30.3 正多边形与圆（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

年级组

九年级

学科组

数学

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审阅人

授课教师

授课时间

课  题

30.3 正多边形与圆（第1课时）

课   型

新授课

教学

目标

1.理解正多边形与圆的关系，掌握正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念，能将正多边形问题转化为直角三角形问题。

2.掌握正多边形的边长、周长、面积的计算方法，能进行正多边形的有关计算。

3.经历正多边形与圆关系的探究过程，体会转化思想（正多边形→直角三角形）和从特殊到一般的思想，培养几何计算能力。

★核心素养：数学运算（正多边形计算）、几何直观（正多边形与圆的关系）、逻辑推理（计算公式推导）

重点

正多边形的有关概念（中心、半径、中心角、边心距）和计算方法。

★关键：正n边形的计算归结为解由半径R、边心距r、边长一半组成的直角三角形，中心角=

难点

正多边形半径、边心距、边长、面积之间的关系及综合计算，特别是将正多边形问题转化为直角三角形的方法。

★突破策略：①牢记中心角=；②作半径和边心距，构造直角三角形（斜边=半径R，一条直角边=边心距r，另一条=边长的一半）；③利用勾股定理计算；④面积S=×周长×边心距=×n×a×r

教学

方法

作图探究法、转化分析法、公式推导法、分层训练法

★学法指导：正n边形→作半径和边心距→得直角三角形→中心角一半=→勾股定理计算

教学过程设计

教

学

过

程

及

方

法

目标导学

二次备课

一、情境导入

1.生活情境：

①观察蜂房的横截面，为什么蜜蜂要把蜂房做成正六边形？（正六边形可以无缝拼接，用料最省）

②国旗上的五角星、自行车的车轮辐条、地砖的图案，这些都涉及正多边形与圆的关系。

③你能用圆规和直尺作出一个正五边形吗？

2.互动提问：什么是正多边形？（各边相等、各角也相等的多边形）正多边形与圆有什么关系？为什么正多边形都有外接圆和内切圆？

3.揭示课题：今天我们来学习正多边形与圆的关系，以及正多边形的有关计算。

任务驱学

任务1：作图探究——将一个圆五等分，依次连接各分点，得到一个五边形。这个五边形的各边相等吗？各角相等吗？它是正五边形吗？

任务2：概念学习——以正六边形为例，指出它的中心（外接圆圆心）、半径（中心到顶点的距离）、中心角（相邻两条半径的夹角）、边心距（中心到边的距离）。

二次备课

任务3：计算探究——正六边形的半径为R，中心角是多少度？边长与半径有什么关系？边心距是多少？面积是多少？

【设计意图】通过等分圆周作正多边形，让学生理解正多边形与圆的内在联系，自主探究正六边形的特殊性质。

二、合作探究

探究1  正多边形与圆的关系

①把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

②任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆；

③正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆半径叫做正多边形的半径，内切圆半径叫做正多边形的边心距。

★深度剖析：

①正n边形的中心角=360°/n；

②正n边形的每个内角=(n-2)×180°/n；

③正多边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴；当n为偶数时又是中心对称图形；

④边数相同的正多边形相似。

★易错点提示：正多边形的"半径"指外接圆半径（中心到顶点），不是内切圆半径（边心距），注意区分。

探究2  正多边形的计算

正n边形的计算可归结为解直角三角形：

设正n边形的半径为R，边心距为r，边长为a，则：

①中心角α=360°/n，中心角的一半=180°/n；

②在由R、r、a/2组成的直角三角形中：

(a/2)2+r2=R2（勾股定理）；

③周长C=na；

④面积S=1/2×C×r=1/2×n×a×r。

★数学思想渗透：转化思想——将正多边形计算转化为直角三角形计算，这是解决正多边形问题的基本方法。

教

学

过

激思展学

例1  如图1，已知正六边形ABCDEF的半径为4，求它的边长、周长和面积。

图1

二次备课

程

及

方

法

解：正六边形的中心角=360°/6=60°。

连接OA、OB，∵OA=OB=4，∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形，∴边长AB=OA=4。

周长C=6×4=24。

边心距r=√(4²-2²)=√12=2√3。

面积S=1/2×C×r=1/2×24×2√3=24√3。

【方法总结】正六边形的边长等于半径（因为中心角60°，△AOB为等边三角形），这是正六边形的特殊性质，要牢记。

例2  如图2，已知正三角形的外接圆半径为R=4，求它的边长和边心距。

图2