25.2.2 公式法 知识清单2026-2027 学年人教版九年级数学上册

① 求根公式　当 Δ ≥ 0 时，方程 a + bx + c = 0（a ≠ 0）的根为 。

② 根的判别式　式子 − 4ac 叫做根的判别式，记作 Δ = − 4ac。

③ 判别式与根　Δ > 0：两个不相等的实数根；Δ = 0：两个相等的实数根；Δ < 0：没有实数根。

④ 公式法四步　一化 → 二定 → 三算 → 四求（先算 Δ，Δ ≥ 0 时才代入公式）。

⑤ 顺序不能颠倒　先算 Δ，再决定要不要代入求根公式；Δ < 0 时直接写「没有实数根」。

⑥ 与配方法的关系　求根公式是用配方法从 a + bx + c = 0 推导出来的，是配方法的「公式化」。

学习目标：① 经历用配方法推导求根公式的过程，理解公式的来历；② 知道一元二次方程根的判别式，会用 Δ 判断根的情况；③ 会用公式法解一元二次方程（含先化简、系数含负号的情形）；④ 会根据方程根的情况确定字母的取值范围。

重　　点：用求根公式解一元二次方程；用判别式判断根的情况。

难　　点：求根公式中 − 4ac 的符号分析；含字母系数时既要看 Δ、又要保证二次项系数不为 0。

原方程：a + bx + c = 0（a ≠ 0）。

① 移项：把常数项移到右边，得 a + bx = −c。

② 二次项系数化为 1：两边同除以 a（因为 a ≠ 0），得 + x = −。

③ 配方：两边同时加上「一次项系数一半的平方」，即 ，得 = 。

④ 讨论右边：因为 a ≠ 0，所以分母 > 0；右边能不能开平方、开出来有几个值，完全由分子 − 4ac 的符号决定。

若 − 4ac ≥ 0：右边是非负数，可以开平方，方程有实数根，得 = 。

若 − 4ac < 0：右边是负数，而完全平方不可能是负数，所以方程没有实数根。

★ 结论： − 4ac 的符号，决定了这个一元二次方程在实数范围内有没有根、有几个根。它太重要了，所以专门给它起了一个名字 —— 根的判别式。

定义：一般地，式子 − 4ac 叫做一元二次方程 a + bx + c = 0（a ≠ 0）的根的判别式，通常用希腊字母 Δ（读作 delta）表示，即 Δ = − 4ac。

作用：不解方程，只要算出 Δ 的符号，就能判断方程根的情况。

★ 提醒：算 Δ 之前，必须先把方程化成一般形式，a、b、c 都要带着自己的符号。

Δ > 0

有两个不相等的实数根

Δ = 0

有两个相等的实数根（ = ）

x = −

Δ < 0

没有实数根

（不能代入求根公式）

解：(1) a = 1，b = −3，c = 2，Δ = − 4×1×2 = 9 − 8 = 1 > 0，所以方程有两个不相等的实数根。

(2) a = 4，b = −12，c = 9，Δ = − 4×4×9 = 144 − 144 = 0，所以方程有两个相等的实数根。

(3) a = 2，b = −3，c = 4，Δ = − 4×2×4 = 9 − 32 = −23 < 0，所以方程没有实数根。

★ 小结：判断根的情况，只要算 Δ 并看它的符号，不必真的解出方程。

求根公式：当 Δ ≥ 0 时，一元二次方程 a + bx + c = 0（a ≠ 0）的实数根可以写成

公式法：把各系数直接代入求根公式，从而避免配方过程、直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

★ 注意：公式中的 −b 是把 b 的符号取反（如 b = −4 时，−b = 4）； 只在 − 4ac ≥ 0 时才有意义。

表达式

① 一化：把方程化成一般形式 a + bx + c = 0（右边为 0，左边按 x 降幂排列）。

② 二定：确定 a、b、c 的值 —— 系数要带符号，缺项写 0（如 2 − 3x = 0 中 c = 0）。

③ 三算：计算 Δ = − 4ac 的值，并判断它的符号。

④ 四求：若 Δ ≥ 0，把 a、b、c 代入求根公式求出两根；若 Δ < 0，直接写「方程没有实数根」。

解：(1) a = 1，b = −4，c = −7，Δ = − 4×1×(−7) = 16 + 28 = 44 > 0。

　　x = = = ，即 = 2 + ， = 2 − 。