专题12 反比例函数中k的几何意义的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以k的几何意义为核心，通过“解题通法+六类题型+压轴挑战”构建系统性训练，提炼面积公式、坐标转化等通法，覆盖单点到双点、同异号k值场景，实现从基础到综合的能力迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法+易错提醒|S矩形=|k|、S△=|k|/2，坐标差转化，割补法|明确k几何意义本质，奠定方法基础| |题型归纳|6类题型，每类1典例+3变式|单点/双点垂直、同/异号k值平行的面积求法|从单点到双点、从垂直到平行，逐步递进| |压轴挑战|16道综合题|复杂图形转化、多知识点综合应用|衔接中考高频考点，提升思维上限|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12反比例函数中k的几何意义的六类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一点一垂直求阴影部分的面积 题型二、一点两垂直求阴影部分的面积 题型三、两点一垂直求阴影部分的面积 题型四、两点两垂直求阴影部分的面积 题型五、同号K值一平行求阴影部分的面积 题型六、异号K值一平行求阴影部分的面积 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 *题型特征*：涉及过双曲线上一点作坐标轴垂线，求围成矩形或三角形面积；或已知面积反求k。 *“解题方法：牢记面积S霜内1，S。- 2；同一支上两点与原点连线相关面积可用坐标差转化： 复杂图形通过割补转化为上述基本图形。 ~*易错提醒*：面积恒正，取k而非k,k的符号需结合图象象限判断；垂线未作到坐标轴导致面积公式 误用；多个交点时面积叠加需注意重复部分。 夙题型归纳 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一点一垂直求阴影部分的面积 奥例1〔25,26九年级上广东珠海期末)如图，点M为双曲线y= x上一点，若MP⊥x轴于点P,则 1/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △OMP的面积为 题型模版 B O B OCD SMOu-2kl SABC-l SAAOB=S五角梯A形BCD 变式11(2526九年级上陕西西安期未)如图，4是反比例函数yc>0的阳家上的一点，过点4作 AB⊥x B.C y AC,BC 轴，垂足为为轴上的一点，连接 ，则4ABC 的面积为一· 6 变式1-2(25-26九年级上全国课后作业)如图，已知点A在反比例函数y=x>0)的图象上，点B在y 拍上，过点4作4Cx轴于点C,连接BC,B,则c A 2/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 变式1-3(25-26九年级上全国期中)如图，点4在反比例函数y=-(x<0)的图象上，过点4作 AB⊥y △ABC 轴于点B.若C为x轴上任意一点，则 的面积为 题型二、一点两垂直求阴影部分的面积 奥圆2(2526儿4级上湖南株洲别未)反比例西数（：<0)如图。则矩形OMP3的面积足 B A 题型模版 B ⊥A(z,y M OMQ文 S边形PMON= S四边形ABCD=S四边形PQMD 变式21(25-26九年级上山东济宁期末)如图，点A,B是双曲线y=X上的点，分别经过A,B两点向x 轴，y轴作垂线段，若5，+5，=10。则5影一 3/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B S2 变式2-2(25-26九年级下·云南玉溪开学考试)如图，4、B两点在双曲线y= 分别经过4公 B两点向坐标轴作垂线段，己知 阴影=2S+S2= ,则 A S2 k 变式23(25-26九年级上辽宁丹东期末)如图，在反比例函数y=x>0)的图象上有点B,B,B,它们 的横坐标依次为1,3,6，分别过这些点作轴与轴的垂线段.图中阴影部分的面积记为 ,Sn.若 S2=6 ,则的值为一 名 -y-x 0 3 6 4/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、两点一垂直求阴影部分的面积 6 典例3 (25-26九年级上内蒙古包头阶段检测)如图，正比例函数y=:(k>0)和反比例函数y=元的图 像交于A,B两点，过点A作ACIy轴于点C,则△ABC的面积为 题型模版 SMBC-SABCO+SMCO =C0z。-x 8 变式3-1(2025江苏徐州模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，A、B两点均在反比例函数”=一x的图 象上，线段AB经过坐标原点O,AC⊥y轴于点C,则△ABC的面积为 6 变式3-2(25-26九年级上安徽淮南期末)如图，点4，B在反比例函数y=x的图象上，且关于原点对称， 过点A作AC⊥x轴于点C,连接AB,BC.则△ABC的面积是 5/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 变式3-3(2026陕西西安一模)如图，正比例函数与反比例函数y=x的图象交于4B两点，点C在x轴 上，且AC=OA,则△ABC的面积为 题型四、两点两垂直求阴影部分的面积 典创4(24-25九年级上广东茂名阶段检测)如图，双曲线解折式为 x,则阴影的面积为 题型模版 (z.y) SAm12xl2y 变式4-1(25-26九年级上山东青岛期末)如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称 6/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点Q也在图象y=x上.作PA⊥x轴于点A,QC⊥PA交延长线于点C,则△POC的面积为 (用含k的式子表示) A 变式42(25-26九年级上~山西吕梁期末)如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过原点0，且与反比 2 例函数'=-元的图象交于点A,B'以AB为对角线作矩形ACBD,则矩形ACBD的面积为一· 变式43(25-26九年级上江苏南通阶段检测)如图，正方形OABC的顶点O是坐标原点，A,C分别在 :y抽的正半轴上，反比制西数y>0)伯图象与边B.BC分别交于点RQ,边O4上的点R满足 QR⊥OP (1)若PA=1,则线段QC的长为一： 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若△00R的面积为4，则实数k的值为。 题型五、同号K值一平行求阴影部分的面积 典例5 （2026江苏连云港中考真题)如图，在平面直角坐标系r0,中，两个反比例函数y=-。 和 2 y=- 在第二象限内的图象依次为C,C,·己知点P在C上，点A,B在C,上，且PA⊥x轴，PB⊥y轴， 则四边形OAPB的面积为一· 题型模版 So=ll-1 =k-k Sk,-k 6(0 变式5-】(25-26九年级上·福建福州阶段检测)如图，矩形0ABC与反比例函数片=x>0)的图象交于 点B,与反比例函数少=(x>0)的图象交于点D,连接OD,则四边形ODBC的面积为 8/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O 变式52(25-26九年级上陕西汉中期末)如图，点1八B分别在反比例函数”=(>0)和y x( x>0)的图象上，连接BA并延长交y轴于点E，,点C、D在x轴上，连接AD、BC,若四边形ABCD是 矩形，则它的面积为 B OD C 变式53(2526九年级上广东东莞期末)如图，点A在y(>0)的图象上，过点4作4B1抽，重 足为B,过点A作AC1y轴，垂足为C,交y=（6x>0)的图象于点，连按O6,若AE-3CB,四边形 OBAE的面积为7，则m-n= E B 9/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型六、异号K值一平行求阴影部分的面积 奥例6（25：25九年级上全国期末)如图，反比例西数y子和y=千、 2 ,点BC在x轴上，点A、D在 反比例函数图象上，则矩形ABCD的面积为 D B C 题型模版 J= 、BL 、y= S刷影=k,+k ,+ 3 变式6-1(25-26九年级上全国期末)如图，过y轴上任意一点P,作x轴的平行线，分别与反比例函数 6 y=- x的图象交于点A和点B,若C为x轴上任意一点，连接AC,BC,则△ABC的面积为一· 6 变式6-2(25-26九年级上山东济南期中)如图，点A,D分别在函数少三-，y=3 x的图象上，点B,C 在x轴上.若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD上，则△BCE的面积为一· 10/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式6-3(2025九年级上·全国专题练习)求指定图形的面积. 2 图1 图2 图3 (1)图1中， S平行四边形ACBD= SAABC= (2)图2中， S矩形ABOC= S△BOD= S△M40c= S△40D= (3)图3中， SAABO= SAABC= ◆ 同压轴挑战一支克高障压轴，突破思维上很 一、单选题 1. (2026江苏连云港一模)如图，A、C两点分别在西数y-〔x>0和y=（<0)的图像上，线段 BC⊥y A x 轴，点“在轴上，则 ABC 的面积为() 11/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.4 C.6 D.9 2.(2026湖南湘潭一模)如图，正比例函数y=x与反比例函数'=x的图象相交于A、C两点，过A作 ABLx轴于点B,连接BC,则△ABC的面积为() B A. 2 B.1 C.2 D.2 3.(2026广东汕头·一模)如图，一块含45°的直角三角板放在平面直角坐标系中，直角边BC与x轴重合， 点A在双曲线y=x上，若点C的坐标为(-1,0)，AC=22,则ADEF的面积为() E A.2 B.3 C.4 D.6 ,A,A 4.(25-26九年级下山东菏泽·期中)如图，在轴的正半轴上依次截取 A=A4=44,过点 2 分别作x轴的垂线与反比例函数y=>0)的图象相交于点P,B,B,得△OPA,△4B4,△4，B4,并设 S,S2,S3 其面积分别为 ,以此关推，则的值为() 12/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y y-x P2 P3 P4 Ps OA A2 As Aa As 1 1 1 A.2024 B.2025 C.4048 D.1012 k 5. (2026四川眉山模拟预测)两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象如图所示，点P在 x的图象上，PC⊥x轴于点C,交y=的图象于点A,PD⊥y轴于点D,交y=的图象于点B.当点 P在y=x的图象上运动时，以下结论： D B\P 0 SAOD-SOC ②5边0的值不会发生变化 ③PA与PB始终相等 ④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点. 其中一定不正确的是() A.① B.② C.③ D.④ 二、填空题 。、(2536九年级下宁以天阶度松测)如图。点4是反此例情数=兰图家上的一个动点：过发4作 13/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB上X轴， C1y轴，垂足分别为B,C,则矩形 BOC 的面积为 2 7.（(2026广东东莞一模)如图，点A是反比例函数y=在第二象限内图象上一点，点B是反比例函 数少 在第一象限内图象上一点，直线4B与y轴交于点C,且4C=C,连接0A、O,则。1OB的 21 面积是 6 8(2526九年级下青林四平阶段检测)如图。点4是反比例函数-〔x>0)图象上任意点，过点4 且平行于x轴的直线交反比例函数y= 3（x<0)的图象于点g,点D在x轴正半轴上，以B、AD为边作 平行四边形ABCD,则四边形ABCD的面积为」 3 2 X B 4 9.(2026黑龙江齐齐哈尔模拟预测)如图，点4是反比例函数y=元在第一象限内的图象上的一个动点， 14/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 过点A作AB垂直x轴交反比例函数y=一的图象于点g,连接B0并延长，交反比例函数y=元的图象 于点C,连接AC,则△ABC的面积为一， VA 10(26九4级上费州铜仁柴术)如图，在反比例筒数y=0)的图家上有点小：·4， ,这些点的横坐标分别是1,2,3，，川时，点4的坐标是2》，过点作x轴的垂线，垂足为B, A B 4作4上4于点,以点、、为顶点的的面积记为，按照以上方法维续作图， S 再过点 S+S2+S3+..+Sn= 可以得到 44,，△44，其面积分别记为，S,则 A 44A-4 D成 123n-1n 三、解答题 1.(2526九年级上全国单元复习小如图。点4是反比例展数y(>0)的图象上一点，过点4作 AB⊥x轴，垂足为点B,线段AB交反比例函数y=>0)的图象于点C,求AOAC的面积. 15/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 B 12.(2026吉林松原·模拟预测)如图，反比例函数的图象经过点 P(6,2 ,直线)=4与y轴交于点M,与 反比例函数的图象交于点N,点Q在反比例函数第三象限的图象上. =4 8,则 (1)记图中两处矩形阴影的面积分别为、 S,（填“>”“<”或“=”)； (2)求反比例函数的解析式，并求ON的长。 13.(26-27九年级上北京单元测试)如图，点PL,2、Qm.川在反比例西数y->0)的图象上.当 m>1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A,B:过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点 C,D,QD交PA于点E.四边形ACQE的面积为S. B D E (I)求这个反比例函数的表达式： (2)求S与n的函数关系式. 14.(25-26九年级上北京·课后作业)已知点P是x轴正半轴的一个动点，过点P作x轴的垂线PA,交 16/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 双曲线yx于点A,连接OA, (1)如图甲，当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否变化？答：_（请填“变化”或 “不变化”)，若不变，请求出Rt△AOP的面积=_：若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）： (②)如图乙，在x轴上的点P的右侧有一点D,过点D作x轴的垂线交双曲线于点B,连接BO交AP于C, 设4AOP 的商积是，梯形CP0的面积为，则与的大小关系是38 S.S S S2 (请填“>”、“<”或“ ”)· 15.112反比例函数的图像与性质(2)八年级数学下册苏教版)反比例函数y=x中两个变量xy的乘 k 积不变，由此带来反比例函数的一些特性.如图①，P(x,y)是反比例函数y=(k<0)的图像上的一个动 点，PM上轴，垂足为PB1y轴，垂足为B,则PA=,PB= ,所以， S矩形OAPB=PA·PB== 即矩形OAPB的面积不变.当k>O时上述结论也成立.我们可称这一性质为“反比例函数的'面积不变 性'”，连接O,此时，AP4O的面积为，也是定值。试利用“反比例函数的'面积不变性”解决 下列问题： ① ② ③ 17/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图②，③，点A在反比例函数y=x的图像上，AB⊥x轴，垂足为B· (①)如图②，点C在反比例函数'=x的图像上，CD⊥x轴，垂足为D,AB、CO相交于点P.试比较下列图 形面积的大小： SR△ABO SR1△CD0 S△APO S形”（选填>”“<”或“=”） (②)如图③，A0的延长线与反比例函数'=x的图像的另一个交点为C,CD1x轴，垂足为D,连接 AD、BC,则四边形ABCD的面积为 16.(25-26八年级上上海·期中)知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是 反比例函数'=x上任意一点，则矩形ABOC的面积为k, 图1 (1)初步尝试 2 4. 如图2，点A'E分别在反比例函数y=和y=的图象上，四边形ABOC和EFOB都是矩形，易知四 边形EFCA也是矩形，分别求矩形EFOB和EFCA的面积. 图2 (2)类比探究 如图3，点4：C在反比例函数y-a>0)的图象上，点B,D在反比例画数y-（6<0)的图象上 Y 18/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB∥CD∥x轴，AB与CD在x轴的两侧，AB=3,CD=2,AB与CD的距离为5，求a-b的值. 7B 图3 19/19 专题12 反比例函数中k的几何意义的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一点一垂直求阴影部分的面积 题型二、一点两垂直求阴影部分的面积 题型三、两点一垂直求阴影部分的面积 题型四、两点两垂直求阴影部分的面积 题型五、同号K值一平行求阴影部分的面积 题型六、异号K值一平行求阴影部分的面积 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - **题型特征**：涉及过双曲线上一点作坐标轴垂线，求围成矩形或三角形面积；或已知面积反求k。 - **解题方法**：牢记面积S矩形= |k| ，S△ = ；同一支上两点与原点连线相关面积可用坐标差转化；复杂图形通过割补转化为上述基本图形。 - **易错提醒**：面积恒正，取|k|而非k；k的符号需结合图象象限判断；垂线未作到坐标轴导致面积公式误用；多个交点时面积叠加需注意重复部分。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一点一垂直求阴影部分的面积 典例1 （25-26九年级上·广东珠海·期末）如图，点M为双曲线上一点，若轴于点P，则的面积为______． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，根据反比例函数值的几何意义解答即可．熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：点为双曲线上一点，若轴于点， ． 故答案为：4． 题型模版 变式1-1（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为为轴上的一点，连接，则的面积为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、反比例函数的比例系数的几何意义，解题的关键是应用平行线间的距离处处相等得到和的面积相等．连接，得到和的面积相等，然后结合反比例函数的比例系数的几何意义求得的面积． 【详解】解：连接，如图， ∵轴， ∴轴， ∴点和点到的距离相等， ， ， 故答案为：3． 变式1-2（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知点A在反比例函数的图象上，点在轴上，过点A作轴于点，连接，则___________． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是将的面积转化为与反比例函数相关的图形面积 连接，利用同底等高的三角形面积相等，将的面积转化为的面积，再根据反比例函数的几何意义求解。 【详解】如图，连接， 轴， ． 变式1-3（25-26九年级上·全国·期中）如图，点A 在反比例函数 的图象上，过点 A 作轴于点B．若 C 为x 轴上任意一点，则的面积为________． 【答案】2 【分析】本题考查值的几何意义，连接，利用平行等积转化得到的面积等于的面积，再根据值的几何意义即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵轴 ∴轴，即， ∴的面积等于的面积， ∵点A 在反比例函数 的图象上， ∴的面积； ∴的面积为2； 故答案为：2． 题型二、一点两垂直求阴影部分的面积 典例2 （25-26九年级上·湖南株洲·期末）反比例函数如图，则矩形的面积是________． 【答案】6 【分析】直接设点P的坐标，表示出和，再计算矩形的面积即可． 【详解】解：设， ∴，， ∴矩形的面积是． 题型模版 变式2-1（25-26九年级上·山东济宁·期末）如图，点A，B是双曲线上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，若，则___． 【答案】2 【分析】先根据反比例函数系数k的几何意义求出及的值，进而可得出的值． 【详解】解：∵点A，B是双曲线上的点，， ∴， ∴, 解得． 变式2-2（25-26九年级下·云南玉溪·开学考试）如图，、两点在双曲线上，分别经过、两点向坐标轴作垂线段，已知，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数，求出与阴影面积的和，与阴影面积的和，再结合阴影面积求出、，最后计算的值． 【详解】解：，且， ，， ，， ． 变式2-3（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在反比例函数的图象上有点，它们的横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为．若，则的值为_____． 【答案】8 【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据坐标求各个阴影的面积表达式是解题的关键．由点，，，它们的横坐标依次为1，3，6，得，，，由，可求出k的值，进而求出的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 题型三、两点一垂直求阴影部分的面积 典例3 （25-26九年级上·内蒙古包头·阶段检测）如图，正比例函数和反比例函数的图像交于，两点，过点作轴于点，则的面积为________． 【答案】 【分析】此题考查了正比例函数与反比例函数的图像性质、中心对称性以及三角形面积的计算，理解反比例函数中的几何意义是解题的关键． 根据题意得点与点关于原点对称，进而得到，再利用反比例函数中的几何意义得到，最后由即可得出答案． 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图像交于，两点， 点与点关于原点对称， ， 反比例函数中， ， ． 故答案为：． 题型模版 变式3-1（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点均在反比例函数的图象上，线段经过坐标原点O，轴于点C，则的面积为_______． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，三角形的面积的计算．根据题意可得，再由反比例函数比例系数k的几何意义，可得，即可求解． 【详解】解：∵A、B两点均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 故答案为：8 变式3-2（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，点A，B在反比例函数的图象上，且关于原点对称，过点A作轴于点C，连接，．则的面积是________．    【答案】6 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，设点B坐标为，且，根据A、B关于原点对称，得，再根据即可求解． 【详解】解：根据题意，设点B坐标为：，且， ∵A、B关于原点对称， ∴点A坐标为：， ∵过点A作轴于点C， ∴点C坐标为：，， ∴， 故答案为：6． 变式3-3（2026·陕西西安·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，点在轴上，且，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，反比例函数比例系数的几何意义，等腰三角形的性质，过点作轴于点，可得，，即得，利用等腰三角形的性质可得，即得到，进而即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵正比例函数与反比例函数的图象交于两点， ∴，， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四、两点两垂直求阴影部分的面积 典例4 （24-25九年级上·广东茂名·阶段检测）如图，双曲线解析式为，则阴影的面积为________． 【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数中k的几何意义，设，得到，然后求出，表示出，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵点A，B在双曲线上， 设， ∴ ∵经过原点， ∴点A和点B关于y轴对称 ∴ ∵ ∴， ∴阴影的面积． 故答案为：12． 题型模版 变式4-1（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象上．作轴于点A，交延长线于点C，则的面积为 ________ ．（用含k的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设点P的坐标为，可得出，由点P和点Q关于原点对称可得出，再结合已知条件可得出，再得出，，再根据三角形面积公式得出，最后根据反比例函数的图象得出即可得出答案． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在反比例函数上， ∴， ∵点P和点Q关于原点对称， ∴， ∵轴，， ∴， ∴，， ∴， ∵反比例函数在第二和第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 变式4-2（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为_____． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的对称性，反比例函数k的几何意义，矩形的性质等，熟知反比例函数的对称性是解题的关键．设，则，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：8． 变式4-3（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，正方形的顶点是坐标原点，分别在轴的正半轴上，反比例函数的图象与边分别交于点，边上的点满足． （）若，则线段的长为______； （）若的面积为，则实数的值为______． 【答案】 【分析】（）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，进而根据正方形的性质可得，即可求解； （）过作于，可得四边形是矩形，即得，进而可证，得到，即得到，解方程即可求解； 本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，正方形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（）∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是反比例函数图象上的点， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （）过作于，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：． 题型五、同号K值一平行求阴影部分的面积 典例5 （2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，两个反比例函数和在第二象限内的图象依次为，．已知点P在上，点A，B在上，且轴，轴，则四边形的面积为____． 【答案】4 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到即可求出答案． 【详解】解：如图， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ∴四边形的面积为． 题型模版 变式5-1（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，矩形与反比例函数的图象交于点B，与反比例函数的图象交于点D，连接，则四边形的面积为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，连接，根据矩形的性质可得，由反比例函数比例系数的几何意义可求出的面积，进而求出的面积，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形与反比例函数的图象交于点B，与反比例函数的图象交于点D， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 变式5-2（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，点、分别在反比例函数（）和（）的图象上，连接并延长交轴于点，点、在轴上，连接、，若四边形是矩形，则它的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，根据题意可得矩形面积为矩形的面积减去矩形的面积，即可求解． 【详解】解：依题意，矩形的面积为，矩形的面积为 ∴矩形的面积为， 故答案为：． 变式5-3（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，点A在的图象上，过点A作轴，垂足为B，过点A作轴，垂足为，交的图象于点E，连接，若，四边形的面积为7，则__________． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，先理解反比例函数k的几何意义，再分析四边形的面积构成，利用线段比例建立m与n的关系，最后代入面积条件求解m和n即可求得． 【详解】解：由题意知，，， ∵轴，轴，点A在的图象上，点E在的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． 题型六、异号K值一平行求阴影部分的面积 典例6（25-26九年级上·全国·期末）如图，反比例函数和，点、在轴上，点、在反比例函数图象上，则矩形的面积为__________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了反比例函数的k的几何意义，熟练将k的几何意义与图形的面积有机结合是解题的关键． 如图：设与y轴相交于点E，利用反比例函数k的几何意义可得，再根据面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图：设与y轴相交于点E， ∵反比例函数和，点、在轴上，点、在反比例函数图象上， ∴， ∴矩形的面积为：． 故答案为：6． 题型模版 变式6-1（25-26九年级上·全国·期末）如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若C为x轴上任意一点，连接，，则的面积为___． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，系数的几何意义，平行线的性质，三角形的面积公式等知识点，属于常考题型，熟练掌握反比例函数的基本知识是解题的关键．设，（），则易得点A和点B的坐标，于是可得的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设，（）， 则． 直线轴，则点A和点B的纵坐标都为， 又点A和点B分别在反比例函数和的图象上， ，， ， ． 故答案为：4． 变式6-2（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，点A，D分别在函数，的图象上，点B，C在x轴上．若四边形ABCD为矩形，点D在第一象限，点E在线段AD上，则的面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义，由的几何意义可得，再结合三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵点A、D分别在函数、的图象上， ∴， ∴， 故答案为： 变式6-3（2025九年级上·全国·专题练习）求指定图形的面积． （1）图1中，___________，___________，___________； （2）图2中，___________，___________，___________，___________； （3）图3中，___________，___________． 【答案】 4 2 4 6 1 3 2 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据反比例函数求出点、点的坐标， 即可求得平行四边形的边长，由图可知平行四边形的高为，根据平行四边形面积公式即可求得平行四边形的面积，根据三角形面积公式即可求得，求得长即可求得三角形面积； （2）根据反比例函数可得点、点的坐标，根据垂直即可得到点、点的坐标，得到四个点坐标后即可得到各边长，即可求得矩形、的面积； （3）根据两个反比例函数的值，结合三角形面积与的几何意义，分别计算和的面积． 【详解】解：（1）设点横坐标为，则，，，，， 由点的坐标可得：，，， ， ， ． （2）由反比例函数性质，矩形的面积为， ， ， ． （3）：由， ； ． 故答案为：4，2，4，6，1，3，2，，． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·江苏连云港·一模）如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【详解】解：连接、，线段交y轴于点D， ，， ， ， 由反比例函数中k的几何意义知，，， ． 2．（2026·湖南湘潭·一模）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合题，由点A与点C关于原点对称得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义即可求出答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点， ∴点A与点C关于原点对称， ∴， ∵作轴于点， ∴， ∴的面积． 3．（2026·广东汕头·一模）如图，一块含的直角三角板放在平面直角坐标系中，直角边与x轴重合，点A在双曲线上，若点C的坐标为，，则的面积为 （    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由图象可知：轴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26九年级下·山东菏泽·期中）如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据反比例函数的几何性质，可得，又，可得到，，，按此规律，可得． 【详解】解：连接，如图所示， ，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于x轴， ，根据反比例函数的几何性质可得， ， ， ，，，依此规律，可得． 5．（2026·四川眉山·模拟预测）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．当点P在的图象上运动时，以下结论： ① ②的值不会发生变化 ③与始终相等 ④当点A是的中点时，点B一定是的中点． 其中一定不正确的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得出，即可判断①正确；利用分割图形求面积法即可得出四边形的面积为，即可判断②正确；设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，求出的长度，可得出与的关系无法确定，即可判断③错误；连接，由点是的中点可得，结合，可得，从而可得，即可判断④正确． 【详解】解：∵点均在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，， ∴，结论①正确； ∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴， 即四边形的面积不会发生变化，结论②正确； 设点的坐标为， 将和分别代入，得点的坐标为，点的坐标为， ，， 与的关系无法确定，结论③错误； 如图，连接， 点是的中点， ， ，， ，即， ， ∴点一定是的中点，结论④正确． 二、填空题 6．（25-26九年级下·宁夏吴忠·阶段检测）如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作轴，轴，垂足分别为B，C，则矩形的面积为________． 【答案】4 【分析】由于点A是反比例函数上一点，矩形的面积． 【详解】解：由题意得：． 7．（2026·广东东莞·一模）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且，连接OA、OB，则的面积是__________． 【答案】 【分析】作轴于点，轴于点，则，可得，设，则，根据计算即可． 【详解】解：作轴于点，轴于点，则， ∵， ∴， 设，则， 根据题意可得，， ∴ ． 8．（25-26九年级下·吉林四平·阶段检测）如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】连接、，利用反比例函数的几何意义求出的面积，再结合平行四边形与三角形的面积关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 点在反比例函数的图象上，同理可得； ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积． 9．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为______． 【答案】6 【分析】根据反比例函数值的几何意义及关于原点对称的点的坐标特征解答即可． 【详解】解：如图，连接， 点在反比例函数的图象上，轴 ， 点在反比例函数图象上， ， ， 点与点关于原点对称， ， ． 10．（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在反比例函数的图象上有点，，，…，，这些点的横坐标分别是1，2，3，…，n时，点的坐标是；过点作x轴的垂线，垂足为，再过点作于点，以点、、为顶点的的面积记为，按照以上方法继续作图，可以得到，…，，其面积分别记为，…，，则 ________________． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征是解题的关键．根据题意得到，，，，利用裂项相消进行计算即可． 【详解】解： ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点作轴，垂足为点 ，线段交反比例函数 的图象于点，求的面积． 【答案】的面积为 【分析】本题考查反比例函数的的几何意义． 根据反比例函数的的几何意义，可得和的面积，相减即可． 【详解】解：∵点 是反比例函数 的图象上一点，轴于点， ∴ ， 又∵线段交反比例函数 的图象于点， ∴，    ∴． 答：的面积为． 12．（2026·吉林松原·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过点，直线与y轴交于点M，与反比例函数的图象交于点N，点Q在反比例函数第三象限的图象上． (1)记图中两处矩形阴影的面积分别为、，则______（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)求反比例函数的解析式，并求的长． 【答案】(1)＝ (2)， 【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义即可解答； （2）根据待定系数法求出反比例函数的解析式为，再解方程组得到点N的坐标，根据两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为（）， 根据反比例函数比例系数的几何意义可得，图中两处矩形阴影的面积． （2）解：设反比例函数的解析式为（）， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为， 解方程组，得， ∴， ∴． 13．（26-27九年级上·北京·单元测试）如图，点、在反比例函数的图象上，当时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C，D，交于点E．四边形的面积为S． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求S与n的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据反比例函数的性质得到，，，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵点，在反比例函数图象上，， ，，，． ∵，垂直于y轴，，垂直于x轴， ∴四边形是矩形， ， ∴S与n的函数关系式为． 14．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接． (1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）． 【答案】(1)不变化， (2) 【分析】（）根据反比例函数比例系数的几何意义即可求解； （）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，即得到，进而即可判断求解； 本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，掌握该知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点位于反比例函数的图象上，而且轴， ∴， ∴当点在轴的正方向上运动时，的面积不变化，值总等于， 故答案为：不变化，； （2）解：由（）知，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（11.2反比例函数的图像与性质（2）八年级数学下册苏教版）反比例函数中两个变量的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性．如图①，是反比例函数的图像上的一个动点，轴，垂足为轴，垂足为，则，所以，，即矩形的面积不变．当时上述结论也成立．我们可称这一性质为“反比例函数的′面积不变性′”，连接，此时，的面积为，也是定值．试利用“反比例函数的′面积不变性′”解决下列问题：    如图②，③，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为． (1)如图②，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为、相交于点．试比较下列图形面积的大小：______，______（选填“”“”或“”）． (2)如图③，的延长线与反比例函数的图像的另一个交点为轴，垂足为，连接，则四边形的面积为______． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是熟练掌握“过反比例函数图像上的任意一点分别向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于”． （1）由反比例函数系数的几何意义可得，，进而根据，即可求解； （2）根据“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形，得出、两点关于原点对称，再根据反比例函数中系数的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：由反比例函数系数的几何意义可得，， ， ， 故答案为：，； （2）“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形， 、两点关于原点对称， 反比例函数的解析式为：， ， ， 故答案为：． 16．（25-26八年级上·上海·期中）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点，分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，与在轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 【答案】(1)4，6 (2)6 【分析】（1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，∵，，与的距离为5，轴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $