2026-2027 学年沪教版（五四制）九年级上学期期中押题练习卷

2026-2027 学年沪教版九年级上学期期中押题练习卷 （解析版） （考试时间：100分钟 试卷满分：150 分） 班级：____________ 姓名：____________ 学号：____________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填写在试卷指定位置上。 2．回答选择题时，把答案填写在题后的括号内；回答非选择题时，将答案写在题目下方的空白处。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷交回。 4．测试范围：沪教版九年级上册（相似三角形、二次函数） 一、单选题 1．下列说法正确的有个（    ） （1）任意两个矩形都相似  （2）任意两个正方形都相似 （3）任意两个等边三角形都相似  （4）任意两个菱形都相似． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用相似多边形的定义：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，即可进行判断． 【详解】解：（1）虽然两个矩形的对应角都是直角，但是对应边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故说法错误； （2）两个正方形的对应边成比例，对应角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故说法正确； （3）两个等边三角形的对应边一定成比例，对应角都是，所以任意两个等边三角形一定相似，故说法正确； （4）两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似，故说法错误． 故选C． 【点睛】本题考查了相似多边形的定义．注意从对应边与对应角两个方面考虑． 2．抛物线上有三点，则满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用开口向上的抛物线的性质，通过比较三点到对称轴的距离判断纵坐标大小． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，对应的纵坐标越小， ∵，，， 又∵， ∴． 3．如图，在中，中线相交于点O，连接，下列结论中，正确的个数有（     ）． ①；  ②；  ③；  ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线，中线，熟练掌握相似三角形的性质和判定，灵活掌握三角形面积之比与其边的比的转化是解题的关键．由三角形的中位线可判断①，由中位线可证，再由相似三角形的性质可判断②，由可证，得，由，得，进而可判断③，由是的中线，可得，由可得，则，进而可判断④． 【详解】解：①是的中线， 是的中位线， ， ， 故本选项符合题意； ②是的中位线， ， ， ， 故本选项不符合题意； ③， ， ， ， ， ， 故本选项符合题意； ④是的中线， ， ， ， ， ， ， ， 故本选项符合题意； 综上所述，正确的有①③④，共个， 故选：． 4．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图像如图所示．给出以下结论：①；②；③．其中正确的选项是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质， 根据该抛物线开口向下，其对称轴是直线，可知，，易得，故结论①正确；由该抛物线经过点，且对称轴是直线，可知当时，可有，故结论②正确；当时，可有，故结论③错误． 【详解】解：根据题意，可知该抛物线开口向下， ∴， ∵其对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ∵该抛物线经过点，且对称轴是直线， ∴该抛物线经过点， ∴当时，可有，故结论②正确； ∵该抛物线经过点， ∴当时，可有，故结论③错误． 综上所述，结论正确的有①②． 故选：A． 5．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A（－2，2），B（－4，1），C（－1，－1）．以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A'B'C．并把△ABC的边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为(    ) A．（1，－6） B．（1，－7） C．（2，－6） D．（2，－7） 【答案】B 【分析】建立以C为坐标原点的平面直角坐标系，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：若以C为坐标原点建立平面直角坐标系，则点A在新坐标系中的坐标为（-1，3）， ∵△ABC与△A'B'C'以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A'B'C'，把△ABC的边长放大为原来的2倍， ∴点A'在新坐标系中的坐标为（1×2，-3×2），即（2，-6）， 则点A'的坐标为（1，-7）， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质、平移的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 6．定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先根据网格求出三边长度，分别以、、作为公共角，逐个寻找三个顶点都在格点上、满足两边对应成比例且夹角相等的三角形，统计得到一共4个符合条件的格点三角形． 【详解】解：由题意得，，， 如图，，，，，，， 故， 以为公共角与相似的格点三角形有， 以为公共角与相似的格点三角形有，， 以为公共角与相似的格点三角形有， 故与相似且有一个公共角的格点三角形有4个． 二、填空题 7．已知点C是线段的黄金分割点，，那么的长为________． 【答案】 或 【分析】点是线段的黄金分割点，未说明与的大小关系，需分两种情况，根据黄金分割点的定义计算的长度． 【详解】解：分两种情况讨论： 第一种情况，当时： 点是线段的黄金分割点 把代入得： 解得 第二种情况，当时： 点是线段的黄金分割点 ，即 又， 整理得 分母有理化解得 综上，的长为或． 8．抛物线绕原点旋转得抛物线_____________． 【答案】 【分析】先确定原抛物线的顶点坐标，根据绕原点旋转的性质，得到旋转后新抛物线的顶点坐标和二次项系数，进而写出新抛物线的表达式． 【详解】解：∵原抛物线表达式为， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线绕原点旋转后，顶点关于原点对称，开口方向相反， ∴关于原点的对称点为，二次项系数变为， ∴旋转后得到的抛物线表达式为． 9．已知抛物线的顶点落在直线上，则________． 【答案】 【分析】先根据抛物线的一般式求得顶点坐标，再利用顶点在直线上列方程求解． 【详解】解：已知抛物线，其中，，， 顶点横坐标为， 将代入抛物线方程，可得顶点纵坐标为， 因此，顶点坐标为． 抛物线的顶点落在直线上， 顶点的坐标满足直线的方程，将，代入直线方程，可得， 解得． 10．如图，在中，点、分别是、的中点，连接、交于点，交于点，那么________． 【答案】 【分析】根据中位线的性质，可知，进而可知，根据线段关系可知相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知，进而可转化出答案． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴是的中位线， 则，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 则． 11．二次函数 的图像与 轴两交点间的距离最短是 __________． 【答案】2 【分析】设两交点横坐标为 、，由根与系数的关系把 表示成 的式子，配方后求最值即可． 【详解】解：设抛物线与 轴两交点的横坐标为 、，则 ，． ∴ ， 即 ． ∵ ，∴ ，当 时取等号． ∴ ，即两交点间的距离最短是 ． 【点睛】本题考查二次函数与 轴的交点问题，把两交点间的距离转化为 的最小值是解题关键． 12．如图，在中，点E是边上的中点，G为线段上一动点，连接，交于点F，若，则的值为__． 【答案】 【分析】过作，交于，根据相似三角形的判定得出，，根据相似得出比例式，求出和，再求出，即可求出答案． 【详解】如图，过作，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∴， ， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴． 13．如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N．    【答案】6 【分析】先证，可得，则．由，可得． 【详解】解：动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直， ． ． ． ． ． ，即． ，， ． 14．如图，长方形的边在的边上，顶点、分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的倍，那么的长度是 ______ ． 【答案】 【分析】设交于点，由长方形的边在的边上，顶点、分别在、上，是的高，得，则，四边形是矩形，所以，可证明，得，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点， ∵长方形的边在的边上，顶点、分别在、上， ∴，， ∴是的高， ∴， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得， ∴的长度是． 15．如图，直线与抛物线相交于A，B两点，点B在y轴上，当时，x的取值范围是___________．    【答案】/ 【分析】求得A，B两点的横坐标，再根据图象得出取值范围即可． 【详解】解：因为直线与抛物线分别交于A，B两点， 令，则， ∴B点坐标为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 解方程， 得，， ∴A，B两点的横坐标分别为，0， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围． 16．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为________． 【答案】1 【分析】先求出抛物线与轴交点，算出两交点距离，再求出顶点坐标和顶点到轴的距离，根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边一半列出方程，结合求出． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为 ， 令 ，则 ， ， 解得 ， ∴ 抛物线与轴两个交点为 ，． ∴ 两个交点之间的线段长：． 抛物线对称轴：． 把 代入解析式： ． ∴ 顶点坐标为 ． ∵ “特征三角形” 是等腰直角三角形，顶点到轴的垂线段就是斜边上的高，等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半． ∵顶点到轴距离为 ． ∴ 化简：得， 解得 ． ∵ ， ∴ ． 17．如图，平行四边形中，，，过点D作，垂足为点E，将绕点E旋转得到，点A的对应点F落在边上，点D的对应点G落在边上，连接与交于点H，那么的值______． 【答案】 【分析】分别延长，，交于N，M，根据旋转的性质和等边对等角得到，根据平行四边形的性质得到，，，进而根据得到，根据等角对等边得到，，根据等腰三角形三线合一得到，即，，证明，得到，证明，得到，求出，则，证明，根据计算即可． 【详解】解：如图所示，分别延长，，交于N，M． 由题知：， ∴， ∵平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， 即， ∵， ∴ 即，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即， 解得 ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 三、解答题 18．已知抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)计算的面积． 【答案】(1) (2)开口向上，顶点坐标， 对称轴为直线 (3)27 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线解析式化为顶点式即可得解； （3）利用三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴抛物线开口向上，顶点坐标，对称轴为直线， （3）解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点， ∴，， ∴的面积． 19．如图，已知，与相交于点O． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，，由，可得，即，计算求解即可； （2）设，则，，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴的长为2； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的长为6． 20．图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．分别在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺按要求画图（不要求写出画法，但要保留必要的痕迹） (1)在图①中，过点画直线． (2)在图②中，过点画直线． (3)在图③中，在边上取一点，使得 【答案】(1) 如图①中，直线即为所求； (2) 如图②中，直线即为所求； (3) 如图，点即为所求； 【分析】本题考查的是格点作图，平移的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质； （1）把向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到点，作直线即可； （2）取格点，作直线交于即可； （3）取格点，连接，交于即可． 【详解】（1）略 （2）解：由网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （3）解：由网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∴. 21．已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点E，且． (1)求证：； (2)点F是边上一点，连接，与相交于点G，且，求证：． 【答案】(1) 证明：，， ， 又， ， ， ， ，即． (2) ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确证得是解答本题的关键． （1）先证明可得，进而证明结论； （2）先证明可得，进而得到；再由可得，即，最后代入即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 22．如图，二次函数的图像与轴交于点、，与轴交于点直线经过点、． (1)求抛物线的表达式； (2)过点的直线，交直线于点，交抛物线于点（点与不重合）， ①在第一象限内，是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ②连接，当等于的2倍时，求点的横坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 ． (2)①存在，点 的坐标为 ； ②点 的横坐标为 或 ． 【分析】（1）由直线 与 轴、 轴的交点得 、，把两点坐标代入 ，用待定系数法求出 、； （2）①设过点 的直线为 ，分别与直线 、抛物线联立，用 表示点 、 的坐标；由 且 、、 共线，结合点 在第一象限时三点的位置关系，得点 是线段 的中点，再作垂线构造全等三角形，把中点转化为水平距离相等，列方程求出 ； （2）②先作 于 ，在等腰直角三角形与直角三角形中求出 ；再按点 在线段 上、点 左侧、点 右侧三类讨论：点 在线段 上时由三角形内角和得 ，直接解出点 ；点 左侧时由内角和得负角，舍去；点 右侧时作 的平分线构造 ，建立 与 的方程解出点 ，最后求直线 与抛物线的另一交点，得点 的横坐标． 【详解】（1）解：对于直线 ，当 时，；当 时，． ∵直线 经过点 、，点 在 轴上，点 在 轴上， ∴，． 把 、 代入 ，得 ，， ∴，解得 ， ∴抛物线的表达式为 ． （2）解：∵抛物线 与 轴交于 、 两点， ∴，． 设过点 的直线为 ． ①存在．理由如下： 由 与 联立，得 ， 解得 ， ∴． 由 与 联立，得 ， ∵点 与 不重合， ∴， ∴， ∴． ∵点 在第一象限， ∴ 且 ， ∴ 或 ． 当 时，，则 ，点 在线段 上， 则 ，与 矛盾，舍去． 当 时，，点 在线段 上， ∵， ∴， 分别过点 、 作 轴于点 ， 轴于点 ，则 ， ∴， ∵，， ∴， ∴，即 ， ∵，， ∴， ∴， 解得 或 （舍去）， ∴，， ∴点 的坐标为 ． ②当 时， 过 作 于点 ， ∵，， ∴，， ∵点 在线段 上， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点 在线段 上， ∴，即 ． 设 ，点 在直线 上，其位置分三种情况讨论： 情况一：点 在线段 上，此时射线 与 方向相反， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理，得 ，解得 ， ∴． 设直线 为 ，把 代入，得 ， 解得 ， ∴直线 为 ， 由 ，得 ，即 ， 解得 或 ， ∵点 与 不重合， ∴， ∴点 的横坐标为 ． 情况二：点 在点 的左侧，即 ，此时射线 与 方向相同， ∴，， 则 ，不成立，舍去． 情况三：点 在点 的右侧，即 ，此时射线 与 方向相同， ∴，． 作 的平分线交 于点 ，则 ， ∴， ∵ 是 的外角， ∴， ∴， 又 ， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又 ， ∴， ∴，即 ， 其中 ，，， 设 ，则 ，， ∴，即 ， 两边平方，得 ， 即 ， ∵，两边同除以 ， ∴， ∴， 解得 ， 经检验， 时，，，等式成立， ∴． 设直线 为 ，把 代入，得 ， 解得 ， ∴直线 为 ， 由 ，得 ，即 ， ∴， 解得 或 ， ∵点 与 不重合， ∴， ∴点 的横坐标为 ． 综上，点 的横坐标为 或 ． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的表达式、一次函数与二次函数的交点、等腰三角形的判定与性质、全等三角形、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数．解题关键：一是把 结合三点共线与位置关系转化为“点 是线段 的中点”，再作垂线构造全等三角形；二是对 按点 与线段 的位置关系分类，点 在线段上时转化为等腰三角形 ，点 在点 右侧时作角平分线构造相似三角形，建立 与 的方程． 23．如图，已知矩形中，，，是边上一点（不与、重合），过点作交、于点、，过点作，垂足为，交于点． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ； (2)，定义域为 (3)或或 【分析】（1）先根据矩形的性质可得，再根据、直角三角形的性质可得，同样的方法可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）延长交于K，先证明求得，再证明得到，再由得到，再代入求解即可； （3）先根据等腰三角形的定义分①，②和③三种情况，再利用等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、解直角三角形求解即可得． 【详解】（1）略． （2）解：延长交于K，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得， ∵矩形中，， ∴， ∴，又， ∴； 由（1）结论，得， ∴， 即，定义域为； （3）解：由题意，当为等腰三角形时，分以下三种情况： ①当时，为等腰三角形， ， ， ∴， ∵， ， ，即是的平分线， 过E作于Q，如图， 则，， ∵，， ∴， 解得； ②当时，为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得； ③当时，为等腰三角形， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由得， 解得， 综上，为等腰三角形时，的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论，并熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年沪教版九年级上学期期中押题练习卷 （学生版） （考试时间：100分钟 试卷满分：150 分） 班级：____________ 姓名：____________ 学号：____________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填写在试卷指定位置上。 2．回答选择题时，把答案填写在题后的括号内；回答非选择题时，将答案写在题目下方的空白处。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷交回。 4．测试范围：沪教版九年级上册（相似三角形、二次函数） 一、单选题 1．下列说法正确的有个（    ） （1）任意两个矩形都相似  （2）任意两个正方形都相似 （3）任意两个等边三角形都相似  （4）任意两个菱形都相似． A．0 B．1 C．2 D．3 2．抛物线上有三点，则满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，中线相交于点O，连接，下列结论中，正确的个数有（     ）． ①；  ②；  ③；  ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图像如图所示．给出以下结论：①；②；③．其中正确的选项是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A（－2，2），B（－4，1），C（－1，－1）．以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A'B'C．并把△ABC的边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为(    ) A．（1，－6） B．（1，－7） C．（2，－6） D．（2，－7） 6．定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 7．已知点C是线段的黄金分割点，，那么的长为________． 8．抛物线绕原点旋转得抛物线_____________． 9．已知抛物线的顶点落在直线上，则________． 10．如图，在中，点、分别是、的中点，连接、交于点，交于点，那么________． 11．二次函数 的图像与 轴两交点间的距离最短是 __________． 12．如图，在中，点E是边上的中点，G为线段上一动点，连接，交于点F，若，则的值为__． 13．如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N．    14．如图，长方形的边在的边上，顶点、分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的倍，那么的长度是 ______ ． 15．如图，直线与抛物线相交于A，B两点，点B在y轴上，当时，x的取值范围是___________．    16．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为________． 17．如图，平行四边形中，，，过点D作，垂足为点E，将绕点E旋转得到，点A的对应点F落在边上，点D的对应点G落在边上，连接与交于点H，那么的值______． 三、解答题 18．已知抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)计算的面积． 19．如图，已知，与相交于点O． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 20．图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．分别在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺按要求画图（不要求写出画法，但要保留必要的痕迹） (1)在图①中，过点画直线． (2)在图②中，过点画直线． (3)在图③中，在边上取一点，使得 21．已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点E，且． (1)求证：； (2)点F是边上一点，连接，与相交于点G，且，求证：． 22．如图，二次函数的图像与轴交于点、，与轴交于点直线经过点、． (1)求抛物线的表达式； (2)过点的直线，交直线于点，交抛物线于点（点与不重合）， ①在第一象限内，是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ②连接，当等于的2倍时，求点的横坐标． 23．如图，已知矩形中，，，是边上一点（不与、重合），过点作交、于点、，过点作，垂足为，交于点． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当为等腰三角形时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $