1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 知识清单-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册
1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 知识清单
人教B版 选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何
◆ 一、本节导览
上一节讲的是“表示”：任意一个空间向量，都能写成三个不共面的向量的线性组合，而且写法唯一。既然写法唯一，剩下的问题就很自然了——能不能把这三个系数单独拿出来，排成一排，当作这个向量的“身份证”？
能。只要把三个基向量取成两两垂直的单位向量，这排系数就是坐标。从这一刻起，空间里的点、向量、线段、平面全都变成有序实数组，判断平行垂直是列比例式，求长度夹角是开根号做除法。几何题的“看出来”，换成了代数题的“算出来”。
这份清单按“建系—写坐标—算—用”的顺序展开。前三节解决“坐标系怎么立、坐标怎么读”，中间四节是全部运算公式，后四节是把公式用到立体几何里。
学习目标 ① 说出空间直角坐标系的三个要素，会用右手系判断方向，会在图上读出点的坐标； ② 记住八个卦限的符号规律，能写出坐标轴上、坐标平面上的点的坐标； ③ 会把向量用坐标表示，牢记“终点坐标减起点坐标”，不写反； ④ 熟练进行坐标的加减、数乘、数量积，会用坐标求模、夹角、判断平行与垂直； ⑤ 会用两点距离、中点、定比分点公式，会建系用坐标法完成证明与计算。 |
环节 | 这一环要回答什么 | 落在这几个结论上 |
建系 | 怎样把空间“数字化” | 三轴两两垂直、共原点、同单位；右手系；8 个卦限 |
点坐标 | 一个点用什么刻画 | 三个有向投影： |
向量坐标 | 一个向量用什么刻画 |
|
坐标运算 | 运算能否直接对数组做 | 加减、数乘、数量积逐分量进行 |
度量公式 | 长度、夹角怎么算 |
|
位置关系 | 平行、垂直怎么判 | 坐标成比例 / 数量积为 0 |
坐标法 | 几何题怎么变代数题 | 建系 → 写坐标 → 算 → 翻译回几何 |
与前后两节的接口 前面：1.1.2 的基底，一旦取成单位正交基底 后面：1.2 用坐标求线面角、二面角、点面距，本节的公式是全部工具；高考解答题的立体几何，第一问常用几何法，第二问基本都靠坐标。 |
◆ 二、空间直角坐标系的建立
在空间中选定一点 O，从 O 出发作三条两两垂直的数轴，依次叫 x 轴、y 轴、z 轴，三条轴的长度单位相同，就建立了空间直角坐标系，记作 O-xyz。O 叫原点，三条轴叫坐标轴，每两条轴确定的平面依次叫 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面，统称坐标平面。
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立系的两条铁律 三个要素缺一不可：共原点、两两垂直、单位相同。三轴不垂直就不是直角坐标系，坐标公式全部作废。 方向用右手系判定：右手拇指指向 x 轴正方向，食指指向 y 轴正方向，中指所指就是 z 轴正方向。 等价说法：把右手四指从 x 轴正方向弯向 y 轴正方向，拇指所指就是 z 轴正方向。画图时常见的“x 向右、y 向后、z 向上”就是右手系。 |
图1 点 P 的坐标：先落到 xOy 平面（Q），再分别落到两条轴上，最后量高度
图1 给出了读坐标的三条路径，做题时任选一条，结果一定相同：
路径 | 怎么做 | 得到的三个数 |
投影法 | 过 P 作 xOy 平面的垂线得 Q，再过 Q 向两条轴作垂线 | 三个垂足对应的有向长度 |
平移法 | 从 O 出发沿 x 轴走 x，再沿 y 轴方向走 y，最后沿 z 轴方向走 z | 终点就是 P，三段的有向长度即坐标 |
分解法 | 写出位置向量 |
|
三种说法其实是同一件事：坐标就是“沿三个轴方向各走多远”。所以写坐标时不要凭感觉，先在心里沿三条棱走一遍。
◆ 三、点的坐标：八个卦限与特殊位置
三个坐标平面把空间分成八个部分，每一部分叫一个卦限。卦限由三个坐标的符号唯一确定：三个都为正的那个卦限叫第一卦限，它的位置是“前右上方”。八个卦限的符号如下表。
卦限 | x | y | z | 典型点 | 卦限 | x | y | z | 典型点 |
第一 | + | + | + | (1, 2, 3) | 第五 | + | + | − | (1, 2, −3) |
第二 | − | + | + | (−1, 2, 3) | 第六 | − | + | − | (−1, 2, −3) |
第三 | − | − | + | (−1, −2, 3) | 第七 | − | − | − | (−1, −2, −3) |
第四 | + | − | + | (1, −2, 3) | 第八 | + | − | − | (1, −2, −3) |
记忆办法：把“z 的正负”当作分水岭——上面四个卦限（第一至第四）的 z 都为正，下面四个（第五至第八）的 z 都为负；每一组内部再按 x、y 的符号 “++、−+、−−、+−” 循环，从 x 轴正方向起逆时针数。
坐标轴与坐标平面上的点
把“沿某个轴走 0 步”代入平移法，立刻得到下面的结论——
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点的位置 | 坐标特征 | 举例 |
原点 O | 三个坐标全为 0 | (0, 0, 0) |
x 轴上的点 |
| (3, 0, 0) |
y 轴上的点 |
| (0, −2, 0) |
z 轴上的点 |
| (0, 0, 5) |
xOy 平面上的点 |
| (1, 2, 0) |
yOz 平面上的点 |
| (0, 2, 3) |
zOx 平面上的点 |
| (1, 0, 3) |
几个 0 就降几维 一个点的坐标里有几个 0，它就被“锁”在低一维的图形上：一个 0 在坐标平面上，两个 0 在坐标轴上，三个 0 是原点。 反过来也常用：题目说“点 P 在 z 轴上”，就立刻设 |
◆ 四、对称点的坐标
坐标法里经常要“找对称点”。有了坐标，对称只是把某些坐标改号，不必画图。设点 P 的坐标为 
，则
对称方式 | 对称点的坐标 | 变号的个数 |
关于 xOy 平面对称 |
| 1 个 |
关于 yOz 平面对称 |
| 1 个 |
关于 zOx 平面对称 |
| 1 个 |
关于 x 轴对称 |
| 2 个 |
关于 y 轴对称 |
| 2 个 |
关于 z 轴对称 |
| 2 个 |
关于原点对称 |
| 3 个 |
一句口诀管七种 关于谁对称，谁就不变。关于平面对称变 1 个（垂直于该平面的那个坐标），关于轴对称变 2 个，关于原点对称变 3 个。 验证办法：对称点与原点的连线必须垂直于对称对象，且中点在对称对象上。拿不准时用这两条验一遍。 |
◆ 五、向量的坐标：终点减起点
取两两垂直的单位向量 
作基底（这叫单位正交基底），若 
，就记 
。三个系数就是向量的坐标。
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