第01讲从自然数到有理数复习讲义 2026--2027学年浙教版七年级数学上册

级 第01讲从自然数到有理数 模块一 课程目标 ☆课程目标☆ 1.掌握正数和负数的定义并能够熟练的进行识别。 2.掌握正数和负数表示的意义，并能够熟练的用正数和负数表示相关的量以及量的范围。 3.掌握有理数及其有理数的分类，能够熟练的判断有理数的类型以及熟练的对其进行分类。 模块二 内容导航 ☆内容导航☆ 大于0的数是正数，小于0的数是负数 考点一正数和负数 0既不是正数也不是负数 正负数表示相反意义的量 结 考点二相反意义的量 正负数表示偏差范围 概念：整数和分数统称为有理数 考点三有理数的概念和分类 有理数的两种常见分类 模块三 考点剖析 ☆考点剖析☆ 考点一正数和负数 考点卡片 正数：像3,50,7.8%这样大于0的数叫作正数； 负数：像-3，-10，-0.7%这样在大于零的数前面放上负号“-”的数叫作负数 一个数前面的“+”“-”号叫作这个数的符号 0:0既不是正数也不是负数：0既可以是正数负数的分界，在实际意义中，0不仅仅表示“没有”。如0℃表 示一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度等。 备注：(1)一Q不一定是负数，说法：“带正号的数是正数，带负号的数是负数”是不正确的； 字母a表示任意数，当a是正数时，-a是负数；当a是负数时，-a是正数；a是0时，-a仍是0； (②)正数有时可以在前面加“+”，有时也可以省略 典例分析 1.下列对“0”的说法正确的个数是() ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数；⑤0 是自然数 A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 级 【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正、负数的分界点，故①正确： ②0除了表示“什么也没有”，还可以表示其他意义，如0℃等，故②错误， ③可以表示特定的意义，如0℃，故③正确；④0既不是正数，也不是负数，故④错误； ⑤0是自然数，故⑤正确；综上所述，正确的有①③⑤，共3个， 故选：B 2.下列四个数中，是负数的是（) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】A 【详解】解：-1<0，∴-1是负数 故选：A 3.对于下列各数：-，号，-6,0，-3.14，-0.25，其中负数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】解：负数有：-，-6，-314，-0.25，共4个 故选：D 4.下列说法：（1)正数前加上一个负号就是负数；(2)不是正数的数就是负数；(3)只有带“+”号的数 才是正数；（4)0既不是正数也不是负数.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【详解】(1)正数前加上一个负号就是负数，说法正确； (2)不是正数的数就是负数，说法错误，0既不是正数，也不是负数； (3)只有带“+”号的数才是正数，说法错误，如+（一-2）是负数； (4)0既不是正数也不是负数，说法正确. 综合上述可得：说法正确有（1入（4)，共计2个 故选：B 5.如图，两个圈分别表示负数和整数，请把-1,5，-80%，-7,0，-0.2，另，-10这些教填在适当 的位置 负数 整数 【答案】见解析 【详解】解：根据整数分为正整数，负整数和零，负数包括负整数和负分数，进行分类如图： -80% 0 -0.2 10 00 负数 整数 6.将下列各数填入相应的大括号内： -13,0.1,-223,+27,0,-4 (1)正数：{ …}; 浙教版七年级上册预习讲义（数学） 级 (2)负数：{ …}; (3)既不是正数也不是负数：{ …}; 【答案】00.1，+27,15%，号；2-13，-2.23，-手-1分30 【详解】根据大于零的数是正数，可得正数集合；根据小于零的数是负数，可得负数集合 (1)正数0.1，+27,15%，号：故答案为：0.1，+27,15%，号； 7 (2)负数{-13，-2.23，-手-1故答案为：-13，-223，-手-1 4 4 (3)既不是正数也不是负数：{0}；故答案为：0： 考点二相反意义的量 考点卡片 1相反意义的量：为了表示具有相反意义的量，把0以外的数分为正数和负数。 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意 义相反的量规定为负的，并用负数来表示. 例：零上5℃表示为+5℃，则-4℃表示零下4℃. 2用正负数表示允许偏差：实际中每个产品不可能做得与标准规格完全一样，通常在某个范围内，只要不影 响使用，产品比标准规格稍大或稍小一点，稍轻或稍重一点，都属于合格品.如一瓶水的标准容量是500ml, 那么标有500±10ml指的是实际容量在490ml-510ml之间都是可以的， 典例分析 7.如果收入100元记作+100元，那么支出80元，记作() A.20元 B.-80元 C.+80元 D.-20元 【答案】B 【详解】解：若收入100元记作+100元，则支出80元，记作-80元， 故选：B. 8.如果以西安钟楼为中心，小李向东走5m,所在的位置记作+5，那么小红以西安钟楼为中心，向西走7m, 所在的位置应记作() A.-2 B.+2 C.+7 D.-7 【答案】D 【详解】解：如果以西安钟楼为中心，小李向东走5m,所在的位置记作+5， 那么小红以西安钟楼为中心，向西走7m,所在的位置应记作-7， 故选：D 9.下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早） 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差/h -13 -7 +1 2025年元月6日19：00，我国中央广播电视总台综合频道CCTV-1《新闻联播》节目开始播放时，下列各 城市的时间表示错误的是( A.纽约是2025年元月6日6：00 B.巴黎是2025年元月6日11：00 C.东京是2025年元月6日20：00 D.上海是2025年元月6日19：00 【答案】B 【详解】解：A、纽约与北京的时差为-13h,19-13=6,故纽约此时时间为：2025年元月6日6：00， 浙教版七年级上册预习讲义（数学）】 级 故选项A不符合题意； B、巴黎与北京的时差为-7h,19-7=12,故纽约此时时间为巴黎是2025年元月6日12：00， 故选项B符合题意； C、东京与北京的时差为+1h,19+1=20,故东京此时时间为2025年元月6日20：00， 故选项C不符合题意； D、上海与北京没有时差，故上海是2025年元月6日19：00， 故选项D不符合题意： 故选：B 10.下面的四个选项表示的是检验4个工件时的记录，超过标准质量的记作正数，不足标准质量的记作负数， 其中最接近质量标准的工件是() A.-1 B.-0.2 C.0.5 D.1.5 【答案】B 【详解】解：最接近质量标准的工件是不足标准质量0.2的工件，故B正确. 故选：B 11.2024年巴黎奥运会乒乓球比赛已经圆满落幕，中国乒乓球队再次展现了其王者之师的风采，更以史无前 例的壮举一包揽全部五块金牌，为这场体育盛宴划上了最为辉煌的句号.比赛中，所采用的乒乓球 的标准尺寸是40mm±0.05mm,下列尺寸的乒兵球中哪一个是不合格的(） A.40.06mm B.40.02mm C.39.97mm D.39.95mm 【答案】A 【详解】解：根据题意可知，乒兵球的合格尺寸在39.95~40.05范围内。 故选：A 12.某零件标明的要求是50附（单位：mm,Φ表示直径)，这种产品合格的最大直径是多少？最小直径 是多少？直径是50.2mm的产品，是否合格？ 【答案】见试题解答内容 【详解】解：这种产品合格的最大直径是50+0.04=50.04mm,最小直径是50-0.03=49.97mm, 直径是50.2mm的产品，不合格，因为它不在50.0449.97之间. 13.用正、负数表示下列语句中的数据： (1)节约水10m3,浪费水0.5m3: (2)向油罐车里注入汽油4t,放出汽油1.8t: (3)南极大陆中部某地的年平均气温是零下56℃，最低气温曾达到零下88.3℃. 【答案】(1)节约水10m3记作+10m3:浪费水0.5m3记作-0.5m3;(2)向油罐车里注入汽油4t记作+4t: 放出汽油1.8t记作-1.8t;(3)南极大陆中部某地的年平均气温是零下56℃，记作-56℃；最低气温曾达到 零下88.3℃，记作-88.3℃. 【详解】(1)若规定节约水为正，浪费水为负，则节约水10m3记作+10m3;浪费水0.5m3记作-0.5m3 (2)若规定向油罐车里注入汽油为正，放出汽油为负，则向油罐车里注入汽油4t记作+4t;放出汽油1.8t 记作-1.8t. (3)若规定零上为正，零下为负，则南极大陆中部某地的年平均气温是零下56℃，记作-56℃；最低气温曾 达到零下88.3℃，记作-88.3℃. 14.某厂一周计划生产700个玩具，平均每天生产100个，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出 入，如表是某周每天的生产情况（增产为正，减产为负，单位：个） 星期 二 三 四 五 六 日 产量 +10 -6 -8 +15 -12 +18 -9 (1)根据记录，求出前三天共生产多少个？ (2)请问产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？ (3)该厂实行计件工资制，每生产一个玩具10元，若按周计算，超额完成任务，超出部分每个12元；若 年 浙教版七年级上册预习讲义（数学）】 七 级 未完成任务，生产出的玩具每个只能按8元发工资，那么该厂员工这一周的工资总额是多少？ 【答案】见试题解答内容 【详解】解：(1)100×3+10-6-8=296（个）， .前三天共生产296个； (2)18-(-12)=18+12=30(个)， 产量最多的一天比产量最少的一天多生产30个； (3)这一周多生产的总个数是10-6-8+15-12+18-9=8（个）， 10×700+12×8=7096(元) 答：该厂工人这一周的工资是7096元. 考点三有理数的概念和分类 考点卡片 1.有理数的相关概念 (1)有理数：整数和分数统称为有理数。 正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数， (②)正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； (3)负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 2.有理数的分类： (1)有理数按性质分类： （2)有理数按符号分类 正整数 正整数 整数 零 正有理数 正分数 有理数 负整数 有理数 0 (正分数 (负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 (3)小数的分类 「有限小数 小数 「无限循环小数 可化成分数，是有理数 无限小数 无限不循环小数一不可化成分数，是无理数 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 典例分析 15.下列关于有理数的说法正确的是() A.有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B.正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合 C.0既不属于整数也不属于分数 D.整数和分数统称为有理数 【答案】D 浙教版七年级上册预习讲义（数学）】 级 【详解】解：A、有理数可分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意； B、正整数集合，0与负整数集合合在一起构成整数集合，故本选项错误，不符合题意； C、0是整数，但不是分数，故本选项错误，不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，正确，符合题意； 故选：D. 16.下列说法正确的个数是() ①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正的，就是负的；④一个分数不是正的，就是负的 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【详解】解：①一个有理数不是整数就是分数，符合题意； ②0是有理数，它不是正数，也不是是负数，原说法错误，不符合题意； ③0是整数，它不是正数，也不是负数，原说法错误，不符合题意； ④一个分数不是正的，就是负的，符合题意 故选：B 17.下列各数：0，-名1010101，号，-元，42，-26262662，其中有理教的个数是（) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 【详解】解：0，-子1010101，易-m,42,-2.626262,其中有理数有0，-子1010101，号 4.2,共5个， 故选：D 18.在-号，号，0,1,0.12,14，-2，-15这些数中，正有理数有m个，非负整数有n个，分数有 个，则m-叶k的值为() A.3 B.4 C.6 D.5 【答案】D 【详解】解：号012,14是运有理，关3个：0,14是非负些数，共2个： 122 7,012,15是分数，共4个，六m=3,n=2,k=4,六m-叶k=3-24日 故选：D 1 19.在-2020,2.3,0，T,-45五个数中，非负的有理数共有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【详解】解：在“-2020,23,0，m,-这五个数中，非负有理数是23,0， 3 故选：B 20.已知有理数：-02，+3，元-5,0，-2 4 2020,其中非负整数有 【答案】+3,0,2020. 【详解】解：非负整数有+3,0,2020， 故答案为：+3,0,2020 21.把下列各数填入相应的大括号里：-7,35，-314，元，0，号0.03，-3克10,25% 正有理数集合{ …}; 非负整数集合( …}; 整数集合{ …}; 必 浙教版七年级上册预习讲义（数学）】 级 正分数集合{ …} 【答案】35，号0.03,10,25%：0,10：-7,0,10：35，号0.03,25% 【详解】解：正有理数集合3.5，吕，003,10,25%，…： 非负整数集合{0,10，…}； 整数集合{-7,0,10，…}： 正分数集合3.5，号0.03,25%，… 故答案为：35，号0.03,10,25%：0,10：-7,0,10：35，号0.03,25%. 22.把下列各数填在相应的表示集合的大括号里， 13 -3,2.5,1,，-0.58,0,号0.3，-1.01001000 整数集合：{ …} 分数集合：{ …}; 正有理数集合：{ …}; 负有理数集合：{ …} 【答案】见试题解答内容 13 【详解】解：整数集合{-3,1,0，…；分数集合{2.5，-0.58,90.3，… 正有理数集合{2.5,1， 13 9 ,0.3,…}；负有理数集合{-3，-0.58，…} 模块四 课后练习 ☆课后练习☆ 1在数-1,8,25，-完0，：001,75，-43中，负数的个数为() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】C 1 【解答】解：-1<0，是负数；8>0，是正数；2.5>0，是正数；-互<0，是负数： 0既不是正数，也不是负数；-0.01<0，是负数：7.5>0，是正数；-4.3<0，是负数； 负数有-1，-2 -0.01,-4.3,共4个 故选：C 2在下列数m，-21,25%,0,了-0.3中，非负有理数有(（) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】B 【详解】解：非负有理数包含0和正有理数，正有理数包括正整数和正分数， 2 2 在下列数π，~21,25%，0，了-03中，非负有理数有25%，0,3共.3个， 故选：B 3.下列关于“0”的叙述中，不正确的是() A.表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B.既不是正数，也不是负数 C.是整数，也是最小的自然数 D.不能写成分数的形式，不是有理数 【答案】D 【详解】解：A.0不止表示没有的意思，它还常用来表示某些量的基准数，是“正数”与“负数”的分界， 正确，不符合题意； B.0既不是正数，也不是负数，这个说法正确，不符合题意； C0是整数，也是最小的自然数，这个说法正确，不符合题意； 浙教版七年级上册预习讲义（数学）】 级 D0是整数，能写成分数的形式，是有理数，这个说法错误，符合题意； 故选：D 4.给出下列说法： ①一个有理数不是整数就是分数； ②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正整数就是负整数； ④一个分数不是正分数就是负分数.其中正确的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【详解】解：①、一个有理数不是整数就是分数，说法正确，符合题意； ②、一个有理数不是正数就是负数或0，说法错误，不符合题意； ③、一个整数不是正整数就是负整数或O,说法错误，不符合题意； ④、一个分数不是正分数就是负分数，说法正确，符合题意 故选：B 5.下列是数的分类，正确的是( (整数 有理数 整数 A.有理数 B.整数 C.分数 D.有理数 整数 分数 分数 (有理数 0 【答案】A 【详解】解：有理数可分为整数和分数，故A选项正确，符合题意； 整数可分为：正整数，O,负整数，故B选项错误，不符合题意； 分数可分为：正分数，负分数，故C选项错误，不符合题意； 有理数可分为整数和分数，故D选项错误，不符合题意， 故选：A 6.所有整数组成整数集合，所有负数组成负数集合，如图阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含 的有理数是( 整数 负数 4 A.-7 B.-3 C.0 D.5.3 【答案】B 【详解】解：由题知，图中的阴影部分表示负整数，显然四个选项中，只有B选项符合题意 故选：B 1.下列具有相反意义的两个量是( A.向东走20米和向南走20米 B.盈利200元和赚了200元 C.零上25℃和零下25℃ D.支出30元和标价30元 【答案】C 【详解】解：根据相反意义的量逐项分析判断如下： A、向东和向西具有相反意义，错误，不符合题意；B、盈利和亏损具有相反意义，错误，不符合题意； C、零上25℃和零下25℃是具有相反意义的量，正确，符合题意； D、支出和收入具有相反意义，错误，不符合题意； 故选：C 8.已知上周五（周末不开市）股市指数以1900点报收，本周内股市涨跌情况如下(“+”表示比前一天涨， “-”表示比前一天跌)，则本周三的股市指数为( 星期 一 二 三 四 五 指数变化（点 +50 -30 +10 -20 +50 11 年 浙教版七年级上册预习讲义（数学） 级 A.1910,点 B.1930,点 C.1950点 D.1990点 【答案】B 【详解】解：1900+50-30+10=1930（点）. 故选：B 9.已知巴黎时间与北京时间相差-6小时（即巴黎时间比北京时间晚6个小时).巴黎时间2024年8月10 日15：00开始进行巴黎奥运会乒乓球女子团体决赛，则比赛开始的时间是北京时间() A.8月10日9：00 B.8月10日21：00 C.8月9日9：00 D.8月9日21：00 【答案】B 【详解】解：由题意得：15+6=21， ∴.巴黎时间2024年8月10日15：00开始比赛，则北京时间是8月10日21时， 故选：B 10.在实际生活中，我们经常采用“角度+距离”的方法来确定物体的相对位置.如图，以O点为基准点， 射线O4的方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度(0°~180°)，顺时针方向旋转为负角度 (0°~-180°)，特别地，O4的反向延长线所在的方向记为180°·由于OB方向为O4方向绕O 点逆时针旋转90°，点B与，点O的距离为1km,因此，点B可以用有序数对记为（90°，1)，类似地， 点C可以记为(-15°，4).以下点的位置标记正确的是（) 距离单位：km A.点D(4,150°) B.点E(45°，3) C.点F(-120°，3) D.点G(60°，2) 【答案】D 【详解】解：由题意可得： A、点D可以记为(150°，4)，故不合题意； B、点E(45°，3)表示从O4开始逆时针45°，与O相距3km,与图中位置不符，故不合题意； C、点F(-120°，3)表示从O4开始顺时针120°，与O相距3km,与图中位置不符，故不合题意； D、点G(60°，2)表示从OA开始逆时针60°，与O相距2km,与图中位置相符，故符合题意； 故选：D 1.在+7,0，-吾+分2024,3,025,11中，非负整教有 一个 【答案】4. 【详解】解：在+7,0，-吾+22024，-3,025,1中，非负整数有+7,0,2024,1，共有4个， 故答案为：4 12.小明在每次周测后，都通过比较和上一次考试的分数变化来记录自己成绩变化，将分数提高记作“+”， 降低记作“-”.已知小明第2次周测实际分数为142分，记录本上他记录为“-3”，请问小明第1次 周测实际分数为 分. 【答案】145. 【详解】解：小明第1次周测实际分数为：142+3=145（分）， 故答案为：145. 12 浙教版七年级上册预习讲义（数学）】 级 13.给出下列说法： ①0可以表示没有，也可以表示具体的意义；②0是最小的正整数； ③0是最小的有理数；④0既是负数又是正数；⑤0是最小的自然数. 其中正确说法的序号是 【答案】①⑤. 【详解】解：①0可以表示没有，也可以表示具体的意义，正确：②0是最小的自然数，错误； ③0不是最小的有理数，错误；④0既不是负数也不是正数，错误；⑤0是最小的自然数，正确； 其中正确说法的序号是①⑤ 故答案为：①⑤ 14.一袋面包包装上印有“总质量（200±3)g”的字样.小明拿去称了一下，发现质量为198g,则该面包 厂家一 （填“有”或“没有”)欺诈行为。 【答案】没有 【详解】解：总质量(200±3)9，∴.质量在(200+3)g与(200-3)g之间都合格， 而产品有198g在范围内，故合格，.厂家没有欺诈行为 故答案为：没有。 15在3号8,2025,0,5，+13，京-69，中，有理数有。个，非负签数有6个，分数有e个，则 1 a-b-c的值为· 【答案】2 【详解】解：由题意可得：a=8,非负整数有2025,0，+13，共3个，∴b=3, 分数有3号，2025，-6.9，共3个，六0-b-c=8-3-3=2, 故答案为：2. 16.如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个 数，古人在个位数上划上斜线以表示负数.如T=州”表示-723，则“T目牛”所表示的数是 纵式 I川T T而 而 横式 三 目 1 2 3 45678 9 【答案】-652 【详解】解：“T=州”所表示的数是-652， 故答案为：-652 17.六年级一名男生进行一分钟跳绳锻炼.下面是他对自己一周一分钟跳绳个数的统计.他将150个记为0， 超出150个的部分用正数表示，不足150个的部分用负数表示.《国家学生体质健康标准》规定：六年 级男生一分钟跳绳个数在147个以上（含147个)记为优秀.该同学这一周有 次一分钟跳绳成绩 为优秀 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 -10 +5 0 +15 -2 -8 +5 【答案】5. 【详解】解：该男生一周的跳绳个数用实际跳绳个数表示为： 星期一跳了140（个），星期二跳了155（个），星期三跳了150（个），星期四跳了165（个）， 星期五跳了148（个），星期六跳了142（个），星期日跳了155（个）， 因为155>147,150>147,165>147,148>147,155>147， 所以该同学这一周有5次一分钟跳绳成绩为优秀， 故答案为：5. 18.在验光时，验光师经常会以“×××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“-0.50D”, 浙教版七年级上册预习讲义（数学》 级 近视100度记录为“-1.00D”等等.现有5位同学验光记录如下：“-0.50D”,“-2.50D”,“-1.75D”, “-2.25D”,“-3.50D”,通常，近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，在这5位同学中， 需要持续配戴眼镜的有位。 【答案】3. 【详解】解：由题意可知：记录-0.50D的同学近视50°，记录-2.50D的同学近视250°，记录-1.75D 的同学近视175°，记录-2.25D的同学近视225°，记录-3.50D的同学近视350°， ,近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正， “在这5位同学中，需要持续配戴眼镜的有3位， 故答案为：3. 19.把下列各数填入如图所示的数集的圈子里 16 -30618，-3.14,260,-2001,9,-1,-53%,0 正数集合 整数集合 负数集合 【答案】见解析. 【详解】解：如图： 0.618 16 260 0 2001,- -53%,-3.14, 7 … … 正数集合 整数集合 负数集合 20.“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具.于是规定每人每天要做50个毛绒玩具， 为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作： -5个 下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 -3 -2 +4 (1)从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？ (2)小李这周一共生产了多少个毛绒玩具。 【答案】(1)星期五生产的毛绒玩具个数最，是54个；(2)253个 【详解】解：(1)从上面的记录中你能看出小李在星期五生产的毛绒玩具个数最，是：50+(+4)=54（个）： (2)(+3+1-3-2+4)+50×5=3+250=253(个)， 答：小李这周一共生产了253个毛绒玩具. 21.现代工业生产中，对产品的尺寸、质量等都设计了标准规格.但是，一般在实际加工中，每个产品不可 能都做得与标准规格完全一样.通常在某个范围内，只要不影响使用，产品比标准规格稍大一点，或 稍小一点，都属于合格品，而超出这个范围的产品就是不合格的了 在生产和检验产品时，怎样掌握合格品的尺度呢？ 通常在生产图纸上，对每个产品的合格范围有明确的规定.例如，图纸上注明一个零件的直径是30士8 时，中表示直径，单位是毫米（mm。这样标注表示零件直径的标准尺寸是30mm,实际产品的直径最大可 以是（30+0.03)mm,最小可以是(30-0.02)mm,在这个范围内的产品都是合格的.如果生产了一个零 浙教版七年级上册预习讲义（数学》 级 件的直径是29.97mm,它合格吗？这里的士8给出了允许误差的大小.允许误差一般用正负数的形式写出. (1)直径为30.03mm和直径为29.97mm的零件是否合格？为什么？ (2)你知道还有哪些事件可以用正负数表示允许误差吗？请举例说明， 【答案】见试题解答内容 【详解】解：（1)根据题意，最大直径：30+0.03=30.03mm,最小直径：30-0.02=29.98mm, 30.03mm在范围内，29.97mm不在范围内， ∴.直径为30.03mm的零件是合适的，直径为29.97mm的零件是不合格的； (2)食品包装，化肥包装，机器零件的尺寸都是用正负数表示允许误差 22.观察下面一列数：-1,2，-3,4，-5,6，-7,8，-9，…. （1)请写出这一列数中的第100个数和第2011个数； (2)在前2012个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)2013和-2013是否都在这一列数中，若在，请指出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由， 【答案】见试题解答内容 【详解】解：(1)第100个数是100；第2011个数是-2011； (2)在前2012个数中，正数和负数分别有1006个； （3):第奇数个数均为负，.2013不在这一列数中，-2013在这一列数中，它是第2013数. 23.为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级8班学生在体育课上进行了一次跳绳比 赛.以1分钟跳180个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数.某小组10名同学1分 钟跳绳个数记录如下： +2,-5,+3,0,-10,+7,-7,-4,+1,-7（单位：个 (1)求这个小组1分钟每人平均跳绳的个数. (2)为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准1个记“+2” 分，每不足1个记“-1”分，刚好达到标准记“0”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总 积分？ 【答案】见试题解答内容 【详解】解：(1)180+(2-5+3+0-10+7-7-4+1-7)÷10 =180+(-20)÷10 =180-2 =178(个)， 即这个小组1分钟每人平均跳绳的个数为178个； (2)(2+3+7+1)×2-(5+10+7+4+7)×1 =26-33 =-7(分)， 即这个小组的总积分为·(1分) 24.2023年飞行大会，应我市邀请，俄罗斯特技飞行队在瑶湖风景区进行特技表演.其中一架飞机起飞后的 高度变化如表： 高度变化 上升5.5km 下降3.2km 上升1km 下降1.5km 下降0.8km 记作 +5.5km -3.2km +1km -1.5km -0.8km (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特 技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 【答案】(1)此时这架飞机比起飞点高了1千米；(2)一共消耗37升燃油， 【详解】解：（1)5.5-3.2+1-1.5-0.8=1(km)片 答：此时这架飞机比起飞点高了1千米 (2)(5.5+1）×4+（3.2+1.5+0.8)×2 年 浙教版七年级上册预习讲义（数学）】 级 =6.5×4+5.5×2 =26+11 =37(升)， 答：一共消耗37升燃油. 25.2024年4月23日是联合国教科文组织确定的第29个“世界读书日”，某校开展了“浸润书香，为人生 奠基”读书活动.东东坚持阅读，以每天阅读40分钟为标准，超出时间记为正，不足时间记为负，如 表是他一周的阅读时间记录 星期 一 二 四 五 六 日 与标准的差（分钟）》 +8 +10 -5 +7 0 -8 +13 (1)东东这周阅读时间最长的一天比最短的一天多多少分钟？ (2)东东这周的总阅读时间是多少分钟？ 【答案】(1)21（分钟），(2)305（分钟） 【详解】解：(1)因为表格中与标准的差（分钟）的最大值为+13，最小值为-8， 所以东东这周阅读时间最长的一天比最短的一天多的时间为13+8=21（分钟）， (2)因为8+10-5+7+0-8+13=25， 所以东东这周的总阅读时间是25+40×7=305（分钟） 16 第01讲 从自然数到有理数 ☆课程目标☆模块一 课程目标 1. 掌握正数和负数的定义并能够熟练的进行识别。 2. 掌握正数和负数表示的意义，并能够熟练的用正数和负数表示相关的量以及量的范围。 3. 掌握有理数及其有理数的分类，能够熟练的判断有理数的类型以及熟练的对其进行分类。 ☆内容导航☆模块二 内容导航 ☆考点剖析☆模块三 考点剖析 考点一 正数和负数 考点卡片 正数：像3，50，7.8%这样大于0的数叫作正数； 负数：像-3，-10，-0.7%这样在大于零的数前面放上负号“-”的数叫作负数. 一个数前面的“+”“-”号叫作这个数的符号． 0：0既不是正数也不是负数:0既可以是正数负数的分界，在实际意义中，0不仅仅表示“没有”。如0℃表示一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度等。 备注：(1) 不一定是负数，说法：“带正号的数是正数，带负号的数是负数”是不正确的； 字母表示任意数，当是正数时，是负数；当是负数时，是正数；是时，仍是； (2)正数有时可以在前面加“+”，有时也可以省略. 典例分析 1. 下列对“0”的说法正确的个数是（　　） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数；⑤0是自然数． A．2 B．3 C．4 D．5 2. 下列四个数中，是负数的是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3. 对于下列各数：，其中负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4. 下列说法：（1）正数前加上一个负号就是负数；（2）不是正数的数就是负数；（3）只有带“”号的数才是正数；（4）既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5. 如图，两个圈分别表示负数和整数，请把这些数填在适当的位置． 6. 将下列各数填入相应的大括号内： ，，，，，，，，． (1)正数：{　 　 …}； (2)负数：{　 　 …}； (3)既不是正数也不是负数：{　 　 …}； 考点二 相反意义的量 考点卡片 1.相反意义的量：为了表示具有相反意义的量，把0以外的数分为正数和负数。 一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 例：零上表示为+，则表示零下. 2.用正负数表示允许偏差：实际中每个产品不可能做得与标准规格完全一样，通常在某个范围内，只要不影响使用，产品比标准规格稍大或稍小一点，稍轻或稍重一点，都属于合格品.如一瓶水的标准容量是500ml，那么标有500±10ml指的是实际容量在490ml-510ml之间都是可以的. 典例分析 7. 如果收入100元记作元，那么支出80元，记作（  ） A．20元 B．元 C．元 D．元 8. 如果以西安钟楼为中心，小李向东走5m，所在的位置记作+5，那么小红以西安钟楼为中心，向西走7m，所在的位置应记作（　　） A．﹣2 B．+2 C．+7 D．﹣7 9. 下表列出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京时间早）． 城市 纽约 巴黎 东京 与北京的时差/h ﹣13 ﹣7 +1 2025年元月6日19：00，我国中央广播电视总台综合频道CCTV﹣1《新闻联播》节目开始播放时，下列各城市的时间表示错误的是（　　） A．纽约是2025年元月6日6：00 B．巴黎是2025年元月6日11：00 C．东京是2025年元月6日20：00 D．上海是2025年元月6日19：00 10. 下面的四个选项表示的是检验4个工件时的记录，超过标准质量的记作正数，不足标准质量的记作负数，其中最接近质量标准的工件是（    ） A． B． C．0.5 D．1.5 11. 2024年巴黎奥运会乒乓球比赛已经圆满落幕，中国乒乓球队再次展现了其王者之师的风采，更以史无前例的壮举——包揽全部五块金牌，为这场体育盛宴划上了最为辉煌的句号．比赛中，所采用的乒乓球的标准尺寸是40mm±0.05mm，下列尺寸的乒乓球中哪一个是不合格的（　　） A．40.06mm B．40.02mm C．39.97mm D．39.95mm 12. 某零件标明的要求是（单位：mm，Φ表示直径），这种产品合格的最大直径是多少？最小直径是多少？直径是50.2mm的产品，是否合格？ 13. 用正、负数表示下列语句中的数据： （1）节约水，浪费水； （2）向油罐车里注入汽油，放出汽油； （3）南极大陆中部某地的年平均气温是零下56℃，最低气温曾达到零下88.3℃． 14. 某厂一周计划生产700个玩具，平均每天生产100个，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如表是某周每天的生产情况（增产为正，减产为负，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量 +10 ﹣6 ﹣8 +15 ﹣12 +18 ﹣9 （1）根据记录，求出前三天共生产多少个？ （2）请问产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个？ （3）该厂实行计件工资制，每生产一个玩具10元，若按周计算，超额完成任务，超出部分每个12元；若未完成任务，生产出的玩具每个只能按8元发工资，那么该厂员工这一周的工资总额是多少？ 考点三 有理数的概念和分类 考点卡片 1.有理数的相关概念 (1)有理数：整数和分数统称为有理数。 正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数. (2)正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； (3)负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类 （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 典例分析 15. 下列关于有理数的说法正确的是(　　) A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合 C．0既不属于整数也不属于分数 D．整数和分数统称为有理数 16. 下列说法正确的个数是（　　） ①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正的，就是负的；④一个分数不是正的，就是负的． A．1 B．2 C．3 D．4 17. 下列各数：0，，101001001，，，4.2，，其中有理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 18. 在，，0，﹣1，0.12，14，﹣2，﹣1.5这些数中，正有理数有m个，非负整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 19. 在﹣2020，2.3，0，π，﹣4五个数中，非负的有理数共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20. 已知有理数：﹣0.2，+3，，﹣5，0，﹣2，2020，其中非负整数有　 　 ． 21. 把下列各数填入相应的大括号里：，，，，0，，，，10，． 正有理数集合{               …}； 非负整数集合{                  …}； 整数集合{                 …}； 正分数集合{                 …}． 22. 把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ﹣3，2.5，1，﹣0.58，0，，0.3，﹣1.01001000⋯． 整数集合：{ 　 　 ⋯}； 分数集合：{ 　 　 ⋯}； 正有理数集合：{ 　 　 ⋯}； 负有理数集合：{ 　 ，　 ⋯}． ☆课后练习☆模块四 课后练习 1. 在数﹣1，8，2.5，，0，﹣0.01，7.5，﹣4.3中，负数的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2. 在下列数π，﹣21，25%，0，，中，非负有理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3. 下列关于“0”的叙述中，不正确的是（　　） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 4. 给出下列说法： ①一个有理数不是整数就是分数； ②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正整数就是负整数； ④一个分数不是正分数就是负分数．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5. 下列是数的分类，正确的是（　　） A． B． C． D． 6. 所有整数组成整数集合，所有负数组成负数集合，如图阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含的有理数是（　　） A． B．﹣3 C．0 D．5.3 7. 下列具有相反意义的两个量是（　　） A．向东走20米和向南走20米 B．盈利200元和赚了200元 C．零上25℃和零下25℃ D．支出30元和标价30元 8. 已知上周五（周末不开市）股市指数以1900点报收，本周内股市涨跌情况如下（“+”表示比前一天涨，“﹣”表示比前一天跌），则本周三的股市指数为（　　） 星期 一 二 三 四 五 指数变化（点） +50 ﹣30 +10 ﹣20 +50 A．1910点 B．1930点 C．1950点 D．1990点 9. 已知巴黎时间与北京时间相差﹣6小时（即巴黎时间比北京时间晚6个小时）．巴黎时间2024年8月10日15：00开始进行巴黎奥运会乒乓球女子团体决赛，则比赛开始的时间是北京时间（　　） A．8月10日9：00 B．8月10日21：00 C．8月9日9：00 D．8月9日21：00 10. 在实际生活中，我们经常采用“角度+距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以O点为基准点，射线OA的方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度（0°～180°），顺时针方向旋转为负角度（0°～﹣180°），特别地，OA的反向延长线所在的方向记为180°．由于OB方向为OA方向绕O点逆时针旋转90°，点B与点O的距离为1km，因此点B可以用有序数对记为（90°，1），类似地，点C可以记为（﹣15°，4）．以下点的位置标记正确的是（　　） A．点D（4，150°） B．点E（45°，3） C．点F（﹣120°，3） D．点G（60°，2） 11. 在+7，0，，，2024，﹣3，0.25，11中，非负整数有 　 　 个． 12. 小明在每次周测后，都通过比较和上一次考试的分数变化来记录自己成绩变化，将分数提高记作“+”，降低记作“﹣”．已知小明第2次周测实际分数为142分，记录本上他记录为“﹣3”，请问小明第1次周测实际分数为 　 　 分． 13. 给出下列说法： ①0可以表示没有，也可以表示具体的意义； ②0是最小的正整数； ③0是最小的有理数；④0既是负数又是正数；⑤0是最小的自然数． 其中正确说法的序号是 　 　 ． 14. 一袋面包包装上印有“总质量（200±3）g”的字样．小明拿去称了一下，发现质量为198g，则该面包厂家 　 　 （填“有”或“没有”）欺诈行为． 15. 在，﹣8，2025，0，﹣5，+13，，﹣6.9，中，有理数有a个，非负整数有b个，分数有c个，则a﹣b﹣c的值为　 　 ． 16. 如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示﹣723，则“”所表示的数是　 　 ． 17. 六年级一名男生进行一分钟跳绳锻炼．下面是他对自己一周一分钟跳绳个数的统计．他将150个记为0，超出150个的部分用正数表示，不足150个的部分用负数表示．《国家学生体质健康标准》规定：六年级男生一分钟跳绳个数在147个以上（含147个）记为优秀．该同学这一周有　 　 次一分钟跳绳成绩为优秀． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 ﹣10 +5 0 +15 ﹣2 ﹣8 +5 18. 在验光时，验光师经常会以“×××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“﹣0.50D”，近视100度记录为“﹣1.00D”等等．现有5位同学验光记录如下：“﹣0.50D”，“﹣2.50D”，“﹣1.75D”，“﹣2.25D”，“﹣3.50D”，通常，近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，在这5位同学中，需要持续配戴眼镜的有 　　 位． 19. 把下列各数填入如图所示的数集的圈子里 ，0.618，﹣3.14，260，﹣2001，，﹣1，﹣53%，0． 20. “六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具．于是规定每人每天要做50个毛绒玩具，为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：﹣5个． 下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 ﹣3 ﹣2 +4 （1）从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？ （2）小李这周一共生产了多少个毛绒玩具． 21. 现代工业生产中，对产品的尺寸、质量等都设计了标准规格．但是，一般在实际加工中，每个产品不可能都做得与标准规格完全一样．通常在某个范围内，只要不影响使用，产品比标准规格稍大一点，或稍小一点，都属于合格品，而超出这个范围的产品就是不合格的了． 在生产和检验产品时，怎样掌握合格品的尺度呢？ 通常在生产图纸上，对每个产品的合格范围有明确的规定．例如，图纸上注明一个零件的直径是ϕ30时，ϕ表示直径，单位是毫米（mm）．这样标注表示零件直径的标准尺寸是30mm，实际产品的直径最大可以是（30+0.03）mm，最小可以是（30﹣0.02）mm，在这个范围内的产品都是合格的．如果生产了一个零件的直径是29.97mm，它合格吗？这里的给出了允许误差的大小．允许误差一般用正负数的形式写出． （1）直径为30.03mm和直径为29.97mm的零件是否合格？为什么？ （2）你知道还有哪些事件可以用正负数表示允许误差吗？请举例说明． 22. 观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，8，﹣9，…． （1）请写出这一列数中的第100个数和第2011个数； （2）在前2012个数中，正数和负数分别有多少个？ （3）2013和﹣2013是否都在这一列数中，若在，请指出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由． 23. 为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级8班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．以1分钟跳180个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组10名同学1分钟跳绳个数记录如下： +2，﹣5，+3，0，﹣10，+7，﹣7，﹣4，+1，﹣7（单位：个）． （1）求这个小组1分钟每人平均跳绳的个数． （2）为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准1个记“+2”分，每不足1个记“﹣1”分，刚好达到标准记“0”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总积分？ 24. 2023年飞行大会，应我市邀请，俄罗斯特技飞行队在瑶湖风景区进行特技表演．其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 上升5.5km 下降3.2km 上升1km 下降1.5km 下降0.8km 记作 +5.5km ﹣3.2km +1km ﹣1.5km ﹣0.8km （1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ （2）若飞机平均上升1千米需消耗4升燃油，平均下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 25. 2024年4月23日是联合国教科文组织确定的第29个“世界读书日”，某校开展了“浸润书香，为人生奠基”读书活动．东东坚持阅读，以每天阅读40分钟为标准，超出时间记为正，不足时间记为负，如表是他一周的阅读时间记录． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与标准的差（分钟） +8 +10 ﹣5 +7 0 ﹣8 +13 （1）东东这周阅读时间最长的一天比最短的一天多多少分钟？ （2）东东这周的总阅读时间是多少分钟？ 学科网（北京）股份有限公司 $