专题08 二次函数与一次函数综合 专项训练讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题08 二次函数与一次函数综合 ▌专题目标 1. 掌握联立两函数解析式求交点的方法。 2. 会利用图象比较两个函数值的大小。 3. 会求直线与抛物线围成图形的面积。 4. 掌握铅垂高（水平宽）法求线段最值。 5. 会处理两函数背景下的存在性问题，体会数形结合思想。 ▌专题目录 题型01：两函数交点坐标与解析式的求解 题型02：利用图象比较函数值的大小 题型03：直线与抛物线围成图形的面积问题 题型04：铅垂高（水平宽）法求线段最值 题型05：两函数背景下的存在性问题 ▌题型01：两函数交点坐标与解析式的求解 题型描述：题干给出抛物线与直线（常含待定系数），求交点坐标或解析式。核心得分点是联立方程与待定系数法。 基础知识： 1. 交点坐标满足两个解析式； 2. 待定系数法：把已知点代入求系数； 3. 联立消y得一元二次方程，其根即交点横坐标； 4. 点在图象上则坐标满足解析式。 解题方法： 1. 代已知点：把已知交点代入求待定系数； 2. 联立：两解析式相等； 3. 解方程：求交点横坐标； 4. 代回求y：代回直线求纵坐标。 解题思路： 口诀：代、联、解、回。求解析式用“点进式出”；求交点用联立；代回求y优先选直线解析式。 1．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）二次函数图象的对称轴过点，该函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值是_______． 【答案】4 【分析】由对称轴过点可得对称轴为，即，从而得到；点 在一次函数上，代入得，即在二次函数上，代入得 ；将代入后化简得；所求表达式可化为 ，故结果为4． 本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与一次函数的交点意义，求代数式的值，熟练掌握对称轴的应用，交点的意义是解题的关键． 【详解】解：二次函数 （）的对称轴方程为； ∵ 对称轴过点， ∴ ，即 ； 点 在一次函数上， ∴ ，即； ∵ 点在二次函数上， ∴ ， 即； 将代入上式，得， ， ， 将代入得，， ∴ ， 故答案为：4． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与轴相交于点． (1)求的值和二次函数的解析式； (2)当时，求的取值范围； (3)请直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)当或时，． 【分析】（1）把点坐标代入一次函数式中，即可求得的值；利用待定系数法即可求得二次函数解析式； （2）依据题意，结合（1）将二次函数化成顶点式，再根据二次函数的增减性和自变量范围,求对应函数值的范围； （3）已知一次函数与二次函数的交点坐标，再结合函数图象即可写出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点、， ∴把点的坐标代入得：，解得：； ∴把点，点的坐标代入二次函数得： ，解得：， ∴二次函数解析式为． （2）∵由（1）可得函数解析式为， ∴化为顶点式：， ∴二次函数开口向上，对称轴为，有最小值为． ∵， ∴当时，；当时，；当时，， ∴当时，． （3）∵，从图形上看是一次函数的图象位于二次函数图象的下方， ∴结合图象观察得，当或时，一次函数的图象位于二次函数图象的下方， ∴当或时，． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质，求二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 3．（25-26八年级下·北京·期末）已知二次函数（）经过两点． (1)对称轴方程为_ ，用含a的代数式表示c，则_ ； (2)一次函数与有且只有3个公共点时，求a的值； (3)过点作垂直于x轴的直线分别与一次函数，二次函数交于E，F两点，满足当的时候，总有E，F两点之间距离小于，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将代入即可求出结果； （2）的图象是将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴上翻折到轴上方，要使一次函数与有且只有3个公共点，当经过时，；当一次函数与在点之间的图象只有一个交点时，； （3）令，经过原点，关于直线对称，由当时，，可得，从而确定；当时，此时当时，取最大值为，得出；当时，此时当时，取最大值为，得出． 【详解】（1）解：将代入得： ，解得：， ∴对称轴方程为（）， 综上：对称轴为，． （2）解：一次函数的图象为一条直线， ∵，， ∴， ∴， ∴的图象是将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴上翻折到轴上方， ∴在轴下方没有图象， ∴要使一次函数与有且只有3个公共点，则， ∴， 如图所示，当经过时， ∴，解得：； 如图所示，一次函数与在点之间的图象只有一个交点， 在点之间的图象解析式为， 令，整理得：， ，解得：或（舍去）， 综上：或． （3）解：∵， ∴，， ∴， 令，当时，， ∴经过原点，关于直线对称， 当时，；当时，；当时，； ∵当时，， ∴且， ∴， ∴， 当时，解得：，如图所示： ∴此时，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时当时，取最大值为， ∴，解得：， ∴， ∴当时，解得：，如图所示： ∴此时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时当时，取最大值为， ∴，解得：， ∴， 综上：． 4．（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知二次函数（为常数，且）． (1)若点在该函数图象上，求的值； (2)判断该二次函数的图象与轴是否存在一固定的公共点？若存在，求出这个点的坐标；若不存在，说明理由； (3)已知一次函数． ①若对于任意的，都有，求的值； ②当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3)①；②且 【分析】（1）将代入计算即可； （2）令，解方程即可求解； （3）①根据得出，设，根据，抛物线开口向上，，得出，即可求解； ②根据，又为一次函数一次项系数，得出且，根据得出，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得． （2）解：二次函数的图象与x轴存在一固定的公共点， 令 即 ∴ 解得：或 ∴当时，恒成立， 这个固定的公共点的坐标为 （3）解：①∵， ∴ ∴ 设 ∵，抛物线开口向上，， ∴ ∴ ∴ ②∵，即， 由①可得当时， ∵，抛物线开口向上， 当时 即， ∴ 解得 要使当时，， 即， ∴ 解得： ∵，又为一次函数一次项系数， ∴且 ∴且 ▌题型02：利用图象比较函数值的大小 题型描述：题干给出两函数图象（或解析式），比较同一x处两函数值的大小或解不等式。核心得分点是以交点为界，看谁的图象在上方。 基础知识： 1. 图象在上方的函数值大； 2. 交点是大小关系的分界点； 3. 不等式ax²＋bx＋c＞kx＋m的解集即抛物线在直线上方部分的x范围。 解题方法： 1. 求交点：联立求交点横坐标； 2. 画草图：标出两图象位置； 3. 分段读：以交点为界比较上下； 4. 写结论：按区间写出大小关系（解集）。 解题思路： 口诀：交、图、段、写。“谁高谁大”，交点分段；端点是否取等看不等号是否带等号。 5．（25-26九年级上·河北沧州·期末）若在二次函数的图象上，在反比例函数的图象上，则下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的增减性，反比例函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．根据抛物线的增减性，反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：抛物线的解析式为， 故抛物线的对称轴是，且抛物线的开口向上， 故抛物线上的点，距离对称轴越远函数值越大， 是抛物线上的两点， 且， 故； 在反比例函数的图象上， 得， 故选：A． 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数图像的对称轴为直线，且经过点、，试比较大小：______．（填“>”“＜”或“＝”） 【答案】> 【分析】本题主要二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由抛物线对称轴是直线, 从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，又, 则, 最后可以判断得解. 【详解】解：由题意，抛物线对称轴是直线, 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小. 又, 故答案为：>. 7．（24-25九年级上·浙江舟山·阶段检测）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上． (1)若，，求该抛物线的对称轴； (2)若时，已知点，在该抛物线上．比较，的大小，并说明理由； (3)若，已知点，，在该抛物线上．比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质和二次函数的解析式． 根据题意将点和点代入解析式求解． 根据题意将点和点，在抛物线，因为，所以对称轴为，因为，所以开口向上，横坐标距离对称轴越大，纵坐标的值越大，即可得到答案． 分类讨论b的正负情况，根据可得对称轴在与直线之间，再根据各点到对称轴的距离判断y值的大小． 【详解】（1）解：根据题意，，点和点在抛物线上， ∴将点，代入解析式得：，解得：， ∴解析式为：． （2）解：根据题意将 点和点，在抛物线， 因为，， ∴对称轴为， ∵，所以开口向上，横坐标距离对称轴越大，纵坐标的值越大， ∴，， ∴． （3）解：∵， ∴抛物线开口向上且经过原点， 当时，抛物线顶点为原点，时y随x增大而增大，不满足题意， 当时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，不满足题意， ∴时，抛物线对称轴在y轴右侧，时，时， 即抛物线和x轴的2个交点，一个为，另一个再2和4之间， ∴抛物线对称轴在直线与直线之间， 即， ∴三点离对称轴由近到远的顺序是，， ∴． 8．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线经过点和，抛物线（为常数，且）． (1)求抛物线的解析式，并求出它的对称轴； (2)点和点分别在，上． ①若，，试判断与的大小，并说明理由； ②若点，的横坐标始终满足，其中为非零常数，且的值是一个与无关的定值，求这个定值． 【答案】(1)抛物线的解析式为，对称轴为直线 (2)①，理由如下：当时，的解析式为， ∵， ∴，． ∴ ， ∵， ∴，， ∴，即， ∴； ②定值为 【分析】（1）用待定系数法求的解析式，再计算对称轴即可； （2）①作差法比较与的大小，结合t的范围判断差的符号；②将整理为关于的多项式，令含的项系数为0，计算定值即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为，对称轴为直线； （2）解：①略 ②，点P在上，点Q在上， ，． ∴ ， 的值与无关， ∴， 解得， 将，代入得， ∴， 这个定值为． ▌题型03：直线与抛物线围成图形的面积问题 题型描述：题干给出直线与抛物线的两个交点，求它们与某点围成图形的面积。核心得分点是求交点并用分割法求面积。 基础知识： 1. 围成面积常用分割：以竖直线（水平线）把图形分成两个三角形； 2. 抛物线上点的纵坐标用解析式表示； 3. 面积＝两三角形面积之和。 解题方法： 1. 求交点：联立求两交点坐标； 2. 作分割：过交点（或顶点）作坐标轴的平行线分割图形； 3. 算各块：分别求各三角形面积； 4. 求和答：合并得总面积。 解题思路： 口诀：交、割、块、和。不规则图形“切一刀变两块”；沿坐标轴方向切，底和高都好表示。 9．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和点，与y轴交于点C． (1)求这两个函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)二次函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)3 【分析】（1）把点代入，可求出二次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求出一次函数的解析式； （2）根据的面积，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 把点代入得：， ∴点， 把点，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：对于，当时，， ∴点，即， ∴的面积． 10．（2026·辽宁·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求和的值； (2)是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴，垂足为．是反比例函数的图象上的点．若点到轴的距离是点到轴的距离的倍，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)面积的最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征，将代入求得，得，再将代入可得的值； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，得，，，继而得到，进一步得到，再根据二次函数的最值可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：反比例函数的解析式为， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设， ∵是一次函数在第一象限内的图象上的点，垂直于轴， ∴，，， ∴， ∵是反比例函数的图象上的点，且点到轴的距离是点到轴的距离的倍， ∴， ∴点的横坐标为， ∴， ∵ ， 又∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时， ∴面积的最大值为，此时点的坐标为． 11．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数的图像与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，与一次函数的图像交于A，C两点． (1)求b的值； (2)求点C坐标并求出的面积； (3)根据图像，直接写出当时x的取值范围． 【答案】(1) (2)；6 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数与不等式之间的关系，求一次函数解析式等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）求出点A的坐标，再把点A的坐标代入一次函数解析式中计算求解即可； （2）联立两函数解析式求出点C坐标，再根据求出对应的面积即可； （3）利用函数图像找到二次函数图象在一次函数图像上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：在中，当时，则， 解得或， ∴， 把点A的坐标代入中得， 解得； （2）解：由（1）得，，， ∴； 联立， 解得或， ∴， ∴； （3）解：由函数图像可得，当时，x的取值范围为或． 12．（25-26九年级上·天津武清·阶段检测）一次函数的图象与二次函数的图象交于点和，与轴交于点． (1)求和的值； (2)当，时，求的面积． (3)在（2）的条件下若直线下方的抛物线上有一动点，请直接写出当的面积取最大值时点的坐标． 【答案】(1)， (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由点的坐标先求出的值，从而得到点的坐标即可求解； （2）由题意可得一次函数的解析式，可以先求出点的坐标，然后由即可求解； （3）过点作平行于轴的直线交于点，设，，先求出，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与二次函数的图象交于点和， 把点代入中，解得， 二次函数解析式为． 把代入中，解得， ，； （2）解：当，时，一次函数解析式为， 一次函数的图象与轴交于点， 令，解得， ， ． （3）解：点在直线下方的抛物线上， 设点， 过点作平行于轴的直线交于点，此时， ． ． ，开口向下， 当时，的面积取最大值， 此时点的坐标． ▌题型04：铅垂高（水平宽）法求线段最值 题型描述：题干给出抛物线上一点P与直线上一点Q（同横坐标），求线段PQ长度的最大值。核心得分点是用同一x表示两点纵坐标之差，得二次函数求最值。 基础知识： 1. 设P在抛物线上(x，y1)，Q在直线上(x，y2)； 2. PQ＝，是两解析式之差（关于x的二次函数）； 3. 最值在该二次函数的顶点处取得； 4. 水平宽法：面积＝铅垂高×水平宽÷2。 解题方法： 1. 设同横：设两点横坐标均为x； 2. 表纵差：PQ＝两解析式纵坐标之差； 3. 求最值：配方求最大值； 4. 答位置：写出此时点的坐标。 解题思路： 口诀：横、差、顶、答。铅垂线段长度＝上函数减下函数；差是二次函数，顶点即最值点。 13．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，A、B为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4．P为二次函数的图象上的动点，且位于直线的上方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)8 【分析】（1）先由一次函数解析式求出点A，B的坐标，再将点A，B的坐标代入二次函数解析式，解二元一次方程即可； （2）设，过P作y轴的平行线交直线于Q，则，则，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：直线中， 时，故； 时，故． 将、代入， 得， 解得； （2）解：由（1）可得：， 设， 过P作y轴的平行线交直线于Q，则， ∵P在直线上方， ∴， ∴， 当时，的面积最大，最大值为8． 14．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，使的面积最大，并求出最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)，点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，然后化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）连接，，过点P作轴交于H，先求得直线的表达式为，设，则，，可得，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 化简得， 解得， ∴， ∴， ∴顶点坐标为； （2）解：如图，连接，，过点P作轴交于H， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大，此时，， ∴当面积最大时，点的坐标为． 15．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)①点E是第一象限抛物线上一点，连接，求的面积最大值； ②抛物线上是否存在点M，使得的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在第一象限的抛物线上，连接．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①过点E作y轴的平行线交于点S，求出直线的表达式为；设，则，求出的最大值；根据，可推出当有最大值时，有最大值，据此可得答案；②求出的面积，可推出当点M在直线上方时，不满足的面积与的面积相等；当点M在直线下方时，则，故直线的解析式为，据此求解即可； （3）取点，连接，可证明，推出，则B、P、G三点共线；求出直线的表达式为，再联立函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①如图所示，过点E作y轴的平行线交于点S， 在中，当时，， ∴； 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵ ， ∴当有最大值时，有最大值， ∴的最大值为； ②∵， ∴， ∴， 由（2）①可知当点M在直线上方时，的最大值为，此时不满足的面积与的面积相等； 当点M在直线下方时， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点M的坐标为或； （3）解：在中， 当时，， ∴； 如图所示，取点，连接， ∵，，， ∴，轴， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴B、P、G三点共线； 同理可得直线的表达式为， 联立， 解得或， ∴点P的坐标为． 16．（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一点B，D是第二象限内抛物线上一点． (1)请直接写出点A、C的坐标及抛物线的解析式； (2)连接，，求面积的最大值； 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先求出点A，点C的坐标，再根据待定系数法求解即可； （2）过点D作轴于点N，交于点H，设，求出，再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：已知直线与x轴、y轴分别交于A，C两点， 当时，得：， 解得：， 当时，得， ，， 将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：过点D作轴于点N，交于点H， 由（1）得，，， 是第二象限内抛物线上一点， 设，， 直线与x轴、y轴分别交于A、C两点， ， 则 ， ， 抛物线的开口向下， 当时，有最大值，最大值为． ▌题型05：两函数背景下的存在性问题 题型描述：题干问在抛物线（直线）上是否存在点满足等腰、平行四边形、面积等条件。核心得分点是设动点坐标，把几何条件翻译成方程。 基础知识： 1. 动点在抛物线上：坐标设为(x，ax²＋bx＋c)； 2. 几何条件（等腰、平行、面积）转化为坐标等式； 3. 存在性先假设存在列方程，解出则存在； 4. 注意点在指定图象（线段）上的范围限制。 解题方法： 1. 设动点：用x表示动点坐标； 2. 译条件：把几何条件写成含x的方程； 3. 解方程：求x及对应点； 4. 验范围：检验点在要求的图象部分上。 解题思路： 口诀：设、译、解、验。解析式是“点的约束”，条件方程是“题的约束”，两约束联立即解；多解时按范围取舍。 17．（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，二次函数的图象与直线交于点和点，过点B作平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)抛物线的对称轴为直线______，______； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M，N，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，2 (2)或 (3)存在，，，，． 【分析】（1）利用对称轴公式即可求出抛物线对称轴，然后将代入即可求出n的值； （2）在A点上方的y轴取点D，连接，求出使得的点D的坐标，求出过点D且平行于的直线的解析式，然后和抛物线表达式联立求解m即可； （3）作于点E，于点F，根据题意可知当，时，是以为斜边的等腰直角三角形，从而根据列出m的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数 ∴对称轴为直线 将代入得，； （2）解：∵ ∴ ∵抛物线对称轴为直线 ∴点C坐标为 由题意， 在A点上方的y轴取点D，连接，如图， 设，则，即， 解得， 过点D作的平行线交抛物线于点M， ∵直线的表达式为， ∴设直线的表达式为 将代入得， ∴直线的表达式为 联立和得， 解得， 或； （3）解：如图，作于点E，于点F ， 当，时， ∴，此时是以为斜边的等腰直角三角形 ∵ 解得，，，． 18．（26-27九年级上·福建龙岩·开学考试）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，交轴于点，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点，（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 【答案】(1) (2) (3)2或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作于点，证明，在中，，解得，求出，直线与抛物线对称轴的交点即为； （3）设直线的解析式为，当时，求得，，则，当，时，，求出；当时，，求出；当，时，，，求出． 【详解】（1）解：将点，点代入，得 ，解得， 抛物线的解析式为． （2）解：过点作于点， ，， 平分，， ，， ， ， ， ， 在中，，解得， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时， ∴． （3）解：， 设直线的解析式为， 当时， 解得，， ∴，， ∴， 当，时， ， 解得或（舍）， 当时， ， 解得或（舍）， 当，时， ， ∴， 解得或（舍）， 综上所述：点纵坐标为2或． 19．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，抛物线与轴的两个交点为，，与y轴交于点C，点为抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积为8时，求点的坐标； (3)当点在线段上方时，求面积的最大值． (4)如图，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E，点F，使得为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由？ 【答案】(1) (2)P点的坐标为，， (3) (4)存在，坐标为和 【分析】（1）利用待定系数法，解答即可； （2）设，根据题意，得，解绝对值方程即可； （3）过点P作轴交直线于点M，设，则， 且，则， 构造面积的二次函数，解答即可． （4）设，则，根据，确定点E的坐标，再利用平移的思想，确定点F的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴的两个交点为，， ， 解得， 函数表达式为：． （2）解：根据题意，点为抛物线上的一动点， 设， ，， ， 面积为8， ， 或， 或， 解得或， ∴或或． （3）解：与y轴交于点C， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点P作轴交直线于点M， 设，则， 且， 则， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，面积最大，且最大值为． （4）解：根据题意，得点的坐标为，， ， 为菱形， ， 设，则 ， 解得， 当时，根据题意，将点E向右平移4个单位长度即可得到点F，此时， 故； 当时，根据题意，将点E向右平移4个单位长度即可得到点F，此时， 故． 坐标为或， 20．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于、两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D，连接，与抛物线的对称轴交于点E． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标． (2)点P为线段上的一个动点，过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时，四边形为平行四边形？ (3)若点F是第一象限抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值及点F的坐标？ 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点D的坐标为 (2)线段的长为，当时，四边形为平行四边形 (3)的面积最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质求出顶点D的坐标． （2）先求出点的坐标，抛物线的对称轴，再求出直线的函数关系式，表示出点、点、点的坐标，再由平行四边形的判定定理得，即可得的值． （3）过点作轴，交线段于点，设，则， 表示出，则，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过、， ∴， 解得：，， ∴抛物线解析式为 ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：在中，对称轴为直线， 当时，， ∴， 设直线的函数关系式为， ， ， 解得， ， ∴直线的函数关系式为， ， 在中，当时，， ， ∵点在线段上， ∴点在点的上方， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， ， 答：线段的长为，当时，四边形为平行四边形． （3）解：过点作轴，交线段于点， 设，则， ∴， ∴， ∵二次项系数， ∴二次函数的开口向下， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时点的坐标为：， 故的面积最大值为，此时点的坐标为． ▌专题综合训练 一、选择题 1．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，抛物线（为常数）与轴负半轴交于，两点，与轴负半轴交于点，那么关于的一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线与轴交点位置确定的符号，根据对称轴位置确定的符号，进而判断一次函数图象经过的象限. 【详解】解：由抛物线与轴负半轴交于点， ， ∵由抛物线对称轴在轴左侧， ，即， 在一次函数中，，， 一次函数图象经过第一、二、四象限. 2．（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）已知，是抛物线上的两点，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【详解】解：将代入，得． 将代入，得． ∵， ∴． 3．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算的面积． 【详解】解：∵二次函数经过点，，两点纵坐标相等 ∴二次函数的对称轴为直线 ∵对称轴公式为， ∴，解得 又∵二次函数图象与轴只有一个交点 ∴ 解得 ∴二次函数解析式为 将代入解析式，得 ∴，， ∴，原点到直线的距离为 ∴． 4．（26-27九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点分别作轴的垂线，构造全等三角形，利用线段和差关系建立的等式． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点在抛物线上，横坐标分别为， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 二、填空题 5．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在轴上时，抛物线的表达式___________．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与几何的综合应用，根据题意易得抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等，由此写出一个符合题意的二次函数解析式即可。 【详解】解：由题意，抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等， ∴满足题意的一个抛物线的解析式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 6．（26-27九年级上·甘肃兰州·阶段检测）如图，正方形的边长为6，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是________． 【答案】 18 【分析】根据函数与的图象关于轴对称，结合正方形的对称性，利用割补法可知阴影部分的面积等于正方形面积的一半 ． 【详解】解： 函数与的图象关于轴对称，且正方形关于轴对称， ∴轴下方阴影部分面积与轴上方中间的空白部分面积相等， ∴阴影部分的面积等于正方形面积的一半， ∵正方形的边长为6 ， ∴正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 7．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为___________． 【答案】或或或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 利用待定系数法求出函数解析式，再根据三角形面积求出P点的纵坐标，进而由函数解析式求出横坐标． 【详解】解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵，， ∴， 令得，解得，； 令得，解得，． 所以P坐标为或或或． 8．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，抛物线与轴交于、两点（在的右侧），下列结论：①；②当时，一定有随的增大而增大；③若点横坐标的最小值为，则点横坐标的最大值为；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是______．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】根据顶点在线段上，抛物线与轴的交点坐标为，可以判断出的取值范围，得到①正确；根据二次函数的增减性判断出②的错误；先确定时，点的横坐标取得最大值，根据二次函数的对称性求出点的坐标，即可判断③正确；令，利用根与系数关系与顶点的纵坐标求出的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求得的值，判断出④错误． 【详解】解：∵点的坐标分别为和， ∴线段与轴的交点坐标为， 又∵抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为， ∴，（顶点在轴上时取“”）故①正确； ∵抛物线的顶点在线段上运动，开口向上， ∴只有当时，一定有y随x的增大而增大，故②错误； 若点的横坐标最小值为，此时抛物线的对称轴为直线， 由抛物线的对称性可得此时点的横坐标为， ∵抛物线的形状不变，当抛物线的对称轴直线为，此时的横坐标为， ∴的横坐标的最大值为，故③正确； 令，则，设点的坐标分别为，， ∴，， ∴， ∵顶点的纵坐标为，顶点的纵坐标公式为， ∴，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得，故④错误； 综上，正确的是①③． 三、解答题 9．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线，为抛物线的顶点． (1)如图1，抛物线经过点 ①求抛物线的解析式； ②若在第一象限下方的抛物线上有点B，使最大，求出点B的坐标； (2)将抛物线绕顶点旋转，新抛物线（如图2）交轴于、两点，点为x轴上方抛物线上的一个动点，直线、分别交轴于、两点，求的最大值（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①因为抛物线经过点，所以把点代入，解出即可求抛物线的解析式； ②求出直线的解析式为，过点作轴，交于点，设，，则，表示出，再用配方法取面积最大即可； （2）将抛物线绕顶点旋转，旋转后的抛物线的解析式为，,，设，求出直线的解析式和直线的解析式，得到，，进而求出的最大值． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点， ∴把点代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为：． ②∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为，代入点和， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 如图，过点作轴，交于点， 设，，则， ∴， ∴， ， ∴当时，最大，此时点坐标为． （2）解：如图， ∵抛物线， ∴抛物线的顶点， ∵将抛物线绕顶点旋转， ∴旋转后的抛物线的解析式为， 令，则， 解得，或， ∴,． 设点，直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 令，则， ∴， 同理可求直线的解析式为， ∴， ∴， ， ， ∴当时，有最大值． 10．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中且，且点是抛物线上在第一象限内的一个动点，点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上存在点，使得四边形是菱形，求出点的坐标． (3)如图，点为抛物线对称轴上一点，作直线，分别交抛物线于点，（点在轴的左侧），连接，．若的面积比的面积大，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为 (3)点的坐标为． 【分析】（1）求得，即，，再利用待定系数法求解即可； （2）连接，交对称轴于，根据菱形的性质得出，，根据（1）中解析式得出，对称轴为直线，可得，进而求出，即可得答案； （3）设点的坐标为，直线交轴于点，直线交轴于点，求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵且， ∴， ∴，， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接，交对称轴于， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，点的横坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，，轴， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：设点的坐标为，直线交轴于点，直线交轴于点， 设直线的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴点的坐标为，点的坐标为， 同理求得直线的解析式为， 点的坐标为，点的坐标为， ∵点在轴的左侧， ∴，即， ∵，， 由题意得， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题08二次函数与一次函数综合 专题目标 掌握联立两函数解析式求交点的方法。 2. 会利用图象比较两个函数值的大小。 3. 会求直线与抛物线围成图形的面积。 掌握铅垂高（水平宽）法求线段最值。 会处理两函数背景下的存在性问题，体会数形结合思想。 专题目录 题型01：两函数交点坐标与解析式的求解 题型02：利用图象比较函数值的大小 题型03：直线与抛物线围成图形的面积问题 题型04：铅垂高（水平宽)法求线段最值 题型05：两函数背景下的存在性问题 题型01：函函数交点坐标与解析式的求解 题型描述：题干给出抛物线与直线（常含待定系数），求交点坐标或解析式。核心得分点 是联立方程与待定系数法。 基础知识： 1/16 交点坐标满足两个解析式： 待定系数法：把已知点代入求系数： 联立消y得一元二次方程，其根即交点横坐标： 点在图象上则坐标满足解析式。 解题方法： 代已知点：把已知交点代入求待定系数： 联立：两解析式相等： 解方程：求交点横坐标： 代回求y:代回直线求纵坐标。 解题思路： 口诀：代、联、解、回。求解析式用“点进式出”；求交点用联立；代回求y优先选直线 解析式。 1.(25-26九年级上浙江湖州期末)二次函数'=+bx+c(a>0) (1,0) 图象的对称轴过点 该函数的图 象与一次西数=x-2的图象交于点P(6,m）,则16a-4b+C的值是 2.(25-26九年级上江苏南京期末)已知一次函数1=-x+ 与二次函数片=r+hx-3 的图象相交于 点4(1,0)、B23),且二次函数与'轴相交于点C (1)求m的值和二次函数的解析式： (2当1<xs4 ≤4时，求”的取值范围： y1<y2 (3)请直接写出当 时，自变量的取值范围. 3.(2526八年级下北京期末)已知二次面数=m+hc+c(40)经过4-3,0，B(10)两点. (I)对称轴方程为_，用含a的代数式表示c,则c=_; ②-次函数y=2x+30与”=+c+有且只有3个公共点时，求a的值： (3)过点 P(t,0) 作垂直于x轴的直线分别与一次函数'=2x+3a,二次函数y=+r+C交于B,F两 2/16 点，满足当-l≤t≤1的时候，总有卫，F两点之间距离小于1，求a的取值范围. 4,（25-26九年级下江苏泰州阶段检测)已知二次函数片=)￥-m+m 21 2（m为常数，m≠1且m≠0 ①若点86 在该函数图象上，求”的值： (②)判断该二次函数的图象与x轴是否存在一固定的公共点？若存在，求出这个点的坐标；若不存在， 说明理由： y2=mx-m (3)已知一次函数 ①若对于任意的，都有片≥%，求m的值： ②当m<x< 时，片 ,求m的取值范围。 题型02：利用图象比较函数值的大小 题型描述：题干给出两函数图象（或解析式），比较同一x处两函数值的大小或解不等 式。核心得分点是以交点为界，看谁的图象在上方。 基础知识： 图象在上方的函数值大； 交点是大小关系的分界点： 不等式ar2十br十c>x十m的解集即抛物线在直线上方部分的x范围。 解题方法： 求交点：联立求交点横坐标： 画草图：标出两图象位置； 分段读：以交点为界比较上下； 写结论：按区间写出大小关系（解集）。 解题思路： 口诀：交、图、段、写。“谁高谁大”，交点分段；端点是否取等看不等号是否带等号。 A(-1,y),B(1,y2 5.(25-26九年级上河北沧州期末)若 在二次函数'=-x-C的图象上， 3/16 1 C(-1,y),D(1,y4)在反比例函数y=-x的图象上，则下列比较大小正确的是() A.片>乃⅓>y B.片>%<y4 C.片<h,>y D.片<h为<y 反（24-25九年级上江苏宿迁期末)已知二次函数'=++c(a>0 图像的对称轴为直线x=2,且 经过点)(4) 试比较大小：片片.（填><”或“=”） 7.(2425九年级上浙江舟山阶段检测)在平面直角坐标系0中，点 2m和点4网在揽物线 y=ax2+bx(a>0) (1)若m=3,n=14,求该抛物线的对称轴： ②若m=川时，已知点），(6，功)在该抛物线上.比较”，为的大小，并说明理由： (3)若mn<0,己知点 3，)，5，)，（)在该抛物线上.比较，为，片的大小，并说明理由. 8.(26-27九年级上·安徽毫州阶段检测)已知抛物线C:y-2r+bx+c经过点A(2,0)和B0,-4),抛物 线9y=-2(“为常数，且a*0). (1)求抛物线的解析式，并求出它的对称轴： ②点P,）和点，)分别在S,C上. ①活“=l,西=巧=01<2），试判衡断与为的大小，并说明理 ②若点P,巴的横坐标始终满足5=+从，其中d为非零常数，且片-的值是一个与”无关的定值， 求这个定值. 题型03：直线与抛物线围成图形的面积问题 4/16 题型描述：题干给出直线与抛物线的两个交点，求它们与某点围成图形的面积。核心得分 点是求交点并用分割法求面积。 基础知识： 围成面积常用分割：以竖直线（水平线）把图形分成两个三角形： 抛物线上点的纵坐标用解析式表示： 面积=两三角形面积之和。 解题方法： 求交点：联立求两交点坐标； 作分割：过交点（或顶点）作坐标轴的平行线分割图形： 算各块：分别求各三角形面积； 求和答：合并得总面积。 解题思路： 口诀：交、割、块、和。不规则图形“切一刀变两块”；沿坐标轴方向切，底和高都好表 示。 y=kx+b 9.(26-27九年级上河北张家口·阶段检测)如图，已知一次函数 的图象与二次函数'= 的图 象交于点4m和点B(-2利，与y轴交于点C =ax2 y=kx+b (1)求这两个函数的表达式： (2)求△AOB的面积. （2026Z宁中专真思)如闲，一次西数=方+2的图象与反比创西数y-x<0)的图套相交于点 10 A(m,3) 5/16 (1)求m和k的值； Q)B是一次函数y=一2x+2在第一象限内的图象上的点，BC垂直于x轴，垂足为C:p是反比例函 k 数y=(x<O)的图象上的点.若点p到y轴的距离是点B到y轴的距离的2倍，求△PBC面积的最大 值及此时点P的坐标 1.(25-26九年级上浙江杭州阶段检测)如图，二次函数1=-2x-3 的图像与x轴交于点A,B(A在 2=-x+b B的左侧)，与一次函数 的图像交于A,C两点. (1)求b的值： (2)求点C坐标并求出△ABC的面积： 6)根据图像，直接写出当少>乃时x的取值范围. 12（2②5：26九华级上天律式带阶段检测》一次函数=+的图家与=次脂数= 的图象交于点 4,m)和B(2,4),与》轴交于点C。 6/16 y=ax2 4 3 2 y=kx+b -3-2-10 12 3 -1 (1)求m和a的值； (②)当k=-1,b=2时，求△AOB的面积. 3)在(2)的条件下若直线AB下方的抛物线上有一动点M,请直接写出当△ABM的面积取最大值时 点M的坐标， 题型04：铅垂高（水平宽）法求线段最值 题型描述：题干给出抛物线上一点P与直线上一点Q(同横坐标)，求线段PQ长度的最大 值。核心得分点是用同一x表示两点纵坐标之差，得二次函数求最值。 基础知识： 设P在抛物线上(x,y),Q在直线上(x,): PQ=以以，是两解析式之差（关于x的二次函数）： 最值在该二次函数的顶点处取得： 水平宽法：面积=铅垂高×水平宽÷2。 解题方法： 设同横：设两点横坐标均为x: 表纵差：PQ=两解析式纵坐标之差： 求最值：配方求最大值： 答位置：写出此时点的坐标。 解题思路： 口诀：横、差、顶、答。铅垂线段长度=上函数减下函数；差是二次函数，项点即最值 点。 13.(26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测)如图，A、B为一次函数y=x-5的图象与二次函数 7/16 y=-x2+bx+c y=-x2+bx+c 的图象的公共点，点A,B的横坐标分别为0,4.P为二次函数 的图象 上的动点，且位于直线AB的上方，连接PA、PB y=x-5 B y=x2+bx+c (1)求b、c的值： (2)求△PAB的面积的最大值， 14。(26.27九年级上重庆九龙坡阶段检测D如图，已知抛物线=+c+3(a≠0)与箱交于4(-，0)， B(3,0)两点，与y轴交于点C. (1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标： 2)若点P是抛物线上第一象限内的一个动点，使△PBC的面积最大，并求出最大值及此时点P的坐标 15。(2627九年级上河南新乡阶段检测)如图，抛物线”=+c+3(a≠0)与轴交于点 A-L,0),B(3,0),与y轴交于点C,连接BC 8/16 备用图 (1)求抛物线的表达式； ②)①点E是第一象限抛物线上一点，连接EB,EC,求△EBC的面积最大值： ②抛物线上是否存在点M,使得△MBC的面积与△OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐 标；若不存在，请说明理由： )点D2m 在第一象限的抛物线上，连接BD.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足 ∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. 16.(26-27九年级上黑龙江佳木斯阶段检测)如图，己知直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A,C两点， y=-x2+bx+c 抛物线 经过A,C两点，与x轴交于另一点B,D是第二象限内抛物线上一点. D A OB (I)请直接写出点A、C的坐标及抛物线的解析式： ②)连接DA,DC,求△ACD面积的最大值： ■题型05：两函数背景下的存在性问题 题型描述：题干问在抛物线（直线）上是否存在点满足等腰、平行四边形、面积等条件。 核心得分点是设动点坐标，把几何条件翻译成方程。 基础知识： 动点在抛物线上：坐标设为x,ar2+bx十+c): 9/16 几何条件（等腰、平行、面积）转化为坐标等式： 存在性先假设存在列方程，解出则存在： 注意点在指定图象（线段）上的范围限制。 解题方法： 设动点：用x表示动点坐标： 译条件：把几何条件写成含x的方程； 解方程：求x及对应点； 验范围：检验点在要求的图象部分上。 解题思路： 口诀：设、译、解、验。解析式是“点的约束”，条件方程是“题的约束”，两约束联立 即解；多解时按范围取舍。 1 17.(26-27九年级上陕西安康阶段检测)如图，二次函数y=)?-x-2的图象与直线y=x-2交于点 2 10,-2）和点B(4 ,过点B作平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C.M是抛物线上任意一 点，其横坐标是. 备用图 (1)抛物线的对称轴为直线x=一，n=一： )当点M在直线AB上方时，若Saw=Sac,求m的值： 3)设N是直线BC上的点，是否存在点M,N,使得△AMN是以AN为斜边的等腰直角三角形？若存 在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18®.（2627九年级上福建龙岩开学考试)如图，抛物线=(++长与”箱交于点2,0)，与'轴交 于点C(0,2) 10116 C M A D B A B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： 2)如图1，若点D在抛物线的对称轴上，当CD平分∠ACO时，交x轴于点E,求点D的坐标： (3)如图2，平行于x轴的动直线I从x轴出发向上平移，直线I与抛物线交于点M,N(点M在点V 左侧)，若在x轴上存在点P使△PMN是等腰直角三角形，求点M的纵坐标. 19.(26:27九年级上广东汕头阶段检测)如图，抛物线'=心+c+ 与轴的两个交点为 (-1,0) B(3,0),与y轴交于点C,点P为抛物线上的一动点： B (1)求抛物线的解析式： (2)当△ABP面积为8时，求点P的坐标； (3)当点P在线段BC上方时，求△CBP面积的最大值 4)如图，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E,点F,使得ABFE为菱形？ 若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由？ 20.(26-27九年级上湖北襄阳阶段检测)如图，抛物线y=-×+bx+c与x轴相交 A(-1,0)B(3,0) 两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C,顶点为D,连接BC,BC与抛物线的对称轴交于点 E 11/16 D E A (1)求抛物线的解析式和点D的坐标 (②)点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m;用含m 的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？ 3)若点F是第一象限抛物线上的一点，连接FC,FB.求△FBC的面积的最大值及点F的坐标？ 专题综合训练 一、选择题 1,(2627九年级上辽宁葫芦岛阶段检测)如图。抛物线「-心+mm为常数)与轴负半轴交 于A,B两点，与y轴负半轴交于点C,那么关于x的一次函数y=mx+n的图象可能是() y c. 2.(26-27九年级上·浙江温州阶段检测)己知 -2，），B4)是抛物线’=-4r+C上的两点，则 八，少的大小关系是() A.片>为 B.片<B C.片为 D.无法比较 12116 3。(25-26九年级下陕西西安期中)在平面直角坐标系中，0为坐标原点，二次函数”=×+c+ 的图 象与产维只有个交点且经达点4则.88则.则408的面积为() A.1 B.2 C.4 D.8 4.(2627九年级上辽宁抚顺阶段检测)如图，正方形1BCD的顶点4，C在抛物线'=-r+4 上，点 D在'轴上.若A,C两点的横坐标分别为 m,n(m>n>0) ,下列结论正确的是() A.m+n=1 B.m-n=1 C.m=1 D. m1 n 二、填空题 5.(2526九年级上上海浦东新期中)如果一条抛物线'=ar+c+(a≠0)与'轴有两个交点，那么以 该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线 三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在'轴上时，抛物线的表达式 (写一个即可) 6.(26-27九年级上·甘肃兰州阶段检测)如图，正方形的边长为6，以正方形中心为原点建立平面直角 坐标系，作出函数”=2与=-2 的图象，则阴影部分的面积是 13116 7.(（25-26九年级上云南曲请阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线'=+r+ 与x轴交于 点1(-，0)和点8(3,0)，与'轴交于点C0,-),点P为抛物线上一动点，若△1BP的面积为6，则点 P的坐标为 8(2627九年级上r东矿州阶段检测)己知1(-3，-2），-2），抛物线’=a+6c+a>0)顶点在 线段AB上运动，形状保持不变，抛物线与x轴交于C、D两点(C在D的右侧)，下列结论：① c之-2：②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为5，则点C横坐标的 最大值为3：④当四边形ABCD为平行四边形时，a=3·其中正确的是 一·（填序号） 三、解答题 9.(26-27九年级上湖北武汉·阶段检测)己知抛物 y=ar2+a(a>0),G为抛物线的顶点. 14116 M G 力 1D 图1 图2 A(2,5) (1)如图1，抛物线经过点 ①求抛物线的解析式； AG ②若在第一象限 下方的抛物线上有点B,使 m最大，求出点B的坐标： y=ax+a 180 (2)将抛物线 G 绕顶点旋转 ,新抛物线（如图2）交轴于C、D两点，点P为x轴上 方抛物线上的一个动点，直线CP、DP分别交y轴于M、N两点，求OM·ON的最大值（用含a的 式子表示). 10.(2627九年级上广东广州阶段检测)如图，已知抛物线'=-+c+C与*轴交于4，B两点，与 y轴交于C点，其中OC=OB且OCOB=9,且点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，点P的横 坐标为， M D B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)设抛物线的对称轴为I,I与x轴的交点为D.在直线I上存在点M,使得四边形CDPM是菱形， 求出点M的坐标. 15116 3)如图2，点P为抛物线对称轴上一点，作直线B2,CO分别交抛物线于点E,F(点E在y轴的左 135 侧)，连接CE,BF,若△BFQ的面积比△CEQ的面积大8，求点Q的坐标. 16116