 22. 在某次消防实战演练中，从水枪喷水口处喷出的水流呈抛物线形状，落到高楼外墙上的点处，已知喷出水流的高度与水流到喷水口的水平距离之间的关系如图所示，当水流到喷水口的水平距离为时，达到最高点，此时喷出水流的高度为． （1）求关于的函数表达式； （2）已知水枪喷水口处到高楼外墙的水平距离为，高楼外墙上的点处距离地面的高度是，假设将水枪喷水口平移，喷出的水流所在抛物线的形状保持不变． ①若将水枪喷水口沿竖直方向向上平移，使喷出的水流恰好落到高楼外墙上的点处，求平移的距离； ②若将水枪喷水口沿水平方向平移，使喷出的水流恰好落到高楼外墙上的点处，直接写出平移的方向和距离． 23. 如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为． （1）______（用含的代数式表示）； （2）点在边上运动时，当是等腰三角形时，求出此时的值； （3）点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． 24. 如图，矩形中，，，在边上取一点E，将翻折，使点C落在点P处，折痕为，交于点Q． 【特例感知】（1）如图1，若点P恰好落在边上，求证：； 【变式求异】（2）如图2，若点E是的中点，点P落在矩形内部，求点P到的距离； 【化归探究】（3）如图3，若，交于点F，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段下方抛物线上的一动点，连接，，点，分别是对称轴上两动点（在点下方）且，连接，．当取得最大值时，求的最大值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $