第三十章 第55课时 圆的切线(1)——切线的判定-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学九年级上册(RJ) 8.(1)证明：如答图，连接OC,则OC=OD, .∠OCD=∠D CF与⊙O相切于点C,.CF⊥OC ,OD⊥AB,∴.∠OCF=∠DOB=90° ∴.∠FCE+∠OCD=90°， ∠OED+∠D=90°. .∠FCE=∠OED. (2)解：∠OCF=90°，CF=4,BF=2, ∴.OC+CF=OF,且OC=OB=OF-2. ∴.(OF-2)2+42=OF,解得OF=5. .OF的长是5. 9.证明：(1)，AC=CD,.∠CAD=∠ADC '∠ABC=∠ADC,.∠ABC=∠CAD. (2)如答图，连接OC. ,CE与⊙O相切于点C, ∴.∠OCE=90° 四边形ADBC是圆内接四边形， .∠CAD+∠DBC=180° ∠DBC+∠CBE=180°， .∠CAD=∠CBE. ∠ABC=∠CAD,.∠CBE=∠ABC. .OB=OC,.∠OCB=∠ABC .∠OCB=∠CBE.∴.OC∥BE. ∴.∠E=180°-∠OCE=90°..BE⊥CE 10.(1)证明：，PA,PB是⊙O的切线，OA,OB是⊙O的半径， .OA⊥PA,OB⊥PB. .OC∥PA,CD⊥AP,∴.CD⊥OC .∠OAD=∠CDA=∠OCD=90° .四边形OADC是矩形..OC=AD (2)解：设OC=AD=x. :四边形OADC是矩形，⊙O的半径是3，PA=9, ..OA=OB=CD=3,PD=PA-AD=9-. .OC∥PA,∴.∠OCB=∠P. .'OB⊥PB,CD⊥AP,∴.∠OBC=∠CDP=90° ∠OBC=∠CDP=90°， 在△OCB和△CPD中， ∠OCB=∠P, LOB=CD, .△OCB≌△CPD(AAS), ∴BC=PD=9-x 在Rt△OCB中，由勾股定理得OC=OB十BC心， 即x2=32十(9一x)2,解得x=5, .0C=x=5. 第55课时圆的切线(1)一切线的判定 1.25 2.证明：如答图，过点O作OE⊥AC,垂足为E O为∠BAC平分线上一点， OD⊥AB于点D, ..OE=OD. ,OE⊥AC .⊙O与AC相切 答图 3.证明：DB与⊙O相切于点B, .DB⊥OB.∴.∠OBD=90°. AC=BC,.∠AOC=∠BOC ,OA=OB,∠AOD=∠BOD,OD=OD, ∴.△AOD≌△BOD(SAS). .∠OAD=∠OBD=90° OA是⊙O的半径，且OA⊥AD, ∴.AD为⊙O的切线. 4.证明：如答图，连接OC .OC=OB,∴.∠B=∠BCO. .∠AOC=∠B+∠BCO=2∠B. ,AB⊥CD,∴.∠CEO=90° .∠COE+∠OCE=90° ∠FCD=2∠B,∠FCD=∠COE. 答图 .∠FCD+∠OCE=90° ∴.∠OCF=90°. OC是⊙O的半径，.CF是⊙O的切线。 5.证明：如答图，连接OE .EF⊥AC,∴.∠EFD=∠EFC=90° ,AB=AC,.∠B=∠C .'OB=OE,.∠B=∠OEB. ∠OEB=∠C.∴.OE∥AC .∠OEF=∠EFC=90 :OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线。 6.(1)解：如答图，连接OC AB是⊙O的直径，点C为AB的中点， .∠BOC=90°. :∠A=2∠B0C,·∠A=45 (2)证明：OA=OB,AC=CD, .OC∥BD.∴∠BOC+∠ABD=180. 答图 .∠ABD=180°-∠BOC=90°..OB⊥BD 点B在⊙O上，.BD与⊙O相切. 7.(1)证明：如答图，连接OD :BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠DBC .OB=OD,.∠ABD=∠ODB .∠ODB=∠DBC..OD∥BE DE⊥BE,OD⊥DE 答图 .DE是⊙O的切线. (2)解：如答图，连接AC ,AB是⊙O的直径，.∠FCB=90°. .∠FCE=90° ∠FDE=90°，∠DEC=90°， ∴.四边形FDEC是矩形. .DE=CE=2,AF=FC=DE=4. 设⊙0的半径为r, 在Rt△OAF中，由勾股定理得(r-2)2+4=2, .r=5.故⊙0的半径是5. 8.(1)证明：如答图，连接OC,BD ,四边形ABCD内接于⊙O, ∴.∠ABC+∠ADC=∠ADC+∠CDE =180°. ∴.∠ABC=∠CDE. ∠ABC+∠DCE=90°， .∠DCE+∠CDE=90° ∴.∠CED=90° ,AB为⊙O的直径，.∠ADB=90° ∴.∠CED=∠ADB.∴.BD∥CE. 点C是DB的中点，∴.OC⊥BD.∴.OC CE. OC是⊙O的半径，.CE为⊙O的切线。 (2)解：如答图，设OC与BD交于点G. 由(1)知∠E=∠GDE=∠GCE=90°， .四边形EDGC是矩形. ∴.GC=DE=2,CE=DG=4. ..BG=DG=4. .OA=OB,.OG是△ABD的中位线.∴.AD=2OG. 在Rt△OGB中，根据勾股定理得OB=OG十BG, .OC=(0C-2)2+42..OC=5. .OG=0C-CG=5-2=3. ∴.AD=2OG=6. 第56课时圆的切线(2)—切线长定理 1.A2.C3.C4.B5.C 6.证明：PA,PB分别切⊙O于点A,B, ∴.PA=PB,∠APC=∠BPC 又.PC=PC,∴.△APC≌△BPC(SAS) ..AC=BC. 7.6 8.解：PA,PB是⊙O的切线，PA=PB. 过点C的切线分别交PA,PB于点D,E, ∴AD=CD,BE=CE, :△PDE的周长为20，.PD+CD+CE+PE=20, ∴.PD+AD+BE+PE=20,即PA十PB=2PA=20 .PA=10. 9.解：(1)，OA=OB,∴.∠OAB=∠OBA=30°， :PA,PB是⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°， ∴∠PAB=∠PBA=60°，△PAB是等边三角形， .∠APB=60°. (2)如答图，连接OP, PA,PB是⊙O的切线 .PO平分∠APB, ∴.∠APO=∠BPO=30°， ..OP=20A. .AP=3,OP2=OA2+AP2, 答图 ∴.(2OA)2=OA2+32, .OA=√3，.⊙O的半径为3. 10.解：(1).PA是⊙O的切线，.OA⊥PA, 即∠CAP=90°，∴.∠PAB=90°-∠BAC=90°-28°=62. ,PA,PB是⊙O的切线，.PA=PB, .∠PBA=∠PAB=62°， .∠P=180°-∠PAB-∠PBA=56°， (2)如答图，连接CB, AC是⊙O的直径， ∴.∠CBA=90°， 在Rt△ABC中， ∠BAC=30°，AC=8, ∴BC=之AC=4,由勾股定理： 答图 AB=√AC-BC=√/82-42=4√3， .∠CAP=90°，∴.∠PAB=90°-∠BAC=90°-30°=60°， :PA=PB,∴△PAB是等边三角形， .AB=PA=PB=4√5， ∴.△ABP的周长为4√×3=123. 11.(1)证明：如答图，连接OP ,PA,PC分别与⊙O相切于点A,C, ∴.PA=PC,OA⊥PA. .OA=OC,OP=OP, .△OPA≌△OPC(SSS). .∠AOP=∠POC. QP⊥PA,∴.QP∥BA 答图 ∴.∠QPO=∠AOP ∴.∠QOP=∠QPO.∴.OQ=PQ. (2)解：设OC=r. .PQ=OQ=r+6,..PC=PA=AB=2r PC是⊙O的切线，.OC LPC 参考咨案 ∴.∠OCP=∠PCQ=90°. 在Rt△PCQ中，PQ=PC+QC, 即(6十r)2=62+(2r)2,解得r=4或r=0(舍去)， .半径的长为4. 第57课时三角形的内切圆 1.B2.C3.D4.495.C 6.解：(1)如答图所示. (2):AO平分∠BAC, CO平分∠BCA, ∴∠OAC-∠BAC ∠OCA=2∠BCA, 答图 ∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA =180°-2(ZBAC+∠BCA). :∠B=70°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=110°. ∠A0C=180°-2×110=125 7.解：如答图，设△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D,E, F,连接OD,OE,OF, 则OE⊥BC,OD⊥AB,OF⊥AC. 设⊙O的半径为r,则CF=r. :∠C=90°，BC=4,AC=3, .AB=5. ∴.AF=AD=3-r, BE=BD=4-r. 答图 .4-r+3-r=5,解得r=1. ∴.△ABC的内切圆⊙O的半径为1. 8.(1)解：：∠CBD=34°，∠CAD=34° ,点E是△ABC的内心，∴·∠BAC=2∠CAD=68°， .∠EBC+∠ECB=(180°-68°)÷2=56°， .∠BEC=180°-56°=124. (2)证明：，E是△ABC的内心， ∴.∠BAD=∠CAD,∠EBA=∠EBC I∠DEB=∠BAD+∠EBA, ∠DBE=∠EBC+∠CBD,∠CBD=∠CAD, .∠DEB=∠DBE,.DE=DB. 9.证明：(1)：点E是△ABC的内心， .∠BAE=∠CAE,∠EBA=∠EBC :∠BED=∠BAE+∠EBA, ∠DBE=∠EBC+∠DBC,∠DBC=∠EAC, .∠DBE=∠DEB..DB=DE (2)如答图，连接CD. AD平分∠BAC,∠DAB=∠DAC. .BD=CD..BD=CD. .BD=DF,∴.CD=DB=DF ∴.∠BCF=90° .BC⊥CF ∴直线CF为⊙O的切线. 第58课时正多边形与圆(1) 1.B2.C3.C4.B5.B6.B 7.D8.C9.6√210.C 11.解：(1)如答图，连接OB,OC. :三角形ABC为正三角形， .∠ABC=∠BCA=60°. ∠B0C=360=120, 3 OB=OC, 答图数学·九年级·上册（人教版） 第55课时 圆的切线(1) 切线的判定 A基础巩固·。· 落实课标 B能力提升●·。 灵活应用 1.如图，AB是⊙O的直径，点P 4.(2025·宿迁模拟)如图，在⊙O中，AB是直 是⊙O外一点，PO交⊙O于 径，CD是弦，且AB⊥CD,垂足为E,AB=20, 点C,连接BC,PA.若∠P= CD=12,在BA的延长线上取一点F,连接 40°，当∠B等于 度时，PA与⊙O CF,使∠FCD=2∠B.求证：CF是⊙O的 相切. 切线。 2.(2025秋·天河区校级期中)如图，O为 ∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于点D,以O 为圆心，以OD为半径作⊙O.求证：⊙O与 AC相切. 5.(2025秋·武威期末)如图，在△ABC中， AB=AC,以AB为直径的⊙O与AC,BC分 3.(2025秋·满洲里市期末)如图，点C为⊙O上 别交于点D和点E,过点E作EF⊥AC,垂足 一点，连接OC并延长至点D.过点D作⊙O的 为F.求证：EF是⊙O的切线. 切线DB,点B为切点，连接OB.点A为⊙O上 一点，AC=BC,连接OA,AD,BC,AC.求证： AD为⊙O的切线. ●>144 第三十章直线与圆的位置关系 6.如图，AB是⊙O的直径，C为AB的中点，延长 8.(2025秋·和平区校级期末)如图，四边形 AC到点D,使CD=AC,连接BD. ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径，点C平 (1)求∠A的度数； 分DB,过点C的直线分别交AB,AD的延长 (2)求证：BD与⊙O相切. 线于点F,E,且∠ABC+∠DCE=90. (1)求证：CE为⊙O的切线； (2)若CE=4,DE=2,求AD的长. C拓展应用●。· 深度思考 7.如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC交 ⊙O于点D,DE⊥BC,垂足为E. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若CE=2,DE=4,求⊙O的半径， ●1450