专题09 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“通法+题型+挑战”构建二次函数中特殊四边形存在性问题的系统训练，通过分类讨论与几何性质融合，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|中点坐标公式列方程，分类讨论顶点位置，特殊四边形附加条件验证|从平行四边形到特殊四边形，按几何性质递进| |四类题型|4题型（每题型1典例+2变式）|平行四边形分对角线情况，矩形验证对角线相等，菱形验证邻边相等，正方形结合垂直与相等|以题载法，覆盖中考高频考法与易错点| |压轴挑战|6综合题|综合运用通法与题型技巧，突破多动点、图形变换综合问题|衔接中考压轴命题趋势，提升模型意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 题型二、二次函数中的矩形存在性问题 题型三、二次函数中的菱形存在性问题 题型四、二次函数中的正方形存在性问题 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，动力能力迁移 题型特征：在抛物线背景下，探究满足平行四边形、矩形、菱形或正方形的动点是否存在，需分类讨论。 解题方法：利用对角线互相平分（中点坐标公式）列方程；矩形附加对角线相等或垂直条件：菱形附加 邻边相等或对角线垂直条件：设参代入，按顺序分类讨论顶点位置。 易错提醒：分类讨论时遗漏顶点顺序导致重复或漏解；平行四边形只考虑一组对边相等而忽略对边平行： 利用向量或斜率时未检验三点共线情况；计算中点坐标时符号错误。 ◆ 夙题型归纳一精讲典型题法，夯失解题极基 题型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 典剑1(2026宁夏银川二模)如图，二次商数”=r+r- 的图象与轴交于 A(-3,0)B(1,0) 两点，与 y轴交于点C 1/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式. (2)点P是直线AC下方的抛物线上一动点，连接AP,PC,当△APC的面积最大时，求点P的坐标. (3)点M是抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q,使得以A,C,M,Q为顶点的四边形是平行四边形？若 存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。 题型模版 1特征：抛物线上动点与己知三点构成平行四边形，求动点坐标，常分三类（对角线不同）。 2方法：利用平行四边形对角线互相平分，设动点坐标，分三种对角线情况用中点公式列方程求解。 变式1-1(2026宁夏固原三模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物 y=ax2+bx+3(a≠0与x轴交于 A(-1,0)B(3,0) 两点，与'轴交于点C 图1 图2 (1)求该抛物线的解析式： (2)若点P是抛物线上位于第一象限的动点，当∠BCP=∠ABC时，求此时点P的坐标： ③如图2，将原抛物线水平向右平移，使点A落在点B(,0)处，点M是原抛物线对称销上任意一点，在平 移后的新抛物线上确定一点N,使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求出所有符合 条件的点N的坐标. 2/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式1-2(25-26八年级下辽宁盘锦期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=2+bx+3经过 A(-1,0)B(3,0) 两点，交'轴于点C.动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交BC于 点N,交抛物线于点P. VA 备用图 (1)求抛物线解析式： (2)抛物线的对称轴交BC于点E,顶点是点D,以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时， 求点N的坐标： (3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q,Q的横坐标为，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q) 的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为S,t,当s-1=1时，直接写出m的取值范围. 题型二、二次函数中的矩形存在性问题 典例2(2026江苏苏州一模)如图O,己知抛物线y=x+bx+c的图象与x轴的负半轴交于点A(-l,0), 。1 与x轴的正半轴交于点g:与y轴交于点C0,-3):直线4D与y轴交于点D02) E是第四象限抛物线 上一点，连接AE,DE,过点E作EF∥y轴交AD于点F,设E点横坐标为m. 3/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： (2)当m为何值时，△ADE的面积有最大值，并求出此时的最大值： (3)作EH‖x轴，且H点横坐标为2m+1,以EF,EH为邻边构造矩形EFGH.若矩形EFGH的边与抛物 线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点，求m的值. 题型模版 1.特征：抛物线上动点与己知三点构成矩形，求动点坐标，需满足对角线相等且互相平分。 2方法：利用平行四边形条件先求第四点，再验证对角线相等：或用向量垂直与相等列方程求解并验证。 变式2-1(2026湖北黄石一模)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-3交x轴于点B,交y轴于点C, 抛物线y=-r+br+ 经过B、C两点且与x轴交于另一点A. A 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点D是直线BC下方抛物线上的一点，若∠DCB=∠ABC,求点D的坐标： (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为， (m+l,-m）、M(m,-m为平面内两点，连结HM、OM 以HM、QM为边构造矩形HMQN ①求点N的坐标（用含m的式子表示）： 4/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出的取值范围. 变式2-2(25-26九年级上：广西崇左期未)如图，抛物线y=a2+bx+c的对称轴是直线x=1,与x轴交于 点A、B两点，且A点的坐标为（山，0），与y轴交于点C(0,-3), (1)求抛物线解析式及顶点D坐标： (2)点E为抛物线上一点，且 O=Sac,则点E的坐标为一： (3)点F为线段BC上任意一点，过点F作FM⊥x轴于点M,直线FM交抛物线于点N,求线段FN的最大 值： (④)点P是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点Q,使以点A、C、P、Q为顶点的四边 形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由. 题型三、二次函数中的菱形存在性问题 典剑3(2026陕西咸附模拟预测)如图。在平面直角坐标系中，抛物线'=+c+3(口≠0经过点 A(3,0),与”轴交于点B,且关于直线对称 B (1)求抛物线的函数表达式： 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D,在'轴上是否存在 点E,使得以B,C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由」 题型模版 1特征：抛物线上动点与己知三点构成菱形，求动点坐标，需满足四边相等且对角线垂直平分。 2方法：先利用平行四边形求第四点，再验证四边相等；或用距离公式列邻边相等方程，解出后验证对角 线垂直。 变式3】(2026宁夏吴忠模拟预测)如图，已知二次函数'=m+2x+ C(0,3) 的图象经过点 与x轴分 B(3,0) 别交于点A,点 点P是直线BC上方的抛物线上一动点， 备用图 y=ax2+2x+c (1)求二次函数 的表达式： (2)连接PO,PC,并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP'C.若四边形POP'C为菱形，请求出此时点 P的坐标： (3)当点P运动到什么位置时，△BCP的面积最大？求出此时P点的坐标和△BCP的最大面积. 变式3-2(2026九年级下海南海口·专题练习)如图，在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线 y=ax2+bx+ A3,0 经过点 ,与》轴交于点B,且关于直线x=1对称 VA 备用图 (1)求该抛物线的解析式： 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)当-1≤x≤1时，y的取值范围是0≤y≤21-1，求1的值： (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D, ①求线段CD的最大值， ②在y轴上是否存在点E,使得以B,C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若 不存在，说明理由。 题型四、 二次函数中的正方形存在性问题 典例4(26-27九年级上江苏·寒假作业)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax+br+3经 过点A(3,0),与y轴交于点B,且关于直线x=1对称. 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (②)当-1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤21-1，求t的值： (3)若点P、O在直线AB上，问：在该二次函数图象上是否存在点M,N,使得四边形POMN是正方形？ 若存在，请直接写出PQ的长；若不存在，请说明理由 题型模版 1.特征：抛物线上动点与已知三点构成正方形，求动点坐标，需满足四边相等且对角线垂直相等。 2方法：先利用平行四边形求第四点，再验证四边相等且对角线相等且垂直；或列向量垂直且长度相等方 程求解。 变式41(2026辽宁阜新一模)如图，已知二次函数'=-产+hx+C的图象交轴于点 (-1,0)B(2,0) 交y轴于点C,P是抛物线上一点. 7/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点P在直线BC上方时，求△PBC面积的最大值： (3)直线PE‖x轴，交直线BC于点E,点D在x轴上，点F在坐标平面内，是否存在点P,使得以D,E, F,P为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由. 变式4-2(25-26九年级上广东江门期中)如图，抛物线y=x+C与直线y=交于A,B两点，与y轴交 2,2) 于点C,己知B点的坐标是 备用图 (I)求直线AB及抛物线的解析式. (2)求△ABC的面积， (3)点P在抛物线上，点Q在直线AB上，在坐标平面内是否存在点M,使得以A,P,O,M为顶点的四边 形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由 ◆◆ 同压轴桃战一戏克高障压轴，突硅思维上保 一、解答题 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(2026九年级下青海西宁学业考试)知图，抛物线式-x4与x销交于A:B丙点（点4在点 B的左侧)，与y轴交于点C,点D是y轴右侧抛物线上一动点， (I)请直接写出点A的坐标和直线BC的函数解析式： (2)若点E是y轴上一点，连接DE,当DE⊥BC交BC于点M,且DM=EM时，求线段OE的长： (3)在x轴上是否存在点F,使以A,C,D,F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由 2.(2526九年级下宁夏银川阶段检测如图，抛物线”=+c+a≠0)与x轴相交于4-0)， B(3,0) C(0,3) 与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式： (②)连接BC,点P为抛物线上第一象限内一动点，当△BCP面积最大时，求点P的坐标： (3)设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点2，使以点B,C,D,O为顶点的四边形为 平行四边形？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，说明理由. 3.(25-26九年级下山东济南阶段检测)如图1，已知抛物线'=-r+r+c与*轴交于 (-1,0),B(3,0) 两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为. 9/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)设抛物线的对称轴为I,I与x轴的交点为D.在直线I上是否存在点M,使得四边形CDPM是菱形？ 若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接BC,PB,PC,设△PBC的面积为S. ①求S关于t的函数表达式： ②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标. 4(25-26九年级上江苏徐州期末)如图，抛物线"=+r+ 与”轴交于A、B两点（点A在点B的 左边)，点4、8的坐标分别是-，)、(3,0)，与轴交于点C,点C的坐标是Q3),点D和点C关于 抛物线的对称轴对称. B 0 备用图1 (1)求抛物线的解析式： (②)如图，直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,求线段FG的最大值： (3)点M是抛物线的顶点，点P是'轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A,M,P,O为顶点的四边形 是以AM为边的矩形，求点P的坐标 y=x2-2x-3 5.(25-26九年级上吉林延边期末)如图，抛物线 与x轴的正半轴交于点、与》轴交于 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点A.点P在该抛物线上运动.设点P的横坐标为”，过点P作P01y轴于点9，B(0,-2m-)在'轴上， 以EO,P巴为邻边作矩形POEF (备用图) (I)求点A和点B的坐标. (2)当点Q与点E重合时，求m的值. (3)当矩形P2EF为正方形时，直接写出m的值. (④当抛物线在矩形PF内的部分所对应的函数值y随x增大而减小时，直接写出m的取值范围. y=-x+bx+c 6.(25-26九年级上吉林·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 A(-1,0)B(3,0 ,与y轴交于点C. VA B 备用图 (1)求此抛物线的解析式： (2)点M点N均在这个抛物线上（点M在点N的左侧），点M的横坐标为，点N的横坐标为4-m.将 此抛物线上M、N两点之间的部分（含MN两点）记为图象G. ①当点M与点C重合时，求点N的坐标： ②当点M在x轴上方，图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为6时，求m的值： 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)设 D川，点E1- ,将线段DE绕点D顺时针旋转90°后得到线段DF,以DEDF为边构造正 方形DEGF,当正方形DEGF的边与二次函数在x≤3范围上的图象有且仅有一个公共点时，直接写出n的 取值范围。 12/12 专题09 二次函数中的特殊四边形存在性问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 题型二、二次函数中的矩形存在性问题 题型三、二次函数中的菱形存在性问题 题型四、二次函数中的正方形存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：在抛物线背景下，探究满足平行四边形、矩形、菱形或正方形的动点是否存在，需分类讨论。 - 解题方法：利用对角线互相平分（中点坐标公式）列方程；矩形附加对角线相等或垂直条件；菱形附加邻边相等或对角线垂直条件；设参代入，按顺序分类讨论顶点位置。 - 易错提醒：分类讨论时遗漏顶点顺序导致重复或漏解；平行四边形只考虑一组对边相等而忽略对边平行；利用向量或斜率时未检验三点共线情况；计算中点坐标时符号错误。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的平行四边形存在性问题 典例1（2026·宁夏银川·二模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标． (3)点是抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）将、代入求出抛物线解析式； （2）设，过作轴交于，用表示，利用二次函数的性质求点的坐标； （3）设，，，，分三种平行四边形对角线情况讨论求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过、， ∴， 解得：， ． （2）解：时，，， 设，代入，得， 设，过作轴交于，则， ， ， 当时，面积最大， ， ． （3）解：设，，，，分三种平行四边形对角线情况： ①当为对角线时，中点为， 根据平行四边形性质，同时也为中点， ∴， 整理第二个方程得，， 解得（舍去，与重合），， ∴，， ∴； ②当为对角线时，中点与中点为同一点， 同理可得，， 整理第二个方程得，， 解得(舍)，， ∴，， ； ③当为对角线时，中点与中点为同一点， ， 整理第二个方程得，， 解得， ∴当时，，此时； 当时，，此时， 综上，点坐标为或或或． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与已知三点构成平行四边形，求动点坐标，常分三类（对角线不同）。 2.方法：利用平行四边形对角线互相平分，设动点坐标，分三种对角线情况用中点公式列方程求解。 变式1-1（2026·宁夏固原·三模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上位于第一象限的动点，当时，求此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使点落在点处，点是原抛物线对称轴上任意一点，在平移后的新抛物线上确定一点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】 （1）将，代入，解方程组即可； （2）设，则，，确定，根据得，继而得到，求解即可； （3）由得原抛物线对称轴是直线，根据将原抛物线水平向右平移，使点落在点处，可得原抛物线水平向右平移了个单位，平移后的抛物线是，设，，分三种情况：①以、为对角线，则的中点即是中点；②以、为对角线，则的中点即是中点；③以、为对角线，则的中点即是中点；分别画图求解即可． 【详解】（1） 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2） 解：如图，设， ∵点是抛物线上位于第一象限的动点， ∴，， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴； （3） 解：∵原抛物线的解析式为，，， ∴原抛物线的对称轴是直线， ∵将原抛物线水平向右平移，使点落在点处， ∴原抛物线水平向右平移了个单位， ∴平移后的抛物线是， 设，， ①以、为对角线，则的中点即是中点，如图， ∴，解得：， 此时点的坐标为； ②以、为对角线，则的中点即是中点，如图， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； ③以、为对角线，则的中点即是中点，如图， ∴， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 变式1-2（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，交轴于点．动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标； (3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s，t，当时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）将抛物线解析式化为顶点式得出，求出，从而可得直线的解析式为，进而得出，，设，则，，求出，由题意可得，要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则，得出，由此计算即可得出结果； （3）由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，分三种情况：当时，当时，当时，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∵动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，则，， ∴， 由题意可得， ∴要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴， 解得（此时点与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴当时，， ∴； （3）解：由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， ∵在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m， ∴当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分单调递增，最高点为点，最低点为点，即，，则，不满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，由对称性可得最低点的值为，即，，则，满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，最低点为点，且点的值小于，即，，则，不满足条件； 综上所述，当时，m的取值范围为． 题型二、二次函数中的矩形存在性问题 典例2（2026·江苏苏州·一模）如图①，已知抛物线的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，是第四象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式： (2)当为何值时，的面积有最大值，并求出此时的最大值； (3)作轴，且点横坐标为，以，为邻边构造矩形．若矩形的边与抛物线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将，坐标代入解析式即可求出解析式； （2）利用△的面积减去△的面积得出△的面积，分析关于的二次函数的最值； （3）根据矩形的顶点坐标，结合矩形的边与抛物线的交点情况，分三种情况讨论矩形各边中点在抛物线上的情形，分别列方程求解并检验，确定的值． 【详解】（1）解：将，代入， 得，解得， 抛物线的函数表达式：； （2）解：设直线的解析式将，代入得 ，解得， 直线的解析式为， 点，， ， 的面积减去的面积得出的面积， ， ，二次函数开口向下， 当时，有最大值是； （3）解：点位于第四象限， ， ，即点位于点右侧， 矩形与抛物线有三个交点， 点位于抛物线对称轴左侧， ， 点的对称点为， 则必有， 即， ， 由题意得，，， ①当中点位于上时，如图， 中点坐标为，， 又中点在抛物线上， ， ， 解得：（舍去），； ②当中点位于上时，如图， 同理可得，中点坐标为， 代入抛物线解析式得，， 解得：（舍去），（舍去）； ③当中点位于上时，如图， 同理可得，中点坐标为， 代入抛物线解析式得，， 解得：（舍去），； 综上所述，或． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与已知三点构成矩形，求动点坐标，需满足对角线相等且互相平分。 2.方法：利用平行四边形条件先求第四点，再验证对角线相等；或用向量垂直与相等列方程求解并验证。 变式2-1（2026·湖北黄石·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）先求出点，再将两个点的坐标代入二次函数关系式，求出答案即可； （2）分两种情况：当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，，结合点，可知点D的纵坐标是，再代入函数关系式得出答案； （3）①根据点可得答案； ②当点H，M重合时，求出． 再分两种情况：当点M在点H下方时，当时，矩形内没有函数y的图象；当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，可得取值范围； 当点M在点H上方时，有两种可能：当时，此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大；当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，综合以上情况可得答案． 【详解】（1）解：当时，， 解得； 当时，， ∴点． ∵点B，C在抛物线上， ∴， 解得， ∴二次函数关系式； （2）解：∵点， ∴，且， ∴． 当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，， ∵点， ∴点D的纵坐标是， 令，， 解得， ∴点； （3）解：①当时，， ∴点，则点． ②抛物线，顶点坐标为． 当点H，M重合时，则 解得． 当点M在点H下方时，如图所示， 即， 由题意，得． 当点H，N达到对称轴两侧对称的位置时，则，则当时，矩形内没有函数y的图象； 当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，即； 当点M在点H上方时，如图， 即或， 当时，，即， 此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大； 当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，则． 综上所述，或． 变式2-2（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线解析式及顶点D坐标； (2)点E为抛物线上一点，且，则点E的坐标为 　 　； (3)点F为线段上任意一点，过点F作轴于点M，直线交抛物线于点N，求线段的最大值； (4)点P是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)存在，或或或 【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可； （2）根据题意，得，然后根据二次函数的解析式，确定一元二次方程，解方程即可； （3）先确定直线的解析式为：．设，则， 则， 根据抛物线性质解答即可． （4）设，，，，故，分或或为对角线时，利用中点坐标公式解答即可． 此题属于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的最值，中点坐标公式，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并能利用分类讨论思想求解点N的坐标是解答此题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； ， 故抛物线的顶点． （2）解：， ， 解得， 故， 根据题意，得， ∵， ， 即， 则， 或， 或， 解得或无解， 故或， 故答案为：或． （3）解：设直线的解析式为， 将，代入直线解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设，则， 则， 故， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，最大，且最大值为． （4）解：存在，理由： 设，，，， 故， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： 解得：或，， 故或； 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得， 故； 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得， 故； 故存在点Q，使得A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形且坐标为或或或． 题型三、二次函数中的菱形存在性问题 典例3（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在以，，，为顶点的四边形是菱形，边长为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据对称轴，求出，把点代入函数解析式，求出，即可得到函数解析式； （2）令，得，求出，设直线的解析式为：，根据待定系数法，求出函数解析式，设，则，得到 ，，，分类讨论：①当为边时，，②当为对角线时，，求出，即可得到菱形的边长． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，即． ． 将代入，得， 解得． 抛物线的函数表达式为． （2）解：存在． 令，得， ， 设直线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 直线的函数表达式为， 设，则， ，，， 当以，，，为顶点的四边形是菱形时，分为以下两种情况： ①当为边时，，即， 解得（不合题意，舍去），， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，，即， 解得（不合题意，舍去），， 此时菱形的边长为， 综上所述，存在以，，，为顶点的四边形是菱形，边长为或． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与已知三点构成菱形，求动点坐标，需满足四边相等且对角线垂直平分。 2.方法：先利用平行四边形求第四点，再验证四边相等；或用距离公式列邻边相等方程，解出后验证对角线垂直。 变式3-1（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，并把沿y轴翻折，得到四边形．若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，的面积最大？求出此时P点的坐标和的最大面积． 