第15讲直线与圆优等生讲义（知识梳理典例练习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第15讲 直线与圆 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）2026年人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握直线与圆的三种位置关系，能用圆心到直线的距离 d 与半径 r 的数量关系判断 · 理解切线的性质定理与判定定理，会证明一条直线是圆的切线 · 掌握切线长定理，能求三角形内切圆半径与切线长相关线段 · 会过圆外一点用尺规作圆的切线 · 能在坐标系、函数、三角形综合背景中解决直线与圆的压轴问题 📚 知识梳理 ☆ 1.直线与圆的位置关系 · 设圆半径 r，圆心到直线距离 d：d>r 相离、d=r 相切、d<r 相交 · 相交时直线是割线，有两个公共点；相切时有唯一公共点（切点） · 求半径或距离取值范围时，把 d 用点到直线距离公式或勾股定理表示 概念辨析例题：⊙O 半径为3，圆心O到直线l距离为4，则直线l与⊙O位置关系是？ 答案：相离 解析：d=4>r=3，故直线与圆相离 ☆ 2.切线的性质与判定 · 切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径 · 切线判定：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 · 证切线两种类型：有交点连半径证垂直；无交点作垂直证等于半径 概念辨析例题：AB是⊙O直径，BC切⊙O于B，∠BAC=45°，求∠C 答案：45° 解析：BC⊥AB，△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，∠C=90°−45°=45° ☆ 3.切线长定理与内切圆 · 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，这点和圆心连线平分两切线夹角 · 三角形内切圆半径 r=S/p，其中 S 为面积、p 为半周长 · 切线长与三角形边长关系：从同一点出发的两条切线段长度相等 概念辨析例题：PA、PB切⊙O于A、B，PA=6，求PB 答案：6 解析：切线长定理，从P引两切线长相等，PB=PA=6 ☆ 4.切线的尺规作图与综合 · 过圆外一点P作切线：连OP，以OP为直径作圆与⊙O交于切点，连P与切点即切线 · 与坐标系结合时，圆心到直线距离等于半径即相切 · 与函数、三角形综合时，先由相切条件列 d=r，再结合相似、勾股求解 概念辨析例题：如何过⊙O外一点P作⊙O的切线 答案：以OP为直径作圆 解析：连OP，作OP中点为圆心、OP一半为半径作圆，与⊙O交点即切点，连P与切点 📋 知识总结表 位置关系 公共点个数 d 与 r 关系 相离 0 d>r 相切 1（切点） d=r 相交 2 d<r 切线性质 垂直过切点半径 — 切线判定 连半径证垂直 或作垂直证 d=r 切线长 PA=PB OP平分∠APB ⚠️ 核心考点 【考点1】直线与圆的位置关系（第1-11题） · 比较圆心到直线距离 d 与半径 r：d>r 相离、d=r 相切、d<r 相交 · 求半径或距离取值范围时，用点到直线距离公式或勾股定理把 d 表示出来 · 与坐标系、抛物线结合时，先写出直线方程再算 d，按 d=r 列方程 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知的半径为，圆心到直线距离为，则与直线位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查直线与圆的位置关系的判定，根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系即可判断位置关系，当时直线与圆相离，时相切，时相交． 【详解】∵的半径，圆心到直线的距离，且，即， ∴与直线的位置关系是相离． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 【答案】C 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．根据直线与圆有两个交点，则直线与圆相交，由此即可得． 【详解】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交， 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若的半径为4，圆心到直线的距离为5，则直线与的位置关系是__________（填相交、相切或相离） 【答案】相离 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查直线和圆的位置关系，判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交⇔，②直线l和相切⇔，③直线l和相离⇔．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为4，圆心到直线的距离为5， ∴, ∴直线与圆相离， 故答案为：相离． 4．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是_______． 【答案】相交 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【详解】解： 的直径为， 的半径， 圆心与直线的距离， ， 直线与的位置关系是相交． 5．（26-27九年级上·北京·课后作业）设的半径为，圆心到直线的距离为，若，是方程的两根，则直线与相切时，的值为______；当时，直线与______． 【答案】 相交或相离 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、判断直线和圆的位置关系 【分析】直线和圆相切时满足，结合方程根的性质可求出的值；时，判断方程根的情况，结合，的正负性，分析与的大小关系，得到直线与圆的位置关系． 【详解】解：∵直线与相切， ∴， ∵，是方程的两根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，解得； 当时，方程为，此时， 由根与系数的关系可得，两根之和，两根之积， ∴方程有两个不相等的正实数根，即， 分两种情况：若，直线与圆相离；若，直线与圆相交； 因此直线与相交或相离． 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图．的半径为，、是的两条弦，，，如果以为圆心，作一个与直线相切的圆，那么： (1)所作的圆的半径是多少？ (2)所作的圆与直线有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1)2 (2)相离．理由： 作于， 则， ， ， 所作的圆与直线相离． 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，如果圆心到直线的距离为，圆的半径为，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． （1）作于，连接，根据垂径定理和勾股定理求出的长，根据直线与圆的位置关系得到答案； （2）求出的长，根据直线与圆的位置关系进行判定． 【详解】（1）作于，连接， 则， 则， 答：以为圆心，作一个与直线相切的圆，所作的圆的半径是2； （2）略 7．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点．    (1)点M的坐标是 ； (2)判断与y轴的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 相交． 根据网格特征可得： 的半径 圆心M到y轴的距离 ∴ ∴与y轴相交． 【知识点】利用垂径定理求解其他问题、用勾股定理解三角形、判断直线和圆的位置关系 【分析】此题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，熟练掌握圆心的确定方法，理解圆与直线的位置关系是解决问题的关键． （1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心； （2）先利用勾股定理求出，即得的半径为，再根据点M的坐标求出点M到y轴的距离，然后比较d与r的大小即可得出于y轴的位置关系． 【详解】（1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，如图所示：    根据网格的特征可得：点M的坐标为， 故答案为：． （2）略 8．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在等边中，D为边上一点，且，连接，，若以点A为圆心，r为半径作圆． (1)当半径时，求与的位置关系； (2)当半径时，求与的位置关系． 【答案】(1)相离 (2)相切 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、判断直线和圆的位置关系 【分析】题目主要考查直线与圆的位置关系，根据等边三角形的性质求出点到直线的距离是解题的关键 （1）根据等边三角形的性质得出，再由勾股定理确定，然后与半径比较即可； （2）根据（1）中结果，与半径比较即可． 【详解】（1）解：∵等边中，D为边上一点，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 当半径时， ∵， ∴与的位置关系是相离； （2）当半径时， ∵， ∴与的位置关系是相切． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，经过A，B，P三点．若，判断边CD所在直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】 边所在直线与相切．理由如下： 如图，连接，过点作于点H，延长HO交CD于点E． 四边形ABCD是正方形， ，， 是的直径，， ． ， ． 又， 是的中位线， ． ， 四边形AHED是矩形， ，， ， ，即圆心O到边CD所在直线的距离与的半径相等， 边CD所在直线与相切． 【知识点】根据正方形的性质求线段长、判断直线和圆的位置关系 【分析】如图中，连接，过点作于，交于．求出的长，与半径比较，可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，正方形的性质，解直角三角形等知识,解题的关键是掌握判断直线与圆相切的判定方法． 10．（23-24九年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段的“似中点”． (1)已知，，在点、、、中，线段的“似中点”是点___________： (2)直线与x轴交于点M，与y轴交于点N． ①求在坐标轴上的线段的“似中点”； ②若的半径为2，圆心P为，上存在线段的“似中点”，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)E，G (2)①或 ② 【知识点】含30度角的直角三角形、求直线平移到与圆相切时运动的距离、用勾股定理解三角形、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）分别求出各点到点A，B的距离，根据定义判断即可； （2）①先求出点，，再根据勾股定理求出，可求出，可确定“似中点”的位置，分两种情况求出坐标即可；②作出图形，G，K分别是，与垂直平分线相切的切点，连接，，则，，则，，再求出线段长，然后根据直角三角形的性质求出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点，，， ∴，， ∴， ∴点D不是线段的“似中点”； ∵点， ∴，， ∴， ∴点E是线段的“似中点”； ∵点， ∴，， ∴， ∴点F不是线段的“似中点”； ∵点， ∴，， ∴， ∴点G是线段的“似中点”． 故答案为：E，G； （2）解：①直线，当时，；当时，， ∴点，， ∴，， ∴，， 所求的点H是的垂直平分线l与坐标轴的交点，如图所示． ∴，． 当“似中点”在x轴上时，，则； 当“似中点”在y轴上时，，则． 所以，； ②如图所示，G，K分别是，与垂直平分线相切的切点，连接，，则，，则，． ∵，，的半径为2，， ∴，， ∴，， ∴当时，上存在线段的“似中点”． 【点睛】本题主要考查了新定义的理解，两点之间的距离公式，圆的切线的性质，勾股定理，含直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，理解“到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”是解题的关键． 11．（2025九年级上·全国·专题练习）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【知识点】用勾股定理解三角形、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】（）如图作于，求出的值即可判断； （）当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ； （）当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图作于，    在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴当半径时，直线与相切， 故答案为：； （2）观察图形可知， 当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为或 ， 故答案为：或； （3）观察图形可知， 当与线段没有公共点时，半径的取值范围为或， 故答案为：或． 【考点2】切线的性质、判定与作图（第12-30题） · 切线性质：切点与圆心连线垂直于切线，常连半径构造直角三角形 · 证切线：有公共点连半径证垂直；无公共点作垂线证垂线段等于半径 · 过圆外一点作切线：以OP为直径作圆找切点，再连线；结合圆周角定理求角 12．（24-25九年级上·河北邢台·阶段检测）在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内心有关应用、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系、切线的性质定理 【分析】本题考查了内切圆的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据内切圆的定义得、分别平分、，则，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴、分别平分、， ∵，， ∴，， ∴． 故选：C． 13．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，，是的切线，，为切点，，是圆上异于点，且在上的动点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】连接，根据切线的性质和四边形的内角和为360度，求出的度数，再根据圆周角定理即可得出结果. 【详解】解：连接，如图， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∵， ∴， ∵是圆上异于点，且在上的动点， ∴. 14．（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）如图，分别与相切于两点，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆周角定理、应用切线长定理求解、多边形内角和问题 【分析】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角和，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键． 连接，由与都为圆O的切线，利用切线的性质得到垂直于垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知的度数求出的度数，在四边形中，根据四边形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， 则． 故选D． 15．（2025·甘肃武威·一模）如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【知识点】切线的性质和判定的综合应用 【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，①正确； ②由图可知不一定； ∵为的切线， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴，③正确． 故选：B． 16．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、应用切线长定理求证、等边三角形的判定和性质、切线的性质定理 【分析】根据切线的性质得到，，，推出是等边三角形，根据含30度直角三角形的性质求出，求出，进而求出． 【详解】解：∵，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 17．（2025·吉林·模拟预测）如图，内接于圆，为圆的直径，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数是___________ 【答案】/29度 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题主要考查圆的切线性质及圆周角定理．连接，由切线的性质可得，再利用余角的性质可得，然后根据圆周角定理即可求得． 【详解】解：如图，连接， ∵过点的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（2024·河北石家庄·模拟预测）下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图1，P为圆外一点．求作：经过P点的切线． 作法：如图2． （1）连接； （2）以为直径作圆，与交于C、D两点； （3）作直线、，则直线、就是所求作经过P点的切线． 下列可作为以上作图依据的是________． 甲：直径所对的圆周角为直角； 乙：经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 丙：同弧所对圆周角相等． 【答案】甲乙 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定与性质．连接，，根据直径所对的圆周角为直角以及切线的判定可知、是所求作经过点的切线，进而可得答案． 【详解】解：如图2，连接，， 为直径， ， ，为的半径， 、是所求作经过点的切线． 可作为以上作图依据的是甲乙． 故答案为：甲乙． 19．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，是地球示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_________． 【答案】/度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、切线的性质定理 【分析】本题考查了平行线的性质，切线的性质，根据切线的性质得到的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 20．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图是地球的示意图，其中和分别表示赤道和南回归线，，常州市某处位于北纬 （即）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所夹的锐角）的大小为_______． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、切线的性质定理 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质、切线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．先根据平行线的性质可得，求出，再结合是的切线，即．即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是的切线， ∴， ∴ 故答案为：． 21．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，的半径是1，直线与x轴交于点，且与x轴的正半轴夹角为，若直线与有公共点，则x值的范围是______． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、判断直线和圆的位置关系 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 设直线的解析式为，当直线与圆相切时切点为C，连接，则，由于直线与x轴正方向夹角为，所以是等腰直角三角形，故，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解： ∵直线与x轴正方向夹角为， ∴设直线的解析式为，切点为C，连接， ∴， ∵的半径为1， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，， ∴． 22．（2026·广东清远·三模）如图，是的直径，是的切线，若，，则阴影部分的面积是_________． 【答案】 / 【知识点】圆周角定理、求其他不规则图形的面积、切线的性质定理 【分析】设与交于点，连接，由圆周角定理得到，证明是等腰直角三角形，求出，得到，根据切线的性质得到，因为，得到是等腰直角三角形，得到，即可求解． 【详解】解：设交于点，连接， ∵， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 是的切线， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， ． 23．（2025·浙江舟山·一模）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是_______． 【答案】/60度 【知识点】三线合一、线段垂直平分线的判定、应用切线长定理求解、切线的性质和判定的综合应用 【分析】本题考查垂直平分线性质和判定，三线合一，切线长定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接，根据题意推出垂直平分，结合等腰三角形性质得到，再结合切线长定理进行求解，即可解题． 【详解】解：记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接， 直径是直角边的两倍， ， ， 垂直平分， ， ， 为半径，， 为切线， 为切线， ， ； 故答案为：． 24．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，为外一点，与相切于点，若，则 ______ 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、切线的性质和判定的综合应用 【分析】本题考查了切线的性质、含角的直角三角形，解题的关键是掌握切线的性质． 根据与相切于点，得出，再利用含的直角三角形的性质求解． 【详解】与相切于点， ， ， ， ， 故答案为：． 25．（2026·山东潍坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，与y轴交于点A、B，与x轴相切于点C，点M的坐标为，则点A的坐标为_________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、写出直角坐标系中点的坐标、根据矩形的性质与判定求线段长、切线的性质定理 【分析】连接，过点M作于点E，由题意易得四边形是矩形，则有，然后根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，过点M作于点E，如图所示： ∵与x轴相切于点C， ∴轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点M的坐标为， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， ∴， ∴点A的坐标为． 26．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，点在外，分别切于点是的直径，若，则的度数为_____． 【答案】/55度 【知识点】三角形内角和定理的应用、半圆（直径）所对的圆周角是直角、应用切线长定理求解、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及直角三角形的性质，连接，可得，由切线的性质可得，再根据切线长定理得到，进而得到，由即可得到结果． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵分别切于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 27．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，为边上的中线，且满足，点在边上，以为直径的与相切于点，与分别交于点，连接． (1)求证：为的直径． (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵为边上的中线，且满足， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵都在上， ∴为的直径． (2) 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、相似三角形的判定与性质综合、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、切线的性质定理 【分析】（1）由为边上的中线，且满足可得，即，即可证明结论； （2）连接，在中计算出的长，再证明即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵的半径为3，为的直径， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， 在中，， 如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 28．（25-26九年级上·四川凉山·期中）已知：圆O及圆外一点P，求作：过点P作圆O的切线． 作法：①连接，分别以O、P为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点C和E，连接，交于点D； ②以D为圆心，长为半径作圆D，交圆O于点A，B两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，． 为的直径，A，B在上， （①_____）（填推理的依据）． 半径，半径． 直线，为的切线（②______）（填推理的依据）． 【答案】(1) 解：如图所示． (2)①直径所对的圆周角是直角；②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【知识点】过圆外一点作圆的切线(尺规作图)、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查了尺规作图，圆周角定理，切线的判定定理． （1）根据题目中的叙述，利用尺规作图即可； （2）根据“直径所对的圆周角是直角”以及“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”进行证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 29．（22-23九年级下·浙江杭州·开学考试）已知，如图，是的直径，直线，分别切于点，点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求出的长． 【答案】(1)证明：连接， 直线，分别切于点， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ∴； (2)的长． 【知识点】圆周角定理、全等的性质和SSS综合（SSS）、应用切线长定理求解、求弧长 【分析】（1）连接，根据切线长定理可知，证明，可知，根据圆周角定理得到，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，可知，进而得到，根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴ ， ， ， ， 的长． 30．（23-24九年级上·天津·期末）如图，为的直径，C为上的一点，与过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E． (1)如图①，连接，求证：平分； (2)如图②，若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图①中，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则平分． (2)4 【知识点】利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形、根据平行线判定与性质证明、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质以及圆周角定理． （1）根据已知条件和切线的性质得出，再利用等腰三角形的性质及平行线的性质推得结论； （2）如图②中，连接，交于点H．证明四边形是矩形，推出，，可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：如图②中，连接，交于点H， ∵， ∴， ∵是直径，是切线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【考点3】切线长定理与三角形内切圆（第31-36题） · 从圆外一点引两切线长相等，且该点与圆心连线平分两切线夹角 · 三角形内切圆半径 r=S/p，S为面积、p为半周长 · 利用同一点出发切线段相等，把三角形边长拆成多段列方程 31．（2025·辽宁铁岭·二模）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙，问径几里？”意思是：如图，中，步，步，是的内切圆，切点为，，，求的直径．根据题意，的直径是（    ） A．200步 B．240步 C．280步 D．320步 【答案】B 【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了三角形内切圆、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键．首先根据勾股定理解得，设内切圆的半径为，根据三角形面积公式求得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵中，步，步，， ∴步， 设内切圆的半径为， ∵， ∴， 解得， ∴内切圆的直径是240步． 故选：B． 32．（2024·河南商丘·一模）如图，是的直径，切于点A，切于点B，且，则点O到弦的距离为______． 【答案】/ 【知识点】应用切线长定理求证、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理 【分析】连接，圆周角定理得到，利用切线长定理得到为等边三角形，进而得到，利用解直角三角形得到，作，证明，利用相似三角形的性质求解，即可解题． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ， ∵切于点A，切于点B， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 作， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、切线长定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，相似三角形的性质和判定等知识点；熟练掌握切线的性质和相似三角形的性质和判定是解题的关键． 33．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，P为外一点，分别切于M，N两点，若，则_____，______． 【答案】 5 /30度 【知识点】应用切线长定理求解 【详解】解：∵分别切于M，N两点，， ∴，， ∵， ∴． 34．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 【答案】 解：与相等 如图，连接、， 是小圆的两条切线，切点分别为、， ，， 又 是大圆的弦，， ，， ． 【知识点】利用垂径定理求值、应用切线长定理求证 【分析】本题考查垂径定理，切线长定理，掌握知识点是解题的关键． 连接、，根据切线长定理，得到，，，再由垂径定理，得到，，则，即可解答． 【详解】略 35．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的两条切线，A，B是切点，连接，若，，求的周长． 【答案】的周长为 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、应用切线长定理求解、用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】连接，根据切线长定理可得，，进而可得为等边三角形，再根据勾股定理和含的直角三角形的性质求出，进而即可求出周长． 【详解】解：连接，如图： ∵，是的两条切线，A，B是切点， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在含的中，， ∴， ∴的周长为． 36．（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测） 如图，与相切于点A． (1)尺规作图：过点P作的另一条切线，B为切点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1） 的条件下， 若 ，的半径为3，求的长． 【答案】(1) 如图直线为所求． (2) 【知识点】应用切线长定理求解、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、切线的性质定理 【分析】本题主要考查作图，圆的性质，切线长定理，垂直平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）连接作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，交于点，作直线即可． （2）连接，与交于点，由切线的性质证明，求出，再利用勾股定理求出的值，再利用垂径定理进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，与交于点， 的切线， ， ， ， ， ， 由垂径定理可知，， ， ， ， ． 【考点4】圆与坐标系、函数综合（第37-52题） · 坐标系中由圆心坐标与直线方程算 d，按 d=r 建立相切条件 · 与抛物线、一次函数综合时，先求交点、顶点坐标，再用勾股、相似列方程 · 动态平移圆时，抓住圆心到直线距离等于半径这一瞬间位置列方程 37．（24-25八年级下·全国·期中）在直角三角形中，，，，以点为圆心作，半径为，已知边和有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出圆心到的距离为2.4，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点，的取值范围． 【详解】解：作于，如图所示： ，，， ， 的面积， ，即圆心到的距离， 以为圆心的与边有交点，则的取值范围是：． 故选B． 38．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点坐标，以为圆心，个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（　　） A．原点在内 B．原点在上 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相交 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系、判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系是解题的关键． 根据点坐标，求得点到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为，于是得到结论． 【详解】解：∵点坐标， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为，到原点的距离为， ∵以为圆心，个单位长度为半径作圆， ∴原点在外，与轴相切，与轴相交，故选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 39．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知中，，，以点为圆心，以长为半径作圆，则与的位置关系是（    ）    A．相离 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】D 【知识点】三线合一、判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．过点A作于点D，根据等腰三角形三线合一求得的值，再利用勾股定理可求得的长，把与圆的半径4比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】过点A作于点D，    根据等腰三角形三线合一得：， 根据勾股定理得：， 以长为半径的与的位置关系是相离， 故选：D． 40．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作圆，则与边的公共点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系、判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系．熟练掌握点、直线和圆的位置关系，勾股定理，面积法求三角形的高，是解本题的关键． 过点C作于点D，设的半径为r，求出，，比较， ， ，即得答案． 【详解】解：过点C作于点D，设的半径为r， ∵在中，，， ∴， 由三角形面积公式得：， 解得：， ∵， ∴， ∴点D在内， ∵， ∴点A在内， ∴与线段无交点； ∵， ∴点B在外， ∴与线段有一个交点． 综上，与边有一个交点． 故选：B． 41．（2025·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1或5 B．1 C．1或3 D．3 【答案】A 【知识点】坐标与图形综合、利用平移的性质求解、切线的性质定理 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分为圆在y轴的左侧和在y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：∵圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径2， ∵当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 综上所述，将沿轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为1或5． 故选：A． 42．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，菱形的顶点，，在⊙O上，过点作⊙O的切线交的延长线于点．若⊙O的直径为4，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、切线的性质定理 【分析】连接，根据切线的性质定理得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 是⊙O的切线， ， 四边形为菱形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 由勾股定理得，． 故选：D． 【点睛】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 43．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点．若的半径为5，点的坐标是，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、写出直角坐标系中点的坐标、切线的性质定理 【分析】本题主要考查正方形和矩形的性质，圆的切线性质，垂径定理以及勾股定理等知识点，将正方形、矩形的性质与圆的切线结合是解题的关键． 首先在相切的圆中，就想到构造连接切点的半径作为辅助线，再利用正方形和矩形的性质，求解得到对应线段的长度，再利用勾股定理求解和点D有关线段的长度，即可得到点D的坐标． 【详解】解：如图，设与轴、轴相切于点F、E，连接，，，，延长交于点G， ∴轴，轴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，且轴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 44．（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，若以点C为圆心，r为半径画，请根据下列条件填空： （1）若，则点A与的位置关系是__________，点B与的位置关系是__________； （2）若直线AB与至少有一个交点，则r的取值范围为__________． 【答案】 点A在内 点B在外 【知识点】用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】（1）判断点与圆的位置关系，关键是比较点到圆心的距离与圆的半径 即可； （2）直线与圆 “至少有一个交点”，意味着直线与圆相切或相交，求出圆心 到直线 的垂直距离，即可求出范围． 【详解】解：（1）， ∴， ∴ 点A在内，点B在外， 故答案为： ① 点A在内，②点B在外． （2）在直角三角形中，， ∵直线与至少有一个交点， ∴最小值为圆心 到直线 的垂直距离， 即直角三角形斜边的高， 斜边的高， ∴， 故答案为： ③． 【点睛】本题考查了点与圆、直线与圆的位置关系判定，同时综合运用了直角三角形的相关性质． 45．（24-25九年级下·上海徐汇·阶段检测）如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是____________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】作于E，找到两个临界状态，一个是恰好与相切时，此时点D是切点，得到半径为，另一个是经过点A时，则，建立方程求解即可． 【详解】解：作于E，则，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， 当点运动到点E时，，此时与相切， ∴， 当经过点A时，    设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ∴以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、直角梯形的性质、勾股定理，矩形的判定与性质等知识，注意分情况讨论是解题的关键． 46．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是________．（直接填序号） 【答案】①③④ 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明某直线是圆的切线 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，切线的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，，则可判断①；根据圆的性质可得，则，则可判断③；可证明，则可判断④；根据现有条件无法证明，则可判断②． 【详解】解： 为中点，点为的中点， 为的中位线， ，，故①正确； ∵， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线，故④正确； 根据现有条件无法证明，故②错误； 故答案为：①③④． 47．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为_______． 【答案】 【知识点】 求圆弧的度数、正多边形的内角问题、切线的性质定理 【分析】本题考查了弧的度数，切线的性质，正多边形的性质，多边形的内角和；连接、，由切线的性质及正多边形的性质得，，由多边形的内角和即可求解；掌握切线的性质，正多边形的性质，会求弧的度数是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 与正八边形相切于点A，E， ， ， ∵六边形的内角和为， ， ， 的度数为， 故答案为：． 48．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查切线的判定、圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练应用相关知识点成为解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质和圆的性质可得、，即，可证，再结合即可证明结论； （2）连接，通过证明，然后根据相似三角形的性质及等量代换进行计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 49．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点是平分线上一点，，垂足为，与以为圆心、长为半径的圆相切吗？请说明理由． 【答案】 解：相切，理由如下， 过点P作于点E，    ∵点是平分线上一点， ∴， 即为的半径， ∴与相切． 【知识点】角平分线的性质定理、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径．也考查了角平分线定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质定理得到，即可推出与相切，熟练掌握切线的判定方法：有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径是解题的关键． 【详解】略 50．（23-24九年级上·山东临沂·阶段检测）如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线． 【答案】 证明：连接， ∵是的直径， ， ， ， ， 为的中位线， ， ， ， 是半径， ∴是的切线． 【知识点】三线合一、与三角形中位线有关的证明、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】连接，推出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形中位线定理求出，推出，根据切线的判定推出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、切线的判定、圆周角定理等知识点的运用，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键，注意证切线的方法：知道过圆上一点，连接圆心和该点证垂直． 51．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 【答案】 证明：是的直径， ， ∵ ， ， ， 即：， 是的切线； 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线、直角三角形的两个锐角互余、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由直径所对的圆周角是直角可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，即，然后根据切线的判定定理即可得出结论； 【详解】略 52．（2026九年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，以为直径作交BC于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，， ∵是的直径， ∴． ∴ ． ∴ ∵， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴ ∴是的切线； (2)5 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的证明、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）通过连接，证明，结合得出，从而证明是的切线； （2）先判断为等边三角形，再利用等边三角形三线合一的性质和直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中， ， ∴长为5． 💯 课后巩固 💡 复习建议 · 位置关系题先算 d 再和 r 比大小，不要凭图猜 · 见切线就连半径，构造直角三角形是常用辅助线 · 证切线分「有交点」和「无交点」两类，方法不同 · 切线长题用「同点切线段相等」拆边长 · 综合题先列 d=r，再结合函数、相似求解 【作业1】．（23-24九年级上·福建厦门·单元测试）已知的半径为3，圆心O到直线L的距离为4，则直线L与的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系：圆心到直线距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．将圆心到直线距离与半径比较，即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，圆心O到直线的距离为4，， ∴直线L与的位置关系是相离， 故选：C． 【作业2】．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，与相切的直线是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，切线的判定，掌握好切线的定义是关键． 圆的切线指的是与圆只有一个公共点的直线，根据定义判断选项即可． 【详解】解：根据直线与圆的公共点个数判断位置关系如下： 对于选项A：与没有公共点，则与相离，故A错误； 对于选项B：与有两个公共点，则与相交，故B错误； 对于选项C：与有两个公共点，则与相交，故C错误； 对于选项D：与只有一个公共点，则与相切，故D正确． 故选：D． 【作业3】．（24-25九年级上·河北唐山·期末）若的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】根据直线与圆的位置关系判定方法，比较圆心到直线的距离与圆半径的大小，确定直线与圆的位置关系，再结合图形进行判断．本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆位置关系的判定方法是解题的关键． 【详解】解：圆半径，圆心到直线的距离， ． 当时，直线与圆相交， 这条直线与圆相交，结合图形可知是． 故选：B． 【作业4】．（2023·广西梧州·二模）已知的半径为，直线l与圆有公共点，且直线l和圆心O的距离为 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一般地，直线到圆心的距离为d，圆的半径为r，则当时，直线与圆没有交点；当时，直线与圆有一个交点；当时，直线与圆有两个交点，据此求解即可． 【详解】解：∵直线l与圆有公共点， ∴直线l与圆的圆心的距离小于等于半径， ∵的半径为， ∴， 故选：B． 【作业5】．（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）已知的半径为3，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与相切，则d的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线l与⊙O相切，则求解即可． 【详解】解：∵直线l与⊙O相切， ∴， 故选：C． 【作业6】．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（    ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 【答案】D 【知识点】过圆外一点作圆的切线(尺规作图)、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的作法，切线的判定．甲：连接、，利用圆周角定理求得，即可证明是的切线；乙：连接，不能证明是的切线． 【详解】解：甲：连接、， 由作图知，是直径， ∴， 又∵、是的半径， ∴是的切线； ∴甲的作法正确； 乙：连接， 由作图知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 若是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定是的切线， ∴乙的作法不正确； 故选：D． 【作业7】．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点A，B，D在上，，的延长线与直线相交于点C，且，则直线与的位置关系是______． 【答案】相切 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理,解决问题的关键是熟练掌握切线的判定定理． 连接,利用圆周角定理求出的度数，根据三角形内角和定理求出的度数，再根据切线的判定定理判断直线与的位置关系． 【详解】解：连接 是的半径， 与相切． 故答案为：相切． 【作业8】．（23-24九年级上·北京密云·期中）的半径为，若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是______． 【答案】相交 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】根据圆心O到直线l的距离小于半径即可判定直线l与的位置关系为相交． 【详解】解：∵圆心O到直线l的距离是，的半径为， 又∵， ∴直线l与相交． 故答案为：相交． 【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【作业9】．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，，，是的切线，切点分别为C，E，D点，若，，则的长为________． 【答案】9 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】本题考查了切线长定理，解题关键是熟记切线长定理． 根据切线长定理得到，，然后求出，进而得到． 【详解】解：∵，，是的切线， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：9． 【作业10】．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，是的内切圆，为切点．若，，则的周长为______． 【答案】 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】设，则，由切线长定理可得，，，进而即可求解． 【详解】解：设，则， ∵是的内切圆，为切点， ∴，，， ∴的周长． 【作业11】．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）若的圆心到直线的距离小于半径，则直线与的位置关系是______． 【答案】相交 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键． 根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【详解】解：的圆心O到直线l的距离d小于半径r， ∴直线l与的位置关系是相交． 故答案为：相交． 【作业12】．（22-23九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 【答案】 相切 【知识点】含30度角的直角三角形、判断直线和圆的位置关系 【分析】先作，再根据直角三角形的性质得出，然后根据的半径是可得答案． 【详解】解：过点作，交于点， 在中，，， ∴． ∵的半径是，点到直线的距离是， ∴与直线的位置关系是相切． 【作业13】．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为________． 【答案】 【知识点】应用切线长定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，切线长定理．设，根据切线长定理得出，，进而运用勾股定理列式计算，即可得出的长． 【详解】解：记与相切于点，连接，如图所示： 设， ∵的内切圆分别与、相切于点、点， ∴,，， 则， 在中，， ∴， 解得， 即的长度为． 故答案为：． 【作业14】．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 【答案】 如图，点P即为所作． 【知识点】过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【分析】本题考查了过圆外一点作圆的切线．以为直径作圆，与在上方的交点即为所求点P． 【详解】略 【作业15】．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 【答案】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【知识点】过圆外一点作圆的切线(尺规作图)、证明某直线是圆的切线 【分析】首先根据作图过程已知垂直平分，，进而得到两个等腰三角形和，利用等边对等角，以及三角形内角和定理，得到，即可证明与相切，从而可得理论依据. 【详解】证明：如图，连接，， 根据题意，得垂直平分，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴与相切； 同理：与相切； ∴，为切线的理论依据为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【作业16】．（22-23九年级下·安徽·自主招生）如图，已知的半径是1，圆心P在抛物线上运动．当与x轴相切时，圆心P的坐标为________． 【答案】或或 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题主要考查了切线的性质、抛物线的性质，由题意可得圆心的纵坐标为，代入抛物线方程，分别求出圆心的横坐标，则答案可求．解决本题的关键在于当与轴相切时，确定点的纵坐标. 【详解】解:设点的坐标为． 与轴相切，，． 当时，，解得，，点的坐标为或； 当时，，解得，点的坐标为． 综上所述，圆心的坐标为或或． 故答案为:或或． 【作业17】．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 【答案】 证明：连接， ∵射线，与相切，切点分别为A，B， ∴，平分， ∴垂直平分， ∵的延长线交于点C， ∴． 【知识点】应用切线长定理求证、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质 【分析】此题重点考查切线长定理、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识．连接，由射线，与相切，切点分别为A，B，根据切线长定理得，平分，则垂直平分，所以． 【详解】略 【作业18】．（25-26九年级下·江苏南京·开学考试）如图，已知及点，利用直尺和圆规过点作的切线． (1)如图①，点在外． (2)如图②，点在外． （要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) 如图，直线为所作． (2) 如图，、为所作． 【知识点】过圆外一点作圆的切线(尺规作图) 【分析】（1）过点作直线，则直线为的切线； （2）连接，作的垂直平分线得到的中点，再以为圆心，为半径作圆交于、两点，则直线、为的切线； 【详解】（1）略 （2）略 1 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 直线与圆 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）2026年人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握直线与圆的三种位置关系，能用圆心到直线的距离 d 与半径 r 的数量关系判断 · 理解切线的性质定理与判定定理，会证明一条直线是圆的切线 · 掌握切线长定理，能求三角形内切圆半径与切线长相关线段 · 会过圆外一点用尺规作圆的切线 · 能在坐标系、函数、三角形综合背景中解决直线与圆的压轴问题 📚 知识梳理 ☆ 1.直线与圆的位置关系 · 设圆半径 r，圆心到直线距离 d：d>r 相离、d=r 相切、d<r 相交 · 相交时直线是割线，有两个公共点；相切时有唯一公共点（切点） · 求半径或距离取值范围时，把 d 用点到直线距离公式或勾股定理表示 概念辨析例题：⊙O 半径为3，圆心O到直线l距离为4，则直线l与⊙O位置关系是？ 答案：相离 解析：d=4>r=3，故直线与圆相离 ☆ 2.切线的性质与判定 · 切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径 · 切线判定：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 · 证切线两种类型：有交点连半径证垂直；无交点作垂直证等于半径 概念辨析例题：AB是⊙O直径，BC切⊙O于B，∠BAC=45°，求∠C 答案：45° 解析：BC⊥AB，△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，∠C=90°−45°=45° ☆ 3.切线长定理与内切圆 · 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，这点和圆心连线平分两切线夹角 · 三角形内切圆半径 r=S/p，其中 S 为面积、p 为半周长 · 切线长与三角形边长关系：从同一点出发的两条切线段长度相等 概念辨析例题：PA、PB切⊙O于A、B，PA=6，求PB 答案：6 解析：切线长定理，从P引两切线长相等，PB=PA=6 ☆ 4.切线的尺规作图与综合 · 过圆外一点P作切线：连OP，以OP为直径作圆与⊙O交于切点，连P与切点即切线 · 与坐标系结合时，圆心到直线距离等于半径即相切 · 与函数、三角形综合时，先由相切条件列 d=r，再结合相似、勾股求解 概念辨析例题：如何过⊙O外一点P作⊙O的切线 答案：以OP为直径作圆 解析：连OP，作OP中点为圆心、OP一半为半径作圆，与⊙O交点即切点，连P与切点 📋 知识总结表 位置关系 公共点个数 d 与 r 关系 相离 0 d>r 相切 1（切点） d=r 相交 2 d<r 切线性质 垂直过切点半径 — 切线判定 连半径证垂直 或作垂直证 d=r 切线长 PA=PB OP平分∠APB ⚠️ 核心考点 【考点1】直线与圆的位置关系（第1-11题） · 比较圆心到直线距离 d 与半径 r：d>r 相离、d=r 相切、d<r 相交 · 求半径或距离取值范围时，用点到直线距离公式或勾股定理把 d 表示出来 · 与坐标系、抛物线结合时，先写出直线方程再算 d，按 d=r 列方程 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）已知的半径为，圆心到直线距离为，则与直线位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）若的半径为4，圆心到直线的距离为5，则直线与的位置关系是__________（填相交、相切或相离） 4．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是_______． 5．（26-27九年级上·北京·课后作业）设的半径为，圆心到直线的距离为，若，是方程的两根，则直线与相切时，的值为______；当时，直线与______． 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图．的半径为，、是的两条弦，，，如果以为圆心，作一个与直线相切的圆，那么： (1)所作的圆的半径是多少？ (2)所作的圆与直线有怎样的位置关系？为什么？ 7．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点．    (1)点M的坐标是 ； (2)判断与y轴的位置关系，并说明理由． 8．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在等边中，D为边上一点，且，连接，，若以点A为圆心，r为半径作圆． (1)当半径时，求与的位置关系； (2)当半径时，求与的位置关系． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，经过A，B，P三点．若，判断边CD所在直线与的位置关系，并说明理由． 10．（23-24九年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段的“似中点”． (1)已知，，在点、、、中，线段的“似中点”是点___________： (2)直线与x轴交于点M，与y轴交于点N． ①求在坐标轴上的线段的“似中点”； ②若的半径为2，圆心P为，上存在线段的“似中点”，请直接写出t的取值范围． 11．（2025九年级上·全国·专题练习）已知的斜边，直角边，以点为圆心作． (1)当半径为________时，直线与相切； (2)当与线段只有一个公共点时，半径的取值范围为________； (3)当与线段没有公共点时，半径的取值范围为__________． 【考点2】切线的性质、判定与作图（第12-30题） · 切线性质：切点与圆心连线垂直于切线，常连半径构造直角三角形 · 证切线：有公共点连半径证垂直；无公共点作垂线证垂线段等于半径 · 过圆外一点作切线：以OP为直径作圆找切点，再连线；结合圆周角定理求角 12．（24-25九年级上·河北邢台·阶段检测）在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 13．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，，是的切线，，为切点，，是圆上异于点，且在上的动点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）如图，分别与相切于两点，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·甘肃武威·一模）如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 16．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 17．（2025·吉林·模拟预测）如图，内接于圆，为圆的直径，过点的切线交的延长线于点．若，则的度数是___________ 18．（2024·河北石家庄·模拟预测）下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程． 已知：如图1，P为圆外一点．求作：经过P点的切线． 作法：如图2． （1）连接； （2）以为直径作圆，与交于C、D两点； （3）作直线、，则直线、就是所求作经过P点的切线． 下列可作为以上作图依据的是________． 甲：直径所对的圆周角为直角； 乙：经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 丙：同弧所对圆周角相等． 19．（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，是地球示意图，其中表示赤道，、分别表示北回归线和南回归线，．点P表示无锡经开区的位置，纬度大约是北纬（）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点P处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_________． 20．（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图是地球的示意图，其中和分别表示赤道和南回归线，，常州市某处位于北纬 （即）．冬至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所夹的锐角）的大小为_______． 21．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，的半径是1，直线与x轴交于点，且与x轴的正半轴夹角为，若直线与有公共点，则x值的范围是______． 22．（2026·广东清远·三模）如图，是的直径，是的切线，若，，则阴影部分的面积是_________． 23．（2025·浙江舟山·一模）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是_______． 24．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，为外一点，与相切于点，若，则 ______ 25．（2026·山东潍坊·一模）如图，在平面直角坐标系中，与y轴交于点A、B，与x轴相切于点C，点M的坐标为，则点A的坐标为_________． 26．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，点在外，分别切于点是的直径，若，则的度数为_____． 27．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，为边上的中线，且满足，点在边上，以为直径的与相切于点，与分别交于点，连接． (1)求证：为的直径． (2)若的半径为3，，求的长． 28．（25-26九年级上·四川凉山·期中）已知：圆O及圆外一点P，求作：过点P作圆O的切线． 作法：①连接，分别以O、P为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点C和E，连接，交于点D； ②以D为圆心，长为半径作圆D，交圆O于点A，B两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，． 为的直径，A，B在上， （①_____）（填推理的依据）． 半径，半径． 直线，为的切线（②______）（填推理的依据）． 29．（22-23九年级下·浙江杭州·开学考试）已知，如图，是的直径，直线，分别切于点，点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求出的长． 30．（23-24九年级上·天津·期末）如图，为的直径，C为上的一点，与过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E． (1)如图①，连接，求证：平分； (2)如图②，若，，求的长． 【考点3】切线长定理与三角形内切圆（第31-36题） · 从圆外一点引两切线长相等，且该点与圆心连线平分两切线夹角 · 三角形内切圆半径 r=S/p，S为面积、p为半周长 · 利用同一点出发切线段相等，把三角形边长拆成多段列方程 31．（2025·辽宁铁岭·二模）《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙，问径几里？”意思是：如图，中，步，步，是的内切圆，切点为，，，求的直径．根据题意，的直径是（    ） A．200步 B．240步 C．280步 D．320步 32．（2024·河南商丘·一模）如图，是的直径，切于点A，切于点B，且，则点O到弦的距离为______． 33．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，P为外一点，分别切于M，N两点，若，则_____，______． 34．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 35．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的两条切线，A，B是切点，连接，若，，求的周长． 36．（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测） 如图，与相切于点A． (1)尺规作图：过点P作的另一条切线，B为切点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1） 的条件下， 若 ，的半径为3，求的长． 【考点4】圆与坐标系、函数综合（第37-52题） · 坐标系中由圆心坐标与直线方程算 d，按 d=r 建立相切条件 · 与抛物线、一次函数综合时，先求交点、顶点坐标，再用勾股、相似列方程 · 动态平移圆时，抓住圆心到直线距离等于半径这一瞬间位置列方程 37．（24-25八年级下·全国·期中）在直角三角形中，，，，以点为圆心作，半径为，已知边和有交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，点坐标，以为圆心，个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（　　） A．原点在内 B．原点在上 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相交 39．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知中，，，以点为圆心，以长为半径作圆，则与的位置关系是（    ）    A．相离 B．相切 C．相交 D．外离 40．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作圆，则与边的公共点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 41．（2025·辽宁抚顺·一模）在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1或5 B．1 C．1或3 D．3 42．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，菱形的顶点，，在⊙O上，过点作⊙O的切线交的延长线于点．若⊙O的直径为4，则的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 43．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点．若的半径为5，点的坐标是，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 44．（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，在中，，若以点C为圆心，r为半径画，请根据下列条件填空： （1）若，则点A与的位置关系是__________，点B与的位置关系是__________； （2）若直线AB与至少有一个交点，则r的取值范围为__________． 45．（24-25九年级下·上海徐汇·阶段检测）如图，在梯形中，，，，，，点是边上一点，以为圆心，为半径的，与边只有一个公共点时，则的取值范围是____________． 46．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是________．（直接填序号） 47．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为_______． 48．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 49．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点是平分线上一点，，垂足为，与以为圆心、长为半径的圆相切吗？请说明理由． 50．（23-24九年级上·山东临沂·阶段检测）如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线． 51．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 52．（2026九年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，以为直径作交BC于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 💯 课后巩固 💡 复习建议 · 位置关系题先算 d 再和 r 比大小，不要凭图猜 · 见切线就连半径，构造直角三角形是常用辅助线 · 证切线分「有交点」和「无交点」两类，方法不同 · 切线长题用「同点切线段相等」拆边长 · 综合题先列 d=r，再结合函数、相似求解 【作业1】．（23-24九年级上·福建厦门·单元测试）已知的半径为3，圆心O到直线L的距离为4，则直线L与的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【作业2】．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，与相切的直线是（   ）． A． B． C． D． 【作业3】．（24-25九年级上·河北唐山·期末）若的半径为5，圆心到一条直线的距离为2.5，则这条直线是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（2023·广西梧州·二模）已知的半径为，直线l与圆有公共点，且直线l和圆心O的距离为 ，则（　　） A． B． C． D． 【作业5】．（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）已知的半径为3，圆心O到直线l的距离为d．若直线l与相切，则d的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【作业6】．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（    ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 【作业7】．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，点A，B，D在上，，的延长线与直线相交于点C，且，则直线与的位置关系是______． 【作业8】．（23-24九年级上·北京密云·期中）的半径为，若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是______． 【作业9】．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，，，是的切线，切点分别为C，E，D点，若，，则的长为________． 【作业10】．（25-26九年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，是的内切圆，为切点．若，，则的周长为______． 【作业11】．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）若的圆心到直线的距离小于半径，则直线与的位置关系是______． 【作业12】．（22-23九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，已知，为边上一点，以为圆心、为半径作．点在射线上运动，当时，与直线的位置关系是______． 【作业13】．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为________． 【作业14】．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，线段长为8，O是上一点，且，以O为圆心，为半径作圆在的上方求作点P使得相切于． 【作业15】．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）已知及外一点P，求作直线，，使，与相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线，交于点B； ③以点B为圆心，长为半径画弧，  交于点D，E； ④作直线，，则直线， 即为所求．请给出，为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 【作业16】．（22-23九年级下·安徽·自主招生）如图，已知的半径是1，圆心P在抛物线上运动．当与x轴相切时，圆心P的坐标为________． 【作业17】．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证． 【作业18】．（25-26九年级下·江苏南京·开学考试）如图，已知及点，利用直尺和圆规过点作的切线． (1)如图①，点在外． (2)如图②，点在外． （要求：不写作法，保留作图痕迹） 1 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $