第29章 《圆》 三大考点.五大易错.与易错训练 2026～2027学年人教版数学九年级上册

2026—2027 学年 · 人教版九年级数学上册 第 29 章《圆》三大考点 · 五大易错 · 易错通关训练 〔教师版 · 含解析与答案〕 姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________ 日期：__________ 【使用说明】本讲按“三大考点精讲 → 五大易错剖析 → 易错通关训练”三级递进编排，先建知识、再辨陷阱、后练实战。例题、易错、训练均配标准几何图；凡分式一律以竖式分式（上下结构）书写。 一、三大考点精讲 考点一 圆的有关性质 知识要点 内容解读 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧。 圆心角·弧·弦关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等；弧、弦、圆心角“知一推二”。 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；同弧（或等弧）所对的圆周角相等；直径（半圆）所对的圆周角等于 90°。 常用计算模型 设半径 R、弦心距 d、弦长 a，则 R、d、a/2 构成直角三角形：R² = d² + (a/2)²，是垂径定理的核心计算式。 典例 1（垂径定理求半径） 如图，在⊙O 中，弦 AB＝8，圆心 O 到 AB 的距离 OD＝3，求⊙O 的半径。 图 1 垂径定理：直径 CD⊥弦 AB 于点 D 【思路点拨】由垂径定理得 AD＝½AB＝4，在 Rt△OAD 中用勾股定理求 OA。 【解析】 ∵ OD⊥AB 且 OD 过圆心 O，∴ AD＝AB＝×8＝4。 在 Rt△OAD 中，OA＝＝＝＝5。 【答案】⊙O 的半径为 5。 考点二 与圆有关的位置关系 位置关系 判定与性质 点与圆 设半径 R、点到圆心距离 d：d＜R ⇔ 点在圆内；d＝R ⇔ 点在圆上；d＞R ⇔ 点在圆外。 直线与圆 设圆心到直线距离 d：d＜R ⇔ 相交；d＝R ⇔ 相切；d＞R ⇔ 相离。“d＝R”是判定相切的重要依据。 切线判定 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（“外端”与“垂直”两个条件缺一不可）。 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径；切线长定理：从圆外一点引的两条切线长相等，圆心与该点连线平分两切线夹角。 两种证切线法 有公共点→“连半径，证垂直”；无公共点→“作垂直，证半径”（过圆心作垂线段，证其长＝R）。 典例 2（连半径证垂直判切线） 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，AC 平分∠DAB，AD⊥CD 于点 D。求证：CD 是⊙O 的切线。 图 2 切线判定：半径 OA⊥直线 l 于切点 A 【思路点拨】直线与圆有公共点 C，采用“连半径 OC，证 OC⊥CD”。 【证明】 连接 OC。∵ OA＝OC，∴ ∠OAC＝∠OCA。 ∵ AC 平分∠DAB，∴ ∠DAC＝∠OAC，∴ ∠DAC＝∠OCA，∴ OC∥AD。 ∵ AD⊥CD，∴ OC⊥CD。又 OC 是⊙O 的半径，∴ CD 是⊙O 的切线。 考点三 正多边形与圆 · 弧长和扇形面积 公式 / 结论 表达式与说明 弧长公式 l = ＝ lR，（n 为圆心角度数，R 为半径）。 扇形面积公式 S = ＝ lR（l 为弧长）。 圆锥的侧面展开图 是扇形：扇形半径＝母线 l，扇形弧长＝底面圆周长 2πr。侧面积 S侧＝πrl，全面积 S全＝πrl＋πr²。 圆锥展开图圆心角 n°＝（r 为底面半径，l 为母线长）。 公式速记： 弧长公式： l = 扇形面积： S = = l R（l 为弧长） 典例 3（圆锥的侧面积与全面积） 已知圆锥的底面半径 r＝3，母线 l＝5。求这个圆锥的侧面积和全面积，并求其侧面展开图（扇形）的圆心角度数。 图 3 圆锥及其侧面展开图：l＝母线，r＝底面半径，n°＝展开扇形圆心角 【思路点拨】S侧＝πrl，S全＝S侧＋πr²；由展开扇形弧长＝底面周长 2πr 求圆心角 n。 【解析】 S侧＝πrl＝π×3×5＝15π；S底＝πr²＝π×3²＝9π，故 S全＝15π＋9π＝24π。 设展开扇形圆心角为 n°，其弧长等于底面周长：＝2πr， 解得 n＝＝360×3÷5＝216。 【答案】侧面积 15π，全面积 24π，展开图圆心角 216°。 二、五大易错剖析 下面五个易错点是本章考试失分的“重灾区”。每题先给【错解】再给【正解】，请重点体会“差在哪一步”。 易错一 忽视分类讨论：一条弦所对的圆周角有两个 【易错警示】求“弦所对的圆周角”时，顶点可在弦所对的两条弧（优弧、劣弧）上，对应两个互补的角，漏解是高频错误。 典例 1 ⊙O 的一条弦 AB 所对的圆心角∠AOB＝100°，求弦 AB 所对的圆周角的度数。 图 4 同一条弦 AB 所对的圆周角有 ∠ACB 与 ∠AC′B 两个（互补） 【错解 ✗】圆周角＝∠AOB＝×100°＝50°。（只考虑了顶点在优弧上的情形） 【正解 ✓】 顶点 C 在优弧上：∠ACB＝∠AOB＝50°；顶点 C′ 在劣弧上，∠ACB＋∠AC′B＝180°，∴ ∠AC′B＝180°－50°＝130°。 【答案】50° 或 130°。 易错二 垂径定理使用条件不清 【易错警示】①“平分弦的直径垂直于弦”中被平分的弦必须不是直径；②定理中的“垂直”“平分弦”“平分弧”三者知其二，前提是这条线过圆心（是直径或过圆心的线）。 典例 2 下列说法正确的是（　） A．平分弦的直径一定垂直于这条弦 B．垂直于弦的直线一定平分这条弦 C．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 D．任意一条弦都能被它的垂线平分 【错解 ✗】选 A——忽略了“被平分的弦不能是直径”。 【正解 ✓】选 C。A 中若弦本身是直径，两条直径互相平分却不一定垂直；B、D 中“垂线”未限定过圆心，不一定平分弦。 易错三 切线判定条件不全 / 判定与性质混淆 【易错警示】判定切线必须“经过半径外端”且“垂直于半径”，二者缺一不可；切线“判定”由位置关系推垂直，“性质”由切线推垂直，方向相反，不要混用。 典例 3 判断：经过半径的直线是圆的切线。（　） 【错解 ✗】√——只看到“与半径有关”，漏掉“垂直”条件。 【正解 ✓】×。经过半径外端且垂直于这条半径的直线才是切线；仅“经过半径”而未必垂直的直线可能与圆相交。 易错四 弧长 / 扇形面积公式混用，圆锥展开半径张冠李戴 【易错警示】公式中 n 是圆心角的“度数”（不带°代入）；扇形（圆锥展开图）的半径是“母线 l”，而不是底面半径 r。 典例 4 已知扇形的半径为 6，圆心角为 60°，求这个扇形的弧长和面积。 【解析】 弧长 l ＝ ＝ 2π 面积 S ＝ ＝ 6π 【答案】弧长 2π，面积 6π。 易错五 圆周角定理的前提被忽略 【易错警示】“圆周角＝½圆心角”必须针对“同圆或等圆”的“同弧或等弧”；不同弧不能直接套用。反过来，看到 90° 的圆周角应立刻想到它所对的是直径。 典例 5 如图，点 A、B、C 在⊙O 上，若∠ACB＝35°，求圆心角∠AOB 的度数。 图 5 同弧 AB 所对的圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 【错解 ✗】把∠AOB 当作∠ACB 的补角或误乘，得 145° 等错误值。 【正解 ✓】∠ACB 与∠AOB 是同弧 AB 所对的圆周角与圆心角，∴ ∠AOB＝2∠ACB＝2×35°＝70°。 三、易错通关训练 （A 组·基础 1～7 题，B 组·提升 8～10 题；限时 30 分钟） （一）选择题 1．⊙O 的一条弦所对的圆心角为 80°，则这条弦所对的圆周角为（　） A．40° B．140° C．40° 或 140° D．80° 【答案 C】 弦所对圆周角有两解：×80°＝40° 与 180°－40°＝140°。 2．⊙O 的半径为 13，弦 AB＝24，则圆心 O 到 AB 的距离为（　） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案 B】 弦心距 d＝＝＝5。 3．能判定直线 l 是⊙O 的切线的条件是（　） A．l 与半径有公共点 B．l 垂直于某条半径 C．圆心 O 到 l 的距离等于半径 D．l 经过圆上一点 【答案 C】 圆心到直线的距离等于半径 ⇔ 直线与圆相切，是切线的充要判定；A、B、D 均缺一条件。 4．半径为 3，圆心角为 120° 的扇形的弧长是（　） A．π B．2π C．3π D．6π 【答案 B】 l＝＝2π。 （二）填空题 5．⊙O 中，弧 AB 所对的圆心角为 100°，则该弧所对的圆周角为 ______ 度。 【答案 50】 同弧所对圆周角＝圆心角＝×100°＝50°。 6．圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，则这个圆锥的侧面积为 ______（结果含 π）。 【答案 12π】 S侧＝πrl＝π×2×6＝12π。 7．PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 为切点，若 PA＝5，则 PB＝ ______ 。 【答案 5】 切线长定理：从圆外一点所引两条切线长相等，PB＝PA＝5。 （三）解答题 8．【拱桥问题】一座圆弧拱桥的桥拱是⊙O 的一部分，正常水位时水面宽 AB＝20 米，拱顶高出水面 CD＝4 米（CD⊥AB 于 D，且过拱顶）。求桥拱所在圆的半径。 【解析】设半径为 R 米。由垂径定理，CD 过圆心且平分 AB，∴ AD＝10，OD＝R－4。 在 Rt△OAD 中：R²＝(R－4)²＋10²，展开得 R²＝R²－8R＋16＋100，解得 R＝14.5。 【答案】半径为 14.5 米。 9．【切线的证明】如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点 C 作 CD⊥AD 于点 D，且 AC 平分∠DAB。求证：CD 是⊙O 的切线。 第 9 题图 【证明】连接 OC。∵ OA＝OC，∴ ∠OAC＝∠OCA；又 AC 平分∠DAB，∴ ∠DAC＝∠OAC＝∠OCA，∴ OC∥AD。∵ AD⊥CD，∴ OC⊥CD，又 OC 为半径，∴ CD 是⊙O 的切线。 10．【综合】⊙O 的半径为 6，弦 AB 所对的圆心角∠AOB＝60°。求：（1）弦 AB 的长；（2）劣弧 AB 的长；（3）劣弧 AB 与弦 AB 所围成弓形的面积（结果含 π）。 第 10 题图（示意） 【解析】 （1）OA＝OB＝6，∠AOB＝60°，∴ △OAB 是等边三角形，∴ AB＝6。 （2）劣弧 AB 长 l＝nπR÷180＝60π×6÷180＝2π。 （3）S扇形＝nπR²÷360＝60π×6²÷360＝6π；S△OAB＝÷4×6²＝9；S弓形＝S扇形－S△OAB＝6π－9。 【答案】（1）6；（2）2π；（3）6π－9。 2 2 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027 学年 · 人教版九年级数学上册 第 29 章《圆》三大考点 · 五大易错 · 易错通关训练 〔学生版 · 仅题目〕 姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________ 日期：__________ 【使用说明】本讲按“三大考点精讲 → 五大易错剖析 → 易错通关训练”三级递进编排，先建知识、再辨陷阱、后练实战。例题、易错、训练均配标准几何图；凡分式一律以竖式分式（上下结构）书写。 一、三大考点精讲 考点一 圆的有关性质 知识要点 内容解读 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧。 圆心角·弧·弦关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等；弧、弦、圆心角“知一推二”。 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；同弧（或等弧）所对的圆周角相等；直径（半圆）所对的圆周角等于 90°。 常用计算模型 设半径 R、弦心距 d、弦长 a，则 R、d、a/2 构成直角三角形：R² = d² + (a/2)²，是垂径定理的核心计算式。 典例 1（垂径定理求半径） 如图，在⊙O 中，弦 AB＝8，圆心 O 到 AB 的距离 OD＝3，求⊙O 的半径。 图 1 垂径定理：直径 CD⊥弦 AB 于点 D 【思路点拨】由垂径定理得 AD＝AB＝4，在 Rt△OAD 中用勾股定理求 OA。 考点二 与圆有关的位置关系 位置关系 判定与性质 点与圆 设半径 R、点到圆心距离 d：d＜R ⇔ 点在圆内；d＝R ⇔ 点在圆上；d＞R ⇔ 点在圆外。 直线与圆 设圆心到直线距离 d：d＜R ⇔ 相交；d＝R ⇔ 相切；d＞R ⇔ 相离。“d＝R”是判定相切的重要依据。 切线判定 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（“外端”与“垂直”两个条件缺一不可）。 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径；切线长定理：从圆外一点引的两条切线长相等，圆心与该点连线平分两切线夹角。 两种证切线法 有公共点→“连半径，证垂直”；无公共点→“作垂直，证半径”（过圆心作垂线段，证其长＝R）。 典例 2（连半径证垂直判切线） 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，AC 平分∠DAB，AD⊥CD 于点 D。求证：CD 是⊙O 的切线。 图 2 切线判定：半径 OA⊥直线 l 于切点 A 【思路点拨】直线与圆有公共点 C，采用“连半径 OC，证 OC⊥CD”。 考点三 正多边形与圆 · 弧长和扇形面积 公式 / 结论 表达式与说明 弧长公式 l = nπR/180（n 为圆心角度数，R 为半径）。 扇形面积公式 S = ＝ lR（l 为弧长）。 圆锥的侧面展开图 是扇形：扇形半径＝母线 l，扇形弧长＝底面圆周长 2πr。侧面积 S侧＝πrl，全面积 S全＝πrl＋πr²。 圆锥展开图圆心角 n°＝（r 为底面半径，l 为母线长）。 公式速记： 弧长公式： l = 扇形面积： S = = l R（l 为弧长） 典例 3（圆锥的侧面积与全面积） 已知圆锥的底面半径 r＝3，母线 l＝5。求这个圆锥的侧面积和全面积，并求其侧面展开图（扇形）的圆心角度数。 图 3 圆锥及其侧面展开图：l＝母线，r＝底面半径，n°＝展开扇形圆心角 【思路点拨】S侧＝πrl，S全＝S侧＋πr²；由展开扇形弧长＝底面周长 2πr 求圆心角 n。 二、五大易错剖析 下面五个易错点是本章考试失分的“重灾区”。每题先给【错解】再给【正解】，请重点体会“差在哪一步”。 易错一 忽视分类讨论：一条弦所对的圆周角有两个 【易错警示】求“弦所对的圆周角”时，顶点可在弦所对的两条弧（优弧、劣弧）上，对应两个互补的角，漏解是高频错误。 典例 1 ⊙O 的一条弦 AB 所对的圆心角∠AOB＝100°，求弦 AB 所对的圆周角的度数。 图 4 同一条弦 AB 所对的圆周角有 ∠ACB 与 ∠AC′B 两个（互补） 【我的解答】50° 或 130° 中的哪一个？是否还有另一种情况？（写在下方） 易错二 垂径定理使用条件不清 【易错警示】①“平分弦的直径垂直于弦”中被平分的弦必须不是直径；②定理中的“垂直”“平分弦”“平分弧”三者知其二，前提是这条线过圆心（是直径或过圆心的线）。 典例 2 下列说法正确的是（　） A．平分弦的直径一定垂直于这条弦 B．垂直于弦的直线一定平分这条弦 C．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 D．任意一条弦都能被它的垂线平分 【我的解答】（写出选项并说明理由） 易错三 切线判定条件不全 / 判定与性质混淆 【易错警示】判定切线必须“经过半径外端”且“垂直于半径”，二者缺一不可；切线“判定”由位置关系推垂直，“性质”由切线推垂直，方向相反，不要混用。 典例 3 判断：经过半径的直线是圆的切线。（　） 【我的解答】（判断正误并改正） 易错四 弧长 / 扇形面积公式混用，圆锥展开半径张冠李戴 【易错警示】公式中 n 是圆心角的“度数”（不带°代入）；扇形（圆锥展开图）的半径是“母线 l”，而不是底面半径 r。 典例 4 已知扇形的半径为 6，圆心角为 60°，求这个扇形的弧长和面积。 【我的解答】（注意 n＝60 直接代入公式） 易错五 圆周角定理的前提被忽略 【易错警示】“圆周角＝½圆心角”必须针对“同圆或等圆”的“同弧或等弧”；不同弧不能直接套用。反过来，看到 90° 的圆周角应立刻想到它所对的是直径。 典例 5 如图，点 A、B、C 在⊙O 上，若∠ACB＝35°，求圆心角∠AOB 的度数。 图 5 同弧 AB 所对的圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 【我的解答】（先判断∠ACB 与∠AOB 是否同弧所对） 三、易错通关训练 （A 组·基础 1～7 题，B 组·提升 8～10 题；限时 30 分钟） （一）选择题 1．⊙O 的一条弦所对的圆心角为 80°，则这条弦所对的圆周角为（　） A．40° B．140° C．40° 或 140° D．80° 2．⊙O 的半径为 13，弦 AB＝24，则圆心 O 到 AB 的距离为（　） A．3 B．5 C．6 D．8 3．能判定直线 l 是⊙O 的切线的条件是（　） A．l 与半径有公共点 B．l 垂直于某条半径 C．圆心 O 到 l 的距离等于半径 D．l 经过圆上一点 4．半径为 3，圆心角为 120° 的扇形的弧长是（　） A．π B．2π C．3π D．6π （二）填空题 5．⊙O 中，弧 AB 所对的圆心角为 100°，则该弧所对的圆周角为 ______ 度。 6．圆锥的底面半径为 2，母线长为 6，则这个圆锥的侧面积为 ______（结果含 π）。 7．PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 为切点，若 PA＝5，则 PB＝ ______ 。 （三）解答题 8．【拱桥问题】一座圆弧拱桥的桥拱是⊙O 的一部分，正常水位时水面宽 AB＝20 米，拱顶高出水面 CD＝4 米（CD⊥AB 于 D，且过拱顶）。求桥拱所在圆的半径。 9．【切线的证明】如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点 C 作 CD⊥AD 于点 D，且 AC 平分∠DAB。求证：CD 是⊙O 的切线。 第 9 题图 10．【综合】⊙O 的半径为 6，弦 AB 所对的圆心角∠AOB＝60°。求：（1）弦 AB 的长；（2）劣弧 AB 的长；（3）劣弧 AB 与弦 AB 所围成弓形的面积（结果含 π）。 第 10 题图（示意） 2 2 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $