专题07 二次函数与几何图形的综合应用 专项训练讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题07二次函数与几何图形的综合应用 专题目标 掌握用坐标表示几何图形元素（点、线段、角）的方法。 2. 会处理二次函数与三角形、四边形的综合问题。 3. 会用对称转化解决抛物线背景下的线段和差最值问题。 会用等角转化处理二次函数中的角度问题。 会处理二次函数与平移、对称等图形变换的综合问题，体会数形结合思想。 专题目录 题型01：二次函数与三角形的综合 题型02：二次函数与四边形的综合 题型03：二次函数与线段和差最值（将军饮马型) 题型04：二次函数与角度问题（等角转化） 题型05：二次函数与图形变换（平移、对称）综合 题型01：二次函数与三角形的综金 题型描述：题干给出抛物线与坐标轴（直线）的交点构成三角形，求面积、周长或形状判 断。核心得分点是求交点坐标并把几何量坐标化。 基础知识： 1/18 抛物线与x轴、y轴交点的求法： 三角形面积用水平底×竖直高计算： 判断三角形形状：算三边（平方）比关系： 点的坐标与线段长互化。 解题方法： 求交点：令x=0、y=0求各交点： 表边长：用坐标表示各边（平方）； 算几何量：求面积、周长： 判形状：比较边长关系判断形状。 解题思路： 口诀：交、边、量、形。坐标系中算三角形，先求全所有顶点；边长平方代替边长可避开 根号。 1.(24-25九年级上·甘肃酒泉·期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于 A(-1,0) B(4,0),C(0,4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点. (1)求这个二次函数的解析式： (2)是否存在点P,使△POC是以OC为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理 由： (3)动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标. 2.(26-27九年级上·陕西安康·阶段检测)如图，抛物 y=-t+x+C(b、c为常数).与x轴交于 41,0、B(3,0)两点，与y轴交于点C,连接4C、BC. 2/18 B 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图I,点D是抛物线上第一象限内的动点，连接CD、BD,求△BCD面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以A、C、P为顶点的△ACP是以AC为腰的等腰三角形？ 若存在，求出所有符合条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由 3.(25-26九年级上山东东苦期中)如图，已知抛物线y=m+x+5与箱交于4(-，0，B(5,0)两点 (点A在点B的左侧)，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式： (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C,B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F,交直线 BC于点E,连接BD,直线BC能否把△BDF分成面积之比为l:2的两部分？若能，请求出点D的坐标； 若不能，请说明理由。 (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标. 4.(2526九年级上甘肃张掖阶段检测)如图，抛物线”=-+x+c与轴交于点1(-1,0)和点8，与y C(0,3) 轴交于 3/18 备用图 (1)求抛物线的解析式及顶点坐标： (2)当-3<x<4时，直接写出y的取值范围： (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PAC的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存 在，请说明理由； (④)设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，直接写出点M的坐标. 题型02：二次函数与四边形的综金 题型描述：题干在抛物线背景下给出（或探求）平行四边形、矩形等特殊四边形。核心得 分点是用对角线中点关系或边、角条件列方程。 基础知识： 平行四边形：对角线中点重合： 矩形：平行四边形十对角线相等（或一个直角）； 菱形：邻边相等： 坐标中点公式与距离公式是基本工具。 解题方法： 设动点：用参数表示抛物线上的动点： 译条件：把四边形的性质翻译成坐标等式： 解方程：求动点坐标： 验形状：检验邻边不重合、不退化。 解题思路： 口诀：点、性、程、验。先定“什么样的四边形”，再选对应性质列方程；平行四边形优 先用中点公式。 5.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)如图，关于x的二次函数 =x2+2mx+m2+2 的图象为抛物线 4/18 C,直线y=a与抛物线C交于A,B两点，过抛物线C的顶点作x轴的平行线'，过A,B分别作I的 垂线，垂足为M,N.若四边形ABNM为正方形，则a= B y=a M 6(25-26九年级上湖北襄阳阶段检测)如图，抛物线”=r+(4a-)x-4与*销交于点4、B,与》轴 交于点C,且OC=2OB,点D为线段OB上一动点（不与点B重合），过点D作矩形DEFH,点 H、F在抛物线上，点E在x轴上 珠 E D ○ (1)求a的值； (2)当矩形DEFH的周长最大时，求矩形DEFH的面积； (3)在(2)的条件下，矩形DEFH不动，将抛物线沿着x轴向左平移m个单位，抛物线与矩形DEFH 的边交于点M、N,连接M、N.若MN恰好平分矩形DEFH的面积，求m的值. 7.（2627九年级上广东惠州阶段检测》如图，抛物线'=+c-3与辅交于(-1,0)，B(3,0 两点， (2,n) 过点A的直线I交抛物线于点 5/18 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,求线段PE的长最大时点P的 坐标： (3)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D,使得以点A,C,D,F为顶点的四边形是平行四 边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标：如果不存在，请说明理由. 3(26-27九年级上广东东莞阶段检测)抛物线；+x+c与x轴交于4，C2,0两点，与y轴交 点B(0,6).动点D在线段OB上（点D与点O不重合）. VA 图1 图2 图3 ①)求抛物线y=r+x+C的表达式， (2)连接CD,在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN, ①如图1，当BD=4时，求正方形CDMN的面积； ②如图2，当点M落在抛物线上时，求点M的坐标： (③)如图3，在动点D的正上方有月一动点B0,小，且D= 4,当点D从点B开始运动时，点E以相 同的速度同时出发，两点都沿y轴的正方向匀速运动，点D停止运动时点E同时停止运动.连接AE, CD,求AE+CD的最小值和此时P的值. 【题型03：二次函数与线段和差最值（将军饮马型） 题型描述：题干在抛物线（或对称轴）上找一点，使它到两定点距离之和最小（差最 大)。核心得分点是用抛物线的对称性或作对称点转化。 基础知识： 抛物线对称轴上的点到两对称点距离相等： 6/18 和最小：作对称点，连线与对称轴（抛物线）的交点即所求： 差最大：三点共线时取得： 最小值等于对称点与另一定点的距离。 解题方法： 定轴定点：确定动点所在直线（对称轴）与两定点： 作对称：作一定点关于该直线的对称点： 连求交：连线求交点即动点位置： 算最值：求最小（大）值。 解题思路： 口诀：轴、称、交、值。抛物线自带对称性，常把抛物线上的点转移到对称轴上处理；和 最小做对称，差最大求共线。 9,(26-27九年级上天津和平阶段检测)如图，二次函数》=+4r+ 的图象顶点为M,与》轴相交 于点C,且经过点 (3,-4) VA (1)求a的值. ②连接MC,M1,4C.求ac」 (3)若点P是x轴上一点，当CP+MP最小时，点P的坐标为_ 10.(26-27九年级上甘肃平凉阶段检测)如图1，抛物线y=r-2x+C与*轴交于点 (-3,0)和B,与 '轴交于点C0列 7/18 D B B 0 0 图1 备用图 (1)求该抛物线的解析式： (②)点P是抛物线对称轴I上的一个动点，当PB+PC的值最小时，求此时点P的坐标： 3)若点D是抛物线的顶点，求△ACD的面积， 1,(26,27九年级上安微合肥阶段检测)如图，揽物线=+饭-4经过1(-2,0)，B4,0)两点，与y 轴交于点C,P为第四象限内抛物线上一点. ò (1)求抛物线的函数表达式： (2)点2为该抛物线对称轴上一动点，求QA+QC的最小值，并求出此时点的坐标： 3)设四边形PBOC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标： 12.（26-27九年级上河南周口阶段检测)如图，抛物线”=r+m与直线=-x+b相交于点4(2,0)和 点B 8/18 (I)求m和b的值： 2)点P是抛物线对称轴上一动点，连接BP,OP,求OP+BP最小时点P的坐标； (3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N,若线段MN与抛物线只有 一个公共点，请你画图观察，直接写出点M的横坐标“的取值范围. 题型04：二次函数与鱼度问题（等角转化） 题型描述：题干给出抛物线上的点与角的条件（等角、倍角、特殊角），求点坐标或解析 式。核心得分点是把角条件转化为全等、等腰或边的比例关系。 基础知识： 等角常通过对称、全等转化： 45°角构造等腰直角三角形； 角平分线条件转化为距离相等； 坐标系中角问题先“边化”再“坐标化”。 解题方法： 析角：把角的条件分析成边的关系： 作辅助：作垂线、对称点或等腰直角三角形： 建方程：用坐标表示等量关系： 解验答：求解并检验点在抛物线上。 解题思路： 口诀：角、边、程、验。抛物线中的角问题极少用量角，全靠转化；45配等腰直角是固定 套路。 13.(2627九年级上天津阶段检测)如图，在平面直角坐标系0中，抛物线"=r+r+0与”轴交于 xOy A、B两点，与'轴交于点C,对称轴为直线x=2,点4的坐标为L,0) 9/18 备用图1 备用图2 (1)该抛物线的表达式为， (2)点P为抛物线上一点（不与点A重合），连接PC.当∠PCB=∠ACB时，求点P的坐标： 3)在(2)的条件下，点M,N是x轴上的两个动点，点M在点N左侧且MN=1,当四边形CMNP 周长取得最小值时，求点N的坐标， y=-x+bx+c 14.(26-27九年级上·重庆阶段检测)如图1，二次函数 与x轴相交于A,B两点，与y轴 相交于点C.已知1(-l,0) 抛物线的对称轴为直线x=1」 图1 图2 备用图 (1)求二次函数的解析式： (2)如图2，连接BC,点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PE‖y轴交BC于点E,求PE的最 大值以及点P的坐标： 3)将抛物线向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度得新抛物线y,点M是平移后新抛物线上 一点，若∠MAB=∠ABC,直接写出点M的坐标. 15。（2527九年级上湖病长沙阶段检测》知图，二次两数'+加-3的图象与交于1,0）， B3.0两点 10/18 VA (1)求抛物线的函数表达式： (2)抛物线上有两动点M,N,横坐标分别 m,n(m<m),记抛物线在MN之间的部分（包括M,N 两点)为图象G.过图象G的左右两端M,N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作 y轴的垂线，当四条直线围成的图形为正方形且正方形边长为2时，求点M的坐标， 16。(26-27九年级上天津南开阶段检测)如图，抛物线'=+c+2与x轴交于点1(-10)，B(4,0) 与y轴交于点C,连接BC M M D AO 备用图 (I)求抛物线的解析式及顶点M的坐标. (②)若D是直线BC上方抛物线上的一动点，连接BD,CD,求△BCD面积的最大值. 3)已知H是抛物线上的一点，连接CH,若∠HCB=∠ABC,直接写出点H的坐标. 题型05：二次函数与图形变换（平移、对称）综合 题型描述：题干给出抛物线（或几何图形）平移、对称后的新图象，求解析式或交点。核 心得分点是抓住变换前后顶点（关键点）的变化。 基础知识： 平移：左加右减(x)、上加下减(y): 抛物线平移抓顶点：新顶点定新解析式： 11/18 关于x轴对称：y变号：关于y轴对称：x变号： 对称（平移)前后形状不变，a不变。 解题方法： 定变换：明确平移方向距离或对称轴： 求新顶点：求关键点的对应点： 写解析式：由新顶点（点)写出新解析式： 解所求：求交点、最值等。 解题思路： 口诀：换、点、式、解。变换问题“形不动点动”，抓住顶点一个点就够了；开口方向变 化的只有关于x轴对称(a变号)。 y=x+bx+c A0,1)B(2,-1) 17.(26-27九年级上安徽合肥：阶段检测)已知二次函数 的图象经过点 两 点 (1)试求b、c的值： y=x+bx+c 3,-3) (2)能否通过上下平移二次函数 的图象，使得到的新函数的图象过点 .若能，求出 平移的方向和距离；若不能，请说明理由。 xOy 18.(26-27九年级上·北京东城阶段检测)在平面直角坐标系中，抛物线： G y=-x'+bx+c 经过点 (o,p)和p,pp≠o) (I)求抛物线G的顶点坐标（用含P的式子表示）： 2)将抛物线G向上平移3个单位，再向右平 n(n>0) 个单位得到抛物线G,若抛物线G恒过 求n的取值范围. 19.(26-27九年级上山东济宁阶段检测)如图1，己知抛物线”=+x+3交*轴于 A(-1,0),点 B4,O,交'轴于点C.过点C作CDB 交抛物线于点D 12/18 图1 图2 图3 (1)此抛物线对称轴为 b= ②)如图2，点E是线段OB上一动点，连接CE,若CE平分∠OCB,求点E的坐标： )将抛物线”图象沿*轴正方向平移m个单位m>0得到新抛物线”的图象，对于新抛物线”图象 33 上的一点(x,y),当0≤x≤3时，为的最小值为16： ①直接写出m的值： ②如图3，在(2)的条件下，连接DE,点M为线段DE上一动点，过点M作y轴的平行线，交抛物 线”的图象于点V,当点M从左向右运动时线段MW的长度逐渐减小，求M的横坐标为的取值范 围 20.(2026陕西咸阳·二模)【项目主题】学校要打造特色文化长廊，面向全体师生征集文化长廊设计方 案 【项目实施】喜欢设计的小晨和小亮积极参与合作，如图①是给出文化长廊设计方案的上面一部分： ①△ABC是等腰三角形，且AB=AC,A0LBC,垂足为O: ②长廊上部有两段形状相同的抛物线AB和AC组成，且抛物线AB和AC关于直线AO对称： ③C0=B0=3米，A0=6米； ④根据他们的设计方案，以BC所在直线为x轴，AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系，OA左侧 的抛物线的函数表达式为'=-2r+r+c 13118 B C 图① 图② (I)【问题解决】求OA右侧抛物线的函数表达式： (②)【问题解决】学校评审委员会进行综合评审时，对小晨和小亮的创意设计给予充分肯定，并建议在 抛物线和等腰三角形的腰之间加装如图②所示的三根安全杆，其中EF∥BC,GF1EF,DE⊥EF且 D、C两点均在两条抛物线上，EF交OA于点M,综合考虑后，建议将点F加装在AC的三等分点， 且靠近点A处，求此时三根安全杆的长度总和 专题综合训练 一、选择题 1.(2627九年级上陕西怕林阶段检测）如图。已知矩形DEPG的顶点D八G均在抛物线y=之+8 上，点D、G在x轴上方，项点E、F均在x轴上，且DE:EF=3:2,则DE的长为() YA A EO FB A.5 B.6 C.6.3 D.7 2.(2526九年级下-辽宁大连期末)如图，抛物线"=a+2r+c(a>0)与'轴交于点C,与*轴交于 A,B两点，A点在B点的左侧.若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A,C,E,P为顶点的 四边形是平行四边形，则符合条件的点P有() 14118 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(2025广东揭阳三模)如图，物线一：y=+5与”轴交于点4，B(点4在点B的左侧)， 与'轴交于点C.将抛物线绕点4旋转80”，得到新的抛物线，它的项点为5。与”轴的另一个 交点为D.若以B,C,D,E为顶点的四边形是矩形.则a的值为() B A.2 B.2 C.v5 D.V⑤ 4(2425九年级上内蒙古通辽阶段检测)如图，二次函数'=-(+2x+m+1 (a,0) 的图象交x轴于点 和 B(b,0) 交y轴于点C,图象的顶点为D.下列四个命题： 0当0.0.@若=-小，期6=4，@ ,则；点C关于图象对称轴的对称点为E,点M为x轴上 的一个动点，当m=2时，△MCE周长的最小值为2+210，@图象上有两点P(）和(，乃） ,则5>乃 若<1<5，且+西>2 其中真命题的个数有() 15118 珠 B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题 5.(2627九年级上辽宁鞍山阶段检测)已知点4机，5列，BQ,点M在抛物线y-上运动，则 AM+BM的最小值为， 6、（2425九年缀上四川南充阶段检测)若直线1：y= 2x+a与抛物线y=x2+2x-3交于M、N两点， 则当∠MON=90°时，a值为. M 7.(26-27九年级上内蒙古巴彦淖尔阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O,抛物线 y=a:-4+2a>0的顶点为4过点4作转的平行俊交抛物线y=--4于点8，连接100 则△AOB的面积为 8.(26-27九年级上广东广州阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在x轴正半 16/18 轴上，顶点D在x轴负半轴上，若抛物线'=a+25+4(a<0)经过点B,C,则点4的坐标为 D 三、解答题 9.(26-27九年级上·四川南充阶段检测)已知抛物 y=am-2r+3a≠0，且a为常数)，与y轴交 于点C,与x轴交于点A、B(3,0) A M A 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： ②如图1，直线'=c-2+1(k0,且k为常数)与抛物线交于点E,F,点Dmm+) 在第一象 限内的抛物线上，若s=2V2 ,求k的值： ©如图2，不经过点P的直线”2+力交抛物线于M。N两点。若直线BM记为=+，直线 BN 记为”=+6，求与么满足的数量关系。 17/18 10.(2026湖北襄阳二模)在平面直角坐标系中，抛物线)=r+r-3经过4(-1,0)，B(3,0 两点，抛 物线的顶点为T,点P为x轴下方抛物线上一动点，点P的横坐标为m, VA A ⊙ B 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式及点T的坐标： (2)如图1，当点P在直线BC下方且在点T的右侧时，连接OP交BC于点D,当OD=2DP时，求m 的值： (3)将此抛物线平移得到的新抛物线记为乙，设乙的顶点为 T'(1,m-4 ,过点P作x轴的垂线交直线BC 于点E,交L于点F,设E,F两点间的距离为d ①求d关于m的函数解析式： ②若点Q与点P关于原抛物线的对称轴对称，连接PO,当d随m的增大而减小时，是否存在=PQ? 若存在，请直接写出m的值：若不存在，请说明理由. 18/18 2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题07 二次函数与几何图形的综合应用 ▌专题目标 1. 掌握用坐标表示几何图形元素（点、线段、角）的方法。 2. 会处理二次函数与三角形、四边形的综合问题。 3. 会用对称转化解决抛物线背景下的线段和差最值问题。 4. 会用等角转化处理二次函数中的角度问题。 5. 会处理二次函数与平移、对称等图形变换的综合问题，体会数形结合思想。 ▌专题目录 题型01：二次函数与三角形的综合 题型02：二次函数与四边形的综合 题型03：二次函数与线段和差最值（将军饮马型） 题型04：二次函数与角度问题（等角转化） 题型05：二次函数与图形变换（平移、对称）综合 ▌题型01：二次函数与三角形的综合 题型描述：题干给出抛物线与坐标轴（直线）的交点构成三角形，求面积、周长或形状判断。核心得分点是求交点坐标并把几何量坐标化。 基础知识： 1. 抛物线与x轴、y轴交点的求法； 2. 三角形面积用水平底×竖直高计算； 3. 判断三角形形状：算三边（平方）比关系； 4. 点的坐标与线段长互化。 解题方法： 1. 求交点：令x＝0、y＝0求各交点； 2. 表边长：用坐标表示各边（平方）； 3. 算几何量：求面积、周长； 4. 判形状：比较边长关系判断形状。 解题思路： 口诀：交、边、量、形。坐标系中算三角形，先求全所有顶点；边长平方代替边长可避开根号。 1．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3)点坐标为 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识． （1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由题意可知点在线段的垂直平分线上，则可求得点纵坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标； （3）过作轴，交轴于点，交直线于点，用点坐标可表示出的长，则可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得面积的最大时点的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，把，，三点坐标代入可得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在，理由如下： 作的垂直平分线，交于点，交下方抛物线于点，如图1， ，此时点即为满足条件的点， ∵， ， 点纵坐标为， 代入抛物线解析式可得，解得（小于0，舍去）或， ∴存在满足条件的点，其坐标为； （3）解：由题意可设， 过作轴于点，交直线于点，如图2， 设直线解析式为，则有： ，解得：， ∴直线解析式为， ， ， ， ∴当时，最大值为8，此时， ∴点坐标为． 2．（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，抛物线（b、c为常数）．与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以A、C、P为顶点的是以为腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为． (3)存在，或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，是以为腰的等腰三角形，分两种情况：，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， ∵为等腰三角形的腰，分情况如下： 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 3．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)能，或 (3)点的坐标为，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于的方程，然后解方程求出就看得到对应的点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，当时，当时，然后分别解关于的方程，从而可得到满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能． 将代入中， 得：， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴，， 当时，， 即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 当时，， 即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 综上所述，当点的坐标为或时，直线能否把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵，， ∴，，， 当时，为直角三角形，， 即， 解得，此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得，此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得，，此时点的坐标为或； 综上所述，满足条件的点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 4．（25-26九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； (4)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点P坐标为 (4)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）根据二次函数的图象和性质可知当时，y取得最大值为4，再分别求出当时和当时对应的y值，结合函数图象即可得出答案． （3）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （4）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：由（1）可知， 则抛物线开口向下，且当时，y取得最大值为4， 当时，， 当时，， 故当时，． （3）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （4）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． ▌题型02：二次函数与四边形的综合 题型描述：题干在抛物线背景下给出（或探求）平行四边形、矩形等特殊四边形。核心得分点是用对角线中点关系或边、角条件列方程。 基础知识： 1. 平行四边形：对角线中点重合； 2. 矩形：平行四边形＋对角线相等（或一个直角）； 3. 菱形：邻边相等； 4. 坐标中点公式与距离公式是基本工具。 解题方法： 1. 设动点：用参数表示抛物线上的动点； 2. 译条件：把四边形的性质翻译成坐标等式； 3. 解方程：求动点坐标； 4. 验形状：检验邻边不重合、不退化。 解题思路： 口诀：点、性、程、验。先定“什么样的四边形”，再选对应性质列方程；平行四边形优先用中点公式。 5．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，关于的二次函数的图象为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则________． 【答案】 【分析】先配方求出抛物线顶点坐标，确定直线的解析式，从而表示出的长；利用抛物线的对称性表示出的长；根据正方形的性质列出关于的方程求解． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， ∵直线过顶点且平行于轴， ∴直线的解析式为， ∵，在直线上，且四边形为正方形， ∴，， 当时，，解得，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴，解得或， ∵当时，，重合，不能构成正方形， ∴舍去， ∴． 6．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，且．点为线段上一动点（不与点重合），过点作矩形，点在抛物线上，点在轴上． (1)求的值； (2)当矩形的周长最大时，求矩形的面积； (3)在（）的条件下，矩形不动，将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点，连接．若恰好平分矩形的面积，求的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)矩形的面积为； (3)的值为． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的性质，二次函数的性质，平移规律等，掌握知识点的应用是解题关键． （）先求出点的坐标，由，可推出点坐标，将点坐标代入解析式可求出的值，即可写出抛物线的解析式； （）设点坐标为，用含的代数式表示出矩形的周长，利用二次函数的性质求出取其最大值时的值，即求出点的坐标，进一步可求出矩形的面积； （）连接，，，设与交于点，过点作的平行线，交于，交于点，则直线将矩形的面积分成相等的两半，依次求出直线，的解析式，再求出点的坐标，即可得出的值． 【详解】（1）解：在抛物线 中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点坐标为， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴抛物线对称轴为， ∴点到对称轴的距离为， 由对称性可知， ∴矩形的周长， ∴当时，矩形周长取最大值， ∴此时， ∴，， ∴矩形的面积为； （3）解：如图，连接，，，设与交于点，过点作的平行线，交于，交于点，则直线将矩形的面积分成相等的两半， 由（）知，抛物线对称轴为，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴ ， ∵， ∴将抛物线沿着轴向左平移个单位，抛物线与矩形的边交于点，连接，则恰好平分矩形的面积， ∴的值为． 7．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段的长最大时点P的坐标； (3)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）先利用抛物线解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，设点P的坐标为，点E的坐标为，其中，从而求出与x的函数解析式，然后利用二次函数求最值即可； （3）设点D的坐标为，点F的坐标为，根据平行四边形的对角线分类讨论，然后根据平行四边形的对角线互相平分和中点公式列出方程，即可分别求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴点C的坐标为． 设直线的解析式为， ∵直线过点和点， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，点E的坐标为，其中， ∴， ， ， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时点P的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 设点D的坐标为，点F的坐标为， 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解得，， ∴此时点D的坐标为或； 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解得，（此时点F和点C重合，故舍去）， ∴此时点D的坐标为； 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解得，（此时点F和点C重合，故舍去）， 此时点D的坐标为． 综上，存在，此时点D的坐标为或或或． 8．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点．动点D在线段上（点D与点O不重合）． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图1，当时，求正方形的面积； ②如图2，当点M落在抛物线上时，求点M的坐标； (3)如图3，在动点D的正上方有另一动点，且，当点D从点B开始运动时，点E以相同的速度同时出发，两点都沿y轴的正方向匀速运动，点D停止运动时点E同时停止运动．连接，，求的最小值和此时p的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)的最小值为，此时 【分析】（1）把、代入，解方程组求出，即可得出答案； （2）①根据、得出，根据点，利用勾股定理求出，即可求出正方形的面积； ②过点作轴于，轴于，得出四边形是矩形，得出，，根据正方形的性质及角的和差关系得出，，可证明，得出，，设，则，，根据得出，解方程求出的值，即可得出答案； （3）过点作轴，使，连接，得出四边形是平行四边形，可得，得出当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长，根据抛物线解析式求出，利用勾股定理求出，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，根据，即可求出． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①∵，点在线段上，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为； ②如图，过点作轴于，轴于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在的左上方以为边作正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴点的坐标． （3）解：如图，过点作轴，使，连接， ∵点、的速度相同， ∴是定值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点、、三点在同一条直线上时，取最小值，最小值为的长， ∵， ∴当时，， 解得：，， ∴，，， ∴，即的最小值为， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，，点在点上方， ∴． ▌题型03：二次函数与线段和差最值（将军饮马型） 题型描述：题干在抛物线（或对称轴）上找一点，使它到两定点距离之和最小（差最大）。核心得分点是用抛物线的对称性或作对称点转化。 基础知识： 1. 抛物线对称轴上的点到两对称点距离相等； 2. 和最小：作对称点，连线与对称轴（抛物线）的交点即所求； 3. 差最大：三点共线时取得； 4. 最小值等于对称点与另一定点的距离。 解题方法： 1. 定轴定点：确定动点所在直线（对称轴）与两定点； 2. 作对称：作一定点关于该直线的对称点； 3. 连求交：连线求交点即动点位置； 4. 算最值：求最小（大）值。 解题思路： 口诀：轴、称、交、值。抛物线自带对称性，常把抛物线上的点转移到对称轴上处理；和最小做对称，差最大求共线。 9．（26-27九年级上·天津和平·阶段检测）如图，二次函数的图象顶点为，与轴相交于点，且经过点． (1)求的值． (2)连接，，．求． (3)若点是轴上一点，当最小时，点的坐标为_． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（１）把点的坐标代入二次函数，得到关于的方程，解方程即可求出的值； （2）用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴，交于点，可得点的坐标，即可求出的长度，利用三角形的面积公式即可求出结果； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，根据两点之间线段最短可知当点、、在同一条直线上时最短，利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出直线与轴的交点的坐标即可． 【详解】（1）解：把点的坐标代入二次函数， 可得：， 解得：； （2）解：由（1）可知，二次函数的解析式为， 当时，可得：， 点的坐标为， 整理，可得：， 抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 如下图所示，过点作轴，交于点， 点的坐标为， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， ， ； （3）解：如下图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ， 两点之间线段最短， 当点、、在同一条直线上时最短， 点的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是． 10．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标； (3)若点是抛物线的顶点，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)面积为3． 【分析】（1）利用待定系数法，将已知点和的坐标代入解析式，建立方程组求解和． （2）利用抛物线的对称性，将转化为，从而将求的最小值转化为求的最小值．根据“两点之间线段最短”，当三点共线时，和最小，此时点即为直线与对称轴的交点． （3）先求出顶点的坐标，利用割补法（或铅锤法）将的面积转化为两个以轴为底的三角形面积之和进行计算． 【详解】（1）解：将点代入，得， 将点和代入，得， ， ， ， ， 该抛物线解析式为． （2）解：由可知，对称轴为直线， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 当三点共线时，最小，即最小， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 解得， 直线解析式为， 当时，， 此时点坐标为． （3）解：当时，， 顶点的坐标为， 设直线与对称轴交于点，由（2）知， ， 答：面积为3． 11．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为该抛物线对称轴上一动点，求的最小值，并求出此时点的坐标； (3)设四边形的面积为，求S的最大值并求出此时点的坐标； 【答案】(1) (2)的最小值为，此时 (3)四边形面积的最大值是 12，此时点坐标为 【分析】（1）把，代入抛物线，列出二元一次方程组，通过加减消元求出，，得到抛物线解析式． （2）由抛物线对称性得、关于直线对称，转化，利用两点之间线段最短，求出直线解析式，将对称轴代入得到，算出即为最小值． （3）设横坐标为，将四边形拆分为与，分别写出两个三角形面积表达式，相加得到，用二次函数顶点公式求得时面积最大值为 12，对应． 【详解】（1）解： 抛物线经过，， 把，代入解析式得 化简，得 两式相加，得， ． 把代入， ， ， ． 抛物线的函数表达式为． （2）解：，是抛物线与轴交点， 抛物线的对称轴为直线． 点、点关于对称轴直线对称， ， ． 两点之间线段最短， 当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长． 在中，令，得， ． 设直线的解析式为，把，代入， 解得，， 直线解析式为． 把代入，得， ． 由勾股定理，， 的最小值为，此时． （3）解：设点的横坐标为， 在第四象限抛物线上， ，其中． 连接， ． ，在轴上， ． ，点纵坐标为负数，到轴距离为， ． ． ， 二次函数开口向下，有最大值． 当时，取得最大值， 最大值． 把代入抛物线解析式， ， ． 答：四边形面积的最大值是 12，此时点坐标为． 12．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)点P是抛物线对称轴上一动点，连接，，求最小时点P的坐标； (3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，请你画图观察，直接写出点M的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3) 或 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）根据对称性得到，进而得到，进而得到当点在线段上时，的值最小，进行求解即可； （3）画出图象，数形结合进行求解即可. 【详解】（1）解：把点分别代入抛物线与直线，得： ，， ∴； （2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为1， 又∵抛物线与轴交于两点， ∴点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小，为的值，即点在直线上， ∴当时，， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， 联立，解得或， ∴， ∴两点间的横坐标之间的距离为3， ∵将点M向左平移3个单位长度得到点N， ∴轴或在轴上， ∴当点与点重合时，此时线段与抛物线只有一个公共点，当点在线段之间时，线段与抛物线只有一个公共点，当点与点重合时，线段与抛物线有两个公共点，当恰好过抛物线的顶点，即时，此时线段与抛物线只有一个公共点， 综上：或. ▌题型04：二次函数与角度问题（等角转化） 题型描述：题干给出抛物线上的点与角的条件（等角、倍角、特殊角），求点坐标或解析式。核心得分点是把角条件转化为全等、等腰或边的比例关系。 基础知识： 1. 等角常通过对称、全等转化； 2. 45°角构造等腰直角三角形； 3. 角平分线条件转化为距离相等； 4. 坐标系中角问题先“边化”再“坐标化”。 解题方法： 1. 析角：把角的条件分析成边的关系； 2. 作辅助：作垂线、对称点或等腰直角三角形； 3. 建方程：用坐标表示等量关系； 4. 解验答：求解并检验点在抛物线上。 解题思路： 口诀：角、边、程、验。抛物线中的角问题极少用量角，全靠转化；45°配等腰直角是固定套路。 13．（26-27九年级上·天津·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为． (1)该抛物线的表达式为_______________； (2)点为抛物线上一点（不与点重合），连接．当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点，是轴上的两个动点，点在点左侧且，当四边形周长取得最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由对称轴得点坐标，用交点式写解析式； （2）构造全等三角形找直线，联立抛物线求； （3）如图，过作，过作，作关于轴的对称点，连接，可得，，，为定值，当三点共线时，四边形周长最小，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线，点的坐标为， ， ． （2）解：过点作垂直于轴，交于，如图所示， ∵，， ∴ ， 为等腰直角三角形， ∴， ， ∵，， ， ， ． ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， 直线的解析式为， 令， 解得：（舍），， 此时， ． （3）解：如图，过作，过作，作关于轴的对称点，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形周长为， ∵，，， ∴，为定值， ∴当最小时，四边形周长最小， ∴当三点共线时，四边形周长最小， ∵点，点关于轴对称， ∴， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， 当时，， 解得：， ∴，， ∴. 14．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图1，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，连接，点P是第一象限内抛物线上一点，过点作轴交于点E，求的最大值以及点P的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度得新抛物线，点M是平移后新抛物线上一点，若，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，点的坐标为； (3)或 【分析】（1）根据对称轴得出，再将点A代入求解即可确定函数解析式； （2）根据题意得出，，利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，得出，化为顶点式即可求解； （3）根据平移确定，再由题意得出，分两种情况分析：当点M在x上方的图象上时，如图所示，过点M作轴，当点M在x轴下方的抛物线上时，如图所示，过点M作轴，结合图形分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线, ， 解得， ∴抛物线解析式为， 又∵抛物线经过点， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：令,得 解得， ， ， 令,得 ， 设直线的解析式为， 将代入得：     解得， ∴直线的解析式为， 设则， ， ， 当时，取得最大值，最大值为， 此时， 点的坐标为； （3）， ∵将抛物线向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点M在x上方的图象上时，如图所示，过点M作轴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵点M是平移后新抛物线上一点， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，，对应图中的点M； 当点M在x轴下方的抛物线上时，如图所示，过点M作轴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵点M是平移后新抛物线上一点， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴当时，，对应图中的点； 综上可得：或． 15．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为，记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，当四条直线围成的图形为正方形且正方形边长为2时，求点M的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)点M的坐标为或． 【分析】（1）把，两点代入函数关系式，解方程组即可； （2）对，在对称轴左右两侧，及都在左侧和都在右侧进行分类讨论，根据正方形的边长相等列对应关系式求解． 【详解】（1）解：把，两点代入函数关系式得， 解得 抛物线的函数表达式为； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线，有最大值， 由题意可知，即， 当点，分布在对称轴左右两侧时，， 若点M是最低点， 此时最大值为，最小值是当时，的值，即， ， ， 解得，（舍去）， ； 若点N是最低点， 此时， 解得，（舍去）， ， ， ， ； 当点，都在对称轴左侧时，， 此时 整理得 ， ，， ， ， ，此时， 故不存在此种情况； 当点，都在对称轴右侧时，， 此时 整理得 ， ， ， ， ， 故不存在此种情况； 综上可知，点M的坐标为或． 16．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标． (2)若D是直线上方抛物线上的一动点，连接，，求面积的最大值． (3)已知H是抛物线上的一点，连接，若，直接写出点H的坐标． 【答案】(1)； (2)的最大值为4 (3)点H的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再化为顶点式可得顶点坐标； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，设，如图，过点作轴的垂线交于点，则，进而得，再由的面积为：，根据二次函数的性质求最值； （3）分两种情况讨论：当点H在上方时，连接，由得，则，代入抛物线的解析式求出对应的值即可；当点在下方时，交x轴于点，设，由得，在中由勾股定理求出值，即可得点的坐标，然后由待定系数法求出直线解析式，联立直线解析式和抛物线的解析式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴抛物线的顶点M的坐标为； （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入、， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 如图，过点作轴的垂线交于点，则， ∵D是直线上方抛物线上的一动点， ∴ ， ∴的面积为：， ∵， ∴当，的面积有最大值，为4； （3）解：分以下两种情况： 当点H在上方时，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴； 当点在下方时，交x轴于， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线解析式为， 把点代入得：， 解得：， 所以直线解析式为， ∴点的坐标满足：， 解得：（舍去）或， ∴， 综上所述，若，点的坐标为或． ▌题型05：二次函数与图形变换（平移、对称）综合 题型描述：题干给出抛物线（或几何图形）平移、对称后的新图象，求解析式或交点。核心得分点是抓住变换前后顶点（关键点）的变化。 基础知识： 1. 平移：左加右减（x）、上加下减（y）； 2. 抛物线平移抓顶点：新顶点定新解析式； 3. 关于x轴对称：y变号；关于y轴对称：x变号； 4. 对称（平移）前后形状不变，|a|不变。 解题方法： 1. 定变换：明确平移方向距离或对称轴； 2. 求新顶点：求关键点的对应点； 3. 写解析式：由新顶点（点）写出新解析式； 4. 解所求：求交点、最值等。 解题思路： 口诀：换、点、式、解。变换问题“形不动点动”，抓住顶点一个点就够了；开口方向变化的只有关于x轴对称（a变号）。 17．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，两点． (1)试求b、c的值； (2)能否通过上下平移二次函数的图象，使得到的新函数的图象过点．若能，求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，将原二次函数图象向下平移个单位长度． 【分析】（1）代入两点坐标列方程组，求解b,c的值即可； （2）设平移后的函数解析式，代入目标点坐标求平移量，判断平移方向与距离． 【详解】（1）解：∵ 二次函数的图象经过点，， ∴ 将两点坐标代入解析式，得 解得 ； （2）能，理由如下： 由（1）得原函数解析式为， 设将原函数图象向上平移个单位长度后，新函数解析式为. ∵ 新函数图象过点， ∴将，代入解析式，得 ， 解得， ∵ ， ∴平移方向为向下，平移距离为个单位长度. 综上所述，将原二次函数图象向下平移个单位长度，可使新函数图象过点． 18．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到抛物线，若抛物线恒过，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的对称性可知，抛物线顶点的横坐标为，根据抛物线的对称轴公式求出，所以抛物线的解析式为，把抛物线顶点横坐标代入解析式求出顶点纵坐标，即可得到抛物线顶点坐标； （2）根据平移的性质可知点在抛物线上，把点的坐标代入解析式可得，即，结合根的判别式计算即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， 经过点且， 对称轴为， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的顶点的横坐标为，顶点的纵坐标为， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：将抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位得到， 过点，而上的点由上的点平移得到， 点在上， 代入得：， 整理得：， ， 要使该方程有实数解，则判别式， 整理得， ∵， ∴． 19．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图1，已知抛物线交轴于点，点，交轴于点．过点作，交抛物线于点． (1)此抛物线对称轴为______；______，______； (2)如图2，点是线段上一动点，连接，若平分，求点的坐标； (3)将抛物线图象沿轴正方向平移个单位得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①直接写出的值； ②如图3，在（2）的条件下，连接，点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交抛物线的图象于点，当点从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求的横坐标为的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线；；． (2)． (3)①；②． 【分析】（1）把、代入，用待定系数法求出、，再由对称轴公式求对称轴； （2）在Rt中由勾股定理得；作于，由平分得，用面积法求； （3）①平移后开口向下，在上的最小值必在端点处取得，比较与（差为），由解方程求；②先求与直线，写出关于的二次函数，其开口向下、对称轴，从而确定递减范围，结合在线段上（）得结论． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于、， ∴， ∴，， ∴对称轴为直线． （2）解：∵，， ∴，，，， 在Rt中，． 过作于． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①平移后，其图象开口向下，顶点横坐标为， ∴在上，的最小值在端点或处取得， ∵，， ∴， ∴最小值为， ∴，即， ∴， ∴或（舍去，）， ∴． ②由（2）得． ∵， ∴点的纵坐标为， 令，得， ∴（为点，舍）或， ∴． ∵， ∴． 设直线的解析式为，代入、，得，， ∴直线． ∵点在线段上， ∴（）， ∵过作轴的平行线交于点， ∴， ∵在上，（该二次式在处取最小值）， ∴点在点上方，， 其图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当点从左向右运动时，线段的长度逐渐减小，的取值范围为． 20．（2026·陕西咸阳·二模）【项目主题】学校要打造特色文化长廊，面向全体师生征集文化长廊设计方案： 【项目实施】喜欢设计的小晨和小亮积极参与合作，如图①是给出文化长廊设计方案的上面一部分： ①是等腰三角形，且，，垂足为O； ②长廊上部有两段形状相同的抛物线和组成，且抛物线和关于直线对称； ③米，米； ④根据他们的设计方案，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，左侧的抛物线的函数表达式为． (1)【问题解决】求右侧抛物线的函数表达式； (2)【问题解决】学校评审委员会进行综合评审时，对小晨和小亮的创意设计给予充分肯定，并建议在抛物线和等腰三角形的腰之间加装如图②所示的三根安全杆，其中，，且两点均在两条抛物线上，交于点M．综合考虑后，建议将点F加装在的三等分点，且靠近点A处，求此时三根安全杆的长度总和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点坐标代入求出左侧抛物线的解析式，再利用对称性即可求出右侧的解析式； （2）利用待定系数法求出直线、的解析式，再根据三等分点且靠近点A处确定点F的坐标，利用，，分别求出点的坐标，由此求得 的长即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 左侧的抛物线的函数表达式为， 将点A和点B坐标代入得：， ， 左侧的抛物线的函数表达式为， 左侧的抛物线与右侧抛物线关于y轴对称， 右侧的抛物线的函数表达式为 ， 即； （2）设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：，， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 则直线的解析式为， 点F加装在的三等分点，且靠近点A处， ， ， ， 代入直线的解析式中得： ， 解得：， ， ， ， ， 代入左侧抛物线中得： ， ， ， ， ， 代入右侧抛物线中得： ， ， ， ， 此时三根安全杆的长度总和为 ． ▌专题综合训练 一、选择题 1．（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，已知矩形的顶点、均在抛物线上，点、在轴上方，顶点、均在轴上，且，则的长为（     ） A．5 B．6 C．6.3 D．7 【答案】B 【分析】由．设，，利用抛物线对称性得到点G坐标，将点代入抛物线解析式求出k，进而求出长． 【详解】解：， 设，． ∵矩形中，，又点D、点G均在抛物线上，且抛物线关于y轴对称， ∴矩形关于y轴对称， 点G的横坐标为k，纵坐标为，即． 把代入， ． 整理得． 解得，（舍去）． ∴． 2．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上，点在抛物线上， ∴当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 将代入得， 解得或 ∴； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 同理可得； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴； 由图像可得，直线与抛物线有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P， 综上所述，符合条件的点有3个． 3．（2025·广东揭阳·三模）如图，抛物线：与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点．将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为．若以，，，为顶点的四边形是矩形．则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，，，为顶点的四边形是矩形，得到；根据抛物线的对称性，得，于是等边三角形，根据，得到，计算解答即可． 【详解】解：连接， 根据，，，为顶点的四边形是矩形，得到； 根据抛物线的对称性，得， 故等边三角形， 故，， 又， 故， 又, 故， 故， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，抛物线的对称性，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 4．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）如图，二次函数的图象交x轴于点和，交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题： 当时，；若，则；点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当时，周长的最小值为；图象上有两点和，若，且，则， 其中真命题的个数有（　 ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，掌握二次函数的有关性质是解题的关键． 错误，由图象知：当时，； 错误，当时，； 正确，作E关于x轴的对称点，连接如图，的周长的最小值为； ④正确，函数图象在时，y随x增大而减小，则． 【详解】解：由图象知：当时，，故错误； ②抛物线的对称轴是直线 当时，，故错误； 作E关于x轴的对称点，连接如图所示： 当时，， 与E关于x轴对称， 的周长的最小值就是C、M、三点共线时取到为， 的周长的最小值为，故正确． 设关于对称轴的对称的数为 函数图象在时，y随x增大而减小， 正确． 故选C． 二、填空题 5．（26-27九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）已知点，，点在抛物线上运动，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】设点，用含的代数式表示，可得点到点的距离与点到直线的距离相等，进而求解． 【详解】解：设点，则点到轴的距离为， 点到直线的距离是， , ， 点到点的距离与点到直线的距离相等， 点的横坐标为， 当点为直线与抛物线的公共点时，最小． 如图，设直线与直线相交于点，故的最小值为的长， ， ． 6．（24-25九年级上·四川南充·阶段检测）若直线与抛物线交于、两点，则当时，值为_____________． 【答案】 【分析】根据直线与抛物线交于、两点，可列出关于 x 的一元二次方程并求解，可得到 x 的值；过点 M 和点 N 作交于 G ，通过直角三角形勾股定理，推导得，将、两点坐标代入，通过代入一元二次方程的解和一次函数解析式，得到关于 a 的方程并求解． 【详解】解：∵直线与抛物线交于两点 设两点坐标分别为：，且， ， ， 如图，过点 M 和点 N 作交于 G， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、一元二次方程、直角三角形勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、二次函数、一元二次方程、勾股定理的性质，从而完成求解． 7．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，连接，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据二次函数顶点式确定顶点坐标，然后通过解析式求出点坐标，求出相关线段的长度，最后利用三角形的面积公式进行求解． 【详解】解：由得， 顶点的坐标为， ∵轴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴； ∴， ∴的面积为． 8．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上，若抛物线经过点B，C，则点A的坐标为______． 【答案】 【分析】求出点B的坐标，根据菱形的性质得到，即轴，，则可证明点B与点C关于对称轴对称，求出对称轴，则可求出点C的坐标，进而可求出的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，即轴，， ∵抛物线经过点B，C， ∴点B与点C关于对称轴对称， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 三、解答题 9．（26-27九年级上·四川南充·阶段检测）已知抛物线（，且a为常数），与y轴交于点，与x轴交于点、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，直线（，且k为常数）与抛物线交于点，，点在第一象限内的抛物线上，若，求k的值； (3)如图2，不经过点的直线交抛物线于，两点．若直线记为，直线记为，求与满足的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入抛物线解析式，解关于的方程． （2）先求点坐标，发现直线恒过定点，与横坐标相同，以为底用水平距离表示面积，联立后由一元二次方程的根与系数关系建立关于的方程． （3） 联立直线与抛物线得交点坐标，用待定系数法设直线、的解析式，代入交点坐标求出、关于参数的表达式，消参得关系． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：点在抛物线上， ， 即， 解得或， 在第一象限， ，， ， 直线恒过定点， ，横坐标相同， ，所在直线为， 设，，则 ， 联立， 得， 由一元二次方程的根与系数关系：，， ， ， ， 即， ， 解得． （3）解：联立， 得， 设，则，， 设直线的解析式为， 在直线上， ， ， 由代入： ， 设直线的解析式为， 在直线上， ， ， 由代入： ， ． 10．（2026·湖北襄阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，抛物线的顶点为，点为轴下方抛物线上一动点，点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式及点的坐标； (2)如图1，当点在直线下方且在点的右侧时，连接交于点，当时，求的值； (3)将此抛物线平移得到的新抛物线记为，设的顶点为，过点作轴的垂线交直线于点，交于点，设两点间的距离为． ①求关于的函数解析式； ②若点与点关于原抛物线的对称轴对称，连接，当随的增大而减小时，是否存在？若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)①；②存在， 【分析】（1）将代入抛物线得，即可得抛物线解析式，再配方得顶点坐标 即可； （2）根据抛物线解析式得点坐标，结合点的坐标运用待定系数法求出直线表达式，由题意得，，结合表示出点的横纵坐标，并将其代入直线表达式 求出的值，注意验证的值是否符合题意； （3）①由题意得抛物线的解析式是，过点作轴的垂线方程是，，，由，结合得关于的函数解析式； ②由题意得，得，分段分析关于的函数的增减性，确定随的增大而减小时的取值范围，分情况计算时 的值，验证的值是否符合题意． 【详解】（1）解：将代入抛物线， 得，， 解得，， 抛物线的解析式为：， ， ； （2）解：令得，， ， 设直线的表达式为：， 将，代入得，， 解得：， 直线的表达式为：， 由题意得，， 点在直线下方且在点的右侧， ， ， ，， 点在直线上， ， 整理得，， 解得，（舍）， ； （3）解：①新抛物线是由抛物线平移得到的，的顶点为， 抛物线的解析式为：， 过点作轴的垂线方程为：， 过点作轴的垂线交直线于点，交于点， ，， ， 点在轴下方， ， ； ②存在， 理由：点与点关于原抛物线的对称轴对称，原抛物线的对称轴为：直线， , ， 当时，，该抛物线开口向上，对称轴为：，此时随的增大而减小， 当时，，该抛物线开口向下，对称轴为：，在范围内随的增大而减小， 当时，，该抛物线开口向上，对称轴为：，此时随的增大而增大， 随的增大而减小， 或， 即， 情况1：当时，方程变为，，解得（舍）； 情况2：当时，方程变为，，解得（舍）； 综上所述，存在满足条件的值，的值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $