1.2.5 空间中的距离-【新课程学案】2026-2027学年高中选择性必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦空间中的距离这一核心知识点，系统讲解两点间距离、点到直线、点到平面、相互平行的直线及平面间距离的向量求解方法，作为空间向量应用的学习支架，承接空间向量的基本运算，为解决复杂空间几何问题奠定基础。 该资料采用梯度进阶式教学设计，通过“思维建模”提炼解题步骤培养数学思维，结合空间直角坐标系建立发展数学眼光，用向量公式精准表达距离提升数学语言能力。例题与针对训练结合，课中助力教师高效授课，课后通过课时检测帮学生查漏补缺，强化空间距离问题的解决能力。

1.2.5　空间中的距离 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　[课时目标] 能用向量方法解决两点间的距离、点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题.体会向量方法在解决几何问题中的作用. 1.空间中两点之间的距离、点到直线的距离 (1)空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长.因为向量的长度表示的是向量的始点与终点之间的距离,所以可通过向量来求空间中两点之间的距离. (2)点到直线的距离:给定空间中一条直线l及l外一点A,因为l与A能确定一个平面,所以过A可以作直线l的一条垂线段,这条垂线段的长称为点A到直线l的距离.点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度. 2.点到平面的距离 (1)给定空间中一个平面α及α外一点A,过A可以作平面α的一条垂线段,这条垂线段的长称为点A到平面α的距离.点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度. (2)若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的距离d=. 3.直线到平面的距离、平面到平面的距离 (1)一条直线上的任一点,与它平行的平面的距离,叫做直线与这个平面的距离. (2)如果一条直线平行于平面α,则直线上的各点到平面α所作的垂线段相等,即各点到α的距离相等. (3)当平面与平面平行时,一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离. (4)与两个平行平面同时垂直的直线,称为这两个平面的公垂线,公垂线夹在平行平面间的部分,称为这两个平面的公垂线段. (5)两个平行平面之间的距离,也等于它们的公垂线段的长. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)设n是平面α的法向量,点A在平面α内,点B在平面α外,则点B到α的距离为d=. (　　) (2)已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,点P(-2,1,4)到平面α的距离为,则x=-1. (　　) 答案:(1)√　(2)× 2.在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,M是平面ABC内一点,且点M到其他三个平面的距离分别是2,3,6,则点M到顶点P的距离是 (　　) A.7 B.8 C.9 D.10 解析:选A　以P为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),由题意,得|MP|==7. 题型(一)　点到直线的距离 [例1]　如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离. 解:以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A1(4,0,1),C1(0,3,1),B(0,0,0). 直线A1C1的一个方向向量=(-4,3,0),=(0,3,1),所以点B到直线A1C1的距离d===. |思|维|建|模| 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的单位方向向量u. (3)计算所求点P与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式PQ=计算点到直线的距离. 　　[针对训练] 1.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=1,BC=2,AA'=3,点M是AD的中点,求点M到直线B'D'的距离. 解:建立如图所示的空间直角坐标系,M(1,0,0),D'(0,0,3),B'(2,1,3), =(-1,0,3), =(2,1,0), 所以点M到直线B'D'的距离为 ==. 题型(二)　点到平面的距离 [例2]　如图,P,O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心,AB=AA1=2. (1)求平面PBC的一个法向量; (2)求点O到平面PBC的距离. 解:(1)因为P,O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心,连接OA,OB,OC,OP,所以OA,OB,OP两两互相垂直,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,因为AB=AA1=2,所以OA=OC=OB=2,OP=AA1=2, 所以B(0,2,0),C(-2,0,0),P(0,0,2),所以=(0,2,-2),=(-2,0,-2). 设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z), 则⇒取z=1, 则x=-1,y=1,所以m=(-1,1,1),所以平面PBC的一个法向量为(-1,1,1). (2)由(1)知平面PBC的一个法向量为(-1,1,1),又=(0,2,0), 所以点O到平面PBC的距离d===, 所以点O到平面PBC的距离为. |思|维|建|模| 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离. 　　[针对训练] 2.如图,将边长为 的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,求点D到平面ABC的距离. 解:设O是BD的中点,连接OA,OC,由于折叠前四边形ABCD是正方形,边长为,所以OA=OB=OC=OD=1.依题意,平面ABD⊥平面BCD且交线为BD, OA⊂平面ABD,OA⊥BD,所以OA⊥平面BCD,由于OC⊂平面BCD,所以OA⊥OC,则OA,OC,OD两两相互垂直, 以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,1,0),B(0,-1,0),A(0,0,1),C(1,0,0),=(0,2,0),=(0,1,1),=(1,1,0),设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z), 则故可设n=(1,-1,1), 所以点D到平面ABC的距离为==. 题型(三)　线面距与面面距 [例3]　如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分别是OA,BC,AD的中点.求: (1)直线MN与平面OCD的距离; (2)平面MNR与平面OCD的距离. 解:(1)因为OA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,以点A为坐标原点,AB,AD,AO所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(2,2,0),D(0,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),R(0,1,0), 因为M,R分别为OA,AD的中点,则MR∥OD, 因为MR⊄平面OCD,OD⊂平面OCD,所以MR∥平面OCD,因为AD∥BC且AD=BC,R,N分别为AD,BC的中点,则CN∥RD且CN=RD, 所以四边形CDRN为平行四边形,所以RN∥CD, 因为RN⊄平面OCD,CD⊂平面OCD,所以RN∥平面OCD,因为MR∩RN=R,MR,RN⊂平面MNR,所以平面MNR∥平面OCD, 因为MN⊂平面MNR,所以MN∥平面OCD, 设平面OCD的一个法向量为n=(x,y,z),=(2,0,0),=(0,-2,2),则 取y=1,可得n=(0,1,1),=(0,1,0),所以直线MN与平面OCD的距离为d1===. (2)因为平面MNR∥平面OCD,所以平面MNR与平面OCD的距离为d2===. |思|维|建|模| 　　线面距、面面距实质上都是求点面距,求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行. 　 　[针对训练] 3.如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且∠ADC=90°,AD=1,CD=,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1与平面ABE的距离. 解:∵A1B1∥AB,A1B1⊄平面ABE,AB⊂平面ABE,∴A1B1∥平面ABE,∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离. 如图,以D为坐标原点, 分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A1(1,0,2),A(1,0,0),E(0,,1),C(0,,0).过点C作AB的垂线交AB于点F,易得BF=, ∴B(1,2,0),∴=(0,2,0),=(-1,-,1). 设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z), 则即∴y=0,x=z,不妨取n=(1,0,1). ∵=(0,0,2),∴点A1到平面ABE的距离d===. ∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离, ∴直线A1B1与平面ABE的距离为. [课时检测] 1.已知A(1,2,0),B(3,1,2),C(2,0,4),则点C到直线AB的距离为 (　　) A.2 B. C.2 D.2 解析:选B　因为=(2,-1,2),=(1,-2,4),所以在上的投影数量为==4.设点C到直线AB的距离为d,则d===. 2.若平面α的一个法向量为n=(1,2,1),=(-1,-1,2),A∉α,B∈α,则点A到平面α的距离为 (　　) A.1 B. C. D. 解析:选B　因为=(-1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(1,2,1),所以点A到平面α的距离为=. 3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　建立空间直角坐标系,如图,则C(1,1,0),C1(1,1,1),E,所以=,=(0,0,1),所以在上的投影数量为==,所以点C1到直线EC的距离d= ==. 4.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点M在上且=,N为B1B的中点,则||为 (　　) A.a B.a C.a D.a 解析:选A　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(a,0,0),C1(0,a,a),N. 设M(x,y,z).∵点M在上且=, ∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z), ∴x=a,y=,z=.于是M. ∴||= =a. 5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=6,点E,F分别为棱BB1,AC的中点,则点C1到平面A1EF的距离为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　如图,取A1C1的中点G,连接FG,以F为坐标原点,FB,FC,FG所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则F(0,0,0),A1(0,-1,6),E(,0,3),C1(0,1,6),所以=(0,-1,6),=(,0,3),=(0,1,6),设平面A1EF的一个法向量为n=(x,y,z),所以令z=1,解得x=-,y=6,所以平面A1EF的一个法向量为n=(-,6,1),所以点C1到平面A1EF的距离d==. 6.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=2,AB⊥AC,M是CC1的中点,N是BC的中点,P是A1B1的中点,则点A到平面MNP的距离为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　如图,以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,连接AM,则A(0,0,0),M(0,2,1),N(1,1,0),P(1,0,2),所以=(-1,2,-1),=(0,1,-2),=(0,2,1),设平面MNP的一个法向量为u=(x,y,z), 则令y=2,则x=3,z=1, 所以平面MNP的一个法向量u=(3,2,1),所以点A到平面MNP的距离为==. 7.在三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=6,AB,AC,AD两两垂直,E为AB的中点,F为AD上更靠近点D的三等分点,O为△BCD的重心,则O到直线EF的距离为 (　　) A.2 B.1 C. D. 解析:选C　以A为原点,AB,AC,AD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(6,0,0),C(0,6,0),D(0,0,6),E(3,0,0),F(0,0,4),得O(2,2,2),=(-3,0,4),取a==(-1,2,2),u==(-3,0,4)=,则a2=9,a·u=,所以点O到直线EF的距离为 =. 8.(5分)在四棱锥S-ABCD中,=(4,-1,0),=(0,3,0),=(-3,1,-5),则这个四棱锥的高h为　　　　.  解析:设平面ABCD的一个法向量为n=(x,y,z),则所以x=y=0,所以取n=(0,0,1),所以此四棱锥的高h===5. 答案:5 9.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,A(1,2,1),B(2,1,m),C(0,1,2),若点C到直线AB的距离不小于,写出一个满足条件的m的值:　　　　.  解析:因为=(1,-1,m-1),=(-1,-1,1),所以点C到直线AB的距离d==≥,解得1-≤m≤1+. 答案:1(答案不唯一,只要1-≤m≤1+即可) 10.(5分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为　　　　.  解析:因为B1D1∥BD,B1D1⊄平面BDC1,BD⊂平面BDC1,所以B1D1∥平面BDC1,同理AD1∥平面BDC1,又B1D1∩AD1=D1,所以平面AB1D1∥平面BDC1,则两平行平面间的距离等于点B到平面AB1D1的距离.如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),B1(a,a,a),D1(0,0,a),则=(0,a,a),=(-a,-a,0),=(0,-a,0).设平面AB1D1的一个法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则y=-1,z=1,则n=(1,-1,1),则点B到平面AB1D1的距离d===a,所以平面AB1D1与平面BDC1的距离为a. 答案:a 11.如图,四棱锥P-ABCD中,平面PBC⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,△PBC是等边三角形,M,N分别为AB和PC的中点,则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为　　　　　.  解析:连接AC,BD相交于点O,O点为底面ABCD的中心,取BC中点为E,连接EO,EP,则EP⊥BC,因为平面PBC⊥平面ABCD,则EP⊥平面ABCD,以点E为原点,分别以,,为x,y,z轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,且底面ABCD的边长为2,△PBC是等边三角形,则D(2,1,0),M(1,-1,0),C(0,1,0),P(0,0,),则N,O(1,0,0),则=,=,=(1,1,0).设平面DMN的一个法向量为n=(x,y,z),则解得令z=7,则y=-,x=2,所以n=(2,-,7),且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点O到平面DMN的距离,则d===. 答案: 12.(10分)如图,长方体ABCD-A'B'C'D'的顶点坐标为B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),A'(0,0,2),B'(1,0,2),D'(0,2,2),E和F分别是棱DD'和BB'的中点,求CE与A'F之间的距离. 解:因为E和F分别是棱DD'和BB'的中点, 则E(0,2,1),F(1,0,1).又=(-1,0,1), =(1,0,-1),且直线CE与A'F无公共点, 所以CE∥A'F.因此点F到直线CE的距离即为平行线CE与A'F之间的距离. 又因为=(-1,0,1),=(0,2,-1), 所以在上的投影数量为===. 所以点F到直线CE的距离d===. 因此CE与A'F之间的距离为. 13.(10分)如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,求点D到平面ACE的距离. 解:取AB的中点O,连接OE. 因为△AEB是等腰直角三角形,所以OE⊥AB,OE=OA=1. 由已知得,平面ABCD⊥平面AEB,平面ABCD∩平面AEB=AB, 所以OE⊥平面ABCD. 以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系(其中z轴平行于BC),则 C(0,1,2),A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2), 所以=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2). 设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z),则即令y=1,∴n=(-1,1,-1).故点D到平面ACE的距离d===. 14.(15分)如图,已知ABCD是矩形,点P为平面ABCD外一点,PA⊥平面ABCD,若点E为PB的中点,PA=AB=1,BC=2. (1)求证:AE⊥平面PBC;(7分) (2)在边BC上是否存在一点G,使点D到平面PAG的距离为?若存在,求出BG的值;若不存在,请说明理由.(8分) 解:(1)证明:已知ABCD是矩形,所以AB⊥AD, 又PA⊥平面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD, 如图,以A为原点,AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),E, 所以=,=(0,2,0),=(1,0,-1),则·=0+0+0=0,·=+0-=0,故AE⊥BC,AE⊥PB,又BC∩PB=B,BC,PB⊂平面PBC,所以AE⊥平面PBC. (2)设G(1,a,0)且a∈[0,2], 设平面PAG的一个法向量为n=(x,y,z), 又=(0,0,1),=(1,a,0), 则解得 令y=1,则n=(-a,1,0), 又=(0,2,0),则点D到平面PAG的距离为==,整理得a2=1, 解得a=1或a=-1(舍去),故BG=||=1. 学科网（北京）股份有限公司 $