专题 30.1 直线与圆相离、相切、相交【知识梳理+题型精析+中考链接】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册
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内容正文：
专题 30.1 直线与圆相离、相切、相交【知识梳理+题型精析+中考链接】
目录
一.学习目标重难点 1
学习目标 1
学习重点 1
学习难点 2
二.知识梳理与解读 2
【知识点一】直线与圆的位置关系 2
【知识点二】切线的性质 2
【知识点三】切线的判定 2
【知识点四】切线长定理 3
三、题型精析【夯实基础】 3
【题型1】由d与r的大小判断直线与圆的位置关系 3
【题型2】切线性质：连切点半径求角与线段 4
【题型3】切线的判定证明（连半径证垂直、作垂直证半径） 5
【题型4】切线长定理求线段与周长 6
四、题型精析（综合提升） 7
【题型1】切线判定与性质综合求值证明 7
【题型2】切线性质与勾股定理综合 8
【题型3】动态相切临界d=r 9
【题型4】实际应用 11
五、中考链接 12
一.学习目标重难点
学习目标
1. 理解直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），会用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系。
2. 掌握切线的性质（切线垂直于过切点的半径）与切线的判定（经过半径外端且垂直于半径的直线是切线），会用连半径证垂直、作垂直证半径两种方法证明切线。
3. 掌握切线长定理，能由圆外一点引圆的两条切线得到等线段与等角，结合勾股定理求切线长、半径与周长，并解决动态相切与实际应用问题。
学习重点
直线与圆位置关系的d与r比较；切线性质（连切点半径得直角）；切线判定的两种思路；切线长定理及其应用。
学习难点
切线判定中连半径证垂直与作垂直证半径的选择；切线长定理与勾股定理结合求半径；动态相切临界d=r的分析。
二.知识梳理与解读
【知识点一】直线与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。直线与圆没有公共点时叫做相离，此时d>r；直线与圆只有一个公共点时叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点，此时d=r；直线与圆有两个公共点时叫做相交，这条直线叫做圆的割线，此时d<r。
【要点提示】判断位置关系先求圆心到直线的垂线段长度d，再与半径r比较：d>r相离，d=r相切，d<r相交；由位置关系也可反推d与r的大小。
⚠️ 易错警示： d是圆心到直线的垂线段长度，不是圆心到直线上某一点的距离；d=r是相切的唯一临界，不要把d≥r当作相切。
【知识点二】切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半径。见到切点，连接圆心与切点，即可得到直角（90°），常与勾股定理、等腰三角形性质结合求角或线段。
【要点提示】切点已知时连半径，得半径与切线垂直，构造直角三角形；求角时利用直角三角形两锐角互余，求线段时用勾股定理。
⚠️ 易错警示： 只有过切点的半径才与切线垂直，不是任意半径都垂直；连半径后要先写明垂直关系，再用直角三角形。
【知识点三】切线的判定
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
证明切线有两种思路：
（1） 直线与圆已有公共点时，连半径，证垂直（连接该点与圆心，证明直线垂直于这条半径）；
（2）公共点未明确时，作垂直，证半径（过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于r）。
【要点提示】先判断公共点是否已知：已知公共点用连半径证垂直，未知公共点用作垂直证半径；两种思路最终都落到垂直于半径或d=r。
⚠️ 易错警示： 连半径证垂直时不能只连半径而不证垂直；作垂直证半径时，垂线段必须从圆心作出，并证明长度等于半径r。
【知识点四】切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，这点与切点之间的线段长叫做切线长；两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
如图：PA、PB分别切⊙O于A、B，则PA=PB，OP平分∠APB。
【要点提示】PA=PB提供等线段，OP平分夹角提供等角；连接OA、OB，由OA⊥PA、OB⊥PB得到两个全等的直角三角形，再结合勾股定理求切线长或半径。
⚠️ 易错警示： 切线长是切线段的长度（正数），不是切线这条直线本身；定理中相等的是两条切线长，不要与弦长混淆。
三、题型精析【夯实基础】
【题型1】由d与r的大小判断直线与圆的位置关系
【例题1】 （26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）在中，，，．
（1）若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系___________；
（2）若直线与半径为r的相切，求r的值．
（3）若线段与半径为r的有唯一公共点，则r的取值范围为______________．
【变式1】 （26-27九年级上·全国·单元测试）已知的半径为4，直线l上有一点A满足，则直线l与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【变式2】 （25-26九年级上·上海静安·期末）已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________．
【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，当以A为圆心的与直线：①相切；②相交；③相离时，分别求的半径r．
解题归纳：求出圆心到直线的距离d后与r比较：d>r相离，d=r相切，d<r相交，三者一一对应，不要写反。
易错纠正：把d与r的比较方向写反，d>r误判为相交；d取成圆心到直线上某一点的距离，而不是垂线段长度。
【题型2】切线性质：连切点半径求角与线段
【例题2】 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的直径与弦相交，．过点D作的切线，与的延长线交于点P，且．求的度数．
【变式1】 （2026·河南周口·二模）如图，射线与相切于点，经过圆心的射线与相交于点、两点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 （26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，点P在第二象限内，与y轴相切于点C，其中点，与轴相交于点，则点的坐标________．
【变式3】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，发现光盘和直尺及三角尺斜边都相切，切点分别为B，C．设光盘圆心为O，量出后，小明通过计算求出了这张光盘的直径，请你写出小明的解题过程．
解题归纳：见切点连半径得直角，求角用直角三角形两锐角互余，求线段用勾股定理。
易错纠正：忘记由切线性质得到OC⊥CD；勾股定理中斜边与直角边混淆。
【题型3】切线的判定证明（连半径证垂直、作垂直证半径）
【例题3】 （26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，对角线，交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【变式1】 （2025九年级·全国·专题练习）如图，是上一点，，，，则与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【变式2】 （25-26九年级上·北京·课堂例题）如图，是的直径，交于D，，垂足为E，请你添加一个条件，使是的切线，你所添加的条件是________．
