精品解析：上海市松江二中2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

2024-2025学年上海市松江二中高二年级上学期 12月月考数学试卷 2024.12 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 圆的圆心坐标是________. 【答案】 【解析】 【分析】化圆的一般方程为标准方程，即可求得圆心坐标． 【详解】由，得， 可得圆心坐标为． 故答案为：． 2. 若直线：与直线：垂直，则实数的值等于________. 【答案】 【解析】 【分析】写出两直线斜率，由直线垂直得到斜率乘积为，建立方程后解出参数的值. 【详解】由题意知两直线斜率存在， ，， ， 解得. 故答案为： 3. 椭圆的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将椭圆化简成标准形式，再根据离心率公式求解即可 【详解】由题设可得，故，则 故答案为： 4. 半径为2的球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】代入球的表面积公式:即可求得. 【详解】， 由球的表面积公式可得, , 故答案为: 【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题. 5. 已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式______． 【答案】 【解析】 【分析】当时求得；当时，利用可知数列为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果. 【详解】当时，，解得：； 当时，，， 则数列是以为首项，为公比的等比数列，. 故答案为：. 6. 已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 【答案】8 【解析】 【分析】 由椭圆的标准方程及焦点在y轴上且，结合椭圆参数的关系即可求. 【详解】由题意知：，得，又，焦点在轴上 ∴，解得. 故答案为：8 7. 若是圆上的动点，则到直线的最小距离是________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心与半径，应用点线距离公式求圆心到直线距离，进而确定圆上点到直线距离的最小值. 【详解】圆的方程化为标准方程得，圆心为，半径， ∴圆心到直线的距离， ∴，则到直线的最小距离为5. 故答案为：5 8. 曲线的长度是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得曲线表示的是以为圆心，半径为2的下半圆，据此可得答案. 【详解】， 则曲线表示的是以为圆心，半径为2的下半圆， 则曲线长度为. 故答案为： 9. 如图，在等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，且等腰直角三角形ABD与等边三角形CBD所在平面垂直，E为BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为________． 【答案】45° 【解析】 【分析】取BD的中点F，连接EF，AF，易得AF⊥BD，AF⊥平面CBD，则∠AEF就是AE与平面BCD所成的角，由题意知EF＝CD＝BD＝AF，所以∠AEF＝45°，即AE与平面BCD所成的角为45°. 【详解】 10. 是等差数列的前项和，若且，则当取得最大值时的________. 【答案】9或10 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式求得，再利用二次函数的最值即可得出结论. 【详解】数列为等差数列，∵， ∴，∴， ∴， 因为且，所以 ，为二次函数，开口方向向下， 所以当时，取得最大值，又因为, ∴ 或10时，取得最大值. 故答案为：9或10 11. 已知，为椭圆：的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是___________. 【答案】##. 【解析】 【分析】如图，连接，则可得，所以△ABC的周长为，再求出，即可求得结果. 【详解】如图，连接， 因为l垂直平分线段， 所以， 所以△ABC的周长为， 由题意得，则 的中点为，， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 因为直线过， 所以，解得， 所以， 所以△ABC的周长为， 故答案为：. 12. 已知实数、、、满足：，，，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知四个实数满足的式子，将数转化为形求解，再利用点到直线的距离公式，结合图形可得答案. 【详解】记、，由题意，知、位于单位圆上， ， 则、分别表示、到直线的距离、，于是，，分别取、靠近、的三等分点为、，联结，过点作的垂线，交、于、，则，在中，应用余弦定理，可得，，，从而，. 故答案为： 【点睛】此题考查的是已知几个实数的关系式，然后求含这些实数的代数式的最值，采用了转化法，利用数形结合的方法求解，属于难题. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于轴对称 D. 关于原点中心对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由曲线方程，依次分析选项即可得出答案. 【详解】对于A，将方程中换为，则有， 则，与原方程不同，所以方程不关于轴对称； 对于B，将方程中换为，则有， 则，与原方程不同，所以方程不关于轴对称； 对于C，将方程中换为，换为，则有， 与原方程相同，所以方程不关于轴对称； 对于D，将方程中换为，换为，则有， 则，与原方程相同，所以方程关于原点中心对称. 故选：D. 14. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算圆锥的底面周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，从而求得侧面积,进而求解表面积. 【详解】设圆锥的母线为，即侧面展开图的半径为,侧面展开图的弧长为. 圆锥的底面半径为2，所以圆锥底面周长为，且侧面展开图为半圆， 所以, 即圆锥的母钱长. 所以圆锥的侧面积为，圆锥的底面积为, 所以该圆锥的表面积为. 故选：C. 15. 等差数列的前项和为，若为确定常数，下列各式也为确定常数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列前n项和公式及等差数列的性质知为确定常数，进而可判断各项是否为确定常数. 【详解】由题意，得，则确定常数， 依据等差数列下标和的性质，易知为确定常数， 故选：C 16. 考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆：上，且其中恰有两个顶点为的顶点．这样的等腰三角形的个数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】对椭圆顶点连线是等腰三角形的腰还是底，进行讨论即可求出结果. 【详解】因为椭圆方程为，所以， ① 如图1连接，当为等腰三角形底时， 作的垂直平分线交椭圆于两点， 连接， 则此时为等腰三角形，满足题意； 同理当为等腰三角形的底时， 也可以各作出2个满足题意的等腰三角形； ② 如图2连接，当为等腰三角形的腰时， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 联立，解得或或， 即圆与椭圆交于，连接， 则此时为等腰三角形，满足题意； 同理当为等腰三角形的腰时， 也可以各作出2个满足题意的等腰三角形； ③ 如图③，以为圆心，为半径作圆， 同理可以证明圆与椭圆交于， 连接， 则此时为等腰三角形，满足题意； ④ 如图④，以为圆心，为半径作圆， 同理可以作出2个等腰三角形； ⑤因为由于椭圆性质知为椭圆最长弦，所以它不能为等腰三角形的腰； 综上所述满足题意的等腰三角形的个数有20个. 故选：D. 【点睛】多种情况的题目需要对情况进行详细讨论，做到不重不漏. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知正方体的棱长为a. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面所成的二面角（结果用反三角函数值表示）. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用三棱锥等体积法求点到平面的距离. （2）建空间直角坐标系，用向量法求二面角. 【详解】（1） 是边长为 的等边三角形 设点到平面的距离为 （2）建立如图所示空间直角坐标系. 则 所以 设平面的法向量为 ，令 ，则 又平面的法向量为 设平面与平面所成的二面角的平面角为 【点睛】本题考查等体积法及二面角的向量求法. 计算二面角大小的常用方法 （1）分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； （2）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小. 18. 已知数列的前n项和为，，且（n为正整数）. （1）求数列的通项公式； （2）记…若对任意正整数n，恒成立，求实数k的最大值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据公式计算得到答案. （2）计算得到，根据递增得到，计算得到答案. 【详解】（1），两式相减得， 即，又，所以通项为：. （2），要恒成立，由于递增，所以只要， 即，故k的最大值为. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，数列极限，数列恒成立问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 19. 已知的长轴是短轴长的倍，原点到直线，的距离是. （1）求椭圆的方程； （2）求实数，使直线交椭圆于不同的点，，且. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离公式，结合已知求出即可. （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及数量积的坐标表示求出. 【小问1详解】 由的长轴是短轴长的倍，得， 由点，得直线的方程为， 由原点到直线的距离是，得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由消去并整理，得，设点， ，， 而，，则， 即，整理得， 于是，解得或， 所以或 20. 已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设由构成的新数列为是等差数列，求的值； （3）对于（2）中的等差数列，设，数列的前项和为，现有数列，，是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）存在，13. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，进而求出，再由等差数列求出值. （3）由（1）（2）求出，并用裂项相消法求和求出及，再探讨的性质并求出最大项即得. 【小问1详解】 等差数列中，，而， 则，是方程的两根，由公差，得， 于是，，，， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知， ，由数列是等差数列，得， 则，化简得，而，解得， 当时，，数列为等差数列， 所以. 【小问3详解】 由（1）（2）得， 则， 因此， ， ， 由，得， 当时，，，当时，， 因此，由对一切都成立， 得，而，则， 所以存在整数，使对一切都成立，的最小值为13. 21. 给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为． （1）求椭圆的方程及其“伴随圆”方程； （2）若倾斜角为的直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆的伴随圆相交于、两点，求弦的长； （3）点是椭圆的伴随圆上的一个动点，过点作直线、，使得、与椭圆都只有一个公共点，求证：⊥. 【答案】（1）椭圆的方程为，其伴随圆的方程为 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出、的值，可得出椭圆的标准方程及其伴随圆的方程； （2）设直线方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，由求出的值，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得； （3）先对直线、的斜率是否存在分两种情况讨论，在斜率存在时，先设直线方程，把直线与椭圆方程联立，利用斜率为对应方程的根来判断结论；在点的坐标为时，讨论两切线与两坐标轴的位置关系，综合可得出结论. 【小问1详解】 解：因为，椭圆的短轴上的一个端点到的距离为，则， 所以，所以椭圆的方程为，伴随圆的方程为. 【小问2详解】 解：设直线的方程，由得， 由得，圆心到直线的距离为， 所以. 【小问3详解】 证明：①当、都有斜率时，设点，其中， 设经过点与椭圆相切，且斜率存在的直线的方程为， 联立，消去得到， 即，， 整理可得， 设、的斜率分别为、，因为、与椭圆都只有一个公共点， 所以、是关于的方程的两个实数根， 因而，即⊥； ②当点，点的坐标满足，此时、分别与两坐标轴垂直， 则. 综上所述，. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市松江二中高二年级上学期 12月月考数学试卷 2024.12 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 圆圆心坐标是________. 2. 若直线：与直线：垂直，则实数值等于________. 3. 椭圆的离心率为__________． 4. 半径为2的球的表面积为________. 5. 已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式______． 6. 已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则等于________. 7. 若是圆上的动点，则到直线的最小距离是________. 8. 曲线的长度是________. 9. 如图，在等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，且等腰直角三角形ABD与等边三角形CBD所在平面垂直，E为BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为________． 10. 是等差数列的前项和，若且，则当取得最大值时的________. 11. 已知，为椭圆：的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是___________. 12. 已知实数、、、满足：，，，则的最大值为__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 关于方程所表示曲线，下列说法正确的是（ ） A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于轴对称 D. 关于原点中心对称 14. 已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 15. 等差数列的前项和为，若为确定常数，下列各式也为确定常数的是（ ） A. B. C. D. 16. 考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆：上，且其中恰有两个顶点为的顶点．这样的等腰三角形的个数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知正方体的棱长为a. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面所成的二面角（结果用反三角函数值表示）. 18. 已知数列前n项和为，，且（n为正整数）. （1）求数列的通项公式； （2）记…若对任意正整数n，恒成立，求实数k的最大值. 19. 已知的长轴是短轴长的倍，原点到直线，的距离是. （1）求椭圆的方程； （2）求实数，使直线交椭圆于不同的点，，且. 20. 已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设由构成的新数列为是等差数列，求的值； （3）对于（2）中的等差数列，设，数列的前项和为，现有数列，，是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. 21. 给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为． （1）求椭圆方程及其“伴随圆”方程； （2）若倾斜角为的直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆的伴随圆相交于、两点，求弦的长； （3）点是椭圆的伴随圆上的一个动点，过点作直线、，使得、与椭圆都只有一个公共点，求证：⊥. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $