专题14 旋转中的常考模型 专项训练讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题14 旋转中的常考模型 ▌专题目标 1. 掌握手拉手模型（共顶点旋转）的全等证明与结论应用。 2. 掌握半角模型的构造方法与结论。 3. 掌握对角互补模型中旋转构造全等的方法。 4. 掌握费马点模型中旋转60°求线段和最小的思路。 5. 掌握旋转中面积转化的常见技巧，提升模型识别与迁移能力。 ▌专题目录 题型01：手拉手模型（共顶点旋转） 题型02：半角模型 题型03：对角互补模型（旋转构造全等） 题型04：费马点模型（旋转60°求线段和最小） 题型05：旋转中的面积转化模型 ▌题型01：手拉手模型（共顶点旋转） 题型描述：题干中两个等边（等腰直角）三角形共顶点，连接对应顶点形成两个三角形，证明全等或求角、线段。核心得分点是用“等角加公共角”证SAS全等。 基础知识： 1. 共顶点的两个等边（等腰）三角形提供两组等边； 2. 夹角：等角加（减）同一公共角后相等； 3. 结论：对应边相等，且对应边所在直线的夹角等于旋转角； 4. 旋转角为60°时夹角为60°。 解题方法： 1. 找等边：确定两组相等边； 2. 证夹角：用公共角转化得夹角相等； 3. 判全等：SAS判定； 4. 用结论：得边等、角等及夹角结论。 解题思路： 口诀：边、角、全、用。手拉手固定三步：两组边已知、专证夹角、SAS收工；对应边夹角恒等于旋转角。 1．（26-27九年级上·内蒙古·单元测试）如图，为等边三角形内一点，连接． (1)作出绕点顺时针旋转所得的三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按旋转作图的要求将绕点顺时针旋转得，连接即可； （2）连接，证明是等边三角形，进而证明是直角三角形，即可求得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接． 由绕点顺时针旋转所得， ． ． ， 是等边三角形． ，． ， ， 是直角三角形，且． ． 2．（26-27九年级上·内蒙古·单元测试）如图，已知为正方形内一点，将绕点逆时针旋转后得到． (1)画出旋转后的 (2)若旋转方向为顺时针，请写出旋转中心和最小旋转角 (3)连接，若，求的度数和的长． 【答案】(1) (2)旋转中心为点，最小旋转角为 (3)， 【分析】（1）根据旋转的性质及要求作图即可； （2）由旋转的性质可求解； （3）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为正方形， ． 经过旋转后到达的位置， 旋转中心为点，最小旋转角为． （3）解：如图， 经旋转后得到， ， ， ， ． ， ． 由勾股定理得． 3．（26-27九年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，．点D在边上，连接，将绕点C逆时针旋转，得到，连接，． (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点D在上运动时，试探究的值是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：由旋转得，，， ，即， 又∵， ． (2) (3)存在，最小值为72 【分析】（1）由即可证明； （2）由全等的性质得到，求出，利用勾股定理求出； （3）证明，当时，最小，此时的值最小，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ，， ， ，， ， ； （3）解：∵，， ∴， 由（2）可知，． 当时，最小，此时的值最小， 为等腰直角三角形， ∴此时， ． ∴的最小值为72． 4．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）按要求解答下列问题： (1)如图①，在中，，，为上一动点，连接，若，则的最小值是_________． (2)如图②，在中，，，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，求证：． (3)如图③，在矩形中，连接，，，点为线段上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，取的中点记为，连接， 选做一：求的最小值． 选做二：当最小时，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)证明：由旋转得，， ∵，， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， 在中，， 在等腰中， ∴； (3)选做一：最小值为；选做二：当最小时，四边形的面积为 【分析】（1）根据垂线段最短及含度直角三角形的性质，即可求解； （2）利用等腰三角形的性质及旋转的性质证明即可求解，进而证出为直角，最后结合勾股定理和等腰直角三角形的斜边平方关系完成等式证明； （3）选做一：在线段上取点，且，连接，，取的中点，连接，先证明得，则，由三角形中位线定理得，则可确定点的运动路径，根据垂线段最短可求得的最小值；选做二：当取最小值时，利用全等三角形面积相等，将的面积转化为的面积计算；再结合等腰直角三角形的性质求出的面积，两部分面积相加即可得到四边形的面积． 【详解】（1）解：当时，最短， 此时在中，，， ∴， 即的最小值为； （2）略； （3）解：选做一： 如图，在线段上取点，使，连接，，取的中点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴，即， 在与△中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点、分别是线段、的中点， ∴， ∴， ∴点的运动路径是以为其中一个端点的线段，该线段在下方，与所夹的钝角为， 当时，取得最小值， 如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 则， ∴， ∵，， ∴， ∵当取得最小值时，， ∴点在线段上， ∵是的中点，，， ∴，， ∵， ∴由勾股定理得， 即最小值为； 选做二： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ▌题型02：半角模型 题型描述：题干给出正方形（等腰直角三角形）中一个等于顶角一半的角（如正方形中45°角），求证线段关系（如MN＝DN＋BM）。核心得分点是把半角一边的图形旋转90°，拼出全等。 基础知识： 1. 半角模型：顶角的一半所对的线段关系； 2. 构造：把含半角一侧的小三角形绕顶点旋转，使两等边重合； 3. 旋转后半角拼成整角，得全等三角形； 4. 经典结论：正方形中45°角两边被截线段之和等于第三段。 解题方法： 1. 识半角：确认顶角与其一半的关系； 2. 作旋转：把一侧三角形绕顶点旋转使边重合； 3. 证全等：两次全等（旋转全等＋拼接全等）； 4. 转结论：线段和差转化得结论。 解题思路： 口诀：半、旋、全、并。半角模型的标志动作：旋转90°（60°）把分散线段拼到同一直线上。 5．（26-27八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图所示，在中，，D，E是斜边上的两点，且，将绕点A顺时针方向旋转后得到，连接，，则下列结论：①；②；③；④点F与点D关于直线成轴对称．其中正确的结论是________（填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据旋转性质得出，，结合证明，从而判断②；利用证明，结合线段垂直平分线性质判断④；通过角度计算判断③． 【详解】解：将绕点A顺时针方向旋转后得到． ，． ． ，． ． 在和中， ． ． ，．故①正确； ∵在中，． ． ，故②正确； ，． ． ． 在和中， ， ． ，． ，． 直线垂直平分线段， 点F与点D关于直线成轴对称，故④正确； ． ． ∵， ． 若，即， ∴． ∵题目未给出的条件， ∴③不一定正确， 综上所述，正确的结论是①②④． 6．（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）如图1：在四边形中，，，，分别是上的点，且 (1)小王同学探究此问题的方法是：把绕点A逆时针旋转，得到，证明，可得出三者间关系是_______________； (2)【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，如果成立，请说明理由； (3)【学以致用】如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． 【答案】(1) (2)解：结论仍然成立． 理由如下：延长到点使，连接，如图所示： ， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据两个三角形全等的判定与性质，证明，推出，即可得到三者间的关系； （2）延长到点使，连接，如图所示，同（1）求解即可； （3）将绕着点顺时针旋转到，如图所示，由旋转性质和正方形性质得到点三点共线，均在直线上，再由三角形全等的判定与性质得出，最后数形结合表示出的周长，代入相关线段长度计算即可． 【详解】（1）解：把绕点A逆时针旋转，得到，如图所示： ， ∵， ， ∴点在同一直线上， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； （2）略 （3）解：将绕着点顺时针旋转到，如图所示： ，则，，， 在正方形中，，， 则， ，即点三点共线，均在直线上， ， ，则， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ． 7．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）综合与实践 【问题初探】 (1)如图1，在中，为边上的中线，我们将绕点旋转，得到，请作出； 【问题解决】 (2)如图2，P为等边三角形内一点，满足，试求的大小（提示：将绕点B顺时针方向旋转）； 【问题拓展】 (3)在正方形中，E，F分别为边上的点，且满足，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）延长，截取，连接即可； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转可知，证明是等边三角形得，在中，运用勾股定理逆定理可得，求出，结合旋转可求解； （3）将绕点顺时针旋转得到，由旋转可知，，，，推出，证明，求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的大小为； （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∵四边形是正方形，，，， ∴，， ∴点在的延长线上， ∴， ， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积为． 8．（25-26八年级下·广东东莞·期中）【阅读理解】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题． 【初步探究】 如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：． (1)根据以上信息，填空： ① _ ； ②线段、、之间满足的数量关系为 _ ； 【迁移探究】 (2)如图2，在正方形中，若点E在射线上，，猜想线段、、之间的数量关系； 【拓展探索】 (3)如图3，已知正方形的边长为，，连接分别交、于点、，若点M恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，，，求出，再由计算即可得出结果；②先证明点、、在同一直线上，再证明，得出，即可得出结果； （2）由正方形的性质可得，，将绕点A逆时针旋转，点与点重合，得到，由旋转的性质可得，，，再证明，得出，即可得出结果； （3）由正方形的性质可得，，，由勾股定理可得，求出，，将绕点逆时针旋转，点与点重合，得到，连接，，由旋转的性质可得，，，，证明，得出，求出，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵四边形为正方形， ∴，， ∵将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴点、、在同一直线上， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 如图：将绕点A逆时针旋转，点与点重合，得到， 由旋转的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵点M恰好为线段的三等分点， ∴， ∴， 如图，将绕点逆时针旋转，点与点重合，得到，连接，， 由旋转的性质可得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴, 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． ▌题型03：对角互补模型（旋转构造全等） 题型描述：题干给出对角互补的四边形（如∠A＋∠C＝180°）及一组邻边相等，求证线段关系或求面积。核心得分点是旋转一个三角形，利用互补角拼成平角。 基础知识： 1. 对角互补＋邻边相等是模型的识别标志； 2. 旋转后互补角拼成180°，三点共线； 3. 构造出全等三角形，分散条件集中； 4. 常见背景：正方形、等边三角形、角平分线。 解题方法： 1. 标志：找“对角互补＋邻边相等”； 2. 作旋转：绕等边公共点旋转一个三角形； 3. 证共线：用互补角证拼成平角； 4. 用全等：求线段或面积。 解题思路： 口诀：补、旋、线、全。互补角是“可拼平角”的信号；旋转后面积问题常化成一个等腰（等边）三角形。 9．（2026·广西南宁·二模）【定义】若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角．像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 【概念理解】 (1)如图1，四边形是正方形，点在边上，将绕点顺时针旋转，使和重合，此时，点的对应点在的延长线上，四边形是“直等补”四边形吗？请说明理由．（请将以下证明过程补充完整） 解：四边形是“直等补”四边形．理由如下： 四边形是正方形， ． 由旋转的性质，得____________，____________， ， ____________， 四边形是“直等补”四边形． 【性质初探】 (2)如图2，四边形是“直等补”四边形，，，连接．学习小组探究发现，通过将绕点顺时针旋转，可以求得的长．请完成探究过程： ①请用尺规作图，将绕点顺时针旋转，得到（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，，求出的长（用含，的式子表示）． 【拓展应用】 (3)如图3，某社区计划修建一处四边形形状的便民活动区，经设计发现该区域恰好为“直等补”四边形．满足，，对角线．若计划在区域铺设塑胶地面作为儿童活动场地，问：当取何值时，儿童活动场地的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；；180 (2)①所作图形如图所示： ； ② (3)当取4时，的面积最大，最大值是8 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）①以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，则问题可求解； ②由题意易得，由旋转的性质可知，然后可得，A，B三点共线，，进而问题可求解； （3）将绕点D顺时针旋转得到，由（2）可知，是等腰直角三角形，然后可得，设，，则，进而可得，最后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：四边形是“直等补”四边形．理由如下： 四边形是正方形， ． 由旋转的性质，得，， ， ， 四边形是“直等补”四边形． （2）解：①略； ②如图2，四边形是“直等补”四边形，，， ∴， ∴， 由旋转性质可知，， ∴， ∴， ∴，A，B三点共线， ∴，由勾股定理得， ∴， ∴（负值已经舍去）． （3）解：如图3，将绕点D顺时针旋转得到， ∴，由（2）可知，是等腰直角三角形． ∵， ， 设，，则， ∴． ∵， ∵， ∴当时，的面积有最大值8， 此时，，，，， ， ∴（负值已舍）． 故当取4时，的面积最大，最大值是8． 10．（25-26九年级上·陕西安康·期中）（1）如图1，是等边三角形，线段是内的线段，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接．若，求的度数． 【拓展提升】 （2）如图2，若是边长为2的等边三角形，D是边上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．在点D的运动过程中，求周长的最小值． 【拓展应用】 （3）某市在进行新能源设备升级时，新研发的发电机某零件示意图如图3所示，其中，主支架，辅助支架，支架夹角．工程师需要计算该零件四边形的材料用量，请你求出四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由旋转可知，进而得到，，再根据即可； （2）根据题意可证，得到，进而得到周长，结合是等边三角形可知当时，取得最小值，即可求解； （3）过点A作交于F，延长，使得，连接，可证，得到，，，进而可得，再由勾股定理计算可得米，即可得解． 【详解】（1）由旋转可知，， ，， ， 又， ， ； （2）由题知，， 为等边三角形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 则周长， 又当时，取得最小值，此时， 所以周长的最小值为； （3）过点A作交于F，延长，使得，连接，如图： ，， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， （米）， 在中，，， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴米， ∴四边形的面积即为（平方米）． 11．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得线段． (1)如图1，若连接．若， 求证：． (2)如图2，若连接，作的中线，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：绕点逆时针旋转得线段， ， ， ， ， ， ， ， ． (2) 解： 证明：如图2，延长到，使， 是的中线， ， ， ， ， ， ， 即： ， ， 即：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）由旋转的性质得到相应的角相等，相应的边相等，再根据全等三角形的判定和性质解答即可； （2）先倍长中线，得到三角形全等，再利用旋转的性质全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 12．（25-26八年级下·重庆·期末）在等边中，点D是射线上一点，点E是射线上一点，连接，直线与直线交于点F． (1)如图1，点D在边上，点E在延长线上，，，连接，求的长度； (2)如图2，点D在边上，点E在延长线上，，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，，求证：； (3)如图3，点D在延长线上，，连接，将绕点E顺时针旋转得到线段，连接，取的中点Q，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)证明：如图2，延长至点，使，连接， ∵，， ∴， 由旋转性质得， ∴，                         ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，即点C为的中点； 过D作交于P， 则，，， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴，即点F为的中点， ∴是的中位线， ∴，则， ∵， ∴； (3)或 【分析】（1）如图1，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质，结合三角形的外角性质求得，则，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （2）如图2，延长至点，使，连接，证明得到，进而可证是等边三角形，则可证，，C为的中点；过D作交于P，证明是等边三角形得到，进而证明得到点F为的中点，则是的中位线，利用三角形的中位线性质得到，即，进而可证明得结论； （3）分点E在线段上和点E在的延长线上，画出图形，结合等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等推导求解即可． 【详解】（1）解：如图1，∵是等边三角形，， ∴，，， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：当点E在线段上时，如图， ∵为等腰三角形， ∴， 取，连接，， ∵点Q为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， 由旋转性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，，又， ∴，又， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当点E在的延长线上时，如图，延长，使，连接，， ∵点Q为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 由旋转性质得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴，又为等腰三角形， ∴为等边三角形， 设，则，， ∴， 同（1）可得，， ∴，则，， ∴， ∴， ∴， 综上，的值为或． ▌题型04：费马点模型（旋转60°求线段和最小） 题型描述：题干求三角形内（或图形中）一点到三个顶点距离之和的最小值。核心得分点是绕一顶点旋转60°，把三条线段转化为一条折线。 基础知识： 1. 费马点：三角形内到三顶点距离之和最小的点（各角小于120°时，该点对三边张角均为120°）； 2. 旋转60°：把PA、PB、PC中的一条转化，使三线段首尾相接成折线； 3. 折线≥直线段，最小值为旋转后两端点间距离； 4. 该距离可用等边三角形性质与勾股计算。 解题方法： 1. 选旋转中心：绕一个顶点旋转60°； 2. 转线段：把一条距离转移到新位置； 3. 成折线：三条线段拼成一条折线； 4. 求直线：最小值＝折线两端点连线的长。 解题思路： 口诀：旋、转、折、直。三线段求和最小，旋转60°化“三星”为“一线”；取等条件是折线拉直（张角120°）。 13．（24-25九年级上·广东惠州·期末）【问题情景】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 【理解运用】 （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： 当的三个内角均小于时，如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，可知为_______（选“直角”或“等边”）三角形，故，又，故，由_______（选“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”）可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有_______（填写角度数）；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为_______（选“A”或“B”或“C”）点； 【深入探究】 （2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点为的“费马点”，求的值． 【答案】（1）等边；两点之间，线段最短；；A；（2）5 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，将三角形进行旋转是解题的关键： （1）根据等边三角形的判定和性质，以及两点之间线段最短，以及旋转的性质和全等三角形的性质，进行作答即可； （2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，进而得到当在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长，进行求解即可． 【详解】（1）解：①等边；②两点之间，线段最短；③；④A． 分析如下：， 为等边三角形； ， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ， ， 由旋转可知， ， ， ； ， ， ， 三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又已知当有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点． 该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间，线段最短；③；④A． （2）将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ， ， 又， ， 由旋转性质可知：， ， 最小值为5． 14．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称为“费马点”．如图1，点是内的一点，将绕点逆时针旋转到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． 【拓展应用】 (1)如图2，点是等边内的一点，连接，将绕点逆时针旋转得到． ①画出图形 ②当，，时，求的大小； (2)如图3，点是内的一点，且，，，求的最小值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据旋转的性质画出图形； ②先证，利用全等的性质求出对应的边长，通过勾股定理的逆定理得到，即可求出的大小； （2）将绕点顺时针旋转得到，先求出，然后证明为等边三角形，当、、、四点共线时，和最小，用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）①略 ②为等边三角形， ，， 又是等边三角形， ， ， 在与中， ， ， ∴ ∴， ， ， （2）如图，将绕点顺时针旋转得到， 则， 在中，， ， ， 又， ∴， 如图，过作⊥交的延长线于点， 则， ， ， ， ， 为等边三角形， 当B、P、、四点共线时，和最小， 在中，， ， ∴的最小值为． 15．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）请阅读下列材料，完成相应的任务： 在已知所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下： (1)如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接．当B，P，，四点在同一直线上时，点P是的“费马点”． 证明过程如下： 由旋转可知 则， ∵______， ∴为等边三角形， ∴______， ∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． (2)如图3，已知锐角，分别以，为边向外作正和正，连接，相交于P点，交于点M，交于点N．求的度数． （经过一定的证明我们可知所得点P也是的“费马点”．） (3)图4所示是学校教学楼前面的草坪，王校长准备在草坪地底下安装一个水管总接头P，然后从总接头P分别向顶点A，B，C布设三根滴灌水管，现测得，，，求滴灌水管总长度的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)滴灌水管总长度的最小值为米 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用． （1）将绕A点逆时针旋转得到，其中点P的对应点为，点C的对应点为，根据旋转的性质，旋转角，且对应边相等，即； （2）利用等边三角形的性质得出，，，进而得到，利用“”证明，设，利用三角形内角和定理得出结果； （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，当B，P，，四点共线时，的值最小，最小值为，过点作交延长线于点D，利用旋转构造出特殊三角形，通过勾股定理求出三个距离之和的最小值． 【详解】（1）证明：由旋转可知， 则，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． 故答案为：，． （2）解：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 则，， 由三角形内角和定理可得，， 即． （3）解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，当B，P，，四点共线时，的值最小，最小值为，过点作交延长线于点D， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即滴灌水管总长度的最小值为米． 16．（24-25八年级下·河南·阶段检测）阅读下面材料，并解决问题： (1)思维指引 如图①等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________； (2)知识迁移 如图②，中，，，、为上的点且，，求的长度； (3)方法推广 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）由全等三角形和旋转的性质可得为等边三角形，即得， ，进而由勾股定理的逆定理可得，进而可得，即可求解； （）把绕点逆时针旋转得到，可证，得到，再根据等腰直角三角形和旋转的性质可得，进而利用勾股定理求出的长即可求解； （）在内部任取一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，由旋转的性质可得，可知当四点共线时，取最小值，最小值为，过点作的垂线交延长线于点，分别求出和的长，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， 由旋转得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， 故答案为：； （2）解：如图②，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转得，，，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图③，在内部任取一点，连接， 将绕点顺时针旋转得到， 由旋转得，，，， ， ∴， ∴， ∴当四点共线时，取最小值，最小值为， 如图，过点作的垂线交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． ▌题型05：旋转中的面积转化模型 题型描述：题干给出旋转背景（如正方形内旋转的直角），求重叠部分或阴影面积。核心得分点是用旋转全等把阴影面积拼成定值。 基础知识： 1. 旋转前后图形面积相等； 2. 重叠面积经割补旋转后常等于原图形面积的几分之一（如正方形绕中心旋转，重叠面积恒为正方形面积的）； 3. 等积转化拼成规则图形。 解题方法： 1. 析结构：分析阴影（重叠）部分的构成； 2. 旋一块：把其中一块旋转到合适位置； 3. 拼定形：拼成面积确定的图形； 4. 算面积：写出定值或表达式。 解题思路： 口诀：构、旋、拼、定。旋转题中的面积多为“不变量”；正方形中心旋转模型记住“”结论。 17．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，正方形，对角线相交于点O，以O为顶点作与正方形同样大小的正方形，（），与交于点F，与交于点E，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积等于正方形面积的四分之一；④当时，．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③④ 【详解】：①∵四边形是正方形 ，，， ， ∵四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，故结论①正确； ②设与相交于点T，如图所示： ，， 是等腰直角三角形， ， ， ∴在中，， ， ， ， 在中，， ， ，故结论②正确； ③， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ④过点O作于点H，如图所示： 是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：， ，，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， ，即，故结论④正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④． 18．（25-26八年级下·广东深圳·期末）综合与实践 (1)【方法初探】如图1，在和中，，，，点在边上，连接．求证：，； (2)【类比应用】如图2，在中，，，将线段绕点逆时针旋转一个角度，得到线段，连接，过点作的垂线，分别交与射线于点，，连接． ①线段绕点旋转的过程中，的度数是否发生变化？如不变，请求出的度数；若发生变化，请说明理由； ②求证：； ③若，，请直接写出的面积． 【答案】(1)证明：， ， 即， ， ， ， ， ，， ， ， 即． (2)①不变，； ②证明：如图，过点作，交的延长线于点． ， ． ， 为中点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）得， ， 在中，， ． ③ 【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质可得，，根据角的和差关系得出，即可得出； （2）①根据旋转的性质，结合等边对等角得出，，根据角的和差关系即可求出，即可得出答案； ②过点作，交的延长线于点，可得垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，结合①中结论得出，，，同（1）可得，可得，利用勾股定理求出，即可得出； ③利用勾股定理求出，可得，根据，得出，即可求出的面积． 【详解】（1）证明：略 （2）①解：的度数不变，为， 由旋转可知，，， ． ， ， ， ， ． ②证明：略 ③由②知， 的面积， ， ， , ， ， ， ， 的面积． 19．（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）完成以下问题 (1)如图1，是等边三角形，将绕点逆时针旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点），连接交于点，连接交于点，交于点F，求的度数； (2)已知，将绕点顺时针旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点），连接． ①如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，求证； ②若，，直线交于点，，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)①证明：将绕点顺时针旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点）， ，为等腰直角三角形， ，，， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，， ， ， 在和中， ， ； ②的面积为或． 【分析】（1）根据旋转的性质可知、为等腰直角三角形，，然后利用三角形内角和即可求得； （2）①根据旋转的性质可知，，，然后利用角的和差求得，，从而证得，得证； ②分类讨论，点在左侧或者右侧，参考①中思路，线段绕点逆时针旋转得到线段，易证、、三点共线，，进而得出，利用直角三角形的性质和勾股定理求得和，最后根据面积公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点）， ，，，， 、为等腰直角三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）解：①略 ②当点在右侧时，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，如图， 则为等腰直角三角形， ， 同①可知，、均是等腰直角三角形， ，， ， ， 、、三点共线， ， ， 同①可证， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当点在左侧时，如图所示， 同理得、、三点共线，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 20．（25-26八年级下·重庆·期末）为边长为的等边三角形． (1)如图1，点E为边上一点，且，在右侧作等边三角形，连接，过D作的垂线交延长线于点O，求的长度． (2)如图2，点E为边上一动点，连接，G为中点，的垂直平分线与的角平分线交于点F，连接，，，，猜想线段，的数量关系，并证明． (3)如图3，点E为直线上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转至，连接，，当取得最小值时，过点A作，I为上一动点，M为的三等分点，且，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，，当取最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)猜想：， 证明：如图2，延长至H，使得，连接，，延长，交于点N， 为等边三角形， ，， 的垂直平分线与的角平分线交于点F， ，， ， ∵G为中点， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ，， ，即， 为等边三角形， ， ，， ， 在中，， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用等边三角形的性质得出，再证明，得到，，紧接着利用解直角三角形和勾股定理即可求出结果； （2）延长于H，使得，连接，，延长，交于点N，利用垂直平分线的性质，角平分线的性质得出，证明，，从而得出为等边三角形，最后利用解直角三角形和勾股定理即可证得结论； （3）先确定出点H的运动轨迹，再利用轴对称的性质确定出点H的位置，继续利用折叠的性质确定出点的运动轨迹，根据题意得出点的位置，利用矩形的判定与性质，等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理及三角形面积公式即可求得最终结果． 【详解】（1）解：、是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． （2）略 （3）解：∵点E为直线上一动点，将线段绕点A逆时针旋转至， 又∵是等边三角形， 如图，在中点处取点，将绕点A逆时针旋转得，在点C处取点，将绕点A逆时针旋转得， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点H的轨迹是与直线夹角为的直线， ∵， ∴， ∴直线与直线的夹角为， ∴是等边三角形， 过点C作关于直线的对称点，连接，与直线交点H，连接， ∴，当点B，H，三点共线时，有最小值， ∵，， ∴， ∴是等边的中垂线， ∵直线， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵将沿翻折至所在平面内，得到，点I是直线上的动点， ∴点的轨迹是以M为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴当点M，，H三点共线时，有最小值， 分别过点M作直线于点K，过点M作于点N， ∴, ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵点I是与直线的交点， ∴， ∵， ∴是等边三角形，即， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． ▌专题综合训练 一、选择题 1．（2026八年级上·江苏南京·专题练习）已知水厂A和工厂B、C恰好构成一个等边三角形，现要在A、B、C间铺设水管，由水厂A向工厂B、C供水，下列四种设计方案（实线为水管）中铺设路径最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算四个选项的铺设路径的长度，再比较即可． 【详解】解：C、如图，设等边三角形的边长为a， ∵，为等边三角形， ∴，，， A、铺设路线的长为． ∵， ∴C中铺设路线长度比A中铺设路线长度短； B、如图所示， ∵，与不重合， ∴， ∴铺设路线的长度大于； D、如图，把绕顺时针旋转得，连接，记的交点为， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴，， 同理：为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四点共线， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 结合C选项可得：， ∴． ∵， ∴D选项铺设路线的长度最短． 2．（2026·河北廊坊·二模）如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，连接，点，，恰好在同一直线上．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转的性质得到，则可得，再求出，据此可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，正方形边长为1，点M是对角线上一点，，连接，将绕点B顺时针旋转，得到的延长线与的延长线交于点E，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用旋转性质证明，得出及，通过角度计算证明为等腰三角形，从而． 【详解】解：连接， ∵正方形边长为， ∴，，，． ， ∴． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，． ∵，， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∵在延长线上， ∴． ∴． 在中，，， ∴． ∴． 在中，． ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． 4．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图1，在边长为4的正方形中，点，分别是正方形的边，上的点，且，若，求的长．利用旋转的方法，把绕点逆时针旋转，得到，参考图2，可得的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据旋转的性质，确定与全等，得到对应边、对应角相等，明确、的长度，以及与的等量关系．因为，，所以推导与的角度关系，判断和是否全等．设的长度为未知数，用含未知数的式子表示、的长度，结合正方形边长表示出、的长度，利用勾股定理在中建立方程求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， 由旋转性质得：，，． 因为正方形中，， 所以，即， 因此． 又为公共边， ， ． 设，则，即． 正方形边长为， ，． 是直角三角形，由勾股定理得： ， 即 ， 解得， ． 二、填空题 5．（25-26八年级上·江苏连云港·周测）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，，若，则一定等于_________． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度． 利用三角形逆时针旋转后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转至， ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴点三点共线， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段检测）如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，则______． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质与判定；根据题意，将绕点逆时针旋转后得到的，又根据旋转的性质，得出是等边三角形，可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：三角形中，，， ， 将绕点逆时针旋转后得到的， ，，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，是等边三角形，且，的面积，在上移动，连接AD，将线段AD绕点A顺时针方向旋转，得到线段AE，连接．则的周长最小值是______． 【答案】 【分析】证明，由全等三角形的性质得出，由旋转的性质得出，证明是等边三角形，则得出，当时，最小，即的周长有最小值，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长， ∵将线段绕点A顺时针旋转， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 当时，最小，即的周长有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的周长最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，垂线段的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．（25-26八年级下·河南平顶山·期末）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，点、、分别为、、的中点．则线段与的数量关系是_________．若把绕点在平面内自由旋转，如图2所示，当，时，则面积的最大值为_________． 【答案】 【分析】由题意可得，再结合三角形中位线等于第三边的一半求解即可；连接、，延长交于点，由勾股定理可得，，证明，进而得出，再结合三角形中位线定理，推出是等腰直角三角形，则，，当点、、三点共线时，为最大值，此时面积有最大值． 【详解】解：，， ，即， 点、、分别为、、的中点， 、分别为、的中位线， ，， ； 如图，连接、，延长交于点， ，，， ，，， 点、分别为、的中点， ，， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ，即， 点、、分别为、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 当点、、三点共线时，有最大值， 面积的最大值为． 三、解答题 9．（25-26九年级上·陕西安康·期中）【问题背景】 如图1，在和中，点E在边上，，，且，，把点E在边上时，的位置作为起始位置（此时点B和点D位于的左、右两侧），将绕点A顺时针方向旋转，设旋转角为α，连接，点P是线段的中点，连接，． (1)如图2，当时，点D恰好落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．为了引发同学的思考，数学刘老师给出了此题的部分解法作为提示： 解：与的数量关系和位置关系分别是：，，理由如下： 如图2，过点B作，交的延长线于点F，连接、， ， ∵点P是的中点，， 在和中，，，， ， ，， … 请你将上述过程补充完整； 【问题拓展】 (2)如图3，当时，若，，求的值． 【答案】(1)解：补充完整如下： ， ， ∵当时，，又， ∴， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∵， ； (2) 【分析】（1）作，交延长线于点，连接，根据证，再根据证，然后得出是等腰直角三角形即可得出结论； （2）作，交延长线于点，连接，过点作交延长线于，同（1）得出是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，根据得出的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：如下图，作，交延长线于点，连接，过点作交延长线于， ， ∵点P是的中点， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ∵当时，由旋转可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴与所成夹角的钝角为， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ， 又， ， ， ∴． 10．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点的对应点分别为点． [问题解决] (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点A逆时针旋转任意角度的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)四边形是正方形； 理由如下：将绕点按逆时针方向旋转，点，的对应点分别为点，，， ，，， 又延长交于点F， ， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； (3)． 【分析】（1）先求出的长度，再求出的长度，最后用减去得到的长． （2）根据旋转的性质得到相关边和角的关系，再结合已知条件进行判断． （3）找到点的运动轨迹，根据点与圆的位置关系来确定的最大值． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 将绕点按逆时针方向旋转度，点，的对应点分别为点，，且点落在上， ， ； （2）略 （3）解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图， 当点、、依次共线时，最大， 此时，， 即线段长度的最大值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题14旋转中的常考模型 专题目标 掌握手拉手模型（共顶点旋转）的全等证明与结论应用。 2. 掌握半角模型的构造方法与结论。 3 掌握对角互补模型中旋转构造全等的方法。 掌握费马点模型中旋转60°求线段和最小的思路。 掌握旋转中面积转化的常见技巧，提升模型识别与迁移能力。 专题目录 题型01：手拉手模型（共顶点旋转) 题型02：半角模型 题型03：对角互补模型（旋转构造全等） 题型04：费马点模型（旋转60°求线段和最小) 题型05：旋转中的面积转化模型 题型01：手拉手模型（共顶点旋转） 题型描述：题干中两个等边（等腰直角）三角形共顶点，连接对应顶点形成两个三角形， 证明全等或求角、线段。核心得分点是用“等角加公共角”证SAS全等。 1/21 基础知识： 共顶点的两个等边（等腰）三角形提供两组等边： 夹角：等角加（减）同一公共角后相等： 结论：对应边相等，且对应边所在直线的夹角等于旋转角： 旋转角为60°时夹角为60°。 解题方法： 找等边：确定两组相等边： 证夹角：用公共角转化得夹角相等： 判全等：SAS判定； 用结论：得边等、角等及夹角结论。 解题思路： 口诀：边、角、全、用。手拉手固定三步：两组边己知、专证夹角、SAS收工；对应边夹 角恒等于旋转角。 1,(26-27九年级上内蒙古单元测试)如图，P为等边三角形ABC内一点，连接PA,PB,PC B (1)作出△APC绕点A顺时针旋转60°所得的三角形： (②)若PA=6,PB=8,PC=10,求∠APB的度数. 2.(26-27九年级上·内蒙古单元测试)如图，已知P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B逆时针旋 2/21 转270 △CBQ 后得到 △CBQ (1)画出旋转后的 (②)若旋转方向为顺时针，请写出旋转中心和最小旋转角 (3)连接PO,若BP=3,求∠BP№的度数和QP的长. 3.(26-27九年级上广西南宁期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=12.点D在 AB边上，连接CD,将CD绕点C逆时针旋转9O°，得到CE,连接BE,DE. C (I)求证：△CAD≌△CBE: (2)若AD=4时，求DE的长； (3)点D在AB上运动时，试探究AD+BD的值是否存在最小值？如果存在，求出这个最小值；如果不 存在，请说明理由 4.(26-27九年级上陕西西安阶段检测)按要求解答下列问题： D 图① 图② 图③ (I)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，P为AC上一动点，连接BP,若BC=6,则 BP的最小值是 (2)如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,点D为AC上一点，连接BD,将线段BD绕点 3/21 顺时针旋转90°得线段BE,连接C B 90° CE DE DC2+CE2=2BD2 ,求证： (③)如图③，在矩形ABCD中，连接AC,∠ACB=30°，AC=16,点M为线段AC上一动点，连接 BM,将线段BM绕点B顺时针旋转9O°得线段BN,连接AN,MN,取AN的中点记为F,连接BF, 选做一：求BF的最小值. 选做二：当BF最小时，求四边形ABNM的面积. 题型02：半角模型 题型描述：题干给出正方形（等腰直角三角形）中一个等于顶角一半的角（如正方形中 45°角)，求证线段关系（如MN=DN十BM)。核心得分点是把半角一边的图形旋转 90°，拼出全等。 D 2 M 基础知识： 半角模型：顶角的一半所对的线段关系： 构造：把含半角一侧的小三角形绕顶点旋转，使两等边重合： 旋转后半角拼成整角，得全等三角形： 经典结论：正方形中45°角两边被截线段之和等于第三段。 解题方法： 识半角：确认顶角与其一半的关系； 作旋转：把一侧三角形绕顶点旋转使边重合： 证全等：两次全等（旋转全等十拼接全等）： 转结论：线段和差转化得结论。 解题思路： 口诀：半、旋、全、并。半角模型的标志动作：旋转90°(60)把分散线段拼到同一直线 上。 5.(26-27八年级上湖北武汉阶段检测)如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC,D,E是斜边BC上的两 4/21 点，且∠DAE=45°，将AD绕点A顺时针方向旋转90°后得到AF,连接BF,EF,则下列结论：① BF=DC;②∠ABF=45°：③∠FEB=∠FEA;④点F与点D关于直线AE成轴对称.其中正确的结 论是 （填写序号). 4 E 6.(26-27九年级上云南昆明阶段检测)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°， ∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60 G D A Bh E E 图1 图2 图3 (1)小王同学探究此问题的方法是：把△ABE绕点A逆时针旋转120°，得到△ADG,证明 △AEF≌△AGF,可得出BE、DF、EF三者间关系是 (2)【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=18O°，E、F分别是BC、CD 上的点。∠BF-B4D,上述结论是否仍然成立。如果成立，请明理由： (3)【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，求△DEF的周长. 7.(25-26八年级下·宁夏银川期中)综合与实践 A D B B B E 图1 图2 图3 【问题初探】 ()如图1，在△ABC中，BA=4,BC=6,BD为AC边上的中线，我们将△ABD绕点D旋转180°，得到 5/21 △CED,请作出△CED: 【问题解决】 (②)如图2，P为等边三角形内一点，满足 PB=1,PA=2,PC= ,试求∠BPA的大小（提示：将 △BPA绕点B顺时针方向旋转60°)： 【问题拓展】 (3)在正方形1BCD中，B,F分别为 C,CD 边上的点，且满足∠EAF=45°，AB=2,BE+DF=V5 求 △AEF的面积。 8.(25-26八年级下·广东东莞期中)【阅读理解】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过旋转或截长 补短，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题 【初步探究】 如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连接AE,AF,EF.若∠EAF=45°， 将△ADF绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABG.易证：△AEF≌△AEG」 D G B E 图1 图2 图3 ()根据以上信息，填空： ①∠EAG=-°： ②线段BE、EF、DF之间满足的数量关系为一； 【迁移探究】 (2)如图2，在正方形ABCD中，若点E在射线CB上，∠EAF=45°，猜想线段BE、EF、DF之间的 数量关系： 【拓展探索】 ABCD 3V2∠EAF=45 (3)如图3，已知正方形 的边长为 ,连接BD分别交1E、1F于 点从N 若点M恰好为线段BD的三等分点，且BM<DM,求线段MN的长， 6/21 题型03：对鱼互补模型（旋转构造全等） 题型描述：题干给出对角互补的四边形（如∠A十∠C=180°）及一组邻边相等，求证线段 关系或求面积。核心得分点是旋转一个三角形，利用互补角拼成平角。 基础知识： 对角互补十+邻边相等是模型的识别标志： 旋转后互补角拼成180°，三点共线； 构造出全等三角形，分散条件集中： 常见背景：正方形、等边三角形、角平分线。 解题方法： 标志：找“对角互补十邻边相等”； 作旋转：绕等边公共点旋转一个三角形： 证共线：用互补角证拼成平角： 用全等：求线段或面积。 解题思路： 口诀：补、旋、线、全。互补角是“可拼平角”的信号；旋转后面积问题常化成一个等腰 (等边)三角形。 9.(2026广西南宁·二模)【定义】若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角. 像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形. 7/21 【概念理解】 图1 图2 图3 (I)如图1，四边形ABCD是正方形，点E在边AB上，将△BCE绕点C顺时针旋转，使CB和CD重合， 此时，点E的对应点F在AD的延长线上，四边形AECF是“直等补”四边形吗？请说明理由.（请将 以下证明过程补充完整)》 解：四边形AECF是“直等补”四边形.理由如下： :四边形ABCD是正方形， .∠A=∠B=∠BCD=∠ADC=90° 由旋转的性质，得CF= =∠BCE, ∴.∠FCE=∠FCD+∠DCE=∠BCE+∠DCE=∠BCD=90° ∴.∠A+∠FCE= , ∴.四边形AECF是“直等补”四边形. 【性质初探】 (2)如图2，四边形ABCD是“直等补”四边形，AD=CD,∠ABC=90°，连接BD.学习小组探究发 现，通过将△BCD绕点D顺时针旋转9O°，可以求得BD的长.请完成探究过程： ①请用尺规作图，将△BCD绕点D顺时针旋转9O°，得到△BAD(保留作图痕迹，不写作法)； ②若AB=m,BC=n,求出BD的长（用含m,n的式子表示）· 【拓展应用】 (3)如图3，某社区计划修建一处四边形形状的便民活动区ABCD,经设计发现该区域恰好为“直等补” 四边形.满足1D=CD.乙ABC=90° 对角线BD=42.若计划在△MBC 域铺设塑胶地面作为儿 童活动场地，问：当CD取何值时，儿童活动场地的面积最大？最大面积是多少？ 10.(25-26九年级上：陕西安康期中)(1)如图1，△ABC是等边三角形，线段AD是△ABC内的线段， 连接CD,将△DAC绕点A顺时针旋转60°得到△EAB,连接DE.若∠ADC=130°，求∠BED的度数. 【拓展提升】 (2)如图2，若△ABC是边长为2的等边三角形，D是边BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋 8/21 转60°得到线段DE,连接CE,AE.在点D的运动过程中，求△DEC周长的最小值. 【拓展应用】 (3)某市在进行新能源设备升级时，新研发的发电机某零件示意图如图3所示，其中 AB=AD,∠B+∠D=180°，主支架BC=10m,辅助支架DC=4m,支架夹角∠BCD=60°.工程师 需要计算该零件四边形ABCD的材料用量，请你求出四边形ABCD的面积. 图1 图2 图3 11.(26-27九年级上湖北武汉：阶段检测)在△ABC中，AB=AC,点D在边BC上，连接AD,将AD绕 点A逆时针旋转(0°<a<180)得线段AE. B B E 图1 图2 (1)如图1，若连接CE.若∠BAC=a(0°<a<180), 求证：∠E+∠ADC=180° 2)如图2，若+∠BAC=180°连接BE,作△ABE的中线AF,用等式表示线段AF、BC、BD之间 的数量关系，并证明你的结论， 12.(25-26八年级下·重庆期末)在等边△ABC中，点D是射线CB上一点，点E是射线BA上一点，连接 DE,直线DE与直线AC交于点F. A B D D D 图1 图2 图3 9/21 (I)如图1，点D在CB边上，点E在BA延长线上，AE=AF,BC=4CD=2,连接CE,求CE的长 度： 2)如图2，点D在CB边上，点E在BA延长线上，AE=CD,将线段DE绕点E顺时针旋转得到线段 GE,连接BG,∠G+∠BDE=180°，求证：BG+BD=2CF: B)如图3，点D在CB延长线上，BD=BE,连接CE,将CE绕点E顺时针旋转120°得到线段PE, DF 连接P取AP的中点O,连接EQ,当△AEQ为等腰三角形时，请直接写出此时EP的值. 题型04：费马点模型（旋转60°求线段和晶小） 题型描述：题干求三角形内（或图形中）一点到三个顶点距离之和的最小值。核心得分点 是绕一顶点旋转60°，把三条线段转化为一条折线。 基础知识： 费马点：三角形内到三顶点距离之和最小的点（各角小于120°时，该点对三边张角均为 120°)； 旋转60°：把PA、PB、PC中的一条转化，使三线段首尾相接成折线： 折线≥直线段，最小值为旋转后两端点间距离： 该距离可用等边三角形性质与勾股计算。 解题方法： 选旋转中心绕一个顶点旋转60°： 转线段：把一条距离转移到新位置； 成折线：三条线段拼成一条折线： 求直线：最小值=折线两端点连线的长。 解题思路： 10/21 口诀：旋、转、折、直。三线段求和最小，旋转60°化“三星”为“一线”；取等条件是 折线拉直（张角120°）。 13.(24-25九年级上：广东惠州期末)【问题情景】1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问 题：给定不在同一条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意 大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该 问题也被称为“将军巡营”问题. 【理解运用】 (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： 当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△4PC,连接PP', 由PC=PC,∠PCP=60°，可知△PCP为（选“直角”或“等边”）三角形，故PP'=PC, 又PA=PA,故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B,由」 一（选“两点之间线段最短”或“三 角形两边之和大于第三边”)可知，当B,P,P,A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如 图2，最小值为A'B,此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= (填写角度数)：已知当△4BC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点. 如图3，若BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为（选“A"或“B或“C)点： 【深入探究】 (2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3,BC=4,∠ACB=30°，己知点P为 △ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值. A 图(1)》 图(2) 图(3) 图(4) 14.(26-27九年级上辽宁大连阶段检测)【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律 师皮耶德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小， 后来这点被称为“费马点”.如图1，点P是△ABC内的一点，将△APC绕点A逆时针旋转60°到 △AP'C,则可以构造出等边△APP',得AP=PP',CP=CP',所以PA+PB+PC的值转化为 PP'+PB+P'C B,P,P',C BC 的值，当 .P△ABC 四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为 的 “费马点”. 11/21 C 【拓展应用】 图1 图2 图3 (I)如图2，点P是等边△ABC内的一点，连接PA,PB,PC,将△PAC绕点A逆时针旋转60°得到 △AP'C ①画出图形 ②当PA=3,PB=4,PC=5时，求∠AP'C的大小： 包图3，点P是M8C内的一点，且B4C=0,B=6,4C=25.求PA+PB+PC的辰小省 15.(25-26八年级上浙江宁波期中)请阅读下列材料，完成相应的任务： 在已知△ABC所在平面内求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）·这个问题是 有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所 求的点被人们称为“费马点”，解决方法如下： 1)如图2，把△MC绕A点逆时针旋转60°得到 60° △APC (点P,c的对应点分别为点，G),连接 PP 当A,P,.C四点在同-一直线上时，点P是△MBC。 的“费马点”. 证明过程如下： △APC≌△APC 由旋转可知 PC=PC AP=AP 则 图1 ∠PAR= 4PP 为等边三角形， PA+PB+PC=PP+PB+PC 图2 12/21 当8,2，月，G四点在同-直线上 时，PA+PB+PC的值最小，即点P是 △ABC的“费马点”. (2)如图3，已知锐角△ABC,分别以AB,AC为边向外作正△ABE和正△ACD,连接CE,BD相交于 P点，CE交AB于点M,BD交AC于点N.求∠CPD的度数. (经过一定的证明我们可知所得点P也是△ABC的“费马点”.) 3)图4所示△ABC是学校教学楼前面的草坪，王校长准备在草坪地底下安装一个水管总接头P,然后 ∠A=75°AB=20W2mAC=40m 从总接头P分别向顶点A,B,C布设三根滴灌水管，现测得 求滴灌水管总长度的最小值 E ●P B 图3 图4 16.(24-25八年级下·河南阶段检测)阅读下面材料，并解决问题： 图① 图② 图③ (1)思维指引 如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点ABC的距离分别为8,15,17，求∠APB的度数.为了 解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP处，此时△ACP'≌△ABP,连接PP',这样就可以 利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB= (2)知识迁移 如图②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°，BE=3,CF=2, 求EF的长度： (3)方法推广 如图③，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=4,BC=6,点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC,直 13/21 PA+2PB+PC 接写出 的最小值。 题型05：旋转中的面积转化模型 题型描述：题干给出旋转背景（如正方形内旋转的直角），求重叠部分或阴影面积。核心 得分点是用旋转全等把阴影面积拼成定值。 基础知识： 旋转前后图形面积相等： 重叠面积经割补旋转后常等于原图形面积的几分之一（如正方形绕中心旋转，重叠面积恒 1 为正方形面积的4)： 等积转化拼成规则图形。 解题方法： 析结构：分析阴影（重叠）部分的构成： 旋一块：把其中一块旋转到合适位置； 拼定形：拼成面积确定的图形： 算面积：写出定值或表达式。 解题思路： 1 口诀：构、旋、拼、定。旋转题中的面积多为“不变量”；正方形中心旋转模型记住“4 ”结论。 17.(25-26八年级下·湖南衡阳期末)如图，正方形ABCD,对角线相交于点O,以O为顶点作与正方形 ABCD同样大小的正方形OMPN,∠DON=a(O°<a<90°)，ON与CD交于点F,OM与BC交于 点E,连接EF.给出下面四个结论：①FN=EM,②∠EFC=a;③四边形OECF的面积等于正方 形ABCD面积的四分之一：④当Qa≠45°时，OC<EF.上述结论中，所有正确结论的序号是 14/21 A D F 0 B E M 18.(25-26八年级下~广东深圳期末)综合与实践 图1 图2 (I)【方法初探】如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,，∠BAC=∠EAF=90°，点B在 边EF上，连接CF.求证：BE=CF,BE⊥CF: 2)【类比应用】如图2，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，将线段AC绕点A逆时针旋转一个角度 a(0°<a<180) 得到线段MP,连接BP,过点1作BP的垂线1D,分别交BP与射线PC于点D, PC F,连接BF. ①线段AC绕点A旋转的过程中，∠BPF的度数是否发生变化？如不变，请求出∠BPF的度数；若发 生变化，请说明理由： FB+FC=2FA ②求证： ③若4C=36.AF=45 请直接写出△BCF 的面积. 19.(25-26八年级下·辽宁丹东·期末)完成以下问题 15/21 A B G M E (图1) (图2) (I)如图1，△ABC是等边三角形，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE(点B的对应点为点D, 点C的对应点为点E)，,连接BD交AE于点M,连接CE交AB于点N,交BD于点F,求LBFC的度 数： (2)已知△ABC,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC(点A的对应点为点D,点B的对应点为 点E),连接AD ①如图2，将线段AB绕点A逆时针旋转9O°得到线段AF,连接EF交AD于点G,求证EG=FG; g若4C=0.4C-25.直线5交4D于干达P.P=15 请直接写出△DBP 的面积. 20.(25-26八年级下·重庆期末)△ABC为边长为4的等边三角形. A B B E 图1 图2 图3 (I)如图1，点E为BC边上一点，且CE=1,在AE右侧作等边三角形AED,连接DC,过D作BC的 垂线交BC延长线于点O,求DE的长度. 2)如图2，点B为BC边上一动点，连接AE,G为AE中点，BE的垂直平分线与∠ABC的角平分线 交于点F,连接EF,FC,FG,GC,猜想线段FG,GC的数量关系，并证明， 3)如图3，点E为直线BC上一动点，连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转120°至AH,连接BH, CH,当+GW取得最小位时，过点4作∥8C,1为上一动点，M为4C的=等分点且 AM-兮4C,连接M,将AAM沿M翻折至BC所在平面内，得到△M,连接H,B:当 16/21 A'M+A'H取最小值时，直接写出△A'HB的面积. 专题综合训练 一、选择题 1.(2026八年级上·江苏南京·专题练习)已知水厂A和工厂B、C恰好构成一个等边三角形，现要在A、 B、C间铺设水管，由水厂A向工厂B、C供水，下列四种设计方案（实线为水管）中铺设路径最短的 是() B 20以120° 2.(2026河北廊坊二模)如图，在△ABC中，∠ABC=120°.将△ABC绕点A逆时针旋转120°得到 △ADE,连接BE,点C,B,E恰好在同一直线上.若BE=6,则AB的长为() A3 B.4 D.35 3.(26-27九年级上河北张家口·阶段检测)如图，正方形ABCD边长为1，点M是对角线AC上一点， CM=BC BMBM 90° N,BN DC ，连接，将绕点B顺时针旋转，得到 的延长线与的延长线交于点 E,则CE长为() 17121 D M E A.2-√2 8人② 2√2-1 2 C.7 D.V2-1 4.(25-26八年级下·河南南阳·期末)如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点P,Q分别是正方形 ABCD BC CD ∠PAQ=45° 的边，上的点，且 :BP=1 DO ，若 ，求的长.利用旋转的方法，把△1B即 绕 点A逆时针旋转90°，得到△ADE,参考图2，可得D0的长为() --E A A 0 45 45 》 B C C P 图1 图2 2 A.2 B.5 C.5 D.√ 二、填空题 5.(25-26八年级上江苏连云港·周测)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，连接 AE,EF,AF,∠EAF=45°，若∠BAE=a,则∠FEC一定等于 B E 6.(24-25七年级下·上海杨浦阶段检测)如图，△ABC中，∠BAC=40°，∠ABC=90°，将△ABC绕点A 18/21 逆时针旋转60°得到△AB'C',则∠B'C'C=。 B B 7.(2425八年级上贵州铜仁期末)如图，△1BC是等边三角形，且4B=4,△MBC 45.D在 的面 BC上移动，连接AD,将线段AD绕点A顺时针方向旋转6O°，得到线段AE,连接DE,BE.则△BED 的周长最小值是 B D C 8.(25-26八年级下·河南平顶山期末)如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC,点D、E分别在 边AB、AC上，AD=AE,连接DE、DC,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点.则线段 PM与PW的数量关系是 .若把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图2所示，当AD=2, AB=5时，则△PMN面积的最大值为 D P B N 图1 图2 三、解答题 9.(25-26九年级上陕西安康期中)【问题背景】 19121 E B 图1 图2 图3 如图1，在△ABC和△ADE中，点E在AC边上，AC=BC,AE=DE,且AE<AC, ∠ACB=∠AED=90°，把点E在AC边上时，△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC 的左、右两侧)，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，设旋转角为α，连接BD,点P是线段BD的中点， 连接PC,PE (I)如图2，当a=90°时，点D恰好落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并说明理 由.为了引发同学的思考，数学刘老师给出了此题的部分解法作为提示： 解：PC与PE的数量关系和位置关系分别是：PC=PE,PC⊥PE,理由如下： 如图2，过点B作BF∥DE,交EP的延长线于点F,连接CE、CF, .∠BFP=∠DEP, 点P是BD的中点，PB=PD, 在△FBP和△EDP中，∠BFP-∠DEP,∠BPF=∠DPE,PB=PD, ∴.△FBP≌△EDP(AAS) PE=PF=EF .BF=DE' … 请你将上述过程补充完整： 【问题拓展】 (2)如图3，当a=150°时，若BC=3,DE=1,求PC2的值. 10.(26-27九年级上河南周口阶段检测)[问题情境]如图1，E为正方形ABCD内一点，AE=5, BE=12∠AEB=90°RIABE, a,0≤a≤180°B,E ，将 绕点“按逆时针方向旋转度( )，点的对应点 20121 分别为点B,E D C C B ⊙ E E E口 E'G B B A 图1 图2 图3 [问题解决] (I)如图2，在旋转的过程中，当点B落在AC上时，求此时CB的长； (2)若a=90°，如图3，得到△ADE(此时B与D重合)，延长BE交DE于点F,试判断四边形 AEFE的形状，并说明理由： 3)在Rt△ABE绕点A逆时针旋转任意角度的过程中，直接写出线段CE长度的最大值. 21/21