吉林省四平市实验中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

四平市实验中学2025~2026学年度期中考试试题 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合，常用逻辑用语，不等式，函数，三角函数与解三角形，导数，平面向量概念，平面向量基本定理及坐标表示. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形中，是的中点，点在线段上．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（，），为的最小正周期，且，若在区间上恰有3个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 已知点位于角的终边上，则（ ） A. 是锐角 B. C. D. 是奇函数 11. 已知定义域为的函数满足，为奇函数，，则（ ） A. 8是一个周期 B. 为偶函数 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，若，则__________. 13. 如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则__________，塔高__________. 14. 若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或濱算步骤. 15. 已知函数． （1）求； （2）设函数，求的单调区间． 16. 已知幂函数为偶函数，且． （1）求； （2）若，求的取值范围． 17. 已知关于的不等式的解集为. （1）求，的值； （2）若，，且，求的最小值. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）若，求的值； （2）若为锐角三角形，求证：； （3）若的面积为，求边AB的最小值. 19. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，求曲线与曲线的公切线； （3）已知，若的两个极值点为，，求的取值范围. 四平市实验中学2025~2026学年度期中考试试题 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合，常用逻辑用语，不等式，函数，三角函数与解三角形，导数，平面向量概念，平面向量基本定理及坐标表示. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】-1 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或濱算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2）单调递增区间：，单调递减区间为：. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明：因为， 所以， 即， 所以， 所以， 又，，所以，即， 所以， 又为锐角三角形，所以， 所以. （3） 【19题答案】 【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减 （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $四平市实验中学2025~2026学年度期中考试试题·高三数学 参考答案、提示及评分细则 1.D命题“3x∈R,x2-4x-5<0”的否定是“Vx∈R,x2-4x一5≥0”.故选D. 2.A由M={-1,0,1,2},N={x-2<x-1<1}={x-1<x<2}得，M∩N={0,1.故选A. 3.C由x-2≠0， í3-x≥0， 解得2≤3且x≠2，所以函数f(x)的定义域是(-∞，2)U(2,3].故选C 4.A若x≥4，y≥6，则xy≥24，所以“x≥4，y≥6”是“xy≥24”的充分条件；若x=1,y=25,满足xy≥24，但是 <4,所以“x≥4，y≥6”不是“xy≥24”的必要条件，所以“x≥4，y≥6”是“xy≥24”的充分不必要条件.故 选A 5.A由10x-x2>0得0<x<10,又因为y=10,x-x2在(0,5)上单调递增，在(5,10)上单调递减，y=lgx在 (0,十∞)上单调递增，所以y=lg(10x-x2)的单调递增区间是(0,5).故选A. 6B设BP=xBD,0≤≤1，则P2-PB+BA+A花=-xBD-AB+2AD-=-x(AD-A-AB+2AD= (x-1A+(号-x)AD,所以入十=x-1十号一x=一故选B 7.D已知f(x)=e-ax,由题意知f(x)=e一a在(0,2)内有变号零点，显然f(x)=e-a在(0,2)上 单调递增，故原条件等价于 f(0)=e-a1-a<0·解得1<a<d,故实数u的取值范围是1，e).故 f(2)=e-a>0, 选D. &C由题意可得：/(x)的最小正周期T=经又f(号T)=(号T).且2T-合T=专TK号工，所以2 2 是T为f(x)图象的一条对称轴，所以wX是T十g=君x十p=k饭十吾（∈Z),解得g一km 吾(k∈Z),又p∈（-受，交），所以=0,9=-晋，故f(x)=2sin(oa-吾）.当x∈(0，元)时，则o-苓 ∈（于m一吾），若函数/x)在区间(0，x)上恰有3个极值点，则号x<m一吾≤子，解得号<w≤ 号放。的取值范围是（侣，号]，放选C 9.BD当0>0，b=2时，a°+B=1+4>4,A错误；当a=3,b=27时，loga+logb=-1+3=2,B正确：当 a=6=1时，（宁）>（号成立，所以C错误；当a>6>0时，<云，又c<0,所以合>云，D正确故 选BD 10.BD对于A,a是第一象限角，不一定是锐角，A错误：对于B,tana=号，B正确；对于C,sina= 5,cos a= 2m(叶子)-号（如a+eg）-3C错误：对于Df)=2n(r+e）-s(x一0)=5m 是奇函数，D正确.故选BD. 11.ABD由f(4-3x)=f(3x-2),得f(4-x)=f(x-2),因为f(4x-1)为奇函数，所以f(一4x1)= 一f(4x一1)，即f(一x)=-f(x一2)，所以f(4-x)=-f(-x),即f(x十4)=-f(x),所以 f(x+8)=一f(x+4)=f(x),所以8为f(x)的一个周期，故A正确：由f(4一x)=f(x一2)，得f(一x一3) =f(x+5)=f(x-3),所以f(x一3)是偶函数，故B正确；由f(一x)=一f(x一2)，得f(1)=一f(一3)，所 【高三期中考试试题·数学参考答案第1页（共4页）】 26-T-188C 以(1)+f(-3)=0,所以f(1)+f(5)=f(1)+f(-3)=0,故C错误；由周期性和f(-x)=-f(x一2)， 得f(2)=-f(-4)=-f(4),所以f(2)+∫(4)=0，同理f(-1)=0,f(-2)+f(0)=f(6)+ f(8)=0,由f4-x)=f(z-2),得f(-1)=f(3),所以f(3)=f(-1)=∫(7)=0，则2f()=0,所以 骂r)=f)+f2)+f3)+f4)+f5)+f6)=f6)=-8)=-f0)=1,放D正确枚选ABD 12.-1由a∥b得x十x十2=0，解得x=-1. 42%彭径L甲'.9=S0-0e-08I=a8D7‘中a0aV头(48)E0z+09(☒小0- n22Dn%则BD-CD%C-40-20(m,BC=CD-40血15 BD BC sin∠CBD sin 45 sin∠CBD sin 45 20(√5+1)m.故塔高AB=BCtan60°=20（√/5+1）×√3=60+20√3(m). 14(0,)U(e,十∞)令x)=0,得号-m(2z+1)=0,即m(2x+1D=名，令g)=m(2x+1) 2mx十m,h(2)=名，所以函数f(x)恰有2个零点等价于函数g(x)的图象与h(x)的图象有两个交点. N(x)=,令N(x)=0,则x=1,当x∈(-o,1D时，M(x)>0h()单调递增，当x∈1，十e∞)时， h'(x)<0,h(x)单调递减，所以h(x)的图象如图所示，设l是h(x)的图 象的切线，切点为(，），则切线斜率为=广()=2，所以1的 方程为y-台=（一），又1经过点（一分0小，所以-恶 e o 严(-号-)，即2号十-1=0，解得西=-1或m= ， M(-1D=2e或k=(分）=号，所以由图可知，当0<2m< 2e,即0<m<层或m>e时，函数g(r)的图象与h(x)的图象有两个交点，即函数f(x)=二 4e m(2x十1)恰有2个零点，所以实数m的取值范围是(0， U(e,+∞). 15.解：(1)由f(0)=2sinp=1得sin9=2 …2分 因为p<受，所以9=吾. ………………4分 (2)由(D知fx)=2sin(2x+否)， 所以g(x)=f（x）-2cos2a=J3sin2.x+cos2x-2cos2x=2sin(2x-), …7分 由2kx一受≤2x-晋≤2kx+受，k∈Z乙，得km—吾≤<kx+晋，k∈么，… …9分 由2kx十受<2x-晋<2m十，k∈Z,得kx+晋<<km十餐，k∈乙。 …11分 所以g()的单调递增区间为[kx一答，kx+子]，k∈Z:单调递减区间为[kx十子，kx+],k∈乙 …13分 16.解：(1)因为f(2)>f(3),所以幂函数f(x)在区间(0，十∞)上为单调递减函数， 所以m2-4m<0,解得0m<4,……4分 【高三期中考试试题·数学参考答案第2页（共4页）】 26-T-188C 又由m∈Z,且函数f(x)=2-m为偶函数，所以m2一4m为偶数，所以m=2. …7分 (2)由(1)可得函数f(x)=x4的图象关于y轴对称，且在区间(0，十∞)上为单调递减函数， 所以不等式f(a十2)<f(1一2a),等价于0<|1-2a<|a十2，…11分 解得-子<a<号或7<a<3,即a的取值范围是(-子，)U(分，3.……15分 17.解：(1)因为关于x的不等式a.x2一2x一8<0的解集为{x|一2<x<b}, 2=b2， 所以-2和b是关于x的方程a.x2-2x一8=0的两个实数根，且a>0,所以 …5分 & =-2b, 解得a=1,b=4.… 7分 (2迪1)知+=4，所以+2y=+2+2)-4=+2叶2](+，)-4= 1++242+8]-[+22]-4-子 12分 当且仅当桌2士2.即1中2y=时等号成立，所以十2y的最小值反-子 x 4 15分 18.(1)解：若c=10b,由正弦定理得sinC-10sinB,又2sinB=sinC(sinA-cosA), 所以sinA-cosA=方， 2分 sin A=- 4 3 6, sin A=- 6· 又sim2A+cos2A=1,解得 或 (舍)， 4分 3 COS A=- cos A=- 4 3 所以tan A1-cos A 1- 5 5分 sin A 4 21 5 (2)证明：因为2sinB=sinC(sinA-cosA),所以2sin[x-(A+C)]=sin Asin C-cos Asin C, 2sin(A+C)=sin Asin C-cos Asin C,2cos Asin C+2cos Csin A=sin Asin C-cos Asin C, 所以3 cos Asin C+2 cos Csin A=sin Asin C, 又smA≠0，inC≠0，所以3c0sA+2osC=1,即，3 2 sin A sin C tanA tan C =1,…7分 所以mA+amC-(mA+amO(+品c)=5++是 tan A tan C' …………9分 又△ABC为锐角三角形，所以0，所以mA十mC≥5十2 3tan C 2tan A tan A tan C =5+2√6.…11分 (3)解：因为2sinB=sinC(sinA-cosA),由正弦定理得2b=c(sinA-cosA), 所以b=c(sinA-cosA) 2 12分 因为△ABC的面积S=子mA=2sA一eA)A千(sirA-o AsinA) 4 81-sin2A-0s2A)=2+1, 8(W2+1) 8(2+1) 所以2=1-sin2A-cos2A1-2sin(2A+平） 14分 【高三期中考试试题·数学参考答案第3页（共4页）】 26-T-188C 因为2b=c(simA-c0sA)>0,且0<A<,所以子<A<,所以平<2A+平<8F 所以当2A+至-受，即A=爱时，心取得最小值8(E 1+√2 2=8,即边AB的最小值为22.… 17分 19.解：(1)f(x)的定义域为(0，十∞)，∫(x)=-m=1-m x …1分 当≤0时，f(x)>0,函数f(x)单调递增： 2分 当m>0时，令了()=0，得x=品，当x∈(0，)时，了()>0，函数f()单调递增：当x∈ (,十o∞)时，f()<0,函数/)单调递减. 综上所述，当m≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增；当m>0时，函数f(x)在(0，)上单调递增， 在(，十∞)上单调递减. … …4分 (2)由m=0,得f(x)=lnx,设公切线与y=f(x)相切于点(a,lna)(a>0), 由了(x)=子得了(a)=日，所以公切线方程为一ha=合(r一a).即y-x十ha一1.…5分 设公切线与y=g()相切于点(6,2：-之)，由g()=x,得g(6)=b, 所以公切线方程为y一（分：-子）=6(x一b),即y=bx一-之 …6分 1b a 所以 8分 ha-1=-2- 即ha+a}-0. 2 令sa)=ia+z-}。>0,则go)=11a-1Da+ aa a° 当a∈(0，l)时，p(a)<0,gp(a)单调递减；当a∈(1，+∞)时，p'(a)>0,g(a)单调递增， 所以g(a)mm=p(1)=0,即g(a)=0时，a=1, 所以公切线为y=x一1.… 10分 (8aa）=f)+ga=h叶zr-mt-含>0= +x-m= x2-mx+l ,…11分 因为h(x)的两个极值点为x1,2,所以x2一mx十1=0的两根为x,2,且，2>0， 所以x1十x2=m,x22=1,m>2.… …12分 h()-h()=(n西+2-m-号）-(nn+24-m,-合) =(-)-m(西-)+h-n, 13分 由x+x2=m,22=1, 得))=一)+h要=×+h会-（倍-会）十h会…14分 令1=要n)=-合(-)+h,因为<<e,所以1<心. 因为(t)=一 (1+)+=-2(}-)°0， 所以n(t)=一 号(（-）十lh1在区间（1.e)上单调递说.. 16分 所以n(t)∈（ e士4e+,0）,即h()-h(x)的取值范围是( 2e2 e+4e+1,0） 2e …17分 【高三期中考试试题·数学参考答案第4页（共4页）】 26-T-188C