精品解析：吉林辽源市田家炳高级中学校2026-2027学年高三上学期10月期中考试数学试题

田家炳高中2026-2027上学期期中考试题 高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内. 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸､试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱､不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 设函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知正数、满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 5. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 6. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 8. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 若函数的定义域为，则实数可能取值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是函数的极值点，则___________ 13. 对于任意实数，定义，设函数，则函数的最大值是_______． 14. 已知是定义在上的函数，且是偶函数，当时，恒成立，则不等式的解集为__________． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求函数解析式 （1）已知，求. （2）已知是二次函数，且，求. （3）已知函数的定义域为，且，求. 16. 已知函数. （1）当时，求函数在上的最值； （2）若关于的方程有解，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）求函数的导函数； （2）求的单调区间. 18. 已知函数． （1）求函数的导函数； （2）讨论的单调性． 19. 已知函数，直线与曲线都相切. （1）求函数的导函数； （2）求实数的值； （3）记，求的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 田家炳高中2026-2027上学期期中考试题 高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码粘贴到条形码区域内. 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色中性笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸､试题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱､不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得，所以 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把右边移项,通分化为一元二次不等式,再结合分母不为零写出解集. 【详解】原不等式等价于,即. 整理得,等价于且. 解得. 3. 设函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数单调性结合零点存在定理法计算各区间端点值即可判断得解. 【详解】因为与均为上单调递增且连续的函数， 所以在上单调递增且连续. 又，，， 且当时，，所以. 故选：B. 4. 已知正数、满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可得解. 【详解】由题意得， 当且仅当时，即时，取得最小值9． 故选：D. 5. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 6. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 7. 若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 8. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 若函数的定义域为，则实数可能取值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】AB 【解析】 【详解】由题意得对于任意恒成立， 当时，不等式为，恒成立； 当时，由，解得. 综上所述，，结合选项可知实数可能取值为0，. 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 11. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是函数的极值点，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 13. 对于任意实数，定义，设函数，则函数的最大值是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】法1，把函数化成分段函数，再利用单调性求出最大值；法2，在坐标系内作出函数图象，求出最高点的纵坐标值即得. 【详解】法1：令， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，当时，，即，当时，， 因此函数，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在时取得最大值. 故答案为：1 法2：作函数的图象，依题意，的图象为如图所示的实线部分， 由，得，而函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，且当时，， 因此点为图象的最高点，所以的最大值为. 故答案为：1 14. 已知是定义在上的函数，且是偶函数，当时，恒成立，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由是偶函数可得的图像关于直线对称；由时，可得在单调递减，结合对称性进一步得到在单调递增，这类对称轴一侧单调的函数，函数值大小可转化为自变量到对称轴距离的大小关系，即，以此将抽象不等式转化为绝对值不等式求解即可． 【详解】为偶函数，故关于直线对称， 又在单调递减，故越大越小， 所以， 解得，即所求不等式解集为． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 求函数解析式 （1）已知，求. （2）已知是二次函数，且，求. （3）已知函数的定义域为，且，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）换元法，利用换元替换得到； （2）待定系数法，二次函数设出解析式，利用题意条件代入求解； （3）消元法，构造方程得到新的式子，化简求解。 【15题详解】 令，则，代入得，故. 【16题详解】 设，由得. ，比较系数得，，解得，. 【17题详解】 将换为得，代入原式： ，即， 16. 已知函数. （1）当时，求函数在上的最值； （2）若关于的方程有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小值为，最大值为0 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，令，可得，进而转化问题为二次函数最值问题，结合开口方向和对称轴求解即可； （2）由，可得，令，，转化问题为函数与在上有交点，进而求解即可. 【小问1详解】 当时，. 令，则，，函数开口向上，对称轴为， 则时，； 时，， 则函数在上的最小值为，最大值为0. 【小问2详解】 由，得，即， 令，，则， 因为函数开口向上，对称轴为，且时，， 则时，， 因为关于的方程有解， 所以函数与在上有交点，则，即， 所以实数的取值范围为. 17. 已知函数. （1）求函数的导函数； （2）求的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，无单调递减区间 【解析】 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由（1）知. 令，则，时，单调递减；时，单调递增. ，故在恒成立. 的单调递增区间为，无单调递减区间. 18. 已知函数． （1）求函数的导函数； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2） ，在单调递增，在和单调递减； ，在单调递增，在单调递减； ，在和单调递增，在单调递减； ，在上单调递增； ，在和单调递增，在单调递减． 【解析】 【分析】（1）直接运用乘积求导法则求导，得到导函数； （2）以导函数的零点为突破口，按参数、、分类，再比较导函数零点和的大小，划分单调区间，判断函数增减性． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， 因为恒成立，的符号由决定， ①，，当时，，单调递增；当时，，单调递减； ②，令，解得，， （Ⅰ），，当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增； （Ⅱ），，在上单调递增； （Ⅲ）时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ③，，当时，，单调递减；当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 综上，，在单调递增，在和单调递减； ，在单调递增，在单调递减； ，在和单调递增，在单调递减； ，在上单调递增； ，在和单调递增，在单调递减． 19. 已知函数，直线与曲线都相切. （1）求函数的导函数； （2）求实数的值； （3）记，求的最值. 【答案】（1）， （2） （3）最小值，无最大值 【解析】 【分析】（1）直接求导即可； （2）根据切点在切线上也在曲线上求参数； （3）求出导数根据函数单调性求最值. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 对，切线斜率，得切点横坐标；切点在上：得. 对，切线斜率，得切点横坐标；切点在切线上：，得. ，. 【小问3详解】 . . 时，故时，递减；时，递增. 处取最小值；无最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $