精品解析：上海市松江区第四中学2026-2027学年高二上学期第一次学情检测数学试题

松江四中2026学年高二上学期数学第一次学情检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，，则a与b的位置关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】由线面垂直的性质，垂直于同一个平面的两条直线平行. 【详解】由线面垂直的性质，垂直于同一个平面的两条直线平行. 因此，由直线，直线，则. 故答案为： 2. 三棱柱的9条棱中，与AB异面的棱有______条. 【答案】3 【解析】 【分析】根据三棱柱的结构特征以及异面直线的定义分析判断. 【详解】如图， 与AB异面的棱有，共3条. 故答案为：3. 3. 正方体中，直线与所成角大小为__________． 【答案】 【解析】 【详解】在正方体中，有， 所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 因为直线与所成的角为，  故直线与所成的角大小为. 4. 若正方体的棱长为，则顶点到平面的距离为 __． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，进而可证明平面，再由已知棱长求得即为答案． 【详解】解：如图，在正方体中，由正方体的结构特征可知平面， 因为平面， 所以 连接，设，则， 因为，平面， 所以，平面，即平面， 所以，即为顶点到平面的距离， 因为正方体的棱长为，所以，． 故答案为：． 5. 如图所示，已知空间图形的底面为正方形，平面，则平面、平面、平面、平面中，与平面垂直的平面有______个． 【答案】3 【解析】 【详解】由平面，平面，则平面平面， 由平面，则，而底面为正方形，则， 由且都在平面中，故平面， 由平面，则平面平面， 由平面，则， 又，，平面， 故平面，平面，故平面平面， 若平面平面，且平面平面， 所以平面平面，与平面平面矛盾， 综上，与平面垂直的平面有3个． 6. 长方体中，直线与平面所成的角为45°，若，则平面和之间的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方体的性质，结合线面角的定义以及面面距的定义，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下： 在长方体中，平面， 则，且平面和之间的距离为， 在矩形中，，则， 所以在中，. 故答案为：. 7. 如图，在正方体中，分别为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由线面角的定义得为直线与平面所成的角，设正方体的边长为，利用几何关系求出，即可求解. 【详解】如图，连接，易知平面，则为直线与平面所成的角， 设正方体的边长为，因为分别为棱的中点，则， 又平面，则，所以， 则，所以直线与平面所成角的正弦值是. 8. 如图，直三棱柱的所有棱长都相等，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______． 【答案】## 【解析】 【详解】如图，取棱AC的中点F，连接EF，DF． 因为E，F分别是棱，AC的中点，所以， 则是异面直线DE与所成的角或其补角． 直三棱柱的所有棱长都相等，设，则， 则， 即异面直线DE与所成角的余弦值是． 9. 已知二面角为，P是半平面内一点，点P到平面的距离是1，则点P在平面内的投影到的距离是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设点P在平面内的投影为点，作于点，连接，证明即为二面角的平面角，再解即可. 【详解】如图，设点P在平面内的投影为点，则，， 作于点，连接， 因为，，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 所以， 在中，， 所以， 即点P在平面内的投影到的距离是. 故答案为：. 10. 如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，则二面角的正切值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】设二面角的平面角为，根据题意分析可以建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得，得，进而即得. 【详解】取的中点， 因为底面是边长为2的菱形，且， 由余弦定理得， 所以,则，即得， 如图所示，分别以、、为x，y，z轴建立坐标系， 则，，，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，，则， 令，则，即可得， 因为为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 则， , 所以二面角的正切值是． 故答案为： 11. 如图，平面平面，，，AB与两平面、所成的角分别为45°和30°，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、，若AB＝12，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】要求，需要把它放入三角形中,连接,，则在中，分别利用和求得,，进而利用勾股定理求解即可. 【详解】在中,,则， 在中,,则， 所以在中,， 故答案为：. 12. 如图，四面体中，两两垂直，，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过证明平面，进而得出平面平面，过点作，垂足为，则长度即为点到平面的距离，且为直线与平面所成的角，利用三角函数及三角形等面积法求解即可. 【详解】  因为，是的中点，所以. 因为两两垂直， 平面，所以 平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，且平面平面， 过点作，垂足为，则平面，  所以长度即为点到平面的距离，且为在平面上的射影， 故为直线与平面所成的角， 在中，，则. 在中，，，所以， 所以， 由等面积法可知，即，解得. 故点到平面的距离为. 二､选择题（本题共有4题，满分18分） 13. 过平面外一点，可以作这个平面的平行线的条数是（ ） A. 1条 B. 2条 C. 超过2条但有限 D. 无数条 【答案】D 【解析】 【分析】结合平面的基本性质，以及线，面平行判定定理和性质定理，即可得到结论. 【详解】如图所示，因为点，在平面作两条相交直线， 由直线与点可以确定一个平面，在平面内过点作， 由直线与点可以确定一个平面，在平面内过点作， 因为且，设直线与确定平面，则平面， 在平面内过点的所有直线都平行与平面， 故过平面外一点能作出无数条直线和这个平面平行. 故选：D. 14. 如图，正方体中，、分别是线段、线段的中点．则以下和直线相交的是直线（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的性质，利用线面平行的判断和性质、中位线的性质、异面直线的定义、平面内两直线的位置关系逐一判断即可. 【详解】连接，正方体中，是线段的中点，所以是线段的中点. 由，平面平面得∥平面所以与不相交，故A不正确； 由、分别是线段、的中点，得∥，故B不正确； 由平面，，平面，得与直线异面，故C不正确； 对于D，因为∥，，所以与直线不平行，又，平面,所以与直线相交，故D正确. 故选：D. 15. 下列命题正确的是 A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【答案】C 【解析】 【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确. [点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式. 16. 如图，在正方体，中，分别为线段上的动点，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ） ①存在点，存在点，满足平面： ②任意点，存在点，满足平面： ③任意点，存在点，满足： ④任意点，存在点，满足． A. ①和③ B. ①和④ C. ②和③ D. ②和④ 【答案】A 【解析】 【分析】对①②，举例判断说明即可；对③④，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则，其中，根据满足分析即可. 【详解】对于①，当分别为的中点时，取中点，连接， 则根据中位线的性质可得平行于， 因为平面，平面，所以平行于平面. 同理平行于，平面，平面， 所以平行于平面.又因为，平面， 所以平面平行于平面，又因为平面，所以平面.所以①正确. 对②，当在时，平面不成立，故②错误； 对③④，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系， 设正方体棱长为1， 则， 设，，则，其中， 所以，则当时， ，即. 所以对任意的，存在满足条件， 即任意点，存在点，满足，所以③正确. 当时，即点在点时，若， 则，不满足，即点不在上，故④错误. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分，14+14+14+18+18=78）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，在正方体中． （1）求证：直线平面； （2）求直线和所成角的大小． 【答案】（1）连接， 在正方体中，，，故四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）由（1）可知，则异面直线和所成角为或其补角，分析的形状，可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接、，如下图所示： 由（1）可知，则异面直线和所成角为或其补角， 易知是等边三角形，故， 即异面直线和所成角为. 18. 如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，为棱的中点， （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 【答案】（1）连接交于点，连接，如图所示： 底面为正方形，所以为的中点， 又因为为棱的中点，所以由中位线性质可知， 又平面，平面， 所以平面； （2）因为为棱的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面， 所以平面； 结合（1）中平面，且，平面， 所以平面平面． 【解析】 【分析】（1）连接交于点，利用中位线性质可知，再利用线面平行判定定理证明即可得出结论； （2）由平行四边形性质可知，再由面面平行判定定理证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，三棱锥中，侧面与底面都是以为斜边的等腰直角三角形，为中点． （1）求证： （2）若，求二面角的大小． 【答案】（1）因为侧面与底面都是以为斜边的等腰直角三角形，为中点， 所以，， 又因为，、平面，所以平面， 因为平面，故. （2） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）取线段的中点，连接、，不妨设，由二面角的定义可知二面角的平面角为，求出的长，可求出的正切值，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取线段的中点，连接、，如下图所示： 不妨设，则， 因为为的中点，所以， 因为，，，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 因为，，由勾股定理可得， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以， 所以，故. 即二面角的大小为. 20. 如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线和所成角的大小； （3）若点分别为的中点，求证：平面平面． 【答案】（1）在菱形中，，则为等边三角形，又为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面. （2） （3）如图，连接，，， 在中，因为点分别为的中点，则， 在菱形中，分别为的中点，则，且， 所以四边形为平行四边形，则， 由（1）和（2）知，则, 又平面， 所以平面，又平面，所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，故平面平面 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得，再由面面垂直的性质定理即可证明； （2）根据条件，可知为直线和所成的角，再求出，在中，利用余弦定理，即可求解. （3）连接，，，根据条件，利用线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，则为直线和所成的角， 又为等边三角形，为的中点，且，所以, 由（1）知平面，又平面，所以，且， 所以，在中，， 由余弦定理得， 又，所以，故直线和所成角的大小为. 【小问3详解】 略 21. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形：，，点在线段上，且． （1）求直线和平面所成角的大小； （2）证明：平面； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请证明，并求出的长：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线和平面所成角的大小为. （2）证明:因为平面,平面,所以.底面为矩形, 所以.又,平面,所以平面. 因为平面,所以.在直角三角形中,,, 所以.由得.在中,, 所以. 于是,所以, 即.又,平面,所以平面. （3）存在点,且. 【解析】 【分析】（1）利用线面角定义,先证平面,确定为在平面内的射影,再在直角三角形中求角. （2）先由平面得,再在中用勾股定理逆定理证,最后由线面垂直判定定理得证. （3）在上取点,使,过作交于,构造平面平面,再按比例求. 【小问1详解】 因为平面,平面,所以. 又,,所以平面. 因此是在平面内的射影,为直线与平面所成角. 在直角三角形中,,,. 所以,即直线和平面所成角的大小为. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 存在.如图所示,在上取点,使,则.过作交于. 因为,所以. 在中,在上,在上,且,,所以. 于是平面,平面.又,所以平面平面. 因为平面,所以平面. 在中,,所以. 又,所以,. 因此存在点,且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松江四中2026学年高二上学期数学第一次学情检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，，则a与b的位置关系是________． 2. 三棱柱的9条棱中，与AB异面的棱有______条. 3. 正方体中，直线与所成角大小为__________． 4. 若正方体的棱长为，则顶点到平面的距离为 __． 5. 如图所示，已知空间图形的底面为正方形，平面，则平面、平面、平面、平面中，与平面垂直的平面有______个． 6. 长方体中，直线与平面所成的角为45°，若，则平面和之间的距离为___________． 7. 如图，在正方体中，分别为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值是_________． 8. 如图，直三棱柱的所有棱长都相等，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______． 9. 已知二面角为，P是半平面内一点，点P到平面的距离是1，则点P在平面内的投影到的距离是_________． 10. 如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，则二面角的正切值为___________ 11. 如图，平面平面，，，AB与两平面、所成的角分别为45°和30°，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、，若AB＝12，则______． 12. 如图，四面体中，两两垂直，，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为______． 二､选择题（本题共有4题，满分18分） 13. 过平面外一点，可以作这个平面的平行线的条数是（ ） A. 1条 B. 2条 C. 超过2条但有限 D. 无数条 14. 如图，正方体中，、分别是线段、线段的中点．则以下和直线相交的是直线（ ） A. B. C. D. 15. 下列命题正确的是 A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 16. 如图，在正方体，中，分别为线段上的动点，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ） ①存在点，存在点，满足平面： ②任意点，存在点，满足平面： ③任意点，存在点，满足： ④任意点，存在点，满足． A. ①和③ B. ①和④ C. ②和③ D. ②和④ 三､解答题（本大题共有5题，满分78分，14+14+14+18+18=78）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，在正方体中． （1）求证：直线平面； （2）求直线和所成角的大小． 18. 如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，为棱的中点， （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 19. 如图，三棱锥中，侧面与底面都是以为斜边的等腰直角三角形，为中点． （1）求证： （2）若，求二面角的大小． 20. 如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线和所成角的大小； （3）若点分别为的中点，求证：平面平面． 21. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形：，，点在线段上，且． （1）求直线和平面所成角的大小； （2）证明：平面； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请证明，并求出的长：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $