专题11 反比例函数、二次函数与一次函数的图象 专项训练讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题11反比例函数、二次函数与一次函数的图象 专题目标 掌握三类函数图象的形状、位置与系数的关系。 2. 会判断同一坐标系中多个函数图象的合理性。 3. 会判断函数图象交点的个数。 会利用图象比较函数值的大小。 会处理含参函数图象过定点问题，发展数形结合能力。 专题目录 题型01：同一坐标系中多函数图象的识别 题型02：函数图象交点个数的判断 题型03：利用图象比较函数值的大小 题型04：含参函数图象经过定点的问题 题型01：同一坐标系中多函数图象的识别 题型描述：题干给出同一字母表示的系数，判断一次函数与反比例（二次）函数图象在同 一坐标系中的大致位置。核心得分点是各图象对同一系数的符号要求必须一致。 基础知识： 一次函数y=十b:k定增减，b定截距； 1/14 y=- 反比例函数x:k>0在一、三象限，k<0在二、四象限： 二次函数：a定开口，c定截距： 同一字母在各函数中符号一致。 解题方法： 定系数：假设某系数为正（负）： 推图象：推出每个函数图象的位置： 对选项：与选项逐一比对： 排矛盾：排除符号矛盾的选项。 解题思路： 口诀：设、推、比、排。用“同一字母同一符号”作筛子；先抓最容易判断的函数（常是 反比例函数)定k。 1.(26-27九年级上内蒙古呼和浩特期中)如图，一次函数y=:+k与反比例函数y=x的图象在同一 坐标系中可能是() b 2.(26-27九年级上江苏无锡阶段检测)若b<0,则y=与y=在同一坐标系中的大致图象可能是 (1 2/14 3.(2026安徽三模)二次函数'=r+br+ca,么， a<0) 是常数且的图象如图所示，则直线 b-a-c y=bcx+2a+b-1与反比例函数y= 一的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为() -o23x y=ax+bx+c 4.(26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测)己知二次函数 的图象如图所示，则正比例函数 y=(2a-b)x与反比例函数y=a x在同一平面直角坐标系中的图象大致是() -32-10 3/14 头的六斗 题型02：函数图象交点个数的判断 题型描述：题干给出两个函数（含参数），判断它们图象的交点个数。核心得分点是联立 方程用判别式或图象位置判断。 基础知识： 联立两解析式得一元方程，解的个数即交点个数： 反比例函数与直线联立得二次方程，用△判断： 图象法：画出两函数大致图象数交点。 解题方法： 联立：两式相等消y: 化方程：整理成一元二次方程： 算△：判断根的个数： 下结论：交点个数与△对应。 解题思路： 口诀：联、式、△、数。双曲线有两支，直线可能只交一支一一代数法（△）比画图更可 靠。 5.(2026广东广州三模)若关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0有两个不相等的实数根，则函数 4 y=:的图象与函数y=一x的图象交点个数为（) A.0 B.1 C.2 D.3 6.(2026河南洛阳·三模)已知关于x的一元二次方程x2-6x+9-k=0无实数根，则函数y=与函数 y=-m2+1 x的图象的交点个数为() 4/14 A.4 B.2 C.1 D.0 4 7.(24-25九年级上辽宁沈阳期末)在平面直角坐标系中，函数y=一x的图象与直线x=5的交点个数是 8.(26-27九年级上江苏苏州阶段检测)小明根据学习函数的经验，对函数y=一 ,+1的图象与性质进 x-1 行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整： 1 (1)函数y= x-1 +1的自变量x的取值范围是 (2)下表列出了y与x的几组对应值，请写出m,n的值：m= n= 3 5 7 2 2 0 2 2 3 2 3 1 5 3 > 0 -1 n 5 3 3 2 5 (3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.并结 合函数的图象，解决问题： 1 3 ①当x-1 +1> 2时，x的取值范围是 1 ②方程x一+1=x的解为 1 ④已知函数片=2x+1(x≠-2) y2= 则函数的图象与坐标轴有一个交点。 3 2 5-43.219123.4.5 题型03：利用图象比较函数值的大小 题型描述：题干给出两函数图象及交点，比较同一x处函数值大小或写不等式解集。核心 5/14 得分点是以交点为界看上下位置。 基础知识： 图象在上方函数值大： 交点横坐标是分界； 双曲线有两支，x=0也是天然分界； 解集按区间分段书写。 解题方法： 定交点：求出（读出）交点横坐标； 分段：以交点和x=0分段： 读上下：每段判断谁在上； 写解集：规范写出x的范围。 解题思路： 口诀：点、段、上、集。反比例函数参与时别忘了y轴把图象分成两块；区间端点取舍看 不等号。 9.(26-27九年级上·天津滨海新区期中)己知点 A(-4,y）B(-2,y2)C(33) 都在反比例函数 s、 k2+1 x的图象上，则八，2，的大小关系为() A.⅓yy B. c.hyy D.⅓y 10.(2627九年级上安徽合肥阶段检测)已知点(a,4),(6,2(c,-2)都在反比例函数 =2+1 x(其中k 是常数)的图象上，则a,b,C的大小关系正确的是() A.a<b<c Bb<a<c C b<c<a D c<a<b 6 11.(26-27九年级上江苏泰州期中)己知点4A(-2,小、B(3,)都在反比例函数y=的图象上，则y- y2 (填“>”“<”或“=”). 6/14 12.(26-27九年级上安徽合肥阶段检测)如图，己知反比例函数y= 七与一次函数y=飞，x+b的图象交 于a6)B(-3,m) 、b的值： 1)求、 (②)求△AOB的面积： O若MK,小N,为)是反比例数y-年图象上的两点，且5<5·为<·指出点M、N各 位于哪个象限，并简要说明理由， 题型04：含参函数图象经过定点的问题 题型描述：题干给出含参数的函数解析式，证明其图象恒过某定点或求该定点。核心得分 点是让参数“失效”，即令参数系数为0。 基础知识： 图象过定点：该点坐标代入后等式与参数无关： 把解析式按参数整理：参数×（含x的式子）十（其余部分）=0： 令参数的系数与常数部分同时为0，解出x、y即定点。 解题方法： 整参数：把解析式按参数k()合并： 令零：令参数的系数为0： 解点：求出x并代回求y: 验定点：代入原式检验与参数无关。 解题思路： 7/14 口诀：整、零、解、验。定点即“参数怎么变都经过的点”；令参数系数为0是通法， 次、二次、反比例通用。 13.(24-25九年级上河北承德期末)如图，反比例函数y=x的在第一象限的图象经过点P(2,2). 5 3 2 0123x (1)求k值： (1,3) (2)第一象限内有一定点M,坐标为 ①请判断点M是否在反比例函数y=,图象上： ③ 、OPM △OMP 顺次连接、 三点，请直接写出 的形状 4 14.(23-24九年级下·北京东城开学考试)在平面直角坐标系x0y中，函数y=x>0)图象G与直线 1:y=c-4k+1,B(l,n)h≥4 ,点 ,n为整数)在直线1上. 不 9 8 -1--下-1------- 6 1--1-1---1--k- 5 -1---1--- 4 3 --1---1---1 2 1--------- 0123456789 (I)对于任意的k直线必过一定点，直接写出这个点的坐标： (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记图象G与直线I围成的区域（不含边界）为W, ①当n=5时，求k的值，并写出区域W内的整点个数： ②若区域W内整点个数满足2≤m≤5时，结合函数图象，求k的取值范围. 8/14 15.(湖南省长沙市长郡教育集团2027-2026学年九年级上学期期中数学试卷)在平面直角坐标系中，如 果二次函数y=m'+x的图象经过一次函数y=:+1与反比例函数y=元图象的两个不同交点，那么称 这个二次函数为这两个函数的“伴生二次函数”，这两个交点称为该二次函数的“伴生点”. (1)若k=1时，求“伴生二次函数”的解析式. (②)设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为A,B,连接OA,OB,记直线OA,OB的解析式分别 为=.)=，若m=女+6，且为负数，求m的取值范国。 3)设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为C,D ①求证：对于任意使一次函数与反比例函数有两个不同交点的非零实数k，“伴生二次函数”的图象都 经过一个异于原点的定点P； ②若“伴生二次函数”的图象与x轴的另一个交点为N,连接CD,OP,是否存在实数k(k>O),使 210k0P 得ON,CD,5 这三条线段组成一个以CD为斜边的直角三角形？若存在，求出k的值和此 时“伴生二次函数”的解析式。 16,(24-25九年级下辽宁本溪开学考试)已知'是自变量的函数，当片=“为常数，a>0) )时， 称函数”为函数少的“a倍函数”.例如：函数片=3x+2.当为=2y=2(3x+2)=6x+4 时，则函 数乃=6r+ 是函数乃3x+2 “2倍函数”. A B D H 0 图1 图2 图3 (1)求y=2x的“3倍函数”的解析式： 9/14 (2)如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC,点A与点C分别位于x轴正半轴与'轴正半轴.连 接OB,4C相交于点D,若函数y=x(k为常数，k≠0，x>0)的图象经过点D,函数y的“a倍 函数”的图象经过点B,求a的值： 6)如图2，在平面直角坐标系中，函数水=r-2x-3的 3的：“倍函数”片的图象与轴交于M,N两 点《点M在点V的左侧），与'轴交于点P,其顶点为P,点H是”的图象第四象限上一点 N y2 ①求线段MW的长； ②当a=2时，垂直于'轴的直线与函数”的图象交于E(,）,F(,）两点，与直线P交于点 G(x,) ,若<<结合函数的图象，求+五+无的取值范围。 @延长OM交'轴于点K,当M=孤时，将△MN沿R方向平移得到△MX .将函数的图 象平移得到函数的图象.使得点M, 都落在函数的图象上，判断函数的图象与函数的 图象是否交于某个定点，若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由 专题综合训练 一、选择题 1.(2026安微早用二模)在同一平面直角坠标系中，范物线)=m+2r-mm是常数，且m≠0) 与双曲线y= x的大致图象可能是() 2.(26-27九年级上广东江门阶段检测)反比例函数少=x与一次函数y=:c+1(k为常数，k≠0)在同 10/14 一坐标系中的大致图象是() 4 年级上江苏苏州阶段检测如图，过原点的两条直线分别与之上、，大相 C、D,若AC=3,则BD=() B D A.6 B.4 c.35 D 2V3 4.(25-26八年级下上海黄浦期末)如图，点4、4、4、、4，在反比例函数>0心的图象上， 点B、B,、B,、、B,在y轴上，且∠B0A=∠B,B4=∠B,B,A,=…,直线y=x与双曲线=交 于点4.B410,B4上B4,B4上B4,…,则 ,的坐标是（） B B A √2026 A.(0,V2） 0, B. 2 C.(0,V2026) D.0,2V2026 二、填空题 11/14 5。(26-27九年级上内蒙古赤峰阶段检测)已知函数1=（方=名 (k,飞均为常数)的图象都经过 点2），当>八时，x的取值范围是 6.(26-27九年级上江苏无锡阶段检测)已知正比例函数=“ 的图象经过点- ，反比例函数 b 乃=的图象位于第一、第三象限，则一次函数y=m+b的图象一定不经过第—象限 m2+1 y= 7.26-27九年级上江苏扬州阶段检测)已知点A(2,),B(3,乃)，C(1,)在反比例函数x的图 象上，若m>0 ,Y2y3 ,则 的大小关系为一（用“<”连接). 8.(26-27九年级上山东德州阶段检测)定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标3倍的点，则把 该函数称为“三倍函数”，该点称为“三倍点”.例如“三倍函数”y=2x一1，其“三倍点”为 (-1,-3) .下列说法正确的序号为一 ①函数y=3x+1,片=-3 ,为=X+2x+4都不是“三倍函数”； ②在3≤xs 的范国内，若函数'=-r-x+c 的图象上至少存在一个“三倍点”，则C的取值范围为 -4≤c≤5： ③若函数 的图象上存在“三倍点”，设其横坐标为x,x,令 8 t=X+x,则t的最小值为g 三、解答题 9.(26-27九年级上安徽合肥阶段检测)如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于 A1,2)B(-2,n) 两点. 12/14 (1)求反比例函数和一次函数的解析式： ②)根据图象，直接写出满足kx+b> >x的x的取值范围； B)若点P在线段AB上，且SaP:Sam=l:4 ,求点P的坐标. 10.(26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测)数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它 们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为 友好点。 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定.如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交 点，所以它们是“陌生函数”· 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定y=2x-1与y=x的关系时，由函数表达式得 1 2x-1=,去分母得22-x-1=0,因为A=9>0:所以函数图象有两个交点，故它们是“友好西 数” 【问题解决】 y2=kx+b m 图1 图2 图3 13/14 0)对于函数0y= x,②y=2x,③y=-3x+1.其中①与②是“函数”，①与③是“ 函数”； (②)若片- x（m≠0)与为=c+b（k≠0)是“友好函数”，如图2，当片>为，时，x的取值范围是 x（n≠0)与y=2x-6是“相连函数”，则n的值为一： 3)如图3，过点C(0,8)的直线1，，对应的函数分别与y= (k0,x<0),y= x(k3≠0， x>0)是“相连函数”，相连点分别为P,9,.与*轴分别交于4，B两点，已知B=10, 纯=-25.求+后； 的值. 14/14 2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题11 反比例函数、二次函数与一次函数的图象 ▌专题目标 1. 掌握三类函数图象的形状、位置与系数的关系。 2. 会判断同一坐标系中多个函数图象的合理性。 3. 会判断函数图象交点的个数。 4. 会利用图象比较函数值的大小。 5. 会处理含参函数图象过定点问题，发展数形结合能力。 ▌专题目录 题型01：同一坐标系中多函数图象的识别 题型02：函数图象交点个数的判断 题型03：利用图象比较函数值的大小 题型04：含参函数图象经过定点的问题 ▌题型01：同一坐标系中多函数图象的识别 题型描述：题干给出同一字母表示的系数，判断一次函数与反比例（二次）函数图象在同一坐标系中的大致位置。核心得分点是各图象对同一系数的符号要求必须一致。 基础知识： 1. 一次函数y＝kx＋b：k定增减，b定截距； 2. 反比例函数：k＞0在一、三象限，k＜0在二、四象限； 3. 二次函数：a定开口，c定截距； 4. 同一字母在各函数中符号一致。 解题方法： 1. 定系数：假设某系数为正（负）； 2. 推图象：推出每个函数图象的位置； 3. 对选项：与选项逐一比对； 4. 排矛盾：排除符号矛盾的选项。 解题思路： 口诀：设、推、比、排。用“同一字母同一符号”作筛子；先抓最容易判断的函数（常是反比例函数）定k。 1．（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象在同一坐标系中可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线经过定点，即可排除B、C选项；再由一次函数与反比例函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：，当时，，而 ∴， 故直线经过点，B、C均不符合题意； 由A、D可知，直线经过第一、二、三象限，故，那么此时反比例函数图象经过第一、三象限，故只有D符合题意． 2．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴a，b异号， ①若，，正比例函数经过第一、三象限；反比例函数分布第二、四象限； ②若，：正比例函数经过第二、四象限；反比例函数分布第一、三象限． 由此观察各选项可得，正确的为B． 3．（2026·安徽·三模）二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据抛物线的对称轴为直线得到，求出，，然后判断一次函数图象；由二次函数当时，，得到，然后判断反比例函数图象． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ， ∴直线的图象经过第一、三、四象限； 由二次函数图象可知，当时，，即， ， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 综上，只有C选项符合题意． 4．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数的图象如图所示，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图像判断的符号，求出与的正负，再判断正比例函数，反比例函数经过的象限，筛选选项． 【详解】解：由二次函数的图象可知，，，， ， ． 当时，，即， 正比例函数的图象经过第一、三象限，反比例函数的图象位于第二、四象限． ▌题型02：函数图象交点个数的判断 题型描述：题干给出两个函数（含参数），判断它们图象的交点个数。核心得分点是联立方程用判别式或图象位置判断。 基础知识： 1. 联立两解析式得一元方程，解的个数即交点个数； 2. 反比例函数与直线联立得二次方程，用Δ判断； 3. 图象法：画出两函数大致图象数交点。 解题方法： 1. 联立：两式相等消y； 2. 化方程：整理成一元二次方程； 3. 算Δ：判断根的个数； 4. 下结论：交点个数与Δ对应。 解题思路： 口诀：联、式、Δ、数。双曲线有两支，直线可能只交一支——代数法（Δ）比画图更可靠。 5．（2026·广东广州·三模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则函数的图象与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】先利用根的判别式求出的取值范围，再联立两个函数得到一元二次方程，结合的取值范围与非负数的性质判断方程根的个数即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 根的判别式， 解得 ， 联立反比例函数与一次函数可得， ， 整理，得， ∵，， ∴，即该方程没有实数根， ∴两个函数无交点． 6．（2026·河南洛阳·三模）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象的交点个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先根据方程无实数根求出的范围，再判断两个函数图象所在象限，即可得到交点个数． 【详解】解：关于的一元二次方程无实数根， ∴， 化简得， 解得， 可知正比例函数的图象经过第二、四象限， 对于反比例函数，， 可得， ∴反比例函数的图象也分布在第二、四象限， 因此两个函数图象共有2个交点． 7．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，函数的图象与直线的交点个数是______． 【答案】1 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可把代入反比例函数解析式进行求解即可． 【详解】解：由题意可把代入反比例函数得：； ∴函数的图象与直线的交点个数是1个； 故答案为1． 8．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是______． (2)下表列出了与的几组对应值，请写出的值：_______，______． … 0 2 3 … … 0 2 … (3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．并结合函数的图象，解决问题： ①当时，的取值范围是______； ②方程的解为______． (4)已知函数，则函数的图象与坐标轴有______个交点． 【答案】(1) (2)； (3)图象如图所示： ①；②，； (4)1 【分析】（1）根据分式分母不能为 0，列出，即可求得自变量取值范围； （2）分别把和代入函数计算即可解答； （3）①画出函数图象，观察图象在上方部分，结合表格数据，可得到的取值范围； ②在图象上找到的点即为方程的解； （4）把分别令，，即可得到图象和坐标轴的交点． 【详解】（1）解：函数，分式分母不能等于 0， ∴， ∴， ∴自变量的取值范围是； （2）解：当，代入函数，得， ∴； 当，代入函数，得， ∴； （3）解：①解不等式， 由表格可知，当时，， 由图象可知，当时，随的增大而减小，当时，， ∴当时，的取值范围是； ②由图象可知当时，；当时，， ∴方程的解为，； （4）解：，，即， 分母不为 0：，即， 令，得，即与轴的交点； 令，即，此时无解，即与轴没有交点； ∴图象与坐标轴有1个交点． ▌题型03：利用图象比较函数值的大小 题型描述：题干给出两函数图象及交点，比较同一x处函数值大小或写不等式解集。核心得分点是以交点为界看上下位置。 基础知识： 1. 图象在上方函数值大； 2. 交点横坐标是分界； 3. 双曲线有两支，x＝0也是天然分界； 4. 解集按区间分段书写。 解题方法： 1. 定交点：求出（读出）交点横坐标； 2. 分段：以交点和x＝0分段； 3. 读上下：每段判断谁在上； 4. 写解集：规范写出x的范围。 解题思路： 口诀：点、段、上、集。反比例函数参与时别忘了y轴把图象分成两块；区间端点取舍看不等号。 9．（26-27九年级上·天津滨海新区·期中）已知点 ，， 都在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断的正负，确定反比例函数图象分布象限与增减性；再分象限比较函数值． 【详解】解：， ， ． 反比例函数图象在第二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大． 点、横坐标为负，在第二象限，． ，且在第二象限内随增大而增大， ． 点横坐标为正，在第四象限， ． 综上：． 10．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知点都在反比例函数（其中是常数）的图象上，则的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各点代入反比例函数解析式，用含的式子表示,,，结合比较大小． 【详解】解：∵点、、在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴，又， ∴， ∴． 11．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）已知点、都在反比例函数的图象上，则__________（填“”“”或“”）． 【答案】< 【分析】根据点在函数图象上，点的坐标就满足函数表达式，直接代入求值再比较大小即可． 【详解】解：把代入，得； 把代入，得； ∵， ∴． 12．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于、． (1)求、、的值； (2)求的面积； (3)若、是反比例函数图象上的两点，且，，指出点、各位于哪个象限，并简要说明理由． 【答案】(1)，，； (2)8 (3)点在第三象限，点在第一象限，理由如下： ， 反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小． 若M、N在同一个象限，由增减性可知：当时，，和已知矛盾． 因此两点分属不同象限，满足，只能是：， 在第三象限，在第一象限． 【分析】（1）先把点坐标代入反比例函数解析式求出，再将点横坐标代入反比例函数求出，得到点坐标，最后把A，B两点代入一次函数解析式，联立方程组求出． （2）先求出一次函数与轴交点坐标，把拆分为两个以轴上线段为公共底的小三角形，分别求面积再相加． （3）由，反比例函数在每个象限内随增大而减小；结合条件且，判断两点不在同一个象限，进而确定两点所在象限． 【详解】（1）把代入， ， 解得，反比例函数解析式为． 将代入， ，得． 把，代入： 两式相减：，， 代入，得． 综上，，，． （2）解：由（1）知：一次函数解析式为， 令，得，一次函数交轴于点，． ． （3）略． ▌题型04：含参函数图象经过定点的问题 题型描述：题干给出含参数的函数解析式，证明其图象恒过某定点或求该定点。核心得分点是让参数“失效”，即令参数系数为0。 基础知识： 1. 图象过定点：该点坐标代入后等式与参数无关； 2. 把解析式按参数整理：参数×(含x的式子)＋(其余部分)＝0； 3. 令参数的系数与常数部分同时为0，解出x、y即定点。 解题方法： 1. 整参数：把解析式按参数k（m）合并； 2. 令零：令参数的系数为0； 3. 解点：求出x并代回求y； 4. 验定点：代入原式检验与参数无关。 解题思路： 口诀：整、零、解、验。定点即“参数怎么变都经过的点”；令参数系数为0是通法，一次、二次、反比例通用。 13．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，反比例函数的在第一象限的图象经过点．    (1)求值； (2)第一象限内有一定点，坐标为． 请判断点是否在反比例函数图象上； 顺次连接、、三点，请直接写出的形状． 【答案】(1)； (2)点不在反比例函数上；是直角三角形． 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、平面直角坐标系中两点之间的距离公式、勾股定理的逆定理． 把点的坐标代入，即可求出的值； 把代入反比例函数的解析式，可得：，所以点不在反比例函数的图象上； 根据点、、的坐标分别求出、、的长度，利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形． 【详解】（1）解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：； （2）解：由可知反比例函数的解析式为， 当时，可得：， 点不在反比例函数上； 解：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ，，， ，， ， 是直角三角形． 14．（23-24九年级下·北京东城·开学考试）在平面直角坐标系中，函数图象G与直线，点（，n为整数）在直线l上．    (1)对于任意的k直线必过一定点，直接写出这个点的坐标； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l围成的区域（不含边界）为W． ①当时，求k的值，并写出区域W内的整点个数； ②若区域W内整点个数m满足时，结合函数图象，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)①2；② 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）解析式进行变形即可求得定点的坐标； （2）①当时，，将代入，求得k即可，画图可得整点的个数；②分两种情况：直线过，直线过，画图根据区域W内恰有5个整点，结合①即可确定k的取值范围． 【详解】（1）解：∵直线， ∴直线必过一定点； （2）解：①当时，，将代入， 得：， 解得， 如图所示，    区域W内的整点有，有2个； ②直线过时，区域W内没有整点， 直线过时，，区域W内有2个整点， 直线过时，，区域W内恰有4个整点， 直线过时，，区域W内恰有5个整点， 当时，区域内的整点的个数大于5， ∴区域W内整点个数m满足时，k的取值范围是． 15．（湖南省长沙市长郡教育集团2027-2026学年九年级上学期期中数学试卷）在平面直角坐标系中，如果二次函数的图象经过一次函数与反比例函数图象的两个不同交点，那么称这个二次函数为这两个函数的“伴生二次函数”，这两个交点称为该二次函数的“伴生点”． (1)若时，求“伴生二次函数”的解析式． (2)设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为，，连接，，记直线，的解析式分别为，，若，且为负数，求的取值范围． (3)设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为，． ①求证：对于任意使一次函数与反比例函数有两个不同交点的非零实数，“伴生二次函数”的图象都经过一个异于原点的定点； ②若“伴生二次函数”的图象与轴的另一个交点为，连接，，是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个以为斜边的直角三角形？若存在，求出的值和此时“伴生二次函数”的解析式． 【答案】(1)． (2) (3)①设，， 令，即， 由根与系数的关系知：，， 又由，即，知：，， ，，即，， “伴生二次函数”的解析式为， 变形得：， 该函数图象恒过定点， ，解得或， 此时或， ； 对于任意使一次函数与反比例函数有两个不同交点的非零实数，“伴生二次函数”的图象都经过一个异于原点的定点； ②的值为，此时“伴生二次函数”的解析式为． 【详解】（1）解：联立，解得或， 代入，得， 解得， “伴生二次函数”的解析式为； （2）解：设，， 令，整理得：， 由根与系数的关系得：，， 且，即， ，即， ，， ， ， 当时，；当时，， ； （3）解：①略 ②令，则， 解得或， ， ，， ， 当时，， 即，解得或， ， ， 综上，的值为，此时“伴生二次函数”的解析式为． 16．（24-25九年级下·辽宁本溪·开学考试）已知是自变量的函数，当（为常数，）时，称函数为函数的“倍函数”．例如：函数．当时，则函数是函数的“2倍函数”． (1)求的“3倍函数”的解析式： (2)如图1，在平面直角坐标系中，正方形，点与点分别位于轴正半轴与轴正半轴．连接，相交于点，若函数（为常数，）的图象经过点，函数的“倍函数”的图象经过点，求的值； (3)如图2，在平面直角坐标系中，函数的“倍函数”的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为，点是的图象第四象限上一点． ①求线段的长； ②当时，垂直于轴的直线与函数的图象交于，两点，与直线交于点，若结合函数的图象，求的取值范围． ③延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将函数的图象平移得到函数的图象．使得点，都落在函数的图象上，判断函数的图象与函数的图象是否交于某个定点，若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)的“3倍函数”的解析式为 (2) (3)①；②；③是，函数的图象与函数的图象交于定点 【分析】（1）根据“3倍函数”的定义进行解答即可； （2）设函数的“倍函数”．证明．即可得到答案； （3）①求出函数的“倍函数”，解方程得到，，即可得到答案；②点坐标为，点坐标为，过点，过点，，根据图象可知，当直线处于和之间时，即可求出；③根据题意，则顶点坐标为，设点坐标为．由于，是等腰三角形，则根据等腰三角形的轴对称性质可得，图象交轴于R、K两点，过点作轴的平行线交图象于点，根据抛物线的轴对称性质和图形平移的规律，可得，得到，即可得到答案． 【详解】（1）根据定义，的“3倍函数”． ∴的“3倍函数”的解析式为． （2）设函数的“倍函数”． 根据题意为正方形对角线的交点，是正方形的中心，则． 如图，作，． ∴，． ∵，， ∴． ∴． （3）①函数的“倍函数”， 令，， 由于．则， 解方程，， ∴． ②当时，． 当，则，即；时，． ∴点坐标为，点坐标为． 如图，过点，过点，，根据图象可知，当直线处于和之间时． ∴直线轴，由平行线分线段成比例可得：． 根据可得，当时，． 从图中可以看出， 而E、F两点关于抛物线对称轴对称，，则． ∴． ③根据题意，则顶点坐标为． 设点坐标为．由于，是等腰三角形，则根据等腰三角形的轴对称性质可得， ． ∴， 如图，图象交轴于R、K两点，过点作轴的平行线交图象于点． 根据抛物线的轴对称性质和图形平移的规律，可得． ∵， ∴， 故点和点重合，即函数的图象与函数的图象交于定点． 【点睛】此题考查了二次函数和反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形判定和性质、正方形的性质等知识，综合性很强，掌握“倍函数”的定义是关键． ▌专题综合训练 一、选择题 1．（2026·安徽阜阳·二模）在同一平面直角坐标系中，抛物线（是常数，且）与双曲线的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次函数对称轴公式计算抛物线的对称轴为，确定其在轴左侧，据此排除对称轴位置不符的选项A、D；再分和两种情况讨论：当时，反比例函数图象应在一、三象限，且抛物线开口向上、与轴交于负半轴；当时，反比例函数图象在二、四象限，抛物线开口向下且与轴交于正半轴，由此确定答案． 【详解】解：对于抛物线，对称轴为直线， ∴抛物线对称轴一定在轴左侧，故选项A，D错误； 当时，，则双曲线在第一、三象限，抛物线交轴负半轴，故选项B错误； 当时，，则双曲线在第二、四象限，抛物线交轴正半轴，故选项C符合题意． 2．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）反比例函数与一次函数（k为常数，）在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据当和时，和图象的位置逐项判断即可． 【详解】解：∵当时，过一、二、三象限，经过点，过一、三象限； 当时，过一、二、四象限，过二、四象限． ∴选项A：由图象可知，且经过点，但的，不符合条件； 选项B：由的图象可知，不经过点，不符合条件； 选项C：由的图象可知，经过点，的，符合条件； 选项D：由的图象可知，不经过点，不符合条件． 3．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，过原点的两条直线分别与、相交于A、B和C、D，若，则（     ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设点在上，故；直线过原点，设，代入得，解得，利用勾股定理求出，进而即可求出，代入计算得． 【详解】解：设点A的坐标为， 点A在双曲线上， ∴， 直线过坐标原点， 直线是正比例函数， 设其解析式为， 点A在直线上， ∴，即， 点B也在直线上， ∴． 将代入上式，得， ∴， ∴点B的横、纵坐标与点A的横、纵坐标对应成比例， ∴设点B的坐标为， 点B在上， ∴， 将代入上式得，， ∴， 同理，设点C的坐标为，则点D的坐标为，且， ∵，， ∴ ， 将，代入得，， ∴． 4．（25-26八年级下·上海黄浦·期末）如图，点、、、、在反比例函数的图象上，点、、、、在轴上，且，直线与双曲线交于点，，，，，则的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，先求出交点，进而得出，，则是等腰直角三角形，得出，根据平行设直线的解析式为，求出，从而得出，利用坐标两点距离公式，得出，结合等腰直角三角形的性质，，同理可得，，，，……，则，即可得解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 联立，解得：或（舍）， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 设直线的解析式为， 在直线的图象上， ， 直线的解析式为， 联立，解得：或（舍）， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 同理可得，，，，…… ， ． 二、填空题 5．（26-27九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数（，均为常数）的图象都经过点，当时，x的取值范围是___________． 【答案】或 【分析】将已知交点代入两个函数解析式求出对应参数，联立解析式得到两函数的所有交点，然后结合函数图象求解即可． 【详解】解：∵两个函数图象都经过点 ∴将代入，得，解得； 将代入，得，解得 ∴两个函数的解析式分别为，． 解方程组得，， ∴两个函数的交点为和． 函数，的图象为 由图可得，当时，x的取值范围是或． 6．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过第_____象限 【答案】三 【分析】根据正比例函数经过的已知点得到的符号，根据反比例函数的象限位置得到的符号，再利用一次函数的性质判断不经过的象限． 【详解】解：∵ 正比例函数的图象经过点， ∴ 代入点坐标得，即． ∵ 反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴ ． ∵ 一次函数中，，， ∴ 一次函数的图象经过第一、第二、第四象限， 因此一次函数的图象一定不经过第三象限． 7．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）已知点在反比例函数的图象上，若，则的大小关系为_______（用“＜”连接）． 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的正负，确定函数图象所在象限和增减性，再根据各点横坐标的符号判断所在象限，最后比较函数值大小． 【详解】解：， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， 点，的横坐标都大于， ，都在第一象限，可得，， ， ， 点的横坐标小于， 在第三象限，可得， ． 8．（26-27九年级上·山东德州·阶段检测）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标3倍的点，则把该函数称为“三倍函数”，该点称为“三倍点”．例如“三倍函数”，其“三倍点”为．下列说法正确的序号为________． ①函数，，都不是“三倍函数”； ②在的范围内，若函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围为； ③若函数的图象上存在“三倍点”，设其横坐标为，令，则t的最小值为． 【答案】②③ 【分析】令三个函数的函数值都为，进而建立方程，看方程是否有解即可；由题意得，“三倍点”所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值的大小关系即可求出c的取值范围；由定义可得，再由判别式，求出，根据根与系数的关系可得，当时，有最小值； 【详解】解：在中，当时，则，此时方程无解， ∴函数不是“三倍函数”； 在中，当时，则，即，此时方程无实数根， ∴函数不是“三倍函数”； 在中，当时，则，即， 此时，原方程有两个相等的实数根， ∴函数是“三倍函数”，故①错误； 在中，当时，则， ∴， ∵在的范围内，函数的图象上至少存在一个“三倍点”， ∴方程有实数根， ∴， ∴； ∵要满足在的范围内，函数的图象上至少存在一个“三倍点”， ∴要满足当时，或当时， ∴或， ∴或， 综上所述，，故②正确； 在中，当时， 则， ∵函数的图象上存在“三倍点”， ∴， ∴； 由一元二次方程根与系数的关系可知： ， ∴ ， ∵ ∴当时，随的增大而减小； ∴当时，有最小值； 此时，，故③正确； 综上所述，正确的有②③． 三、解答题 9．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足的的取值范围； (3)若点在线段上，且，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) 或 (3) 【分析】（1）把点代入反比例函数求出，再代入点横坐标求出，将、两点代入一次函数解析式，列方程组求出和． （2）对比一次函数图象在反比例函数图象上方部分，读出对应的自变量范围是或． （3）由两个三角形面积比为得到线段比，设，利用两点间距离公式列方程求出，得到． 【详解】（1）解：∵ 反比例函数的图象经过点 ， ∴， ∴反比例函数的解析式为． ∵ 点 在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵ 一次函数 的图象经过点 ，， ∴ ， 解得， ∴ 一次函数的解析式为． （2）解：观察图象可得， ∴ 的取值范围是 或 ． （3）解：∵ 点 在线段 上，连接，，． ∴ 设，其中， ∵， ∴，即 ， ∴ ， ∴ ， 解得 ，（不合题意，舍去） 当 时，， ∴ 点 的坐标为 ． 10．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”． 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”． 【问题解决】 (1)对于函数①，②，③．其中①与②是“_____函数”，①与③是“______函数”； (2)若（）与（）是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______，若（）与是“相连函数”，则的值为______； (3)如图3，过点的直线，对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，，与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 【答案】(1)陌生；友好 (2)或； (3) 【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可； （2）根据图象判断时，的取值范围；联立与，由求出的值； （3）设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，将与联立，并结合可得，进而计算出点的坐标为，同理，点的坐标为．由可得，利用完全平方公式变形可计算出的值． 【详解】（1）解：对于①与②，联立得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数解，即与无交点， ∴①与②是“陌生函数”， 对于①与③，联立得， 整理，得， ∴， ∴与有两个交点， ∴①与③是“友好函数”． （2）解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为和，且在和部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象， ∴当时，的取值范围是或； 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， 解得． （3）解：设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为， 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， ∴，即， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ∴，即， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $