专题15 用反比例函数解决常见实际问题（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题15 用反比例函数解决常见实际问题 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 物理问题 题型02 工程问题 题型03 行程问题 题型04 销售问题 题型05 几何图形问题 题型06 表格问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 实际问题建立反比例函数模型步骤 1． 审清题意：区分题目中的常量、自变量、因变量，找准两个变量乘积为定值的等量关系． 2． 列函数解析式：根据实际公式列出恒等关系式，整理变形为反比例函数标准形式 ． 3． 确定自变量取值范围：结合实际意义取值，长度、速度、时间、质量、电阻等物理量均为正数，不可直接使用 ． 4． 利用性质解题：借助反比例函数增减性，求解变量取值范围、最值、方案问题． 5． 检验作答：所得结果必须符合实际生活、物理规律，舍去不合理的解． 【要点提示】实际问题中的反比例函数图象，只取第一象限单支双曲线，无其他象限图象． 【针对训练】 【典例1】（2026·吉林·一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．大伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和． (1)求动力F关于动力臂l的函数解析式． (2)当动力臂为时，撬动石头至少需要多大的力？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“阻力×阻力臂=动力×动力臂”可直接进行求解； （2）由（1）可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴动力F关于动力臂l的函数解析式为； （2）解：由（1）可知：， ∴当时，则， 答：撬动石头至少需要的力． 【变式1】综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图①），浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图②所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度怎么变化，变化了多少？ 【答案】(1) (2)减少了，减少了 【分析】（1）设，把求出k，即可得出解析式； （2）把代入（1）中求解的函数解析式即可． 【详解】（1）解：设h与p之间的函数关系式为，由题可知，图像过， 将代入，得， 解得：， 所以h与ρ之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ， 密度计浸入该液体中的高度h减少了． 知识点二 八大常考反比例函数实际模型 1． 工程工作模型：总工作量一定，工作效率与工作时间成反比例； 2． 行程运动模型：总路程一定，行驶速度与行驶时间成反比例； 3． 杠杆平衡模型：阻力、阻力臂一定，动力与动力臂成反比例； 4． 电学电路模型：电压恒定，电功率与电阻成反比例； 5． 力学做功模型：做功总量一定，作用力与移动距离成反比例； 6． 气体恒温模型：温度不变，气体压强与体积成反比例； 7． 矩形面积模型：面积固定，长与宽成反比例； 8． 立体体积模型：体积固定，底面积与高成反比例． 核心解题规律与易错点 1． 实际应用题中 ，在第一象限内：自变量越大，函数值越小． 2． 出现“至少、至多、不超过、最少、最多”等关键词，必须利用反比例增减性求边界值． 3． 所有变量取值必须为正数，解题必须写明自变量取值范围，属于必考得分点． 【针对训练】 【典例2】如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题． 根据水温升高的速度，即可求出水温从加热到所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到20摄氏度所需时间为，即一个循环为，，将代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断． 【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； B、由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； C、在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 上午10点到共30分钟，， 把代入，得：， 即：时的水温为，不低于，故C选项说法正确，不合题意； D、当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式2】（2026·河南商丘·一模）某“地磅检测”模拟电路的简化原理如图1所示，电源电压恒为，定值电阻的阻值为 ，力敏电阻的阻值随所受压力的变化而变化，它们的关系如图2所示．当电压表示数超过 时，触发超载警报．下列说法正确的是（   ） 知识小链接：①导体两端的电压、导体的电阻、通过导体的电流满足关系式 ；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．力敏电阻的阻值随压力的增大而增大 B．压力为 时，电压表示数为 C．触发警报时，力敏电阻R所受到的压力大于 D．若将定值电阻，更换为阻值更大的电阻，警报触发时对应的压力会更大 【答案】C 【分析】先明确电路为力敏电阻与定值电阻串联，电压表测定值电阻两端电压，结合力敏电阻阻值随压力变化的图像，利用欧姆定律和串联电路的电流、电压规律逐一分析选项：A选项：直接观察图像趋势判断力敏电阻阻值与压力的关系即可判断；B选项：从图像中找到压力为时对应的力敏电阻阻值，计算电路总电阻和电流，进而求出电压表示数即可判断；C选项：由触发警报的临界电压算出临界电流和总电阻，得出此时力敏电阻的临界阻值，再对应图像找到对应的压力，结合阻值随压力增大而减小的规律判断压力范围即可；D选项：分析更换更大阻值的后，警报触发时的电流、总电阻和力敏电阻阻值的变化，再对应压力的变化即可判断． 【详解】解：A、从图2可以看出，力敏电阻的阻值随压力的增大而减小， ∴A选项错误，该选项不符合题意； B、当压力为时，由图2可知， ∴电路总电阻， ∵电源电压， ∴电路电流， ∴电压表示数， ∴B选项错误，该选项不符合题意； C、触发警报时电压表示数超过，即，， 此时电路电流， ∵电源电压， ∴总电阻， ∴力敏电阻阻值， 由图2可知，时对应，且随增大而减小， ∴触发警报时力敏电阻所受压力大于， ∴C选项正确，该选项符合题意； D、若将定值电阻更换为阻值更大的电阻，警报触发时不变， ∴电路电流会变小， ∵电源电压， ∴总电阻会变大， ∴力敏电阻阻值会变大， ∵随增大而减小， ∴变大对应变小，即警报触发时对应的压力会更小， ∴D选项错误，该选项不符合题意． 典例精析 题型01物理问题 【典例】在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． (2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【答案】(1) (2)压强由加压到，则气体体积压缩了 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，注意正确计算． （1）设，利用待定系数法即可得到结论； （2）分别求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】（1）解：设， 把代入中得：， 解得， 压强与汽缸内气体的体积的函数表达式为； （2）在中，当时，，当时，， ， 压强由加压到，则气体体积压缩了． 【变式】在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，． (1)写出关于的函数解析式； (2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … (3)当电流超过10A时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 【答案】(1) (2)完成表格如下： … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … 8 6 4.8 4 3 2.4 2 … 函数的图象为： (3)不低于 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先把表格中自变量的值分别代入（1）中的函数解析式，求出对应的函数值，然后描点连线可得函数的图象； （3）由题意可知电流的值满足小于等于10A，据此列不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵电流是电阻的反比例函数， ∴设， ∵时，， ∴， 解得， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴滑动变阻器的阻值应控制在不低于的范围内． 题型02工程问题 【典例】某运输公司有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，已知需运送的土石方总量为立方米，甲车队每天运送的土石方为V（立方米/天），完成任务所需要的时间为t． (1)求V与t的函数关系式？当时，求V的取值范围； (2)若甲车队派出全部的20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，因车队接到了其它任务，需要提前4天完成，则乙车队至少需要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 【答案】(1) (2)乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务 【分析】此题主要考查了反比例函数和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出函数解析式． （1）根据工作量时间土石方总量可得，进而可得函数解析式，再根据，即可解答； （2）20辆卡车完成任务需20天，工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加辆卡车，根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意：解：， ，， 随的增大而减小，当时，有最小值， ； （2）解：设乙车队需要派出x辆同样的卡车才能按时完成任务． 则原计划需要的天数为： 解得， 答：乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务． 【变式】货轮从甲港往乙港运送货物，甲港的装货速度是每小时30吨，一共装了8小时，到达乙港后开始卸货，乙港卸货的速度是每小时吨，设卸货的时间是小时 （1）当是的函数时，求与之间的函数关系式； （2）若卸货的速度是每小时40吨，求乙港卸完全部货物所需的时间； （3）在（2）的条件下，当卸货时间在4小时的时候，问船上剩余货物是多少吨？ 【答案】（1）；（2）6小时；（3）80吨． 【分析】（1）根据总货量＝240吨，可得y与x成反比例关系，由此可得出关系式； （2）将x＝40代入（1）中关系式，即可求得； （3）先求出已经卸载的量，继而求出答案． 【详解】解：（1）总货量＝30×8＝240吨， ∴xy＝240， ∴； （2）x＝40，代入，可得y＝6， 乙港的卸完全部货物的时间是6小时； （3）∵x＝40， 即当卸货时间在4小时的时候共卸货4×40＝160吨． ∴船上剩余货物是240−160＝80（吨）． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，找准等量关系，列出函数表达式，是解题的关键． 题型03行程问题 【典例】甲车和乙车从A地开往B地，已知A、B两地全长约600km．设甲车的速度是，到达B地所用的时间为． (1)写出y关于x的函数表达式； (2)公路规定：行驶速度不得超过，请利用函数性质，求甲车到达B地所需的最短时间； (3)若乙车的速度是甲车的倍，乙到达B地所用的时间比甲车少80分钟，求乙车的速度． 【答案】(1) (2)车到达B地所需的最短时间为 (3)乙车的速度为 【分析】本题考查反比例函数、分式方程的应用，掌握反比例函数的增减性和分式方程的解法是解题的关键． （1）根据“时间＝路程÷速度”解答即可； （2）根据反比例函数的增减性和x的取值范围计算即可； （3）根据题意，得乙车的速度为，由“A、B两地的距离÷甲车的速度两地的距离÷乙车的速度”列方程并求解，从而求出乙车的速度即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴y关于x的函数表达式为． （2）解：∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y值最小， ， ∴甲车到达B地所需的最短时间为． （3）解：乙车的速度为． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， ， 答：乙车的速度为． 【变式】机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度_______．    【答案】3 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为，由题意得：， ∴， ∴当时，则； 故答案为3． 题型04销售问题 【典例】某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 【答案】(1)该产品的生产成本为38元/件 (2)4月份该产品销售单价的范围是 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解不等式，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意得到．把代入解析式得到，设该产品的生产成本为元件，列方程即可得到结论； （2）根据题意得到3月份利润为元．由题意得4月份成本为元件，列不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：由图象得曲线解析式为． 令，则， 即3月份销售量为400件， 设该产品的生产成本为元件，则， 解得， 答：该产品的生产成本为38元件； （2）解：3月份利润为：元． 由题意得4月份成本为元件， 则， 解得， 月份该产品销售单价的范围是． 【变式】目前中学生视力下降严重，某公司开发了一款护眼贴，自上市以来，非常畅销．公司研究发现，每副护眼贴的成本（元）和销售的数量（副）是一次函数、二次函数和反比例函数中的一种函数关系，如下表格所示．当销售的护眼贴达到或超过副时，每副护眼贴的成本不再变化．预测下一个月销售量将达到或超过副，并且发现每副按元出售时，能销售副，单价每提高元，销售量就会下降副． 销售件数（副） 每件成本（元） (1)请你求出与的函数关系式； (2)设下个月销售获得总利润是元，设下个月销售单价是每副元，请你写出与间的函数关系式；求出下个月的最大值． 【答案】(1)与的函数关系式为； (2)，当时，有最大值元． 【分析】本题考查了反比例函数和二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出与的函数关系式即可； （）由题意可知下个月销售为（副），然后得出，最后由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据表格可知，与是反比例函数关系， 设与的函数关系式为， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为， ∵当销售的护眼贴达到或超过副时，每副护眼贴的成本不再变化， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）解：由题意可知，下个月销售为（副）， ∴， ∵， ∴当时，有最大值元． 题型05几何图形问题 【典例】某校园艺社计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子． (1)如图，设矩形园子的相邻两边长分别为、． ①求y关于x的函数表达式； ②当时，求x的取值范围； (2)洋洋说篱笆的长可以为．你认为洋洋的说法对吗？若对，请求出矩形园子的长与宽；若不对，请说明理由． 【答案】(1)① ，②当时， (2)洋洋的说法对，矩形园子的长为，宽为，理由见解析 【分析】（1）①利用矩形的面积计算公式，找出y关于x的函数表达式，结合墙长为10m，即可得出x的取值范围； ②代入y≥4，可求出x≤3，结合x≥，即可求出x的取值范围； （2）洋洋的说法对，设垂直于墙的一边长为a m，则平行于墙的一边长为（14-2a）m，根据矩形园子的面积为12m2，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值，再结合墙长10m，即可得出：洋洋的说法对，此时矩形园子的长为6m，宽为2m． 【详解】（1）解：①∵围成矩形园子的面积为12m2， ∴xy=12， ∴y=． 又∵0＜y≤10， ∴x≥， ∴y关于x的函数表达式为y=（x≥）． ②∵y≥4，即≥4， ∴x≤3． 又∵x≥， ∴≤x≤3． （2）解：洋洋的说法对，理由如下： 设垂直于墙的一边长为a m，则平行于墙的一边长为（14-2a）m， 依题意得：a（14-2a）=12， 整理得：a2-7a+6=0， 解得：a1=1，a2=6， 当a=1时，14-2a=14-2×1=12＞10，不合题意，舍去； 当a=6时，14-2a=14-2×6=2＜10，符合题意． ∴洋洋的说法对，此时矩形园子的长为6m，宽为2m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）①根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数表达式；②利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出x的取值范围；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【变式】如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12m，设AD的长为m，DC的长为m． （1）求与之间的函数关系式； （2）根据实际情况，对于（1）式中的函数自变量能否取值为4m，若能，求出的值，若不能，请说明理由； （3）若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案． 【答案】(1) ;(2)不能，理由见解析;(3) AD＝5m，DC＝12m或AD＝6m，DC＝10m或AD＝10m，DC＝6m． 【分析】（1）根据面积为60m2，可得出y与x之间的函数关系式； （2）把x=4代入解析式得到y=15＞12，故x不能取4. （3）由（1）的关系式，结合x、y都是正整数，可得出x的可能值，再由三边材料总长不超过26m，DC的长＜12，可得出x、y的值，继而得出可行的方案． 【详解】解：（1）由题意得，S矩形ABCD＝AD×DC＝xy， 故（x≥5） （2）把x=4代入解析式=15＞12，故x不能取4. （3）由，且x、y都是正整数， 可得x可取1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60， ∵2x＋y≤26，0＜y≤12， ∴符合条件的围建方案为：AD＝5m，DC＝12m或AD＝6m，DC＝10m或AD＝10m，DC＝6m． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据矩形的面积公式得出y与x的函数关系式是关键，第三问注意结合实际解答． 题型06 表格问题 【典例】根据以下素材，探索完成任务 探索铁块放在桌面上，桌子能否承受？ 素材1 如图，把铁块放在桌面上，则桌面所承受的压力与铁块的重力相等． 素材2 重力=质量×重力系数；密度；压强． 铁的密度为，重力系数． 素材3 假设桌面所能承受的最大压强为． 长方体铁块的长、宽、高分别为． 问题解决 任务1 求铁块的重力为多少N？ 任务2 直接写出铁块对桌面的压强关于受力面积的函数表达式． 任务3 利用函数的性质判断能否把这个铁块放在这张桌面上？ 【答案】任务1：；任务2：；任务3：只有将铁块最大面长，宽，放在桌面上，桌面才能承受 【分析】本题考查了反比例函数的应用； 任务1：根据重力质量重力系数；密度，列式计算即可求解； 任务2：压强，即可求解； 任务3：根据反比例函数的性质可得随的增大而减小，根据桌面所能承受的最大压强为，分别计算三个侧面分别放置在桌面上时的压强，即可求解． 【详解】解：任务1：依题意， 任务2：依题意， 任务3：∵随的增大而减小， ∴当时， ∵. ∴只有将铁块最大面长，宽，放在桌面上，桌面才能承受 【变式】某种糖艺工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 【答案】(1) (2)y (3)仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本，见解析 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后把时代入即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数， ∴可设解析式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴关于的函数解析式为， 当时，，解得， ∴第一次加热到时间为分钟； （2）解：由题意可设加热后关于的表达式为， 将代入，得， ∴关于的表达式为； （3）解：由题意可知，加热时长为分钟． 恒温阶段（分钟）， 费用为：（元）， 间歇加热工作：对于，令，得， 除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，一天小时中，加热时间为（分钟）， 费用为：（元）， ∵， ∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本． 1．封闭容器内一定质量的某种气体，在温度不变的条件下，其压强与体积成反比例关系，实验测得当气体体积为时，压强为，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知与成反比例关系，先设出反比例函数的一般形式，再代入已知的对应值求出待定系数，即可得到函数关系式． 【详解】解：∵与成反比例关系， ∴设函数解析式为 ， 把代入解析式得，， 解得，， ∴与的函数关系式为． 2．某蓄水池进水管的进水速度为，7h可将蓄水池灌满．设进水速度为Q（），进水时间为，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，灵活运用“工作总量工作效率工作时间”是解题的关键。根据已知条件先求出蓄水池的固定容积（工作总量），再结合“进水速度容积进水时间”，进而得出与之间的函数关系式． 【详解】解：蓄水池的体积， ， 故答案为：． 3．老花镜镜片是利用凸透镜对光线的会聚作用制成的，已知镜片的度数与镜片到最小光斑的距离反比例函数关系，小明找了3副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，测得：当镜片度数为100度时，镜片与光斑的距离为1米；当镜片度数为200度时，镜片与光斑的距离为米；当镜片度数为250度时，镜片与光斑的距离为米，则当镜片与光斑的距离为米时，老花镜的度数是（    ） A．300度 B．350度 C．400度 D．425度 【答案】C 【分析】由题意可知镜片度数与镜片到最小光斑的距离成反比例函数关系，先求出反比例函数解析式，再代入已知距离计算度数即可. 【详解】解：设老花镜度数为，镜片与光斑的距离为， ∵与成反比例函数关系， ∴设， 将代入解析式， 得，解得， ∴反比例函数解析式为， 将代入解析式，得， 则当镜片与光斑的距离为0.25米时，老花镜的度数是400度. 4．某同学进行米长跑热身训练，若平均每秒跑米，则需秒跑完．根据热身要求，需在秒至秒之间跑完，则该同学的平均速度可以是（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．3米/秒 【答案】C 【分析】根据路程、速度、时间的关系得到与的函数关系式，再结合时间的取值范围，求出平均速度的取值范围，最后对比选项即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． ∵时间的范围为， ∴． 解得， ∴该同学的平均速度可以是米/秒． 5．小明在英德某小区的房子装修时，发现一块地砖对地面的压力为，地砖对地面的压强与受力面积之间的函数关系式，则该函数图象位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 结合实际问题中变量的取值范围判断函数图象所在象限即可． 【详解】解：∵ 受力面积， 由可得， ∵ 自变量，函数值， ∴ 该函数图象位于第一象限． 故选：A． 6．某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的表达式为，当时，的值为______． 【答案】 【分析】把代入即可求解． 【详解】解：当时，． 7．冰箱制冷功率P与工作时间t成反比（总耗电量固定）．若时，，则P与t之间的关系式为________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义设出函数解析式，再利用待定系数法求出比例系数，即可得到与的关系式． 【详解】解：∵与成反比， ∴设， ∵时，， ∴， 因此与之间的关系式为． 8．如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起．一个物体挂在距离点O的左侧处，重量．在点O的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点O的距离是，弹簧秤的示数是．（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即）．移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，则弹簧秤的示数y的最小值为______． 【答案】5 【分析】根据题意得到，然后将代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴y关于x的函数解析式为， ∵，x表示弹簧秤与中点O的距离，最大值是， 又∵， ∴y随x的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数y的最小值为． 9．每个人都有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某实践小组经过实验发现，组员走出的大圆圈半径（米）与其两腿迈出的步长之差（厘米）成反比例函数关系，当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米时，两腿迈出的步长之差为厘米，则当该组员走出的大圆圈的半径为米时，他两腿迈出的步长之差为_____厘米． 【答案】 【分析】设与之间的函数表达式为，利用待定系数法求出与之间的函数表达式为，把代入，求出的值即可． 【详解】解：∵组员走出的大圆圈半径（米）与其两腿迈出的步长之差（厘米）成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米时，两腿迈出的步长之差为7厘米， ∴， 解得：， ∴与之间的函数表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴当该组员走出的大圆圈的半径为米时，他两腿迈出的步长之差为厘米． 10．根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，当时，． (1)求电流I与电阻R之间的函数关系式； (2)当时，求电阻R的值． 【答案】(1) (2) 电阻 的值为 4 Ω 【分析】本题考查反比例函数的应用．熟练掌握电路中电流、电压、电阻的关系，是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出电流I关于电阻R的函数关系式； （2）将代入函数关系式解出即可． 【详解】（1）解：∵通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，且，当时，． ∴， ∴电流I关于电阻R的函数关系式为：； （2）解：当时，， 解得， 答：电阻R的值为． 11．现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设体积v（）与密度（）的反比例函数关系式为，运用待定系数法求出m，得到该反比例函数关系式，进而根据图象即可求解． 【详解】解：设体积v（）与密度（）的反比例函数关系式为， 从图上可以看出图象过点， 将其代入得，解得， ∴， 当时，， 综合各个选项，只有符合． 12．在电压一定的条件下，电流与电阻成反比例关系，电流与电阻之间的函数关系如图所示．当时，I的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出电流与电阻之间的函数关系式为，然后分别求出当和时的值，由图象可知，在第一象限内，随的增大而减小，进而确定I的值即可． 【详解】解：设电流与电阻之间的函数关系式为， 把代入得，， ， 电流与电阻之间的函数关系式为， 当时，， 当时，， 由图象可知，在第一象限内，随的增大而减小， 当时，， 当时，I的值可以是． 13．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数关系为，由图象可把点代入得：， ∴， ∴函数关系为， 当时，则有，即， ∴若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是． 14．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强是4800Pa时，木板面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可先设出反比例函数解析式，利用图象上已知点求出函数表达式，再将给定压强代入解析式求出对应木板面积． 【详解】解：设压强与木板面积的函数解析式为． ∵函数图象过点， ∴， ∴， ∴函数解析式为． 当时， ， ∴ ． 15．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是（    ） A．0米米 B．米 C．0米米 D．米 【答案】B 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由题意，将点代入得：， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， 在范围内，y随x的增大而减小， 当时，， 即若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是米． 16．在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 【答案】 【分析】先求出反比例函数关系式，再分别求出气体体积，作差求解即可． 【详解】解：设反比例函数关系式为， 反比例函数图象经过点， ，解得， 反比例函数关系式为． 当时，即，解得； 当时，即，解得， ． 即气体体积压缩了． 17．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于 的函数图象如图所示．则反比例函数的解析式为__________． 【答案】 【详解】解：设关于的函数解析式为， 由图象可把点代入得：， ∴关于的函数解析式为． 18．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，则密度关于体积V的函数解析式为_______________________． 【答案】 【分析】用待定系数法求解即可． 【详解】解：设密度关于体积的函数解析式为， 把点代入上式中得：， 解得：， ． 19．儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． (1)求t与x之间的函数关系式； (2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ (3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 【答案】(1) (2)12个 (3)此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时 【分析】（1）由图象知，t是x的反比例函数，当时，，设，进而求解即可； （2）将代入反比例函数关系式求解即可； （3）根据“打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水”及“一个进水管的注水速度为”可知此游泳池的容积；用注入量除以6个进水管的总效率即可． 【详解】（1）解：由图象知，t是x的反比例函数，当时，， 设， ， 解得：， ； （2）解：当时，， 解得． ∴需要同时打开12个进水管； （3）解：∵， ∴此游泳池的容积是． ． 答：此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时． 20．小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据：则以下结论错误的是（   ） 老花镜的度数D/度 100 120 200 250 300 镜片与光斑的距离f/m 1 0.8 0.5 0.4 0.3 A．当度时， B．随着老花镜的度数增加，镜片与光斑的距离越来越短 C．老花镜的度数每增加20度，镜片与光斑的距离就会减少0.2m D．估计当度时，f一定小于 【答案】C 【分析】本题考查了变量之间的关系； 根据表格可直接得出A、B说法正确；根据度和度时镜片与光斑的距离可知C说法错误；根据随着老花镜的度数增加，镜片与光斑的距离越来越短可知D说法正确． 【详解】解：A.当度时，，正确； B.随着老花镜的度数增加，镜片与光斑的距离越来越短，正确； C.因为度时，；度时， ∴老花镜的度数每增加20度，镜片与光斑的距离就会减少的说法错误； D.因为随着老花镜的度数增加，镜片与光斑的距离越来越短，当度时， 所以估计当度时，f一定小于，正确； 故选：C． 21．气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：千帕）随体积V（单位：立方米）的变化情况如下表所示．那么在这个温度下，当时，V的取值范围是（   ） V … 64 48 38.4 32 24 … p … 1.5 2 2.5 3 4 … A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数解析式，由表中数据判断出与的函数关系是解题的关键．根据所给出的数据可得是的反比例函数，根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴在第一象限内，随着p的增大而减小， 而时，， ∴时，， 故选：C． 22．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米的反比例函数，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（    ） A．7米 B．14米 C．21米 D．28米 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 先用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入反比例函数的解析式求解即可． 【详解】解：设与之间的函数表达式为， ， ， 与之间的函数表达式为； 当时，米， 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； 故选：D． 23．光速是自然界中最快的速度，在不同的介质中光的传播速度v（亿米/秒）与介质的折射率n之间成反比例函数关系．光在不同介质中的传播速度如表所示： n 1 2 … v/（亿米/秒） 3 2 … 若普通玻璃的折射率为，则光在普通玻璃中的传播速度为______亿米/秒． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是根据题意确定光的传播速度与介质折射率的反比例函数关系． 先根据表格数据判断光的传播速度与介质折射率成反比例关系，设出反比例函数解析式，代入已知数据求出，得到函数解析式，再将普通玻璃的折射率代入解析式，求出光在其中的传播速度． 【详解】解：由表格可知， ∴在不同介质中光的传播速度v（亿米/秒）与介质折射率n之间存在反比例函数关系． ∴光的传播速度（亿米/秒）与介质折射率之间的函数解析式为． 将代入， 得（亿米/秒）． 答：光在普通玻璃中的传播速度是亿米/秒． 故答案为：． 24．小亮通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化，根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它近似反映波长λ与频率f的函数关系．若，则电磁波的波长_______m． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 【答案】5 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据表格中的数据可得波长与频率成反比例函数关系，则可设，利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把代入解析式中求出的值，即可得到答案． 【详解】解：由表格中的数据可知频率与波长的乘积一定，即波长与频率成反比例函数关系， 设波长λ关于频率f的函数解析式为， 把代入上式中得：， 解得：， ； 当时，， ∴当时，此电磁波的波长λ为． 故答案为：5． 25．如图，根据杠杆平衡原理设计的装置，在左边固定的盘中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的盘中放置一定质量的砝码，使仪器水平平衡，改变盘与点之间的距离，记录相应的盘中的砝码质量，得到如下表格， 盘与点的距离 10 15 20 25 30 盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 当砝码的质量为时，则盘与点之间的距离为______． 【答案】12.5 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式， 根据题意可知，即，再将代入求出答案即可． 【详解】解：根据表格中的数值可知， 则， 即． 当时，． 所以B盘与O点之间的距离是12.5cm． 故答案为：12.5． 26．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… (1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 【答案】(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）； (2)y＝（x≥3）； (3) 该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L， 理由如下： 当x=15时，y==0.9， 因为0.9＜1， 所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可； （2）设函数的表达式为：y=，把C点坐标代入，求出k的值即可； （3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可． 【详解】（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b 把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ， 解得：k=﹣2.5，b=12 ∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12； （2）解：当x≥3时，设y=， 把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=， 解得k=13.5， ∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ； （3）略 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 用反比例函数解决常见实际问题 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 物理问题 题型02 工程问题 题型03 行程问题 题型04 销售问题 题型05 几何图形问题 题型06 表格问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 实际问题建立反比例函数模型步骤 1． 审清题意：区分题目中的常量、自变量、因变量，找准两个变量乘积为定值的等量关系． 2． 列函数解析式：根据实际公式列出恒等关系式，整理变形为反比例函数标准形式 ． 3． 确定自变量取值范围：结合实际意义取值，长度、速度、时间、质量、电阻等物理量均为正数，不可直接使用 ． 4． 利用性质解题：借助反比例函数增减性，求解变量取值范围、最值、方案问题． 5． 检验作答：所得结果必须符合实际生活、物理规律，舍去不合理的解． 【要点提示】实际问题中的反比例函数图象，只取第一象限单支双曲线，无其他象限图象． 【针对训练】 【典例1】（2026·吉林·一模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．大伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和． (1)求动力F关于动力臂l的函数解析式． (2)当动力臂为时，撬动石头至少需要多大的力？ 【变式1】综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图①），浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图②所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度怎么变化，变化了多少？ 知识点二 八大常考反比例函数实际模型 1． 工程工作模型：总工作量一定，工作效率与工作时间成反比例； 2． 行程运动模型：总路程一定，行驶速度与行驶时间成反比例； 3． 杠杆平衡模型：阻力、阻力臂一定，动力与动力臂成反比例； 4． 电学电路模型：电压恒定，电功率与电阻成反比例； 5． 力学做功模型：做功总量一定，作用力与移动距离成反比例； 6． 气体恒温模型：温度不变，气体压强与体积成反比例； 7． 矩形面积模型：面积固定，长与宽成反比例； 8． 立体体积模型：体积固定，底面积与高成反比例． 核心解题规律与易错点 1． 实际应用题中 ，在第一象限内：自变量越大，函数值越小． 2． 出现“至少、至多、不超过、最少、最多”等关键词，必须利用反比例增减性求边界值． 3． 所有变量取值必须为正数，解题必须写明自变量取值范围，属于必考得分点． 【针对训练】 【典例2】如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 【变式2】（2026·河南商丘·一模）某“地磅检测”模拟电路的简化原理如图1所示，电源电压恒为，定值电阻的阻值为 ，力敏电阻的阻值随所受压力的变化而变化，它们的关系如图2所示．当电压表示数超过 时，触发超载警报．下列说法正确的是（   ） 知识小链接：①导体两端的电压、导体的电阻、通过导体的电流满足关系式 ；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．力敏电阻的阻值随压力的增大而增大 B．压力为 时，电压表示数为 C．触发警报时，力敏电阻R所受到的压力大于 D．若将定值电阻，更换为阻值更大的电阻，警报触发时对应的压力会更大 典例精析 题型01物理问题 【典例】在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． (2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【变式】在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，． (1)写出关于的函数解析式； (2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … (3)当电流超过10A时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 题型02工程问题 【典例】某运输公司有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，已知需运送的土石方总量为立方米，甲车队每天运送的土石方为V（立方米/天），完成任务所需要的时间为t． (1)求V与t的函数关系式？当时，求V的取值范围； (2)若甲车队派出全部的20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，因车队接到了其它任务，需要提前4天完成，则乙车队至少需要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 【变式】货轮从甲港往乙港运送货物，甲港的装货速度是每小时30吨，一共装了8小时，到达乙港后开始卸货，乙港卸货的速度是每小时吨，设卸货的时间是小时 （1）当是的函数时，求与之间的函数关系式； （2）若卸货的速度是每小时40吨，求乙港卸完全部货物所需的时间； （3）在（2）的条件下，当卸货时间在4小时的时候，问船上剩余货物是多少吨？ 题型03行程问题 【典例】甲车和乙车从A地开往B地，已知A、B两地全长约600km．设甲车的速度是，到达B地所用的时间为． (1)写出y关于x的函数表达式； (2)公路规定：行驶速度不得超过，请利用函数性质，求甲车到达B地所需的最短时间； (3)若乙车的速度是甲车的倍，乙到达B地所用的时间比甲车少80分钟，求乙车的速度． 【变式】机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度_______．    题型04销售问题 【典例】某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 【变式】目前中学生视力下降严重，某公司开发了一款护眼贴，自上市以来，非常畅销．公司研究发现，每副护眼贴的成本（元）和销售的数量（副）是一次函数、二次函数和反比例函数中的一种函数关系，如下表格所示．当销售的护眼贴达到或超过副时，每副护眼贴的成本不再变化．预测下一个月销售量将达到或超过副，并且发现每副按元出售时，能销售副，单价每提高元，销售量就会下降副． 销售件数（副） 每件成本（元） (1)请你求出与的函数关系式； (2)设下个月销售获得总利润是元，设下个月销售单价是每副元，请你写出与间的函数关系式；求出下个月的最大值． 题型05几何图形问题 【典例】某校园艺社计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子． (1)如图，设矩形园子的相邻两边长分别为、． ①求y关于x的函数表达式； ②当时，求x的取值范围； (2)洋洋说篱笆的长可以为．你认为洋洋的说法对吗？若对，请求出矩形园子的长与宽；若不对，请说明理由． 【变式】如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12m，设AD的长为m，DC的长为m． （1）求与之间的函数关系式； （2）根据实际情况，对于（1）式中的函数自变量能否取值为4m，若能，求出的值，若不能，请说明理由； （3）若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案． 题型06 表格问题 【典例】根据以下素材，探索完成任务 探索铁块放在桌面上，桌子能否承受？ 素材1 如图，把铁块放在桌面上，则桌面所承受的压力与铁块的重力相等． 素材2 重力=质量×重力系数；密度；压强． 铁的密度为，重力系数． 素材3 假设桌面所能承受的最大压强为． 长方体铁块的长、宽、高分别为． 问题解决 任务1 求铁块的重力为多少N？ 任务2 直接写出铁块对桌面的压强关于受力面积的函数表达式． 任务3 利用函数的性质判断能否把这个铁块放在这张桌面上？ 【变式】某种糖艺工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元．（注：自然降温阶段不产生成本） (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，y关于x的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 1．封闭容器内一定质量的某种气体，在温度不变的条件下，其压强与体积成反比例关系，实验测得当气体体积为时，压强为，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．某蓄水池进水管的进水速度为，7h可将蓄水池灌满．设进水速度为Q（），进水时间为，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．老花镜镜片是利用凸透镜对光线的会聚作用制成的，已知镜片的度数与镜片到最小光斑的距离反比例函数关系，小明找了3副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，测得：当镜片度数为100度时，镜片与光斑的距离为1米；当镜片度数为200度时，镜片与光斑的距离为米；当镜片度数为250度时，镜片与光斑的距离为米，则当镜片与光斑的距离为米时，老花镜的度数是（    ） A．300度 B．350度 C．400度 D．425度 4．某同学进行米长跑热身训练，若平均每秒跑米，则需秒跑完．根据热身要求，需在秒至秒之间跑完，则该同学的平均速度可以是（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．3米/秒 5．小明在英德某小区的房子装修时，发现一块地砖对地面的压力为，地砖对地面的压强与受力面积之间的函数关系式，则该函数图象位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的表达式为，当时，的值为______． 7．冰箱制冷功率P与工作时间t成反比（总耗电量固定）．若时，，则P与t之间的关系式为________． 8．如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起．一个物体挂在距离点O的左侧处，重量．在点O的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点O的距离是，弹簧秤的示数是．（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力动力臂阻力阻力臂，即）．移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，则弹簧秤的示数y的最小值为______． 9．每个人都有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某实践小组经过实验发现，组员走出的大圆圈半径（米）与其两腿迈出的步长之差（厘米）成反比例函数关系，当他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米时，两腿迈出的步长之差为厘米，则当该组员走出的大圆圈的半径为米时，他两腿迈出的步长之差为_____厘米． 10．根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，当时，． (1)求电流I与电阻R之间的函数关系式； (2)当时，求电阻R的值． 11．现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（     ） A． B． C． D． 12．在电压一定的条件下，电流与电阻成反比例关系，电流与电阻之间的函数关系如图所示．当时，I的值可以是（    ） A． B． C． D． 13．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强是4800Pa时，木板面积为（   ） A． B． C． D． 15．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距的取值范围是（    ） A．0米米 B．米 C．0米米 D．米 16．在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 17．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于 的函数图象如图所示．则反比例函数的解析式为__________． 18．密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示，则密度关于体积V的函数解析式为_______________________． 19．儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． (1)求t与x之间的函数关系式； (2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ (3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 20．小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据：则以下结论错误的是（   ） 老花镜的度数D/度 100 120 200 250 300 镜片与光斑的距离f/m 1 0.8 0.5 0.4 0.3 A．当度时， B．随着老花镜的度数增加，镜片与光斑的距离越来越短 C．老花镜的度数每增加20度，镜片与光斑的距离就会减少0.2m D．估计当度时，f一定小于 21．气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：千帕）随体积V（单位：立方米）的变化情况如下表所示．那么在这个温度下，当时，V的取值范围是（   ） V … 64 48 38.4 32 24 … p … 1.5 2 2.5 3 4 … A． B． C． D．且 22．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米的反比例函数，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（    ） A．7米 B．14米 C．21米 D．28米 23．光速是自然界中最快的速度，在不同的介质中光的传播速度v（亿米/秒）与介质的折射率n之间成反比例函数关系．光在不同介质中的传播速度如表所示： n 1 2 … v/（亿米/秒） 3 2 … 若普通玻璃的折射率为，则光在普通玻璃中的传播速度为______亿米/秒． 24．小亮通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化，根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它近似反映波长λ与频率f的函数关系．若，则电磁波的波长_______m． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 25．如图，根据杠杆平衡原理设计的装置，在左边固定的盘中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的盘中放置一定质量的砝码，使仪器水平平衡，改变盘与点之间的距离，记录相应的盘中的砝码质量，得到如下表格， 盘与点的距离 10 15 20 25 30 盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 当砝码的质量为时，则盘与点之间的距离为______． 26．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… (1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $