26.3 二次函数与一元二次方程（第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.3 二次函数与一元二次方程（第2课时）

一、教材分析

上一节课已经建立了抛物线与 x 轴公共点、方程的根、判别式三者的对应。但很多方程的根是无理数，画图象时交点不会正好落在格点上，本节课要解决的就是“根取不到精确值时怎么办”——用图象估计交点横坐标，取到小数点后一位，这就是图象法求近似解。教材借 x²−2x−2=0 一个方程把“描点作图—观察估计—缩小范围—确定近似解”四步走完整，随后把同一套读图功夫用到一元二次不等式的解集上（拓展）。

本课的卡点：一是估计的“度”，学生往往找出根在哪两个数之间就停笔，不会比较函数值哪个更接近 0；二是开口向下时图象读不等式解集，约半数学生照搬开口向上的结论，把“取两边”“取中间”用反。

二、学情分析

描点作图本身过关率较高，上节课三条抛物线练习中约九成学生能正确列表取点。但“用图象估计”这个动作对九年级学生是新的：往届第一次做 x²−2x−2=0 时，约四成学生直接写 −0.7 和 2.7 却写不出依据，还有近三成学生在“−0.8 与 −0.7 之间”就收笔，说不清为什么取 −0.7。这说明“使函数值更接近 0 的数即为近似解”这条标准要专门立起来、练到位。

不等式读图是本课第二个难点。检测中开口向下的题目正确率通常比开口向上低两成左右，主要错在解集端点的开闭和“两边”“中间”的选择。本课用 a>0、a<0 两行对照表让差异显性化。

三、教学目标

1. 能用描点法画出二次函数图象，观察估计图象与 x 轴交点的横坐标，求出一元二次方程精确到 0.1 的近似解，并说出每一步估计的依据。

2. 能说出图象法解一元二次方程的三个步骤，会用“取平均数缩小范围”或“将单位长十等分”的办法逼近根。

3. 给定抛物线图象，能写出对应方程的根和一元二次不等式的解集；开口向下时也能独立完成。

4. 面对表格形式的函数值，能判断方程的解落在哪个区间。

四、教学重点与难点

重点：用二次函数图象求一元二次方程的近似解。要练到“估计值能说出取在哪个 0.1 区间、为什么取这个端点”，如 x²−2x−2=0 的两根都要落实。

难点：由图象写一元二次不等式解集，尤其是 a<0 的情形。学生卡在把“图象在 x 轴上方/下方”翻译成“y>0/y<0”这一步。教学中先让学生在图上用阴影涂出 y>0 的部分，再写区间。

五、教学环境与资源准备

方格纸每人两张，描点作图用；印好的对照空表（a>0、a<0 两行）每组一张；学生练习纸（含巩固题4题）；计算器若干台，十等分单位长验算函数值时用。图象展示交给投影，估计的过程全部落回方格纸；人教版九年级数学上册教材放在学生手边，随用随翻。

六、设计思想

这节课从上节课的对应表出发，直接抛出真问题：根是无理数怎么办？让学生先按老办法描点画 y=x²−2x−2 的图象，亲眼看到交点不在格点上，估计的需求由学生自己产生。估计的标准不提前给，让学生报数、互相质疑，在“到底取 −0.7 还是 −0.8”的争论中逼出“函数值更接近 0”这条标准。不等式部分先涂阴影后写解集，把几何直观落在笔尖上。巩固题按“表格估根—图象解集—独立估根—综合”排布，错例来自当堂巡视。信息技术只用于展示图象，估计过程在方格纸上完成。

七、教学过程（共六个环节，45分钟）

环节一 复习导入（约5分钟）

师：上节课的对应表还空着三行，先把它填满（投影空表）：二次函数 y=ax²+bx+c 的图象与 x 轴的交点、一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根、b²−4ac 的符号，三种情况各对应什么？

生1：Δ>0：两个交点，两个不相等的实数根；Δ=0：一个公共点，两个相等的实数根；Δ<0：没有公共点，没有实数根。

追问：那问题来了——x²−2x−2=0 这个方程，Δ=(−2)²−4×1×(−2)=12>0，它有两个实数根。这两个根好求吗？

生2：配方试试：(x−1)²=3，根是 1±√3，带根号，写不出小数。

师：根在数轴上确实存在（图象与 x 轴的交点摆在那），但小数形式写不出来。今天的任务就是用图象把它的近似值“读”出来。（板书课题）

环节二 例题精讲：图象法求近似解（约12分钟）

例1

利用函数图象求方程 x²−2x−2=0 的实数根（结果保留小数点后一位）。

分析：一元二次方程 x²−2x−2=0 的根就是抛物线 y=x²−2x−2 与 x 轴的交点的横坐标，因此可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法。

师：画图前先列表。取哪些点？看对称轴 x=1，两侧对称取。

生1：取 x=−1，0，1，2，3，对应的 y 依次是 1，−2，−3，−2，1。顶点 (1, −3)，图象开口向上，与 x 轴有两个交点，一个在 −1 到 0 之间，一个在 2 到 3 之间。

师：先别动笔，估一估——负根到底取多少？

生2：取 −0.8。因为 y(−0.8)=0.64+1.6−2=0.24，比 y(−1)=1 小多了，已经很接近 0 了。

生3：可我算了 y(−0.7)=0.49+1.4−2=−0.11，它的绝对值比 0.24 还小，离 0 更近，应该取 −0.7。

追问：两位把区间两端的函数值都算了，丙多走了一步——比谁更接近 0。按这条标准，正根取 2.7 还是 2.8？

生3：y(2.7)=7.29−5.4−2=−0.11，y(2.8)=7.84−5.6−2=0.24，取 2.7。所以方程的近似解是 x1≈−0.7，x2≈2.7。

（这里十有八九会有人抢答：找出根在 −0.8 与 −0.7 之间就随手取 −0.8，或者干脆取区间左端点，说不出为什么。根源是“使函数值更接近 0 的数即为近