【答案】(1) (2) (3)当点的坐标为时，最大面积值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，连接，由菱形的性质可得垂直平分，从而可得点的纵坐标为，令，则，计算即可得解； （3）过点P作轴，交于点Q，求出直线的解析式为，设，则，，表示出，再由二次函数的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：将点和点的坐标代入函数解析式得： ， 解得， 二次函数的解析式为：； （2）解：∵， ∴， 如图，连接， ∵四边形为菱形， ∴垂直平分， ∴点的纵坐标为， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴令，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：如图，过点P作轴，交于点Q， 设直线的解析式为， 将，代入可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，最大，最大为， 当时，，即． 变式3-2（2026九年级下·海南海口·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点， ①求线段的最大值， ②在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②存在，边长为或2 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）①根据题意求出点坐标，得到直线的解析式，设，则，进而可得即可；②分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：， 故； （3）①当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴， 故线段的最大值为； ②存在； 由①知，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 题型四、二次函数中的正方形存在性问题 典例4（26-27九年级上·江苏·寒假作业）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)若点、在直线上，问：在该二次函数图象上是否存在点，，使得四边形是正方形？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）先求出直线，设，直线与轴交点为，当在上方时，过点作于点，可得，设直线，与抛物线表达式联立得，，得到，设，那么由韦达定理可得，则，而，则得到，解得或（舍），故；当在下方时，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）解：存在，理由如下： 对于，当时，， ∴， 设直线 ∵点， ∴， 解得， ∴直线， 设，直线与轴交点为， 当在上方时，过点作于点，如图： ∵正方形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴由得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴设直线， 与抛物线表达式联立得，， ∴， 设 ∴， ∴ ∵， ∴， 解得或（舍）， ∴； 当在下方时，过点作于点，如图： 同理可得，，， ∵， ∴设直线， 与抛物线表达式联立得，， ∴， 设 ∴， ∴ ∵， ∴， 解得或（舍）， ∴； 综上：的长为或． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与已知三点构成正方形，求动点坐标，需满足四边相等且对角线垂直相等。 2.方法：先利用平行四边形求第四点，再验证四边相等且对角线相等且垂直；或列向量垂直且长度相等方程求解。 变式4-1（2026·辽宁阜新·一模）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为； (3)存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或或． 【分析】（1）把，代入，可得，，即可得二次函数的表达式； （2）设，作轴于点，则，，利用割补法，可得，即可得面积的最大值； （3）由待定系数法，可得直线的解析式为，设，由轴，可得，根据题意进行分类讨论，结合正方形的性质，即可得点坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，， ∴， 解得， ∴． （2）解：在中，令，得， ∴， 设， ∵点在直线上方，，， ∴，， 作轴于点，则，， 用割补法求面积： ∵的面积等于梯形的面积加的面积减去的面积， 梯形的面积， 的面积， 的面积， ∴面积 ， ∵， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． （3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，点在上方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形是正方形，点在下方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为或或． 变式4-2（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是． (1)求直线及抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)直线的解析式为，抛物线的解析式是； (2)3 (3) 【分析】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图象及性质，三角形和正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意得出，，连接，然后结合图形得出即可求解； （3）分是正方形的边和是正方形的对角线两种情况分析，再根据正方形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与抛物线交于点 ∴，， ∴， ∴直线的解析式为，抛物线的解析式是； （2）解：联立方程组， 解得或， ∴点A的坐标是， 当时，， ∴点C的坐标是， ∴， 连接，如图所示： ∴； （3）解：当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示： 此时M点与A点关于y轴对称，点Q与点O重合，点P与点Q关于对称， ∴，， ∴，，， ∴当，时，四边形为正方形； 同理，当点M与顶点C重合，点Q与点O重合时，如图所示： ∴当，时，四边形为正方形； 当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示：作点A关于的对称点M， ∴，， ∴当，时，，四边形为正方形； 如图，当是正方形的对角线时，如图所示： ∴点P的纵坐标为 ∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述：M点坐标为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、解答题 1．（2026九年级下·青海西宁·学业考试）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点是轴右侧抛物线上一动点． (1)请直接写出点的坐标和直线的函数解析式； (2)若点是轴上一点，连接，当交于点，且时，求线段的长； (3)在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)2 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）分别将、代入抛物线，求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可； （2）连接，则，易证得、、是等腰直角三角形，进而得到点的纵坐标为，从而求出点的坐标，根据进行求解即可； （3）设点，点，分情况讨论：当为平行四边形的对角线或为平行四边形的对角线或为平行四边形的对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， 点在点的左侧， 、， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将、代入得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：如图，连接， 、， ， ， 是等腰直角三角形， ， 、， 是等腰三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， 点的纵坐标为， 令，， 解得或（舍去）， 、； （3）解：存在，点的坐标为或或，理由如下： 由（1）知、， 设点，点， 分情况讨论： ①当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或(舍去)， ； ②当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或（舍去）， ； ③当为对角线时，如图： 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得或(舍去)， ； 综上所述，点的坐标为或或． 2．（25-26九年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点P为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点P的坐标； (3)设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）设交点式，然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，作轴交于M，如图1，设，则，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质求解； （3）如图2，分类讨论：当四边形为平行四边形，设，利用点平移的坐标规律得到，然后把代入中求出a即可得到Q点坐标；当四边形为平行四边形或四边形为平行四边形时，利用同样方法可求出对应Q点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为，即； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 所以直线的解析式为， 作轴交于M，如图1， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积最大，此时P点坐标为； （3）解：如图2，抛物线的对称轴为直线， 当四边形为平行四边形，设，则， 把代入得，解得， ∴； 当四边形为平行四边形时，设，则， 把代入得，解得， ∴； 当四边形为平行四边形时，设，则， 把代入得，解得， ∴， 综上所述，满足条件的Q点坐标为或或． 3．（25-26九年级下·山东济南·阶段检测）如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，，，设的面积为． ①求关于的函数表达式： ②求点到直线的距离的最大值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)①；②点到直线的距离的最大值为， 【分析】（1）把代入，解关于、的二元一次方程组求出、的值即可； （2）连接，交对称轴于，根据菱形的性质得出，，根据（1）中解析式得出，对称轴为直线，可得，进而求出，即可得答案； （3）①过点作轴于，交于，先利用待定系数法求出直线解析式为，得出，，，利用三角形面积公式即可得出；②利用勾股定理求出，利用的面积求出，得出时，的最大值为，把代入即可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，连接，交对称轴于， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，点的横坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，，轴， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． （3）解：①如图，过点作轴于，交于， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴． ②如图，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，即点到直线的距离的最大值为， 当时，， ∴． 4．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点M是抛物线的顶点，点是轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记与y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解；如图，当在的左边，同理可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入 得 ，解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记与轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ，解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ∴， ， 解得：，即； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即； 综上：或． 5．（25-26九年级上·吉林延边·期末）如图，抛物线与x轴的正半轴交于点、与轴交于点．点在该抛物线上运动，设点的横坐标为，过点作轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形． (1)求点和点的坐标． (2)当点与点重合时，求的值． (3)当矩形为正方形时，直接写出的值． (4)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2) (3)；；； (4)或 【分析】本题主要涉及抛物线的性质，点的坐标计算，正方形的性质以及函数的增减性，合理分类讨论矩形的变化情况是解题的关键． （1）把和分别代入运算求解即可； （2）利用二次函数式子表达出，从而得到，令和的纵坐标相等列式运算即可； （3）分类讨论矩形的变化情况，再令一组邻边相等，列式运算即可； （4）分类讨论矩形的变化情况，分析求解即可． 【详解】（1）解：把代入可得：， ∴， 解得：，， ∴； 把代入可得：， ∴； （2）解：∵的横坐标为， ∴， ∵轴于点， ∴， ∵， ∴当重合时，则， 解得：； （3）解：当有一组邻边相等时，矩形为正方形，由（2）可得：当时重合； ①当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； ②当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； ③当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； ④当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； 综上，的值为：；；；； （4）①解：当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小，符合题意； ②当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内没有图像，不符合题意； ③当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小，符合题意； ④当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内的部分所对应的函数值既有随增大而减小，又有随增大而增大，不符合题意； 综上，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小时，的取值范围为：或． 6．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求此抛物线的解析式； (2)点M、点N均在这个抛物线上（点M在点N的左侧），点M的横坐标为m，点N的横坐标为.将此抛物线上M、N两点之间的部分（含M、N两点）记为图象G． ①当点M与点C重合时，求点N的坐标； ②当点M在x轴上方，图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为6时，求m的值； (3)设点，点，将线段绕点D顺时针旋转后得到线段，以为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3)或或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出答案； （2）①求出C点坐标为，得到；则点N的横坐标为，即可求出答案；②由题意设，，分当和时两种情况讨论，再结合题意确定符合条件的m值即可； （3）分情况讨论，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，， ∴ 解得 ∴抛物线解析式为， （2）解：①当时，， ∴C点坐标为； ∵点M与点C重合， ∴； ∵点N的横坐标为 ∴点N的横坐标为， 当时，， ∴点N的坐标为； ②令，得：， 解得：或， ∴顶点坐标为，A点坐标为，B点坐标为； 由题意得：抛物线对称轴为直线， ∵当时，， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 又∵点M在x轴上方， ∴， 当时，如图1， 此时，点离对称轴最远，其纵坐标是最小值，顶点处取最大值， ， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，如图2， 点离对称轴最远，其纵坐标是最小值，点离对称轴最近，其纵坐标是最大值， ， 解得：（不合题意，舍去）， 综上所述：图象的最高点与最低点的纵坐标差为6时，的值为； （3）解：如图3，当点D在E点上方时， ， ∴， 只有F在抛物线上满足要求， ∴， ， 把F点代入抛物线解析式得： ， 得，（舍）， 当点E在点D上方时， ， ∴， 如图4，当点G在抛物线上时，满足要求， 此点G的纵坐标与上一情况的纵坐标相等， ∴， 如图5，当B在上时，有两个交点， ∴， ∴当时，正方形与抛物线只有一个交点， 综上：当或或时，与抛物线有且只有一个交点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $