专题10 反比例函数中k的几何含义 专项训练讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题10反比例函数中k的几何含义 专题目标 理解反比例函数y=文中k的几何意义。 2. 掌握k与矩形面积、三角形面积的基本模型。 3. 会求双曲线与矩形、三角形组合图形的面积。 会利用双曲线的对称性处理面积问题。 掌握面积转化与等积变形的综合技巧，体会数形结合思想。 专题目录 题型01：k与矩形面积（基本模型） 题型02：k与三角形面积（的一半模型） 题型03：双曲线与矩形、三角形组合图形的面积 题型04：k的儿何意义与双曲线的对称性 题型05：面积转化与等积变形的综合问题 题型01：k与矩形面积（基本模型） 题型描述：题干给出双曲线上一点，过该点向坐标轴作垂线围成矩形，求矩形面积或k 值。核心得分点是矩形面积等于。 1/16 B 基础知识： 双曲线上任一点Px,),y=: 过P作两坐标轴的垂线，围成矩形面积=： k>0图象在一、三象限，k<0在二、四象限。 解题方法： 设点：设双曲线上点P(x,): 写面积：矩形面积=xy=xy: 联k:面积=k; 定符号：按象限定k的正负。 解题思路： 口诀：点、积、k、号。面积永远等于k:由面积求k时最后一步按象限定正负。 1.（26:27九年级上：安徽安庆阶段检测)如图，P:Q:R为反比例函数”=k>0x>0)图象上从左 到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为C,B,A,图中所构成的 阴影部分的面积从左到右依次记为， ,,S,其中0A:B:BC=1:23.若8=6，则8+ () B S S A.10 B.12 C.15 D.16 2/16 4 12 2.(26-27九年级上山东期中)如图，点A在双曲线y=x上，点B在双曲线y=x上，且AB‖x轴，点 C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为() B 12 A.4 B.6 C.8 D.12 3.(26-27九年级上·安徽合肥阶段检测)在学习完本章之后，李强同学说：“对于左图，当点A在双曲 线=3 一支上移动时，过A点作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B和点C,所形成的矩形 ABOC 的面积始终保持不变”，王茂同学说“对于右图，当点D在抛物线'=-？-4红+5 二象限的 图象上移动时，过D点作DE⊥x轴，DF⊥y轴，垂足分别为点E和点F,所形成的矩形DEOF的周 长有最大值”. -3 y y-x2-4x+5 C D (1)请验证李强同学的说法，并求出矩形ABOC的面积； (2)请验证王茂同学的说法，并求出矩形DEOF的周长最大值， 4.(25-26八年级下山东烟台·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别在反比例函数 y=-3c<0)和y-k>0,x>0)的图象上，AB交y轴于点E,4C1x轴，垂足为C,BD1x轴于点 x D,OD=20C,AC=3,BD=2. 3/16 D (1)求k的值： (2)连接OA,OB,求△AOB和△BOE的面积： 题型02：与三角形面积(k的一半模型) 题型描述：题干给出双曲线上一点与原点（或坐标轴）构成的三角形，求面积。核心得分 A 点是直角三角形面积等于2。 K< B 基础知识： 过双曲线上点P作x轴垂线，垂足与原点、卫围成的直角三角形面积=2； 同理作y轴垂线结果相同： 该三角形形状随点移动，面积不变。 解题方法： 作垂线：过双曲线上的点向坐标轴作垂线： 定两直角边：两直角边为x、以： 1 因 算面积：S=2k=2: 用结论：已知面积反求k。 4/16 解题思路： A 口诀：垂、边、半、k。见“双曲线十原点十垂足”三角形，面积直接写2：这是不变 量，与点的位置无关。 5.(26-27九年级上江苏扬州阶段检测)如图是反比例函数y= -(k+)的一部分图象，已知该图象过 点-2)，点P是图象上任意一点，过点P作PMLr轴，垂足为4则△POM的面积是《) 0 A.6 B.2.5 C.3 D.2 6(2425九年级上福建福州阶段检如图，点4在函数y=（x>0)的图象上，过点A作A⊥y抽 于点H,点P是x轴上一点，则△AHP的面积为 6 7.（2627九年级上江苏扬州阶段检测)如图，正比例函数y=:的图象与反比例函数y-（x>0)。 y(x<0)的图象分别交于点AB:过点AB分别向x铂、y轴作垂线，两垂线交于点C则 △ABC的面积为 5/16 8。(2627九年级上·安徽毫州阶段检测)在平面直角坐标系x0中，反比例函数y=(x>0)和反比例函 x 数y-(x>0)的图象如图所示，一条垂直于x转的直线分别交这两个反比侧函数的图象于A,B两点， 则△AOB的面积是 (用含a,b的代数式表示) 题型03：双曲线与矩形、三角形组合图形的面积 题型描述：题干给出双曲线与直线、矩形组合的图形，求阴影（组合）部分面积。核心得 分点是把组合图形拆成“k模型”与已知图形的和差。 基础知识： 组合面积=基本模型面积的加减： 双曲线上多点时各点都满足y=k; 矩形（三角形）面积用坐标表示： 同一条双曲线上的点对应的矩形面积相等。 解题方法： 拆图形：把组合图形拆成基本矩形、三角形： 因 用k:双曲线相关部分用或2表示： 6/16 算其余：规则图形用坐标计算； 求和差：合并得结果。 解题思路： 口诀：拆、k、算、并。阴影面积“化整为零”，每块尽量向k模型靠；同双曲线上的点面 积关系直接用。 9。(2627九年级上河北沧州阶段检测)如图，反比例函数)-生k>0与长方形O1BC在第一象限相交 于D,B两点，OM=4,0C=8,连接OD,OE,DE,记△0MD、△0E的面积分别为S、.若 ,则△ODBE S+S2=8 的面积为 10。(26-27九年级上江苏苏州阶段检测)如图，矩形O4BC与反比例函数片=Cr>0)的图象交于点M, N,与反比例函数y=（x>0)的图象交于点B,连接OM、ON,则四边形OMBN的面积为 y. 11.(26-27九年级上·北京西城阶段检测)如图，在平面直角坐标系x0少中，点A在x轴正半轴，点B在 ”轴正半轴，四边形04CB为矩形，顶点C在第一象限，矩形O1CB的面积为g·反比例图数y-冬 x( k>0)的图象交线段AC于点M,交线段BC于点N.连接MN、OM、ON,若BW:CN=l:3,记 7/16 W=S.MON-S.MCN B (1)求k的值： (2)求此时W的值. 12.(2627九年级上江苏苏州阶段检测)如图，反比例函数y=(x>0)的图象经过矩形OABC对角线 的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E. E B M (I)证明：△OCE与△OAD面积相等； (②)若CE:EB=1:3,求BD:BA的值： 3)若四边形ODBE面积为6，求反比例函数的解析式. 题型04：k的几何意义与双曲线的对称性 题型描述：题干利用双曲线关于原点（或y=x)的对称性给出两点，求面积或坐标关系。 核心得分点是对称点坐标互为相反数，面积相等。 基础知识： 双曲线关于原点中心对称：点(x,)与（一x,一y)同在双曲线上： 关于直线y=x(y=一x)对称： 对称两点的对应矩形（三角形）面积相等： 原点对称的两点与原点共线。 8/16 解题方法： 找对称：确定对称点坐标关系： 用等积：对称图形面积相等： 转化算：把未知面积转化为已知面积； 求结果：合并计算。 解题思路： 口诀：称、积、转、算。过原点的直线交双曲线于两点，这两点必关于原点对称一一面积 问题由此转化。 13.(26-27九年级上内蒙古呼和浩特阶段检测)如图，正方形ABCD的边长为4，其中它的中心与原点 亚合，8销，9C辅，反比例函数y=子与y= 2 x的图像均与正方形ABCD的边相交，则图中 阴影部分的面积是() A.4 B.6 C.8 D.10 14.(2026山东泰安一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=c+b的图象与y轴交于点C,与 6 反比例函数y=x的图象交A(-L,m),B(,-2)两点。若点P是x轴上一点，△BOP的面积等于 △AOB面积的2倍，则点P的坐标为 9/16 15.(26-27九年级上河北邯郸阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与双曲线%= 相交于123)，B(m-2)两点. )求”的函数解析式 ②)求”的函数解析式： 3)求△AOB的面积. 16(2026江西赣州模拟预测)如图，直线y=x-2与反比例函数y=k>0)的图象交于点4'B: (1)若点A的横坐标为3，求反比例函数的解析式： BC @点C与点关于原点0对称，若OB三BC,则3 16 题型05：面积转化与等积变形的综合问题 题型描述：题干给出复杂图形面积条件（如某四边形面积为定值），求k或点坐标。核心 得分点是用等积变形把复杂面积转化为关系。 基础知识： 等积变形：同底等高的三角形面积相等； 梯形、四边形面积可拆分或补成基本图形： 10116 面积条件最终归结为含k(或坐标)的方程。 解题方法： 析面积：把已知面积拆（补）成基本图形： 做转化：用等积变形转化为双曲线基本模型的面积： 列方程：由面积=(（或其倍数）列方程： 解验答：求k并检验象限符号。 解题思路： 口诀：拆补、积、程、符。复杂面积先“搬”成矩形或三角形；列方程时面积只给k,符 号最后由象限决定。 17.(26-27九年级上河北沧州阶段检测)在平面直角坐标系中，反比例函数y=年cx<0和y=名(x<0) 的位置如图所示，P为y-冬上一动点，年形4OP与y =x交于C,D两点，连接OD,CD,OC.针 对两名同学的结论，下列判断正确的是() B K2 y= A 甲同学：△OCD的面积随点P的位置变化而变化： 乙同学：无论点P在什么位置，四边形OCPD 2-k 的面积是定值 A.甲对乙错 B.甲错乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都错 18.(26-27九年级上福建龙岩阶段检测)如图，AB∥x轴交反比例函数y=的图象于点A,交y轴于 点B,连接 接0M,o.Sam=2,则k的值是 11/16 B V= 19.(26-27九年级上安徽合肥阶段检测)在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴上，OC在y 轴上，点B坐标为(6,4).反比例函数y-(x>0)经过BC的中点D,与AB交于点E:点P是反比 例函数图象上一点，且点P在矩形内部，PF⊥x轴，垂足为F,连接PE,EF,若△PEF的面积为2， 则点P的横坐标为 D B P (26-27九年级上河北邯郸期中)如图，4，B是双曲线y=(x>0)上的两点，连接O4,OB· 点作1C1轴于点C,交OB于点D.若D为4C的中点，△10D的面积为3，点B的坐标为m2) Q)若点，3)，(，2)是该双曲线上两点，试比较5，的大小 (2)求双曲线的解析式及m的值； 3)求点A的坐标. 几专题综合训练 12116 一、选择题 1.(26-27九年级上北京西城阶段检测)如图是反比例函数y x（k≠0)的一部分图象，已知该图象 过点-2,3列，点P是图象上任意一点，过点P作PMLx轴，垂足为M,则APOM的面积是《) V M A.6 B.4 C.3 D.2 3 2.(2627九年级上广西南宁阶段检测)如图，点4、B是双曲线y=x上的点，分别过A八B两点向x 轴、'轴作垂线段，若一引，则+8 的值为() S B S2 A.6 B.5 C.4 D.3 3.(26-27九年级上江苏期中)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A,D都在反比例函数 y=(x>0)的图象上，顶点B,C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线BD∥x轴。则菱形 ABCD的面积为() 13116 B D C A.3 B.12 C.-6 D.6 4.(26-27九年级上·江苏苏州阶段检测)如图，D为矩形0ABC(边OA,0C分别在x,y轴的正半轴上) 对角线OB上的点，且0D号BD.经过点D的反比例函数)-的图象分别与B,BC相交于皮区 F,连接OE,OF,EF.若△OBF的面积是12，则△OEF的面积为() D 20 40 A.12 B.13 C.3 D.3 二、填空题 5.(2627九年级上河北邯郸阶段检测)如图，矩形8CD的顶点4在双曲线(x>0)上，点B在反 k 比例函数y=元第二象限的图象上，若矩形ABCD面积为6，则k的值为— 6.(26-27九年级上·黑龙江绥化阶段检测)已知矩形OABC的两邻边OA、OC分别落在x正半轴与y正 14/16 半精上，反比的数4年（e>0)的图家经注点B:为年(>0的图家分划与C、AB交于点D E.若顾点B的坐标是B,4利，B=BE,则a0DE的面积是 C E 7.(2026福建三明模拟预测)如图，点4'B分别在反比例函数y= x（x<0),h=-3 （x<0） 的图象上，点C为y轴正半轴上一点，若平行四边形ACOB的面积是6，则k的值为 VA A 衣 8.(26-27九年级上·安徽合肥阶段检测)如图，矩形ABCD的顶点A和CD边上的点E在反比例函数 y=华x<0)的图象上，若矩形ABCD的面积为12，且DB=2BC,则k的值为一 y D A B 三、解答题 9.(26-27九年级上广东广州阶段检测)如图，0是平面直角坐标系的原点 (3,2）R1△OAB的直角边 15116 OB在，轴的正半轴上，斜边0M的中点在反比例函数y->0)的图象上，B交该函数图象于月 C,连接OC. A D C (1)求该反比例函数的解析式； (2)求△OAC的面积. 10.(2026河南平顶山三模)如图，反比例函数y-女（k≠0)与一次函数y=m+mm+0)的图象交于 A,aB(-2,b)两点. 1)结合图象直接写出mx+n x的解集； (2)过点A作x轴的垂线，垂足为点C,若 △40c=2 ,求一次函数的解析式： (3)在(2)的条件下，若在第一象限内，反比例函数上存在一点D,使得 ABD=3 ,请求出点D的坐 标 16116 2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题10 反比例函数中k的几何含义 ▌专题目标 1. 理解反比例函数中k的几何意义。 2. 掌握k与矩形面积、三角形面积的基本模型。 3. 会求双曲线与矩形、三角形组合图形的面积。 4. 会利用双曲线的对称性处理面积问题。 5. 掌握面积转化与等积变形的综合技巧，体会数形结合思想。 ▌专题目录 题型01：k与矩形面积（基本模型） 题型02：k与三角形面积（|k|的一半模型） 题型03：双曲线与矩形、三角形组合图形的面积 题型04：k的几何意义与双曲线的对称性 题型05：面积转化与等积变形的综合问题 ▌题型01：k与矩形面积（基本模型） 题型描述：题干给出双曲线上一点，过该点向坐标轴作垂线围成矩形，求矩形面积或k值。核心得分点是矩形面积等于|k|。 基础知识： 1. 双曲线上任一点P(x, y)，|xy|＝|k|； 2. 过P作两坐标轴的垂线，围成矩形面积＝|k|； 3. k＞0图象在一、三象限，k＜0在二、四象限。 解题方法： 1. 设点：设双曲线上点P(x, y)； 2. 写面积：矩形面积＝|x|·|y|＝|xy|； 3. 联k：面积＝|k|； 4. 定符号：按象限定k的正负。 解题思路： 口诀：点、积、k、号。面积永远等于|k|；由面积求k时最后一步按象限定正负。 1．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，，，为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为，，，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，都是反比例函数图象上的点可得：，，；由得：，，，；再根据得，进而求出的值． 【详解】 解：∵，，都是反比例函数图象上的点， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，， 又∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 2．（26-27九年级上·山东·期中）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点在x轴上，若四边形为矩形，则它的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】延长交轴于点，然后分别证明四边形、四边形是矩形，再利用反比例函数系数的几何意义，分别得到四边形的面积为，四边形的面积为，即可得到矩形的面积． 【解答】解：延长交轴于点，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴四边形的面积为，四边形的面积为， ∴矩形的面积为． 3．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在学习完本章之后，李强同学说：“对于左图，当点在双曲线一支上移动时，过点作轴，轴，垂足分别为点和点，所形成的矩形的面积始终保持不变”，王茂同学说“对于右图，当点在抛物线第二象限的图象上移动时，过点作轴，轴，垂足分别为点和点，所形成的矩形的周长有最大值”． (1)请验证李强同学的说法，并求出矩形的面积； (2)请验证王茂同学的说法，并求出矩形的周长最大值． 【答案】(1)解：点在双曲线第二象限部分上， 设点的坐标为， 则矩形中，， 矩形的面积， 矩形的面积为，且始终保持不变，李强同学的说法正确． (2)解：设点的坐标为， 点在抛物线第二象限的图象上， ，， 矩形的边长，， 设矩形的周长为，则： ， 可知， 当时，有最大值，最大值为，即； 当时，，解得或， 点在第二象限移动时，的取值范围是， 又在范围内， 矩形的周长有最大值，最大值为，故王茂同学的说法正确． 【分析】（1）设点的横坐标为，纵坐标为，则矩形中，，计算即可． （2）点在抛物线第二象限的图象上，将点的横、纵坐标用关于的代数式表示出来，再将横、纵坐标转化为点到坐标轴的长度，重新构造出与矩形周长相关的二次函数，将此二次函数化为顶点式后，可知矩形的周长有最大值，且最大值可求． 【详解】（1）略． （2）略． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 【详解】（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． ▌题型02：k与三角形面积（|k|的一半模型） 题型描述：题干给出双曲线上一点与原点（或坐标轴）构成的三角形，求面积。核心得分点是直角三角形面积等于。 基础知识： 1. 过双曲线上点P作x轴垂线，垂足与原点、P围成的直角三角形面积＝； 2. 同理作y轴垂线结果相同； 3. 该三角形形状随点移动，面积不变。 解题方法： 1. 作垂线：过双曲线上的点向坐标轴作垂线； 2. 定两直角边：两直角边为|x|、|y|； 3. 算面积：S＝|xy|＝； 4. 用结论：已知面积反求k。 解题思路： 口诀：垂、边、半、k。见“双曲线＋原点＋垂足”三角形，面积直接写；这是不变量，与点的位置无关。 5．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解． 【详解】解：的图象过点， ， 点P是图象上任意一点，轴， ． 6．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，点A在函数的图象上，过点A作轴于点H，点P是x轴上一点，则的面积为____________． 【答案】3 【分析】连接，由反比例函数的几何意义可得，由题意可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵点A在函数的图象上，过点A作轴于点H， ∴， ∵点P是x轴上一点， ∴， ∴， ∴的面积为． 7．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，，过点，分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_______． 【答案】 【分析】设点，，利用正比例函数和反比例函数的性质得到坐标之间的倍数关系，确定点C的坐标，进而表示出的直角边长，利用三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：设点，， ∵正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，， ∴且， ∴， ∴， ∵点在第一象限，点在第二象限， ∴ ∴， 同理， ∵轴，轴， ∴， ∴， ， ∴ ． 8．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于，两点，则的面积是________（用含，的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据题意得出，，从而求解． 【详解】解：如图：点为与轴的交点， 则，， ∵，， 故，， ∴的面积． ▌题型03：双曲线与矩形、三角形组合图形的面积 题型描述：题干给出双曲线与直线、矩形组合的图形，求阴影（组合）部分面积。核心得分点是把组合图形拆成“|k|模型”与已知图形的和差。 基础知识： 1. 组合面积＝基本模型面积的加减； 2. 双曲线上多点时各点都满足xy＝k； 3. 矩形（三角形）面积用坐标表示； 4. 同一条双曲线上的点对应的矩形面积相等。 解题方法： 1. 拆图形：把组合图形拆成基本矩形、三角形； 2. 用|k|：双曲线相关部分用|k|或表示； 3. 算其余：规则图形用坐标计算； 4. 求和差：合并得结果。 解题思路： 口诀：拆、k、算、并。阴影面积“化整为零”，每块尽量向|k|模型靠；同双曲线上的点面积关系直接用。 9．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于D、E两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为_______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，由求出的值，进而求出、的长，利用割补法，用矩形面积减去三个直角三角形面积即可求解． 【详解】解：四边形是长方形，，， ，，， 点、在反比例函数的图像上， ，， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 10．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，矩形与反比例函数的图象交于点，，与反比例函数的图象交于点，连接、，则四边形的面积为______． 【答案】3 【分析】设，根据反比例函数的性质表示出M、N点的坐标，再结合矩形的性质，利用，即可作答． 【详解】解：设，则有， ∴， ∵矩形， ∴，，， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即，， ∴，， ∵矩形面积为：， ∴四边形的面积为：． 11．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴，点B在y轴正半轴，四边形为矩形，顶点在第一象限，矩形的面积为．反比例函数（）的图象交线段于点，交线段于点．连接、、，若，记． (1)求的值； (2)求此时的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）设点坐标为，点坐标为，由矩形面积为8，得．根据矩形性质和坐标与图形性质，结合已知可得点，代入即可求得函数解析式； （2）求得点，根据反比例函数系数k的几何意义得，再由求解即可． 【详解】（1）解：设点坐标为，点坐标为，因为四边形是矩形，所以点坐标为． 由矩形面积为8，得． ∵， ， ∴， ∴． 代入反比例函数得： ， ​∴． （2）解：∵在反比例函数 ​上，代入得​，因此． ∵． ∵ ∴； 由的纵坐标可知， ∵即​， ∴． ∴ ， ​ ∴，​ ∴． 12．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点M，分别与交于点D、E． (1)证明：与面积相等； (2)若，求的值； (3)若四边形面积为6，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵D、E在反比例函数的图象上， ∴， ∴与面积相等； (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，再由反比例函数比例系数的几何意义可得； （2）求出，设点E的坐标为，则点B的坐标为，点D坐标为，则可推出，据此求出的长即可得到答案； （3）设M点坐标为，则，即，可求出，，，进而求出点D和点E的坐标，根据，求出的值即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 设点E的坐标为，则点B的坐标为，点D坐标为， ∵，均在反比例函数的图象上， ∴， 解得． ∴， ∴， ∴． （3）解：设M点坐标为，则，即， ∵点M为矩形对角线的交点， ∴， ∴，， ∴D点的横坐标为，E点的纵坐标为， 又∵点D、点E在反比例函数的图象上， ∴D点的纵坐标为，E点的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴反比例函数的解析式为． ▌题型04：k的几何意义与双曲线的对称性 题型描述：题干利用双曲线关于原点（或y＝x）的对称性给出两点，求面积或坐标关系。