江苏常州市正衡中学2026-2027学年第一学期八年级10月阶段质量调研数学试卷

2026~2027学年第一学期江苏常州正衡中学质量调研 八年级数学(10月) 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目 要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上) 1.下列说法正确的是() A.-4的平方根是士2 B.√16的算术平方根是4 C.平方根等于本身的数是0和1 D.0的平方根与算术平方根都是0 2在实数5,314，-2号，1200（每两个2之间0的数目每次多一个），号中，无理数的个数有 ()个 A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知下图是两个全等三角形，则∠1的度数为() 639 A.24 B.34 C.63° D.83° 4.如图，在3×4的正方形网格，每个正方形的边长都是1，标记格点（网格线的交点）A,B,C,D,则下 列线段中，长度为√13的是() ●D C A.线段BD B.线段AC C.线段AB D.线段BC 5.如图，点C、F在线段AD上，AB=DE,AB∥DE,再添加一个条件，不能使△ABC≈△DEF的是 () B D A.∠ACB=∠DFE B.∠B=∠E C.AF-CD D.BC=EF 第1页共6页 6.如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书 架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿。已知每本书 长20cm,厚度为2cm,则两摞书之间的距离DE为() A.24cm B.23cm C.22cm D.21cm 7.在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A'B'C',使得 Rt△AB'C'≥Rt△ABC。小宏同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程如图所示。这种画 图方法的依据是() 第一步 第 图1 图2 A.SAS B.AAS C.ASA D.HL 8.如图，在长方形ABCD中，已知AB=6cm,BC=l0cm,点P以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时 点Q以ac/s的速度由点C向点D运动，若以A,B,P为顶点的三角形和以P,C,Q为顶点的三角 形全等，则a的值为() A至或1 B.6 c4酸得 D.4 二、填空题（每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 9.比较大小：5√19（填">"，"<"或"=），16的平方根是 10.若一个正方形的面积是8，则它的边长为一。 第2页共6页 11.如图是由相同的小正方形组成的网格，点A,B,C均在格点上，连接AB,AC,则∠1+∠2= 12.学期末学校组织体检，测得小亮同学的身高为1.69米，精确到0.1米得到的近似值是 米。 13.如图，这是通信基站内部构件的截面图，它由两个直角三角形和三个正方形组成。若一直角三角形的直 角边和斜边的长分别为12,13，则阴影部分的面积是。 14.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E为CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F,连 接BE,若△BEF的面积为6，则四边形ABCD的面积为一。 15.新定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的"中偏度值"。如 图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,CD是AB边上的高，点E是AB边上的中点，在 △ABC中，AB边的"中偏度值"为 16.如图，在△ABC中，D是边AC的中点，∠EDF=90°，AF=10,CE=4,则EF的取值范围是 第3页共6页 三、解答题（本大题共7小题，共60分。请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.计算 (1)√-22+3-8-(W6)2: (2)(-√3)2+|2-√51-（√7+2） 18.求下列等式中x的值： (1)x2-81=0; (2)2x3+54=0 19.已知a=√5+√5，b=√5-√，求下列各式的值： (1)a2-b2: 20.如图，分别以△ABC的边AB,AC为腰作等腰△ABD和等腰△ACE,AB=AD,AC=AE,且 ∠BAD=∠CAE,使点D,E,C在同一直线上. (1)求证：BC=DE: (2)若∠BAD=90°，BC=6,S△BD=30,则线段CE的长为， CA的长为 第4页共6页 21.在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示 (1)以点B为圆心，BA为半径画弧，则圆弧与x轴正半轴交点的横坐标为 (2)借助△ABC的三边，说明√5+√10与√13的大小关系： (3)若保持点A,C不动，点B从图中的位置沿x轴向右移动，当CB=AC时，直接写出平移后点B的 坐标 22.富比尼原理(Fubini's Principle),也称为"算两次"原理，是数学中一种重要的思想方法，其核心在于通 过两种不同的方式计算同一量，从而建立等量关系。在一节数学活动课上，老师带领同学们探寻"算两 次"原理的奥秘 (1)任务1：用图1所示的四个大小完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成了一个世界数学年会的会微 图案，通过不同的方法计算这个图形的面积来证明：a+b=c. (2)任务2：如图2，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上，若BD是 △ABC的高，求BD的长 图1 图2 第5页共6页 23.【神奇的变换】 (1)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD,垂足为P,则AB2+CDAD+BC (填">"、"<"或"=) 【翻折一下】 (2)若将图1中的△ABC沿直线AC翻折（如图2所示），其它条件不变，(1)中的结论还成立吗？请说明 理由. 【旋转一下】 (3)若AD∥BC,∠ADP=45°，(1)中的其它条件不变（如图3所示），将△APD绕点P按逆时针方向 旋转a度(0<&<90)后得到图4.求证：AB2+CD=AD+BC2 【平移一下】 (4)若将图1中的△ABC沿直线BD平移，使得B和D重合，得到△DEF(如图5所示)，连接AF, CE,则有AD+DE=CD+DF2.利用该结论，解决问题：如图6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 是△ABC内一点，若DC=2,DA=3,且DB=4,则AB的最大值为 图3 图4 第6页共6页2026~2027学年第一学期江苏常州正衡中学质量调研 八年级数学(10月) 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目 要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上) 1.下列说法正确的是() A.一4的平方根是士2 B.√16的算术平方根是4 C.平方根等于本身的数是0和1 D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】：D 【解析】：负数没有平方根，A错误：√16=4,4的算术平方根是2，B错误； 平方根等于本身的数只有0,1的平方根是±1，C错误：0的平方根、算术平方根都是0，D正确。 2在实数5,3.14,2号，1,200…（每两个2之间0的数目每次多一个），号中，无理数的个数有 ()个 A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】：A 【解析】：8=2是有理数；3.14是有限小数，有理数；一2受是分数，有理数： 7 1.2000(每两个2之间0的数目每次多一个)是无限不循环小数，无理数：乏含元，无理数。 无理数一共2个。 3.已知下图是两个全等三角形，则∠1的度数为() c 83 a 639 A.24 B.34° C.63° D.83° 【答案】：B 4.如图，在3×4的正方形网格，每个正方形的边长都是1，标记格点（网格线的交点）A,B,C,D,则下 列线段中，长度为√13的是() ●D ◆C A.线段BD B.线段AC C.线段AB D.线段BC 第1页共8页 【答案】：A 【解析】：由勾股定理：√13=√2+3，即横向差3，纵向差2。线段BD横差3，竖差2， BD=W3+2=W13。 5.如图，点C、F在线段AD上，AB=DE,AB∥DE,再添加一个条件，不能使△ABC≥△DEF的是 () B C D A.∠ACB=∠DFE B.∠B=∠D C.AF=CD D.BC=EF 【答案】：D 6.如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书 架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿。已知每本书 长20cm,厚度为2cm,则两摞书之间的距离DE为() A.24cm B.23cm C.22cm D.21cm 【答案】：A 7.在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A'B'C',使得 Rt△AB'C'≈Rt△ABC。小宏同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程如图所示。这种画 图方法的依据是(） 第一步 第二步 图1 图2 A.SAS B.AAS C.ASA D.HL 【答案】：D 第2页共8页 8.如图，在长方形ABCD中，已知AB=6cm,BC=l0cm,点P以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时 点Q以acm/s的速度由点C向点D运动，若以A,B,P为顶点的三角形和以P,C,Q为顶点的三角 形全等，则a的值为() A或1 B.6 C,4或24 5 D.4 【答案】：C 【解析】：设运动时间为t,BP=t,PC-10-4t,CQ=at。 分两种全等情况： ①△ABP≥△PCQ:AB=PC,BP=CQ。 6=10-4址→t=1,0=4 4t=at ②△ABP≈△QCP:AB=CQ,BP=PC。 e10-北t=子a=29 (6=at 5 综上：a=4或a=24。 5 二、填空题（每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 9.比较大小：5√1⑨（填">"，"<"或"="），16的平方根是 【答案】：>：±4 10.若一个正方形的面积是8，则它的边长为。 【答案】：2W2 11.如图是由相同的小正方形组成的网格，点A,B,C均在格点上，连接AB,AC,则∠1+∠2= 9 【答案】：90 第3页共8页 12.学期末学校组织体检，测得小亮同学的身高为1.69米，精确到0.1米得到的近似值是 米。 【答案】：1.7 13.如图，这是通信基站内部构件的截面图，它由两个直角三角形和三个正方形组成。若一直角三角形的直 角边和斜边的长分别为12,13，则阴影部分的面积是 【答案】：50 14.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E为CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F,连 接BE,若△BEF的面积为6，则四边形ABCD的面积为。 【答案】：12 15.新定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的"中偏度值"。如 图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,CD是AB边上的高，点E是AB边上的中点，在 △ABC中，AB边的"中偏度值"为 【答案】：头 【解析】：AB=√6+8=10：直角三角形斜边中线CE=drac12AB=5:面积法求高：CD=ACBC AB =6×8=24 10 。BD=BC=6=18,BB=5=5,中点E到垂足D距离：ED=D-BD=2为 5 AB=10=6 5 5 。申偏度值=024 7 16.如图，在△ABC中，D是边AC的中点，∠EDF=90°，AF=10,CE=4,则EF的取值范围是 【答案】：6<EF<14 第4页共8页 【解析】：延长FD到G,使DG=FD,连接CG、EG:AD=DC,∠ADF=∠CDG,得△ADF≌ △CDG,CG=AF=10;∠EDF=90°→ED垂直平分FG,DF=EG:在△ECG中，CG-CE<EG< CG+CE,10-4<EG<10+4,6<F<14 三、解答题（本大题共7小题，共60分。请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.计算 (1)√-2+3-8-（√6）2： (2)(-√5)P+|2-√5|-（√7+2）° 【答案】：(1)-6；(2)√5 18.求下列等式中x的值： (1)x2-81=0: (2)2x3+54=0 【答案】：(1)x=±9：(2)x=-3 19.已知a=√5+√5，b=√5-√，求下列各式的值 (1)a2-b2: 【答案】：(1)4v15;(2)√5 20.如图，分别以△ABC的边AB,AC为腰作等腰△ABD和等腰△ACE,AB=AD,AC=AE,且 ∠BAD=∠CAE,使点D,E,C在同一直线上. (1)求证：BC=DE: (2)若LBAD=90°，BC=6,S△D=30,则线段CE的长为，CA的长为 【答案】：(1)见【解析】；(2)见【解析】 【解析】：(1)：∠BAD=∠CAE,.∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE 即∠DAE=∠BAC。 在△DAE和△BAC中 (AD=AB ∠DAE=∠BAC.∴.△DAE≥△BAC(SAS), AE=AC 第5页共8页 ∴.DE=BC。 (2)线段CE的长为4，CA的长为2√2。 解：由(1)得DE=BC=6。:AD=AB,∠BAD=90°，∴.∠ADB=∠ABD=45°。 由△DAE△BAC,得∠ADE=∠ABC=45°， ·.∠DBC=∠ABD+∠ABC=90°，即BC⊥CD。 Sm=号BC0D=30代入BC=6: 号×6×CD=30一CD=10 CE=CD-DE=10-6=4 ∠CAE=90°，AC=AE,△ACE为等腰直角三角形： CE=AC+AE2=2AC 16=2AC2=AC9=8→AC=2W/2 21.在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示. (1)以点B为圆心，BA为半径画弧，则圆弧与x轴正半轴交点的横坐标为 (2)借助△ABC的三边，说明√5+√10与√13的大小关系： (3)若保持点A,C不动，点B从图中的位置沿x轴向右移动，当CB=AC时，直接写出平移后点B的 坐标 【答案】：(1)1+√5；(2)√5+10>√13；(3)(2,0)；(4,0 22.富比尼原理(Fubini's Principle),也称为"算两次"原理，是数学中一种重要的思想方法，其核心在于通 过两种不同的方式计算同一量，从而建立等量关系。在一节数学活动课上，老师带领同学们探寻"算两 次"原理的奥秘。 (1)任务1：用图1所示的四个大小完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成了一个世界数学年会的会微 图案，通过不同的方法计算这个图形的面积来证明：a2+b=c2. (2)任务2：如图2，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上，若BD是 △ABC的高，求BD的长. 图1 图2 第6页共8页 【解析】：(1)(1)证明：大正方形边长为c,面积S=c。另一方面，图形由四个全等直角三角形与中间小 正方形组成：直角三角形两直角边为a,b,小正方形边长为b-a。 5=4×号b+6-a展开 S=2ab+b-2ab+a2=a2+b2两种方式算同一图形面积，故 a2+b2=c2 (2)解：设网格左下角为坐标原点，格点坐标：B(0,1),A2,3),C(3,0)。用割补法求S8©： e=3x8-号×2x2-号×1x3-号x3x1=9-2-号号=4 由勾股定理求底边AC: AC=√3-2)+(0-3P=√1P+(-3)=√10 由三角形面积公式Sa0=号AC~BD,代入： 号而D= BD=8=4w0 105 23.【神奇的变换】 (1)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD,垂足为P,则AB2+CDAD+BC. (填">"、"<"或"=) 【翻折一下】 (2)若将图1中的△ABC沿直线AC翻折（如图2所示），其它条件不变，(1)中的结论还成立吗？请说明 理由 【旋转一下】 (3)若AD∥BC,∠ADP=45°，(1)中的其它条件不变（如图3所示），将△APD绕点P按逆时针方向 旋转a度(0<a<90)后得到图4.求证：AB2+CD=AD+BC2. 【平移一下】 (4)若将图1中的△ABC沿直线BD平移，使得B和D重合，得到△DEF(如图5所示)，连接AF, CE,则有AD+DE?=CD+DF?.利用该结论，解决问题：如图6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 是△ABC内一点，若DC=2,DA=3,且DB=4,则AB的最大值为 图4 图5 【解析】 第7页共8页 (1)BP⊥AC,∴.∠APB=∠BPC=90, 在Rt△APD中，AD=AP2+DP 在Rt△APB中，AB=AP2+PB, 在Rt△CPD中，CD=PD+PC 在Rt△CPB中，BC=CP+BP ..AB+CD=AP2+PB2+PD2+PC2, AD2+BC=AP2+DP2+CP+BP2, ..AB+CD=AD+BC, 故答案为：=： (2)成立，理由如下： :BP⊥AC,∴.∠APB=∠BPC=90, 在Rt△APD中，AD=AP2+DP, 在Rt△APB中，AB=AP+PB, 在Rt△CPD中，CD=PD+PC, 在Rt△CPB中，BC=CP+BP, ..AB2+CD2=AP2+PB2+PD2+PC, AD+BC=AP+DP+CP+BP, .AB+CD=AD+BC; (3)证明：如图4，连接BD,AC交于点F, :∠APD=90°，∠ADP=45, ∴.△PAD是等腰直角三角形，AP=DP, AD∥BC,∴.∠PBC=∠ADP=5°， 又∠BPC=90°， ∴△PBC是等腰直角三角形，BP=CP, ∠APC=∠BPC+∠APB, 图 ∠DPB=∠APD+∠APB,.∠APC=∠DPB, 在△APC和△DPB中， (AP=DP ∠APC=∠DPB PC=PB ∴.△APC=△DPB(SAS): ∴.AC=BD,∴∠CAP=∠BDP, ∠PDA+∠PAD=90°， ∴.∠PDB+∠ADB+∠PAD=90°=∠PAC+∠ADB+∠PAD, ∴.∠AFD=∠APD=g0°， .AB2+CD2=AF2+BF+DF+CF2, AD2 BC2=AF2+DF+BF2+CF2, .AB2+CD=AD+BC: (4)如图6，将△BDC沿着CA向上平移，使得C与A重合，连接DB,BC, ∴AB=CB,AB∥BC,.四边形ACBB是平行四边形， ∠ACB=90°，∴.四边形ACBB是矩形，∴.AB=BC, 由结论可得：AD2+DB=CD+BD,∴，9+16=4+BD,.BD=√21， “CD+DB≥CB',∴，AB≤2+√2I,∴AB的最大值为2+√2I。 故答案为：2+√21。 第8页共8页