【变式3】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，O为的中点，与半圆O相切于点D．
（1）求证：是半圆O的切线；
（2）若，平分，点O与点P之间的距离是2，求半圆O的半径．
解题归纳：已知公共点连半径证垂直，未知公共点作垂直证半径；证垂直后要点明该线段是半径。
易错纠正：只连半径而不证垂直；作垂直证半径时未证明垂线段长度等于r。
【题型4】切线长定理求线段与周长
【例题4】 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的两条切线，A，B为切点，直线交于点D，E，交弦于点C．
（1）图中的垂直关系共有______组，分别为___________________________；
（2）图中与相等的角共有_____个，分别为_____________________；
（3）与的数量关系为__________；
（4）图中的全等三角形共有____组；
（5）图中的等腰三角形共有____个．
【变式1】 （26-27九年级上·全国·单元复习）如图，，是的切线，A，B为切点，为的直径，连接，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 （2026·河南商丘·一模）如图，是的直径，切于点A，切于点B，且，则点O到弦的距离为______．
【变式3】（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）已知，如图，是的直径，直线，分别切于点，点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求出的长．
四、题型精析（综合提升）
【题型1】切线判定与性质综合求值证明
【例题1】 （2026·江西鹰潭·三模）如图，在 中， ，平分 ，以为直径的交于点F ，延长交于点E，连接，，．
（1）求证∶与相切；
（2）若D为的中点，，求的长．
【变式1】 （2026·广东·模拟预测）如图，P为的直径延长线上的一点，与相切，切点为C，点D是上一点，连结．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】 （2025·浙江舟山·一模）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是_______．
【变式3】（2026·山东临沂·二模）如图，的顶点A，B，D在上，边与相切于点B，对角线经过圆心O，与交于点E，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为4，求的面积．
【题型2】切线性质与勾股定理综合
【例题2】 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的切线，A，B为切点，延长交的延长线于点D，若，求的长．
【变式1】 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，圆心O在射线上运动，的半径为2，且与始终有两个公共点，则当与射线仅有一个公共点时，的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式2】 （26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，则的内切圆半径_____ ．
【变式3】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，点O在菱形的对角线上，与相切于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
【题型3】动态相切临界d=r
【例题3】 （专题09 直线与圆的位置关系（4大易错点分析）-备战2024年中考数学考试易错题（浙江专用））如图，矩形中，，．动点E在边上，以点E为圆心，以为半径作弧，点G是弧上一动点．
（1）如图1，若点E与点A重合，且点F在上，当与弧相切于点G时，则的值是 ；
（2）如图2，若连结，，分别取，，的中点P、Q，连接，M为的中点，则的最小值为 ．
【变式1】 （24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的半径为，直线与相切于点，动点从点出发沿圆周匀速运动一周，共用时12s，当点到直线的距离是时，点运动的时间为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【变式2】 （25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，等边三角形的边长为2，的半径为1，点是上的动点，与相切于点，则的最小值是_____．
【变式3】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，是的弦，点是半径上一动点，过点作交弦于点，交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）连接、，若，，求的度数．
【题型4】实际应用
【例题4】 （25-26九年级上·广东中山·期末）动手操作
用一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径．
【方法一】如图2，将矩形硬纸板紧贴在杯口，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为E，F，利用刻度尺测得的长；
【方法二】如图3，将矩形硬纸板紧贴在杯口上，使其一边与杯口相切，切点为E，另一边与杯口相交于 P，Q两点，利用刻度尺测得的长为．
（1）方法一所测得的长就是杯口的直径，其依据是 ；
（2）请根据方法二的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径．
【变式1】 （25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，点M是边AC上的动点．过点M作交BC于点N，现将沿MN折叠，得到．若点在上，则以为直径的圆与直线AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【变式2】 （2026·山东临沂·一模）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如图1 是发动机的实物剖面图，图2 是其示意图，图2中，点A在直线l上往复运动，推动点 B 做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C，D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时， 点B到达D． 若， ， 当与相切时，的长度是_________．
【变式3】（25-26九年级上·全国·期末）图是一个四冲程汽油机的工作图，我们在物理课上学过汽油发动机是由汽油和空气燃烧推动活塞运动的．然而活塞运动是直线方向的运动，而汽车的行进是靠滚动的，这时就需要通过曲柄连杆机构把直线运动转化为旋转运动．
图是曲柄连杆机构的示意图，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点，是直线与的交点．当点运动到点时，点到达点；当点运动到点时，点到达点已知，．
（1）的长为 ．
（2）求当与相切时，的长度．
（3）据中国汽车工业协会统计分析，年月，我国新能源汽车产销同比高速增长，市场占有率达到，与此同时，中国产的新能源汽车在海外市场的销量也在不断增长．目前的新能源汽车大多使用电动机，我们在物理课上也学过电动机，是由电磁感应带动转子直接转动的．你能写出一个新能源汽车比传统汽油车的优势吗？
五、中考链接
一、单选题
1．（2026·安徽·中考真题）如图，矩形中，六个小正方形的边长均为1，正方形的各边与所在的圆分别相切于点，，，N．，所在圆的圆心分别是，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·河南·中考真题）团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与相切于点，，得到．若的半径为，，则小红想要装饰的的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（ ）．
A．10 B．12 C．13 D．15
二、填空题
4．（2026·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，是的切线，点为切点，连接，，若，则________．
5．（2026·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为______．
6．（2026·江西·中考真题）生活中的剪刀蕴含着数学知识．如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刀、剪柄和指圈．当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刀所在直线与指圈所在半圆相切．已知与相交于点，为半圆的直径，，，则此时张角的大小为______________．
三、解答题
7．（2025·湖南·中考真题）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接．
（1）求的度数；
（2）求证：．
8．（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接．
（1）求的度数；
（2）求证：是的切线．
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专题 30.1 直线与圆相离、相切、相交【知识梳理+题型精析+中考链接】
目录
一.学习目标重难点 1
学习目标 1
学习重点 1
学习难点 2
二.知识梳理与解读 2
【知识点一】直线与圆的位置关系 2
【知识点二】切线的性质 2
【知识点三】切线的判定 2
【知识点四】切线长定理 3
三、题型精析【夯实基础】 3
【题型1】由d与r的大小判断直线与圆的位置关系 3
【题型2】切线性质：连切点半径求角与线段 6
【题型3】切线的判定证明（连半径证垂直、作垂直证半径） 10
【题型4】切线长定理求线段与周长 15
四、题型精析（综合提升） 19
【题型1】切线判定与性质综合求值证明 19
【题型2】切线性质与勾股定理综合 27
【题型3】动态相切临界d=r 31
【题型4】实际应用 36
五、中考链接 40
一.学习目标重难点
学习目标
1. 理解直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），会用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系。
2. 掌握切线的性质（切线垂直于过切点的半径）与切线的判定（经过半径外端且垂直于半径的直线是切线），会用连半径证垂直、作垂直证半径两种方法证明切线。
3. 掌握切线长定理，能由圆外一点引圆的两条切线得到等线段与等角，结合勾股定理求切线长、半径与周长，并解决动态相切与实际应用问题。
学习重点
直线与圆位置关系的d与r比较；切线性质（连切点半径得直角）；切线判定的两种思路；切线长定理及其应用。
学习难点
切线判定中连半径证垂直与作垂直证半径的选择；切线长定理与勾股定理结合求半径；动态相切临界d=r的分析。
二.知识梳理与解读
【知识点一】直线与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d。直线与圆没有公共点时叫做相离，此时d>r；直线与圆只有一个公共点时叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点，此时d=r；直线与圆有两个公共点时叫做相交，这条直线叫做圆的割线，此时d<r。
【要点提示】判断位置关系先求圆心到直线的垂线段长度d，再与半径r比较：d>r相离，d=r相切，d<r相交；由位置关系也可反推d与r的大小。
⚠️ 易错警示： d是圆心到直线的垂线段长度，不是圆心到直线上某一点的距离；d=r是相切的唯一临界，不要把d≥r当作相切。
【知识点二】切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半径。见到切点，连接圆心与切点，即可得到直角（90°），常与勾股定理、等腰三角形性质结合求角或线段。
【要点提示】切点已知时连半径，得半径与切线垂直，构造直角三角形；求角时利用直角三角形两锐角互余，求线段时用勾股定理。
⚠️ 易错警示： 只有过切点的半径才与切线垂直，不是任意半径都垂直；连半径后要先写明垂直关系，再用直角三角形。
【知识点三】切线的判定
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
证明切线有两种思路：
（1） 直线与圆已有公共点时，连半径，证垂直（连接该点与圆心，证明直线垂直于这条半径）；
（2）公共点未明确时，作垂直，证半径（过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于r）。
【要点提示】先判断公共点是否已知：已知公共点用连半径证垂直，未知公共点用作垂直证半径；两种思路最终都落到垂直于半径或d=r。
⚠️ 易错警示： 连半径证垂直时不能只连半径而不证垂直；作垂直证半径时，垂线段必须从圆心作出，并证明长度等于半径r。
【知识点四】切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，这点与切点之间的线段长叫做切线长；两条切线长相等，并且这点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
如图：PA、PB分别切⊙O于A、B，则PA=PB，OP平分∠APB。
【要点提示】PA=PB提供等线段，OP平分夹角提供等角；连接OA、OB，由OA⊥PA、OB⊥PB得到两个全等的直角三角形，再结合勾股定理求切线长或半径。
⚠️ 易错警示： 切线长是切线段的长度（正数），不是切线这条直线本身；定理中相等的是两条切线长，不要与弦长混淆。
三、题型精析【夯实基础】
【题型1】由d与r的大小判断直线与圆的位置关系
【例题1】 （26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）在中，，，．
（1）若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系___________；
（2）若直线与半径为r的相切，求r的值．
（3）若线段与半径为r的有唯一公共点，则r的取值范围为______________．
【答案】（1）相离；（2）；（3）或
【分析】先通过面积法求出点C到直线AB的距离，再结合直线与圆的位置关系判定前两问；第三问分相切、线段与圆仅有一个交点两类讨论．
（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：，
过点作于点，
由三角形面积公式，，
∴，即圆心到直线的距离.
当时，
∵，
∴直线与相离；
（2）解：∵直线与相切，
∴；
（3）解：分两种情况讨论：
①当与直线相切时，切点在线段上，线段与有唯一公共点，此时；
②当与直线相交时，若线段与仅有一个公共点，则需直线与圆的两个交点中仅一个在线段上，
∵，，
当时，点在上，另一交点在线段上，有2个公共点，不符合；
当时，点在内，点在上或圆外，仅一个交点在线段上，符合；
当时，点、均在内，无公共点，不符合，
综上所述，的取值范围为或．
【变式1】 （26-27九年级上·全国·单元测试）已知的半径为4，直线l上有一点A满足，则直线l与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【分析】是直线上一点与圆心的连线，不一定是圆心到直线的距离，需分垂直、不垂直两种情况讨论.
解：的半径，，
分两种情况讨论：
当时，圆心到直线的距离，直线与相切.
当不垂直于时，
∵垂线段最短，
∴圆心到直线的距离，直线与相交.
综上，直线与的位置关系为相交或相切.
【变式2】 （25-26九年级上·上海静安·期末）已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是_________．
【答案】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据圆与坐标轴的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径的关系列不等式求解．
解：圆心到x轴的距离为，
由于圆与x轴无公共点，
故圆心到x轴的距离大于半径，即；
圆心到y轴的距离为1，由于圆与y轴有公共点，
故圆心到y轴的距离小于或等于半径，即；
因此，r的取值范围是．
故答案为：．
【变式3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，当以A为圆心的与直线：①相切；②相交；③相离时，分别求的半径r．
【答案】①当与直线相切时，的半径，
②当与直线相交时，的半径，
③当与直线相离时，的半径．
【分析】先过点A作，解三角形算出，再根据直线与圆位置关系，比较的半径r与距离2的大小，最后分别写出相切、相交、相离对应的的半径r．
解：如图，过点A作于点D，设．
，
为等腰直角三角形，
，
，
在中，，
则
，
，
解得，即．
当以A为圆心的与直线相切时，的半径；当以A为圆心的与直线相交时，的半径；当以A为圆心的与直线相离时，的半径．
解题归纳：求出圆心到直线的距离d后与r比较：d>r相离，d=r相切，d<r相交，三者一一对应，不要写反。
易错纠正：把d与r的比较方向写反，d>r误判为相交；d取成圆心到直线上某一点的距离，而不是垂线段长度。
【题型2】切线性质：连切点半径求角与线段
【例题2】 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的直径与弦相交，．过点D作的切线，与的延长线交于点P，且．求的度数．
【答案】
【分析】连接，由平行线的性质及切线的性质可求得的度数，从而求得的度数，再由圆周角定理即可求解．
解：如图，连接，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式1】 （2026·河南周口·二模）如图，射线与相切于点，经过圆心的射线与相交于点、两点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，利用切线的性质可得，得到直角，在中，求出的度数，利用圆周角定理求出的度数．
解：连接，
∵射线与相切于，
∴，
∵，
在中，，
∴．
【变式2】 （26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，点P在第二象限内，与y轴相切于点C，其中点，与轴相交于点，则点的坐标________．
【答案】/
解：如图，连接，，过点P作，
∵与y轴相切于点C，
∴轴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴．
∴．
∴点的坐标为．
【变式3】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，发现光盘和直尺及三角尺斜边都相切，切点分别为B，C．设光盘圆心为O，量出后，小明通过计算求出了这张光盘的直径，请你写出小明的解题过程．
【答案】
【分析】根据切线的性质，可得，，再利用全等三角形的性质求，最后根据勾股定理，计算即可．
解：如图，连接，，，
光盘和直尺及三角尺斜边都相切，切点分别为B，C．
，，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
在中，，则，
，
直径为，
则这张光盘的直径为．
解题归纳：见切点连半径得直角，求角用直角三角形两锐角互余，求线段用勾股定理。
易错纠正：忘记由切线性质得到OC⊥CD；勾股定理中斜边与直角边混淆。
【题型3】切线的判定证明（连半径证垂直、作垂直证半径）
【例题3】 （26-27九年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，对角线，交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：为的直径，
，，
，
点为的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
是的切线；
（2）
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，由等弧所对的圆周角相等得，再由等腰三角形三线合一知，从而说明，结论得证；
（2）由勾股定理可求的长，根据面积法即可求．
解：（1）略；
（2）解：，，，
，
，
，
，
【变式1】 （2025九年级·全国·专题练习）如图，是上一点，，，，则与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据切线的判定定理和勾股定理的逆定理来判断三角形的形状，进而确定角的度数．从而判断位置关系．
解：在中，，，，
∵，，
∴．
根据勾股定理的逆定理，是直角三角形．
∴，．
又∵ 是⊙上一点，是⊙的半径，
∴ 与⊙相切．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的判定定理和勾股定理的逆定理，解题关键是通过勾股定理的逆定理判断出与垂直，进而根据切线的判定定理得出结论．
【变式2】 （25-26九年级上·北京·课堂例题）如图，是的直径，交于D，，垂足为E，请你添加一个条件，使是的切线，你所添加的条件是________．
【答案】或
【分析】结合，只需，根据是的中点，只需即可；要使，则连接，只需，根据等腰三角形的三线合一即可．
解：若添加BD=CD，理由如下：
如图，连接OD，
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD∥AC，
∵，
∴DE⊥OD，
∵交于D，
∴是的切线；
若添加AB=AC，理由如下：
如图，连接AD，
∵是的直径，
∴∠ADB=90°，
∴点D是BC的中点，
∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵，
∴DE⊥OD，
∵交于D，
∴是的切线．
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了切线的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握切线的判定定理，三角形的中位线定理是解题的关键．
【变式3】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，，O为的中点，与半圆O相切于点D．
（1）求证：是半圆O的切线；
（2）若，平分，点O与点P之间的距离是2，求半圆O的半径．
【答案】（1）证明：如答图，作于点E，连接，．
，O为的中点，
．
与半圆O相切于点D，
．
，
，
即为半径，
是半圆O的切线．
（2）半圆O的半径是3
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得，再根据切线的性质得，然后根据角平分线的性质定理得出，则此题可证；
（2）先说明是等边三角形，再求出，并根据直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求出，最后根据切线的性质，并仿照上述过程可解答．
解：（1）略
（2）解：，，
是等边三角形，
．
为的中点，
，平分．
平分，
．
在中，
，
，
．
与半圆O相切于点D，
．
，
，
，
．
故半圆O的半径是3．
解题归纳：已知公共点连半径证垂直，未知公共点作垂直证半径；证垂直后要点明该线段是半径。
易错纠正：只连半径而不证垂直；作垂直证半径时未证明垂线段长度等于r。
【题型4】切线长定理求线段与周长
【例题4】 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的两条切线，A，B为切点，直线交于点D，E，交弦于点C．
（1）图中的垂直关系共有______组，分别为___________________________；
（2）图中与相等的角共有_____个，分别为_____________________；
（3）与的数量关系为__________；
（4）图中的全等三角形共有____组；
（5）图中的等腰三角形共有____个．
【答案】（1）3； ，，；（2）3；；（3）；（4）6；（5）5．
【分析】（1）根据切线的性质、切线长定理和线段垂直平分线的性质可得答案；
（2）根据同角的余角相等以及等腰三角形的性质可得答案；
（3）根据线段垂直平分线的性质可得答案；
（4）根据全等三角形的判定可得答案；
（5）根据等腰三角形的判定可得答案．
（1）解：∵，是的两条切线，A，B为切点，
∴，，，
∴点P在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线；
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
同理，，
∴；
（3）解：∵是线段的垂直平分线；
∴；
（4）解：∵是线段的垂直平分线，点E在直线上，
∴，
由，，得；
由得，又，，
∴；
由，，得；
由，又，，
∴；
由，，得；
由，，得，
综上，共有6组全等三角形；
（5）解：由题意，、、、、都是等腰三角形，共5个．
【变式1】 （26-27九年级上·全国·单元复习）如图，，是的切线，A，B为切点，为的直径，连接，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明，，可得，证明，进一步可得结论．
解：∵、是的切线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴．
【变式2】 （2026·河南商丘·一模）如图，是的直径，切于点A，切于点B，且，则点O到弦的距离为______．
【答案】/
【分析】连接，圆周角定理得到，利用切线长定理得到为等边三角形，进而得到，利用解直角三角形得到，作，证明，利用相似三角形的性质求解，即可解题．
解：连接，
∵是的直径，
，
∵切于点A，切于点B，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
作，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点；熟练掌握切线的性质和相似三角形的性质和判定是解题的关键．
【变式3】（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）已知，如图，是的直径，直线，分别切于点，点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求出的长．
【答案】（1）证明：连接，
直线，分别切于点，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
∴；
（2）的长．
【分析】（1）连接，根据切线长定理可知，证明，可知，根据圆周角定理得到，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，可知，进而得到，根据弧长公式计算即可．
解：（1）略；
（2）解：∵，
∴
，
，
，
，
的长．
四、题型精析（综合提升）
【题型1】切线判定与性质综合求值证明
【例题1】 （2026·江西鹰潭·三模）如图，在 中， ，平分 ，以为直径的交于点F ，延长交于点E，连接，，．
（1）求证∶与相切；
（2）若D为的中点，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴．
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）
【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行线的性质得，再结合等边对等角，得，因为对顶角相等，故，即．又因为是的半径，即可证明是的切线．
（2）先得出，，再证明．结合，得出四边形是平行四边形，因为，所以，证明四边形是菱形，即，则，得，即可作答．
解：（1）略
（2）解：如（1）图，设交于点M．
∵D是的中点，且是的直径，
∴，．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
即则，
∴，
∵，
则，
∴，
∴．
【变式1】 （2026·广东·模拟预测）如图，P为的直径延长线上的一点，与相切，切点为C，点D是上一点，连结．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】（1）连接、，根据圆的切线的性质判定，得到，即可判断；（2）结合（1）证明，推出，即可判断；（3）连接，根据直径得到，进而证明，推出是等边三角形，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半，即可判断；（4）根据菱形和等腰三角形的性质，即可判断．
解：（1）连接、，
与相切，切点为，
，
在和中，
，
，
，
又是半径，
与相切，（1）结论正确；
（2）由（1）得：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，（2）结论正确；
（3）连接，
，
，
是直径，
，
在和中，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，（3）结论正确；
（4）四边形是菱形，，
，，
，
，（4）结论错误；
即正确个数有3个，
故选：C
【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆周角，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
【变式2】 （2025·浙江舟山·一模）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是_______．
【答案】/60度
【分析】本题考查垂直平分线性质和判定，三线合一，切线长定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接，根据题意推出垂直平分，结合等腰三角形性质得到，再结合切线长定理进行求解，即可解题．
解：记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接，
直径是直角边的两倍，
，
，
垂直平分，
，
，
为半径，，
为切线，
为切线，
，
；
故答案为：．
【变式3】（2026·山东临沂·二模）如图，的顶点A，B，D在上，边与相切于点B，对角线经过圆心O，与交于点E，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为4，求的面积．
【答案】（1）证明：连接，
∵中，，
∴，
∵对角线经过圆心O，即是的直径，
∴，
∵与相切于点B，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）
【分析】连接，先证明，再证明是等边三角形，求出，，可得，由平行四边形的性质推出，可得，即可证明；
（2）由（1）知，，易证四边形是菱形，求出，得到，过点作交延长线于点，易求，解直角三角形求出，即可求解．
解：（1）略
（2）解：由（1）知，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴，
过点作交延长线于点，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴的面积为．
【题型2】切线性质与勾股定理综合
【例题2】 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的切线，A，B为切点，延长交的延长线于点D，若，求的长．
【答案】
【分析】证明，设，进一步利用勾股定理列方程计算即可．
解：∵，是的切线，A，B为切点，
，
设，
，
，
在中，，
即，
解得，
．
【变式1】 （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，圆心O在射线上运动，的半径为2，且与始终有两个公共点，则当与射线仅有一个公共点时，的长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】由与始终有两个公共点，可得当与射线仅有一个公共点时，与相切，令切点为D，则是等腰直角三角形，由此可解．
解：与始终有两个公共点，
当与射线仅有一个公共点时，与相切，如图， 令切点为D，连接，
，，
，
是等腰直角三角形，
．
【变式2】 （26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，则的内切圆半径_____ ．
【答案】
【分析】首先求出的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示和，而它们的和等于，得到关于的方程，即可求出．
解：如图，设的内切圆与各边相切于，，，连接，，，
则，，，
∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵的内切圆半径为，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，解得．
即的内切圆的半径为 ．
【变式3】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，点O在菱形的对角线上，与相切于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明：如图，连接，过点O作于点F．
∵四边形是菱形，
∴平分．
∵与相切于点E，
．
又，
，
∴是的半径，
∴是的切线．
（2）
【分析】（1）连接，过点O作于点F，根据菱形的性质，切线的性质以及角平分线的性质，推出，即可得证；
（2）连接交于点G，证明，得到，在中，利用勾股定理求出的长即可．
解：（1）略
（2）解：连接交于点G，如图，则，且G是的中点．
，
．
由（1）知，
．
又，
，
．
在中，，
由勾股定理，得，
即的半径为．
【题型3】动态相切临界d=r
【例题3】 （专题09 直线与圆的位置关系（4大易错点分析）-备战2024年中考数学考试易错题（浙江专用））如图，矩形中，，．动点E在边上，以点E为圆心，以为半径作弧，点G是弧上一动点．
（1）如图1，若点E与点A重合，且点F在上，当与弧相切于点G时，则的值是 ；
（2）如图2，若连结，，分别取，，的中点P、Q，连接，M为的中点，则的最小值为 ．
【答案】（1）2；（2）
【分析】（1）连接，则，勾股定理得，由切线长定理得，设，由勾股定理得，求解即可；
（2）连接、，取的中点H，连接，由中位线性质得，，连接，取的中点I，连接，证四边形是平行四边形，得，取的中点J，可证四边形是平行四边形，得，确定点M在以J为圆心，为半径的圆弧上，由两点之间线段最短得，C，M，J三点共线时，最短，延长，，交，于点K，L，求得，由勾股定理计算即可．
解：（1）连接，则，，
，
，
与弧相切于点B，
，
设，则，
中，，
即，
解得，即，
故答案为：2；
（2）如图，连接、，取的中点H，连接，则，
，
连接，取的中点I，连接，同理，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
，，
∵P、Q是、的中点，
，
，
取的中点J，由，
∴四边形是平行四边形，
，即点M在以J为圆心，为半径的圆弧上，
∴当C，M，J三点共线时，最短，即最小值，
延长，，交，于点K，L，则，
∴点K，点L分别是，的中点，
，，，
，，
中，
，
∴最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质，圆的定义，圆外一点与圆上点距离的最值问题，勾股定理解直角三角形、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等，结合题设条件确定动点的轨迹是解题的关键．
【变式1】 （24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，的半径为，直线与相切于点，动点从点出发沿圆周匀速运动一周，共用时12s，当点到直线的距离是时，点运动的时间为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质，特殊的三角函数值；如图，设当点运动到两点时，点到直线的距离是，连接，，，设与交于点，可知，，先通过三角函数值可知，得到，进而再对P点进行两种情况分析即可得到结果．
解：如图，设当点运动到两点时，点到直线的距离是，连接，，，
设与交于点，可知，，
则，，
在中，，
∴，
∴，
∵动点从点出发沿圆周匀速运动一周，共用时，
∴的运动速度为，
当点运动到点时，运动了，所以运动时间为，
同理可知，
当点运动到点时，运动了，所以运动时间为，
综上点运动的时间为或．
故选：A．
【变式2】 （25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，等边三角形的边长为2，的半径为1，点是上的动点，与相切于点，则的最小值是_____．
【答案】
【分析】本题考查圆的切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质．
连接，作于，因为与相切于，所以，可得，当与重合时，最小，此时最小，求出的长，即可得出的最小值．
解：如图，连接，作于，
∵与相切于，
，
∵的半径为1，
，
当与重合时，最小，
∵等边的边长为2，
，
，
∴的最小值为：．
故答案为：．
【变式3】（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，是的弦，点是半径上一动点，过点作交弦于点，交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）连接、，若，，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵, ，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）
【分析】本题考查圆的切线判定和圆周角的计算．熟悉圆的基本性质、切线的判定定理、等腰三角形性质、直角三角形的边角关系等知识点，是解题的关键．
（1）连接，利用等腰三角形的等边对等角，结合的垂直关系，推导角度和为，继而证明，得到是的切线．
（2）根据，利用勾股定理求出的长，得出是等腰直角三角形，得到的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出的度数．
解：（1）略
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【题型4】实际应用
【例题4】 （25-26九年级上·广东中山·期末）动手操作
用一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺测量如图1所示的圆口水杯的杯口直径．
【方法一】如图2，将矩形硬纸板紧贴在杯口，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为E，F，利用刻度尺测得的长；
【方法二】如图3，将矩形硬纸板紧贴在杯口上，使其一边与杯口相切，切点为E，另一边与杯口相交于 P，Q两点，利用刻度尺测得的长为．
（1）方法一所测得的长就是杯口的直径，其依据是 ；
（2）请根据方法二的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径．
【答案】（1）的圆周角所对的弦是直径；（2）
【分析】（1）根据的圆周角所对的弦是直径进行解答即可；
（2）设点为圆心，连接交于点，连接，根据切线的性质定理得到，进而得到，根据垂径定理得到，设的半径为，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答．
（1）解：方法一所测得的长就是杯口的直径，其依据是的圆周角所对的弦是直径；
故答案为：的圆周角所对的弦是直径；
（2）解：如图3，设点为圆心，连接交于点，连接．
∵是的切线，切点为E，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
设的半径为，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴的直径为，
答：杯口的直径为．
【点睛】本题考查了圆周角定理、矩形的性质、勾股定理、垂径定理、切线的性质定理等知识，熟练掌握圆的性质定理是解答本题的关键．
【变式1】 （25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，点M是边AC上的动点．过点M作交BC于点N，现将沿MN折叠，得到．若点在上，则以为直径的圆与直线AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】A
【分析】此题考查了直线与圆的位置关系．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意判断直线和圆的位置关系的方法：设的半径为，圆心到直线的距离为．①直线和相交⇔，②直线和相切⇔，③直线l和相离⇔．
连接CP，交于，取中点，证明点到的距离等于小于即可得出结论．
解：连接CP，交于，取中点，
由折叠可得，，．
∴，即是以为直径的圆的半径.
∵，
∴，
∴点到的距离等于，
∵，
∴点与的中点不重合，
∴，
∴以为直径的圆与直线的位置关系是相交．
故选A．
【变式2】 （2026·山东临沂·一模）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如图1 是发动机的实物剖面图，图2 是其示意图，图2中，点A在直线l上往复运动，推动点 B 做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C，D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时， 点B到达D． 若， ， 当与相切时，的长度是_________．
【答案】
【分析】本题考查的是圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
先根据线段的和差得到长，然后根据切线的性质和勾股定理求出长即可得到结果．
解：，
当与相切时，如图，
连接，则，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式3】（25-26九年级上·全国·期末）图是一个四冲程汽油机的工作图，我们在物理课上学过汽油发动机是由汽油和空气燃烧推动活塞运动的．然而活塞运动是直线方向的运动，而汽车的行进是靠滚动的，这时就需要通过曲柄连杆机构把直线运动转化为旋转运动．
图是曲柄连杆机构的示意图，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点，是直线与的交点．当点运动到点时，点到达点；当点运动到点时，点到达点已知，．
（1）的长为 ．
（2）求当与相切时，的长度．
（3）据中国汽车工业协会统计分析，年月，我国新能源汽车产销同比高速增长，市场占有率达到，与此同时，中国产的新能源汽车在海外市场的销量也在不断增长．目前的新能源汽车大多使用电动机，我们在物理课上也学过电动机，是由电磁感应带动转子直接转动的．你能写出一个新能源汽车比传统汽油车的优势吗？
【答案】（1）；（2）；（3）电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可）
【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系．
（1）由题意得，，求出；
（2）得到，由切线的性质定理得到，由勾股定理求出，又，得到．
（3）电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可）
（1）解：由题意，，
，
故答案为：；
（2）解：与相切时，
，
，
，
；
（3）解：电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可）
五、中考链接
一、单选题
1．（2026·安徽·中考真题）如图，矩形中，六个小正方形的边长均为1，正方形的各边与所在的圆分别相切于点，，，N．，所在圆的圆心分别是，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设与交于点，先得出所在的圆为以点为圆心、长为半径的，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可．
解：如图，设与交于点，
由题意得：，，，
∴，
∵正方形的各边与所在的圆分别相切于点，
∴所在的圆为以点为圆心、长为半径的，
∴图中阴影部分的面积为
．
2．（2026·河南·中考真题）团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与相切于点，，得到．若的半径为，，则小红想要装饰的的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据全等三角形的判定和性质得出，，确定，得出，利用弧长公式求解即可．
解：连接，如图所示：
∵，分别与相切于点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴的长为：．
3．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（ ）．
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理建立方程得到圆的半径．
根据题意可得，设半径为，利用勾股定理求出半径，再根据求解即可．
解：设中点圆心为，半径为，连接，
因为圆与相切于点，所以，
则，即，
解得，，
又，
所以．
故选：B．
二、填空题
4．（2026·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，是的切线，点为切点，连接，，若，则________．
【答案】/50度
【分析】本题考查切线的性质与三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键，根据切线的性质得到，从而得到，再根据三角形内角和即可得到答案．
解：∵是的切线，
，
，
，
，
故答案为：．
5．（2026·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为______．
【答案】6
【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可．
解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴在中，，
∴，
∴半径的长为6，
故答案为：．
6．（2026·江西·中考真题）生活中的剪刀蕴含着数学知识．如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刀、剪柄和指圈．当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刀所在直线与指圈所在半圆相切．已知与相交于点，为半圆的直径，，，则此时张角的大小为______________．
【答案】
【分析】设右半圆的圆心为，与相切于点，连接，分别求得，根据，得出，进而根据邻补角的定义，即可求解．
解：如图，设右半圆的圆心为，与相切于点，连接，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴
三、解答题
7．（2025·湖南·中考真题）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接．
（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【分析】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由切线的性质得到，据此根据角的和差关系可得答案；
（2）由等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得，则可证明，进而可证明．
（1）解：∵与相切与点，
∴，
∴，
∵，
∴;
（2）略
8．（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接．
（1）求的度数；
（2）求证：是的切线．
【答案】（1）；（2）证明：如图所示，连接，
，
，
．
，
．
，
，
，
，即，
又是的半径，
是的切线．
【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案；
（2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论．
（1）解：如图所示，连接，
，，
；
，
．
是的直径，
，
；
（2）略
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