专题38 二次函数、一次函数与反比例函数的综合（重难点讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学二次函数、一次函数与反比例函数的综合应用，先系统梳理三类函数的定义、解析式、图像特征及性质等基础知识点，再构建图像共存、交点求解、数形结合等综合考点，形成从单一函数到多函数综合的学习支架。 该资料以核心素养为导向，通过典例变式、分层训练强化几何直观与运算能力，新定义题型如“两倍点”培养创新意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，提升综合解题能力。

专题38 二次函数、一次函数与反比例函数的综合 1. 精准掌握一次函数、二次函数、反比例函数的解析式形式、定义域、图像形状、单调性、对称性、最值等核心性质，明确三类函数的基础特征与核心区别，杜绝概念混淆。 2. 熟练掌握三类函数解析式的求解方法，能够根据题干给出的点坐标、图像特征、增减性、最值等不同条件，灵活运用待定系数法求解单一函数及两类、三类函数组合的解析式。 3. 掌握三类函数图像的交点求解、图像位置关系判断方法，能结合函数图像分析函数值大小比较、自变量取值范围、不等式解集、方程解的情况等综合问题，建立“数”与“形”的对应关系。 4. 学会解决三类函数综合常见题型，包括函数图像共存问题、交点与面积计算、最值与取值范围问题、函数与方程不等式结合问题、简单实际应用问题，具备基础的综合解题能力 一、一次函数知识点 1. 定义与解析式 一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。其中x是自变量，y是因变量，自变量取值范围为全体实数。当b=0时，解析式变为y=kx（k≠0），此时为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 2. 图像特征 一次函数的图像是一条直线，且经过两点即可确定直线：与y轴交点(0,b)，与x轴交点(-b/k,0)。正比例函数图像必过坐标原点(0,0)。 3. 图像与性质（k、b的作用） k的符号决定增减性与直线倾斜方向：k>0时，直线从左向右上升，y随x的增大而增大；k<0时，直线从左向右下降，y随x的增大而减小。|k|越大，直线倾斜程度越陡。 b的符号决定直线与y轴交点位置：b>0，交点在y轴正半轴；b=0，过原点；b<0，交点在y轴负半轴。 4. 图像平移规律 直线y=kx+b可由y=kx上下平移得到：b>0向上平移b个单位，b<0向下平移|b|个单位；左右平移针对自变量x，遵循“左加右减”原则。所有k值相同的一次函数图像互相平行。 二、二次函数知识点 1. 定义与三种解析式形式 一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数为二次函数，自变量取值范围为全体实数。 一般式：y=ax²+bx+c（a≠0），常用于已知任意三点求解析式； 顶点式：y=a(x-h)²+k（a≠0），顶点坐标(h,k)，常用于已知顶点、最值求解析式； 交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)（a≠0），x₁、x₂为抛物线与x轴交点横坐标，常用于已知与x轴两交点求解析式。 2. 图像特征 二次函数图像是抛物线，为轴对称图形，有且仅有一条对称轴，存在唯一顶点，是抛物线的最高点或最低点。 3. 核心性质 a的作用：a>0，抛物线开口向上，函数有最小值；a<0，抛物线开口向下，函数有最大值；|a|越大，抛物线开口越窄，|a|越小，开口越宽。 对称轴与顶点：一般式对称轴直线x=-b/2a，顶点坐标(-b/2a，(4ac-b²)/4a)；顶点式对称轴直线x=h，顶点(h,k)。 增减性：a>0时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大；a<0时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小。 4. 抛物线与坐标轴的交点 与y轴交点：恒为(0,c)；与x轴交点：对应一元二次方程ax²+bx+c=0的根，判别式Δ=b²-4ac。Δ>0有两个不同交点，Δ=0有一个交点（顶点在x轴上），Δ<0无交点。 三、反比例函数知识点 1. 定义与解析式 一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数为反比例函数，变式：xy=k、y=kx⁻¹。自变量取值范围为x≠0，函数值y≠0。 2. 图像特征 图像是双曲线，分为两支，永不与坐标轴相交，关于原点中心对称，同时关于直线y=x、y=-x轴对称。 3. 图像与性质 k>0：双曲线分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； k<0：双曲线分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。 注意：增减性必须强调在每个象限内，不能跨象限判断。 4. k的几何意义（核心考点） 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|；所得直角三角形的面积为|k|/2，该性质是反比例函数面积题型的核心依据。 5. 常用考点 待定系数法求解析式、图像象限判断、函数增减性应用、k的几何意义求面积、反比例函数与一次函数交点问题、函数值大小比较、反比例函数实际应用。 四、三类函数核心考点 1. 图像共存问题：根据k、a、b等系数符号，判断同一坐标系内三类函数图像是否合理； 2. 交点问题：联立函数解析式求解交点坐标，判断交点个数； 3. 数形结合比较函数值大小、求解不等式取值范围； 4. 结合图像求解图形面积、线段最值、函数最值问题。 题型01反比例函数与一次函数的综合运用 【典例】如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)如图，点是轴上一动点，连接，，当的面积为6时，求点的坐标； (3)将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数，点是新的一次函数与轴的交点，点是轴上一动点，请直接写出取最小值时点的坐标． 【变式】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； (3)当时，直接写出的解集 ． 题型02反比例函数与二次函数的综合运用 【典例】设是正整数，二次函数，反比例函数，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），则的值为__________． 【变式】在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数（k为常数）的图象如图所示，，是反比例函数图象上的两点． （1） ______； （2）记反比例函数图象上P、Q两点之间（包含P、Q两点）的部分为，若二次函数的图象与有两个公共点，则k的取值范围是______． 题型03二次函数与一次函数的综合运用 【典例】在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象相交于，两点，点的坐标为． (1)若点，点，求点的坐标； (2)①小明在探究两个函数图象时发现：二次函数与一次函数的图象始终交于点（_______，0）和点（1，_______）；（用含，的代数式表示） ②若且，试判断的面积是否会发生变化，若不变，请求出的面积；若变化，请说明理由； (3)二次函数与一次函数图象围成的封闭区域记作，若，当点落在区域内部（不含边界）时，直接写出的取值范围． 【变式】方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式.观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 4 7 10 … … 0 4 3 0 … (1)【数学观察】根据表中信息填空：______； (2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象； (3)【独立思考】 ①二次函数与一次函数图象的交点坐标是______； ②方程的解为______； ③不等式的解集是______； (4)【归纳总结】若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的______坐标可以看成关于的方程的解； (5)【巩固应用】若二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则关于的方程的解是______．（直接写出结果） 题型04反比例函数与一次函数、二次函数的综合运用 【典例】如图，有规律的“心电”图形由图形不断向右重复组成，图形分为两条曲线和两条线段，曲线是二次函数图象的一部分，该二次函数顶点是，与轴交于点；曲线是反比例函数图象的一部分；线段是直线的一部分；线段是直线的一部分．若点、是“心电”图形上的两点，则的最大值是（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【变式】两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数的图像与函数的图像交点的横坐标可视为方程的根． (1)函数的图像与函数的图像有两个不同交点，求取值范围． (2)已知二次函数（为常数）． ①设直线与抛物线有两个不同交点，求取值范围． ②已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 题型05反比例函数与一次函数、二次函数的图象共存问题 【典例】已知函数与的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式】一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型06函数新定义题型 【典例】我们规定：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“两倍点”，若一个函数的图象上存在“两倍点”，则称这个函数为“两倍函数”．如点和都是“两倍点”，一次函数的图象上存在点，所以一次函数是“两倍函数”．请根据这个新定义解决下列问题： (1)下列说法正确的是（    ） A．所有一次函数(是常数，且)的图象上都存在“两倍点” B．所有反比例函数都是“两倍函数” C．二次函数的图象上一定有两个不同的“两倍点” (2)已知函数（t是常数），若该函数图象上有唯一的“两倍点”，求的值； (3)一次函数与反比例函数的图象交于点，点是线段的中点，求证：点是“两倍点”． 【变式】将一个二次函数与一个一次函数求和，可以得到一个新的二次函数，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”． (1)若二次函数对一次函数“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐标为，，求m，n的值； (2)已知二次函数对一次函数“吸收”． ①若所得“吸收函数”的最小值与的最小值相等，求n的取值范围； ②若所得“吸收函数”的图像顶点为M，且与一次函数的图像交于A，B两点．当的面积为4时，求m的值． 【巩固训练】 1．已知反比例函数与二次函数的图像有一个交点的横坐标为1，则的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 2．二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 3．已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A． B． C． D． 4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三个点，则不等式ax2+bx+c的解是 　 　． 5．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）与反比例函数y（k≠0）． （1）点A（4，3）　 　（填“在”或“不在”）二次函数的图象上； （2）反比例函数的图象经过点A和二次函数图象的顶点，则a的值为 　 ． 6．我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数的图象向上平移1个单位得到的图象；将二次函数的图象向左平移2个单位得到的图象．若将反比例 函数的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是______．    7．如图，二次函数与一次函数交于顶点和点两点，一次函数与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)轴上是否存在点使的面积为若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集________； (3)求点O到直线的距离． 9．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（m为常数，）在第二，四象限分别交于，两点，点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在坐标轴上，以点，，为顶点的等腰三角形有 个，当点在轴负半轴时，求等腰三角形的面积； (3)如图2，已知函数的大致图象，请结合图象直接写出该函数的两条性质． 10．已知二次函数与一次函数交于点，与y轴交于点B． (1)求b，k的值； (2)若点，在二次函数上，且，在一次函数上． ①若，求m的值； ②若，求点M的坐标． 【强化训练】 1．（2024秋•蓬江区期末）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 2．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知二次函数和反比例函数的图像如图所示，它们围成的阴影部分（包括边界）的整点个数为5，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．已知关于的二次函数（m，n是常数且）的图象如图所示，则双曲线和直线在同一平面直角坐标系中大致位置是（    ） A． B． C． D． 4．如图，曲线是二次函数图像的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是抛物线顶点），曲线是反比例函数图像的一部分，两点的纵坐标相等，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点和是波浪线上的点，则的最大值为______． 5．已知二次函数，反比例函数，若这两个函数的图象有三个不同的交点，且所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数a的值______． 6． 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）的图象如图所示，P（m，﹣6），Q（12，n）是反比例函数图象上的两点． （1）m＝　 　，n＝　 　； （2）记反比例函数图象上P、Q两点之间（包含P、Q两点）的部分为PQ，若二次函数的图象与PQ有两个公共点，则k的取值范围是　 ． 7．已知二次函数（）经过两点． (1)对称轴方程为 ，用含a的代数式表示c，则 ； (2)一次函数与有且只有3个公共点时，求a的值； (3)过点作垂直于x轴的直线分别与一次函数，二次函数交于E，F两点，满足当的时候，总有E，F两点之间距离小于，求a的取值范围． 8．定义：若一次函数与反比例函数满足，称为一次函数与反比例函数的“创新函数”． (1)一次函数与反比例函数是否存在“创新函数”？如果存在，写出其“创新函数”；如果不存在，请说明理由； (2)若一次函数与反比例函数存在“创新函数”，且该“创新函数”的图象与直线有唯一交点，求，的值； (3)若一次函数与反比例函数的“创新函数”的图象与轴有两个交点分别是，，其中，点，求的面积的变化范围． 9．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么这个点被称为“好点”．例如就是“好点”． (1)下列结论： ①直线上有无数个“好点”；②二次函数的顶点是“好点”；③双曲线上只有一个“好点”． 以上结论中，你认为正确的是______（填写正确结论的序号）． (2)二次函数的图象上存在唯一一个好点， ①求这个二次函数解析式； ②当时，，求t的取值范围． 10．我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”，例如在二次函数的图象上，存在一点，则P为二次函数图象上的“互反点” (1)已知点和是二次函数图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式； (2)判断函数的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由； (3)如图1，设函数，的图象上的“互反点”分别为点A，B，点，当的面积为时，直接写出n的值； (4)如图2，为x轴上的动点，过Q作直线轴，若函数的图象记为，将沿直线翻折后的图象记为．当和两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题38 二次函数、一次函数与反比例函数的综合 1. 精准掌握一次函数、二次函数、反比例函数的解析式形式、定义域、图像形状、单调性、对称性、最值等核心性质，明确三类函数的基础特征与核心区别，杜绝概念混淆。 2. 熟练掌握三类函数解析式的求解方法，能够根据题干给出的点坐标、图像特征、增减性、最值等不同条件，灵活运用待定系数法求解单一函数及两类、三类函数组合的解析式。 3. 掌握三类函数图像的交点求解、图像位置关系判断方法，能结合函数图像分析函数值大小比较、自变量取值范围、不等式解集、方程解的情况等综合问题，建立“数”与“形”的对应关系。 4. 学会解决三类函数综合常见题型，包括函数图像共存问题、交点与面积计算、最值与取值范围问题、函数与方程不等式结合问题、简单实际应用问题，具备基础的综合解题能力 一、一次函数知识点 1. 定义与解析式 一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。其中x是自变量，y是因变量，自变量取值范围为全体实数。当b=0时，解析式变为y=kx（k≠0），此时为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 2. 图像特征 一次函数的图像是一条直线，且经过两点即可确定直线：与y轴交点(0,b)，与x轴交点(-b/k,0)。正比例函数图像必过坐标原点(0,0)。 3. 图像与性质（k、b的作用） k的符号决定增减性与直线倾斜方向：k>0时，直线从左向右上升，y随x的增大而增大；k<0时，直线从左向右下降，y随x的增大而减小。|k|越大，直线倾斜程度越陡。 b的符号决定直线与y轴交点位置：b>0，交点在y轴正半轴；b=0，过原点；b<0，交点在y轴负半轴。 4. 图像平移规律 直线y=kx+b可由y=kx上下平移得到：b>0向上平移b个单位，b<0向下平移|b|个单位；左右平移针对自变量x，遵循“左加右减”原则。所有k值相同的一次函数图像互相平行。 二、二次函数知识点 1. 定义与三种解析式形式 一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数为二次函数，自变量取值范围为全体实数。 一般式：y=ax²+bx+c（a≠0），常用于已知任意三点求解析式； 顶点式：y=a(x-h)²+k（a≠0），顶点坐标(h,k)，常用于已知顶点、最值求解析式； 交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)（a≠0），x₁、x₂为抛物线与x轴交点横坐标，常用于已知与x轴两交点求解析式。 2. 图像特征 二次函数图像是抛物线，为轴对称图形，有且仅有一条对称轴，存在唯一顶点，是抛物线的最高点或最低点。 3. 核心性质 a的作用：a>0，抛物线开口向上，函数有最小值；a<0，抛物线开口向下，函数有最大值；|a|越大，抛物线开口越窄，|a|越小，开口越宽。 对称轴与顶点：一般式对称轴直线x=-b/2a，顶点坐标(-b/2a，(4ac-b²)/4a)；顶点式对称轴直线x=h，顶点(h,k)。 增减性：a>0时，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大；a<0时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小。 4. 抛物线与坐标轴的交点 与y轴交点：恒为(0,c)；与x轴交点：对应一元二次方程ax²+bx+c=0的根，判别式Δ=b²-4ac。Δ>0有两个不同交点，Δ=0有一个交点（顶点在x轴上），Δ<0无交点。 三、反比例函数知识点 1. 定义与解析式 一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数为反比例函数，变式：xy=k、y=kx⁻¹。自变量取值范围为x≠0，函数值y≠0。 2. 图像特征 图像是双曲线，分为两支，永不与坐标轴相交，关于原点中心对称，同时关于直线y=x、y=-x轴对称。 3. 图像与性质 k>0：双曲线分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； k<0：双曲线分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。 注意：增减性必须强调在每个象限内，不能跨象限判断。 4. k的几何意义（核心考点） 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|；所得直角三角形的面积为|k|/2，该性质是反比例函数面积题型的核心依据。 5. 常用考点 待定系数法求解析式、图像象限判断、函数增减性应用、k的几何意义求面积、反比例函数与一次函数交点问题、函数值大小比较、反比例函数实际应用。 四、三类函数核心考点 1. 图像共存问题：根据k、a、b等系数符号，判断同一坐标系内三类函数图像是否合理； 2. 交点问题：联立函数解析式求解交点坐标，判断交点个数； 3. 数形结合比较函数值大小、求解不等式取值范围； 4. 结合图像求解图形面积、线段最值、函数最值问题。 题型01反比例函数与一次函数的综合运用 【典例】如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)如图，点是轴上一动点，连接，，当的面积为6时，求点的坐标； (3)将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数，点是新的一次函数与轴的交点，点是轴上一动点，请直接写出取最小值时点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】此题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，轴对称最短路线问题等，解答（1）的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式，解答（3）的关键是利用轴对称求最短路线． （1）将点和代入反比例函数可得、的值，再将点、的坐标代入一次函数解析式可得答案； （2）根据求得，进一步求得的坐标即可； （3）先求出点，作点关于轴的对称点，则点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为线段的长，可根据待定系数法求得直线的解析式，进而求得的坐标即可． 【详解】（1）解：点和都在反比例函数的图象上， ， ， ， 将点和代入得，， ， ， 反比例函数解析式为，一次函数解析式为； （2）解：令，则，解得， 令，则， ，， ， ， ， 或； （3）解：将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数， 点是新的一次函数与轴的交点， ， 作点关于轴的对称点，则点，连接交轴于点，此时的值最小， 设直线的解析式为， 代入得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 【变式】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，连接，且． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过点作平行于轴的直线，交一次函数的图象于点（不与重合），交反比例函数的图象于点．若，求的值； (3)当时，直接写出的解集 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先求解，，可得，进一步利用待定系数法求解一次函数的解析式即可． （2）表示，，可得，，结合，进一步可得答案． （3）直接利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入， ∴， 解得：， ∴一次函数为． （2）解：如图， ∵，一次函数，反比例函数， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或， 当时，此时不符合题意， 综上：． （3）解：∵， ∴结合图象可得：当时，的解集是． 题型02反比例函数与二次函数的综合运用 【典例】设是正整数，二次函数，反比例函数，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），则的值为__________． 【答案】或 【分析】先联立两函数解析式，得到关于x的三次方程，把此方程的一边分解因式，化为一个一元一次方程和一个一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式为一个完全平方数分类求解即可． 【详解】解：联立， 消去y得， 即， 拆项添项，得， 提公因式，得， 提公因式，得①． ∴当时，，是方程①的一个根， 是两个函数的图象恒有的一个交点． 当②， ， ∵两个函数的图象的交点都是整点， ∴方程②的两个不相等的实数根都是整数， ∴是一个完全平方数． 设（其中k为非负整数）， 则， 即． ∴与的奇偶性相同，且，， ∵， ∴，或，或， 解得，或，或， ∵a是正整数， ∴只可能，或， 当时，方程②为， 它的两根分别为和， 此时两个函数的图象还有两个交点和． 当时，方程②为， 它的两根分别为和， 此时两个函数的图象还有两个交点和． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数与反比例函数综合．熟练掌握二次函数的图像和性质、反比例函数的图象和性质，二次函数与反比例函数的交点问题，一元二次方程根的判别式、完全平方数，分解因式，整数的奇偶性，分类讨论，是解题的关键． 【变式】在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数（k为常数）的图象如图所示，，是反比例函数图象上的两点． （1） ______； （2）记反比例函数图象上P、Q两点之间（包含P、Q两点）的部分为，若二次函数的图象与有两个公共点，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与解析式，二次函数的图象，一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将，代入反比例函数的解析式，求出和的值； （2）若二次函数的图象与有两个公共点，则点P和点Q需在抛物线上或者上方，分别求出点和点在抛物线上时，对应的的值，从而得到的取值范围，找到同时符合两个条件的公共部分即可． 【详解】解：（1）将，代入，得， ， 解得， 将，代入，得， ， 解得， ∴； （2） 如图，若二次函数的图象与有两个公共点，则点P和点Q需在抛物线上或者上方， ①将代入，得， ∵点P在抛物线上或者上方， ∴， 化简得，， 令，解得，， 结合函数图象可知，或， ②将代入，得， ∵点Q在抛物线上或者上方， ∴， 化简得，， 同理①可得，此时或， 同时符合两个条件的公共部分为． 故答案为：；． 题型03二次函数与一次函数的综合运用 【典例】在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象相交于，两点，点的坐标为． (1)若点，点，求点的坐标； (2)①小明在探究两个函数图象时发现：二次函数与一次函数的图象始终交于点（_______，0）和点（1，_______）；（用含，的代数式表示） ②若且，试判断的面积是否会发生变化，若不变，请求出的面积；若变化，请说明理由； (3)二次函数与一次函数图象围成的封闭区域记作，若，当点落在区域内部（不含边界）时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；②不变， (3) 【分析】（1）待定系数法求出解析式即可得到a、b，进而得解； （2）①令求出x值即可得解；②根据a的范围可得到b的范围，进而可得到A、B、C三点的大致位置，再利用铅锤法求解即可； （3）由点C在区域P内部可得，即，进而解不等式求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ，解得， ∴点C的坐标为； （2）解：①令， 整理得， ∴， 解得，， 当时，， 当时，， ∴二次函数与一次函数的图象始终交于点和， 故答案为：，； ②∵， ∴， ∵， ∴， 点A、点B、点C位置如图所示，过C作轴交于点D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不变，； （3）解：∵， ∴，且二次函数对称轴为， 设，， ∵， ∴，， 如图，当点C在区域P内部时， ，即， ∵， ∴， 令， ∴，， ∴时，， ∴， ∴． 【点睛】本题主题要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数交点问题、二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式】方程与不等式揭示了数学中最基本的数量关系，函数则研究变量间的关系，借助函数可以认识方程与不等式.观察表格： … 0 1 2 3 … … 1 4 7 10 … … 0 4 3 0 … (1)【数学观察】根据表中信息填空：______； (2)【实践操作】在如图所示的平面直角坐标系中（每个小正方形网格的边长为1），已经画出了一次函数的图象，请你在同一坐标系中画出二次函数的图象； (3)【独立思考】 ①二次函数与一次函数图象的交点坐标是______； ②方程的解为______； ③不等式的解集是______； (4)【归纳总结】若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的______坐标可以看成关于的方程的解； (5)【巩固应用】若二次函数的图象与一次函数的图象只有一个交点，则关于的方程的解是______．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) 根据表格数据描点连线绘制图象如下： (3)①或  ②或  ③ (4)横 (5) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到一次函数和二次函数的图象和性质，熟悉函数和不等式的关系是解题的关键． （1）把代入求出值即可； （2）根据表格数据描点连线绘制图象即可； （3）①根据表格信息得到交点坐标即可； ②根据交点坐标得到方程的解即可； ③借助图象得到不等式的解集； （4）由（3）知，若两个函数交点的横坐标为方程的解； （5）联立两个函数表达式得 ， 即可得到 求出， 即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）略 （3）解：①二次函数 与一次函数 图象的交点坐标是或， 故答案为：或； ②方程 的解为：或， 故答案为：或； ③观察图象知，不等式的解集是 故答案为： （4）解：由（3）知，若二次函数的图象与一次函数的图象相交，则交点的横坐标可以看成关于的方程的解， 故答案为：横； （5）联立两个函数表达式得：， 则 则 故方程为：则 故答案为：． 题型04反比例函数与一次函数、二次函数的综合运用 【典例】如图，有规律的“心电”图形由图形不断向右重复组成，图形分为两条曲线和两条线段，曲线是二次函数图象的一部分，该二次函数顶点是，与轴交于点；曲线是反比例函数图象的一部分；线段是直线的一部分；线段是直线的一部分．若点、是“心电”图形上的两点，则的最大值是（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【分析】先把抛物线化为顶点式，求出B点、、、、等点的坐标，则B点的纵坐标即为n的最大值，然后根据直线的解析式经过，求出对应的函数解析式，然后根据图像的周期为6对应进行求解确定k的值，再计算即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的解析式为： ∴化为顶点式为： ∴抛物线的顶点坐标为（2，10） ∴n的最大值为10 令，解得 ∴A点的坐标为（0，2） 根据图像可知是周期为6 的图像 ∴点的坐标为（6，2） ∵直线：经过点 ∴，解得 ∴直线的解析式为： ∵2021÷6=336余5 ∴k相等于x=5时，直线的值，即 ∴ ∴当n最大时，有最大值 ∴最大值 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与一次函数图像的性质，以及周期问题，解题的关键在于熟练的掌握运用相关知识点． 【变式】两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数的图像与函数的图像交点的横坐标可视为方程的根． (1)函数的图像与函数的图像有两个不同交点，求取值范围． (2)已知二次函数（为常数）． ①设直线与抛物线有两个不同交点，求取值范围． ②已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)任意值 (2)①或；②或或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题、一次函数与二次函数交点问题、二次函数的图像与性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）联立函数解析式与函数解析式，可得关于的一元二次方程，结合一元二次方程的根的判别式，即可获得答案； （2）①联立直线解析式与抛物线解析式，可得关于的一元二次方程，结合一元二次方程的根的判别式可得，然后根据函数的图像与性质，即可获得答案； ②联立抛物线解析式与，可得关于的一元二次方程，解该方程可得，，结合抛物线与线段只有一个公共点，易得或或，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：联立函数解析式与函数解析式， 可得，整理可得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 即无论取何值，均有函数的图像与函数的图像有两个不同交点， ∴取值范围为任意值； （2）①联立直线解析式与抛物线解析式， 可得，整理可得， ∵， 令，解得，， 对于函数， ∵， ∴该函数图像开口向上， ∴当或时，可有， ∴若直线与抛物线有两个不同交点， 则取值范围为或； ②联立抛物线解析式与， 可得，整理可得， 解得，， ∵抛物线与线段只有一个公共点， ∴可有或或， 解得或或． 题型05反比例函数与一次函数、二次函数的图象共存问题 【典例】已知函数与的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数的图象经过的象限可以判断的符号，再根据图象与y轴交点位置判断的符号，进而得到的符号；然后根据反比例函数的图象所在象限，判断的符号， 再结合、、的符号，先判断二次函数的开口方向，再用对称轴公式判断对称轴位置，最后根据时的函数值判断与y轴的交点位置，逐一匹配选项即可． 【详解】解：观察函数图象可知：，，， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴直线，与轴的交点在轴正半轴． ∴二次函数的图象可能是 ． 【变式】一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，，，，求得，再根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∵一次函数与反比例函数的交点， ∴，，即， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴， 当时，， ∴B选项中的图象符合题意． 题型06函数新定义题型 【典例】我们规定：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“两倍点”，若一个函数的图象上存在“两倍点”，则称这个函数为“两倍函数”．如点和都是“两倍点”，一次函数的图象上存在点，所以一次函数是“两倍函数”．请根据这个新定义解决下列问题： (1)下列说法正确的是（    ） A．所有一次函数(是常数，且)的图象上都存在“两倍点” B．所有反比例函数都是“两倍函数” C．二次函数的图象上一定有两个不同的“两倍点” (2)已知函数（t是常数），若该函数图象上有唯一的“两倍点”，求的值； (3)一次函数与反比例函数的图象交于点，点是线段的中点，求证：点是“两倍点”． 【答案】(1)C (2) (3) 证明：由和可得， 即， ∵， ∴， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 设其两根为，则， ∵点是的中点， 点的横坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点是“两倍点”． 【分析】（1）根据“两倍点”和“两倍函数”的定义，列方程组计算即可判断； （2）根据“两倍点”的定义，列方程计算，利用根的判别式计算即可求解； （3）根据“两倍点”的定义，列方程计算，利用根与系数的关系计算即可证明． 【详解】（1）解：A、根据新定义，对于满足，整理得，即，当，时，方程组无解， ∴原说法错误； B、根据新定义，对于满足，整理得，当时，方程组无解， ∴原说法错误； C、根据新定义，对于满足，整理得，解得或， ∴二次函数的图象上一定有两个不同的“两倍点”和； 故选：C； （2）解：根据新定义，对于（t是常数）满足， ，整理得， 函数图象上有唯一的“两倍点”， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得； （3）略 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“两倍点”和“两倍函数”的综合运用，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等，综合性较强，解题的关键是理解并运用新定义． 【变式】将一个二次函数与一个一次函数求和，可以得到一个新的二次函数，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”． (1)若二次函数对一次函数“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐标为，，求m，n的值； (2)已知二次函数对一次函数“吸收”． ①若所得“吸收函数”的最小值与的最小值相等，求n的取值范围； ②若所得“吸收函数”的图像顶点为M，且与一次函数的图像交于A，B两点．当的面积为4时，求m的值． 【答案】(1) (2) ； 【分析】（1）根据吸收函数定义写出表达式，然后把，代入求解即可； （2）①先求出的最小值为，根据吸收函数定义写出表达式为，根据二次函数的性质得出，化简得，最后根据非负数的性质和不等式的性质求解即可； ②过点作 轴平行线交于点，过点分别作的垂线段，垂足为．联立吸收函数表达式和一次函数表达式，并化简得出，解方程求出A、B两点的横坐标分别是则，根据为“吸收函数”的顶点，得出，根据可求出，结合的面积为4得出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，吸收函数的表达式为． 根据题意，得， 解得； （2）解：①， 的最小值为． 由题意，吸收函数的表达式为． 根据题意，得． ， ， ，即， 为一次函数的系数即， 考虑到当时，， 但当时，， 故可取， 综上所述，； ②如图，过点作 轴平行线交于点，过点分别作的垂线段，垂足为． 根据题意，列出方程组为 把②代入①得：， 即． 解得． ∴点的横坐标分别是 ， 为“吸收函数”的顶点， ， ． ． 的面积． 的面积为， ， 解得． 【巩固训练】 1．已知反比例函数与二次函数的图像有一个交点的横坐标为1，则的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数图像的交点问题． 将交点的横坐标代入两个函数，令函数值相等，建立方程求解即可． 【详解】解：∵交点的横坐标为1， ∴当时，反比例函数， 二次函数， 又∵两个函数值相等， ∴， ∴． 因此，k的值为5． 故选：C． 2．二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象得到，再判断一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ； 一次函数经过第一、二、四象限， 反比例函数图象在第一、三象限； 只有C选项同时符合两个函数的位置特点． 3．已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图象的性质得到，，，由此得到一次函数、反比例函数图象经过的象限，把代入得到，联立方程组得到一次函数与反比例函数的交点坐标，由此即可求解． 【详解】解：根据二次函数图象得到，开口向下，对称轴直线为，二次函数图象与x轴交于点，二次函数与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 反比例函数经过第一、三象限， 当时，， ∴， ∴， 解得，或， ∴一次函数与反比例函数的交点坐标为，， ∴符合题意的函数图象是A选项 ． 4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（3，y3）三个点，则不等式ax2+bx+c的解是 　﹣1＜x＜0或1＜x＜3　． 【思路引领】利用函数图象，写出抛物线在双曲线上方所对应的自变量的范围即可． 【完整解答】解：当﹣1＜x＜0或1＜x＜3时，抛物线在双曲线上方， 所以不等式ax2+bx+c的解集为﹣1＜x＜0或1＜x＜3． 故答案为﹣1＜x＜0或1＜x＜3． 【总结提升】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系可以利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，利用交点直观求解． 5．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）与反比例函数y（k≠0）． （1）点A（4，3）　在　（填“在”或“不在”）二次函数的图象上； （2）反比例函数的图象经过点A和二次函数图象的顶点，则a的值为 　　． 【思路引领】（1）把A的坐标代入入y＝ax2﹣4ax+3即可判断； （2）先求得反比例函数的解析式，然后代入顶点坐标，即可求得a的值． 【完整解答】解：（1）把x＝4代入y＝ax2﹣4ax+3得y＝16a﹣16a+3＝3， ∴点A（4，3）在二次函数的图象上； 故答案为：在； （2）∵y＝ax2﹣4ax+3＝a（x﹣2）2﹣4a+3， ∴二次函数图象的顶点为（2，3﹣4a）， ∵反比例函数的图象经过点A（4，3）， ∴k＝4×3＝12， ∴反比例函数为y， ∵反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点， ∴3﹣4a6， ∴a， 故答案为：． 【总结提升】本题考查了反比例函数的性质，二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 6．我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数的图象向上平移1个单位得到的图象；将二次函数的图象向左平移2个单位得到的图象．若将反比例 函数的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是______．    【答案】 【分析】函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减，根据平移规则可得答案． 【详解】解：将反比例函数的图象向下平移3个单位可得平移后的解析式为： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是函数图象的平移，解题的关键是理解并熟记函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减． 7．如图，二次函数与一次函数交于顶点和点两点，一次函数与轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)轴上是否存在点使的面积为若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积，分割法求三角形面积是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得； （2）设，根据列出关于的方程，解方程即可求得． 【详解】（1）解：∵二次函数的顶点， ∴设二次函数为， ∵经过， ， 解得，， ∴二次函数； （2）解：设直线的解析式为， 把和代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 由一次函数可知， 设， ， ， ， 或11， 或． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． (1)求一次函数解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集________； (3)求点O到直线的距离． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形面积即可，待定系数法求函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将，代入得出点，，进而待定系数法求得直线解析式即可； （2）根据函数图象，直接写出一次函数在反比例函数图象下方的自变量的取值范围，即可求解； （3）连接，，根据求出的面积，设边的高为h，根据三角形面积公式得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，， ∴，， ∴，， ∴点，， 把，的坐标代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为． （2）解：观察图象，不等式是的解集为：或． （3）解：连接，，如图所示： 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∴ ， ∵， ∴， 设边的高为h，则： ， 解得：， 答：点O到直线的距离为． 9．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（m为常数，）在第二，四象限分别交于，两点，点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在坐标轴上，以点，，为顶点的等腰三角形有 个，当点在轴负半轴时，求等腰三角形的面积； (3)如图2，已知函数的大致图象，请结合图象直接写出该函数的两条性质． 【答案】(1)； (2)； (3)①当时，随增大而减小 ②当时随增大而减小 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式，根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）点在坐标轴上，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，应分三种情况讨论：、，；根据三角形的面积公式求出当点在轴负半轴时，等腰三角形的面积； （3）根据函数图象写出该函数的两条性质即可． 【详解】（1）解：将代入， 可得：， 点的坐标为， ， ， ， 点的坐标为， 将代入， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为， 将代入， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 将代入， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：点的坐标为， ， 当时，若点在轴上，设点的坐标为， 则有， ， 解得：， 点的坐标为； 当时，点在轴上，设点的坐标为， 则有， ， 解得：， 点的坐标为； 当，点在轴上时， ， 点的坐标是或； 当，点在轴上时， ， 点的坐标是或； 当，点在轴上时， 如下图所示，过点作轴， 点的坐标是， ，， ， 点的坐标是； 当，点在轴上时， 如下图所示，过点作轴， 点的坐标是， ，， ， 点的坐标是； 当是等腰三角形，点在坐标轴上时，点的坐标为或或或 或或或， 综上所述，以点，，为顶点的等腰三角形有个； ， ； （3）解：图象的性质：①当时，随增大而减小； ②当时随增大而减小； ③函数的图象关于原点对称； 10．已知二次函数与一次函数交于点，与y轴交于点B． (1)求b，k的值； (2)若点，在二次函数上，且，在一次函数上． ①若，求m的值； ②若，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）把代入，解得，再把代入，求解即可； （2）①当时，，解得，，由，，可得，再列方程求解即可； ②先求得，，，再分当M在之间时及当M在Q右边时，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 解得：， 把代入，解得：； （2）解：①， 当时，， 解得：，， 当时，，即， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②点，在二次函数上， ，，， 当M在之间时， ，， ∵， ∴， 解得：，（舍）， 当M在Q右边时， ，， ∵， ∴， 解得：，（舍）， 综上所述，或， 或． 【强化训练】 1．（2024秋•蓬江区期末）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（　　） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【思路引领】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出a＞0、b＜0、c＜0，由此即可得出0，即可得出一次函数的图象经过第二、三、四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 【完整解答】解：∵二次函数开口向上， ∴a＞0； ∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异， ∴b符号与a相异，b＜0； ∵反比例函数图象经过二、四象限， ∴c＜0， ∴0， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：B． 【总结提升】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，找出a、b、c的符号是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知二次函数和反比例函数的图像如图所示，它们围成的阴影部分（包括边界）的整点个数为5，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断的图像上或下方第一象限内的整点个数，结合反比例函数图像与二次函数图像围成的区域（包括边界）的整点个数为5，画出图形，从而可得答案． 【详解】解：如图，当时，， ∴在的图像上， ∵当时，； 当时，； ∴在第一象限内，在二次函数的图像上和图像下方的整点有6个， 坐标为、、、、，． ∵，，且在反比例函数的图像上和上方的整点有5个， ∴整点不在区域内， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，利用数形结合的方法解题是关键． 3．已知关于的二次函数（m，n是常数且）的图象如图所示，则双曲线和直线在同一平面直角坐标系中大致位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图像及，可得 ，再根据反比例函数与一次函数的性质即可判断． 【详解】解：由（m，n是常数且）和图象得： ， ∴， ∴的图象位于二、四象限，的图象经过一、二、四象限， 观察各选项，只有C符合题意． 4．如图，曲线是二次函数图像的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是抛物线顶点），曲线是反比例函数图像的一部分，两点的纵坐标相等，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点和是波浪线上的点，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．由抛物线求出点、点，由点求出双曲线，再求出，得到个单位一循环，求出、的最大值即可求解． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴令，则， ∴， 又∵点是抛物线的顶点， ∴， ∴, ∵点B在双曲线上， ∴， ∴双曲线解析式为， ∵两点的纵坐标相等， 当时，， ∴点， ∵， 所以点P的纵坐标和时的纵坐标相等， 当时，, 所以， ∵波浪线的最高点为二次函数顶点， 所以n的最大值为12， 所以最大值为． 故答案为． 5．已知二次函数，反比例函数，若这两个函数的图象有三个不同的交点，且所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数a的值______． 【答案】16 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题，涉及交点问题，因式分解法解一元二次方程，根的判别式等知识点． 两函数解析式，联立方程组可得出，从而求出一根为，然后根据交点个数确定方程有两个不相等的实数根，则，根据交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为)，整理得：，即：，一一代入求解即可． 【详解】解：联立，并整理得： ， ， 故其中一个根：， ∴a为正整数，方程有两个不同的实数根， ∴， 交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为)， 即(k为正整数)，整理得：， 即：， 而， 当，时，解得： (舍去)； 当，时，解得：； 当，时， (舍去)； 故； 故答案为：． 6．（2024•庐阳区模拟）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）的图象如图所示，P（m，﹣6），Q（12，n）是反比例函数图象上的两点． （1）m＝　2　，n＝　﹣1　； （2）记反比例函数图象上P、Q两点之间（包含P、Q两点）的部分为PQ，若二次函数的图象与PQ有两个公共点，则k的取值范围是　2k≤12　． 【思路引领】（1）把P（m，﹣6），Q（12，n）代入反比例函数解析式即可求得； （2）把P、Q分别代入y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数），求得k的值，根据图象即可求得． 【完整解答】解：（1）∵P（m，﹣6），Q（12，n）是反比例函数图象上的两点， ∴﹣6m＝12n＝﹣12， 解得m＝2，n＝﹣1， 故答案为：2，﹣1； （2）∵二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k2， ∵Δ＝（2k）2﹣4×（﹣1）×（1﹣k2）＝4＞0， ∴抛物线y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）与x轴有两个交点， 把Q（12，﹣1）代入y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）得．﹣144+24k+1﹣k2＝﹣1， 解得，k＝12或k＝12（较大值舍去）， 把P（2，﹣6）代入y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）得．﹣4+4k+1﹣k2＝﹣6， 解得k＝2或k＝2（较小值，舍去）， ∴二次函数的图象与PQ有两个公共点，则k的取值范围是2k≤12． 故答案为：2k≤12． 【总结提升】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 7．已知二次函数（）经过两点． (1)对称轴方程为 ，用含a的代数式表示c，则 ； (2)一次函数与有且只有3个公共点时，求a的值； (3)过点作垂直于x轴的直线分别与一次函数，二次函数交于E，F两点，满足当的时候，总有E，F两点之间距离小于，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将代入即可求出结果； （2）的图象是将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴上翻折到轴上方，要使一次函数与有且只有3个公共点，当经过时，；当一次函数与在点之间的图象只有一个交点时，； （3）令，经过原点，关于直线对称，由当时，，可得，从而确定；当时，此时当时，取最大值为，得出；当时，此时当时，取最大值为，得出． 【详解】（1）解：将代入得： ，解得：， ∴对称轴方程为（）， 综上：对称轴为，． （2）解：一次函数的图象为一条直线， ∵，， ∴， ∴， ∴的图象是将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴上翻折到轴上方， ∴在轴下方没有图象， ∴要使一次函数与有且只有3个公共点，则， ∴， 如图所示，当经过时， ∴，解得：； 如图所示，一次函数与在点之间的图象只有一个交点， 在点之间的图象解析式为， 令，整理得：， ，解得：或（舍去）， 综上：或． （3）解：∵， ∴，， ∴， 令，当时，， ∴经过原点，关于直线对称， 当时，；当时，；当时，； ∵当时，， ∴且， ∴， ∴， 当时，解得：，如图所示： ∴此时，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时当时，取最大值为， ∴，解得：， ∴， ∴当时，解得：，如图所示： ∴此时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时当时，取最大值为， ∴，解得：， ∴， 综上：． 8．定义：若一次函数与反比例函数满足，称为一次函数与反比例函数的“创新函数”． (1)一次函数与反比例函数是否存在“创新函数”？如果存在，写出其“创新函数”；如果不存在，请说明理由； (2)若一次函数与反比例函数存在“创新函数”，且该“创新函数”的图象与直线有唯一交点，求，的值； (3)若一次函数与反比例函数的“创新函数”的图象与轴有两个交点分别是，，其中，点，求的面积的变化范围． 【答案】(1)一次函数与反比例函数存在“创新函数”，“创新函数”为； (2)，； (3) 【分析】（1）根据定义新运算的规则即可求解； （2）根据题意，确定“创新函数”的解析式，根据有交点，由根的判别式即可计算出，的值； （3）根据题意，确定“创新函数”的解析式，根据与轴有两个交点，由求根公式，三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数存在“创新函数”， 一次函数与反比例函数中，，，， ∵，即满足， ∴一次函数与反比例函数存在“创新函数”，“创新函数”为， 答：一次函数与反比例函数存在“创新函数”，“创新函数”为． （2）解：根据题意可得，，， ∴， ∴一次函数与反比例函数的“创新函数”为， ∵该“创新函数”的图象与直线有唯一交点， ∴，即有两个相等的实数根， ∴， ∴ ∴， ∴， 答：，． （3）解：根据题意可得，， ∴， ∴一次函数与反比例函数的“创新函数”为， ∵“创新函数”的图象与轴有两个交点分别是，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴点到的距离为， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴当时，取最小值，当时，取最大值， ∵当时，，当时，， ∴， 答：的面积的变化范围是． 【点睛】本题主要考查定义新运算，一次函数，反比例函数，一元二次方程的综合，掌握一元二次方程中根与系数的关系，求根公式等知识是解题的关键． 9．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么这个点被称为“好点”．例如就是“好点”． (1)下列结论： ①直线上有无数个“好点”； ②二次函数的顶点是“好点”； ③双曲线上只有一个“好点”． 以上结论中，你认为正确的是______（填写正确结论的序号）． (2)二次函数的图象上存在唯一一个好点， ①求这个二次函数解析式； ②当时，，求t的取值范围． 【答案】(1)①② (2)①；②． 【分析】（1）根据“好点”的定义逐一判断即可； （2）①设“好点”为，代入，据此求解即可； ②利用配方法得到抛物线开口向下，当时，最大值为，再求得当时，或，结合函数图象得，据此求解即可． 【详解】（1）解：①直线上任意点都满足纵坐标是横坐标的3倍，有无数个“好点”，说法正确； ②二次函数， 顶点为，，是“好点”，说法正确； ③设双曲线“好点”为，代入得，解得， 得到两个好点和，不是只有一个，原说法错误； 所以正确的是①②； （2）解：①设“好点”为，代入， 得， 整理得：， ∵图象上存在唯一一个好点， ∴该一元二次方程有两个相等实数根，判别式， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； ②， 开口向下，当时，最大值为， 当时，， 解得或， ∵当时，， 结合函数图象得， 解得． 10．我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”，例如在二次函数的图象上，存在一点，则P为二次函数图象上的“互反点” (1)已知点和是二次函数图象上的“互反点”，请求出这个二次函数的解析式； (2)判断函数的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由； (3)如图1，设函数，的图象上的“互反点”分别为点A，B，点，当的面积为时，直接写出n的值； (4)如图2，为x轴上的动点，过Q作直线轴，若函数的图象记为，将沿直线翻折后的图象记为．当和两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)的图象上存在“互反点”，为； (3)； (4)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设“互反点”为，代入计算即可求解； （3）求出，，，可得，解得，据此计算求出n的值； （4）函数关于直线的对称抛物线解析式为，函数与直线的交点为，当点在直线上时，解得或，分五种情况讨论，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点和是二次函数图象上的“互反点”， ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为； （2）解：设“互反点”为， ∴，解得， ∴的图象上存在“互反点”，为； （3）解：中，当时，， 解得， ， 中，当时，， 解得， ， 如图，直线在二四象限角平分线上， ∵点， ∴点在一三象限角平分线上， ∴，， ∵的面积为， ∴，解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴； （4）解：函数关于直线的对称抛物线解析式为， 当时，， ∴函数与直线的交点为， 当点在直线上时，，解得或， ①当时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”，分别为，，都在上， 此时不存在“互反点”， 令， 整理得， ， 解得， ∴时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”，分别为和； ②当时，， 令， 解得或， ∴两部分组成的图象上恰有3个“互反点”，分别为，，； ③当时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”，或是其中一个“互反点”； ④当时，两部分组成的图象上恰有1个“互反点”，为； ⑤当时，两部分组成的图象上不存在“互反点”； ∴综上所述：或时，两部分组成的图象上恰有2个“互反点”． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程；熟练掌握三种函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $