专题09 几何图形 复习讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题09几何图形复习讲义 1.能区分立体图形与平面图形，识别常见几何体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥。 2.理解立体图形的展开图，会判断、画出简单几何体的表面展开图，能由展开图还原立体图形。 3.会从不同方向（正面、左面、上面）观察立体图形，画出对应的三视图。 4.理解点、线、面、体之间的关系，知道点动成线、线动成面、面动成体。 5.能判断旋转体，分清平面图形旋转后得到的立体图形。 6.会识别组合几何体，结合视图、展开图解决简单匹配类题目。 7.易错辨析：展开图里相邻面、相对面不能混淆；视图只看看到的轮廓，不画看不见的棱。 题型 考察方向 难度 题型一 常见的几何体 ★ 题型二 组合几何体的构成 ★ 题型三 立体图形的分类 ★ 题型四 几何体中的点、棱、面 ★★ 题型五 从不同方向看几何体 ★★ 题型六 几何体展开图的认识 ★★ 题型七 由展开图计算几何体的表面积 ★★★ 题型八 由展开图计算几何体的体积 ★★★ 题型九 正方体几种展开图的识别 ★★ 题型十 正方体相对两面上的字 ★★ 题型十一 含图案的正方体的展开图 ★★★ 题型十二 求展开图上两点折叠后的距离 ★★★ 题型十三 补一个面使图形围成正方体 ★★ 题型十四 平面图形形状的识别 ★ 题型十五 用七巧板拼图形 ★ 题型十六 点、线、面、体四者之间的关系 ★ 题型十七 平面图形旋转后所得的立体图形 ★★ 题型十八 截一个几何体 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 立体图形与平面图形基础定义 1. 两类图形划分标准 类别 定义 核心特征 常见例子 立体图形 各部分不都在同一平面内的几何图形 占有一定空间，有厚度、高度 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥 平面图形 各部分都在同一个平面内的几何图形 仅存在长宽，无厚度 点、线段、射线、直线、角、三角形、长方形、圆、多边形 2. 实物抽象图形步骤 生活实物 → 忽略颜色、材质、重量 → 只保留外形轮廓 → 得到几何图形 举例：魔方→正方体；易拉罐→圆柱；篮球→球；三角尺→三角形 知识点 02 常见立体图形分类、特征、辨析表格 一、柱体（分为棱柱、圆柱） 立体名称 底面特征 侧面特征 棱 / 曲面 典型实物 正方体（四棱柱） 2个完全相同正方形 4个正方形平面 全是棱，无曲面 魔方、骰子 长方体 2 个完全相同长方形 4 个长方形平面 全是棱，无曲面 课本、文具盒 n 棱柱（三棱柱 / 五棱柱） 2 个全等 n 边形 n 个长方形 全部由平面围成 三棱镜、五边形立柱 圆柱 2 个大小相等圆形（平行） 1 个曲面 2 个圆形底面，侧面曲面 水杯、易拉罐 二、锥体（分为棱锥、圆锥） 立体名称 底面特征 侧面特征 棱 / 曲面 典型实物 n 棱锥（三棱锥 / 四棱锥） 1 个 n 边形 n 个三角形平面 全是棱，无曲面 金字塔模型、三角支架 圆锥 1 个圆形底面 1 个曲面 底面圆，侧面曲面，1 个顶点 冰淇淋甜筒、沙堆 三、球体 球：只有 1 个连续曲面，无底面、无棱、无顶点，任意截面都是圆； 实物：足球、乒乓球。 补充区分：平面围成 vs 含曲面立体 全由平面围成：正方体、长方体、棱柱、棱锥（统称多面体） 含曲面：圆柱、圆锥、球（旋转体） 知识点 03 立体图形的展开图（考试重点） 1. 正方体 11 种标准展开图（预习必记分类） 分四类，禁止出现 “田字格、凹字形”，这类不能折成正方体： “一四一” 型（6 种）：中间 4 个正方形，上下各 1 个 “一三二” 型（3 种）：中间 3 个，上方 1 个，下方 2 个错开 “三三” 型（1 种）：两行各 3 个正方形，仅错开一格 “二二二” 型（1 种）：三行各 2 个，阶梯错开 ❌ 禁忌图形：田字、凹字、7 字形，无法折叠成正方体 2. 常见立体标准展开图对照表 立体图形 展开图组成 正方体 / 长方体 6 个矩形（正方体 6 个正方形），相对面不相邻 三棱柱 2 个全等三角形 + 3 个长方形 圆柱 2 个相同圆形 + 1 个长方形（长方形一边 = 圆周长） 圆锥 1 个圆形 + 1 个扇形（扇形弧长 = 底面圆周长） 三棱锥 4 个三角形（底面 1 个，侧面 3 个） 3. 展开图核心规律 (1)立体相对的两个面，展开后不共用边、不相邻； (2)折叠时曲面与平面衔接处边长完全相等。 知识点 04 从不同方向看立体图形（三视图铺垫） 1. 三种观察方向定义 主视图：从正面看几何体得到的平面图形 左视图：从左面看几何体得到的平面图形 俯视图：从上面看几何体得到的平面图形 2. 基础几何体三视图表格 几何体 主视图 左视图 俯视图 正方体 正方形 正方形 正方形 长方体 长方形 长方形 长方形 圆柱 长方形 长方形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆（中心带顶点圆点） 球 圆 圆 圆 知识点05：几何体的截面 知识点06:由展开图计算几何体的表面积与体积 1. 表面积计算 展开图的总面积 = 几何体的表面积 正方体：S = 6a2（a 为棱长） 长方体：S = 2(ab+bc+ac)(a,b,c为长宽高） 圆柱：S = 2π2 + 2πrh（r 底面半径，h 高） 2. 体积计算 正方体：V = a3 长方体：V = abc 圆柱：V = πr2 h 圆锥：V =πr2 h 知识点 07点、线、面、体的关系（本节核心原理） 1. 四者基础定义 体：立体图形（柱、锥、球） 面：包围体的部分，分两类 平面：平整无弯曲（墙面、桌面） 曲面：弯曲面（球面、圆柱侧面） 线：面与面相交形成的线；分直线、曲线 点：线与线相交的地方，无大小，只有位置 2. 动态运动规律（4 句核心，填空常考） 点动成线：笔尖画线、流星划过夜空（点运动形成线） 线动成面：雨刷扫玻璃、长方形绕边旋转（线运动形成面） 面动成体：半圆绕直径旋转成球、长方形旋转成圆柱（面旋转形成立体） 面面相交得线，线线相交得点 3. 旋转体实例表格（面动成体高频考点） 平面图形 旋转轴 旋转后立体 长方形 一条边 圆柱 直角三角形 直角边 圆锥 半圆 直径 球体 直角梯形 垂直底边的腰 圆台 题型一 常见的几何体 1．下列四个几何体中，是棱柱的是（     ） A． B． C．D． 【答案】D 【详解】解：A是圆柱，B是三棱锥，C是球，D是三棱柱， 根据棱柱的定义可知D符合题意． 2．如图，一个长方体纸箱里面恰好可以装下桶A种饮料，如果改装B种饮料，且饮料不能高出纸箱，那么B种饮料最多可以装________桶． 【答案】20 【分析】先求出纸箱子的长宽高，再利用圆柱的特征进行合理摆放即可． 【详解】解：纸箱长（厘米），纸箱宽（厘米），纸箱高14厘米 将B种饮料的高沿长方体的宽进行摆放， 长可以摆放（桶），宽可以摆放（桶），高可以摆放（桶）……2（厘米） 最多可以装（桶） 因此最多可以装20桶． 3．下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，解题的关键是熟练的掌握立体图形的相关知识． 根据常见实物与几何体的关系解答即可． 【详解】解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：圆柱、球、正方体、长方体． 故选：B 题型二 组合几何体的构成 4．如图所示，①~④是由相同的小立方块搭成的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小立方块搭成的长方体，则应选择__________．（填序号即可） 【答案】①④/④① 【分析】根据组合后的几何体是长方体且有6个小正方体构成直接判断即可． 【详解】由题意知，组合后的几何体是长方体且由6个小立方块搭成，所以，应选择①④， 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了立体图形的拼搭，根据题意发挥空间想象能力是解题的关键． 5．如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体从三个不同方向看到的形状图，该几何体共用了______个小正方体搭成． 【答案】 【分析】根据三个不同方向看到的形状图得出每行每列的小正方体的个数即可． 【详解】解：填写如图，则共有个小正方体． 6．有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【答案】D 【分析】本题考查了正三棱锥，熟练掌握正三棱锥的特点是解题关键．根据正三棱锥的特点解答即可得． 【详解】解：因为图甲是边长为3的等边三角形，作底面， 所以正三棱锥的侧面是底边长为3的等腰三角形， 所以阿林选三片乙当作侧面，不能组合成一个正三棱锥；小博选三片丙当作侧面能组合成一个正三棱锥． 故选：D． 题型三 立体图形的分类 7．下列小明的积木玩具抽象图中，不是柱体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据柱体和锥体的定义进行判断，柱体包括棱柱和圆柱，锥体包括棱锥和圆锥． 【详解】解：A是三棱柱，属于柱体； B是圆柱，属于柱体； C是四棱柱，属于柱体； D是四棱锥，属于锥体，不是柱体． 8．下列说法中，正确的个数是（    ） ①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据柱体，锥体的定义及组成作答． 【详解】解：①柱体包括圆柱、棱柱；∴柱体的两个底面一样大；故此选项正确， ②圆柱、圆锥的底面都是圆，正确； ③棱柱的底面可以为任意多边形，错误； ④长方体符合柱体的条件，一定是柱体，正确； ⑤棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面应是长方形，故错误； 共有3个正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了命题，解题的关键是掌握相应的概念，应注意棱柱由上下两个底面以及侧面组成；上下两个底面可以是全等的多边形，侧面是四边形． 9．物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】3分钟后可以注满容器A，可以算出水的流速，从而可以得出6分钟内水龙头的出水量，然后得出答案． 【详解】解：3分钟后可以注满容器A，A容器的体积为． 则6分钟的注入水量为， 设6分钟后容器A中水的高度是， 当时，，注入水量． 当时，，注入水量． 当时，，注入水量 故选：B． 【点睛】本题考查了认识立体图形，解题关键是要读懂题目的意思，也考查了同学们的物理知识和分类讨论的思想． 题型四 几何体中的点、棱、面 10．某个棱柱有15条棱，则它的顶点数、面数依次为（     ） A．5、7 B．10，5 C．10，7 D．15，5 【答案】C 【详解】解：设该棱柱为棱柱， ∵ 棱柱的棱数为， ∴ ，得，即该棱柱为五棱柱． ∴ 顶点数为，面数为． 11．如图，在一个正方体的各个顶点上标上1，2，3，4，．若使得每个面的四个顶点的数字和都一样，则每一面四个顶点的数字和是_______． 【答案】 【分析】根据题意可得，每个顶点处的数字同时在三个面上，则当计算出六个面上的数字之和时，每个数字使用了三次，再根据每个面的四个顶点的数字和都一样即可解答． 【详解】解：因为每个顶点处的数字同时在三个面上，所以在计算每个面的四个顶点的数字之和时，每个顶点处的数字都使用了三次， 所以， 即每一面四个顶点的数字和是． 12．将一个五棱柱的表面沿着某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪开（　　）条棱． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】五棱柱有15条棱，观察五棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数是6条，相减即可求出需要剪开的棱的条数． 【详解】解：由图形可知：没有剪开的棱的条数是6条， 则至少需要剪开的棱的条数是：15﹣6＝9（条）． 故至少需要剪开的棱的条数是9条． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了立体图形的展开与折叠，准确分析判断是解题的关键． 题型五 从不同方向看几何体 13．如图，这是由5个相同的小立方块组成的几何体从左面观察这个几何体得到的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图可知，该组合体从左面观察为“”． 14．一个立体图形，从正面看到的形状是，从上面看到的形状是搭这样的立体图形，最多需要________个小正方体． 【答案】 6 【详解】解：如图，最多需要（个） 15．由个大小相同的小正方体搭成的几何体从正面和左面看到的形状图如图所示，则的最大值为________． 【答案】 11 【分析】先根据从正面看，从左面看的形状图，即可得出从上面看的形状图，然后添加小正方体的个数可得出最多的数量即可． 【详解】解：如图所示，n的最大值为． 题型六 几何体展开图的认识 16．如图是一个底面边长均为、高为的直五棱柱，则它的所有侧面的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件可知每个侧面都是完全一样的长方形，求出一个长方形的面积后乘以即可得到所有侧面的面积之和． 【详解】解：此图是一个底面边长均为、高为的直五棱柱， 每个侧面都是一样的长方形， 每个侧面的面积为， 所有侧面的面积之和为． 17．如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与重合的数字是______． 【答案】 和 【详解】解：当把这个平面图形折成正方体时，左面五个正方形折成一个无盖的正方体，此时，与重合，与重合，与重合，与重合，右面一个正方形折成正方体的盖，此时与、的重合点重合，与、的重合点重合． 18．下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断各几何体的展开图，再确定侧面展开图为扇形的图形即可解答． 【详解】解：A．球体没有侧面展开图，故该选项不符合题意； B．圆锥的侧面展开图是扇形， 故该选项符合题意； C．三棱锥的侧面展开图由三个三角形组成，故该选项不符合题意； D．三棱柱的侧面展开图是矩形，故该选项不符合题意． 题型七 由展开图计算几何体的表面积 19．一个无盖的三棱柱笔筒（底部为直角三角形）的尺寸如图所示（单位：厘米），若要制作这个笔筒至少要用（　　）平方厘米的铁皮． A．1440 B．1536 C．1632 D．1648 【答案】B 【分析】计算三棱柱的无盖表面积即可． 【详解】解：由题意知，笔筒的表面积为：（平方厘米）． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了几何体的表面积．解题的关键在于正确的运算． 20．如图是从三个方向看一个几何体所得到的形状图，若将它的侧面展开，展开后得到的图形的面积为___________．（结果保留π）． 【答案】 【分析】由题意可得此几何体为圆柱，其侧面展开图为矩形，一边为圆柱的高，另一边为底面圆的周长，代入矩形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意得，此几何体为圆柱，侧面展开图为矩形， 其中一边长为，另一边长为， 矩形的面积为． 21．将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求几何体的表面积，分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的面积为即可得到答案． 【详解】解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从下面看露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从左面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从右面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从正面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从后面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， ∴该几何体露在外面的面一共有60个， ∵小立方体的棱长为a， ∴这个几何体的表面积为， 故选：D． 题型八 由展开图计算几何体的体积 22．如图，这是一个长方体形状包装盒的表面展开图，折叠制作完成后得到的长方体的容积是（包装材料厚度不计）（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表面展开图确定长方体的长、宽、高，进而求解容积． 【详解】解：由展开图，知长方体的长、宽、高分别为：70、40、80， ∴容积为； 故选：D 【点睛】本题考查几何体的表面展开图，由表面展开图确定长方体的长、宽、高是解题的关键． 23．（如图）一个长方体的展开图，已知A、C、E、F四个面的面积之和是，且B面是一个边长的正方形．如果A面是长方体底面，那么( )面是长方体上面；这个长方体的体积是( )． 【答案】 E 32 【分析】本题主要考查长方体的性质，长方体展开图以及长方体的体积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解答相对面可通过长方体的展开图特征即可求解，长方体的体积可根据题干给出的B面为正方形的边长获取长方体的高，长方体的长和宽根据A、C、E、F四个面的面积之和可推导，最后再用长方体的体积公式求出结果． 【详解】根据长方体的展开图的特征可知，如果A面是长方体底面，则E面是长方体上面． ∵B面是一个边长为的正方形， ∴长方体的宽和高均为B面的边长， 则， 由图可知，A、C、E、F四个面是四个完全相同的长方形， ∴每个长方形的面积为，宽为， 根据长方形的面积公式推导可得：长方形的长为，且为长方体的长， 则． 故答案为：E，． 24．小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】A 【详解】解：， ∴这个盒子的容积为． 题型九 正方体几种展开图的识别 25．下列图形中，不属于正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正方体展开图共有种，分为“”、“”、“”、“”四种类型，含有“田”字格的图形不属于正方体展开图，据此可得答案． 【详解】解：A选项属于“”型，B选项属于“”型，C选项属于“”型，均能折叠成正方体， D选项中含有“田”字格结构，折叠时面会重合，不能围成正方体． 26．如图是一个正方体纸盒的展开图，当还原折成纸盒时，与点重合的点是点___________． 【答案】 和 【详解】解：由正方体展开图的特点可得：将正方体纸盒的展开图还原折成纸盒后，点所在的正方形分别和点、点所在的两个正方形相交，即点与点 、点重合． 27．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（     ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据常见几何体（正方体、圆锥、棱锥、圆柱）的展开图特征，逐项判断平面图形能否折叠成对应的立体图形． 【详解】A．正方体展开图中不能出现“田”字形，该图形含有“田”字结构，不能折成正方体，故该选项错误； B．圆锥的展开图由一个扇形和一个圆组成，该图形有两个圆，不能折成圆锥，故该选项错误； C．四棱锥由一个四边形底面和四个三角形侧面组成，该图形只有四个三角形，缺少底面，不能折成四棱锥，故该选项错误； D．圆柱的展开图由一个长方形侧面和两个圆形底面组成，该图形符合圆柱展开图特征，能折成圆柱，故该选项正确. 故答案为D． 题型十 正方体相对两面上的字 28．如图，是一个正方体的表面展开图，当把它折成一个正方体，与“功”相对的字应该是（     ） A．绝 B．非 C．偶 D．然 【答案】D 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【详解】解：与“功”字相对的字是“然”． 29．如图，是一个根据展开图来判断折叠后的正方体盒子是否有盖的魔法机，现输入的这个正方体展开图的相对面上两个数互为相反数，则输出为“______盖”正方体盒（填“有”或“无”）． 【答案】无 【分析】先根据正方体展开图确定相对两个面上的数，得到，由此剪去x所在的正方形，则该正方体盒子是无盖的正方体盒． 【详解】解：由题意可得，1和y是相对面，3和x是相对面， 因为这个正方体展开图的相对面上两个数互为相反数， 所以，， 所以， 剪去x所在的正方形，则该正方体盒子是无盖的正方体盒． 30．一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是________． 【答案】3 【分析】根据与1相邻的面的数字有2、3、4、6判断出1的对面数字是5，与4相邻的面的数字有1、3、5、6判断出4的对面数字是2，从而确定出3的对面数字是6，再根据图2可得结果． 【详解】解：由图1可知，与1相邻的面的数字有2、3、4、6， 的对面数字是5， 与4相邻的面的数字有1、3、5、6， 的对面数字是2， 的对面数字是6， 由图2可知：6的对面数字是x， ∴x的值为3． 题型十一 含图案的正方体的展开图 31．如图的正方体盒子的外表面上画有3条黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是______．      ① 　②　③　④   【答案】④ 【分析】根据正方体的表面展开图进行分析解答即可． 【详解】根据正方体的表面展开图， ①选项两条黑线在一列，折叠后成对面了，故①错误； ②选项两条相邻成直角，故②错误； ③选项正视图的斜线方向相反，故③错误； ④选项符合条件； 故答案为：④． 【点睛】本题主要考查了几何体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 32．如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是________．    【答案】我 【分析】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形的展开图的认识，在解决本题的过程中，学生可以动手进行具体折纸、翻转活动，根据“立方体中相对面之间，相隔一个正方形”即可解答此题． 【详解】解：由图1可得，“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对； 由图2可得，小正方体从图2的位置依次翻到第5格时，“国”在下面， 此时小正方体朝上面的字是“我”， 故答案为：我． 33．小欣同学用纸（如图）折成了一个正方体盒子，并在里面放了一瓶墨水，混放在下列选项中的盒子里，则墨水所在的盒子为（     ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】由正方体展开图得出两个阴影三角形的两个锐角顶点合在一起且两个圆在相对的面上，据此即可解答． 【详解】解：由正方体展开图可知：两个阴影三角形的两个锐角顶点合在一起且两个圆在相对的面上，故墨水所在的盒子为选项D． 题型十二 求展开图上两点折叠后的距离 34．如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为___________． 【答案】3 【分析】将正方体的展开图叠成一个正方体，A、B刚好是同一个面的对角线，于是可以求出结果． 【详解】将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为两倍对角线为6，那么对角线的长度就是， 即正方体上两点间的距离为：3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开与折叠，将正方体的展开图正确折叠是解题的关键，难点在于确定A、B两点折叠后的位置． 35．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4． 36．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 题型十三 补一个面使图形围成正方体 37．如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 _____． 【答案】A 【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题． 【详解】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 38．2025年3月26日，我国成功发射天链二号04星，小琪准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“04”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在______处（填序号）． 【答案】 【分析】根据正方体展开图的特征，展开图中不能出现“田”字形结构，观察图形中各位置补充后的形状进行判断． 【详解】解： ∵正方体的表面展开图中不能出现“田”字形结构， ∴若将正方形补充在②处，则“天”“②”“链”“二”四个正方形组成“田”字形， ∴该正方形不能补充在②处， 而补充在①、③、④处均能折叠成正方体． 39．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 题型十四 平面图形形状的识别 40．下列图形中，属于平面图形的是（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面图形的定义，解题的关键是认识平面图形与立体图形，根据平面图形的概念逐个选项分析判断即可． 【详解】解：A、圆属于平面图象，符合题意； B、圆锥是立体图形，不符合题意； C、正方体属于立体图形，不符合题意； D、圆柱属于立体图形，不符合题意． 故选：A． 41．如图，组成这个标志的几何图形有（   ） A．圆、长方形、正方形 B．圆、线段、正方形 C．球、长方形、正方形 D．球、线段、点 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面图形的识别，解题关键是掌握平面图形的定义．根据平面图形定义，即可找出正确答案． 【详解】解：组成这个标志的几何图形有圆、长方形、正方形． 故选：A． 42．下图中A、B都是中点，阴影部分的面积是平行四边形面积的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查三角形和平行四边形面积的计算方法，如图所示，设平行四边形的底和高分别为a和h，又因A、B都是中点，则，又在中，，边上的高为，所以，再据阴影部分的面积据此即可求解. 【详解】解：如图， 设平行四边形的底和高分别为a和h， 所以，平行四边形的面积为， 又因A、B都是中点，则， 又在中，，边上的高为， 所以， 阴影部分的面积为： ， ； 所以，阴影部分的面积是平行四边形面积的， 故选：C. 题型十五 用七巧板拼图形 43．如图，用一张边长为的正方形纸片剪成七巧板，并将七巧板拼成了一柄宝剑，其中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】略 44．七巧板是我国古代劳动人民的发明，它是一种古老的传统智力游戏．如图②，是小明用七巧板图①拼出的“马到成功”图，若图①中的七巧板面积为8，则图②中阴影部分的面积和为___________． 【答案】2.5 【分析】本题主要考查七巧板各个图形面积之间的关系，熟练掌握七巧板各个图形之间的关系是解题的关键． 根据七巧板的面积为8，得知七巧板分割成的大三角形的面积为2，小三角形的面积为，即可计算阴影部分的面积． 【详解】解：如图，∵正方形的两条对角线分正方形为4等份， ∴三角形①面积等于七巧板面积的， ∴， ∵三角形②的面积等于三角形①的面积的， ∴三角形②的面积为：， ∴阴影的面积为：． 故答案为：2.5． 45．下列拼图中，是由原图这副七巧板拼成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】七巧板的结构∶五个等腰直角三角形，有大、小两对全等三角形∶一个正方形∶一个平行四边形，根据这些图形的性质便可解答． 【详解】解∶A中图形个数不对，有8个图形，故不是由原图这副七巧板拼成的； B中没有一对大的全等三角形，故不是由原图这副七巧板拼成的； C中的图形和原图一样，故是由原图这副七巧板拼成的； D中小等腰直角三角形的斜边应该与平行四边形的长边叠合，故不是由原图这副七巧板拼成的． 题型十六 点、线、面、体四者之间的关系 46．2026年神舟飞船返回舱返回地球，返回舱飞行划过的轨迹，体现的数学原理是（     ） A．线动成面 B．面动成体 C．点动成线 D．以上都不对 【答案】C 【分析】从点与线的运动关系入手，将返回舱抽象为几何点进行判断． 【详解】解：将返回舱抽象为一个点，其飞行划过的轨迹为线，体现点动成线的数学原理． 47．固定圆规尖，把带有笔尖的一端旋转，画出弧（如图），能正确解释这一现象的数学知识是（     ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线线相交形成点 【答案】A 【详解】解：根据题意，可得是点动成线，故选项A符合题意. 48．如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱________⊥面．    【答案】 【分析】根据直线与平面垂直的定义进行判断即可． 【详解】解：∵面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸， ∴棱面， 故答案为：． 【点睛】本题考查认识立体图形，理解直线垂直平面的定义是正确判断的前提． 题型十七 平面图形旋转后所得的立体图形 49．如图所示平面图形绕虚线旋转一周，可以得到圆锥的是_____．（填“①”或“②”） 【答案】 ② 【分析】识别平面图形形状及旋转轴，根据面动成体原理判断旋转后的几何体名称； 【详解】解： 观察图形可知： 图①是半圆，且直径在旋转轴（虚线）上，绕该边旋转一周，得到的几何体是球体；图②是直角三角形，且一条直角边在旋转轴（虚线）上，绕该直角边旋转一周，得到的几何体是圆锥； 故可以得到圆锥的是②． 50．直角三角形两条直角边分别是和，绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体的体积是________． 【答案】或 【分析】分两种情况旋转，分别确定对应圆锥的底面半径与高，代入圆锥体积公式计算即可． 【详解】解：直角三角形绕直角边所在直线旋转一周得到的几何体为圆锥，分两种情况计算体积： 当绕长的直角边所在直线旋转时， ∵作为旋转轴的直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥底面的半径， ∴圆锥的高，底面半径， 根据圆锥体积公式，代入得， 当绕长的直角边所在直线旋转时， ∵作为旋转轴的直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥底面的半径， ∴圆锥的高，底面半径， 代入体积公式得． ∴几何体的体积是或． 51．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到图中所示的立体图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察立体图形的侧面特征，结合面动成体的原理进行判断． 【详解】解：观察立体图形可知，该几何体侧面中间细、上头没有下头粗，但是都比中间粗， A、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，不符合题意； B、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，不符合题意； C、绕轴旋转一周，得不到图中所示的立体图形，不符合题意； D、绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形，符合题意 题型十八 截一个几何体 52．用一个平面去截四棱锥，截面不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四棱锥共有5个面，用平面去截四棱锥，截面多边形的边数最多为5，最少为3， 即截面可能是三角形、四边形或五边形，不可能是六边形． 53．按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后，剩下的几何体的面和棱的数量分别为_______、________． 【答案】 7 12 【分析】观察图片发现，切过后的正方体多了一个面，少了三条棱，又多了三条棱，依此即可求解． 【详解】正方体共有6个面，12条棱，按题图所示的方式将一个正方体截去一个角后，正方体增加1个面，棱减少3条，又增加3条，所以剩下的几何体的面的数量为，棱的数量为． 54．用一个平面去截下列四个几何体，截面的形状可能是三角形的有（ ）. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了截一个几何体，熟知常见几何体截面的形状是解题的关键，根据截面的位置逐一判断各选项即可． 【详解】解：用不平行于正方体的面去截正方体的一个角，截面可以为三角形，符合题意； 用平面截圆锥，截面可以是三角形，符合题意； 用平行于三棱柱的侧面的面截三棱柱时，截面为三角形，符合题意； 用平面截圆柱时，截面不可能为三角形，不符合题意； 故选：． 解答题 55．如图，在长方形中，，现绕这个长方形的一边所在直线旋转一周得到一个几何体． (1)写出旋转得到的几何体的名称． (2)如果用一个平面去截旋转得到的几何体，那么截面有哪些形状？（至少写出2种） (3)求旋转得到的几何体的表面积．（结果保留π） 【答案】(1)圆柱 (2)圆形，长方形（答案不唯一，椭圆也可） (3)或 【分析】（1）由图形旋转性质可知旋转后得到的几何体是圆柱； （2）用一个平面截圆柱，从不同角度截取的形状不同； （3）分情况讨论，找出圆柱的底面半径和高，即可求解． 【详解】（1）解：由图形旋转性质可知，绕长方形的一边所在直线旋转一周后所得几何体为柱体、底面为圆，因此得到的几何体是圆柱； （2）解：当截面平行于底面时，截面是圆形；当截面垂直于底面时，截面是长方形；当截面与底面不平行时，截面是椭圆； （3）解：由题意可知，长方形绕一边旋转有两种情况： 当绕边旋转时，底面半径，高． 表面积 当绕边旋转时，底面半径，高 表面积 答：旋转得到的几何体的表面积为或． 56．如图，在一个平整的地面上，有一个由若干个相同的棱长为的小正方体搭成的一个几何体． (1)这个几何体由_____个小正方体组成； (2)如果向这个几何体露出的表面喷上黄色的油漆（不含和地面接触的面），请计算需要喷漆的面积一共是多少． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）从左往右三列小正方体的个数依次为：，，，相加即可； （2）根据露出的小正方体的面数，即可得出几何体的表面积． 【详解】（1）解：由几何体可知，从左往右三列小正方体的个数依次为：，，， （个）， ∴这个几何体由个小正方体组成． （2）解：由几何体可知，露出的面数有（个）， ∵每个小正方体的棱长为， ∴每个面的面积为， ∴需要喷漆的面积一共是． 57．如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两面的字以及已知字母的值求代数式的值，先结合正方体的展开图得出与是相对两面的字，与是相对两面的字，与是相对两面的字，列式算出，，，再分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解：由题意知，与是相对两面的字，与是相对两面的字，与是相对两面的字， ∴，，， 则，，， ∴ ． 58．问题情景：某综合实践小组在学习完“立体图形的表面展开图”后，开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，任务是制作无盖正方体收纳盒和有盖正方体礼盒． 问题解决： （1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是___________（填序号）． ①          ② ③            ④ 操作探究： （2）用一些长方形的卡纸，制作棱长为的有盖正方体．设计组提供了如图1所示的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的正方体（不考虑接缝）． ①按展开图2可以围成礼盒___________（填“A”或“B”）； ②材料组准备了规格的卡纸，请问设计组用一张这样的卡纸，最多可以画出几个礼盒A的展开图？几个礼盒B的展开图？并通过画图说明． 【答案】（1）①③④； （2）①B； ②如图1，一张卡纸最多可以画出2个礼盒A的展开图； 如图2，一张卡纸最多可以画出3个礼盒的展开图． 【分析】本题考查了正方形展开图． （1）逐一判断即可； （2）①由图可知，将展开图2折叠后其中一组相对面应有一道横线，即可以围成礼盒B；②画图说明即可． 【详解】（1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是①③④， 故答案为：①③④； （2）①按展开图2可以围成礼盒B， 故答案为：B； ②略 59．综合与实践：制作一个尽可能大的无盖长方体收纳盒问题 综合实践课上，同学们需要将一张边长为的正方形硬纸板制成一个无盖长方体收纳盒．为了使收纳盒的容积尽可能大，应如何设计与制作？ 【建立模型】如图1，在正方形硬纸板的四个角上各剪去一个边长为的小正方形（），将剩余部分沿虚线折叠，可得到一个无盖长方体收纳盒（如图2）．设所折叠的长方体收纳盒的容积为，求V的最大值． （说明：图1中，实线为剪切线，虚线为折痕，阴影为剪去部分） 【探究模型】 (1)用x表示长方体收纳盒的容积______， (2)利用表格，求出当小正方形边长x为整数时对应长方体收纳盒容积V的值 x/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 … 324 512 588 m 500 384 n 128 … 计算并填空：______，______； 【解决问题】 (3)观察上表数据，随着小正方形边长x的增大，容积V的变化规律是____________． (4)经过进一步研究：小鸣利用上述方法，继续计算当x不为整数时，长方体收纳盒的容积V． 下面给出部分参考数据： 时，， 时，， 时，． 最后发现，当x为时，长方体收纳盒的容积最大． 求最大容积是多少？ 【答案】(1) (2)576；252 (3)先增大后减小 (4) 【分析】（1）底面正方形的边长为，高为，即可求解体积； （2）直接代入公式求解即可； （3）由表格直接求解； （4）把代入公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：当时，； 当时，； （3）略 （4）解：当时，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09几何图形复习讲义 1.能区分立体图形与平面图形，识别常见几何体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥。 2.理解立体图形的展开图，会判断、画出简单几何体的表面展开图，能由展开图还原立体图形。 3.会从不同方向（正面、左面、上面）观察立体图形，画出对应的三视图。 4.理解点、线、面、体之间的关系，知道点动成线、线动成面、面动成体。 5.能判断旋转体，分清平面图形旋转后得到的立体图形。 6.会识别组合几何体，结合视图、展开图解决简单匹配类题目。 7.易错辨析：展开图里相邻面、相对面不能混淆；视图只看看到的轮廓，不画看不见的棱。 题型 考察方向 难度 题型一 常见的几何体 ★ 题型二 组合几何体的构成 ★ 题型三 立体图形的分类 ★ 题型四 几何体中的点、棱、面 ★★ 题型五 从不同方向看几何体 ★★ 题型六 几何体展开图的认识 ★★ 题型七 由展开图计算几何体的表面积 ★★★ 题型八 由展开图计算几何体的体积 ★★★ 题型九 正方体几种展开图的识别 ★★ 题型十 正方体相对两面上的字 ★★ 题型十一 含图案的正方体的展开图 ★★★ 题型十二 求展开图上两点折叠后的距离 ★★★ 题型十三 补一个面使图形围成正方体 ★★ 题型十四 平面图形形状的识别 ★ 题型十五 用七巧板拼图形 ★ 题型十六 点、线、面、体四者之间的关系 ★ 题型十七 平面图形旋转后所得的立体图形 ★★ 题型十八 截一个几何体 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 立体图形与平面图形基础定义 1. 两类图形划分标准 类别 定义 核心特征 常见例子 立体图形 各部分不都在同一平面内的几何图形 占有一定空间，有厚度、高度 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥 平面图形 各部分都在同一个平面内的几何图形 仅存在长宽，无厚度 点、线段、射线、直线、角、三角形、长方形、圆、多边形 2. 实物抽象图形步骤 生活实物 → 忽略颜色、材质、重量 → 只保留外形轮廓 → 得到几何图形 举例：魔方→正方体；易拉罐→圆柱；篮球→球；三角尺→三角形 知识点 02 常见立体图形分类、特征、辨析表格 一、柱体（分为棱柱、圆柱） 立体名称 底面特征 侧面特征 棱 / 曲面 典型实物 正方体（四棱柱） 2个完全相同正方形 4个正方形平面 全是棱，无曲面 魔方、骰子 长方体 2 个完全相同长方形 4 个长方形平面 全是棱，无曲面 课本、文具盒 n 棱柱（三棱柱 / 五棱柱） 2 个全等 n 边形 n 个长方形 全部由平面围成 三棱镜、五边形立柱 圆柱 2 个大小相等圆形（平行） 1 个曲面 2 个圆形底面，侧面曲面 水杯、易拉罐 二、锥体（分为棱锥、圆锥） 立体名称 底面特征 侧面特征 棱 / 曲面 典型实物 n 棱锥（三棱锥 / 四棱锥） 1 个 n 边形 n 个三角形平面 全是棱，无曲面 金字塔模型、三角支架 圆锥 1 个圆形底面 1 个曲面 底面圆，侧面曲面，1 个顶点 冰淇淋甜筒、沙堆 三、球体 球：只有 1 个连续曲面，无底面、无棱、无顶点，任意截面都是圆； 实物：足球、乒乓球。 补充区分：平面围成 vs 含曲面立体 全由平面围成：正方体、长方体、棱柱、棱锥（统称多面体） 含曲面：圆柱、圆锥、球（旋转体） 知识点 03 立体图形的展开图（考试重点） 1. 正方体 11 种标准展开图（预习必记分类） 分四类，禁止出现 “田字格、凹字形”，这类不能折成正方体： “一四一” 型（6 种）：中间 4 个正方形，上下各 1 个 “一三二” 型（3 种）：中间 3 个，上方 1 个，下方 2 个错开 “三三” 型（1 种）：两行各 3 个正方形，仅错开一格 “二二二” 型（1 种）：三行各 2 个，阶梯错开 ❌ 禁忌图形：田字、凹字、7 字形，无法折叠成正方体 2. 常见立体标准展开图对照表 立体图形 展开图组成 正方体 / 长方体 6 个矩形（正方体 6 个正方形），相对面不相邻 三棱柱 2 个全等三角形 + 3 个长方形 圆柱 2 个相同圆形 + 1 个长方形（长方形一边 = 圆周长） 圆锥 1 个圆形 + 1 个扇形（扇形弧长 = 底面圆周长） 三棱锥 4 个三角形（底面 1 个，侧面 3 个） 3. 展开图核心规律 (1)立体相对的两个面，展开后不共用边、不相邻； (2)折叠时曲面与平面衔接处边长完全相等。 知识点 04 从不同方向看立体图形（三视图铺垫） 1. 三种观察方向定义 主视图：从正面看几何体得到的平面图形 左视图：从左面看几何体得到的平面图形 俯视图：从上面看几何体得到的平面图形 2. 基础几何体三视图表格 几何体 主视图 左视图 俯视图 正方体 正方形 正方形 正方形 长方体 长方形 长方形 长方形 圆柱 长方形 长方形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆（中心带顶点圆点） 球 圆 圆 圆 知识点05：几何体的截面 知识点06:由展开图计算几何体的表面积与体积 1. 表面积计算 展开图的总面积 = 几何体的表面积 正方体：S = 6a2（a 为棱长） 长方体：S = 2(ab+bc+ac)(a,b,c为长宽高） 圆柱：S = 2π2 + 2πrh（r 底面半径，h 高） 2. 体积计算 正方体：V = a3 长方体：V = abc 圆柱：V = πr2 h 圆锥：V =πr2 h 知识点 07点、线、面、体的关系（本节核心原理） 1. 四者基础定义 体：立体图形（柱、锥、球） 面：包围体的部分，分两类 平面：平整无弯曲（墙面、桌面） 曲面：弯曲面（球面、圆柱侧面） 线：面与面相交形成的线；分直线、曲线 点：线与线相交的地方，无大小，只有位置 2. 动态运动规律（4 句核心，填空常考） 点动成线：笔尖画线、流星划过夜空（点运动形成线） 线动成面：雨刷扫玻璃、长方形绕边旋转（线运动形成面） 面动成体：半圆绕直径旋转成球、长方形旋转成圆柱（面旋转形成立体） 面面相交得线，线线相交得点 3. 旋转体实例表格（面动成体高频考点） 平面图形 旋转轴 旋转后立体 长方形 一条边 圆柱 直角三角形 直角边 圆锥 半圆 直径 球体 直角梯形 垂直底边的腰 圆台 题型一 常见的几何体 1．下列四个几何体中，是棱柱的是（     ） A． B． C．D． 2．如图，一个长方体纸箱里面恰好可以装下桶A种饮料，如果改装B种饮料，且饮料不能高出纸箱，那么B种饮料最多可以装________桶． 3．下面图中实物的近似形状对应的立体图形的名称按从左到右的顺序依次是（   ） A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．圆柱、球、正方体、长方体 C．棱柱、球、正方体、圆柱 D．棱柱、圆锥、圆柱、长方体 题型二 组合几何体的构成 4．如图所示，①~④是由相同的小立方块搭成的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小立方块搭成的长方体，则应选择__________．（填序号即可） 5．如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体从三个不同方向看到的形状图，该几何体共用了______个小正方体搭成． 6．有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 题型三 立体图形的分类 7．下列小明的积木玩具抽象图中，不是柱体的是（     ） A． B． C． D． 8．下列说法中，正确的个数是（    ） ①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 题型四 几何体中的点、棱、面 10．某个棱柱有15条棱，则它的顶点数、面数依次为（     ） A．5、7 B．10，5 C．10，7 D．15，5 11．如图，在一个正方体的各个顶点上标上1，2，3，4，．若使得每个面的四个顶点的数字和都一样，则每一面四个顶点的数字和是_______． 12．将一个五棱柱的表面沿着某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪开（　　）条棱． A．7 B．8 C．9 D．10 题型五 从不同方向看几何体 13．如图，这是由5个相同的小立方块组成的几何体从左面观察这个几何体得到的平面图形是（     ） A． B． C． D． 14．一个立体图形，从正面看到的形状是，从上面看到的形状是搭这样的立体图形，最多需要________个小正方体． 15．由个大小相同的小正方体搭成的几何体从正面和左面看到的形状图如图所示，则的最大值为________． 题型六 几何体展开图的认识 16．如图是一个底面边长均为、高为的直五棱柱，则它的所有侧面的面积之和为（     ） A． B． C． D． 17．如图是某正方体的展开图，在顶点处标有数字，当把它折成正方体时，与重合的数字是______． 18．下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（     ） A． B． C． D． 题型七 由展开图计算几何体的表面积 19．一个无盖的三棱柱笔筒（底部为直角三角形）的尺寸如图所示（单位：厘米），若要制作这个笔筒至少要用（　　）平方厘米的铁皮． A．1440 B．1536 C．1632 D．1648 20．如图是从三个方向看一个几何体所得到的形状图，若将它的侧面展开，展开后得到的图形的面积为___________．（结果保留π）． 21．将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型八 由展开图计算几何体的体积 22．如图，这是一个长方体形状包装盒的表面展开图，折叠制作完成后得到的长方体的容积是（包装材料厚度不计）（    ）    A． B． C． D． 23．（如图）一个长方体的展开图，已知A、C、E、F四个面的面积之和是，且B面是一个边长的正方形．如果A面是长方体底面，那么( )面是长方体上面；这个长方体的体积是( )． 24．小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 题型九 正方体几种展开图的识别 25．下列图形中，不属于正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 26．如图是一个正方体纸盒的展开图，当还原折成纸盒时，与点重合的点是点___________． 27．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（     ） A．B．C．D． 题型十 正方体相对两面上的字 28．如图，是一个正方体的表面展开图，当把它折成一个正方体，与“功”相对的字应该是（     ） A．绝 B．非 C．偶 D．然 29．如图，是一个根据展开图来判断折叠后的正方体盒子是否有盖的魔法机，现输入的这个正方体展开图的相对面上两个数互为相反数，则输出为“______盖”正方体盒（填“有”或“无”）． 30．一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是________． 题型十一 含图案的正方体的展开图 31．如图的正方体盒子的外表面上画有3条黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是______．      ① 　②　③　④   32．如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是________．    33．小欣同学用纸（如图）折成了一个正方体盒子，并在里面放了一瓶墨水，混放在下列选项中的盒子里，则墨水所在的盒子为（     ） A． B． C．D． 题型十二 求展开图上两点折叠后的距离 34．如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为___________． 35．如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 36．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型十三 补一个面使图形围成正方体 37．如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 _____． 38．2025年3月26日，我国成功发射天链二号04星，小琪准备制作一个正方体，使其每个表面上分别写有“天”“链”“二”“号”“04”“星”．如图是他做的无盖的正方体的展开图，需再补充一个写着“星”的正方形，则该正方形不能补充在______处（填序号）． 39．下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型十四 平面图形形状的识别 40．下列图形中，属于平面图形的是（    ） A． B． C．D． 41．如图，组成这个标志的几何图形有（   ） A．圆、长方形、正方形 B．圆、线段、正方形 C．球、长方形、正方形 D．球、线段、点 42．下图中A、B都是中点，阴影部分的面积是平行四边形面积的（   ） A． B． C． D． 题型十五 用七巧板拼图形 43．如图，用一张边长为的正方形纸片剪成七巧板，并将七巧板拼成了一柄宝剑，其中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 44．七巧板是我国古代劳动人民的发明，它是一种古老的传统智力游戏．如图②，是小明用七巧板图①拼出的“马到成功”图，若图①中的七巧板面积为8，则图②中阴影部分的面积和为___________． 45．下列拼图中，是由原图这副七巧板拼成的是（   ） A． B． C． D． 题型十六 点、线、面、体四者之间的关系 46．2026年神舟飞船返回舱返回地球，返回舱飞行划过的轨迹，体现的数学原理是（     ） A．线动成面 B．面动成体 C．点动成线 D．以上都不对 47．固定圆规尖，把带有笔尖的一端旋转，画出弧（如图），能正确解释这一现象的数学知识是（     ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线线相交形成点 48．如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱________⊥面．    题型十七 平面图形旋转后所得的立体图形 49．如图所示平面图形绕虚线旋转一周，可以得到圆锥的是_____．（填“①”或“②”） 50．直角三角形两条直角边分别是和，绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体的体积是________． 51．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到图中所示的立体图形是（     ） A． B． C． D． 题型十八 截一个几何体 52．用一个平面去截四棱锥，截面不可能是（     ） A． B． C． D． 53．按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后，剩下的几何体的面和棱的数量分别为_______、________． 54．用一个平面去截下列四个几何体，截面的形状可能是三角形的有（ ）. A．个 B．个 C．个 D．个 解答题 55．如图，在长方形中，，现绕这个长方形的一边所在直线旋转一周得到一个几何体． (1)写出旋转得到的几何体的名称． (2)如果用一个平面去截旋转得到的几何体，那么截面有哪些形状？（至少写出2种） (3)求旋转得到的几何体的表面积．（结果保留π） 56．如图，在一个平整的地面上，有一个由若干个相同的棱长为的小正方体搭成的一个几何体． (1)这个几何体由_____个小正方体组成； (2)如果向这个几何体露出的表面喷上黄色的油漆（不含和地面接触的面），请计算需要喷漆的面积一共是多少． 57．如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为，求代数式的值． 58．问题情景：某综合实践小组在学习完“立体图形的表面展开图”后，开展了“正方体纸盒的制作”实践活动，任务是制作无盖正方体收纳盒和有盖正方体礼盒． 问题解决： （1）在下列图形中，可以制作成无盖正方体的是___________（填序号）． ①          ② ③            ④ 操作探究： （2）用一些长方形的卡纸，制作棱长为的有盖正方体．设计组提供了如图1所示的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的正方体（不考虑接缝）． ①按展开图2可以围成礼盒___________（填“A”或“B”）； ②材料组准备了规格的卡纸，请问设计组用一张这样的卡纸，最多可以画出几个礼盒A的展开图？几个礼盒B的展开图？并通过画图说明． 59．综合与实践：制作一个尽可能大的无盖长方体收纳盒问题 综合实践课上，同学们需要将一张边长为的正方形硬纸板制成一个无盖长方体收纳盒．为了使收纳盒的容积尽可能大，应如何设计与制作？ 【建立模型】如图1，在正方形硬纸板的四个角上各剪去一个边长为的小正方形（），将剩余部分沿虚线折叠，可得到一个无盖长方体收纳盒（如图2）．设所折叠的长方体收纳盒的容积为，求V的最大值． （说明：图1中，实线为剪切线，虚线为折痕，阴影为剪去部分） 【探究模型】 (1)用x表示长方体收纳盒的容积______， (2)利用表格，求出当小正方形边长x为整数时对应长方体收纳盒容积V的值 x/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 … 324 512 588 m 500 384 n 128 … 计算并填空：______，______； 【解决问题】 (3)观察上表数据，随着小正方形边长x的增大，容积V的变化规律是____________． (4)经过进一步研究：小鸣利用上述方法，继续计算当x不为整数时，长方体收纳盒的容积V． 下面给出部分参考数据： 时，， 时，， 时，． 最后发现，当x为时，长方体收纳盒的容积最大． 求最大容积是多少？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $