精品解析：吉林省四平市部分校2026-2027学年高三上学期10月期中考试数学试题

2026-2027学年度第一学期期中考试 高三数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：集合，常用逻辑用语与不等式，复数，函数，一元函数的导数及其应用，三角函数与解三角形，平面向量，数列 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】复数模的概念及复数运算法则. 【详解】因为，所以． 故选:A. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若，则 C. 的单调减区间为 D. 是的必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定判断A；举例说明判断B；求出函数的单调区间判断C；利用充分条件、必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，A错误； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，函数的单调减区间为，C错误； 对于D，或，因此是的必要不充分条件，D正确. 故选：D 3. 已知向量，的夹角为150°，且，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助向量模长与数量积的关系与数量积的计算公式计算即可得. 【详解】因为， 所以. 故选：D 4. 已知点是角终边上的一点，则（    ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式求出，再根据角终边上点的坐标计算，代入即可. 【详解】由诱导公式可知，又因为是角终边上的一点， 所以，所以. 故选：D 5. 已知数列满足，若，则数列的前10项和为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由递推关系求出，再由裂项相消法求解数列的前10项和即可. 【详解】因为， 所以， 两式相减可得，即，又也适合，所以， 所以， 所以. 故选：C 6. 设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知的解集是 的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：B. 7. 记，，分别是的内角A，B，C的对边，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 从而，又因为，所以，从而，故选A. 8. 已知函数，设，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，则，判断的奇偶性和单调性，结合对数运算和对数函数的性质，进而可得大小关系. 【详解】由，令，则， 由，故为偶函数， 当时，在上单调递增， ， ， 因为，， 所以， 所以, 所以 即. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的零点为 C. 图象的对称轴方程为 D. 的单调递减区间为 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求出的解析式，根据三角函数的性质即可逐一判断各选项. 【详解】将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）后可得 函数的图象，再将图象上的所有的点向左平移个单位长度， 得到函数的图象. 对于A，的最小正周期为,A错误； 对于B，令，可得，解得，B正确； 对于C，令，解得，C正确； 对于D，令，解得，D正确. 10. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知数列的前项和为，，，则（   ） A. 数列可以是等比数列 B. 数列是递减数列 C. 任意， D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件求得，及数列是递减数列判断B、C；假设是等比数列，求得矛盾判断A；化为，利用累加法判断D. 【详解】因为，整理有，又，由此可得， 对于A选项，若是等比数列，则由可知为定值， 又因为，所以，所以，即， 与矛盾，所以数列不可以是等比数列，所以A错误； 对于B选项，因为，所以，即数列为递减数列，所以B正确； 对于C，因为，且，所以， 又为递减数列，所以，，所以C正确； 对于D，由，，两边取倒数有， 整理有：， 即，，，，， 累加得： ， 即，又，所以， 整理得：，所以D正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 13. 若函数在区间内单调递增，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出的单调递增区间，要使在区间内单调递增，即区间是函数单调递增区间的子集，由此列出不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】函数定义域， 对求导， 令，得，即， 结合，解得，即的单调递增区间为， 函数在内单调递增，则是的子集， 故，解得，则a的取值范围是. 14. 已知函数，且满足，则实数的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】构造函数，证明其为奇函数且单调递增，再对不等式变形为，即，则得到，再利用导数即可得到值. 【详解】令，其定义域为为， 则，则为奇函数， 且， 因为和在上均单调递增，且恒成立， 则在上单调递增， 由得， 即，则. 令，则，当时，单调递减，当时，单调递增， 故时取最小值0， 故不等式的解为. 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造，再利用其单调性和奇偶性得到不等式，最后利用导数即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，， （1）化简； （2）若为第三象限角，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据诱导公式进行化简; (2)首先化简，根据第三象限角，同角基本关系式求,确定的值. 【小问1详解】 ∴ 【小问2详解】 ∵ ∴ ∵为第三象限角， ∴ ∴的值为. 16. 已知函数在处取得极大值. （1）求的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最大值是，最小值是 【解析】 【分析】（1）根据得方程组后进行求解，还需检验极值是否确切取到； （2）先求出上的极值，然后和端点值进行比较从而得到最值. 【小问1详解】 ，则， 由题意知，即， 解得，此时， 时是的变号零点. 于是符合题意 【小问2详解】 由（1）知， ，， 令，得到，则递增； 令，得到，则递减， 于是在上只有极小值， 又， 故在区间上的最大值是，最小值是 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将向量数量积转化为，结合已知条件化简，利用正弦定理将边化为角，结合与三角恒等变换求，进而解得角. （2）由三角形内角和求角，用面积公式得的关系，结合正弦定理将用表示，代入化简求即可. 【小问1详解】 由已知得，且三角形边长大于零，则， 又由正弦定理（为外接圆半径）， 所以，而在中， 所以， 即，整理得， 又，所以，则，所以. 【小问2详解】 由已知，，则， 由三角形的面积公式，已知，， 则，即. 又由正弦定理，可得， 而，， 所以， 解得或（边长不能为负，舍去）， 所以. 18. 记为数列的前n项和，已知， ，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记数列的前项和为，若对任意，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）考虑利用作差，结合，得出，根据等差数列求得数列的通项公式； （2）根据的通项公式得到的通项公式，然后对奇数项与偶数项分组求和即可； （3）根据的通项公式，得到的前项和的表达式，然后根据的奇偶性分别讨论数列不等式的恒成立问题即可求解. 【小问1详解】 令，则， 化简得，又，所以 由题意 于是两式相减可得 化简可得 因为，所以，所以， 所以为首项为3，公差为2的等差数列. 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由上可知，当为奇数时，设，则，. 当为偶数时，设，则， 所以当为偶数时,. 【小问3详解】 由上可知，当为偶数时，设，, ,即 考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上， 最接近对称轴的整数为，所以当时,有最小值，即. 当为奇数时，设，. ，化简得 考虑二次函数的性质，对称轴在，且开口向上 最接近对称轴的整数为，所以当时有最小值.即. 综上所述， 19. 已知函数. （1）若方程有两解，求实数的取值范围； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】(1)根据题意可知构造新的函数，则求出的单调区间，确定极值，即可求得实数的取值范围； (2)若对任意的，不等式恒成立，只需要求出最小值大于等于，对 求导可得出单调区间以及极值，在确定即可求得. 【小问1详解】 （1）由，得，即， 令， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，当时，， ， 因为方程有两解，即有两个零点， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 对任意的，不等式恒成立， 在上恒成立， 令，则， 令，则， 在上为增函数， 又， ，使得，即， 时，在上单调递减， 时，在上单调递增， ， 由，可得， 令，则， 又在上单调递增， ， ， . 综上所述，满足条件的实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：是构造新的函数，在对新的函数求导确定函数单调性以及极值点也是最值点，把已知条件变形代入即可得到结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中考试 高三数学试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：集合，常用逻辑用语与不等式，复数，函数，一元函数的导数及其应用，三角函数与解三角形，平面向量，数列 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若，则 C. 的单调减区间为 D. 是的必要不充分条件 3. 已知向量，的夹角为150°，且，，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知点是角终边上的一点，则（    ）. A. B. C. D. 5. 已知数列满足，若，则数列的前10项和为（    ） A. B. C. D. 6. 设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 记，，分别是的内角A，B，C的对边，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，设，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的零点为 C. 图象的对称轴方程为 D. 的单调递减区间为 10. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 11. 已知数列的前项和为，，，则（   ） A. 数列可以是等比数列 B. 数列是递减数列 C. 任意， D. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量若，则___________ 13. 若函数在区间内单调递增，则的取值范围是_______． 14. 已知函数，且满足，则实数的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，， （1）化简； （2）若为第三象限角，且，求的值. 16. 已知函数在处取得极大值. （1）求的值； （2）求函数在区间上的最值. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，的面积，求的值. 18. 记为数列的前n项和，已知， ，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）记数列的前项和为，若对任意，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）若方程有两解，求实数的取值范围； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $