专题02 旋转中的最值模型之费马点模型（几何模型讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统构建旋转最值体系，将费马点模型与将军饮马、瓜豆原理等五大最值模型串联，梳理模型来源、旋转构造证明、判定条件等核心脉络，突出转化与化归思想及几何变换本质。 讲义亮点在于分层典例设计，如菱形中AM+BM+CM最小值问题，结合旋转60°构造等边三角形转化线段，培养空间观念与推理能力。A、B、C组练习覆盖基础到压轴，易错点总结助学生规避旋转方向等误区，教师可据此实施分层教学，提升学生几何综合解题能力。

专题02 旋转中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。费马点是旋转几何中专门处理三线段和最短的专属模型，承接手拉手旋转全等的思想，是几何变换思想的延伸。常以三角形、正方形、菱形、矩形为载体命题，难度中等偏上，是尖子生冲满分必备模型，一般多嵌套在几何综合压轴中。熟练掌握费马点后，能够完整构建初中几何最值体系：两线段和或差（将军饮马）、定距路径（遛马/造桥）、动点轨迹（瓜豆）、三线段和（费马点），五大最值模型全覆盖。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.费马点模型 2 模型2.加权费马点模型 9 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 26 C组（综合压轴题） 36 皮埃尔·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等． 费马点最早由法国数学家‌皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）‌ 在17世纪提出。他研究了一个经典问题：‌如何在三角形内找一点P，使PA + PB + PC的值最小？ 费马最初提出该问题时未给出完整证明，后由其他数学家完善并把该问题命名为费马点问题（模型）。费马点模型通过几何变换将分散线段转化为共线路径，是解决最值问题的核心思想之一，需熟练掌握旋转构造法及角度分析技巧。其本质是‌优化理论在几何中的体现‌，也是变分法的早期雏形。现代应用包括网络基站选址、物流中心优化等实际场景。‌ 1）旋转的基本性质：旋转前后对应线段长度相等，对应角相等 2）等边三角形判定与性质：三边相等，三个内角均为 60° 3）几何公理：两点之间，线段最短 4）勾股定理、特殊直角三角形（30°、45°、60°）边长计算 掌握费马点判定条件、旋转构造逻辑，熟记两类三角形费马点位置，套用固定旋转模板快速求解三条线段和最小值，区分开费马点与将军饮马、瓜豆原理的适用场景。 模型1. 费马点模型 【模型提炼与证明】 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。（费马点：三角形内的一点到三个顶点距离之和最小的点。） 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 法2（费马点的作法）：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1） 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·河南平顶山·期中）（1）如图1，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出________； （2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图2，中，，，，为上的点，且，判断，，之间的数量关系并证明； （3）如图3，在中，，，，点在内部，连接，，，并且，请直接写出的值（提示：可通过旋转变换，将三条线段、、转化到同一条直线上）． 【答案】（1）150°；（2），证明见解析；（3） 【详解】解：（1）由题意得， ∴ ，∠APB=， ， ， ∴，∴ ，∵ ， ∴△是直角三角形，且 ，∴∠APB= ． （2），理由如下：把绕点逆时针旋转得到，如图， 则，，，，， ∵，∴，∴，∴，∴ ， ∵，∴，∴，∴，即  ． （3）将△PAB绕点B顺时针旋转60°至 ，连接，如图， ∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2，∴BC=， ∵△PAB绕点B顺时针旋转60°至，∴ ， ∴，，，∴是等边三角形，∴ ，， ∵∠APC=∠CPB=∠BPA=120°，∴ ， ∴ 四点共线，∴，∴． 【典例2】（25-26·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 【答案】 【详解】以BM为边作等边△BMN，以BC为边作等边△BCE， 则BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°， ∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE． 当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°， ∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=， ∴AE=2AH=．故答案为． 【典例3】（2025·黑龙江大庆·一模）如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 【答案】C 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，， ∴，∴， ∴、、共线时最短，由于点E也为动点， ∴当时最短，而，∴，， ∵和均为等边三角形，∴，， ∴，，∴， ∴的最小值为 ．故选C． 【典例4】（2026·广东深圳·校考二模）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______． 【答案】 【详解】∵为正三角形，∴，∴ ∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∴． 在和中，∴（SAS）∴ 在中，又∵，∴为等边三角形，∴． ∵AM+BM+CM最小值为．∴EN+MN+CM的最小值为即CE=． 过点E作交CB的延长线于F，可得． 设正方形的边长为x，则BF=，． 在，∵，∴ 解得（负值舍去）．∴正方形的边长为．故答案为：． 【典例5】（2026·江苏·校考一模）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，公里，公里，现在要设立两个车站E，F，则的最小值为______公里． 【答案】15+10 【详解】解：如图1，将△AEB绕A顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC绕点D逆时针旋转60°得到△DF'M，连接CM、FF'， 由旋转得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH， ∴△AEG和△ABH是等边三角形，∴AE=EG， 同理得：△DFF'和△DCM是等边三角形，DF=FF'，FC=F'M， ∴当H、G、E、F、F'、M在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如图2， ∵AH=BH，DM=CM，∴HM是AB和CD的垂直平分线，∴HM⊥AB，HM⊥CD， ∵AB=10，∴△ABH的高为5， ∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+5+5=15+10， 则EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公里．故答案为：（15+10）． 【典例6】（2025·四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________． 【问题探究】（2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值； 【实际应用】（3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，作于， 在中，，将绕点逆时针旋转得到三角形， ，，， ，， ，，，， ，故答案为：； （2）如图，连接，将绕点C逆时针旋转得， ，，，∴是等边三角形，∴， ，当点、、、共线时，最小，最小值为的长， 连接，作于交延长线于E，，边长为， ，，， ，，， ，的最小值为； （3）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴，，∴都是等边三角形， ∴，∴， ∴当四点共线，且时，的值最小，即此时最小； 设此时交于G，在矩形中，，∴，∴，∴； ∵，∴四边形是矩形，∴，∴． 模型2.加权费马点模型 【模型提炼与证明】 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 【模型运用】 【典例1】（25-26·陕西西安·九年级校考阶段练习）问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．    问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，P为内部一点，连接、、，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，记与交于点，易知．由，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用：(1)如图3，在中，为内部一点，连接，则的最小值是________．(2)如图4，在中，为内部一点，连接，求的最小值． 【答案】(1)5(2) 【详解】（1）解：如图3中，       将绕点逆时针旋转得到，∴，， ∴是等边三角形，，在中，， ，，的最小值为5．故答案为5． （2）如图4中，将绕点逆时针旋转得到，∴，， ∴是等腰直角三角形，∴，作交的延长线于． 在中，，，， 在中，， ，的最小值为． 【典例2】（25-26八年级下·重庆·专题练习）如图，在中，，，为其内部一点，连接、、，其中，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．则． 由旋转的性质，得，．， 连接，当且仅当，，，四点共线时，取得最小值．过点作的延长线于点．，，， ，．，． ，．，， 即的最小值为．故答案为：． 【典例3】（25-26·江苏苏州·八年级期中）已知为等边三角形，边长为4，点D、E分别是、边上一点，连接、．． (1)如图1，若，求的长度；(2)如图2，点F为延长线上一点，连接、，、相交于点G，连接，已知，求证：；(3)如图3，点P是内部一动点，顺次连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：∵为等边三角形，边长为4，AE=2， ∴E为AC中点，∴EB⊥AC，即∠BEA=90°，由勾股定理得：． （2）证明：延长BF交AC延长线于H，∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， ∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD， 由三角形外角性质知，∠BGF=∠ABE+∠BAG=∠CAD+∠BAG=60°， ∵∠GBF=60°，∴△BGF为等边三角形，∴BF=GF=BG，∴BF+GE=BG+GE=BE， ∴∠ABG=60°－∠DBG，∠CBF=60°－∠DBG，∴∠ABG=∠CBF，∴△ABG≌△CBF， ∴∠BFC=∠AGB=120°，∴∠CFH=60°=∠GBF，∠GFC=60°，∴CF∥BE， ∴∠FCH=∠CEG，∠EGC=∠GCF，∵CE=CG，∴∠CEG=∠CGE， ∴∠GCF=∠FCH，∴△GCF≌△HCF，∴CG=CH=CE，GF=FH=BF， 即C是EH中点，F是BH中点，∴BE=2CF，故． （3）解：原式变形为，将三角形BPC绕B顺时针旋转60°得三角形BDE，延长BD至F，使DF=BD，延长BE至G，使EG=BE，连接PF，GF，如图所示， 由旋转性质知，△BPD为等边三角形，∴∠PDB=60°， ∵BD=DF=PD，∴∠PFB=30°，∴∠FBP=90°，∴PF=， 由辅助线知：DE为三角形BFG的中位线，∴FG=2DE=2PC， ∴=，故当A、P、F、G共线时，取最小值，最小值为， 过G作GH⊥AH于H，在直角三角形BGH中，BG=2BC=8，∠GBH=60°，∴BH=4，GH=， ∴AG=，∴=，即的最小值为． 【典例4】（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A．(2)(3) 【详解】（1）解：∵， ∴为等边三角形；∴，， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ∴，，∴，， 又∵，∴， ∴，∴； ∵，∴，，∴，， ∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A，故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④． （2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，    ∵，∴， 又∵∴， 由旋转性质可知：，∴，∴最小值为， （3）∵总的铺设成本 ∴当最小时，总的铺设成本最低， 将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知：，，，， ∴，∴， 当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，    过点作，垂足为，∵，，∴， ∴，∴， ∴，∴ 的最小值为 总的铺设成本（元）故答案为： 模型常见易错点 1）不判断内角大小，所有三角形一律强行旋转 60° 错误：遇到任意三角形都套用旋转构造，在钝角≥120° 的三角形中做无用功，计算繁琐且答案错误。 正解：第一步先观察三角形最大内角，≥120° 直接取钝角顶点，无需旋转。 2）旋转方向向内，导致线段无法共线拉直 错误：向三角形内部旋转 60°，折线段重叠，不能形成直线段，取不到最小值。 正解：固定规则 ——一律向三角形外侧旋转。 3）混淆费马点与将军饮马适用题型 将军饮马：两条线段和最小（两定一动）； 费马点：三条线段和最小（一定三线段共顶点），题型结构完全不同，盲目套用模型。 4）旋转后等量代换出错，无法把 PB 替换成 PP' 本质是不理解等边三角形的构造目的，只会机械背步骤，不会推导线段相等关系，大题书写过程扣分严重。 5）计算出最短线段后，不会利用勾股定理求值 旋转后得到的新三角形常为特殊直角三角形，学生不会拆解边长，最终只会构造，算不出最终数值。 解题方法总结 步骤 1）判定类型 观察三角形最大内角，若≥120°，费马点为钝角顶点，最小值 = 夹钝角的两边之和，直接作答。 步骤 2）标准型（三内角均＜120°） 选顶点：任选三角形一个顶点，确定旋转中心； 做旋转：将含两条线段的小三角形绕旋转中心向外旋转 60°； 构等边：证明旋转后产生的小三角形为等边三角形，完成(PB=PP')等量替换； 化直：将(PA+PB+PC)转化为首尾相连的折线段(PA+PP'+P'C')； 取最值：四点共线时最短，连接首尾两点得到最短线段； 计算：在新构造的三角形中，利用勾股定理/特殊三角形边长公式算出长度。 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：以为边作等边三角形，以为边作等边，连接，作，交的延长线于F，如图所示，∵和是等边三角形， ∴，，∴． 在和中，，∴，∴， ∴，∴当D、E、O、M四点共线时，即值最小， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴．∴， ∴的最小值是． 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，，点D在内连接、、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，． ∴，，， ∴是等边三角形∴∴ ∴当点B，D，F，E四点共线时，有最小值，即的长度 ∵∴∴． ∴的最小值为． 3.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，若三个村庄、、构成，其中，，．现选取一点打水井，使点到三个村庄、、铺设的输水管总长度最小，输水管总长度的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，∴，∴ ∴是等边三角形，∴，∴， ∴当四点共线时，取得最小值，最小值为的长， 如图，过点作交的延长线于点，∵，∴， ∵，，∴，∴， 又∵，∴，在中，， 即的最小值为：，故答案为：． 4.（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，中，，，为内一点，，则的最小值为 ．    【答案】5 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到△，连接，      由旋转的性质，得，，，， ，，为等边三角形，，， ，点，，共线， ，点，，共线，点，，，共线， 过点作于点，，， ，，， ，，延长交于点， ，， ，，，， ，，， ，， ，， 最小，的最小值为5．故答案为：5．    5．（25-26上·浙江台州·九年级校考期中）如图，在直角坐标系中，，，P为内任意一点，求的最小值 ． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接， 则：， ∴为等边三角形，∴， ∴，当四点共线时，的值最小，为的长， ∵，∴，过点作轴，则：， ∴，∴，∴，即点在轴上； 过点作轴于点，∵，∴，，∴， ∴，即：的最小值为．故答案为：． 6．（25-26八年级下·四川达州·期中）请阅读材料并填空：如图1，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数和等边三角形的边长． 李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图，连接． (1)根据李明同学的思路，进一步思考后可求得 °，等边的边长为 ． (2)请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形内有一点，且，，．求度数和正方形的边长．(3)【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是 ． 【答案】(1)150，(2)，正方形边长为(3) 【详解】（1）解：是等边三角形，，将绕点逆时针旋转得出，如图， ，，，， 又，是等边三角形，，． ，，，， ，则是直角三角形，； 过点B作，交的延长线于点M， ∴，，∴，∴， 由勾股定理得：，∴等边三角形的边长为．故答案为：150，； （2）解：如图，将绕点逆时针旋转，得，则． ，；连接，在中，，， ，；在中，，，， ，即；是直角三角形，即， ，． 过点作，交的延长线于点；则是等腰直角三角形，，，；在中，由勾股定理，得；，正方形边长为； （3）解：如图，将绕A顺时针旋转，得到，连接， ∵将绕A顺时针旋转，得到，∴，，，，，∴是等边三角形，∴， ∵，∴， 过点E作交的延长线于点F，∴，∴， ∴，∴，∵， ∴当点B，点P，点D，点E四点共线时，有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为，故答案为：． 7.（25-26九年级上·湖北襄阳·自主招生）（1）如图在内部有一点，是正三角形，连接、、，将线段绕顺时针反向旋转至，①求证：；②调整P点的位置，使最小，求此时和的大小.（2）如图在直角三角形中，，，在其内部任取一点，求的最小值.    【答案】（1）①证明见解析部分②，（2） 【详解】（1）①证明：，，是等边三角形，，， ，， ，，，，； ②解：，当，，，共线时，的值最小， 此时，，； （2）解：如图（2）中，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，过点作交的延长线于点．    ，，是等边三角形，，， ，当，，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长， ，，，，，， ，，，， ．的最小值为． 8.（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出___________．知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点，请同学们探索以下问题． (2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接AP、BP、CP，求的值． 【答案】(1)(2)答案见解析(3) 【详解】（1）解：如图2中，连接．点到顶点、、的距离分别为3、4、5， ，，，由旋转的性质得：， ，，，， ，即， 是等边三角形，，，是等边三角形，，， ，，△是直角三角形，， ，，故答案为：； （2）证明：在上取点，使．连接，再在上截取，连接． ，，为正三角形，，，． 为正三角形，，，， △，，， ，为的费马点．过的费马点； （3）解：将绕点顺时针旋转至△处，连接，如图4所示： 则，，，，，， 是等边三角形，，， 点为直角三角形的费马点，，， ，、、、四点共线， ，，，，， 在中，由勾股定理得：，，， 在△中，由勾股定理得：， ． 1.（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，内一动点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为2，的长为（   ）． A． B．4 C． D．8 【答案】A 【详解】解：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作， ，，为等边三角形，， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当、、、四点在同一直线上时，最小．， 把绕点逆时针旋转得到，， ，， ，，， 设，则，，， 中，，， ，，故选：A 2.（25-26·福建泉州·八年级校考期末）如图，是边长为2的正方形内一动点，为边上一动点，连接，则的最小值为（    ）    A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转得到，则是等边三角形，    作于H，交于G．则四边形是矩形， ∴，，，∴， ∴， ∵，∴，∴的最小值．选：D． 3.（辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则 ；若，P为的费马点，则 ． 【答案】 5 【详解】①如图,过作，垂足为,过分别作, 则, P为的费马点 5 ②如图：.；； ；；将绕点逆时针旋转60 由旋转可得：； 是等边三角形， P为的费马点；即四点共线时候， =；故答案为：①5，② 4．（25-26·福建泉州·八年级校考期中）下半学期的学习中，我们将接触到几何学上的明珠——勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 千百年来，人们对它的证明之若，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统．下面试举三例，一起领略其魅力．    (1)【验证】图是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理； (2)【应用】如图，和都是等边三角形，点在内部，连接．若，，，求的长； (3)【提升】如图，将等边沿翻折得到，连结交于点，点在上且，，点是内的一个动点，连结，求的最小值． 【答案】(1)见解析(2)(3)的最小值为5． 【详解】（1）解：∵，， ∴，∴，∴ （2）∵和都是等边三角形，∴，，， ∴，即，∴，∴ ∵，∴， ∴，∴， （3）如图，将绕着点顺时针旋转得到，连接，    由旋转知，∴，，， ∵，，∴是等边三角形，∴，∴ ∵当、、G、E四点共线时，的值最小，最小为，即的值最小值为， ∵在等边中，，，由翻折可知：，， ∴，∴，∴， ∴，∴的最小值为5． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期中）[问题发现]如图①，在OAB中，OB＝3，若将△OAB绕点O逆时针旋转120°得，连接．则＝　 　． [问题探究]如图②，已知是边长为4的等边三角形，以BC为边向外作等边，P为内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，P的对应点为Q，①求证：；②求的最小值；[实际应用]如图③，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD=800，点P是长方形内一动点，且，点Q为ADP内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时PQ的长度，若不存在，请说明理由 【答案】（1）；（2）①证明过程见解析；②12；（3）存在， 【详解】解：（1）由旋转可知，，，作， ∴是等腰三角形，∴，∴， ∴，∴；故答案是：； （2）①∵是等边三角形，∴，， 由旋转得，，∴， 在和中，，∴； ②连接PQ，∵，，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴， 由两点之间线段最短得，∴， ∴当点A、P、Q、D在同一条直线上时，取最小值，为AD的值，作， ∵是边长为4的等边三角形，∴，， ∴，∴，∴，， ∴，即取最小值为12． （3）存在一点P和一点Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值，理由如下： 如图3，过点P作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F， 将绕点A逆时针旋转得，连接，设交AD于点G， 由（2）知，当在同一直线上时，AQ+DQ+PQ有最小值，最小值为， 在矩形ABCD中，，∴， ∵，∴，∴四边形ADFE是矩形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵点P在EF上，∴当时，有最小值， ∵，∴，∵是等边三角形， ∴，∴， ∵，∴四边形AEPG是矩形，∴， ∴，∴AQ+DQ+PQ的最小值为， ∵是等边三角形，，∴， 在中，，∴， 解得：，∴． 6.（2026·陕西西安·校考二模）问题提出 (1)如图1，在等边内部有一点P，，，，则______． 问题解决(2)如图2，五边形ABCDE是某公园局部平面图，，，，，，．现需要在该五边形内部修建一条人工小溪，并建造一座观赏桥梁PQ和三条观光路AP，CQ，DQ，且，．已知观赏桥梁修建费用每米2a元和观光路修建费用每米a元．是否存在点P，使得修建桥梁和观光路总费用最低？若存在，请用含有a的代数式表示出总费用最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)150°；(2)最小的总费用为元 【详解】（1）解：如图3，将绕点B顺时针旋转60°得， 则，，为等边三角形，∴， ，∵，∴，∴，∴； （2）如图4，连接BE，BP，EP，修桥梁费用为100a，修观光路费用为． ∵，，∴四边形BCQP是平行四边形，四边形PQDE是平行四边形， ∴，，∴要使最小，则需最小． 将绕点B顺时针旋转60°得到，连接．∴是等边三角形， ∴，，∴， 当A，P，，四点共线时，最小，∴的最小值为， 如图5，延长，过点A作，垂足为点H， ∵，，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴，， 在中，由勾股定理，得， ∴最小的总费用为元． 7．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：；(2)如图1，当M点在何处时，的值最小．(3)如图2，在中，，，．若点是内一点，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析(2)当E，N，M，C在同一直线上时(3) 【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴, ∵，∴，∴，∵，∴； （2）连接,当M点位于与的交点处时，的值最小,连接， 由（1）得，∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴， 根据两点之间线段最短，当点在同一条直线上时，取最小值，最小值为． （3）以点为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，连接、，如图所示， 则，，，是等边三角形，，， ，当，，，四点共线时，最小，最小值就是的值， ，，，，，， ，． 8．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 【答案】（1）等边（2）（3）（4） 【详解】（1）解：等边，理由如下：将绕点顺时针旋转，得到 ，是等边三角形 （2）解：如图，将绕点逆时针方向旋转，得，连接，那么有， 是等边三角形， 在中， （3）解：如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到， 是等边三角形，，， ；，即 即 （4）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接、，如图所示： ，，，是等边三角形 ， 当、、、在一条直线上时，最小；当最小时， 1．（2025·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（    ） A． B．36 C． D． 【答案】A 【详解】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，如图所示， ∵取、中点，∴，∵等边三角形，∴， ∵等边三角形，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∴当三点共线时最小， ∵∴， ∵，∴，∴， ∴，∴的最小值为，故选：A． 2.（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：将绕点A顺时针旋转至；将绕点D逆时针旋转至， ∴，，，，∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴当六点共线时的值最小． 连接，∵，，∴是等边三角形， ∴，∴在的垂直平分线上， 同理可证，∴在的垂直平分线上， ∵四边形是正方形，∴，∴垂直平分， ∴，四边形是矩形，∴，， ∴，同理可求，∴， 即的值最小为．故答案为：． 3.（2025九年级下·广东·专题练习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 【答案】 【详解】解：如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接， ∴，， 在中，，，∴， 在中，点是的中点，∴，且， ∴，∴， 当点共线时，取得最小，最小为的值， 如图所示，过点作延长线于点，∵点是的中点，∴， ∵是等边三角形，绕点逆时针旋转得到， ∴，∴， ∴，，∴， 在中，， ∴的最小值为． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，平行四边形的顶点、在轴上，点在轴，，，．若实数、、满足． (1)求点，，，的坐标．(2)如图2，连接，将绕点顺时针旋转，旋转得，轴正半轴上是否存在一点，能使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图3，，为内一点，连接、、，直接写出的最小值为________． 【答案】(1)(2)存在，，理由见详解(3) 【详解】（1）解：，∴， ∴，∴，∴，， ∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴； （2）解：存在，点，理由如下，如图所示， 在中，，∴， ∵点在的正半轴上，∴当轴时，四边形是平行四边形，设与交于点， ∴，轴，∴， ∵，∴， ∴，∴； （3）解：，，， ∴，，， ∵，即，∴是直角三角形，， 如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，延长到，使得，延长到，使得，连接，∴，∴， ∵点分别是的中点，∴，即，∴， ∵，，∴是等边三角形，， ∴，， ∴，∴， ∴，∴，在中，， 当点在线段上时，的值最小， ∵，∴，且，，， ∵，∴，∴，即点三点共线， 在中，，，∴的最小值为，故答案为：． 5．（25-26八年级下·重庆·期中）在中，，E为平面内一点，连接． (1)如图1，若点E在线段上，，，，求线段的长； (2)如图2，若点E在内部，，，求证：； (3)如图3，若点E在内部，连接BE，，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)5(2)见解析(3) 【详解】（1）解：如图1，过作的延长线于，   图3 ∴，∴，设，则， 由勾股定理得，， 解得，，∴， 由勾股定理得，，即，解得，，∴的长为5； （2）证明：如图2，过作交的延长线于，在上截取，使， ∴，∴，由勾股定理得，， ∵，，，∴， ∴，，∴，∵，∴， ∵，， ∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴； （3）解：如图3，将绕着点顺时针旋转到，连接， ∴，，∴， 由勾股定理得，，∵， ∴，∴，∴， ∴当四点共线时，最小，即最小，为， 如图3，过作的延长线于，∵，，∴， ∴，，∴，∴， 由勾股定理得，，， 解得，，∴，由勾股定理得，， ∴的最小值为． 6.（2025·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景：如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决:如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用:如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 【答案】（1）等边；两点之间线段最短（2）5（3） 【详解】（1），，为等边三角形， 由几何公理：两点之间线段最短可得：， 当，，，在同一条直线上时，取最小值．故答案为：等边，两点之间线段最短． （2）如图4，将绕点顺时针旋转得到△，连接， 由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ，， 又，，根据旋转的性质可知：， ，即的最小值为5； （3）总铺设成本万元， 当最小时，总铺设成本最低， 将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作于，过点作于，如图：由旋转性质可知：，，，， 在中，，， 当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值，其最小值为的长度，，，，， ， ，的最小值为， 总铺设成本最小值为：（元． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02.旋转中的最值模型之费马点模型 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。费马点是旋转几何中专门处理三线段和最短的专属模型，承接手拉手旋转全等的思想，是几何变换思想的延伸。常以三角形、正方形、菱形、矩形为载体命题，难度中等偏上，是尖子生冲满分必备模型，一般多嵌套在几何综合压轴中。熟练掌握费马点后，能够完整构建初中几何最值体系：两线段和或差（将军饮马）、定距路径（遛马/造桥）、动点轨迹（瓜豆）、三线段和（费马点），五大最值模型全覆盖。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.费马点模型 2 模型2.加权费马点模型 9 易错点与方法总结 16 模型运用 17 A组（基础题） 17 B组（能力提升题） 26 C组（综合压轴题） 36 皮埃尔·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等． 费马点最早由法国数学家‌皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）‌ 在17世纪提出。他研究了一个经典问题：‌如何在三角形内找一点P，使PA + PB + PC的值最小？ 费马最初提出该问题时未给出完整证明，后由其他数学家完善并把该问题命名为费马点问题（模型）。费马点模型通过几何变换将分散线段转化为共线路径，是解决最值问题的核心思想之一，需熟练掌握旋转构造法及角度分析技巧。其本质是‌优化理论在几何中的体现‌，也是变分法的早期雏形。现代应用包括网络基站选址、物流中心优化等实际场景。‌ 1）旋转的基本性质：旋转前后对应线段长度相等，对应角相等 2）等边三角形判定与性质：三边相等，三个内角均为 60° 3）几何公理：两点之间，线段最短 4）勾股定理、特殊直角三角形（30°、45°、60°）边长计算 掌握费马点判定条件、旋转构造逻辑，熟记两类三角形费马点位置，套用固定旋转模板快速求解三条线段和最小值，区分开费马点与将军饮马、瓜豆原理的适用场景。 模型1. 费马点模型 【模型提炼与证明】 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。（费马点：三角形内的一点到三个顶点距离之和最小的点。） 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图2，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 法2（费马点的作法）：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1） 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·河南平顶山·期中）（1）如图1，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出________； （2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图2，中，，，，为上的点，且，判断，，之间的数量关系并证明； （3）如图3，在中，，，，点在内部，连接，，，并且，请直接写出的值（提示：可通过旋转变换，将三条线段、、转化到同一条直线上）． 【典例2】（25-26·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________． 【典例3】（2025·黑龙江大庆·一模）如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 【典例4】（2026·广东深圳·校考二模）如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______． 【典例5】（2026·江苏·校考一模）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，公里，公里，现在要设立两个车站E，F，则的最小值为______公里． 【典例6】（2025·四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在中，，若将绕点O逆时针旋转得，连接，则________． 【问题探究】（2）如图2，已知是边长为的等边三角形，以为边向外作等边，P为内一点，连接，将绕点C逆时针旋转，得，求的最小值； 【实际应用】（3）如图3，在长方形中，边，P是边上一动点，Q为内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得有最小值？若存在，请求出此时的长，若不存在，请说明理由． 模型2.加权费马点模型 【模型提炼与证明】 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 【模型运用】 【典例1】（25-26·陕西西安·九年级校考阶段练习）问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．    问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，P为内部一点，连接、、，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，记与交于点，易知．由，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用：(1)如图3，在中，为内部一点，连接，则的最小值是________．(2)如图4，在中，为内部一点，连接，求的最小值． 【典例2】（25-26八年级下·重庆·专题练习）如图，在中，，，为其内部一点，连接、、，其中，则的最小值为 ． 【典例3】（25-26·江苏苏州·八年级期中）已知为等边三角形，边长为4，点D、E分别是、边上一点，连接、．． (1)如图1，若，求的长度；(2)如图2，点F为延长线上一点，连接、，、相交于点G，连接，已知，求证：；(3)如图3，点P是内部一动点，顺次连接，请直接写出的最小值． 【典例4】（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 模型常见易错点 1）不判断内角大小，所有三角形一律强行旋转 60° 错误：遇到任意三角形都套用旋转构造，在钝角≥120° 的三角形中做无用功，计算繁琐且答案错误。 正解：第一步先观察三角形最大内角，≥120° 直接取钝角顶点，无需旋转。 2）旋转方向向内，导致线段无法共线拉直 错误：向三角形内部旋转 60°，折线段重叠，不能形成直线段，取不到最小值。 正解：固定规则 ——一律向三角形外侧旋转。 3）混淆费马点与将军饮马适用题型 将军饮马：两条线段和最小（两定一动）； 费马点：三条线段和最小（一定三线段共顶点），题型结构完全不同，盲目套用模型。 4）旋转后等量代换出错，无法把 PB 替换成 PP' 本质是不理解等边三角形的构造目的，只会机械背步骤，不会推导线段相等关系，大题书写过程扣分严重。 5）计算出最短线段后，不会利用勾股定理求值 旋转后得到的新三角形常为特殊直角三角形，学生不会拆解边长，最终只会构造，算不出最终数值。 解题方法总结 步骤 1）判定类型 观察三角形最大内角，若≥120°，费马点为钝角顶点，最小值 = 夹钝角的两边之和，直接作答。 步骤 2）标准型（三内角均＜120°） 选顶点：任选三角形一个顶点，确定旋转中心； 做旋转：将含两条线段的小三角形绕旋转中心向外旋转 60°； 构等边：证明旋转后产生的小三角形为等边三角形，完成(PB=PP')等量替换； 化直：将(PA+PB+PC)转化为首尾相连的折线段(PA+PP'+P'C')； 取最值：四点共线时最短，连接首尾两点得到最短线段； 计算：在新构造的三角形中，利用勾股定理/特殊三角形边长公式算出长度。 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是 ． 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，，点D在内连接、、，则的最小值为 ． 3.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，若三个村庄、、构成，其中，，．现选取一点打水井，使点到三个村庄、、铺设的输水管总长度最小，输水管总长度的最小值为 ． 4.（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，中，，，为内一点，，则的最小值为 ．    5．（25-26上·浙江台州·九年级校考期中）如图，在直角坐标系中，，，P为内任意一点，求的最小值 ． 6．（25-26八年级下·四川达州·期中）请阅读材料并填空：如图1，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数和等边三角形的边长． 李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图，连接． (1)根据李明同学的思路，进一步思考后可求得 °，等边的边长为 ． (2)请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形内有一点，且，，．求度数和正方形的边长．(3)【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是 ． 7.（25-26九年级上·湖北襄阳·自主招生）（1）如图在内部有一点，是正三角形，连接、、，将线段绕顺时针反向旋转至，①求证：；②调整P点的位置，使最小，求此时和的大小.（2）如图在直角三角形中，，，在其内部任取一点，求的最小值.    8.（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值． (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出___________．知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点，请同学们探索以下问题． (2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接AP、BP、CP，求的值． 1.（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，内一动点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为2，的长为（   ）． A． B．4 C． D．8 2.（25-26·福建泉州·八年级校考期末）如图，是边长为2的正方形内一动点，为边上一动点，连接，则的最小值为（    ）    A．4 B．3 C． D． 3.（辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若，P为的费马点，则 ；若，P为的费马点，则 ． 4．（25-26·福建泉州·八年级校考期中）下半学期的学习中，我们将接触到几何学上的明珠——勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 千百年来，人们对它的证明之若，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统．下面试举三例，一起领略其魅力．    (1)【验证】图是由两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用两种不同的方法表示这个图形的面积，通过计算证明勾股定理； (2)【应用】如图，和都是等边三角形，点在内部，连接．若，，，求的长； (3)【提升】如图，将等边沿翻折得到，连结交于点，点在上且，，点是内的一个动点，连结，求的最小值． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期中）[问题发现]如图①，在OAB中，OB＝3，若将△OAB绕点O逆时针旋转120°得，连接．则＝　 　． [问题探究]如图②，已知是边长为4的等边三角形，以BC为边向外作等边，P为内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，P的对应点为Q，①求证：；②求的最小值；[实际应用]如图③，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD=800，点P是长方形内一动点，且，点Q为ADP内的任意一点，是否存在一点P和一点Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时PQ的长度，若不存在，请说明理由 6.（2026·陕西西安·校考二模）问题提出 (1)如图1，在等边内部有一点P，，，，则______． 问题解决(2)如图2，五边形ABCDE是某公园局部平面图，，，，，，．现需要在该五边形内部修建一条人工小溪，并建造一座观赏桥梁PQ和三条观光路AP，CQ，DQ，且，．已知观赏桥梁修建费用每米2a元和观光路修建费用每米a元．是否存在点P，使得修建桥梁和观光路总费用最低？若存在，请用含有a的代数式表示出总费用最小值；若不存在，请说明理由． 7．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：；(2)如图1，当M点在何处时，的值最小．(3)如图2，在中，，，．若点是内一点，直接写出的最小值． 8．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）【操作发现】如图1，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是______三角形． （2）【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】如图3，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． （4）【拓展应用】如图4是，，三个村子位置的平面图，经测量，为内的一个动点，连接，，．求当的最小时的度数． 1．（2025·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（    ） A． B．36 C． D． 2.（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，设是边长为1的正方形内的两个点，则的最小值为 ． 3.（2025九年级下·广东·专题练习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，平行四边形的顶点、在轴上，点在轴，，，．若实数、、满足． (1)求点，，，的坐标．(2)如图2，连接，将绕点顺时针旋转，旋转得，轴正半轴上是否存在一点，能使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图3，，为内一点，连接、、，直接写出的最小值为________． 5．（25-26八年级下·重庆·期中）在中，，E为平面内一点，连接． (1)如图1，若点E在线段上，，，，求线段的长； (2)如图2，若点E在内部，，，求证：； (3)如图3，若点E在内部，连接BE，，，请直接写出的最小值． 6.（2025·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景：如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决:如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用:如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $