竞赛培优专题12 几何图形的规律探究（讲义）2026-2027学年七年级上册数学（人教版）

专题十二 几何图形的规律探究 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：图形的拼接与分割规律 3 考点二：点阵图形的规律 5 考点三：立体图形的展开与折叠规律 6 考点四：几何图形的周期规律 8 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：规律归纳仅靠前两项，验证不充分 9 易错点 2：空心点阵、拼接图形漏算重复部分 9 易错点 3：周期问题余数为 0 时对应错误 10 易错点 4：棱柱规律记错，面数棱数混淆 10 易错点 5：分割规律初始状态搞错，通项偏移 10 第四部分 分层进阶专题精练 11 一、基础夯实篇（8 题） 11 二、能力进阶篇（7 题） 11 三、思维跃迁篇（5 题） 12 第五部分 精准解析 14 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版七年级上册第四章几何图形初步的奥数拓展培优内容，核心是 “几何图形的规律归纳与推理”，依托图形拼接分割、点阵图形、立体展开图、几何周期四大类规律题型，系统训练从特殊到一般的归纳推理能力，掌握数形结合的规律探究方法，全面提升几何逻辑思维与猜想验证能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 图形拼接与分割规律 火柴棒拼接、图形分割、周长面积的递变规律 枚举归纳法、平移转化法 忽略拼接处的重复边；分割次数与块数关系搞反 点阵图形规律 实心 / 空心点阵、三角形点阵、分层点阵的数量规律 分层计数法、通项公式法 漏算边界点；仅靠前两项下结论，规律验证不充分 立体图形展开图规律 正方体展开图对面规律、棱柱面棱顶点规律、折叠层数规律 欧拉公式法、递推归纳法 混淆 n 棱柱的棱数与面数；展开图对面邻面判断错误 几何图形周期规律 图形循环排列、动点周期运动、旋转周期规律 找循环节法、余数判定法 周期起点找错；余数为 0 时对应位置判断失误 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 归纳递推法 所有规律探究题 列举前 3~4 组结果→找变化增量→推导通项公式→代入验证 先枚举，找增量，推通项，再验证 平移转化法 阶梯形周长、不规则拼接周长 平移线段转化为规则图形→用公式计算 阶梯形，移边线，变成长方好计算 分层计数法 点阵、立体分层计数 按层 / 按边分别计数→累加求和→提炼公式 分层数，不重复，加起来，得总数 周期循环法 周期类规律题 找循环节→算总数 ÷ 周期→看余数组对应 找周期，算余数，余几对应第几个 模型迁移法 同类规律拓展题 识别基础模型→套用已知规律→微调适配新场景 熟模型，巧迁移，变中找不变 三、奥数思维提升 1. 归纳推理思想：特殊到一般的规律提炼 核心要点：通过观察几组具体的图形，发现数量变化的共同规律，推导出通用的通项公式，是几何规律探究的核心思维方法。 示例：摆 1 个三角形用 3 根火柴，摆 2 个用 5 根，摆 3 个用 7 根，归纳得摆 n 个三角形用根火柴。 2. 数形结合思想：图形与代数的双向转化 核心要点：将图形的数量关系转化为代数式，用代数公式描述图形规律，同时借助图形直观理解代数公式的含义。 示例：正方形点阵第 n 个有个点，既可以通过图形分层数出，也可以用平方公式直接计算。 3. 模型思想：经典规律的普适性 核心要点：很多几何规律都有固定的数学模型，比如等差数列型增量、平方数型点阵、周期循环型，掌握基础模型可快速解决同类问题。 示例：所有 “每增加一个图形，增加固定数量边” 的拼接问题，都符合一次函数模型。 4. 转化思想：不规则转规则 核心要点：不规则的阶梯图形、拼接图形，通过平移线段、分割重组等方式，转化为规则的长方形、正方形，用已知公式快速求解。 示例：阶梯形的周长，通过平移横竖线段，可转化为对应长方形的周长，无需逐段累加。 5. 周期思想：循环中的不变性 核心要点：周期性规律的本质是每经过固定数量就重复一次，抓住循环节，用除法求余数，即可快速定位任意位置的状态。 示例：图形按△○□△○□循环，周期为 3，求第 20 个，算 20÷3 余 2，对应第二个图形○。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：图形的拼接与分割规律 典型例题 1（基础型）—— 火柴棒拼接三角形 题目：用火柴棒按下图方式摆三角形，摆 1 个用 3 根，摆 2 个用 5 根，摆 3 个用 7 根，照这样摆 n 个三角形，需要______根火柴棒。 解题步骤： ① 枚举前 3 组结果：n=1 时 3 根，n=2 时 5 根，n=3 时 7 根； ② 找增量：每增加 1 个三角形，增加 2 根火柴棒，增量固定为 2； ③ 推导通项：首项 3，每次加 2，公式为； ④ 验证：n=3 时，，与实际一致。 【答案】 【知识点睛】连续拼接类图形，每新增一个单元，共享一条边，因此增量为 “边数 - 1”，符合一次函数规律。 典型例题 2（提高型）—— 正方形分割规律 题目：将一张正方形纸剪成 4 个小正方形，再将其中一个剪成 4 个更小的正方形，如此操作下去。第 3 次操作后，一共有________个正方形；第 n 次操作后，一共有______个正方形。 解题步骤： ① 初始状态：0 次操作，1 个正方形； ② 第 1 次操作：增加 3 个，共个； ③ 第 2 次操作：再增加 3 个，共个；④ 第 3 次操作：再增加 3 个，共 10 个； ⑤ 规律：每次操作增加 3 个，第 n 次后总数为。 【答案】； 【知识点睛】分割类规律，每次分割 1 个变 4 个，净增加 3 个，增量固定，为等差数列型规律。 典型例题 3（奥数型）—— 阶梯形周长规律 题目：下图是由边长为 1 的小正方形拼成的阶梯图形，第 1 层 1 个，第 2 层 2 个，第 3 层 3 个，第 n 层 n 个。第 3 个图形的周长是________，第 n 个图形的周长是________。 解题步骤： ① 用平移法：将阶梯的横边向上平移，竖边向右平移，图形周长等价于边长为 n 的正方形的周长； ② 第 3 个图形：边长为 3，周长； ③ 第 n 个图形：边长为 n，周长； ④ 验证：第 1 个周长 4，第 2 个周长 8，第 3 个周长 12，符合规律。 【答案】； 【知识点睛】阶梯形周长问题，通过平移转化为正方形周长，是不规则图形周长计算的经典技巧。 考点二：点阵图形的规律 典型例题 1（基础型）—— 实心正方形点阵 题目：观察下列实心正方形点阵，第 1 个有 1 个点，第 2 个有 4 个点，第 3 个有 9 个点，第 6 个点阵有________个点，第 n 个有______个点。 解题步骤： ① 观察规律：第 1 个，第 2 个，第 3 个； ② 第 n 个点阵是边长为 n 的正方形，点数为； ③ 第 6 个点阵：个点。 【答案】； 【知识点睛】实心正方形点阵，点数为边长的平方，是平方数规律的典型几何模型。 典型例题 2（提高型）—— 空心正方形点阵 题目：观察空心正方形点阵，第 1 个每边 2 个点，第 2 个每边 3 个点，第 3 个每边 4 个点。第 5 个点阵共有________个点，每边 n 个点时共有______个点。 解题步骤： ① 每边 2 个点：总点数（四个顶点重复计算，减 4）； ② 每边 3 个点：； ③ 每边 n 个点：总点数； ④ 第 5 个每边 6 个点：个。 【答案】； 【知识点睛】空心方阵点数 = 4×(每边点数 - 1)，核心是四个顶点被两条边共享，需要减去重复的 4 个。 典型例题 3（奥数型）—— 三角形点阵 题目：三角形点阵第 1 层 1 个点，第 2 层 2 个点，第 3 层 3 个点…… 第 n 层 n 个点。第 10 个点阵共有________个点，第 n 个共有______个点。 解题步骤： ① 第 n 个点阵总点数 = 1+2+3+…+n； ② 等差数列求和：； ③ 第 10 个：个点。 【答案】； 【知识点睛】三角形点阵对应自然数求和公式，是等差数列求和的经典几何模型。 考点三：立体图形的展开与折叠规律 典型例题 1（基础型）—— 正方体展开图对面规律 题目：正方体 “一四一” 型展开图中，中间一行 4 个面，第 1 个面和第________个面是对面；上下两个面________（填 “是” 或 “不是”）对面。 解题步骤： ① 正方体展开图 “相间是对面”：中间一行 4 个面，1 和 3 相间，是对面；2 和 4 相间，是对面；② 上下两个面分别在第 2 个面的上下，属于 Z 端，是对面； ③ 因此第 1 个和第 3 个是对面；上下两个面是对面。 【答案】； 【知识点睛】正方体展开图对面规律：相间、Z 端是对面；相邻、共点是邻面。 典型例题 2（提高型）—— 棱柱的面棱顶点规律 题目：观察棱柱规律：三棱柱有 5 个面、6 个顶点、9 条棱；四棱柱有 6 个面、8 个顶点、12 条棱。则六棱柱有________个面、________个顶点、________条棱；n 棱柱有________个面、________个顶点、______条棱。 解题步骤： ① 找规律：三棱柱 n=3，面 = 3+2=5，顶点 = 2×3=6，棱 = 3×3=9；② 四棱柱 n=4，面 = 4+2=6，顶点 = 2×4=8，棱 = 3×4=12；③ 六棱柱 n=6：面 = 6+2=8，顶点 = 12，棱 = 18； ④ n 棱柱：面数，顶点数，棱数； ⑤ 验证欧拉公式：面 + 顶点 - 棱 = 2，，符合。 【答案】；；；；； 【知识点睛】n 棱柱的面、顶点、棱数均符合固定规律，满足欧拉公式：面数 + 顶点数 - 棱数 = 2。 典型例题 3（奥数型）—— 纸张对折规律 题目：将一张长方形纸对折，对折 1 次有 1 条折痕，对折 2 次有 3 条折痕，对折 3 次有 7 条折痕。对折 5 次有________条折痕，对折 n 次有______条折痕。 解题步骤： ① 对折 1 次：层数 2，折痕条； ② 对折 2 次：层数 4，折痕条； ③ 对折 3 次：层数 8，折痕条； ④ 规律：对折 n 次，层数为，折痕数为； ⑤ 对折 5 次：条。 【答案】； 【知识点睛】对折问题层数呈 2 的 n 次方增长，折痕数 = 层数 - 1，是等比数列型规律。 考点四：几何图形的周期规律 典型例题 1（基础型）—— 图形循环排列 题目：图形按△○□☆△○□☆…… 的顺序排列，第 2026 个图形是________。 解题步骤： ① 循环节：△○□☆，周期长度为 4； ② 计算： 余 2； ③ 余数为 2，对应周期内第 2 个图形，即○。 【答案】 【知识点睛】周期问题核心：总数 ÷ 周期长度，余数是几就对应第几个，余数为 0 对应最后一个。 典型例题 2（提高型）—— 动点周期运动 题目：一只电子跳蚤在数轴上从原点出发，第 1 次向右跳 1 格，第 2 次向左跳 2 格，第 3 次向右跳 3 格，第 4 次向左跳 4 格…… 按此规律，跳第 100 次后，落点表示的数是________。 解题步骤： ① 将两次运动看作一组：每两次向左移动 1 格；② 100 次共 50 组，每组左移 1 格，总共左移 50 格； ③ 从原点出发，左移 50 格，表示的数是 - 50。 【答案】 【知识点睛】往返运动类周期问题，可将相邻两次分为一组，计算每组的净位移，再求总结果。 典型例题 3（奥数型）—— 旋转周期规律 题目：正三角形绕中心至少旋转 120° 与自身重合，若按每秒 30° 顺时针旋转，第 10 秒时图形与初始位置重合吗？________；旋转一周内，共有______次与初始位置重合。 解题步骤： ① 周期：每旋转 120° 重合一次，周期角度为 120°； ② 10 秒旋转角度：，300 不是 120 的整数倍，因此不重合； ③ 一周 360°，重合次数：次（不含初始位置）。 【答案】； 【知识点睛】正 n 边形旋转重合的最小角度为，旋转重合问题本质是角度的周期循环。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：规律归纳仅靠前两项，验证不充分 错误示例：看到前两个图形点数是 1、4，就认定规律是 + 3，忽略第三个是 9，实际是平方规律。 正确分析：规律探究至少要观察前 3~4 组结果，确认增量一致或符合固定公式，再下结论。 修正方法：推导出通项后，代入已知的前几组验证，全部符合才算正确。 易错点 2：空心点阵、拼接图形漏算重复部分 错误示例：空心方阵每边 n 个点，直接算 4n，忘记四个顶点被重复计算，多算了 4 个。 正确分析：相邻边共享顶点 / 边，计数时会重复，需要减去重复的部分。 修正方法：遇到封闭图形的边界计数，先按边算总和，再减去重复的顶点 / 公共边数量。 易错点 3：周期问题余数为 0 时对应错误 错误示例：周期为 4，算第 8 个，8÷4=2 余 0，误以为对应第 1 个，实际对应第 4 个。 正确分析：余数为 0 说明刚好完成整数个周期，对应周期的最后一个元素。 修正方法：记住 “余几对应第几个，余 0 对应最后一个” 的口诀。 易错点 4：棱柱规律记错，面数棱数混淆 错误示例：n 棱柱有 n 个面、n 条棱，混淆了面数、顶点数、棱数的公式。 正确分析：n 棱柱有 2 个底面 + n 个侧面，共 n+2 个面；上下底各 n 个顶点，共 2n 个；侧棱 n 条 + 底棱 2n 条，共 3n 条。 修正方法：结合三棱柱、四棱柱的具体数值记忆，用欧拉公式交叉验证。 易错点 5：分割规律初始状态搞错，通项偏移 错误示例：正方形分割，第 1 次分割 4 个，就认为第 n 次是 3n 个，漏掉初始的 1 个。 正确分析：规律推导要注意初始状态（0 次操作）的数量，通项要包含初始值。 修正方法：写通项后，代入 n=1 验证是否符合第一次的结果，避免偏移。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8 题） 1. 按规律摆正方形：摆 1 个用 4 根火柴，摆 2 个用 7 根，摆 3 个用 10 根，摆 n 个用______根。 2. 实心正方形点阵第 5 个有______个点。 3. 图形按□△○□△○…… 排列，第 30 个图形是________。 4. 四棱柱有________个面，______条棱。 5. 一张纸对折 4 次，有______层。 6. 摆 n 个正六边形连在一起，需要______根火柴棒。 7. 每边 5 个点的空心正方形点阵，共有______个点。 8. 线段上 2 个点 1 条线段，3 个点 3 条线段，n 个点有______条线段。 二、能力进阶篇（7 题） 9. 用小棒摆正五边形，连摆 10 个一共需要多少根小棒？ 10. 观察点阵：第 1 个 3 个点，第 2 个 6 个点，第 3 个 9 个点…… 第 n 个 3n 个点，这是什么形状的点阵？请画出第 4 个图形。 11. 将一张长方形纸剪去一个角，剩下的图形有几个角？列举所有可能。 12. 一串珠子按 2 黑 3 白的顺序排列，第 100 颗珠子是什么颜色？前 100 颗里有多少颗黑珠子？ 13. 十二棱柱有多少个面、多少个顶点、多少条棱？ 14. 观察下列图形：第 1 个图形周长为 4，第 2 个周长为 8，第 3 个周长为 12…… 第 20 个图形周长是多少？ 15. 对折一张纸，第 1 次 2 层 1 条折痕，第 2 次 4 层 3 条折痕，第几次对折后有 127 条折痕？ 三、思维跃迁篇（5 题） 16. 观察下列由五角星组成的图形，第 1 个有 2 个，第 2 个有 8 个，第 3 个有 18 个…… 第 n 个图形有多少个五角星？ 17. 动点从原点出发，第 1 秒向右走 2 个单位，第 2 秒向左走 1 个单位，第 3 秒向右走 2 个单位，第 4 秒向左走 1 个单位…… 第 2026 秒时，动点表示的数是多少？ 18. 用同样大小的黑色棋子按下图规律摆放：第 1 个 6 枚，第 2 个 9 枚，第 3 个 12 枚…… 第 n 个图形有多少枚棋子？第几个图形有 2025 枚棋子？ 19. 一个大正方形用十字线分割成 4 个小正方形，再对每个小正方形用十字线分割…… 操作 3 次后，共有多少个正方形？ 20. 正六边形绕中心旋转，至少旋转多少度与自身重合？若每秒旋转 15°，第几秒时第一次与初始位置重合？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1.【答案】 解题步骤： 每增加 1 个正方形增加 3 根火柴，首项 4，通项。 【知识点睛】正方形拼接规律，共享边增量为 3。 2.【答案】 解题步骤： 第 5 个是边长为 5 的正方形，。 【知识点睛】实心正方形点阵平方规律。 3.【答案】 解题步骤： 周期 3，余 0，对应周期最后一个○。 【知识点睛】周期循环问题，余 0 对应最后一个。 4. 【答案】； 解题步骤： 四棱柱 n=4，面 = 4+2=6，棱 = 3×4=12。 【知识点睛】棱柱面棱顶点规律。 5.【答案】 解题步骤： 对折 n 次层数，对折 4 次层。 【知识点睛】对折层数的等比增长规律。 6.【答案】 解题步骤： 每个六边形 6 条边，拼接共享 1 条边，增量为 5，首项 6，通项。 【知识点睛】正多边形连拼通用规律：n 个 k 边形，需要根火柴。 7.【答案】 解题步骤： 个。 【知识点睛】空心方阵点数公式。 8.【答案】 解题步骤： 两点确定一条线段，组合计数公式。 【知识点睛】线段计数的通用规律。 二、能力进阶篇解析 9.【答案】根 解题步骤： ① 连摆 n 个正五边形，通项； ② 代入 n=10：根。 【知识点睛】正五边形拼接，每新增一个增加 4 根。 10.【答案】空心三角形点阵；第 4 个图形为每边 5 个点的空心三角形点阵（画图略） 解题步骤： ① 观察点数规律：第 1 个 3 个点，第 2 个 6 个点，第 3 个 9 个点，点数依次增加 3，通项公式为； ② 空心三角形点阵中，每边个点时，总点数为；令，则总点数为，与规律完全吻合； ③ 第 4 个点阵每边有个点，总点数为个，对应每边 5 个点的空心三角形。 【知识点睛】空心三角形点阵的总点数为，增量固定为 3，符合等差数列规律。 11.【答案】3 个角、4 个角或 5 个角，共 3 种可能 解题步骤： ① 沿对角线剪：剩 3 个角（三角形）； ② 过一个顶点剪到对边：剩 4 个角（四边形）； ③ 剪两条邻边（不过顶点）：剩 5 个角（五边形）。 【知识点睛】图形分割的多结果分类讨论。 12.【答案】白色；颗 解题步骤： ① 周期 5，组，刚好整除，对应周期最后一个，白色； ② 每组 2 颗黑珠，共颗。 【知识点睛】周期计数问题。 13.【答案】个面，个顶点，条棱 解题步骤： n=12，面 = 12+2=14，顶点 = 2×12=24，棱 = 3×12=36。 【知识点睛】n 棱柱通用公式应用。 14.【答案】 解题步骤： 周长规律为 4n，第 20 个。 【知识点睛】阶梯形周长平移规律。 15.【答案】次 解题步骤： ① 折痕数，得； ② ，因此 n=7。 【知识点睛】对折折痕公式的逆向应用。 三、思维跃迁篇解析 16.【答案】个 解题步骤： ① 2=2×1²，8=2×2²，18=2×3²； ② 归纳得第 n 个为个。 【知识点睛】双层平方型点阵规律。 17.【答案】 解题步骤： ① 每 2 秒为一组，每组净向右走 1 个单位； ② 2026 秒共 1013 组，总位移。 【知识点睛】往返周期运动的分组计算。 18.【答案】枚；第个 解题步骤： ① 首项 6，增量 3，通项； ② 令，解得。 【知识点睛】等差数列型棋子规律，逆向求项数。 19.【答案】个 解题步骤： ① 初始状态（0 次操作）：1 个大正方形； ② 每次十字分割操作，每个正方形都被分成 4 个小正方形，总数量变为原来的 4 倍； ③ 第 1 次操作后：个； ④ 第 2 次操作后：个； ⑤ 第 3 次操作后：个。 【知识点睛】每次对所有正方形进行分割的等比增长型规律，总数量按增长，为操作次数。 20.【答案】；第秒 解题步骤： ① 正六边形最小旋转角：； ② 时间：秒。 【知识点睛】正多边形旋转重合周期。 1 学科网（北京）股份有限公司 $