专题培优 反比例函数与一次函数交点图象法解方程与不等式专项训练讲义 2026年-2027学年人教版数学九年级上册

反比例函数与一次函数交点：图象法解方程与不等式专项训练 一、课堂目标 1．理解函数、方程、不等式三者之间的联系，体会数形结合的思想． 2．会利用双曲线与直线的图象，直接读出一元二次方程（分式方程）的解． 3．会利用图象上下的位置关系，写出不等式（组）的解集． 4．初步学会构造函数，用图象法解决方程与不等式的综合问题． 二、知识讲解 1. 图象法解方程 对于反比例函数 y = 与一次函数 y = ax + b，联立消元得一元二次方程 ax² + bx − k = 0，它的解就是两图象交点的横坐标；反过来，若已知两图象的交点，则交点的横坐标是方程 = ax + b 的解． 解题步骤：① 联立两个解析式并整理成一元二次方程；② 求出方程的根；③ 方程的每一个根都对应一个交点的横坐标（注意结合图象所在象限写出完整坐标）． 如图：y = 与 y = x + 3 交于 A(1, 4)、B(−4, −1)，则方程 = x + 3 的解为 x₁ = 1，x₂ = −4，即两个交点的横坐标． ▎例题1 1. 如图，反比例函数 y = 的图象与一次函数 y = x + 1 的图象交于点 A、B，其中 A(2, 3)、B(−3, −2)．根据图象信息，方程 = x + 1 的解为（　　）． A. x₁ = 2，x₂ = −3　　B. x₁ = 2，x₂ = 3　　C. x₁ = −2，x₂ = −3　　D. x₁ = 3，x₂ = −2 2. 反比例函数 y = 与正比例函数 y = 2x 的图象相交于 A(1, 2)、B(−1, −2) 两点，则关于 x 的方程 = 2x 的解为________． ◆ 变式训练 1 1. 已知反比例函数 y = 与正比例函数 y = kx 的图象的一个交点为 (1, 2)，则关于 x 的方程 = kx 的解为________． 2. 如图，反比例函数 y = 的图象与一次函数 y = −x + 2 的图象交于 A(−1, 3)、B(3, −1) 两点，则关于 x 的方程 = −x + 2 的解为________；方程 = −x + 2 的两根之积为________． ▎练习1 1. 如图，一次函数 y = −x + 2 与反比例函数 y = 交于 A(−1, 3)、B(3, −1)．借 助图象，直接写出方程 x² − 2x − 3 = 0 的解． 2. 小兰画了函数 y = − 1 的图象如图所示，图象与 x 轴交于点 (3, 0)，那么关于 x 的分式方程 − 1 = 2 的解是（　　）． A. x = 1　　B. x = 2　　C. x = 3　　D. x = 2. 图象法解不等式 对于双曲线 y = 与直线 y = ax + b，若交点横坐标分别为 x₁、x₂，则不等式 > ax + b 的解集，就是双曲线图象位于直线上方部分所对应的 x 的取值范围； < ax + b 则是双曲线位于直线下方部分对应的范围． 【方法】轴左右分两区，交点两旁再划分；数形结合来分析，取等、取空要当心． 如图：y = 与 y = x + 3 交于 A(1, 4)、B(−4, −1)．当 x > 1 或 −4 < x < 0 时，双曲线在直线下方，即 < x + 3；当 0 < x < 1 或 x < −4 时，双曲线在直线上方，即 > x + 3． ▎例题2 1. 如图，正比例函数 y = 3x 与反比例函数 y = 的图象相交于 A(1, 3)、B(−1, −3) 两点．当 > 3x 时，x 的取值范围是（　　）． A. x > 1 或 −1 < x < 0　　B. x > 1 或 x < −1　　C. 0 < x < 1 或 −1 < x < 0　　D. x < −1 或 0 < x < 1 2. 如图，直线 y = −x + 5 与双曲线 y = 交于 A(2, 3)、B(3, 2) 两点．直接写出不等式 −x + 5 < 的解集． ◆ 变式训练 2 1. 如图，一次函数 y = 2x + 1 与反比例函数 y = 交于 A(1, 3)、B(, −2) 两点．当 2x + 1 < 时，x 的取值范围是________． 2. 如图，函数 y = 与 y = 2x 的图象交于 A(2, 4)、B(−2, −4) 两点．若 2x ≥ ，则 x 的取值范围是________． ▎练习2 1. 一次函数 y = 2x + 1 和反比例函数 y = （x > 0）的图象如图所示，交点为 A(1, 3)．若 2x + 1 > ，则 x 的取值范围是（　　）． A. x > 1　　B. 0 < x < 1　　C. x < 1　　D. x > 3 2. 如图，函数 y = 与 y = 2x 的图象交于 A(1, 2)、B(−1, −2) 两点．若 > 2x > 0，则 x 的取值范围是________． 3. 如图，直线 y = 2x 与双曲线 y = 交于 A(1, 2)、B(−1, −2) 两点，则不等式 |2x| > 的解集为（　　）． A. x > 1 或 x < −1　　B. x < 0 或 x > 1　　C. 0 < x < 1 或 −1 < x < 0　　D. x > 1 或 0 < x < 1 3. 构造函数——用图象法解决方程问题 方程的两边可以看作两个函数：把方程 f₁(x) = f₂(x) 的两边分别设为 y = f₁(x) 与 y = f₂(x)，在同一坐标系中画出两函数的图象，交点的横坐标就是方程的解．这种“化静为动”的方法，特别适用于不便直接求解的方程（如某些一元二次方程、分式方程）的近似解或解的个数判断． 如图：方程 x² − 3x + 1 = 0 可变形为 x + = 3（x ≠ 0），即 = 3 − x．设 y = 与 y = 3 − x，两图象交点的横坐标就是原方程的解． ▎例题3 1. 已知 x₁、x₂ 是方程 x² − 3x + 1 = 0 的两个实数根，且 x₁ < x₂．利用 y = 与 y = 3 − x 的图象（如图），判断 x₁、x₂ 的符号，并比较 x₁、x₂ 与 1 的大小． 2. 利用图象法，求方程 = x − 1 的解，并判断解的个数． 3. 已知当 0 < x ≤ 2 时，不等式 ≥ x + m 恒成立，试利用图象求 m 的取值范围． 三、出门测 1. 如图，反比例函数 y = 的图象与一次函数 y = x + 2 的图象交于 A(1, 3)、B(−3, −1) 两点． （1）根据图象，直接写出方程 = x + 2 的解； （2）直接写出不等式 x + 2 > 的解集； （3）直接写出不等式组 1 ≤ ≤ 3（x > 0）的解集． 2. 一次函数 y = x + 1 的图象与反比例函数 y = 的图象交于 A(1, 2)、B(−2, −1) 两点． （1）根据图象，直接写出不等式 − x − 1 > 0 的解集； （2）直接写出不等式 ≤ x + 1 的解集； （3）若点 P(m, 0) 在 x 轴上，且 △PAB 的面积为 3，求 m 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 反比例函数与一次函数交点：图象法解方程与不等式专项训练 一、课堂目标 1．理解函数、方程、不等式三者之间的联系，体会数形结合的思想． 2．会利用双曲线与直线的图象，直接读出一元二次方程（分式方程）的解． 3．会利用图象上下的位置关系，写出不等式（组）的解集． 4．初步学会构造函数，用图象法解决方程与不等式的综合问题． 二、知识讲解 1. 图象法解方程 对于反比例函数 y = 与一次函数 y = ax + b，联立消元得一元二次方程 ax² + bx − k = 0，它的解就是两图象交点的横坐标；反过来，若已知两图象的交点，则交点的横坐标是方程 = ax + b 的解． 解题步骤：① 联立两个解析式并整理成一元二次方程；② 求出方程的根；③ 方程的每一个根都对应一个交点的横坐标（注意结合图象所在象限写出完整坐标）． 如图：y = 与 y = x + 3 交于 A(1, 4)、B(−4, −1)，则方程 = x + 3 的解为 x₁ = 1，x₂ = −4，即两个交点的横坐标． ▎例题1 1. 如图，反比例函数 y = 的图象与一次函数 y = x + 1 的图象交于点 A、B，其中 A(2, 3)、B(−3, −2)．根据图象信息，方程 = x + 1 的解为（　　）． A. x₁ = 2，x₂ = −3　　B. x₁ = 2，x₂ = 3　　C. x₁ = −2，x₂ = −3　　D. x₁ = 3，x₂ = −2 【答案】A 【解析】∵ 方程 = x + 1 的解就是双曲线 y = 与直线 y = x + 1 交点的横坐标， ∴ 由图象，交点为 A(2, 3) 与 B(−3, −2)， ∴ 方程的解为 x₁ = 2，x₂ = −3，故选 A． 【知识点】反比例函数与一次函数综合；图象法解方程 2. 反比例函数 y = 与正比例函数 y = 2x 的图象相交于 A(1, 2)、B(−1, −2) 两点，则关于 x 的方程 = 2x 的解为________． 【答案】x₁ = 1，x₂ = −1． 【解析】∵ 方程 = 2x 的解是两图象交点的横坐标， ∴ 由交点 A(1, 2)、B(−1, −2)， ∴ 方程的解为 x₁ = 1，x₂ = −1． 【知识点】反比例函数与一次函数综合；图象法解方程 ◆ 变式训练 1 1. 已知反比例函数 y = 与正比例函数 y = kx 的图象的一个交点为 (1, 2)，则关于 x 的方程 = kx 的解为________． 【答案】x₁ = 1，x₂ = −1． 【解析】∵ 交点 (1, 2) 在 y = kx 上， ∴ k = = 2； ∵ 正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称， ∴ 两图象的交点也关于原点对称， ∴ 另一个交点为 (−1, −2)； ∵ 方程 = kx 的解是交点的横坐标， ∴ 解为 x₁ = 1，x₂ = −1． 【知识点】反比例函数与一次函数综合；图象的对称性 2. 如图，反比例函数 y = 的图象与一次函数 y = −x + 2 的图象交于 A(−1, 3)、B(3, −1) 两点，则关于 x 的方程 = −x + 2 的解为________；方程 = −x + 2 的两根之积为________． 【答案】x₁ = −1，x₂ = 3；两根之积为 −3． 【解析】∵ 方程 = −x + 2 的解是两图象交点的横坐标， ∴ 由 A(−1, 3)、B(3, −1)， ∴ 解为 x₁ = −1，x₂ = 3； ∵ 联立消元得 x² − 2x − 3 = 0， ∴ 由根与系数的关系，x₁x₂ = = −3（也可直接相乘：(−1)×3 = −3）． 【知识点】反比例函数与一次函数综合；根与系数的关系 ▎练习1 1. 如图，一次函数 y = −x + 2 与反比例函数 y = 交于 A(−1, 3)、B(3, −1)．借 助图象，直接写出方程 x² − 2x − 3 = 0 的解． 【答案】x₁ = −1，x₂ = 3． 【解析】∵ y = −x + 2 与 y = 联立消元，得 x² − 2x − 3 = 0， ∴ 方程 x² − 2x − 3 = 0 的解就是两图象交点的横坐标， ∴ 由交点 A(−1, 3)、B(3, −1)， ∴ 方程的解为 x₁ = −1，x₂ = 3． 【知识点】函数与方程的联系；数形结合 2. 小兰画了函数 y = − 1 的图象如图所示，图象与 x 轴交于点 (3, 0)，那么关于 x 的分式方程 − 1 = 2 的解是（　　）． A. x = 1　　B. x = 2　　C. x = 3　　D. x = 【答案】A 【解析】∵ 图象与 x 轴交于 (3, 0)， ∴ 当 x = 3 时 y = 0，即 − 1 = 0， ∴ a = 3； ∵ 分式方程 − 1 = 2， ∴ = 3， ∴ x = 1，故选 A．验证：把 x = 1 代入原方程： − 1 = 2 ✓，且 x = 1 不使分母为零，是原方程的解． 【知识点】反比例函数图象的应用；分式方程的解法 2. 图象法解不等式 对于双曲线 y = 与直线 y = ax + b，若交点横坐标分别为 x₁、x₂，则不等式 > ax + b 的解集，就是双曲线图象位于直线上方部分所对应的 x 的取值范围； < ax + b 则是双曲线位于直线下方部分对应的范围． 【方法】轴左右分两区，交点两旁再划分；数形结合来分析，取等、取空要当心． 如图：y = 与 y = x + 3 交于 A(1, 4)、B(−4, −1)．当 x > 1 或 −4 < x < 0 时，双曲线在直线下方，即 < x + 3；当 0 < x < 1 或 x < −4 时，双曲线在直线上方，即 > x + 3． ▎例题2 1. 如图，正比例函数 y = 3x 与反比例函数 y = 的图象相交于 A(1, 3)、B(−1, −3) 两点．当 > 3x 时，x 的取值范围是（　　）． A. x > 1 或 −1 < x < 0　　B. x > 1 或 x < −1　　C. 0 < x < 1 或 −1 < x < 0　　D. x < −1 或 0 < x < 1 【答案】D 【解析】∵ > 3x 表示双曲线 y = 的图象在直线 y = 3x 上方， ∴ 由图象，分 x < 0 与 x > 0 两区域看：x < 0 时，双曲线在直线上方的部分为 x < −1；x > 0 时，双曲线在直线上方的部分为 0 < x < 1， ∴ 解集为 x < −1 或 0 < x < 1，故选 D． 【知识点】反比例函数与一次函数综合；图象法解不等式 2. 如图，直线 y = −x + 5 与双曲线 y = 交于 A(2, 3)、B(3, 2) 两点．直接写出不等式 −x + 5 < 的解集． 【答案】0 < x < 2 或 x > 3． 【解析】∵ −x + 5 < 表示直线 y = −x + 5 在双曲线 y = 下方， ∴ 由图象，分区域看：x > 0 时，两交点横坐标为 2 与 3，直线在双曲线下方的部分为 0 < x < 2 与 x > 3；x < 0 时，双曲线在第三象限，直线在第二、四象限，直线恒在双曲线上方，不满足； ∴ 解集为 0 < x < 2 或 x > 3． 【知识点】反比例函数与一次函数综合；图象法解不等式 ◆ 变式训练 2 1. 如图，一次函数 y = 2x + 1 与反比例函数 y = 交于 A(1, 3)、B(, −2) 两点．当 2x + 1 < 时，x 的取值范围是________． 【答案】x < 或 0 < x < 1． 【解析】∵ 2x + 1 < 表示直线 y = 2x + 1 在双曲线 y = 下方， ∴ 由图象分两个区域：x < 0 时，双曲线在第三象限，直线下方对应 x < ；x > 0 时，直线下方对应 0 < x < 1， ∴ 解集为 x < 或 0 < x < 1． 【知识点】反比例函数与一次函数综合；图象法解不等式 2. 如图，函数 y = 与 y = 2x 的图象交于 A(2, 4)、B(−2, −4) 两点．若 2x ≥ ，则 x 的取值范围是________． 【答案】−2 ≤ x < 0 或 x ≥ 2． 【解析】∵ 2x ≥ 表示直线在双曲线上方或相交（取等号时即交点）， ∴ 由图象：x < 0 时，直线在双曲线上方（含交点 B）对应 −2 ≤ x < 0；x > 0 时，对应 x ≥ 2（含交点 A）， ∴ 解集为 −2 ≤ x < 0 或 x ≥ 2． 【知识点】反比例函数与一次函数综合；图象法解不等式（含等号） ▎练习2 1. 一次函数 y = 2x + 1 和反比例函数 y = （x > 0）的图象如图所示，交点为 A(1, 3)．若 2x + 1 > ，则 x 的取值范围是（　　）． A. x > 1　　B. 0 < x < 1　　C. x < 1　　D. x > 3 【答案】A 【解析】∵ 只考虑 x > 0 的部分，2x + 1 > 表示直线 y = 2x + 1 在双曲线 y = 上方， ∴ 由图象，交点横坐标为 1，x > 1 时直线在双曲线上方， ∴ 解集为 x > 1，故选 A． 【知识点】反比例函数与一次函数综合；图象法解不等式 2. 如图，函数 y = 与 y = 2x 的图象交于 A(1, 2)、B(−1, −2) 两点．若 > 2x > 0，则 x 的取值范围是________． 【答案】0 < x < 1． 【解析】∵ 2x > 0 表示直线上的点在 x 轴上方， ∴ x > 0； ∵ 在 x > 0 的区域内 > 2x 表示双曲线在直线上方， ∴ 由图象对应 0 < x < 1， ∴ 解集为 0 < x < 1． 【知识点】反比例函数与一次函数综合；不等式组的图象解法 3. 如图，直线 y = 2x 与双曲线 y = 交于 A(1, 2)、B(−1, −2) 两点，则不等式 |2x| > 的解集为（　　）． A. x > 1 或 x < −1　　B. x < 0 或 x > 1　　C. 0 < x < 1 或 −1 < x < 0　　D. x > 1 或 0 < x < 1 【答案】B 【解析】∵ |2x| > 需要分两种情况：① 当 x > 0 时，|2x| = 2x， ∴ 不等式化为 2x > ，即直线在双曲线上方，由图象对应 x > 1；② 当 x < 0 时， < 0，而 |2x| > 0， ∴ 不等式恒成立，对应 x < 0 的所有值， ∴ 解集为 x < 0 或 x > 1，故选 B． 【知识点】反比例函数与一次函数综合；绝对值不等式的图象解法 3. 构造函数——用图象法解决方程问题 方程的两边可以看作两个函数：把方程 f₁(x) = f₂(x) 的两边分别设为 y = f₁(x) 与 y = f₂(x)，在同一坐标系中画出两函数的图象，交点的横坐标就是方程的解．这种“化静为动”的方法，特别适用于不便直接求解的方程（如某些一元二次方程、分式方程）的近似解或解的个数判断． 如图：方程 x² − 3x + 1 = 0 可变形为 x + = 3（x ≠ 0），即 = 3 − x．设 y = 与 y = 3 − x，两图象交点的横坐标就是原方程的解． ▎例题3 1. 已知 x₁、x₂ 是方程 x² − 3x + 1 = 0 的两个实数根，且 x₁ < x₂．利用 y = 与 y = 3 − x 的图象（如图），判断 x₁、x₂ 的符号，并比较 x₁、x₂ 与 1 的大小． 【答案】0 < x₁ < 1 < x₂，即 x₁、x₂ 均为正数，且 x₁ < 1 < x₂． 【解析】∵ x² − 3x + 1 = 0（x ≠ 0）可变形为 = 3 − x， ∴ 方程的解就是 y = 与 y = 3 − x 交点的横坐标； ∴ 由图象，两交点 A、B 都在第一象限，横坐标均大于 0， ∴ x₁、x₂ 均为正数； ∵ 直线 y = 3 − x 与双曲线 y = 的交点 A 的横坐标在 0 与 1 之间，交点 B 的横坐标大于 2， ∴ 0 < x₁ < 1 < x₂． 【知识点】构造函数；数形结合 2. 利用图象法，求方程 = x − 1 的解，并判断解的个数． 【答案】方程有两个解：x₁ = −1，x₂ = 2． 【解析】∵ 设 y = 与 y = x − 1，两图象交于 B(−1, −2)、A(2, 1) 两点， ∴ 交点横坐标 −1 与 2 就是方程的解， ∴ 方程有两个解 x₁ = −1，x₂ = 2． 【知识点】图象法解方程；数形结合 3. 已知当 0 < x ≤ 2 时，不等式 ≥ x + m 恒成立，试利用图象求 m 的取值范围． 【答案】m ≤ −1． 【解析】∵ ≥ x + m（0 < x ≤ 2）表示在区间 (0, 2] 上，双曲线 y = 在直线 y = x + m 上方或相接， ∴ 设 g(x) = − x，只需 m ≤ g(x) 在 (0, 2] 上的最小值； ∵ g(x) = − x 在 (0, 2] 上随 x 增大而减小， ∴ 最小值在 x = 2 处取得，g(2) = 1 − 2 = −1， ∴ m ≤ −1． 【知识点】构造函数；不等式恒成立问题 三、出门测 1. 如图，反比例函数 y = 的图象与一次函数 y = x + 2 的图象交于 A(1, 3)、B(−3, −1) 两点． （1）根据图象，直接写出方程 = x + 2 的解； （2）直接写出不等式 x + 2 > 的解集； （3）直接写出不等式组 1 ≤ ≤ 3（x > 0）的解集． 【答案】（1）x₁ = 1，x₂ = −3；（2）−3 < x < 0 或 x > 1；（3）1 ≤ x ≤ 3． 【解析】（1） ∵ 方程 = x + 2 的解是两图象交点的横坐标， ∴ 由 A(1, 3)、B(−3, −1)， ∴ 解为 x₁ = 1，x₂ = −3． （2） ∵ x + 2 > 表示直线在双曲线上方， ∴ 由图象，x < 0 部分对应 −3 < x < 0，x > 0 部分对应 x > 1， ∴ 解集为 −3 < x < 0 或 x > 1． （3） ∵ 1 ≤ ≤ 3 且 x > 0，即双曲线上纵坐标介于 1 与 3 之间的部分， ∴ 由 y = 3 时 x = 1、y = 1 时 x = 3， ∴ 解集为 1 ≤ x ≤ 3． 【知识点】图象法解方程与不等式；数形结合 2. 一次函数 y = x + 1 的图象与反比例函数 y = 的图象交于 A(1, 2)、B(−2, −1) 两点． （1）根据图象，直接写出不等式 − x − 1 > 0 的解集； （2）直接写出不等式 ≤ x + 1 的解集； （3）若点 P(m, 0) 在 x 轴上，且 △PAB 的面积为 3，求 m 的值． 【答案】（1）x < −2 或 0 < x < 1；（2）−2 ≤ x < 0 或 x ≥ 1；（3）m = 1 或 m = −3． 【解析】（1） ∵ − x − 1 > 0 即 > x + 1，表示双曲线在直线上方， ∴ 由图象：x < 0 部分对应 x < −2，x > 0 部分对应 0 < x < 1， ∴ 解集为 x < −2 或 0 < x < 1． （2） ∵ ≤ x + 1 表示双曲线在直线下方或相交（含交点）， ∴ 它是 （1）中解集的补集（含边界交点）， ∴ 由图象：x < 0 部分对应 −2 ≤ x < 0；x > 0 部分对应 x ≥ 1， ∴ 解集为 −2 ≤ x < 0 或 x ≥ 1． （3） ∵ A(1, 2)、B(−2, −1)，直线 AB 为 y = x + 1，交 x 轴于 C(−1, 0)， ∴ S△PAB = ·|PC|·|yA − yB| = ·|PC|·3 = 3， ∴ |PC| = 2； ∵ C(−1, 0)， ∴ P(1, 0) 或 P(−3, 0)， ∴ m = 1 或 m = −3． 【知识点】图象法解不等式；图形面积的计算 学科网（北京）股份有限公司 $