核心得分点是对称点坐标互为相反数，面积相等。 基础知识： 1. 双曲线关于原点中心对称：点(x, y)与(－x, －y)同在双曲线上； 2. 关于直线y＝x（y＝－x）对称； 3. 对称两点的对应矩形（三角形）面积相等； 4. 原点对称的两点与原点共线。 解题方法： 1. 找对称：确定对称点坐标关系； 2. 用等积：对称图形面积相等； 3. 转化算：把未知面积转化为已知面积； 4. 求结果：合并计算。 解题思路： 口诀：称、积、转、算。过原点的直线交双曲线于两点，这两点必关于原点对称——面积问题由此转化。 13．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，正方形的边长为，其中它的中心与原点重合，轴，轴，反比例函数与的图像均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两反比例函数的解析式确定出两函数图像之间的关系，再根据正方形的中心与原点重合，可知图中四个小正方形全等，即反比例函数的图像与两坐标轴所围成的图形全等，故阴影部分的面积即为两个小正方形即大正方形面积的一半． 【详解】解：对于反比例函数与，由两函数的解析式可知，两函数的图像关于x轴对称， ∵正方形的中心与原点重合， ∴四个小正方形全等， ∴反比例函数的图像与两坐标轴所围成的图形全等， ∴阴影部分的面积. 14．（2026·山东泰安·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交，两点。若点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，则点P的坐标为_____．    【答案】或 【分析】先求解点，，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，求出，设，然后根据题意得到，求解即可． 【详解】解：将，代入， 得，， 解得：， 点，． 把，代入， 得， 解得：， 一次函数的解析式为； 如图，连接，    ∵一次函数的解析式为， 当时，， ∴． ∵点，点， ． 设点， 由题意，得， 解得， 点的坐标为或． 15．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点． (1)求的函数解析式； (2)求的函数解析式； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点代入，即可； （2）把点代入，求出点的坐标，再根据待定系数法求出的解析式，即可； （3）连接，，根据，即可． 【详解】（1）解：∵点在的图像上， ∴, 解得：， ∴； ∴的函数解析式；． （2）解：∵点在双曲线上， ∴, 解得：， ∴点， ∵点，点在一次函数上， ∴ 解得：， ∴， 的函数解析式为：． （3）解：连接，， 设直线与轴的交点为点， ∴当时，，即； ∴ ． 16．（2026·江西赣州·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于点，． (1)若点的横坐标为3，求反比例函数的解析式； (2)点与点关于原点对称，若，则_______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，代入反比例函数，即可解答； （2）设，联立，利用一元二次方程根与系数的关系求出，由点与点关于原点对称，得到，再求出，根据题意求出，再求出， 即可求解． 【详解】（1）解：当时，，即， 将代入反比例函数， 则， 解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：设， 联立，则， ∴， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ▌题型05：面积转化与等积变形的综合问题 题型描述：题干给出复杂图形面积条件（如某四边形面积为定值），求k或点坐标。核心得分点是用等积变形把复杂面积转化为|k|关系。 基础知识： 1. 等积变形：同底等高的三角形面积相等； 2. 梯形、四边形面积可拆分或补成基本图形； 3. 面积条件最终归结为含k（或坐标）的方程。 解题方法： 1. 析面积：把已知面积拆（补）成基本图形； 2. 做转化：用等积变形转化为双曲线基本模型的面积； 3. 列方程：由面积＝|k|（或其倍数）列方程； 4. 解验答：求k并检验象限符号。 解题思路： 口诀：拆补、积、程、符。复杂面积先“搬”成矩形或三角形；列方程时面积只给|k|，符号最后由象限决定。 17．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）在平面直角坐标系中，反比例函数的位置如图所示，P为上一动点，矩形与交于C，D两点，连接． 针对两名同学的结论，下列判断正确的是（     ） 甲同学：的面积随点P的位置变化而变化； 乙同学：无论点P在什么位置，四边形的面积是定值． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】B 【分析】设，故，，根据反比例函数k的几何意义，图形的面积性质，解答即可． 【详解】解：设，故，， 的图象经过点C，D， ， 解得， ，， ， 根据反比例函数k的几何意义，得，，， ， 都是定值， 故的值也是定值， 故甲同学的说法错误； ，是定值， 故乙同学的说法正确； 18．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，轴交反比例函数的图象于点A，交轴于点B，连接，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义解答即可． 【详解】解：∵轴， ∴轴， ∵点A在反比例函数的图象上，且， ∴， 即， ∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴． 19．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，点坐标为．反比例函数经过的中点，与交于点．点是反比例函数图象上一点，且点在矩形内部，轴，垂足为，连接，若的面积为2，则点的横坐标为_______． 【答案】 【分析】由矩形顶点坐标确定各顶点位置，代入中点坐标求出反比例函数解析式；设的横坐标为，用表示坐标，再以为底、点到的距离为高，利用面积公式列方程求解． 【详解】解：∵矩形的边在轴上，在轴上，点坐标为， ∴，，． 的中点的坐标为． ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为． 当时，，故点的坐标为． 设的横坐标为，则点的坐标为，垂足的坐标为（其中）． ∵轴， ∴的长为，点到直线的距离为． 由，得． 整理得，即， 解得． ∴点的横坐标为． 20．（26-27九年级上·河北邯郸·期中）如图，，是双曲线上的两点，连接，．过点作轴于点，交于点．若为的中点，的面积为3，点的坐标为． (1)若点，是该双曲线上两点，试比较，的大小； (2)求双曲线的解析式及的值； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2)双曲线的解析式为， (3) 【分析】（1）推导出，第一象限内反比例函数单调递减，纵坐标越大，对应的横坐标越小，直接比较， （2）先利用反比例函数的几何意义求出的值，写出双曲线解析式，把代入解析式，解方程求， （3）先求直线解析式，设出点坐标，写出中点坐标；利用在直线上列方程，求解正数，得到坐标即可， 【详解】（1）解：∵双曲线的一支图像在第一象限， ，且双曲线在时，随的增大而减小， 点，在双曲线上，且， ； （2）解：∵为的中点，的面积为3， ∴， 轴， ∴， ∴双曲线的解析式为， 点在双曲线上， ， 解得； （3）解：由（2）得， 设直线的解析式为， 把代入得 ， ， 直线解析式为， 设，则， 在直线上， ， ， ， ， 当时，， ． ▌专题综合训练 一、选择题 1．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象过点求出的值，再利用反比例函数的几何意义求解的面积． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∵点是图象上任意一点，轴， ∴． 2．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，点、是双曲线上的点，分别过、两点向轴、轴作垂线段，若，则的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用反比例函数系数的几何意义，得出 及 的值，进而求解． 【详解】解：点、是双曲线 上的点， 过点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积均为， ，， ， ，， ． 3．（26-27九年级上·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（     ） A．3 B．12 C． D．6 【答案】D 【分析】过点D作轴于点E，根据k的几何意义可得，，根据菱形的性质以及三角形的面积可得 k，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E， 对角线轴， , 四边形是矩形， ， k， ∵菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，， ． 4．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，D为矩形（边分别在x，y轴的正半轴上）对角线上的点，且．经过点D的反比例函数的图象分别与相交于点E，F，连接．若的面积是12，则的面积为（     ） A．12 B．13 C． D． 【答案】D 【分析】设点A坐标为，点C坐标为，则点B坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设点A坐标为，点C坐标为，则点B坐标为． ∵， ∴点D坐标可表示为， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ． 二、填空题 5．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上，若矩形面积为，则的值为________. 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义得，，根据矩形面积为列方程即可解出的值. 【详解】解：如图， 记与轴相交于， ∵矩形的顶点在双曲线上，点在反比例函数第二象限的图象上， ∴，，， ∵矩形面积为，， ∴，解得：（舍），， ∴的值为. 6．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）已知矩形的两邻边、分别落在正半轴与正半轴上，反比例函数的图象经过点，的图象分别与、交于点、．若顶点的坐标是，，则的面积是________． 【答案】 【分析】根据已知条件求出两点的坐标，即可求出的面积，用矩形的面积减去上面三个三角形的面积即可求出答案． 【详解】解：四边形是矩形，点的坐标是， ， ， ， 点的坐标是， 代入得：， ， ， 由题意知：点的纵坐标为，代入得：， 点的坐标为， ，， ， ． 7．（2026·福建三明·模拟预测）如图，点，分别在反比例函数（），（）的图象上，点为轴正半轴上一点，若平行四边形的面积是6，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质求出，根据反比例函数k的几何意义求出，进而求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，延长交x轴于点D，连接， ∵平行四边形的面积是6， ∴．， ∴， ∴． ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 8．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，矩形的顶点A和边上的点E在反比例函数的图象上，若矩形的面积为12，且，则k的值为________． 【答案】 【分析】设点A的坐标为，则可求得点E的纵坐标为，再根据面积列方程求解即可． 【详解】解：设点A的坐标为， 则， 四边形是矩形， ， ， ， 点E的纵坐标为， 令，则， 解得， 点E的坐标为， 矩形的面积为12， ， 解得． 三、解答题 9．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，是平面直角坐标系的原点，的直角边在轴的正半轴上，斜边的中点在反比例函数的图象上，交该函数图象于点，连接． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点的坐标，代入解析式即可； （2）根据解题． 【详解】（1）解：∵，，且为中点， ∴， 即， ∵过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点过函数，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴． 10．（2026·河南平顶山·三模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于、两点． (1)结合图象直接写出的解集； (2)过点A作x轴的垂线，垂足为点C，若，求一次函数的解析式； (3)在（2）的条件下，若在第一象限内，反比例函数上存在一点D，使得，请求出点D的坐标． 【答案】(1)或； (2)； (3)或． 【分析】（1）结合图象直接写出解集即可； （2）由，可得，进而得到点的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）设点D的坐标为，过D作轴交直线于点E，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：、 由图象可以看出的解集为或． （2）解：， ，即， 、， 将A、B两点坐标代入得，，解得， ∴一次函数的解析式为； （3）解：设点D的坐标为， 过D作轴交直线于点E， 将代入，得， ， ， ， ， 或， 解得或（负值舍去）， ∴点D的坐标为或． 【点睛】本题考查了函数图象与不等式的数形结合、反比例与一次函数解析式的确定，以及坐标系中三角形面积的计算，解题关键在于利用已知面积条件求出交点坐标，进而得到函数解析式，在第（3）问中，巧妙运用“水平宽乘铅垂高”将动点面积问题转化为含绝对值的方程求解． / 学科网（北京）股份有限公司 $