专题06 二次函数中的存在性问题 专项训练讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题06 二次函数中的存在性问题 ▌专题目标 1. 掌握二次函数图象上点的坐标表示方法。 2. 会处理等腰三角形、直角三角形的存在性问题。 3. 会处理平行四边形的存在性问题。 4. 会处理面积关系与特殊角的存在性问题。 5. 在存在性问题中体会分类讨论与方程思想，形成规范完整的解题流程。 ▌专题目录 题型01：等腰三角形的存在性问题 题型02：直角三角形的存在性问题 题型03：平行四边形的存在性问题 题型04：面积关系（面积相等、倍数）的存在性问题 题型05：特殊角（等角、定角）的存在性问题 ▌题型01：等腰三角形的存在性问题 题型描述：题干给出抛物线上（或坐标轴上）一动点，问是否存在点使与两定点构成等腰三角形。核心得分点是按“哪两边相等”分类列方程。 基础知识： 1. 两定点A、B，动点P：分PA＝PB、PA＝AB、PB＝AB三类； 2. PA＝PB时点P在AB的垂直平分线上； 3. 距离用坐标差的平方表示（可避免根号）； 4. 排除三点共线情形。 解题方法： 1. 设点表距：设动点坐标，用参数表示三条边的平方； 2. 分三类：按两两相等列方程； 3. 解参数：求出各类的解； 4. 验存在：排除共线与不合范围的解。 解题思路： 口诀：设、类、解、排。距离平方代替距离，计算更简；“两圆一线”可帮助确定分类完整性。 1．（26-27九年级上·江西新余·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在轴上方存在一点，同时点在对称轴上，若以、、为顶点的三角形为等腰三角形，点的坐标为_________． 【答案】或或 【分析】先由二次函数的解析式得到点，点的坐标以及对称轴，由于点在轴上方，且在对称轴上，设点坐标为，再根据以、、为顶点的三角形为等腰三角形的已知条件，讨论三角形哪两条边作为三角形的腰，利用勾股定理表示出两点之间的距离，以等腰三角形两腰相等为等量关系列出式子，计算得到的不同取值，检验是否大于后即可得到点的坐标． 【详解】解：二次函数为，与轴交于点，与轴交于点， 当时，，点的坐标为， 当时，，点的坐标为， 对称轴为直线． 点在对称轴上， 设点的坐标为． 以、、为顶点的三角形为等腰三角形， 需要分三种情况讨论． 当时，由，得， 解得， 点坐标为． 当时，由，得， 解得或（舍去）， 点坐标为． 当时，由，得， 解得或（舍去）， 点坐标为． 综上所述，点坐标为或或． 2．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点的直线与抛物线交于另一点，点在轴下方的抛物线上，轴与交于点，求线段长度的最大值； (3)如图，点在抛物线的对称轴上，若是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或或或． 【分析】（1）把点，代入函数解析式，解方程组求解即可； （2）确定直线的表达式，设，则点的坐标可用含的代数式表示，进而表示出的长度，利用函数性质求最大值； （3）先确定对称轴及点坐标，再分情况进行讨论求出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，， 解得 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的表达式为， ，， 解得 ， 设， 轴， ， ， 点在轴下方的抛物线上， ， 当时，值最大，最大值为； （3）解：对抛物线， 当时，， ， 对称轴为直线， 设， 则，，， 当时， 解得， ； 当时，， 解得，， 或； 当时，， 解得，， 或， 设直线关系式为， 解得 直线关系式为， 当时，，即在直线上，点，，三点共线，故舍去； 综上可知点的坐标为或或或． 3．（26-27九年级上·天津滨海新区·阶段检测）已知抛物线（b是常数）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点． (1)若点坐标为，求该抛物线的解析式和顶点坐标； (2)在（1）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由； (3)若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最小值为1，求此时二次函数的解析式． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标为； (2)存在，符合条件的点坐标为或或或. (3)二次函数的解析式为或． 【分析】（1）把代入即可求解析式及顶点坐标； （2）为等腰三角形，分三种情况，勾股定理列方程即可； （3）先确定对称轴，再根据顶点是否在范围内，分类讨论，确定最小值时x值，代入即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得，， 则抛物线的解析式为； ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：存在点P，设， 根据题意得：， 则； ； ， ∴为等腰三角形，分三种情况： ①当时， ，得， ∴点P的坐标为或； ②当时， ，， 解得，， ∴点P的坐标为； ③当时， ，， 解得（舍去），， ∴点P的坐标为； ∴符合条件的点P存在，点P坐标为或或或； （3）解：抛物线的对称轴为：，区间长度是固定值 当对称轴在区间左边时，，即， 此时区间在对称轴右侧，函数在区间上随x增大而增大，最小值在左端点， 则， 解得（舍去负值）， 解析式为； 当对称轴在区间左边时，，即， 此时最小值在对称轴， 则， 即，此情况不存在，舍去； 当对称轴在区间右边时，，即， 此时区间在对称轴左侧，函数在区间上随x增大而减小，最小值在右端点， 则， 解得（舍去）， 解析式为； 综上，二次函数的解析式为或． 4．（26-27九年级上·湖北随州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是该抛物线上位于第一象限内的一动点，连接．当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值； (3)若点M是对称轴上一点，是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)P点坐标为，最大值为； (3)存在，满足条件的M点坐标为，，，． 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）过点P作轴于点F，交于点E，根据题意得出，利用待定系数法确定直线解析式为，设，，确定，结合图象利用，列出函数关系式，利用二次函数的性质即可求解； （3）根据题意得出对称轴为，，再由等腰三角形分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，结合图象利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ， 解得： ∴抛物线解析式为； （2）过点P作轴于点F，交于点E， ∵， ∴当时，， ∴， 设直线解析式为， ∵， ， 解得， ∴ 根据题意设，， ∴， 由图象得：， ∴， 整理得：， ， ∴当时，S有最大值，最大值为，此时P点坐标为； （3）存在， 由（1）得， ∴对称轴为， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ∴分三种情况分析： ①当时，如图，设对称轴l与交于点E， ∴， ， ， 解得：， ∴M点的坐标为或， ②当时，则为的垂直平分线， ∴M与E重合， ∴M点的坐标为； ③当时，如图，设M点的坐标为， 则， ， 解得：， ∴M点的坐标为， 综上可知，满足条件的M点共四个，其坐标为，，，． ▌题型02：直角三角形的存在性问题 题型描述：题干问是否存在点使与两定点构成直角三角形。核心得分点是按“直角顶点在哪”分三类讨论。 基础知识： 1. 以AB为斜边：点P在以AB为直径的圆上（九上圆的知识），坐标法用PA²＋PB²＝AB²； 2. 直角在A（B）：AB²＋AP²＝BP²（勾股关系）； 3. 也可用两线垂直的斜率关系（数形结合，斜率法用一次函数知识）。 解题方法： 1. 分三类：按直角顶点分别在P、A、B分类； 2. 列勾股：每类写出两边的平方和等于第三边平方； 3. 解参数：求动点坐标； 4. 验取舍：排除共线与不符合范围的情形。 解题思路： 口诀：顶、股、解、验。直角存在性“三个顶点轮流当直角”；动点在抛物线上时把y用x表示再代入。 5．（26-27九年级上·新疆·阶段检测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M的坐标是或 【分析】（1）先求出点坐标，再设交点式求解即可； （2）过点N作轴交直线于点P，设，则，表示出，再由建立起面积的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）设，①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解；②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； （2）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，为． （3）解：存在． 设， ①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或． 6．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴负半轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点是点．已知点，． (1)求点和点的坐标； (2)如果抛物线对称轴上存在点（点在第三象限），使得是直角三角形，求点的坐标； (3)将抛物线平移，平移后的抛物线与轴、轴分别交于点，当点恰好为的重心时，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，二次函数和几何图形综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据坐标和锐角三角函数比求出，利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后求出交点坐标即可； （2）分情况进行讨论，假设，利用勾股定理表示出相关线段的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可； （3）根据重心的性质，求出，，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 将，代入得， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴； （2）解：抛物线对称轴为直线， ①如图所示，当时，连接， 假设， 根据勾股定理得，，， ∵， ∴， 解得， ∴； ②如图所示，当时，连接， 同上，此时， ∴， 解得，（舍去）， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：如图所示，点恰好为的重心， ∵点关于抛物线对称轴的对称点是点，且对称轴为直线，， ∴， ∴线段的中点坐标为，即， 根据重心的性质得，点的横坐标为，纵坐标为， 解得，， ∴，， 假设平移后的抛物线解析式为， 将，代入解析式得， 解得 ∴平移后的抛物线解析式为． 7．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)符合条件的点D的坐标是或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）易得的解析式为，先证明为等腰直角三角形，作轴于，轴交于，设，则可得，接着利用表示、，所以，然后利用二次函数的性质解决问题； （3）抛物线的对称轴为直线，设，则，，，当是以为直角边的直角三角形时,分类讨论或为斜边，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设解析式为， 代入，， ， 解得， 的解析式为， 对直线， 令，得；令，得， ∴直线过点， 即直线与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ， 为等腰直角三角形， 作轴于，轴交于， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 设，则可得， ，， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 设， 则，，， 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为； 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为是； 综上所述，符合条件的点的坐标是或． 8．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据直线的解析式，可求得点B的坐标，再结合顶点坐标利用待定系数法求解即可． （2）求出点C的坐标，作点B关于x轴的对称点R，连接，则，可证明当C、P、R三点共线时，有最小值，据此求解即可； （3）分三种情况：当点P为直角顶点时，则，当点B为直角顶点时，则，当点C为直角顶点时，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∵顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：联立，解得或， ∴； 如图所示，作点B关于x轴的对称点R，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当C、P、R三点共线时，有最小值； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：设： ∵， ∴，， ； 当点P为直角顶点时，则， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 当点B为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当点C为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． ▌题型03：平行四边形的存在性问题 题型描述：题干给出两（三）个定点，问是否存在点使四边形为平行四边形。核心得分点是利用“对角线互相平分”的中点公式分类。 基础知识： 1. 平行四边形对角线互相平分：对角线中点重合； 2. 三个定点时，分别以三条连线为对角线分三类； 3. 中点公式：； 4. 由此得的坐标关系。 解题方法： 1. 定对角线：按哪两个点为对角顶点分类； 2. 用中点：令对角线中点坐标相等； 3. 解坐标：求出第四个顶点； 4. 验形状：排除四点共线的退化情形。 解题思路： 口诀：线、中、解、验。平行四边形存在性“中点公式一招鲜”；三定点时必有三类，逐类求第四点。 9．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知抛物线的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点． (1)①求抛物线的解析式及A、B两点的坐标； ②当时，y的最大值为3，求t的值； ③若点是y轴正半轴上一点，作直线，点P是直线上方抛物线上一点，轴交于点Q，令，求的最大值及此时点的坐标； (2)点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出M、N两点的坐标． 【答案】(1)①；点的坐标为，点的坐标为； ②或 ③的最大值为，此时点的坐标为 (2)点，点或点，点或点，点 【分析】（1）①将点代入即可求解函数解析式，将代入即可求解A、B两点的坐标； ②分别考虑在对称轴左右两侧即可求解； ③求得直线的解析式，设点的坐标为：，进而可求点的坐标，再联立可知的长度，根据二次函数求最值即可求解； （2）分别以为对角线，为对角线，为对角线讨论即可，根据中点坐标构造方程即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线交y轴于点 将点代入得：， 解得：或（舍去）， 将代入抛物线得：， 令，得， 解得：，， ∵点A在点B的左侧 ∴点的坐标为，点的坐标为， ②由， 则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，y的最大值为3， ∴顶点不在范围内， 第一种情况，当区间在对称轴左侧， 则， 解得：， 此时随着的增大而增大，当时取得最大值， 代入得：， 解得或（舍去）， ∴ 第二种情况，当区间在对称轴右侧， ， 解得：， 此时随着的增大而减小，当时取得最大值， 代入得：， 解得或（舍去）， ∴ 综上所述，或 ③设直线的解析式为：， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： 设点的坐标为：， ∵轴 ∴点的纵坐标为：， 将点的纵坐标代入直线得： 则得到点的横坐标：， 则 ∴当时，取得最大值， 则的最大值为：， 则点的纵坐标为：， ∴的最大值为，此时点的坐标为， （2）解：∵抛物线的对称轴为， 则设点，点， 以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时， 第一种情况,以为对角线，则对角线的中点重合， 则的中点为：，即为， 则的中点为：， 则 解得： ∴点，点， 第二种情况,以为对角线，则对角线的中点重合， 则的中点为：，即为， 则的中点为：， 则 解得： ∴点，点， 第三种情况,以为对角线，则对角线的中点重合， 则的中点为：， 则的中点为：， 则 解得： ∴点，点， 综上所述，满足条件的的有三组： 点，点或点，点或点，点． 10．（26-27九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)当点在直线上方的抛物线上时，过点作直线垂直于轴，交直线于点，当线段最大时，求点的坐标及的最大值； (3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，的最大值为9 (3)或或或 【分析】（1）分别将，代入抛物线解析式与直线的解析式，即可得解； （2）过点作轴，交直线于点，设点，则点，得到，根据二次函数的性质求解即可； （3）分两种情况：当是平行四边形的一条边时，当是平行四边形的对角线时，分别解答即可得解． 【详解】（1）解：将，代入直线得： ， 解得：， 故直线的解析式为：； 将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）解：∵抛物线的表达式为：；直线的解析式为：； 设点， ∵过点作轴，交直线于点， ∴点， ， ∴当时，的最大值为9， 此时； （3）在抛物线：中，令，则；在直线：中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． 11．（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，是抛物线上的一动点． (1)求抛物线解析式； (2)如图①，若点在第一象限的抛物线上，且轴，交于．求面积的最大值及此时的坐标； (3)如图②，是抛物线的对称轴直线上的一动点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时，点坐标为 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）把，代入，解方程组求出、的值，即可得出答案； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，可得，进而得出，根据二次函数的性质即可得出答案； （3）根据平行四边形的性质得出对角线的交点分别为两对角线的中点，分三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴，交于， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为， 此时，， ∴点坐标为． （3）解：∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴对角线的交点分别为两对角线的中点， 设， ∵是抛物线的对称轴直线上的一动点， ∴设， ①当、为对角线时， ∵，， ∴中点坐标为， ∴， 解得， ∴，即； ②当、为对角线时，则， 解得， ∴，即； ③当、为对角线时，则， 解得， ∴，即； 综上所述，点的坐标为或或． 12．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，交轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为线段上一动点，过点作轴的垂线，分别交抛物线与直线于点，，连接，，，求四边形面积的最大值及此时的值； (3)点为轴右侧抛物线上一动点，过点作直线交直线于点，是否存在点，使以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，四边形的面积有最大值，最大值为； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线l的函数表达式为，根据题意可得，则，可求出，据此可得答案； （3）由，可得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，是该平行四边形的一组对边；据此分两种情况：当四边形是平行四边形时，则点A平移到点C的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，当四边形是平行四边形时，则点C平移到点A的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于，两点， ∴ ， ∴， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线l的函数表达式为， 则， ∴， ∴直线l的函数表达式为； ∵轴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：设， ∵， ∴以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，是该平行四边形的一组对边； 当四边形是平行四边形时，则点A平移到点C的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴点A向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点C， ∴点N向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点M， ∴点M的坐标为，即， ∴， 解得或， ∴当时，， 当时，，不符合题意； ∴点M的坐标为； 当四边形是平行四边形时，则点C平移到点A的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同， ∵点C向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点A， ∴点N向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点M， ∴点M的坐标为，即， ∴， 解得或， ∴当时，， 当时，，不符合题意； ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． ▌题型04：面积关系（面积相等、倍数）的存在性问题 题型描述：题干问是否存在点使某三角形面积等于定值（或为另一面积的k倍）。核心得分点是表示面积后列方程。 基础知识： 1. 三角形面积＝底×高÷2； 2. 动点到定直线的距离（高）用坐标表示； 3. 面积相等常转化为底边相等或高的关系； 4. 同底等高、等底同高时面积相等。 解题方法： 1. 定底高：选好底边，用参数表示高； 2. 写面积：列出面积的表达式； 3. 列方程：按面积条件列方程； 4. 解验答：求解并检验点在指定图象（范围）上。 解题思路： 口诀：底、高、程、验。铅垂高×水平宽÷2是抛物线内三角形面积的利器；面积为定值常有两解（点左右各一）。 13．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点，顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点，使，求此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出该抛物线的解析式； （2）假设存在，过点P作轴交直线于点E，设出点P的坐标即可得出点E的坐标及的长度，利用三角形的面积公式可得出关于t的函数关系式，再列方程即可． 【详解】（1）解：将点、代入中， 得， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：过点P作轴交直线于点E，如图： 当时， 解得， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点E的坐标为， ， ， ∵， ∴ 解得，， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 14．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点B． (1)求二次函数与一次函数的表达式； (2)设点P是（1）中所求抛物线上一点（不与点A重合），以P，B，C为顶点的三角形的面积与的面积相等，直接写出点P的坐标为______． 【答案】(1)二次函数解析式为，一次函数解析式为 (2)或或 【分析】（1）把代入求出二次函数解析式为，再求出和，根据和求出一次函数解析式； （2）设且，则到直线的距离，再根据以P，B，C为顶点的三角形的面积与的面积相等，得到，即，据此解方程即可． 【详解】（1）解：把代入得，解得， ∴二次函数解析式为； ∴抛物线对称轴为直线，令得到，则， ∵点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴， 把和代入得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵点P是（1）中所求抛物线上一点（不与点A重合）， ∴设且， ∵，， ∴，与轴平行， ∴到直线的距离， ∵以P，B，C为顶点的三角形的面积与的面积相等， ∴， ∴，即 ∴， ∴或， ∴或， 解得或或或， ∴点P的坐标为或或． 15．（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线经过点，，与轴另一交点为． (1)求抛物线的解析式． (2)若点是抛物线上的一点，使得，请求出点的坐标． (3)点在抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点，满足？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) 解：点的坐标为， 如下图所示，过点作，并延长使，此时是的垂直平分线， ， ， 当时，可得：， 点的坐标为， ， 点、， ， ， ， ， 点在直线上， 设点的坐标为， 则有， 整理可得：， 解得：， 点的坐标为， 设点的坐标为， 则有， 解得：， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 整理可得：， 解得：，， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 坐标为的点是点，故不符合题意，舍去． 【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）根据三角形的面积公式可知，过点作交抛物线于点，则，用待定系数法求出的解析式，即可求出的解析式，把直线的解析式和二次函数的解析式联立得到方程组，方程组的解即为点的坐标；把沿折叠，可得，则有，过点作，根据直线的解析式即可求出直线的解析式，联立直线的解析式和二次函数的解析式得到方程组，方程组无解，所以此种情况不存在； （3）过点作，并延长使，此时是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知此时，利用三角形的面积公式求出的长度，又因为点在直线上，设点的坐标为，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式即可求出点的坐标，根据平面直角坐标系中线段中点的公式列方程组求出点的坐标，用待定系数法即可求出直线的解析式，联立直线的解析式和二次函数的解析式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 把点、的坐标代入抛物线中， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作交抛物线于点，则， 则直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 解得：， 方程组的解为，， 点的坐标为或； 如下图所示，把沿折叠，可得，则有， 点、， ， 点的坐标是， 过点作， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 整理可得：， ， 方程组无解， 此种情况不存在； 综上所述，点的坐标为或； （3）略 16．（26-27九年级上·天津河东·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，过点作轴交抛物线的对称轴于点，连接，，已知点的坐标为． (1)求该抛物线的解析式． (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)在抛物线上是否存在一点，使的面积与的面积相等？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)存在，点坐标为． (3)存在，点的横坐标为或或或． 【分析】（1）因为已知抛物线上点A的坐标和顶点式，所以将A点坐标代入，求解得到a的值即可确定解析式． （2）首先求出B、C、D三点坐标，因为，设对称轴交x轴于点G，交y轴于点F，证明，求出，直线的解析式为．联立直线与抛物线解析式求出，即得． （3）因为与同底且面积相等，所以点到直线的距离等于点到直线的距离，所以过作的平行线、以及在另一侧作对称的平行线，两条平行线上的点都满足到的距离等于到的距离．设点D关于的对称点为点H，求出过点D平行于的直线的解析式为，过点H平行于的直线的解析式为．分别与抛物线的解析式联立，即可求出点P的横坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点式为过点， ∴， 解得． ∴抛物线解析式为． （2）解：存在． 对． 令，得方程， 解得或， ∴； 令，得， ∴； ∵抛物线对称轴为直线，轴， ∴点横坐标为1、纵坐标与相同， 即． 设对称轴交x轴于点G，交y轴于点F， 则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为． 则， 解得， ∴直线的解析式为． 联立直线与抛物线解析式：， 消去整理得， 解得（对应点，舍去），或， 代入直线解析式得， ∴． （3）解：存在． ∵与同底且面积相等， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离， ∴过作的平行线、以及在另一侧作对称的平行线，两条平行线上的点都满足到的距离等于到的距离． 设直线的解析式为， 由（2）知，、， ∴， 解得， ∴直线为． 设过点D平行于的直线的解析式为， ∵该直线过点， ∴， 解得， ∴过点D平行于的直线的解析式为． 联立抛物线，得， 整理为， 解得或． 设点D关于的对称点为点H， 则， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H在y轴上， ∴， ∴， 设过点H平行于的直线的解析式为， 则， ∴过点H平行于的直线的解析式为． 联立抛物线，得， 整理为， 解得或． ∴满足条件的点的横坐标为或或或． ▌题型05：特殊角（等角、定角）的存在性问题 题型描述：题干问是否存在点使某角等于已知角（或为45°、90°等特殊角）。核心得分点是把角的条件转化为边、坐标或全等（相似）关系。 基础知识： 1. 等角转化：两角相等常通过构造全等（对称）转化； 2. 45°角常构造等腰直角三角形； 3. 90°角用勾股关系（或直径所对圆周角）； 4. 角相等的另一思路：转化为角平分线或平行线条件。 解题方法： 1. 析角条件：把角的要求转化为边的关系； 2. 作构造：作对称、垂线或等腰直角三角形； 3. 列方程：用坐标关系列方程； 4. 解验答：求解并检验。 解题思路： 口诀：角、构、程、验。见45°想等腰直角，见等角想对称全等；角度问题先“边化”再“坐标化”。 17．（26-27九年级上·湖北荆州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点，连接．点为x轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为t． (1)________，________； (2)连接，当时，求t的值； (3)设以，，，为顶点的四边形的面积为， ①求关于t的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)① ② 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用已知条件得到，则点P与点C的纵坐标相同，令，求得x值，则点P的横坐标可求； （3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在的上方时，即，，过点P作于点D，利用解答即可；当点P在的下方时，即，，过点P作于点E，利用解答即可；②利用函数的性质求得S的取值范围，画出函数的图象，依据图象解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点， 解得 该二次函数的解析式为； （2）解：如图所示，连， ，， ． ． ， ． ． ∴点P的纵坐标为4． ． 解得或． 由图可得． ． （3）解：①令，则， 解得，． ． 当点P在的上方时， 即，， 过点P作于点D， 则， ， ． ， 即，． 过点P作于点E，如图， 则． ． 综上，S关于t的函数解析式为． ②当时， ， ， 当时，S有最大值为， ． 当时，， ． 画出函数的大致图象，如图∶ 由图象可知∶当时，存在2个符合条件的点P． 18．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交抛物线于点， (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问中的点，得到新抛物线．点为新抛物线上的动点，连接、，若，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，点D的坐标为 (3)点M的坐标为或 【分析】（1）通过待定系数法将点B坐标代入即可求得b的值，从而得到抛物线表达式； （2）先求出直线的解析式，再求出点A的坐标，由，得到直线的解析式，设，则，得出的表达式，过点F作交于点G，设与的交点为H，直线与y轴交点P，利用平移的性质，平行四边形的性质和等腰直角三角形的性质得出面积的表达式，当时，面积有最大值即可求出，最终可得到点D的坐标； （3）先求出平移后的抛物线解析式，点M是新抛物线上的动点，且，此时点M分情况讨论：点M在点D左侧，点M在点D右侧，利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和勾股定理等即可求得点M的坐标． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵直线经过原点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线与x轴交原点和点A， ∴， 解得：，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴，点E在直线上，点D在抛物线上， 设，则， ∴， 如图，过点F作交于点G，设与的交点为H，直线与y轴交点P， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大值为，点D的坐标为． （3）解：设原拋物线向右平移m个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线解析式过点， ∴， 解得：，（舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵点M是新抛物线上的动点，且， 此时点M分情况讨论： ①当点M在点D左侧时， ∵点O为原抛物线与x轴交点， 要使，则点M为新抛物线与x轴交点，即点， ∴， 令，则， ∴，（舍去）， ∴； ②当点M在点D右侧时， 如图，作，交新抛物线于点，过点D作轴交x轴于点Q，过点D作交于点N，连接交于点T，过点N作轴交x轴于点R， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，解得：， 即， 在中，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，点M的坐标为或． 19．（26-27九年级上·重庆铜梁·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．    (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)，； (3)或． 【分析】（1）根据抛物线与轴的交点即可求出答案； （2）求出直线的解析式为，设，则，得到，根据二次函数的性质即可求出答案； （3）以为对角线作正方形则与抛物线的另一个交点即为，过点作轴的平行线交轴于点，过点作于点，则，证明，则，设则，得到，求出，得到，求出为：，联立得到，即可求出，得到，同理可得，直线为，联立得到，即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，点坐标为，点坐标为． ∴ （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为，把代入得到， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ 当时，有最大值， 此时； （3）解：如图，以为对角线作正方形 ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作于点，则， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 设则， ∴， 由可得，， 解得， ∴， 设为：， ∴， 解得， ∴为：， 联立得到， 解得或 ∴ ∵，，，正方形， ∴ 同理可得，直线为， ∴联立得到， 解得或 ∴ 综上可知，点的坐标为或． 20．（26-27九年级上·重庆巴南·阶段检测）已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点和B两点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图①，点P是线段下方抛物线上的一动点，连接，点M是y轴上一动点，点N是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线向左平移一个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，连接，点Q是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)解：将原抛物线向左平移1个单位，得到新抛物线的解析式为：， ∵，A向左平移1个单位得到， ∴， ∵， ∴，， ∵点Q是抛物线上一动点，且， ∴此时点Q的位置分情况讨论： 情况1：当点Q位于点下方时： 如图，过点C作交的延长线于点K，过点K作轴于点L， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（舍）或， ∴， 情况2：当点Q位于点上方时： 如图，作射线交新抛物线于点Q，使得，过点C作交于点R，过点R作轴交y轴于点T， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（舍）或， 综上，Q点坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法将点C和点A代入即可求得抛物线解析式； （2）作轴交于H，设，先求出直线的解析式，再设，从而得到的表达式，由三角形面积公式得出其表达式，利用二次函数的最值得到此时点P的坐标，紧接着利用轴对称的性质得到，当、M、N、四点共线时，取最小值，利用勾股定理即可求得最小值； （3）先求出平移后的抛物线解析式，从而得到平移后的点的坐标，再根据点Q是抛物线上一动点，且，分情况讨论点Q的位置：当点Q位于点下方时，当点Q位于点上方时；利用全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质推导出相关点的坐标，进而利用待定系数法求一次函数后，联立新抛物线解析式即可得出点Q的坐标． 【详解】（1）解：将，代入抛物线， 得到：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，作轴交于H， ∵P是线段下方抛物线上的一动点， ∴设， 设直线的解析式为：， 将A，C两点坐标代入直线得到：， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 作点P关于y轴的对称点，点C关于抛物线对称轴的对称点， ∴，， ∴，， ∴， ∴当、M、N、四点共线时，取最小值， ∴， ∴的最小值为． （3）略 ▌专题综合训练 一、选择题 1．（2026九年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，若为直角三角形，则m的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】先化简抛物线解析式，求出A、B、C三点的坐标，判断直角位置，只有可能为直角，再利用勾股定理列方程求解，舍去不符合题意的解即可得到的值． 【详解】解：∵， 令，得，解得，， ∵点A在点B左侧，∴，，可得， 令，得， ∴，C不与A、B重合，故， 若为直角三角形，分情况讨论： 若， ∵在轴上， ∴轴，A的横坐标等于C的横坐标为0，即，得， 此时，C与A重合，舍去； 若，同理得，， 此时，C与B重合，舍去； 因此只有，由勾股定理得， 计算得，，， 代入等式得：， 解得或， 舍去不符合题意的，得． 2．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】矩形对角线相等，把求的最小值转化成求抛物线上点到轴的最小距离即可． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 轴， 的最小值为， 的最小值为． 3．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，二次函数的图象交轴于点，点，与轴交于点，下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．①根据二次函数的图象经过，，可得到对称轴，并将代入解析式得到b、c与a的关系，及从而判断；②由对称轴和函数的图象可以判断；③算出a和c的关系即可；④由题意得到即可判断； 【详解】解：∵二次函数的图象经过，， ∴对称轴， ∴，， ∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象开口向上，对称轴， ∴当时，y随x的增大而增大；故②正确； ∵， 当时，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④错误； 正确的是①②③共3个． 故选：C． 4．（2026·安徽六安·二模）如图，在正方形中，，点E为边上的动点，F在边上，，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接，则下列结论错误的是（    ） A．的最小值是5 B． C． D．四边形面积的最大值为 【答案】D 【分析】作点F关于的对称点G，连接，则，可得的最小值是的长，可判断A选项；连接，根据题意可得，可判断B选项；过点P作于点H，连接，则，可得，证明，可得，设，则，其中，可得，根据二次函数的性质，可判断C选项；根据以及一次函数的性质，可判断D选项． 【详解】解：在正方形中，∵， ∴， 如图，作点F关于的对称点G，连接，则， ∴，， 即的最小值是的长， ∵， ∴的最小值是5，故A选项正确，不符合题意； 如图，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴，故B选项正确，不符合题意； 如图，过点P作于点H，连接，则， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，其中， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为2， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为0， ∴，故C选项正确，不符合题意； 根据题意得：， ， ， ， ∴ ， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为，故D选项错误，不符合题意． 二、填空题 5．（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图所示，二次函数的图象与x轴分别交于A，D两点，与y轴交于点C，点E坐标，过点E且垂直x轴的直线交抛物线于点B，若，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用三角形的面积求参数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 连接，假设，根据二次函数图象和性质表示出相关点的坐标，利用等面积法，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由点坐标，得， 当时，，即， 假设， ∴， ， ， ∴ 即， 整理得， 将代入得， ， 解得或， ∵点位于正半轴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 6．（26-27九年级上·上海·阶段检测）抛物线的顶点为，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为，平移前后的两条抛物线相交于点，若为等边三角形，则m的值为______． 【答案】 【分析】先配方得到原抛物线顶点坐标，根据平移性质得到顶点坐标和平移后抛物线解析式，联立方程求出交点坐标，利用等边三角形的高与边长的关系建立方程求解即可． 【详解】解：原抛物线配方得， ∴顶点的坐标为， ∵抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到顶点， ∴顶点的坐标为，平移后抛物线解析式为， 联立两个抛物线方程， 可得， 整理得， ∵， 两边同除以得，解得， 将代入，得， ∴点坐标为， ∵，， ∴（）， 如图所示，过点作于点，则为中点，坐标为， ， ∵是等边三角形， ， ∴， 又， ∴， ∵，两边同除以得， 解得（不符合题意，舍去）． 7．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，已知菱形的顶点，，在二次函数的图象上，点在轴正半轴上．且轴，则菱形的边长为________． 【答案】 【分析】设与y轴交于点E，证明是等边三角形，求出，设，，利用勾股定理和含角直角三角形的性质表示出，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，设与y轴交于点E ∵四边形是菱形 ∴， ∵轴 ∴轴 ∵菱形的顶点，在二次函数的图象上 ∴点B和点C关于y轴对称 ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴设， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵菱形的顶点在二次函数的图象上 ∴ 解得（舍去）， ∴ ∴菱形的边长为． 8．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，点在抛物线上，则______，点在直线上，若，则点的坐标是______． 【答案】 或 【分析】先根据题意画出图形，先求出点坐标，当点在线段上时：是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标． 【详解】解：在中，当时，，则有， 令，则有， 解得：，， ∴，， 根据点坐标，有， 所以点坐标，    设所在直线解析式为，其过点、， 得， 解得， ∴所在直线的解析式为， 当点在线段上时，设， ， 而， ∴， ∴， 因为：，，， 有， 解得：，， 所以点的坐标为：， 当在的延长线上时， 在中，，，， ∴， ∴， 如图延长至，取，    则有为等腰三角形，， ∴， 又∵， ∴， 则为符合题意的点， ∵， ∴， 的横坐标：，纵坐标为； 综上点的坐标为：或， 故答案为：；或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称性质，等腰三角形的性质，两点间的距离等知识，熟练掌握一次函数与二次函数的图象和性质，分情况找到点的位置是解题的关键． 三、解答题 9．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，过P作于点E，求的最大值． (3)在对称轴上是否存在点M，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，此时点M的坐标为或． 【分析】（1）根据题意可得交点式，进而可得答案； （2）过点P作轴交于点H，求出，证明是等腰直角三角形，得到，则可证明是等腰直角三角形，得到，故当最大时，最大；求出直线解析式为，设，，则，则，据此可得答案； （3）设出点M的坐标，根据等腰三角形的定义可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过、， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴交于点H， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入得，解得， ∴直线解析式为， 设，，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴此时最大为； （3）解：∵， ∴对称轴为直线 设点M的坐标为， ∵，， ∴，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， ∴， 解得，， ∴或； 综上所述，在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，此时点M的坐标为或． 10．（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，两点，交轴于点． 动点沿轴从点向点运动，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点． (1)求抛物线解析式； (2)是否存在点，使的面积等于的面积的？若存在，请求点的横坐标；若不存在，请说明理由． (3)在轴右侧的抛物线上有一点，的横坐标为，设该抛物线在点与点 之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，当 时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，点的横坐标为2或4 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出，直线的解析式为，设，则，，表示出，再结合表示出，最后结合的面积等于的面积的，计算即可得出结果； （3）由题意可得，求出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 由（2）可得，从而可得点关于对称轴对称的点的坐标为，再分三种情况，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得， ∴． （2）解：当时，，故， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， ∴ ， ∵的面积等于的面积的， ∴， 整理得， 解得，，均符合， ∴点的横坐标为2或4． （3）解：由题意可得， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 由（2）可得， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， ①当时，该段最高点为点，最低点为， ∵该抛物线在点与点 之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得； ②当时，最高点为顶点， 若，最低点为，此时符合； 若，，不符合； ③当时，最高点为顶点，最低点位于轴下方，， 由得， 即， 解得， 综上所述，的取值范围为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题06二次函数中的存在性问题 专题目标 掌握二次函数图象上点的坐标表示方法。 2. 会处理等腰三角形、直角三角形的存在性问题。 3. 会处理平行四边形的存在性问题。 会处理面积关系与特殊角的存在性问题。 在存在性问题中体会分类讨论与方程思想，形成规范完整的解题流程。 专题目录 题型01：等腰三角形的存在性问题 题型02：直角三角形的存在性问题 题型03：平行四边形的存在性问题 题型04：面积关系（面积相等、倍数）的存在性问题 题型05：特殊角（等角、定角）的存在性问题 题型01等腰三角形的存在性问题 题型描述：题干给出抛物线上（或坐标轴上）一动点，问是否存在点使与两定点构成等腰 三角形。核心得分点是按“哪两边相等”分类列方程。 基础知识： 1/18 两定点A、B,动点P:分PA=PB、PA=AB、PB=AB三类； PA=PB时点P在AB的垂直平分线上： 距离用坐标差的平方表示（可避免根号）： 排除三点共线情形。 解题方法： 设点表距：设动点坐标，用参数表示三条边的平方； 分三类：按两两相等列方程： 解参数：求出各类的解： 验存在：排除共线与不合范围的解。 解题思路： 口诀：设、类、解、排。距离平方代替距离，计算更简：“两圆一线”可帮助确定分类完 整性。 1,（26-27九年级上江西新余阶段检测)如图，已知二次函数=+2刃的图象与”轴交于点人，与”轴 交于点B,在x轴上方存在一点P,同时点P在对称轴上，若以P、A、B为顶点的三角形为等腰三角 形，点P的坐标为 2.(26-27九年级上四川德阳阶段检测)如图，抛物线'=？+c+C与轴交于点4,0)，B(3,0), 与y轴交于点C. 2/18 R 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： ②如图，过点A的直线与抛物线交于另一点D(4,5),点M在轴下方的抛物线上，MN∥y轴与4D 交于点N,求线段MN长度的最大值： (3)如图2，点P在抛物线的对称轴上，若△PAC是等腰三角形，求点P的坐标. 3.（2627九年级上天津滨海新区阶段检测)己知抛物线'=+r-3(b是常数)与x轴交于点A和点 B,与y轴交于点C. 0四若点4坐标为1,0) 求该抛物线的解析式和顶点坐标： (2)在(1)的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点N,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使 △CNP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由： (3)若在自变量x的值满足2 ≤x≤)b+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为L,求此时二次函 2 数的解析式. 4,（26:27九年级上湖北随州阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，揽物线'=++3 x轴交于 A(-1,0),B(3,0) 两点，与y轴交于点C. 3/18 (1)求该抛物线的解析式： (②)点P是该抛物线上位于第一象限内的一动点，连接PB,PC.当△PBC的面积最大时，求点P的坐标 及△PBC面积的最大值； (3)若点M是对称轴上一点，是否存在点M,使得△MAC是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件 的点M的坐标；若不存在，请说明理由. 题型02：直鱼三鱼形的存在性问题 题型描述：题干问是否存在点使与两定点构成直角三角形。核心得分点是按“直角顶点在 哪”分三类讨论。 基础知识： 以AB为斜边：点P在以AB为直径的圆上（九上圆的知识），坐标法用PA2十PB2= AB2; 直角在A(B):AB2十AP2=BP2(勾股关系)； 也可用两线垂直的斜率关系（数形结合，斜率法用一次函数知识）。 解题方法： 分三类：按直角顶点分别在P、A、B分类； 列勾股：每类写出两边的平方和等于第三边平方： 解参数：求动点坐标； 验取舍：排除共线与不符合范围的情形。 解题思路： 口诀：顶、股、解、验。直角存在性“三个顶点轮流当直角”；动点在抛物线上时把y用 x表示再代入。 5. (2627九年级上·新疆阶段检测)如图，A,B,C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线 4/18 BC:y=-x+3 y=ax2+bx+c 与抛物线 交于B,C两点，OB=30 ,抛物线经过A,B,C三点. B (1)求抛物线的解析式： (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线BC的上方，试求△BCN的最大面积. (3)在抛物线上是否存在点M,使得△BCM是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条 件的点M的坐标；若不存在，说明理由. 6.(25-26九年级上上海普陀阶段检测)如图，在平面直角坐标系x0中，已知抛物 y=x2+bx+c与 x轴交于AB两点(A在B的左侧)，与y轴负半轴交于点C,点C关于抛物线对称轴的对称点是点 -B(1,0)tan∠OBC=3 D.己知点 (1)求点A和点C的坐标： (2)如果抛物线对称轴上存在点P(点P在第三象限)，使得△ACP是直角三角形，求点P的坐标： (3)将抛物线平移，平移后的抛物线与x轴、'轴分别交于点E、F,当点F恰好为△ADE的重心时，求 平移后抛物线的表达式. ,。(2627九年级上黑龙江大庆阶段检测)如图，抛物线”=0+c+C与轴交于4、B两点，B点坐 标为4.0)，与'轴交于点C0,4) 5/18 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，,与y轴交于点F,求 PE+EF的最大值； (3)点D为抛物线对称轴上一点.当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标. 8。(26-27九年级上山东济宁阶段检测)已知，如图一次函数y=2x+1的图象与x轴交于点4，与y轴 交于点B:二次函数y=ax+m}+k的图象与一次函数y=2x+l的图象交于B、C两点，与x轴交于 31 D、E两点，且顶点坐标为2'8 (1)求二次函数的解析式： (2)若点P是x轴上的一动点，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标： (3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是直角三角形？若存在，求出所有的点P,若不存在，请说明 理由 题型03：平行四边形的存在性问题 6/18 题型描述：题干给出两（三）个定点，问是否存在点使四边形为平行四边形。核心得分点 是利用“对角线互相平分”的中点公式分类。 基础知识： 平行四边形对角线互相平分：对角线中点重合； 三个定点时，分别以三条连线为对角线分三类； +x2出+y2 中点公式： （2 2 由此得x+c=xg+xD的坐标关系。 解题方法： 定对角线：按哪两个点为对角顶点分类； 用中点：令对角线中点坐标相等： 解坐标：求出第四个顶点： 验形状：排除四点共线的退化情形。 解题思路： 口诀：线、中、解、验。平行四边形存在性“中点公式一招鲜”；三定点时必有三类，逐 类求第四点。 9.(26-27九年级上湖北襄阳阶段检测)如图，己知抛物线y=一 x2+(m-2)x+m2-2m(0m>0)的图象 C(03) 交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点 (I)①求抛物线的解析式及A、B两点的坐标： ②当1-1≤x≤1+1时，y的最大值为3，求t的值： ③若点 D(0,2) 是y轴正半轴上一点，作直线BD,点P是直线BD上方抛物线上一点，PQ∥x轴交BD 7/18 于点Q,令L=P巴，求L的最大值及此时点P的坐标： (2)点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边 形时，直接写出M、N两点的坐标 10.(2627九年级上黑龙江牡丹江阶段检测)如图，抛物线”=-+c+0与'轴交于4、B两点〈4 在B的左侧)，与'轴交于点V,过4点的直线)=+与'轴交于点C,与抛物线'-+r+C 的外一个交点为D,已知10,60，尸点为整物线=++“上一动点（不与A、D里 合). A (1)求抛物线和直线！的解析式： (②)当点P在直线I上方的抛物线上时，过点P作直线P№垂直于x轴，交直线AD于点，当线段P巴 最大时，求点P的坐标及PQ的最大值； 3)设M为直线I上的点，探究是否存在点M,使得以点N,C,M,P为顶点的四边形为平行四边 形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由， 1,(2627九年级上四川广交阶段检测)如图，抛物线'=-+c+C与轴交于 A(-1,0和点 B(3,0),与》轴交于点CQ3).P是抛物线上的一动点。 8/18 B M 图① 图② 备用图 (1)求抛物线解析式： (②)如图①，若点P在第一象限的抛物线上，且PE⊥x轴，交BC于E.求△PBC面积的最大值及此时 P的坐标： 3)如图②，M是抛物线的对称轴直线x=1上的一动点，当以B,C,P,M为顶点的四边形是平行 四边形时，直接写出点P的坐标. 12。（26:27九年级上湖南长沙阶段检测)如图。抛物线'=心+r-3的图象与*轴交于1(-1,0) B(3,0 两点，与'轴交于点C,直线与抛物线交于点B,交'轴于点D0,3) 图1 图2 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式： P(m,0)为线段OB上一动点，过点P作*轴的垂线EF,分别交抛物线与直线'于点E,F,连 (2) 接CE,CF,BE,求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值； 3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN‖AC交直线I于点N,是否存在点M,使以 A,C,M,N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在， 请说明理由， 9/18 题型04：面积关系（面积相等、倍数）的存在性问题 题型描述：题干问是否存在点使某三角形面积等于定值（或为另一面积的k倍）。核心得 分点是表示面积后列方程。 基础知识： 三角形面积=底×高÷2； 动点到定直线的距离（高）用坐标表示： 面积相等常转化为底边相等或高的关系： 同底等高、等底同高时面积相等。 解题方法： 定底高：选好底边，用参数表示高； 写面积：列出面积的表达式： 列方程：按面积条件列方程； 解验答：求解并检验点在指定图象（范围）上。 解题思路： 口诀：底、高、程、验。铅垂高×水平宽÷2是抛物线内三角形面积的利器；面积为定值常 有两解（点左右各一）。 13.2627九年级上江宁葫芦岛阶段检测)如图，抛物线-++c与轴交于点110、B(点 C(0,3) A在点B的左侧)，与y轴交于点 ,顶点为D (1)求抛物线的解析式： ②点P是直线C上方抛物线上的一个动点，使)Sx,求此时点P的坐标；如果不存在，请 说明理由. 10/18 14,(（26-27九年级上：安徽合肥阶段检测)如图，二次函数'=(+2旷+m有 的图象与y轴交于点C,点B在 抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=c+b的图象经过该二次函数图象上 A(-1,0) 的点 及点B. (1)求二次函数与一次函数的表达式： (2)设点P是(1)中所求抛物线上一点（不与点A重合），以P,B,C为顶项点的三角形的面积与 △ABC的面积相等，直接写出点P的坐标为一· 15.(26-27九年级上：湖北十堰阶段检测)如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B，C两点，抛物 线'=-x2+br+ 经过点B,C,与轴另一交点为. AO B (1)求抛物线的解析式. (2)若点M是抛物线上的一点，使得S.Mc=S.oc,请求出点M的坐标. 3)点 D(2,n 在抛物线上，连接BD.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足∠PBC=∠DBC? 如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由。 16。(2627九年级上天津河东阶段检测）如图，抛物线=(x-+4与x轴交于点A,B,与'轴交 11/18 于点C,过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BC,BD,已知点A的坐标为 -1,0) B 备用图 (1)求该抛物线的解析式， (②)抛物线上是否存在一点E,使得∠DBE=90°，若存在，求出E点坐标，若不存在，请说明理由. 3)在抛物线上是否存在一点P，使△PBC的面积与△DBC的面积相等？若存在，求出点P的横坐标： 若不存在，请说明理由. 题型05：特殊角（等角、定角）的存在性问题 题型描述：题干问是否存在点使某角等于已知角（或为45°、90°等特殊角）。核心得分点 是把角的条件转化为边、坐标或全等（相似）关系。 基础知识： 等角转化：两角相等常通过构造全等（对称)转化： 45°角常构造等腰直角三角形； 90°角用勾股关系（或直径所对圆周角）； 角相等的另一思路：转化为角平分线或平行线条件。 解题方法： 析角条件：把角的要求转化为边的关系： 作构造：作对称、垂线或等腰直角三角形： 列方程：用坐标关系列方程： 解验答：求解并检验。 解题思路： 口诀：角、构、程、验。见45°想等腰直角，见等角想对称全等；角度问题先“边化”再 “坐标化”。 17.(26-27九年级上湖北荆州阶段检测)如图，已知二次函数'=-++C 的图象与x轴交于点 12/18 (40和点B,与y交于点C0利，在接4C,点P为装上方桃数战上动点（点不与点C 重合)，设点P的横坐标为t. 1)b= (2)连接PC,当∠PCA=45°时，求t的值： 3)设以A,O,C,P为顶点的四边形的面积为S, ①求S关于t的函数解析式： ②若S取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点P,请直接写出S的取值范围. 18,(2627九年级上重庆九龙坡阶段检测如图1，抛物线”=女+m与*轴交于点4，与直线OB交于 点B(3),过点4作直线OB的平行线，交抛物线于点C, 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： ②)点D为直线AC下方抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴交直线OB于点E,过点E作EF⊥AC于点 F,连接DF.求△DEF面积的最大值及此时点D的坐标； 3)如图2，在(2)问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过(2)问中的点D,得到新抛物线.点 M为新抛物线上的动点，连接AM、DM,若∠DAM=∠DAO,直接写出所有符合条件的点M的坐 标。 13/18 19.(2627九年级上东状打哭骨设检测)如图，能物我=子+低+C与x锁交于AB两：与y 轴交于点C,点4坐标 为-10)，点B坐标为,0) (1)求此抛物线的函数解析式. (②)点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D,过点P作y轴的垂 线，垂足为点E,请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若 没有最大值，请说明理由 3)点M为该抛物线上的点，当∠MCB=45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标. 20.(26-27九年级上·重庆巴南阶段检测)已知抛物线y=2+x+C与y轴交于点C(0,2列，与x轴交于 点(40 和B两点，连接AC: 图① 备用图 (I)求抛物线的函数表达式： 2)如图O,点P是线段AC下方抛物线上的一动点，连接PA,PC,点M是y轴上一动点，点N是抛物 线对称轴上一动点，当△PAC面积取得最大值时，求点P的坐标及PM+MN+CN的最小值： 1 3)将抛物线y=)?+x+C向左平移一个单位长度得到抛物线片，点A的对应点为4，连接4C,点 2 14/18 Q是抛物线”上一动点，当 ∠0AC=45° 时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点 Q坐标的其中一种情况的过程。 专题综合训练 一、选择题 =x2-2mx+m2-1 1.(2026九年级上浙江专题练习)在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点 A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C,若△ABC为直角三角形，则m的值为() A.#3 B +2 C.0 D.2 2。(2627九年级上天津南开阶段检测)如图。在平面直角坐标系中，点4在抛物线'=-2x+6 运 动，过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为 () A.3 B.4 c.5 D.6 3.(2526九年级上四川眉山期未)如图，二次函数”=+6c+c(00)的图象交轴于点4(-1,0)， 点B(,0),与”轴交于点C,下列结论：0c>0,②当>1时，)随产的指大面增大，③8a+e>0。 SM:S=1:3 ;其中正确结论的个数有() 15118 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(2026安徽六安·二模)如图，在正方形ABCD中，AB=3,点E为边BC上的动点，F在边AB上， BF」，将线段F绕点P递时针旋转90°得到线段印，连接 90° FP PC,PD,PE ,则下列结论错误的是 () ◇ A.DE+EF的最小值是5 B DP+PF≥V13 17 C.0≤SAs≤2 D.四边形DEFP面积的最大值为4 二、填空题 y=x2+bx-4 5.(25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测)如图所示，二次函数 的图象与x轴分别交于A, D两点，与y轴交于点C,点E坐标 之0，过点E且垂直x轴的直线B交抛物线于点B,若.m-3 (-2,0) 则b= 反（26-27九年级上上海阶段检测)抛物线”=r-4r+ 的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单 位长度，得到的抛物线的顶点为B,平移前后的两条抛物线相交于点C,若△ACB为等边三角形，则 的值为一 7（27九年级上江苏南通阶段检测)如图，已知菱形ABCD的顶点B:C·D在二次函数写的 16/18 图象上，点A在y轴正半轴上.且AD上y轴，则菱形的边长为 8(2526九年级上浙江新州阶段检测)如图，抛物线'-6x+5与轴交于点4，B(点B在点4 的右边)，与'轴交于点C,点D(2,m 在抛物线上，则m=一，点E在直线BC上，若 ∠DEB=2∠DCB,则点E的坐标是 三、解答题 9.(26-27九年级上·山东东营·阶段检测)在平面直角坐标系中，抛物线 y=-x+br+C与x轴交于点 A(-5,0).B(L,0),与y轴交于点C. 17118 (1)求抛物线的解析式： (②)若点P是第二象限内抛物线上一动点，过P作PE⊥AC于点E,求PE的最大值， (3)在对称轴上是否存在点M,使得△ACM是以AM为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由 10,(26:27九年级上湖北十堰阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线'=+r+6 交轴于点 A(-2,0）B(6,0) 两点，交》轴于点C.动点M沿x轴从点O向点B运动，过点M作x轴的垂线交 直线BC于点N,交抛物线于点P (1)求抛物线解析式： (②)是否存在点M,使△PBC的面积等于△OBC的面积的3？若存在，请求点M的横坐标；若不存在， 请说明理由 3)在y轴右侧的抛物线上有一点T,T的横坐标为，设该抛物线在点C与点T之间（包含点C和 点T)的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为m,n,当1<m-n≤2时，直接写出t的取值范 围 18/18