26.3 二次函数与一元二次方程（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.3 二次函数与一元二次方程（第1课时）

一、教材分析

学生在第25章解过一元二次方程，本章前几节研究了二次函数的图象与性质，但两条线索一直各走各的。本节课要把它们接起来：抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交点的横坐标，就是方程 ax²+bx+c=0 的根；交点个数与判别式 Δ 的符号一一对应。教材用三条交点个数不同的抛物线（两个交点、一个交点、无交点）引出这个对应，再用小球飞行问题回到实际情境，让学生用判别式判断“高度能否达到”。

本课的卡点有两处：一是“抛物线与 x 轴只有一个公共点”对应“方程有两个相等的实数根”，不少学生嘴上说得出，遇到 x²−8x+16 时仍会把重根当成两个交点或误判成没有交点；二是含字母系数的函数判断交点问题，什么时候要讨论“一次还是二次”，是往届失分最集中的地方。

二、学情分析

判别式的计算本身问题不大，上学期末测得正确率约八成半。真正的缺口在两个转化：一是从图象语言转回代数语言，三成多的学生看图说得出“有两个交点”，却说不清这句话等价于“Δ>0”；二是题干措辞的敏感度——题干写“二次函数”与写“函数”时处理方式不同，往届检测中约四成学生在“函数 y=(k−3)x²+2x+1”这类题里直接按二次函数做，漏掉一次函数的情形，本节课要把这两类题并排放在一起让学生自己比出差别。

实际应用题还暴露一个老毛病：解出方程后不检验实际意义，二次函数高度问题里出现负的时间照样照抄答案，本课在例2和练一练两处专门设防。

三、教学目标

1. 给定三条与 x 轴交点情况不同的抛物线，能分别指出公共点个数与横坐标，并求出对应方程的根，说出每个方程判别式的符号。

2. 能完整说出抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴公共点个数、方程 ax²+bx+c=0 的根、判别式 Δ 三者之间的对应关系，并会填出这张对应表。

3. 面对小球飞行高度这类问题，能判断某一高度能否达到并说明理由（求Δ或解方程），解出的时间会按实际意义取舍。

4. 对含字母系数的函数，能区分“二次函数”与“函数”两种措辞，确定是否需要按一次、二次分类讨论。

四、教学重点与难点

重点：抛物线与 x 轴公共点个数、方程的根、判别式三者对应关系的建立与运用。要练到“给一个函数解析式，30秒内说出交点个数并给出依据”。

难点：含字母系数问题是否分类讨论。学生卡在“看到 x² 就按二次处理”。教学中把“二次函数 y=kx²−6x+3”与“函数 y=(k−3)x²+2x+1”两题并列，让学生先做再比，自己发现措辞差别决定是否讨论 k。

五、教学环境与资源准备

三抛物线对照图（与图3相同）印出来每人一张，对应关系空表同样人手一份；学生练习纸带巩固题3题；投影主要用来展示三条抛物线的位置关系和那张对应表。人教版九年级数学上册教材，翻到本节备用。

六、设计思想

这节课从旧知的一个等式 2x−1=0 切入，让学生先从方程角度解，再从函数图象角度找交点，两条路殊途同归后，把同样的追问搬到二次：抛物线与 x 轴的交点去哪找？对应方程的根在哪？通过三条抛物线的对比让学生自己填出对应表，教师只补漏。例题按“判断存在性—求值—含参数讨论”排布，实际情境中的取舍和参数分类这两类易错点都让学生先错先纠。信息技术只用于呈现图象，比较与推理都在纸面完成。

七、教学过程（共六个环节，45分钟）

环节一 复习导入（约5分钟）

师：先看一个老朋友：等式 2x−1=0。你怎么看待它？能求出 x 吗？

生1：一元一次方程。

师：换副眼镜：把 2x−1=0 的两边分别看成函数会怎样？

生2：左边是 y=2x−1，一次函数；右边是常数 0，就是 x 轴。方程的解就是直线 y=2x−1 与 x 轴交点的横坐标。（出示图1）

图 1 直线 y=2x−1 与 x 轴的交点

追问：还可以再看成哪两个函数的交？

生3：看成 y=2x 和 y=1，方程 2x=1 的解就是这两条图象交点的横坐标，还是。（出示图2）