第06讲 平方根与实数复习讲义 2026--2027学年浙教版七年级数学上册

第06讲 平方根与实数 ☆课程目标☆模块一 课程目标 1.掌握平方根及算术平方根的定义及性质，并能够熟练解决相应的题目； 2.掌握算术平方根的估算方法，能够熟练的对算术平方根进行估算。 3.掌握无理数及实数的概念分类，能够准确的进行分类； 4.掌握实数与数轴的关系，能够熟练的用于比较大小题型及各种题目； ☆内容导航☆模块二 内容导航 ☆考点剖析☆模块三 考点剖析 考点一 平方根的概念及其性质 考点卡片 1.平方根的概念： 一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫作a的 平方根 ，也叫作的二次方根。 2.平方根的性质：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根. 一个正数的正平方根用“”表示，读作“根号”； 的负平方根用“-”表示，读作“负根号”； 一个正数的平方根用“±”表示，读作“正、负根号”其中叫作被开方数. 3.求一个数的平方根：求一个数的平方根的运算就做开平方，与平方运算互为逆运算。 典例分析 1. 16的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 2. 的平方根是（　　） A． B． C． D． 3. 方程的解是（   ） A．， B． C． D．， 4. 下列各数中，没有平方根的是（      ） A．65 B． C． D． 5. 求下列各数的平方根： (1)121； (2)； (3)； (4)． 6. 求下列各式中x的值： (1) (2) 7. 已知一个正数的两个平方根分别为a+3和2a﹣12.求的值,并求这个正数. 8. 已知2m＋3和4m＋9是一个正数的平方根，求m的值和这个正数的平方根． 9. 已知的平方根是的平方根是，求的平方根． 考点二 算数平方根 考点卡片 1.算术平方根的概念：正数的正平方根称为算术平方根，0的算数平方根是0. 一个数（的算数平方根记作“”. 2.算术平方根的性质： ①正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根。0的算术平方根是0本身。 ②算术平方根的双重非负性： 只有 非负数 才有算术平方根，且它的算术平方根也是一个 非负数 。即a≥0且≥0. ③一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身。即 。 ④一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。再根据这个数的正负去绝对值符号。 即= |a| 。 ⑤被开方数小数点向右（或向左）每移动2位，结果就向右（或向左）移动1位. 典例分析 10. 下列说法正确的是（    ）． A．4是的算术平方根 B．0的算术平方根是0 C．是算术平方根 D．的算术平方根是 11. 在下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 12. 算术平方根等于它本身的数是（   ） A．1和0 B．0 C．1 D．和0 13. 若一个数的算术平方根为4，则这个数是（    ） A．2 B． C．16 D． 14. 如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（　　） A． B．9 C．3 D． 15. 已知， ，那么 ． 16. 求下列各数的算术平方根： (1)900； (2)1； (3)； (4)14． 17. 已知的算术平方根是3，b、c满足． (1)求a、b、c的值： (2)求的平方根． 18. 圆柱的体积等于底面积乘高．如图，用h表示圆柱的高，r表示底面半径，V表示圆柱的体积．（结果中均保留π） (1)用含字母h，r的代数式表示圆柱的体积V． (2)求底面半径为，高为的圆柱的体积． (3)若圆柱体积，高，求圆柱的底面半径r． 19. 如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 考点三 无理数和实数的概念 考点卡片 1.估算算术平方根的方法——夹逼法： 具体步骤： ①估算被开方数在那两个完全平方数之间（若一个数能被写成某个整数的平方，则称这个数为平方数）； ②确定无理数的整数步骤； ③按要求估算。 理论依据： 被开方数越大，则对应的算术平方根也越大。 2.无理数的概念：无限不循环小数叫作无理数。 3.无理数的三种形式：①含有 根号 ，且被开方数开方 开不尽 。 ②π以及化简后含有π的数。 ③具有特定结构的数。如0.1010010001... 4.实数的概念：有理数和无理数统称为实数 5实数的分类 按照定义分类 按照符号分类 典例分析 20. 45的算术平方根在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 21. 若，则满足条件的可能是（    ） A．8 B．9 C．15 D．18 22. 若的整数部分为，小数部分为，则 ． 23. 实数、、、、、中，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 24. 下列说法中，正确的是（    ） A．无理数一定是实数 B．实数都是有理数 C．一个正数的平方根一定是正数 D．无理数包括了0 25. 已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 26. 聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数． ①______；②______；③______；④______；⑤______；⑥______； 27. 把下列各数填在相应的表示集合的大括号内（填序号）： ①，②π，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨0，⑩（每两个1之间依次多一个0）． 正数：{   …}； 整数：{   …}； 分数：{   …}； 非负有理数：{   …}； 无理数：{   …}； 负实数：{   …}． 考点四 实数与数轴的关系及比较大小 考点卡片 1. 实数与数轴的关系： 实数与数轴上的点 一一对应 关系。数轴上每一个点都只能表示1个实数，每一个实数都只能找数轴上找一个点来表示它。 2. 利用数轴表示实数的大小： 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大. 3. 其他实数比较大小的方法： （1）同有理数的比较大小方法 （2）估算法：先估算除无理数的大小，在和其他实数进行比较。 （3）作差法比较：对两个实数进行作差，根据差的情况比较。①若，则 ； ②若，则 ；③若，则 ； （4）平方法比较：两个正实数同时平方，平方后的数越大，则原数 越大 。两个负实数同时平方，平方后的数越大，原数反而 越小 。 典例分析 28. 在数轴上，下列四个数对应的点与原点距离最近的是（　　） A． B． C． D． 29. 在数，0，和中，绝对值等于它本身的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30. 如图，一条数轴被墨水覆盖了一部分，被覆盖的数可能为（    ） A． B． C． D． 31. 如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　） A． π B． C． D． 32. 如图，数轴上的点A表示的数为2，，以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于C，D两点，点C在点A右侧，则点C表示的数是（   ） A． B． C． D． 33. 三个数，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 34. 若是实数，且，则下列关系式成立的是（ ） A． B． C． D． 35. 比较大小： 1． 36. 将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”号把它们连接起来． ． ☆课后练习☆模块四 课后练习 1. 下列说法正确的是（    ） A．9的平方根是3 B．的平方根是 C．没有平方根 D．2是4的一个平方根 2. “的平方根是”用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 3. 下列数中能使成立的的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4. 下列四个数：2，，，，其中最小的数是（    ） A．2 B． C． D． 5. 下列各数中：，0，，，，，0.101001中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6. 下列各数中与最接近的是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 7. 下列正确的是（　　） A．6是36的算术平方根，即 B．6是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即± D．是4的平方根，即 8. 下列有关平方根的叙述，正确的个数是（    ） ①如果a存在平方根，那么a>0；②如果a有两个不同的平方根，那么a>0；③如果a没有平方根，那么a<0；④如果a>0，那么a的平方根也大于0 ． A．1 B．2 C．3 D．4 9. 若是的算术平方根，是的小数部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 10. 如图，半径为1个单位长度的圆上有一点与数轴上表示的点重合，若将该圆沿数轴向右滚动一周，圆上的点恰好与数轴上的点重合，则点对应的实数为（      ） A． B． C． D． 11. 已知某数的一个平方根为，它的另一个平方根是 ． 12. 若没有平方根，则 ． 13. 比较大小： （填“”、“”或“”）． 14. 已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的平方根是 ． 15. 求下列各式中x的值． (1)； (2)． 16. 把下列各数分别填入相应的集合里： ，3，，，，0，，，，，（相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1）． 正有理数集合：{ …} 负分数集合：{ …} 无理数集合：{ …} 17. 如果一个正数的两个平方根分别是和，的算术平方根是1． (1)求和的值． (2)求的算术平方根． 18. 已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 19. 经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计． (1)一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 20. 根据物理学原理可知，用电器的电阻（单位：）、功率（单位：）与它两端的电压（单位：）之间有如下关系：．在一次物理实验中，博学小组测得某个电路中一个小灯泡的电阻为，功率为，求该灯泡两端的电压． 21. 素材1：如图，某公司计划在3块并排的正方形地基上建造厂房，地基的总面积为． 素材2：又计划在厂房的一边建造一个面积为的长方形仓库，为节省材料，仓库一边与厂房共用一面墙，并且共用部分不超过厂房的某一边长，不考虑门窗，另外三边用塑钢材料围成，仓库的长与宽之比为．根据上面两个素材，回答下列问题： (1)求每块正方形地基的边长； (2)通过计算说明能否按照要求建造出长方形仓库，若能，求出该仓库的长与宽；若不能，请说明理由． 22. 如图①是由4个面积相同的小正方形组成的图形，面积为4． (1)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (2)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与重合，那么点在数轴上表示的数为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $年 浙教版七年级上册预习讲义（数学）】 级 第06讲平方根与实数 模块一 课程目标 ☆课程目标☆ 1.掌握平方根及算术平方根的定义及性质，并能够熟练解决相应的题目； 2.掌握算术平方根的估算方法，能够熟练的对算术平方根进行估算。 3.掌握无理数及实数的概念分类，能够准确的进行分类； 4.掌握实数与数轴的关系，能够熟练的用于比较大小题型及各种题目： 模块二 内容导航 ☆内容导航☆ 概念：x2=a,x就是a的平方根 考点一平方根的概念及其性质 正数有两个平方根互为相反数：0的平方根是0：负数没有平方根 概念：非负的平方根 考点二算数平方根 总 性质：双重非负性，逆运算等 夹逼法估算算术平方根 考点三无理数和实数的概念 无理数：无限不循环小数；实数：有理数和无理数， 实数和数轴上的点一一对应 考点四实数与数轴的关系及比较大小 比较实数大小的方法 模块三 考点剖析 ☆考点剖析☆ 考点一平方根的概念及其性质 考点卡片 1.平方根的概念： 一般地，如果一个数a的平方等于，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根。 2平方根的性质：一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根 一个正数a的正平方根用“Va”表示，读作“根号a”; a的负平方根用“-√a”表示，读作“负根号a”; 一个正数a的平方根用“±Va”表示，读作“正、负根号a”其中a叫作被开方数。 3求一个数的平方根：求一个数的平方根的运算就做开平方，与平方运算互为逆运算。 典例分析 1.16的平方根是() A.4 B.-4 C.±4 D.±2 【答案】C 65 浙教版七年级上册预习讲义（数学） 级 【详解】解：（±4）2=16， ∴16的平方根是士4， 故选：C 2.(-0.7)2的平方根是（) A.-0.7 B.±0.7 C.0.7 D.0.49 【答案】B 【详解】解：：(-0.7)2-0.49， 又（±0.7）2-0.49， .0.49的平方根是±0.7 故选：B 3.方程x2-25=0的解是() A.x1=5,x2=0B.x=-5 C.=5 D.x1=5,x2=-5 【答案】D 【详解】解：x2-25-0 x2=25, 解得：x1=5,x2=-5, 故选：D 4.下列各数中，没有平方根的是() A.65 B.（-2)2 C.-22 D.2 【答案】C 【详解】A、B、D都是正数，故都有平方根； C是负数，故C没有平方根； 故选C 5.求下列各数的平方根： (1)121; (2)0.01: (3)23 (4)(-13)2 【答案】(111(2H0.1(3)肚号 (4)肚13 【详解】(1)解：√2=±11； (2)v0.0I=±0.1： (4)±V-13)2=±13. 6.求下列各式中x的值： (1)4x2-9=0 (2)(2x-1)2=4 【答案】(=±2-减-月 【详解】(1）解：4x2=9 r2-9 =± (2)解：2x-1=±2 即2x1=2或2x1=-2 减 7.已知一个正数的两个平方根分别为a+3和2a-12.求的值，并求这个正数. 【答案】36 【详解】分析：因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系可列出方程，求出，然后求出这个正数 的两个平方根，再根据平方根的定义即可求出这个数， 详解：由题意可知， 66 浙教版七年级上册预习讲义（数学） 级 a+3+2a-12-0 3a=9 a=3 所以a+3=3+3=6 所以（a+3)2=62=36 故这个正数为36. 8.已知2m+3和4m+9是一个正数的平方根，求m的值和这个正数的平方根 【答案】m=-2时，平方根为±1；m=3时，平方根为士3 【详解】由题可知：当两个数互为相反数时 (2m+3)H(4m+9)=0, 解得：m=-2, ∴.2m+3=2×(-2)+3=-1, 4m+9=4×(-2)+9=1, “,这个正数的平方根为±1. 当两数相等时 (2m+3)-(4m+9)=0 解得：m=-3 ∴.2m+3=2×(-3)+3=-3 则这个正数的平方根为土3 9.已知2a1的平方根是±3,2a+b1的平方根是±4，求a+2b的平方根 【答案】9 【详解】解：，2a-1的平方根是3， ∴.2a-1=(±3)2-9， a=5. ,2a+b-1的平方根是±4， ∴.2a+b-1=(±4)2=16， 则2×5+b-1=16, 解得b=7. ∴.a+2b=19, ,19的平方根为士√19 ∴.a+2b的平方根为士V19. 考点二算数平方根 考点卡片 1.算术平方根的概念：正数的正平方根称为算术平方根，0的算数平方根是0. 一个数a(a≥0)的算数平方根记作“Va” 2算术平方根的性质： ①正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根。0的算术平方根是0本身。 ②算术平方根的双重非负性： 只有非负数才有算术平方根，且它的算术平方根也是一个非负数。即≥0且V瓜≥0. ③一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身。即(V反)=a一。 ④一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。再根据这个数的正负去绝对值符号。 即vaz=lal。 ⑤被开方数小数点向右（或向左）每移动2位，结果就向右（或向左）移动1位. 浙教版七年级上册预习讲义（数学】 级 典例分析 10.下列说法正确的是（ A.4是V6的算术平方根 B.0的算术平方根是0 C.-2是(-2)2算术平方根 D.-4的算术平方根是-2 【答案】B 【详解】A.4是16的算术平方根，故原选项错误； B.0的算术平方根是0，故原选项正确； C.2是(-2)算术平方根，故原选项错误； D.一4没有算术平方根，故原选项错误， 故选B. 11.在下列各式中正确的是() A.V-2)2=-2 B.±V9=3 C.V16=8 D.V22-2 【答案】D 【详解】解：A、√2)=2，故该选项不符合题意； B、V⑨=±3，故该选项不符合题意； C、√6-4，故该选项不符合题意； D、V2=2,正确，故该选项符合题意； 故选：D. 12.算术平方根等于它本身的数是（) A.1和0 B.0 C.1 D.-1和0 【答案】A 【详解】解：算术平方根等于本身的数有：0,1 故选：A. 13.若一个数的算术平方根为4，则这个数是() A.2 B.-2 C.16 D.±16 【答案】C 【详解】解：一个数的算术平方根为4， 故这个数为42=16， 故选C 14.如图是一个数值转换器， 当输入的x的值为81时，输出的y的值是() 不是有理数 输入x 取算术平方根 输出y 是有理数 A.5 B.9 C.3 D.-V3 【答案】A 【详解】解：第一次输入=81，则V⑧I=9,是有理数； 第二次输入=9，则V9=3,是有理数； 第三次输入=3，则V5不是有理数，所以输出=√5 故选：A. 15.已知V0.172010.4147,V17.201≈4.147，那么0.0017201≈. 【答案】0.04147 【详解】解：√17.20I4.147, V17.201=V0.0017201×10000=V0.0017201×1004.147, ∴.V0.00172010.04147, 68 年 浙教版七年级上册预习讲义（数学）】 七 级 故答案为：0.04147 16.求下列各数的算术平方根： (1)900: (2)1; (6赠 (4)14. 【答案】(1)30 (2)1 6 (4)14 【详解】(1)：302-90， 900的算术平方根为30； (2)12=1, 1的算术平方根为1： (3)器 “恕的算术平方根为号 (4)(W14)2=14, .14的算术平方根为V14 17.已知4a+1的算术平方根是3，b、c满足b-5+Vc+I=0. (I)求a、b、c的值： (2)求(a+b+c)2的平方根 【答案】(1)a=2,b-5,c=-1;(2)肚6. 【详解】(1)解：4a+1的算术平方根是3， ∴.4a+1=32=9, ,∴.a=2 :b、c满足b-5+c+1=-0, ∴.b-5=0,c+1=0, .b=5,c=-1; (2)由(1)可知a=2,b-5,c=-1 ∴.(a+b+c)2=(2+5-1)2=36 ∴.36的平方根是士6. 18.圆柱的体积等于底面积乘高.如图，用h表示圆柱的高，r表示底面半径，V表示圆柱的体积.（结果中 均保留π)》 (I)用含字母h,r的代数式表示圆柱的体积V. (2)求底面半径为2cm,高为5cm的圆柱的体积 (3)若圆柱体积=75cm3,高h=5cm,求圆柱的底面半径r. 【答案】(1)=π2h;(2)20mcm3; (3)圆柱的底面半径为√5厘米 【详解】(1）解：圆柱的体积=π2h: (2)解：底面半径为2cm,高为5cm时， 圆柱的体积：π×22×5=20π(cm3); (3)解：=2h, .75=2×5, 解得=V15或=V15(舍去)， ∴圆柱的底面半径为V巧厘米 69 浙教版七年级上册预习讲义（数学）】 级 19.如图，用两个面积为50cm的小正方形纸片拼成一个大正方形 ()求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为2：1 且面积为72cm?她不知能否剪得出来，正在发愁.小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪 出一块面积小的纸片，”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【答案】(1)10cm (②)解：不同意小明的说法，我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片，理由见解析 【详解】(1)解：：用两个面积为50cm的小正方形纸片拼成一个大正方形， ∴.大正方形的边长为V50+50=√100=10(cm): (2)解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片」 理由如下： 设长方形纸片的长为2xcm,宽为Cm,根据题意得2x·=72,解得6或=6（负值，舍去），即长方形 的长为6×2=12cm,宽为6cm, :10<12,不符合题意， ∴小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片 考点三无理数和实数的概念 考点卡片 1.估算算术平方根的方法—夹逼法： 具体步骤： ①估算被开方数在那两个完全平方数之间（若一个数能被写成某个整数的平方，则称这个数为平方数： ②确定无理数的整数步骤； ③按要求估算。 理论依据： 被开方数越大，则对应的算术平方根也越大。 2无理数的概念：无限不循环小数叫作无理数。 3无理数的三种形式：①含有根号，且被开方数开方开不尽。 ②T以及化简后含有π的数。 3具有特定结构的数。如0.1010010001.. 4.实数的概念：有理数和无理数统称为实数 5实数的分类 按照定义分类 按照符号分类 正有理数 正有理数 正实数 有理数 0 有限小数或无限循环小数 正无理数 负有理数 实数 实数 0 正无理数 负有理数 无理数 无限不循环小数 负实数 负无理数 负无理数 70 浙教版七年级上册预习讲义（数学）】 级 典例分析 20.45的算术平方根在（) A.5和6之间B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间 【答案】B 【详解】解：：√36<4<√49 ∴.6<45<7， 45的算术平方根在6和7之间. 故选：B 21.若3<a<4,则满足条件的a可能是（) A.8 B.9 C.15 D.18 【答案】C 【详解】解：：3<√a<4, ∴.V<a<W16, ∴.9<a<16,即选项C符合题意 故选C. 22.若V5的整数部分为a,小数部分为b,则a+b= 【答案】V5 【详解】1<3<4 ∴1<5<2， ∴a=1,b=3-1, ∴.a+b1+V5-1=V3 故答案为：V5. 23.实数号、-子0.10101001、诉、、4中，无理数的个数是(） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】解：V4-12是整教，是分数，0.1010010001是有限小数，这些都属于有理数： 无理教有盟洱，，共有3个 故选：C 24.下列说法中，正确的是（) A.无理数一定是实数 B.实数都是有理数 C.一个正数的平方根一定是正数 D.无理数包括了0 【答案】A 【详解】解：A、无理数一定是实数，说法正确，故该选项符合题意； B、实数包括有理数和无理数，故该选项不符合题意； C、一个正数的算术平方根一定是正数，故该选项不符合题意； D、无理数不包括0，故该选项不符合题意； 故选：A 25.已知下列实数：①0，②5，③V4,④g,⑤3.21，⑥2，其中整数有： 分数有： 无理数有： ·（只需填写序号) 【答案】①③，⑤⑥，②④ 【详解】解：V4-2, 由题意可得， 整数有：①③， 71 浙教版七年级上册预习讲义（数学） 级 分数有：⑤⑥， 无理数有：②④， 故答案为：①③，⑤⑥，②④. 26.聪聪在学完实数后，对数进行分类时，发现“实数”、“整数”、“正数”、“无理数”有如图所示的关系，请 你在图中的横线上按对应序号分别填上一个适合的数. ① ；② ③；④；⑤；⑥ ； 实数 正数 整数③ ④ 无理数 ⑥ 【答案】见解析 【详解】解：实数分为有理数与无理数，也可分为正实数，0，负实数，所以实数下横线填负数；正数分为 正有理数，正无理数，正数下的横线上填正有理数；整数分为正整数，0，与负整数，整数下横线填0与负 整数；无理数分为正无理数，负无理数，无理数下横线填负无理数，整数与正数公共部分填正整数，无理 数与正数公共部分填正无理数，填数如下： 实数 -2.5 正数 +1.5 整数 0 无理数 -V2 即①负分数，如-②正分数，如：；③正整数，如1： ④正无理数，如π；⑤0；⑥负无理数，如-V2 27.把下列各数填在相应的表示集合的大括号内（填序号)： ①-2，②m,③-5④-3引，⑤号，⑥-0.3，⑦-V4,⑧V5,⑨0，⑩1.1010010001…（每两个1之间依次多 一个0). 正数：{ .}; 整数：{ .}; 分数：{ .}; 非负有理数：{ …} 无理数：{ .}; 负实数：{ …} 【答業】②⑤⑧⑩；①④⑦⑨；③⑤⑥：⑤⑨：②⑧⑩；①③④⑥⑦ 【详解】解：3=-3，-√4=-2， 正数：{②⑤⑧⑩}： 整数：{①④⑦⑨…}： 分数：{③⑤⑥.…}： 非负有理数：{⑤⑨.…}： 无理数：{②⑧⑩.…}； 负实数：{①③④⑥⑦.}： 故答案为：②⑤⑧⑩；①④⑦⑨：③⑤⑥；⑤⑨；②⑧⑩；①③④⑥⑦ 72 年 浙教版七年级上册预习讲义（数学） 级 考点四实数与数轴的关系及比较大小 考点卡片 1.实数与数轴的关系： 实数与数轴上的点 一一对应关系。数轴上每一个点都只能表示1个实数，每一个实数都只能找数 轴上找一个点来表示它。 2.利用数轴表示实数的大小： 在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大 3.其他实数比较大小的方法： （1)同有理数的比较大小方法 (2)估算法：先估算除无理数的大小，在和其他实数进行比较。 (3)作差法比较：对两个实数进行作差，根据差的情况比较。①若a-b>0,则a>b; ②若a-b=0,则a=b;③若a-b<0,则a≤b; (4)平方法比较：两个正实数同时平方，平方后的数越大，则原数越大。两个负实数同时平方，平 方后的数越大，原数反而越小。 典例分析 28.在数轴上，下列四个数对应的点与原点距离最近的是() A.-2 B.1 C.2 D.2 【答案】B 【详解】解：：-2=2川 ∴数1对应的点与原点距离最近， 故选：B. 29.在数0.1,0,64和4-π中，绝对值等于它本身的共有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【详解】解：0.10.1，绝对值不等于它本身 00,绝对值等于它本身 64-4,W6网4，绝对值不等于它本身 4π4-π，绝对值等于它本身 绝对值等于它本身的共有2个； 故选：B 30.如图，一条数轴被墨水覆盖了一部分，被覆盖的数可能为() -3-2-10123 A.-V3 B.5 C.-1 D.-2 【答案】A 【详解】解：1<3<4， .1<5<2, ∴.-2<-V3<-1 由数轴可知被覆盖的数在-2和-1之间， ∴被覆盖的数可能为-V3, 故选：A 73 浙教版七年级上册预习讲义（数学） 级 31.如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示-1的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一 周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（) -3 -2 -10 A.π B.-1+元 C.-π D.-1-π 【答案】B 【详解】解：由题意可得圆的周长为π×1=π， ,将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置， ∴，点B表示的数是-1+π， 故选：B 32.如图，数轴上的点A表示的数为2，AB=V10,以点A为圆心，AB的长为半径画孤，与数轴交于C,D 两点，点C在点A右侧，则点C表示的数是() A A.V10+2 B.V10-2 C.2V10 D 【答案】A 【详解】解：由题意得：AC=AB=V⑩； ,点C在点A右侧， ∴.点C表示的数是V10+2: 故选：A 33.三个数-π，-3，-V3的大小关系是() A.-π<-3<-V3 B.-π<-V5<-3 C.-3<-π<-V3 D.-V3<-3<-π 【答案】A 【详解】因为3引√3，所以--3<-√3 故选：A. 34.若a、b是实数，且a<b,则下列关系式成立的是( A.va<vb B.lal<lbl c.< D.=1 【答案】C 【详解】解：a、b是实数，且a<b, A.当0<a<b时√a<Vb,故该选项不正确，不符合题意； B.当0<a<b时l<bl,故该选项不正确，不符合题意； C.由ab得V匠<√厅，故该选项正确，符合题意； D.当0<a<b时a=1,故该选项不正确，不符合题意； 故选：C. 35.比较大小：V7-21. 【答案】< 【详解】解：√7-2-1=V7-3=√7-V<0,∴.√7-2<1， 故答案为：< 36.将下列各数在数轴上表示出来，并用“<”号把它们连接起来. 74 年 浙教版七年级上册预习讲义（数学）】 级 32L月 -43-2寸01 23456→ 【答案】见解析，3<8<-2斗 【详解】解：区-2，上22，号 各数在数轴上表示为： 9 -38,2 V41-21 -4-3-2 0 32g456→-3<2 模块四 课后练习 ☆课后练习☆ 1.下列说法正确的是() A.9的平方根是3 B.-9的平方根是-3 C.(-2)2没有平方根 D.2是4的一个平方根 【答案】D 【详解】解：A.9的平方根是±3，选项错误，不符合题意； B.-9没有平方根，选项错误，不符合题意； C.(-2)的平方根为±2，选项错误，不符合题意； D.2是4的一个平方根，选项正确，符合题意. 故选：D 2“品的平方根是±好用数学式子表示为() A号 93 B.8 【答案】C 【详解】解：(-云 居 故选：C 3.下列数中能使(x-2)2-0成立的x的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【详解】解：，Gx-2)2-0, x-2-0, 解得=2 故选：B. 4下列四个数：2,5，-山，其中最小的数是() A.2 B.月 C.v5 D.-1 【答案】B 【详解】解：-<-1<2<5， “最小的数是：一 6 故选：B 5.下列各数中：号，0，，V8,27,5,0.10101中，无理数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 浙教版七年级上册预习讲义（数学）】 级 【答案】B 【详解】解：只0，⑧，27-3，票0.101001中，是无理数的有：；⑧，9，共3个： 故选B 6.下列各数中与V15最接近的是() A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【详解】解：3.52-12.25,42=16,12.25<15<16， .3.5<1<4, ∴.与V15最接近的是4， 故选：B 7.下列正确的是（) A.6是36的算术平方根，即V36=±6B.6是(-6)的算术平方根，即V(6)2=6 C.±7是49的平方根，即±V49-7 D.±2是4的平方根，即V4=±2 【答案】B 【详解】解：A.6是36的算术平方根，即V366,因此选项A不符合题意； B.6是(6)的算术平方根，即√-6)2=6，因此选项B符合题意； C.±7是49的平方根，即V49=±7，因此选项C不符合题意； D.2是4的平方根，即4±2，因此选项D不符合题意. 故选：B. 8.下列有关平方根的叙述，正确的个数是() ①如果a存在平方根，那么a>0;②如果a有两个不同的平方根，那么a>0;③如果a没有平方根，那么a<0; ④如果a>0,那么a的平方根也大于0. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【详解】若a≥0，a有平方根，所以①不正确，不符合题意； 正数有两个平方根，且互为相反数，所以②正确，符合题意： 0的平方根为0，所以③正确，符合题意； 正数的平方根有两个，它们互为相反数，所以④不正确，不符合题意 故选B. 9.若a是V16的算术平方根，b是V的小数部分，则a+bVI的值为（) A.-1 B.1 C.0 D.-2 【答案】A 【详解】解：，a是VI6的算术平方根， ∴.a=2, V<<16,即3<而<4， ∴.b=-3, ∴.a+b-V1Π=2+而-3-VT=-1, 故选：A 10.如图，半径为1个单位长度的圆上有一点A与数轴上表示-1的点重合，若将该圆沿数轴向右滚动一周， 圆上的点A恰好与数轴上的点B重合，则点B对应的实数为() A.π-1 B.π+1 C.2π-1 D.2π+1 76 年 浙教版七年级上册预习讲义（数学）】 七 级 【答案】C 【详解】圆的周长=2π×1=2π， ∴点B对应的实数是2π-1. 故选：C 11.已知某数的一个平方根为√6，它的另一个平方根是 【答案】v6 【详解】解：已知某数的一个平方根为V6,它的另一个平方根是-V6, 故答案为：-V6 12.若m-4没有平方根，则m-5 【答案】5-m/-m+5 【详解】解：：m-4没有平方根， .m-4<0, .m<4, m-5<0, .m-5片5-m, 故答案为：5-m 13.比较大小： （填>”、“<”或=”】 【答案】< 【分析】本题考查实数比较大小，根据无理数的估算方法，比较大小即可 【详解】解：5<6.25， 5<2.5, ∴.V5-1<1.5, 故答案为：< 14.已知2a-1的平方根是土3,3a+b-1的算术平方根是4，那么a-2b的平方根是 【答案】1 【详解】解：2a-1的平方根是±3， .∴.2a-1=9 解得a=5; ,3a+b-1的算术平方根是4， ∴.3a+b-1=16 .3×5+b-1=16 解得b-2, ∴.a-2b=5-2×2=1 ∴a-2b的平方根是：VT=±1. 故答案为：±1. 15.求下列各式中x的值 (1)2x2=18; 22+2-号 【答案】(1=±3(2=±马 【详解】(1)解：2x2-18, x2=9, 解得=±3： （(2)解：+2日 2号-2 年 浙教版七年级上册预习讲义（数学）】 级 ±3 16.把下列各数分别填入相应的集合里： -24,3,号，1片0.15,0,6（-228)，3.4，十4,0.141041004（相邻两个1,4之间的0的个 数逐次加1) 正有理数集合：{ } 负分数集合：{一…} 无理数集合：{ } 【答案】3,1片，-(228)，314：24，号，0.15：品6,0.14104104（相邻两个1,4之间的0的个数逐 次加1) 【详解】解：-（-2.28)=2.28，--4-4， 正有理数集合：(3,1片，（-2.28)，3.14)： 负分数集合：(24,9-0.15-)）月 无理数案合：京，014104104（相年两个1,4之间的0的个载逐次加1》 17.如果一个正数m的两个平方根分别是2a-3和a-9,+2的算术平方根是1. (1)求m和n的值. (2)求m-11n的算术平方根。 【答案】(1)m=25,n=-1(2)6 【详解】(1)解：：一个正数m的两个平方根分别是2a-3和a-9, ∴.2a-3+a-9-0, 解得：a=4, .2a-3=5, .m=25, ,n+2的算术平方根是1 ∴.n+2=1 .n=-1; (2)由(1)得m=25,n=-1, ∴.m-11n=25+11=36, ∴.m-11n的算术平方根为6. 18.已知实数a,b,c满足：Va-5+lb+4+(c-3)2=0,求： (1)a,b,c的值 (2)a+b+c的平方根 【答案】(1)a=5,b-4,c=3(2)a+b+c的平方根为±2 【详解】(1)解：V-5+b+4+(c-3)2-0,且va-520,b+420,(c-3)2≥0， ∴.Va-5-0,b+4|-0,(c-3)2-0, 解得：a=5,b-4,c-3: (2)解：由(1)得：=5，b-4,c=3, ∴.a+b+c=5-4+3=4, .4的平方根为±2， 即a+b+c的平方根为士2. 19.经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离h(米)和下落时间1（秒）可以用公式仁， 来估计。 (1)一个物体从125米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 年 浙教版七年级上册预习讲义（数学） 七 级 【答案】(1)5秒 (2)20米 【详解】(1)解：当h=125米时仁 唇s() 答：落到地面需要5秒； (2)解：当2秒时片=4， 解得：h=20, 答：物体下落前离开地面20米 20.根据物理学原理可知，用电器的电阻R(单位：Ω人功率P(单位：W)与它两端的电压U(单位：V) 之间有如下关系：P ,在一次物理实验中，博学小组测得某个电路中一个小灯泡的电阻为122，功 率为1200W,求该灯泡两端的电压. 【答案】该灯泡两端的电压是120V 【详解】解：根据题意得R=122,P-1200W, 代入P号得1200份 整理，得U2-1200×12, :U>0, ∴.U=V1200×12=120V, 答：该灯泡两端的电压是120V. 21.素材1：如图，某公司计划在3块并排的正方形地基上建造厂房，地基的总面积为1200m2. 素材2：又计划在厂房的一边建造一个面积为300m的长方形仓库，为节省材料，仓库一边与厂房共用一面 墙，并且共用部分不超过厂房的某一边长，不考虑门窗，另外三边用塑钢材料围成，仓库的长与宽之比为 5:2.根据上面两个素材，回答下列问题： (1)求每块正方形地基的边长； (2)通过计算说明能否按照要求建造出长方形仓库，若能，求出该仓库的长与宽；若不能，请说明理由， 【答案】(1)20m(2)能，该长方形仓库的长为5V30m,宽为2V30m,计算见解析 【详解】(1)解：由题意得：每块正方形地基的面积为1200-3=400(m), 所以正方形地基的边长为V400=20(m) 答：每块正方形地基的边长为20m (2)解：能按照要求建造出长方形仓库 设该仓库的长为5xm,宽为2m. 由题意，得5x·2x=300,解得x=V30或-V30(不合题意，舍去)， 则该长方形仓库的长为5x=5V30m,宽为2-2V30m. ,5<√30<6，∴.25<5vV30<30,10<2V30<12, 79 年 浙教版七年级上册预习讲义（数学》 七 级 .该长方形仓库的长为5V30m,宽为2V30m. 22.如图①是由4个面积相同的小正方形组成的图形，面积为4. B A -4-3-2-1012345→ 图① 图② (I)图①中阴影部分是一个正方形ABCD,求出阴影部分的面积及其边长； (2)把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与-1重合，那么，点D在数轴上表示的数为_ 【答案】(1)边长都是1，面积2(2)1-V2 【详解】(1)解：设正方形的边长为x,则x2-4,解得：x=2: ∴每个小正方形的边长都是1， 六正方形ABCD的边长为：V2+=V2,S正方形4BcD(②)=2： (2)解：：正方形ABCD的边长为V2,点A与-1重合，点D在数轴上表示的数为：-1-V2, 故答案为：-1-V2. 80