专题13直线.射线.线段知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题13直线.射线.线段知题通关讲义 知识点 01 直线、射线、线段定义 1. 基础定义 1）线段：直线上两点及两点之间的部分，有两个端点，长度可测量。 2）射线：将线段向一个方向无限延伸得到的图形，仅有1个端点，不可度量长度。 3）直线：将线段向两个相反方向无限延伸得到的图形，无端点，不可度量长度。 2. 三线完整对比表 3. 表示方法核心易错规则 线段：两个字母无顺序，线段AB= 线段BA； 射线：端点字母必须写在第一位，射线AB≠射线BA（端点不同，是两条完全不同的射线）； 直线：两个字母无顺序，直线AB= 直线BA； 小写字母表示时，直接写线段a、射线l、直线m。 知识点 02 直线两大基本事实（公理，考试必考） 基本事实 1：两点确定一条直线 文字表述：经过两点，有且只有一条直线。 关键词：有且只有—— 存在且唯一。 生活实例：钉木条至少钉 2 颗钉子、站队两点对齐、建筑放线。 几何语言：过点A、B有且仅有一条直线AB。 基本事实 2：两点之间，线段最短 文字表述：两点之间所有连线中，线段的长度最短。 衍生定义：两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离。 ⚠️易错区分：距离是长度（数字），线段是图形，不能说 “两点之间的线段叫距离”。 生活实例：走路抄近道、修路尽量直。 知识点 03线段长短两种比较方法 知识点 04 线段相关核心知识点 1. 线段的画法（尺规作图） （1）画一条射线AB； （2）圆规量取已知线段MN的长度； （3）圆规针尖固定在A，在射线上截取AC=MN； （4）线段AC即为所求。 2. 线段中点 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 几何等量关系： 若点M是线段AB中点， 则 AC=CB=AB，AB=2AC=2CB。 3. 线段的和与差 在线段一条延长线上取点，可构造线段和、差： 和：点C在线段AB延长线上，AB=AC+BC 差：点C在线段AB之间，AC=AB-BC 4. 线段延长线规范说法 延长线段AB：从A向B方向延伸； 反向延长线段AB：从B向A方向延伸； 射线只能反向延长，直线无需延长。 知识点 05 计数类题型规律（数线段、射线、直线） 1. 直线上有n个点，数线段条数 公式：线段总条数 = 例：直线上 4 个点，线段数 ==6条。 2. 直线上 1 个点，射线数量：2 条（向左右各 1 条） 直线上n个点，射线总数：2n条。 3. 过点画直线 1）过 1 个点：可画无数条直线； 2）过 2 个点：只能画1 条直线； 3）平面内三点，分两种情况： ①三点共线：仅 1 条直线； ②三点不共线：可画 3 条直线。 1. 直线、射线、线段概念混淆 提醒：直线无端点，向两方无限延伸；射线一个端点，向一方无限延伸；线段两个端点，可度量长度。 2. 几何语言书写与读法错误 提醒：射线表示时，端点字母必须写在前；直线、线段字母无先后顺序。 3. 射线判断出错 提醒：端点相同、延伸方向不同，为两条不同射线；端点不同则射线一定不同。 4. 两点相关结论误用 提醒：两点确定一条直线；两点之间，线段最短，不可表述为“两点之间直线最短”。 5. 线段中点概念理解偏差 提醒：若点M是线段AB中点，则AM=MB=AB；满足AM=MB，点M不一定是中点（M不在线段AB上）。 6. 线段和差作图、计算漏解 提醒：点的位置未明确时，需分类讨论点在线段上或线段延长线上，防止漏掉其中一种情况。 7. 线段度量与比较表述不规范 提醒：比较线段长短可用度量法、叠合法；叠合法需将一端对齐，观察另一端位置。 题型 考察方向 难度 题型一 直线、射线、线段的联系与区别 ★ 题型二 画出直线、射线、线段 ★ 题型三 点与线的位置关系 ★ 题型四 直线、线段、射线的数量问题 ★★ 题型五 直线相交的交点个数问题 ★★ 题型六 线段的应用 ★★ 题型七 两点确定一条直线 ★ 题型八 作线段 ★★ 题型九 线段的和与差 ★★ 题型十 线段中点的有关计算 ★★ 题型十一 线段 n 等分点的有关计算 ★★★ 题型十二 线段之间的数量关系 ★★★ 题型十三 与线段有关的动点问题 ★★★★ 题型十四 两点之间线段最短 ★ 题型十五 两点间的距离 ★ 题型十六 最短路径问题 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一、直线、射线、线段的联系与区别 1．下列说法中，正确的是_____． ①延长直线到点；②延长射线到点；③延长线段到点；④画出长的直线；⑤画出长的射线；⑥画出长的线段；⑦射线长度是直线长度的一半． 【答案】③⑥/⑥③ 【分析】本题考查了直线、射线和线段的定义，直线：在平面内，无端点，向两方无限延伸的线，射线：在平面内，有一个端点，向一方无限延伸，线段：在平面内，有两个端点，不延伸． 根据直线、射线和线段的定义逐一判断即可． 【详解】解：①直线是无限长的，无法延长，故错误； ②射线是无限长的，无法延长，故错误； ③线段可以延长到点M，故正确； ④直线是无限长的，无法画出有限长度，故错误； ⑤射线是无限长的，无法画出有限长度，故错误； ⑥线段可以画出长的线段，故正确； ⑦射线和直线都是无限长的，无法比较长度，故错误； 故答案为：③⑥． 2．下列关于直线、射线、线段的描述中，正确的是（   ） A．延长射线到点B B．线段就是点A到点B之间的距离 C．经过两点有且只有一条直线 D．一条直线由两条射线组成 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段的定义及基本性质，需根据相关概念逐一判断选项正误． 【详解】解：∵射线本身向方向无限延伸，无法延长，∴A选项错误； ∵线段是几何图形，点A到点B之间的距离是线段的长度（属于数量范畴），二者概念不同，∴B选项错误； ∵“经过两点有且只有一条直线”是直线的基本事实（两点确定一条直线），∴C选项正确； ∵直线是向两方无限延伸的，不能表述为由两条射线组成，∴D选项错误． 故选：C． 3．如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 【答案】B 【分析】本题考查了线段、直线、射线，熟练掌握线段、直线、射线之间的关系是解题关键．根据线段、直线、射线之间的关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、线段和射线都是直线的一部分，则此项正确，不符合题意； B、点不在直线上，则此项不正确，符合题意； C、直线和直线相交于点，则此项正确，不符合题意； D、直线不经过点，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 题型二、画出直线、射线、线段 4．下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线可以向两端无限延伸，射线向一端无限延伸． 【详解】解：A．直线与直线能相交，故符合题意； B．直线与射线不能相交，故不符合题意； C．线段与射线不能相交，故不符合题意； D．线段与线段不能相交，故不符合题意． 5．如图，已知平面内的三个点，画出线段、射线、直线，下列画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查画线段，射线，直线，根据线段，射线，直线的特点画图即可判断． 【详解】解：按题意如下图： 故选：D． 6．同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了分类讨论思想，根据题意画出图形是解题的关键．分两种情况进行讨论，①为斜边，则，② 为直角边，或者． 【详解】解：①为斜边，点C到直线的距离为， 即边上的高为，满足上述条件的点C有个， 如图： ②为直角边，或者， 满足上述条件的点C有个， 故答案为：． 题型三、点与线的位置关系 7．如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系：________． 【答案】点P在直线l外 【分析】本题考查点和直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．根据点与直线的位置关系可得答案． 【详解】解：由图知，点P在直线l外， 故答案为：点P在直线l外． 8．下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两直线的位置关系，射线、线段的特征，点与直线的位置关系．根据两直线的位置关系，射线、线段的特征，点与直线的位置关系逐图判断即可． 【详解】解：A．图上应该是延长线段到C，与语言描述不相符，故A不符合题意； B．直线没有经过点C，即点C不在直线上，与语言描述不相符，故B不符合题意； C．直线a、b相交于点P，正确，故C符合题意； D．射线与线段有公共点，与语言描述不相符，故D不符合题意． 故选：C． 9．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 【答案】D 【分析】根据P点在线段AB上时，AP+BP=AB，进行判断即可． 【详解】解：A. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，此时点P在直线AB上，故错误； B. 点在线段AB延长线上时，，故错误； C. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，故错误； D. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，点一定在线段外时，，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了点和直线、线段的位置关系，解题关键是抓住当点在线段AB上时，AP+BP=AB这一结论，进行判断． 题型四、直线、线段、射线的数量问题 10．把序号填在括号里．___________是直线，___________是射线，___________是线段． 【答案】 ①⑤/⑤① ④ ②⑥/⑥② 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟知它们的定义是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义解答即可． 【详解】解：①⑤是直线，④是射线，②⑥是线段， 故答案为：①⑤，④，②⑥． 11．往返A，B两地的客车，中途停靠三个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（    ） A．10种 B．8种 C．6种 D．5种 【答案】A 【分析】本题考查线段的数量，解题的关键是把票价问题转化为线段的数量问题；设5个站点依次为A、C、D、E、B，直接求线段数量即可．． 【详解】解：设5个站点依次为A、C、D、E、B， 图中的线段有，共有10条线段， 因此不同的票价共有10种， 故选：． 12．如图，有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有4个刻度（单位：），用这把直尺能直接量出的不同长度有______个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了线段的度量，解题关键是按照一定的顺序度量，不漏不重． 根据直尺上的刻度得到图中共有条线段，进而求解即可． 【详解】解：图中共有条线段， 能直接量出6个长度，分别是：． 故答案为：6． 题型五、直线相交的交点个数问题 13．三条直线相交，最多有________个交点． 【答案】3 【分析】本题考查了直线相交的个数问题，两条直线相交最多有一个交点，第三条直线与前两条直线均相交且不共点时，可增加两个交点，因此最多有三个交点． 【详解】解：两条直线在平面上相交，最多有一个交点，当第三条直线加入时，为使交点最多，第三条直线需与前两条直线都相交，且不经过前两条直线的交点，这样第三条直线会与前两条直线各产生一个交点，因此总交点数最多为个， 故答案为：3． 14．平面内的5条直线两两相交，交点最多有个，最少有个，则等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了直线的交点问题，注意掌握直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个． 由题意可得5条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出x，y的值，进而可得答案． 【详解】解：根据题意可得：5条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即；任意两直线相交都产生一个互不重合的交点时，交点最多，此时交点为：，即；则． 故选：B． 15．平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 【答案】 【详解】解：平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有1个交点， ． 16．两条直线相交，产生一个交点，已知9条直线相交最多产生36个交点，那么10条直线相交最多产生交点个数为（   ） A．45 B．46 C．50 D．60 【答案】A 【分析】根据三条直线交点最多为个，四条直线交点最多为个，五条直线交点最多为个，六条直线交点最多为个，然后得出规律，列式计算即可得解． 【详解】解：两条直线相交，只有1个交点，三条直线交点最多为个，四条直线交点最多为个，五条直线交点最多为个，六条直线交点最多为个； 10条直线交点最多为． 故选A 【点睛】本题考查了直线、射线、线段，观察得出最多交点的个数变化规律是解题的关键． 题型六、线段的应用 17．杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（　　） A．20种 B．15种 C．10种 D．5种 【答案】A 【分析】先求出线段的条数，再计算车票的种数． 【详解】解：需要印制不同的火车票的种数是：2（1+2+3+4）=20（种）． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段的运用．注意根据规律计算的同时，还要注意火车票需要考虑往返情况． 18．2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了线段的应用；分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：， 故选：C． 19．如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有___________个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 【答案】3 【分析】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段的方法：度量法、叠合法、折叠法，据此逐一判断即可． 【详解】解：①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置，方法可行； ②用直尺度量出和的长度，方法可行； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置，方法可行； ④凭感觉估计，不科学，方法不可行． 故答案为：3． 题型七、两点确定一条直线 20．如图，“罗马杆”是一种用于悬挂窗帘的横杆．安装时需在两头加以固定，才能稳固不动．其中的数学原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．点动成线 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【详解】解：由题意得，其中的数学原理是两点确定一条直线． 21．墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线_____． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查的是直线的性质，熟知两点确定一条直线是解题的关键． 根据直线的性质解答即可． 【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 22．直线经过两个整点（横纵坐标都为整数的点）是该直线经过无数个整点的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分两步走，通过充分性和必要性来具体分析． 【详解】解：分两步，充分性， 设直线经过，， 、 、 、都是整数，， 设：，， 则直线， 当，即时，为整数， 、2、3.....所以直线经过无数个点． 必要性：∵直线经过无数个整点，∴直线必经过两个整点． 故选： C． 【点睛】本题考查两点确定一条直线，掌握本题中的分情况讨论，正确写出解答过程是解题关键． 题型八、作线段 23．如图，已知线段m，作一条线段使它等于2m． 作法： （1）作________AD． （2）用圆规在________上截取________ （3）用圆规在________上截取________，线段________就是所求作的线段． 【答案】 射线 AD m BD m AC 【分析】根据图形的作图痕迹可知：此题是作一条线段等于已知线段，按作一条线段等于已知线段即可． 【详解】解：先作一条射线，故①填写“射线”，再以射线端点为线段一个端点，在射线方向上作一条线段等于已知线段，故  ②填写  ③填写 ，然后以线段另一个端点沿射线方向再作一条线段等于已知线段，故 ④填写BD  ⑤填写m，最后要写答，故 ⑥填写AC． 故答案为：①射线  ②AD  ③m  ④BD  ⑤m  ⑥AC． 【点睛】本题考查了用无刻度的直尺和圆规作图题，掌握作一条线段等于已知线段是本题的关键． 24．如图，用圆规比较两条线段和的长短，可知______．（填写“”，“”，“”） 【答案】 【分析】本题考查了线段的大小比较，根据比较线段长短的方法即可． 【详解】解：用圆规比较两条线段和的长短，可知， 故答案为：． 25．已知：线段a，b，求作：线段AB，使得AB＝2a＋b，小明给出了四个步骤（如图）：①作－条射线AE；②则线段AB＝ 2a＋b；③在射线AE上作线段AC＝a，再在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；你认为顺序正确的是（       ） A．②①③④ B．①③④② C．①④③② D．④①③② 【答案】B 【分析】先作射线AE，然后在射线AE上作线段AC=a，再在射线CE上作线段CD=a，最后在射线DE上作线段DB=b，则线段AB= 2a+b． 【详解】解：由题意知，正确的画图步骤为：①作一条射线AE；③在射线AE上作线段AC＝a，再在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；②则线段AB＝ 2a＋b； 故选：B． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 题型九、线段的和与差 26．如图，若，则线段与线段的大小关系为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查线段的和差计算，正确的识图，理清线段之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 即：； 故选：C． 27．已知线段，点C在直线上，且，则______． 【答案】4或20 【分析】本题主要考查了线段的和与差以及分类讨论的思想解决数学问题，运用数形结合，列出方程是解题的关键．点C在直线上，需分两种情况讨论：当点C在线段上时，根据线段和差关系求解；当点C在线段的延长线上（B点右侧）时，根据线段和差关系求解，点C在A点左侧的情况不存在，因为会导致负距离，由此求解即可． 【详解】设，， 当点C在线段上时，， 已知，则， 解得， 因此， 当点C在线段的延长线上（B点右侧）时，， 又，故， 解得， 因此， 综上，的长为4或20． 故答案为：4或20． 28．线段，点C在线段所在的直线上，且．则线段的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差．利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 当点在线段的右侧和在线段上，进行分类讨论，求解即可． 【详解】解：当点在线段的右侧时：； 当点在线段上时：， 综上：的长为：或． 故选：C． 29．如图，已知线段，点B，D在线段上，，点C在线段上，则图中所有线段长度之和等于（    ） A．400 B．612 C．1412 D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差，数形结合是解题的关键； 根据题意写出图中所有线段之和，再分组，利用线段的和与差，将所求结果用含和的式子表示，再代入计算即可． 【详解】记图中所有线段之和等于S，则 ， ， ， ， ． ，， ． 图中所有线段长度之和等于2024． 故选：D． 题型十、线段中点的有关计算 30．如图，C，D是线段上的两点，且点D是线段的中点，若，，则的长是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】先根据求出的长，再根据中点定义求出的长，最后根据求解即可． 【详解】解：，， 点是线段的中点， ． 31．线段，点是的中点，点在直线上，若，则的长为________． 【答案】3或9/9或3 【分析】点D在直线上，需分两种情况讨论，分别根据线段的和差关系计算的长度. 【详解】解：∵ ，， ∴ ∵ 点是的中点， ∴ . ①当点在线段上时，. ②当点在的延长线上时，. 因此的长为或. 32．如图，、顺次为线段上的两点，，为的中点，则下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据线段的中点的定义，以及线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，； 即若，则； 故选B． 题型十一、线段 n 等分点的有关计算 33．点C、D是线段的三等分点，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段等分点的有关计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 由点C、D是线段的三等分点，分两种情况讨论，即点靠近点A或点靠近点B，然后根据线段等分点的性质即可求的长度． 【详解】解：①点靠近点A时，如图： ∵点C、D是线段的三等分点， ∴； ②点靠近点B时，如图： ∵点C、D是线段的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：的长度为， 故选：A． 34．延长线段到C，使，反向延长线段到D，使，点E为的三等分点，点F为的中点．若，则线段的长为____． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差计算、中点的性质和三等分点的性质，利用分类讨论的思想是解题关键．通过已知的长度，依次求出 的长度，然后确定点F和点E的位置，最后求的长度． 【详解】解：因为， 所以． 则． 因为， 所以． 因为反向延长到D， 所以D在A的左侧． 所以． 因为点F为的中点， 所以． 点E为的三等分点， 如图，当其靠近点A时， ，， 所以； 如图，当其靠近点D时， 所以， 所以； 综上所述，线段的长为或． 故答案为：或． 35．某快递运输车队从城到B城有一天的行程，计划上午比下午多行驶80千米到地吃午饭．由于路况不佳，中午才抵达一个村庄，仅行驶了原计划的四分之一，过了村庄后，货车行驶了360千米到地才停下休息．司机表示：“再走从地到这里路程的三分之一就抵达目的地了”．则城到城的路程为（   ） A．480千米 B．560千米 C．640千米 D．720千米 【答案】A 【分析】本题主要考查线段的运算． 根据题意得出千米，，千米， ，从而得出，，求出千米，即可求出城到城的路程． 【详解】解：∵计划上午比下午多行驶80千米到地吃午饭， ∴千米， ∵中午才抵达一个村庄，仅行驶了原计划的四分之一， ∴， ∵过了村庄后，货车行驶了360千米到地才停下休息， ∴千米， ∵到地后再走从地到这里路程的三分之一就抵达目的地了 ∴， ∴，， 则千米， ∴千米． 故选：A． 题型十二、线段之间的数量关系 36．如图，点是线段上的两个点，，．若，则线段的长为_____． 【答案】2 【分析】本题考查线段的和与差，线段的数量关系，根据线段的和差关系求出的长，根据，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：2． 37．如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的折中点，已知是折线的折中点，为线段的中点，，则线段的长为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段中点的定义、线段的和差计算以及分类讨论的数学思想，熟练掌握线段中点的性质和折中点的定义，并能根据点的位置进行分类讨论是解题的关键． 先根据中点的定义求出的长度，再分两种情况讨论折中点的位置，利用折中点将折线分成两等份的性质，分别建立等式求出的长度． 【详解】解：∵为线段的中点，且， ∴． 情况一：当在上时， ∵， ∴． ∵是折线的折中点， ∴， ∴， ∴． 情况二：当在上时， ∵是折线的折中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 38．如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为；若，则这条绳子的原长为（   ）． A．48或64 B．96 C．48或96 D．64或96 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，分点是对折点和点为对折点，两种情况进行讨论求解，根据剪断后最长的一段为，得到最长的的或的长，进行求解即可． 【详解】解：当点为对折点时，剪断后有3段， ∵， ∴剪断后3段的长度相等，均为的长，即3段的长度均为， ∴绳子的原长为：； 当点为对折点时，剪断后最长的一段为的长，即：， ∵， ∴绳子的原长为； 故选C． 题型十三、与线段有关的动点问题 39．已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则_________． 【答案】1或 【分析】分两种情况：当点N在线段上，当点N在线段的延长线上，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况：当点N在线段上，如图：   ，， ， ， ， ， ； 当点N在线段的延长线上，如图：   ，， ， ， 综上所述：的值为1或， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键． 40．如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，解题的关键与难点在于正确的表示出数轴上的点所对应的数．先设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为，设线段和线段的运动速度为，运动时间为，再表示出运动后各点对应的数，最后根据点M，N分别是和的中点，表示出点M，N对应的数，即可解答． 【详解】解：设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为， 设线段和线段的运动速度为，运动时间为， 则运动后点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为． 点M，N分别是和的中点， 点M表示的数为， 点N表示的数为， 当点B在线段上且未到达中点时， 的长为． 故答案为：6． 41．如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确． 综上可知，说法正确的是②③④． 题型十四、两点之间线段最短 42．如图，从A到B有三条路径，最短的路径是②，理由是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．过一点有无数条直线 D．直线比曲线和折线短 【答案】B 【详解】解：如图，最短路径是②的理由是两点之间线段最短，故B正确． 43．在一条工厂流水线上从左到右依次有，，三个加工点，其中，两点相距，，两点相距，现要在流水线上设置一个材料供应站，分别往，，投放不同的原料，使得供应站到三个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________． 【答案】30 【详解】解：根据题意，得当点P与点B重合时，取得最小值，且最小值为， 则到三个加工点的距离之和最小，且最小为． 44．如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为12，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．12 B．4 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间线段最短，解题的关键是得出．连接，则，根据两点之间线段最短，得出当N在A，C之间时，最小，然后求出最小值即可． 【详解】解：如图，连接，则，    ∵两点之间线段最短， ∴当N在A，C之间时，最小，且最小值， ∴的最小值为， 故选：B． 题型十五、两点间的距离 45．下列说法正确的是（    ） A．连接两点的线段叫做两点间的距离 B．连接两点的射线的长度叫做两点间的距离 C．连接两点的直线的长度叫做两点间的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间的距离．熟练掌握两点之间的距离的定义是解题的关键． 根据两点之间的距离的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离， D正确，故符合要求；A、B、C错误，故不符合要求； 故选：D． 46．台湾省，简称“台”，是中华人民共和国省级行政区，省会为台北市．在地图上如果把城市看作一点，下列城市与台北市之间的距离最大的是（    ） A．吉林市 B．西安市 C．海口市 D．福州市 【答案】A 【分析】本题考查了点与点之间的距离，根据点与点之间的距离并结合生活常识即可得出答案． 【详解】解：在地图上如果把城市看作一点，与台北市之间的距离最大的是吉林市， 故选：A． 47．如图，在某个城市中，、两地之间有南北街道条、东西街道条，现要求沿图中的街道，以最短的路程从走到，则不同的走法共有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】由图可得最短的路程从走到，需要东西街道走段，南北街道走段，枚举出不同的走法，即可求解． 【详解】解：最短的路程从走到，需要东西街道走段，南北街道走段， 不同的走法有： 、右走段，再下走段； 、右走段，再下走段，最后右走段； 、右走段，再下走段，然后右走段，最后下走段； 、下走段，再右走段； 、下走段，再右走段，最后下走段； 、下走段，再右走段，然后下走段，最后右走段； ∴不同的走法共有种． 题型十六、最短路径问题 48．如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据直线外一点到直线上所有点中垂线段最短可知，最短路径为． 49．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点P是y轴上的一个动点，则的周长的最小值为____________． 【答案】5 【分析】先求出点关于y轴的对称点C，将PA+PB的最小值转化为PC+PB的最小值，易知当点P、B、C三点共线时，取最小值计算即可． 【详解】设点关于y轴的对称点C（x，y）， ∴点C（﹣1,0） 又点P是y轴上的一个动点， ∴PA+PB=PC+PB≥BC， 当点P、B、C三点共线时，PC+PB取最小值BC， 由两点的距离公式可得 故答案为：5 【点睛】本题主要考查两点间的距离公式的应用，涉及到轴对称最短路线问题，解题的关键是找到其中一点的对称点，结合三角形的性质求解． 50．如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，从村庄到公路不能穿过生态保护区，结合图形可知到的最短路径需经过生态保护区的右下角顶点，将问题转化为求两点之间线段最短的问题求解即可 ． 【详解】解：设生态保护区右下角的顶点为， 从村庄到公路不能穿过生态保护区， 到的最短路径需经过点，即路径为， 总路程为， 为定值， 要使总路程最短，只需最短， 点在直线上方，点在直线下方， 根据“两点之间，线段最短”，连接交直线于点，此时最小， 即三点共线 观察图形，选项A符合共线且与相连的特征． 解答题 1．读下列语句，并画出相应的图形： (1)点A在直线l上，点B在直线l外 (2)任意画一点P，过点P画直线． (3)任意画A、B两点，过A、B两点画直线． (4)任意画A、B、C三点，过A、C两点画直线l，此时点B是否一定在这条直线上？ 【答案】(1) (2) (3) (4)或，点B不一定在这条直线上． 【详解】（1）解：如图所示，点A，B即为所求；图略． （2）解：如图所示，直线即为所求；图略． （3）解：如图所示，直线即为所求；图略． （4）解：如图所示，直线，点B即为所求．图略． ∴点B不一定在这条直线上． 2．问题提出： 某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛． 实际应用： 实际应用： （4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次． 拓展提高： （5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 【答案】（2）15（3）（4）1035（5）30 【分析】本题主要考查了单循环球赛赛制场次计算．熟练掌握计算原理和方法，建立数学模型，是解题的关键． （2）6支足球队进行单循环比赛，共要安排15场比赛； （3）n支足球队进行单循环比赛，共要安排场比赛； （4）46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手1035次； （5）6个车站，在这段线路上往返行车，要准备车票30种． 【详解】（2）6支足球队，任何一支球队都要分别与其他5支球队比赛一场，共比赛场； 故答案为：15； （3）n支足球队，任何一支球队都要分别与其他支球队比赛一场，共比赛场； 故答案为：； （4）46位新同学，任何一位同学都要分别与其他45位同学相互握一次手，全班同学总共握手次； 故答案为：1035； （5）6个车站，任何一个车站都要分别与其他5个车站准备车票，且往返车票种类不同，要准备车票的种数共种． 故答案为：30． 3．如图，直线l上有两个定点A、B，一个动点P，点M、N分别为线段、的中点． (1)若点P在线段上，且，，则线段________，________ (2)探究：当点P在直线l上运动，与有何数量关系． 张同学在探究时发现：点P与线段的位置关系也有不同情况，并且他猜想：．但张同学只做出以下一种情况的解答过程，请你帮他完成其它情况的解题过程，验证他的猜想是否正确． 解：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以： 【答案】(1)5； (2)解：猜想正确， 理由：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：； ②点P在的左侧， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：； ③点P在的右侧， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：， 综上，. 【分析】（1）根据线段的和差关系求出，根据线段中点的定义求出、，由即可求解； （2）由点M是中点，点N是中点，得，分三种情况讨论：①点P在之间，由即可求解；②当P在A左边，由即可求解；③当P在B右边；由即可求解. 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为M是的中点，N是的中点， 所以，， 所以，即； （2）略 4．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从A、M出发以、的速度沿直线向右运动（C在线段上，D在线段上）． (1)当点C、D运动了，求的长度； (2)若点C、D运动时，总有，则 ； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且满足，与的数量关系为 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的和差、两点间的距离． （1）根据题意，由运动时间和速度分别求出、的长，再根据，进而求出的长； （2）根据、的运动速度知，，再由已知，进而求得，再由，即，进而得出答案； （3）分两种情况分析：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，由线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，当点、运动了时，，， ，， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 如图所示，当点在线段上时， ，， ， ， ； 如图所示，当点在线段的延长线上时， ，， ， 综上所述，与的数量关系为或， 故答案为：或． 5．操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是． (1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______； (2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可） 【答案】(1) 如图，连接，则为蚂蚁爬行的最短路线；理由为：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． (2) 如图，即为所求最短路线． 或 或或 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，画线段，解题的关键熟练掌握线段的性质． （1）连接即可；根据两点之间线段最短进行解答即可； （2）将正方体前面的面和右侧面展开，连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13直线.射线.线段知题通关讲义 知识点 01 直线、射线、线段定义 1. 基础定义 1）线段：直线上两点及两点之间的部分，有两个端点，长度可测量。 2）射线：将线段向一个方向无限延伸得到的图形，仅有1个端点，不可度量长度。 3）直线：将线段向两个相反方向无限延伸得到的图形，无端点，不可度量长度。 2. 三线完整对比表 3. 表示方法核心易错规则 线段：两个字母无顺序，线段AB= 线段BA； 射线：端点字母必须写在第一位，射线AB≠射线BA（端点不同，是两条完全不同的射线）； 直线：两个字母无顺序，直线AB= 直线BA； 小写字母表示时，直接写线段a、射线l、直线m。 知识点 02 直线两大基本事实（公理，考试必考） 文字表述：经过两点，有且只有一条直线。 关键词：有且只有—— 存在且唯一。 生活实例：钉木条至少钉 2 颗钉子、站队两点对齐、建筑放线。 几何语言：过点A、B有且仅有一条直线AB。 文字表述：两点之间所有连线中，线段的长度最短。 衍生定义：两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离。 ⚠️易错区分：距离是长度（数字），线段是图形，不能说 “两点之间的线段叫距离”。 生活实例：走路抄近道、修路尽量直。 知识点 03线段长短两种比较方法 知识点 04 线段相关核心知识点 （1）画一条射线AB； （2）圆规量取已知线段MN的长度； （3）圆规针尖固定在A，在射线上截取AC=MN； （4）线段AC即为所求。 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 几何等量关系： 若点M是线段AB中点， 则 AC=CB=AB，AB=2AC=2CB。 在线段一条延长线上取点，可构造线段和、差： 和：点C在线段AB延长线上，AB=AC+BC 差：点C在线段AB之间，AC=AB-BC 延长线段AB：从A向B方向延伸； 反向延长线段AB：从B向A方向延伸； 射线只能反向延长，直线无需延长。 知识点 05 计数类题型规律（数线段、射线、直线） 1. 直线上有n个点，数线段条数 公式：线段总条数 = 例：直线上 4 个点，线段数 ==6条。 2. 直线上 1 个点，射线数量：2 条（向左右各 1 条） 直线上n个点，射线总数：2n条。 3. 过点画直线 1）过 1 个点：可画无数条直线； 2）过 2 个点：只能画1 条直线； 3）平面内三点，分两种情况： ①三点共线：仅 1 条直线； ②三点不共线：可画 3 条直线。 1. 直线、射线、线段概念混淆 提醒：直线无端点，向两方无限延伸；射线一个端点，向一方无限延伸；线段两个端点，可度量长度。 2. 几何语言书写与读法错误 提醒：射线表示时，端点字母必须写在前；直线、线段字母无先后顺序。 3. 射线判断出错 提醒：端点相同、延伸方向不同，为两条不同射线；端点不同则射线一定不同。 4. 两点相关结论误用 提醒：两点确定一条直线；两点之间，线段最短，不可表述为“两点之间直线最短”。 5. 线段中点概念理解偏差 提醒：若点M是线段AB中点，则AM=MB=AB；满足AM=MB，点M不一定是中点（M不在线段AB上）。 6. 线段和差作图、计算漏解 提醒：点的位置未明确时，需分类讨论点在线段上或线段延长线上，防止漏掉其中一种情况。 7. 线段度量与比较表述不规范 提醒：比较线段长短可用度量法、叠合法；叠合法需将一端对齐，观察另一端位置。 题型 考察方向 难度 题型一 直线、射线、线段的联系与区别 ★ 题型二 画出直线、射线、线段 ★ 题型三 点与线的位置关系 ★ 题型四 直线、线段、射线的数量问题 ★★ 题型五 直线相交的交点个数问题 ★★ 题型六 线段的应用 ★★ 题型七 两点确定一条直线 ★ 题型八 作线段 ★★ 题型九 线段的和与差 ★★ 题型十 线段中点的有关计算 ★★ 题型十一 线段 n 等分点的有关计算 ★★★ 题型十二 线段之间的数量关系 ★★★ 题型十三 与线段有关的动点问题 ★★★★ 题型十四 两点之间线段最短 ★ 题型十五 两点间的距离 ★ 题型十六 最短路径问题 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一、直线、射线、线段的联系与区别 1．下列说法中，正确的是_____． ①延长直线到点；②延长射线到点；③延长线段到点；④画出长的直线；⑤画出长的射线；⑥画出长的线段；⑦射线长度是直线长度的一半． 2．下列关于直线、射线、线段的描述中，正确的是（   ） A．延长射线到点B B．线段就是点A到点B之间的距离 C．经过两点有且只有一条直线 D．一条直线由两条射线组成 3．如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 题型二、画出直线、射线、线段 4．下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知平面内的三个点，画出线段、射线、直线，下列画法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有________个． 题型三、点与线的位置关系 7．如图，已知点P与直线l，用适当的语句表述图中点P与直线l的关系：________． 8．下列几何图形与相应语言描述相符的是（   ） A． B． C． D． 9．若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 题型四、直线、线段、射线的数量问题 10．把序号填在括号里．___________是直线，___________是射线，___________是线段． 11．往返A，B两地的客车，中途停靠三个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（    ） A．10种 B．8种 C．6种 D．5种 12．如图，有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有4个刻度（单位：），用这把直尺能直接量出的不同长度有______个． 题型五、直线相交的交点个数问题 13．三条直线相交，最多有________个交点． 14．平面内的5条直线两两相交，交点最多有个，最少有个，则等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 15．平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 16．两条直线相交，产生一个交点，已知9条直线相交最多产生36个交点，那么10条直线相交最多产生交点个数为（   ） A．45 B．46 C．50 D．60 题型六、线段的应用 17．杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（　　） A．20种 B．15种 C．10种 D．5种 18．2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 19．如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有___________个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 题型七、两点确定一条直线 20．如图，“罗马杆”是一种用于悬挂窗帘的横杆．安装时需在两头加以固定，才能稳固不动．其中的数学原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．点动成线 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 21．墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线_____． 22．直线经过两个整点（横纵坐标都为整数的点）是该直线经过无数个整点的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型八、作线段 23．如图，已知线段m，作一条线段使它等于2m． 作法： （1）作________AD． （2）用圆规在________上截取________ （3）用圆规在________上截取________，线段________就是所求作的线段． 24．如图，用圆规比较两条线段和的长短，可知______．（填写“”，“”，“”） 25．已知：线段a，b，求作：线段AB，使得AB＝2a＋b，小明给出了四个步骤（如图）：①作－条射线AE；②则线段AB＝ 2a＋b；③在射线AE上作线段AC＝a，再在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；你认为顺序正确的是（       ） A．②①③④ B．①③④② C．①④③② D．④①③② 题型九、线段的和与差 26．如图，若，则线段与线段的大小关系为（ ） A． B． C． D．无法确定 27．已知线段，点C在直线上，且，则______． 28．线段，点C在线段所在的直线上，且．则线段的长度为（    ） A． B． C．或 D．或 当点在线段上时：， 综上：的长为：或． 故选：C． 29．如图，已知线段，点B，D在线段上，，点C在线段上，则图中所有线段长度之和等于（    ） A．400 B．612 C．1412 D．2024 题型十、线段中点的有关计算 30．如图，C，D是线段上的两点，且点D是线段的中点，若，，则的长是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 31．线段，点是的中点，点在直线上，若，则的长为________． 32．如图，、顺次为线段上的两点，，为的中点，则下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型十一、线段 n 等分点的有关计算 33．点C、D是线段的三等分点，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 34．延长线段到C，使，反向延长线段到D，使，点E为的三等分点，点F为的中点．若，则线段的长为____． 35．某快递运输车队从城到B城有一天的行程，计划上午比下午多行驶80千米到地吃午饭．由于路况不佳，中午才抵达一个村庄，仅行驶了原计划的四分之一，过了村庄后，货车行驶了360千米到地才停下休息．司机表示：“再走从地到这里路程的三分之一就抵达目的地了”．则城到城的路程为（   ） A．480千米 B．560千米 C．640千米 D．720千米 题型十二、线段之间的数量关系 36．如图，点是线段上的两个点，，．若，则线段的长为_____． 37．如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的折中点，已知是折线的折中点，为线段的中点，，则线段的长为_____． 38．如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为；若，则这条绳子的原长为（   ）． A．48或64 B．96 C．48或96 D．64或96 题型十三、与线段有关的动点问题 39．已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则_________． 40．如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 41．如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 题型十四、两点之间线段最短 42．如图，从A到B有三条路径，最短的路径是②，理由是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．过一点有无数条直线 D．直线比曲线和折线短 43．在一条工厂流水线上从左到右依次有，，三个加工点，其中，两点相距，，两点相距，现要在流水线上设置一个材料供应站，分别往，，投放不同的原料，使得供应站到三个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________． 44．如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为12，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．12 B．4 C．3 D．6 题型十五、两点间的距离 45．下列说法正确的是（    ） A．连接两点的线段叫做两点间的距离 B．连接两点的射线的长度叫做两点间的距离 C．连接两点的直线的长度叫做两点间的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离 46．台湾省，简称“台”，是中华人民共和国省级行政区，省会为台北市．在地图上如果把城市看作一点，下列城市与台北市之间的距离最大的是（    ） A．吉林市 B．西安市 C．海口市 D．福州市 47．如图，在某个城市中，、两地之间有南北街道条、东西街道条，现要求沿图中的街道，以最短的路程从走到，则不同的走法共有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 题型十六、最短路径问题 48．如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 49．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点P是y轴上的一个动点，则的周长的最小值为____________． 50．如图，在村庄附近有一个生态保护区，现要在公路边修建一个垃圾站，使它到，两村庄的路程之和最短，且从村庄到公路不能穿过生态保护区，则下列四种修建方案中，符合条件的是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．读下列语句，并画出相应的图形： (1)点A在直线l上，点B在直线l外 (2)任意画一点P，过点P画直线． (3)任意画A、B两点，过A、B两点画直线． (4)任意画A、B、C三点，过A、C两点画直线l，此时点B是否一定在这条直线上？ 2．问题提出： 某学校举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排10场比赛． （2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排______场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要定排______场比赛． 实际应用： 实际应用： （4）9月2日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上46位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手______次． 拓展提高： （5）往返于济南和青岛的同一辆高速列车，中途经济南东站、章丘、淄博、青州、潍坊、青岛6个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种． 3．如图，直线l上有两个定点A、B，一个动点P，点M、N分别为线段、的中点． (1)若点P在线段上，且，，则线段________，________ (2)探究：当点P在直线l上运动，与有何数量关系． 张同学在探究时发现：点P与线段的位置关系也有不同情况，并且他猜想：．但张同学只做出以下一种情况的解答过程，请你帮他完成其它情况的解题过程，验证他的猜想是否正确． 解：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以： 4．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从A、M出发以、的速度沿直线向右运动（C在线段上，D在线段上）． (1)当点C、D运动了，求的长度； (2)若点C、D运动时，总有，则 ； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且满足，与的数量关系为 ． 5．操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是． (1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______； (2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $