第3章第7讲实数及其运算（3.2、3.4）专题讲义2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第3章 实数　第7讲 实数及其运算(3.2、3.4) 第3章 实数 第7讲 实数及其运算(3.2、3.4) 专题讲义 (一)实数的分类及大小比较 例题精析 例 1 把下列各数填在相应的横线上： ，，，0，π，-3.14，2.9，1.3030030003⋯（每两个“3”之间依次多一个“0”） 正有理数：＿＿＿； 无理数：＿＿＿； 负实数：＿＿＿； 分数：＿＿＿。 ▍思路点拨 根据正有理数的意义，将正有理数写在正有理数集合内；根据无理数的意义，将无理数写在无理数集合内；根据负实数的意义，将负实数写在负实数集合内；分数包括正分数与负分数，注意：有限小数与无限循环小数都是分数。 ▍过程详解 解：正有理数：，，2.9； 无理数：，π，1.3030030003⋯（每两个“3”之间依次多一个“0”）； 负实数：，-3.14； 分数：，-3.14，2.9。 ▍总结升华 无理数是无限不循环小数，与有理数的根本区别是有理数能表示成（m，n 为整数，且 n≠ 0）。 变式 1 把下列各数的序号填在相应的横线上： ①； ②； ③π-1； ④+1； ⑤-3.14； ⑥； ⑦0；⑧2.828828882⋯（两个2之间依次多1个8）。 整数：＿＿＿；负分数：＿＿＿；无理数：＿＿＿。 例 2 阅读材料，回答问题。 下框中小马的作业，老师看了后，找来小马。 问道：“小马，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？” 小马点点头。 老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答。” 请你帮小马将上面的作业做完。 ▍思路点拨 根据对无理数的认识可得-π，是无理数，然后将，-4，2 表示在数轴上，接下来根据数轴上左边的数小于右边的数进行比较。 ▍过程详解 解：把实数，-π，-4，，2 表示在数轴上如图所示。 。 ▍总结升华 实数与数轴一一对应，在数轴上表示的实数，右边的数总比左边的数大。 变式 2 在数轴上表示下列各数（要准确画出来），并用“<”把这些数连接起来。 -(-4)，-|-3.5|，，0，+(+2.5)，。 (二)实数的运算 例题精析 例 3 计算： ； ； ； 。 ▍思路点拨 根据实数的运算顺序化简计算即可求得。 ▍过程详解 解： (1)原式=-4+4-3=-3。 (2)原式。 (3)原式=0.7-()=0.7+3.5=4.2。 (4)原式。 ▍总结升华 理清运算顺序，按照实数的运算顺序进行运算，注意符号。 变式 3 计算： ； ； ； 。 (三)实数运算相关规律探究 例题精析 例 4 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①； ②； ③； ④；⋯ (1)观察算式规律，计算=＿＿＿；=＿＿＿。 (2)用含正整数 n 的式子表示上述算式的规律：＿＿＿。 (3)计算：。 ▍思路点拨 观察式子的特点，容易发现每个算术平方根的结果都比根号中第二个数少2，把这个规律应用即可。 ▍过程详解 解： ，。故答案为7；21。 。 ▍总结升华 仔细观察式子特点，发现规律，再应用规律，体现了从特殊到一般再到特殊的数学思想方法。 变式 4 先阅读理解，再解决问题： ； ； ； ； ⋯ 根据上面计算的规律，解决问题： =＿＿＿=＿＿＿。 (2)求（用含 n 的式子表示）。 (四)无理数的取整问题 例题精析 例 5 阅读下面的文字，解答问题。 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是用来表示的小数部分。因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是的小数部分。请解答： 介于连续的两个整数 a 和 b 之间，且 a<b，那么 a=＿＿＿，b=＿＿＿。 (2)如果的小数部分为 a，的整数部分为 b，求 的值。 (3)已知：，其中 x 是整数，且 0<y<1，求 y-x 的值。 ▍思路点拨 根据算术平方根的定义，利用“逐步逼近”法求得介于哪两个连续整数之间，先分别估算无理数，及的大小，再取整数部分和小数部分即可。 ▍过程详解 解： (1)因为，，而9<13<16，所以，因为介于连续的两个整数 a 和 b 之间，且 a<b，所以 a=3，b=4。故答案为3；4。 (2)因为，，所以的小数部分 ，的整数部分 b=3，所以 ，所以 的值为1。 (3)因为，所以。又因为，其中 x 是整数，且 0<y<1，所以 x=11，，所以 。 ▍总结升华 估计无理数的大小，即求出无理数的整数部分和小数部分，通常先估计其整数部分，然后用原数减去其整数部分就是小数部分。 变式 5 数学活动课上，王老师说：“是无理数，无理数就是无限不循环小数。同学们，你们能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，小明说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用表示它的小数部分。”王老师说：“小明的说法是正确的，因为的整数部分是2，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分。”请你解答：已知，其中 x 是一个整数，且 0<y<1，求 3x+() 的值。 (五)实数与数轴上的点一一对应 例题精析 例 6 如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8。 (1)图中阴影部分是一个正方形 ABCD，求出阴影部分的面积及其边长。 (2)把正方形 ABCD 放到数轴上，如图2。使得点 A 与1重合，那么点 D 在数轴上表示的数为＿＿＿。 (3)在(2)的条件下，把正方形 ABCD 沿数轴逆时针方向滚动。当点 B 第一次落在数轴上时，求点 B 在数轴上表示的数。 ▍思路点拨 (1)根据立方体的体积公式，求出棱长，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，即可求解； (2)用1减去正方形的边长 AD 即为点 D 表示的数； (3)当点 B 第一次落在数轴上时，正方形滚动了两次，与点 A 相比向左移动了3倍 AD 的长度，即可求解。 ▍过程详解 解： (1)由题意可得，魔方为正方体，其棱长为，所以小立方体的棱长为1，则正方形 ABCD 的面积为，设正方形 ABCD 的边长为 a，则 ，解得 ，答：阴影部分的面积为2，边长为。 (2)由(1)可得 ，又因为点 A 与1重合，点 D 在点 A 的左边，所以点 D 表示的数为，故答案为。 (3)由题意可得，当点 B 第一次落在数轴上时，正方形滚动了两次，与点 A 相比向左移动了的长度，又因为点 A 与1重合，所以点 B 在数轴上表示的数为。 ▍总结升华 由体积得棱长，再得面积，最后得正方形的边长。实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的点来表示，反之，数轴上的任意一点都表示一个实数。 变式 6 如图，面积为5的正方形 ABCD 的顶点 A 在数轴上且表示的数为1，若点 E 在数轴上（点 E 在点 A 的左侧），且 AD=AE，则点 E 所表示的数为（　　） (六)利用正方形构造相关长度的无理数线段 例题精析 例 7 如图，纸上有5个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）。 (1)图2中拼成的正方形的面积是＿＿＿；边长是＿＿＿。 (2)你能把10个小正方形组成的图形纸（图3），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形，并求出这个正方形的边长。 ▍思路点拨 本题考查了实数（算术平方根）的应用以及格点正方形的面积计算，巧妙地根据网格的特点，熟练掌握图形的拆补是解题的关键。 ▍过程详解 解： (1)因为拼成的正方形面积等于原5个小正方形的面积和，所以拼成的正方形面积为5；由正方形的面积公式 可得 。故答案为5；。 (2)剪拼图如图。 因为拼成的正方形面积等于原10个小正方形的面积和，所以拼成的正方形面积为10，由正方形的面积公式可得边长 。 ▍总结升华 对于面积不为平方数的正方形，可以用割补法先求出面积，然后得到长度为无理数的正方形边长。 变式 7 教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形。由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）。 (1)图1中大正方形的边长为＿＿＿，图2中点 A 表示的数为＿＿＿。 (2)如图3，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点 A，B。 ①圆直径 AB 长度为＿＿＿； ②直接写出数轴上点 A 表示的数为＿＿＿。 链接好题 若整数 a 满足，则 a 的值为＿＿＿。 参考答案与方法指导 变式训练 1. ①④⑦ ②⑤ ③⑥⑧ 【解析】整数： ①④⑦；负分数： ②⑤；无理数： ③⑥⑧。 2. 如图。 。 3. (1)原式=2-(-3)+9=14。 (2)原式。 (3)原式。 (4)原式。 4. 。故答案为，21。 (2)根据以上的规律得 ，所以。 5. 因为，所以。因为，且 x 是一个整数，0<y<1，所以 x=10，，所以 3x+()=3×10+[]=33。 6. D 7. (1)设正方形边长为 a，因为 ，所以 。故答案为；。 (2)① ② 链接好题 3 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $