专题14 二次函数与几何图形的综合 【提优专题+专项训练】 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题14 二次函数与几何图形的综合 类型一 二次函数与特殊三角形的综合 （一）二次函数与等腰三角形的综合 1．（2025秋•濂溪区期末）如图，直线y＝﹣x+5与x轴，y轴分别交于点B，C，若在经过B，C两点的抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上有一点M（点M在第一象限），使△CPM为等腰三角形，点P为抛物线的顶点，则点M的坐标为 　 ． 2．（2025秋•宣城期末）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数，且a＜0）． （1）若该函数图象经过点（2，﹣5），则a的值为 　 　 ； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则a的值为 　 ． 3．（2026•硚口区一模）抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图，连接BC，点D在第一象限的抛物线上，连接AD分别交OC，BC于E，F两点，若△CEF是以EF为腰的等腰三角形，求点D的横坐标； 4．（2026•城关区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A，B（1，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），顶点为D． （1）求出抛物线的表达式； （2）若∠CAB的角平分线与在第一象限的抛物线交于点P，求点P的横坐标； （3）若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M．使得以点A，C，M为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2026•雷州市模拟）如图1，抛物线y＝ax2+kx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标； （3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2026•兴宁市三模）如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C（0，4），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． （1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝　　 ，A （　 　 ，　 　 ），B （　 　 ，　 　 ）； （2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），试求PQPN的最大值； （3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （二）二次函数与直角三角形的综合 7．（2026•静安区模拟）设抛物线y＝x2+k的顶点为A，与x轴分别交于B、C两点，如果△ABC是直角三角形，那么k的值为　 　 ． 8．（2025•瑶海区期末）已知一个直角三角形的两直角边之和为10cm，则这个直角三角形面积最大为　 cm2． 9．（2026春•盐城期末）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（6，8），M是抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的对称轴上存在2个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值（或范围）是　 ． 10．（2025秋•朝阳区期末）如图，抛物线y＝ax2（a＞0）的顶点为O，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），当△AOB为直角三角形时，AB＝4，则a的值是　 ． 11．（2026•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，P（4，﹣2）是抛物线y＝ax2﹣4x+c的对称轴上一点，且抛物线与y轴的交点坐标为（0，2）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设点E在对称轴右侧的抛物线上，点F在x轴上，若△PEF是以P为直角顶点的直角三角形，且PE＝2PF，求点E和点F的坐标； 12．（2026•河东区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线x＝﹣2与x轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点B（1，0），且AC＝2BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直于x轴于点D，交线段AB于点E，使DE＝3PE． ①求点P的坐标； ②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． （三）二次函数与等腰直角三角形的综合 13．（2026•宜兴市二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（﹣1，0），（3，0）．点A是该抛物线上一点（点A不在x轴上），过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为点B，以AB为边，以点O为对称中心作▱ABCD．设点A的横坐标为m． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点A在抛物线对称轴右侧，且▱ABCD被对称轴分得的两个图形中有一个是等腰直角三角形时，求AB的长； （3）当线段CD与该抛物线恰好有两个公共点时，请直接写出m的取值范围． 14．（2026•二道区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx与x轴交于点A（2，0），点B在抛物线上．设其横坐标为m，点C是平面直角坐标系中异于点B的一点，其坐标是（﹣1﹣2m，4m+4），连结BC，当BC不与坐标轴垂直时，以BC为斜边作Rt△BCD，使BD⊥y轴． （Ⅰ）求抛物线所对应的函数表达式； （Ⅱ）当点B在抛物线对称轴左侧，且Rt△BCD是等腰直角三角形时，求m的值； 类型二 二次函数与平行四边形的综合 15．（2025秋•宜春期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与经过点B的直线y＝2x+2交于点E，点P在抛物线上，点Q在x轴上，若以P、Q、B、E为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为 ． 16．（2026•丹徒区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（a≠0）与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为P（1，﹣1），将该抛物线C1沿射线AP方向平移得抛物线C2，抛物线C2的顶点为Q． （1）求抛物线C1对应的函数表达式； （2）若抛物线C2与x轴交于B、C两点，且BC＝2，则点Q的坐标为　 　 ； （3）点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，点F在抛物线C2上，若四边形APFE是面积为6的平行四边形，求点Q的坐标； 17．（2026•永川区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是直线BC下方抛物上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标； （3）在（2）中△PBC的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为Q，M为y轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 类型三 二次函数与矩形的综合 18．（2026•相城区二模）如图，在矩形ABCD中，点A（﹣1，1），点D（2，1），则二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1与矩形ABCD有两个交点时，则m的取值范围为　 ． 19．（2026•成都模拟）已知，在抛物线上从左往右有两个点A，B；当点A在（0，0）与（2，2）之间运动时，过点A，B分别作x轴，y轴的平行线，平行线相交于点M，N形成矩形，矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点，则A点横坐标a的范围是　 　 ． 20．（2026•莘县模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作PM∥y轴交BC于点M，过点Q作QN∥y轴交BC于点N，求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标； （3）如图3，将抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 类型四 二次函数与菱形的综合 21．（2025秋•河南期末）如图，菱形AOBC的顶点A在y轴的正半轴上，抛物线y＝x2经过顶点C．若∠AOB＝60°，则菱形AOBC的面积为（　　） A． B．2 C．4 D． 22．（2025秋•潮南区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx经过边长为2的菱形OABC的三个顶点O、A、C，∠AOC＝120°，则a的值为（　　） A． B． C． D． 23．（2026•宁河区二模）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a为常数，a＜0）的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，Q（m，n）为第二象限一点． （1）若a＝﹣1，m＝﹣6， ①求该抛物线顶点P的坐标； ②当S△ABC＝S△ACQ时，求n的值； （2）E为y轴上一点（不与点C重合），且点E的纵坐标大于或等于，过点E作抛物线对称轴的垂线，垂足为F，连接QF．若四边形AEPQ是菱形，且PQ+QF取得最小值时，求点Q坐标． 24．（2026•东西湖区一模）如图，抛物线与x轴交于A和B两点，A在B点左边，与y轴交于C点． （1）直接写出A，B，C三点坐标； （2）如图1，D为OC中点，在抛物线上找一点P，使∠PAO＝2∠DAO，求出P点坐标； （3）如图2，将（2）中的点A和D及抛物线均向下平移4个单位，H为新抛物线对称轴右侧上一点，直线HF与新抛物线交于唯一公共点H，与y轴交于F，是否存在以FH为对角线的菱形EFGH，使E点在y轴上，G点在AD延长线上，若存在，求菱形EFGH的面积S四边形EFGH若不存在，请说明理由． 类型五 二次函数与正方形的综合 25．（2026•连州市二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+c（a≠0）的图象过边长为1的正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则a的值为（　　） A． B． C．2 D．﹣2 26．（2026•雷州市模拟）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝x2+c上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．mn＝1 D． 27．（2025秋•河北期末）如图，边长为1的正方形ABCD顶点A（0，1），B（1，1）；抛物线y＝ax2+bx+c过点M（﹣1，0），若顶点在正方形ABCD内部（包括在正方形的边上），则a的取值范围是　 ． 28．（2026•宜宾模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A、C两点，其中A（﹣1，0），C（4，0），与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结BC，过点D作DE⊥BC于点E，延长DE与直线y＝﹣2交于点F，求DE的最大值及此时点D的坐标； （3）若将原抛物线绕原点O旋转180°得到新的抛物线y′，P是新抛物线y′上的一个动点，H是直线y＝﹣2上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形OPKH为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标． 29．（2026•乐清市二模）抛物线y＝x2+bx+3（b为常数）经过点（3，0）． （1）求二次函数的表达式． （2）当t≤x≤t+2时，二次函数y＝x2+bx+3的最大值为15，求t的值． （3）已知正方形ABCD的边长为9，AB∥x轴，AB在CD下方，点A在点B的左侧．在正方形ABCD任意平移的过程中，抛物线的一段y＝x2+bx+3（m≤x≤n）在正方形ABCD的边界及其内部，其中m≤2≤n，当n﹣m达到最大值时，求点D横坐标xD的取值范围． 30．（2026•越秀区三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ∥AB，交BC于Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由． （3）设点D（1，n），点E（1，1﹣n），将线段DE绕点D顺时针旋转90°后得到线段DF，以DE，DF为边构造正方形DEGF，当正方形DEGF的边与二次函数在x≤3范围上的图象有且仅有一个公共点时，请求出n的值或取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 二次函数与几何图形的综合 类型一 二次函数与特殊三角形的综合 （一）二次函数与等腰三角形的综合 1．（2025秋•濂溪区期末）如图，直线y＝﹣x+5与x轴，y轴分别交于点B，C，若在经过B，C两点的抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上有一点M（点M在第一象限），使△CPM为等腰三角形，点P为抛物线的顶点，则点M的坐标为 　（3，1）或（3，﹣4+3）或（3，14）　 ． 【分析】求得B、C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据等腰三角的定义，可得关于b的方程，根据解方程，可得b的值，可得M点坐标． 【解答】解：由y＝﹣x+5， 当x＝0时，y＝5，当y＝0时，x＝5， ∴C（0，5），B（5，0）， 将B、C点坐标代入函数解析式y＝x2+bx+c，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5， ∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，即P（3，﹣4）， ∴对称轴为x＝3， 设M（3，b），则MP＝|b+4|，CP3，MC， 当MC＝MP时，|b+4|， 化简，得18b＝18， 解得b＝1，即M（3，1）； 当MC＝CP时，3， 化简，得b2﹣10b﹣56＝0， 解得b＝14，b＝﹣4（舍），即M（3，14）； 当MP＝CP时，|b+4|＝3， 化简，得b2+8b﹣74＝0， 解得b＝﹣4+3，b＝﹣4﹣3（舍去）， M（3，﹣4+3）， 综上所述：在该抛物线的对称轴上存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形，点M的坐标（3，1）或）或或（3，14）． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，正确进行分类是解决问题的关键． 2．（2025秋•宣城期末）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数，且a＜0）． （1）若该函数图象经过点（2，﹣5），则a的值为 　﹣1　 ； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则a的值为 　或　 ． 【分析】（1）二次函数y＝ax2+2ax﹣3a的图象经过点（2，﹣5），得到﹣5＝4a+4a﹣3a，即可得到a＝﹣1； （2）求出点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3a），得到AB2＝16，AC2＝9a2+9，BC2＝9a2+1，分三种情况进行讨论即可进行解答． 【解答】解：（1）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数，且a＜0）经过点（2，﹣5），把（2，﹣5）代入解析式得： ∴﹣5＝4a+4a﹣3a， 解得a＝﹣1， 故答案为：﹣1； （2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， 当y＝0时，0＝ax2+2ax﹣3a， ∵a＜0， ∴x2+2x﹣3＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣3， ∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）， 当x＝0时，y＝﹣3a， ∴点C的坐标为（0，﹣3a）， ∴AB2＝[1﹣（﹣3）]2＝42＝16，AC2＝（﹣3﹣0）2+（0+3a）2＝9a2+9，BC2＝（1﹣0）2+（0+3a）2＝9a2+1， 则AC≠BC， 当AB＝BC时，AB2＝BC2，即9a2+1＝16， 解得a1（不合题意，舍去），a2； 当AB＝AC时，AB2＝AC2，即9a2+9＝16， 解得a3（不合题意，舍去），a4； 综上，a的值为或． 故答案为：或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 3．（2026•硚口区一模）抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图，连接BC，点D在第一象限的抛物线上，连接AD分别交OC，BC于E，F两点，若△CEF是以EF为腰的等腰三角形，求点D的横坐标； 【分析】（1）分别令x＝0，y＝0，即可得解； （2）分两种情况，依次画出图形，利用FE∥BG，得到k相等求解即可； 【解答】解：（1）令x＝0，得y＝2， 令y＝0，即x2x+2＝0， 解得x＝﹣1或x＝4， 故A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）， （2）①当EF＝CF时，如图1，在y轴上取一点G（0，﹣2），连接BG， ∴BC＝BG，∠BCG＝∠BGC， ∵FC＝FG， ∴∠FCE＝∠FEC， ∴∠FEC＝∠BGC， ∴FE∥BG． 由B（4，0）和G（0，﹣2）可得， 设代入A（﹣1，0），可得， 联立：， 解得：xD＝3； ②当EF＝CE时，如图2，在y轴负半轴上取一点G．连接BG，使得GB＝GC． ∴GB＝GC，∠GCB＝∠GBC， ∵EF＝EC， ∴∠EFC＝∠ECF， ∴∠EFC＝∠GBC， ∴FE∥BG． 设OG＝a， ∴GB＝GC＝a+2， ∵∠OBG＝90°， ∴a2+42＝（a+2）2， 解得：a＝3， ∴G（0，﹣3）． 同理可得， 综上，点D的横坐标是3或； 【点睛】本题主要考查了二次函数综合内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．（2026•城关区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A，B（1，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），顶点为D． （1）求出抛物线的表达式； （2）若∠CAB的角平分线与在第一象限的抛物线交于点P，求点P的横坐标； （3）若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M．使得以点A，C，M为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）设AP交y轴于K，过K作KT⊥AC于T，设K（0，k），证明△KTC是等腰直角三角形，可得CKKTk，故k+k＝3，解得K（0，33），知直线AP解析式为y＝（1）x+33，联立得（1）x+33＝﹣x2﹣2x+3，即可得点P的横坐标为2； （3）设M（﹣1，m），得AC2＝18，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2，分两种情况列方程解出m的值即可得答案． 【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2﹣2x+c得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）设AP交y轴于K，过K作KT⊥AC于T，如图： 设K（0，k），则OK＝k， ∵AP平分∠CAB，OK⊥x轴，KT⊥AC， ∴KT＝OK＝k， 在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0得0＝﹣x2﹣2x+3， 解得x＝﹣3或x＝1， ∴A（﹣3，0）， ∵C（0，3）， ∴OA＝OC＝3， ∴∠ACO＝∠CAO＝45°， ∵KT⊥AC， ∴△KTC是等腰直角三角形， ∴CKKTk， ∵CK+OK＝OC＝3， ∴k+k＝3， 解得k＝33， ∴K（0，33）， 由A（﹣3，0），K（0，33）得直线AP解析式为y＝（1）x+33， 联立得（1）x+33＝﹣x2﹣2x+3， 解得x＝﹣3或x＝2， ∴点P的横坐标为2； （3）存在点M，使得以点A，C，M为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形，理由如下： ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1， 设M（﹣1，m）， ∵A（﹣3，0），C（0，3）， ∴AC2＝18，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2， 当AC＝AM时，18＝4+m2， 解得m或m， ∴M（﹣1，）或（﹣1，）； 当AC＝CM时，18＝1+（m﹣3）2， 解得m＝3或m＝3， ∴M（﹣1，3）或（﹣1，3）； 综上所述，以点A，C，M为顶点的三角形是以AC为腰的等腰三角形时，点M的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，3）或（﹣1，3）． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形判定与性质，两点间的距离公式等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 5．（2026•雷州市模拟）如图1，抛物线y＝ax2+kx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标； （3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得C，M，D的坐标，根据勾股定理的逆定理得出△MCD是等腰三角形，进而根据S△PMC＝2S△DMC得出S△PMC＝2，连接MB，设MD交x轴于点E，则ME＝EB＝2得出△MBE是等腰直角三角形，进而得出S△BMC＝2，则点P与点B重合时符合题意，P（1，0），过点B作BP∥AC交抛物线于点P，得出直线BP的解析式为y＝﹣x+1，联立抛物线解析式，即可求解； （3）勾股定理求得AC2，AN2，CN2，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+kx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），将点A，点B的坐标分别代入得： 解得： ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点， 当x＝0时，得：y＝﹣3， ∴C（0，﹣3） ∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴D（﹣1，﹣4），对称轴为直线x＝﹣1， 设直线AC的解析式为y＝k1x+b1，将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3， 当x＝﹣1时，y＝﹣2，则M（﹣1，﹣2） ∴， ∴MD2＝MC2+CD2， ∴△MCD是等腰三角形， ∴， 连接MB，设MD交x轴于点E，则ME＝EB＝2， ∴△MBE是等腰直角三角形， ∴∠BME＝45°，， 又∵∠DMC＝45°， ∴BM⊥AC， ∴， ∴点P与点B重合时符合题意，P（1，0）， 如图，过点B作BP∥AC交抛物线于点P， 设直线BP的解析式为y＝﹣x+m，将B（1，0）代入得， 0＝﹣1+m， 解得：m＝1， ∴直线BP的解析式为y＝﹣x+1， 联立得：， 解得：，， ∴P（﹣4，5）， 综上所述，P（1，0）或P（﹣4，5）； （3）存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形；或或（﹣1，﹣1）或．理由如下： ∵A（﹣3，0），C（0，﹣3）， ∴AC2＝32+32＝18， ∵点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，设N（﹣1，n）其中n＞﹣4， ∴AN2＝（﹣3+1）2+n2＝4+n2，CN2＝12+（n+3）2＝n2+6n+10， ①当AN＝AC时，4+n2＝18， 解得：或， ②当NA＝NC时，4+n2＝n2+6n+10， 解得：n＝﹣1， ③当CA＝CN时，18＝n2+6n+10， 解得：或（舍去）， 综上所述，存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形；或或（﹣1，﹣1）或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理逆定理，三角形的面积，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，分类讨论是解答本题的关键． 6．（2026•兴宁市三模）如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C（0，4），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q． （1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝　　 ，A （　﹣3　 ，　0　 ），B （　4　 ，　0　 ）； （2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），试求PQPN的最大值； （3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a可得a的值，令y＝0即可解得A、B坐标； （2）由OB＝OC可得∠CBO＝45°，从而可得△PNQ是等腰直角三角形，PQPN，故求PQPN最大值只需求出PQ最大值，用m表示出PQ即可得答案； （3）用m表示出△ACQ三边长度，分论讨论即可． 【解答】解：（1）将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a得4＝﹣12a， ∴a， ∴yx2x+4， 令y＝0得0x2x+4，解得x1＝4，x2＝﹣3， ∴A（﹣3，0），B（4，0）， 故答案为：；﹣3，0；4，0； （2）∵yx2x+4， ∴令x＝0得y＝4， ∴C（0，4），OC＝4， 而B（4，0）有OB＝4， ∴OB＝OC，△BOC为等腰直角三角形， ∴∠CBO＝45°， ∵PM⊥x轴， ∴∠BQM＝45°＝∠PQC， ∵PN⊥BC， ∴△PQN是等腰直角三角形， ∴PQPN， ∴PQPN＝2PQ， ∴PQPN取最大值即是PQ取最大值， 由C（0，4），B（4，0）可得BC解析式为y＝﹣x+4， ∵M（m，0）， ∴P（m，m2m+4），Q（m，﹣m+4）， ∴PQ＝（m2m+4）﹣（﹣m+4）m2m（m﹣2）2， ∴m＝2时，PQ最大值为， ∴PQPN的最大值为． （3）∵A（﹣3，0），C（0，4），Q（m，﹣m+4）， ∴AC5，AQ，CQ， 以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况： ①AC＝AQ时，5，解得m＝0（此时Q与C重合，舍去）或m＝1， ∴Q（1，3）， ②AC＝CQ时，5，解得m或m（此时M不在线段OB上，舍去）， ∴Q（，）， ③AQ＝CQ时，，解得m＝12.5（此时M不在线段OB上，舍去）， 综上所述，以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，Q（1，3）或Q（，）． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，题目较难，解题的关键是表示相关点的坐标从而表示出线段长度，再根据已知列方程求解． （二）二次函数与直角三角形的综合 7．（2026•静安区模拟）设抛物线y＝x2+k的顶点为A，与x轴分别交于B、C两点，如果△ABC是直角三角形，那么k的值为　﹣1　 ． 【分析】根据抛物线的解析式，它的开口向上，由于与x轴分别交于B、C两点，得k＜0，△ABC是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的纵坐标的绝对值与点A横坐标的绝对值相等，以此作为等量关系来列方程解出的值． 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝x2+k， ∴该抛物线的顶点（0，k），对称轴为y轴， ∴AB＝AC， ∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC是直角顶点为A的等腰直角三角形， ∵抛物线和x轴有两个交点， ∴﹣4k＞0， ∴k＜0， 令y＝0，得， 又∵抛物线y＝x2+k与x轴的两个交点以及顶点围成的△ABC是直角三角形， ∴． 解得k＝﹣1或k＝0（不合题意，舍去）， 即k的值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练运用以上知识点． 8．（2025秋•瑶海区期末）已知一个直角三角形的两直角边之和为10cm，则这个直角三角形面积最大为　12.5　 cm2． 【分析】设一条直角边为xcm，则另一条为（10﹣x）cm，则根据三角形面积公式即可得到面积S和x之间的解析式，求最值即可． 【解答】解：设一条直角边为xcm，则另一条为（10﹣x）cm， 则Sx（10﹣x）（x﹣5）2+12.5， ∵0， ∴当x＝5cm时，S最大＝12.5cm2． 故答案为：12.5． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的最值，列出三角形的面积与x的函数关系式是解题的关键． 9．（2026春•盐城期末）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（6，8），M是抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的对称轴上存在2个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值（或范围）是　或或或　 ． 【分析】分三种情况讨论直角顶点位置，直角顶点为O和A时各对应1个符合条件的点M，直角顶点为M时M在以OA为直径的圆上，总共有2个不同点M说明圆与对称轴无交点，根据圆心到对称轴的距离大于半径列不等式求解即可． 【解答】解：△AOM为直角三角形，分三种情况讨论： 当∠OAM＝90°时，OA⊥AM，同理，点M所在定直线与对称轴有且仅有1个交点； 当∠AOM＝90°时，OA⊥OM，点M在定直线上，抛物线对称轴为竖直直线，因此定直线与对称轴有且仅有1个交点； 当∠OMA＝90°时，由圆周角定理可知，点M在以OA为直径的圆上， 设圆心为P，则P为OA的中点， 已知A（6，8），O（0，0），则P的坐标为（3，4）， 由勾股定理得， 因此圆P的半径． 抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的对称轴为直线， 设，则对称轴为， 圆心P到对称轴的距离， 若满足条件的点M共有2个不同的点，则圆P与对称轴无交点，即d＞r， 因此，即|t+6|＞10， 得t+6＞10或t+6＜﹣10， 解得t＞4或t＜﹣16， 即或， 当对称轴过点A时， 则y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的对称轴为：， 则， 当对称轴过点O时， 则y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的对称轴为：， 则， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 10．（2025秋•朝阳区期末）如图，抛物线y＝ax2（a＞0）的顶点为O，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），当△AOB为直角三角形时，AB＝4，则a的值是　　 ． 【分析】根据抛物线的性质得△AOB为等腰直角三角形，得AC＝BC＝OC＝2，从而得出点B的坐标，将点B的坐标代入表达式即可求解． 【解答】解：根据抛物线的对称性质，可知△ABO为等腰直角三角形，∠AOB＝90°， ∵AB＝4， ∴AC＝BC＝OC＝2， ∴B的坐标为（2，2）， ∴2＝22a， ∴a． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象的对称性质以及图象上点的特征是解答此题的关键． 11．（2026•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，P（4，﹣2）是抛物线y＝ax2﹣4x+c的对称轴上一点，且抛物线与y轴的交点坐标为（0，2）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设点E在对称轴右侧的抛物线上，点F在x轴上，若△PEF是以P为直角顶点的直角三角形，且PE＝2PF，求点E和点F的坐标； 【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为直线x＝4，可求a的值，再将点（0，2）代入yx2﹣4x+c，即可确定函数的解析式； （2）设对称轴与x轴的交点为G，过点E作EH⊥PG交于H点，则△PGF∽△EHP，能得到PH＝2GF，HE＝2PG，设E（t，t2﹣4t+2），F（s，0），则|t﹣4|＝4，|﹣2t2+4t﹣2|＝2|s﹣4|，即可求E（8，2），F（2，0）； 【解答】解：（1）∵P（4，﹣2）是抛物线y＝ax2﹣4x+c的对称轴上一点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝4， ∴4， 解得a， ∴抛物线的解析式为yx2﹣4x+c， 将点（0，2）代入yx2﹣4x+c， ∴c＝2， ∴抛物线的解析式为yx2﹣4x+2； （2）设对称轴与x轴的交点为G，过点E作EH⊥PG交于H点， ∵∠FPE＝90°， ∴△PGF∽△EHP， ∵PE＝2PF， ∴PH＝2GF，HE＝2PG， 设E（t，t2﹣4t+2），F（s，0）， ∴|t﹣4|＝4，|﹣2t2+4t﹣2|＝2|s﹣4|， 解得t＝8或t＝0（舍），s＝2或s＝6（舍）， ∴E（8，2），F（2，0）； 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 12．（2026•河东区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线x＝﹣2与x轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点B（1，0），且AC＝2BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直于x轴于点D，交线段AB于点E，使DE＝3PE． ①求点P的坐标； ②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据题意，分别求出点C的坐标，利用AC＝2BC求出点A的坐标，在利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①设点P的坐标为（a，﹣a2﹣3a+4），利用待定系数法求出直线AB的解析式，用含a的式子表示出点E的坐标，用含a的式子表示出DE和PE的长度，由DE＝3PE，得到关于a的方程，求得a的值，即可得到点P的坐标； ②设点M的坐标为（，m），分别求得AB、AM、BM的长度，根据△ABM是以AB为直角边的直角三角形，所以可分为两种情况：一是AM为斜边，二是BM为斜边，利用勾股定理列出关于m的方程，求解即可． 【解答】解：（1）∵直线x＝﹣2与x轴交于点C， ∴点C（﹣2，0）， ∵B（1，0）， ∴BC＝3， ∵AC＝2BC， ∴AC＝6， ∵直线x＝﹣2与抛物线交于点A， ∴点A（﹣2，6）， 把点A、B的坐标代入解析式，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4； （2）①∵P是直线AB上方的抛物线上的一点， ∴设点P的坐标为（a，﹣a2﹣3a+4）， 设直线AB的解析式为yAB＝kx+b， 将点A、B的坐标代入解析式，得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为：y＝﹣2x+2， ∵PD⊥x轴于点D，交AB于点E， ∴点E的坐标为（a，﹣2a+2）， ∴DE＝﹣2a+2，PE＝﹣a2﹣3a+4﹣（﹣2a+2）＝﹣a2﹣a+2， ∵DE＝3PE， ∴﹣2a+2＝3（﹣a2﹣a+2），解得：a1＝1（舍去），a2， 当x时，y， ∴点P的坐标为（，）； ②∵点M在直线PD上， ∴设点M的坐标为（，m）， ∵点A（﹣2，6），点B（1，0）， ∴AB，AM，BM， ∵△ABM为以AB为直角边的直角三角形， Ⅰ：当BM为斜边时，可得：AB2+AM2＝BM2， 即45（6﹣m）2m2，解得：m， ∴点M的坐标为（，）； Ⅱ：当AM为斜边时，可得：AB2+BM2＝AM2， 即45m2（6﹣m）2，解得：m， ∴点M的坐标为（，）； 综上所述，符合题意的点M的坐标为M1（，）、M2（，）． 【点睛】本题主要考查二次函数、勾股定理的综合应用，解决第（2）②小题的题目种，构成直角三角形的问题时，若能求得三角形的长度，则可以利用勾股定理解决，同时此类问题中，要注意分类讨论思想的应用． （三）二次函数与等腰直角三角形的综合 13．（2026•宜兴市二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（﹣1，0），（3，0）．点A是该抛物线上一点（点A不在x轴上），过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为点B，以AB为边，以点O为对称中心作▱ABCD．设点A的横坐标为m． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点A在抛物线对称轴右侧，且▱ABCD被对称轴分得的两个图形中有一个是等腰直角三角形时，求AB的长； （3）当线段CD与该抛物线恰好有两个公共点时，请直接写出m的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意分别求出A（m，﹣m2+2m+3），B（1，﹣m2+2m+3），C（﹣m，m2﹣2m﹣3），D（﹣1，m2﹣2m﹣3），求出直线AD的解析式，设AD与对称轴的交点为H，则H（1，m2﹣4m+3），根据AB＝BH，可得|2m2﹣8m+6|＝m﹣1，解得m或m，即可求AB； （3）根据题意结合图象可得两个临界位置为：当C点在抛物线上时，m，当顶点（1，4）在线段CD上时，m＝1﹣2，由此求解即可． 【解答】解：（1）将（﹣1，0），（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c， ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴对称轴为直线x＝1， ∵A（m，﹣m2+2m+3）， ∴B（1，﹣m2+2m+3），C（﹣m，m2﹣2m﹣3），D（﹣1，m2﹣2m﹣3）， ∵点A在抛物线对称轴右侧， ∴AB＝m﹣1， 设直线AD的解析式为y＝kx+n， ∴， 解得， ∴y＝（﹣2m+6）x+m2﹣4m+3， 设AD与对称轴的交点为H，则H（1，m2﹣4m+3）， ∴BH＝|2m2﹣8m+6|， ∵△ABH为等腰直角三角形， ∴AB＝BH， ∴|2m2﹣8m+6|＝m﹣1， 解得m或m， ∴AB或； （3）当C点在抛物线上时，﹣m2﹣2m+3＝m2﹣2m﹣3， 解得m＝±， 当顶点（1，4）在线段CD上时，m2﹣2m﹣3＝4， 解得m＝1±2， ∵线段CD与该抛物线恰好有两个公共点， ∴A点在对称轴的左侧， ∴m＜1﹣2． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 14．（2026•二道区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx与x轴交于点A（2，0），点B在抛物线上．设其横坐标为m，点C是平面直角坐标系中异于点B的一点，其坐标是（﹣1﹣2m，4m+4），连结BC，当BC不与坐标轴垂直时，以BC为斜边作Rt△BCD，使BD⊥y轴． （Ⅰ）求抛物线所对应的函数表达式； （Ⅱ）当点B在抛物线对称轴左侧，且Rt△BCD是等腰直角三角形时，求m的值； 【分析】（Ⅰ）利用待定系数法求出抛物线解析式； （Ⅱ）再结合直角三角形、等腰直角三角形的性质得到点坐标与线段关系，根据题目要求列方程或不等式求解；用到抛物线的单调性、坐标与线段长度的关系等初中知识点，逐步推导即可得到结果； 【解答】解：（Ⅰ）抛物线y＝x2﹣bx与x轴交于点A（2，0），将点A的坐标代入得： 0＝22﹣2b， 解得：b＝2， ∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x； （Ⅱ）∵抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵点B在抛物线上，设其横坐标为m， ∴B（m，m2﹣2m）， 由点B在对称轴左侧，得m＜1， ∵C（﹣1﹣2m，4m+4），BC是Rt△BCD 的斜边， ∴∠BDC＝90°， 又∵BD⊥y轴， ∴BD∥x轴，yD＝yB， ∵∠BDC＝90°， ∴CD⊥BD， ∴CD∥y轴，xD＝xC， ∴D（﹣1﹣2m，m2﹣2m）， ∵△BCD是等腰直角三角形， ∴BD＝CD， ∴BD＝|m﹣（﹣1﹣2m）|＝|3m+1|，CD＝|（4m+4）﹣（m2﹣2m）|＝|m2﹣6m﹣4|， ∴|3m+1|＝|m2﹣6m﹣4|， 分两种情况讨论： ①3m+1＝m2﹣6m﹣4， 解得：m（不合题意，舍去）或； ②3m+1＝﹣（m2﹣6m﹣4）， 解得：m（不合题意，舍去）或， 由BC不与坐标轴垂直得，两个解均满足条件， 故m的值为或； 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键． 类型二 二次函数与平行四边形的综合 15．（2025秋•宜春期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与经过点B的直线y＝2x+2交于点E，点P在抛物线上，点Q在x轴上，若以P、Q、B、E为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为　或或（﹣3，4）　 ． 【分析】先求得点E和点B的坐标，再分类讨论，BE为平行四边形的对角线时，BP为平行四边形的对角线时，BQ为平行四边形的对角线时，这三种情况，分别解答即可． 【解答】解：令0＝﹣x2﹣6x﹣5， 解得x1＝﹣1，x2＝﹣5， ∵点A在点B左侧， ∴B（﹣1，0）， ∵y＝﹣x2﹣6x﹣5＝﹣（x+3）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣3， 当x＝﹣3时，y＝2x+2＝2×（﹣3）+2＝﹣4， ∴E（﹣3，﹣4）， 设Q（n，0），P（m，﹣m2﹣6m﹣5）， 若BQ为平行四边形的对角线时，， 解得m1＝m2＝﹣3， ∴P（﹣3，4）， 若BP为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴或； 若BE为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴或； 综上，点P的坐标为或或（﹣3，4）， 故答案为：或或（﹣3，4）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 16．（2026•丹徒区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（a≠0）与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为P（1，﹣1），将该抛物线C1沿射线AP方向平移得抛物线C2，抛物线C2的顶点为Q． （1）求抛物线C1对应的函数表达式； （2）若抛物线C2与x轴交于B、C两点，且BC＝2，则点Q的坐标为　（3，1）　 ； （3）点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，点F在抛物线C2上，若四边形APFE是面积为6的平行四边形，求点Q的坐标； 【分析】（1）由题意可得c＝﹣2且.得到b＝﹣2a，再将点（1，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2，求出a＝﹣1即可； （2）设抛物线C1向右平移p个单位，再向上平移p个单位得抛物线C2，得到抛物线C2的解析式为y＝﹣x2+（2+2p）x﹣p2﹣p﹣2，设B（x1，0），C（x2，0），求出x1+x2＝2+2p，x1•x2＝p2+p+2，根据|x1﹣x2|＝2，利用x1•x2＝4，即可解答； （3）求出直线AP的解析式为y＝x﹣2，根据四边形APFE是面积为6的平行四边形，可得EF＝AP，AP∥EF，如图，设直线EF交y轴于点N，过点N作直线AP的垂线，交直线AP于点G，设直线AP与x轴交点为K，求出NG＝3，易证△AOK是等腰直角三角形，得到∠NAG＝∠OAK＝45°，求出ANNG＝6，进而得到N（0，﹣8），直线AP的解析式为y＝x﹣8，联立，求出E（3，﹣5），根据点E向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点F 【解答】解：（1）由题意可得c＝﹣2且， 则b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax﹣2， 将点（1，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2， 则﹣1＝a﹣2a﹣2＝0， ∴a＝﹣1， ∴抛物线C1对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x﹣2； （2）∵点A（0，﹣2），点P（1，﹣1），且0+1＝1，﹣2+1＝﹣1，将抛物线C1沿射线AP方向平移得到抛物线C2， ∴设抛物线C1向右平移p个单位，再向上平移p个单位得到抛物线C2， ∵抛物线C1：y＝﹣x2+2x﹣2＝﹣（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线C2的解析式为y＝﹣（x﹣1﹣p）2+p﹣1 ＝﹣x2+（2+2p）x﹣（1+p）2+p﹣1 ＝﹣x2+（2+2p）x﹣p2﹣p﹣2， ∵抛物线C2与x轴交于B、C两点， 令y＝﹣x2+（2+2p）x﹣p2﹣p﹣2＝0， 设B（x1，0），C（x2，0）， ∴x1+x2＝2+2p，x1•x2＝p2+p+2， ∵BC＝2， ∴|x1﹣x2|＝2， ∵4x1•x2＝4， ∴（2+2p）2﹣4（p2+p+2）＝4，即﹣4p＝﹣8， 解得p＝2， ∴抛物线C2的解析式为y＝﹣（x﹣1﹣2）2+2﹣1＝﹣（x﹣3）2+1， ∴抛物线C2的顶点坐标Q（3，1）； 故答案为：（3，1）； （3）设直线AP的解析式为y＝kx﹣2，则﹣1＝k﹣2， 解得k＝1， ∴直线AP的解析式为y＝x﹣2， ∵四边形APFE是面积为6的平行四边形， ∴，AP∥EF， 如图，设直线EF交y轴于点N，过点N作直线AP的垂线，交直线AP于点G，设直线AP与x轴交点为K， ∴AP•NG＝6， ∴， 令y＝x﹣2＝0，解得x＝2，则K（2，0）， ∴OA＝OK＝2， ∵∠AOK＝90°， ∴△AOK是等腰直角三角形， ∴∠OAK＝45°， ∴∠NAG＝∠OAK＝45°， ∵∠AGN＝90°， ∴， ∴ON＝2+6＝8， ∴N（0，﹣8）， ∵AP∥EF， ∴直线AP的解析式为y＝x﹣8， 联立， 解得或， ∵点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点， ∴E（3，﹣5）； ∵点A（0，﹣2），点P（1，﹣1），且0+1＝1，﹣2+1＝﹣1， ∴点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点P， ∵EF＝AP，AP∥EF， ∴点E向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点F， ∴F（3+1，﹣5+1），即F（4，﹣4）， 同理（2）设抛物线C1向右平移t个单位，再向上平移t个单位得到抛物线C2， ∴抛物线C2的解析式为y＝﹣（x﹣1﹣t）2+t﹣1， 将F（4，﹣4）代入y＝﹣（x﹣1﹣t）2+t﹣1，则﹣4＝﹣（4﹣1﹣t）2+t﹣1， ∴t2﹣7t+6＝0， 解得t＝6或t＝1， ∴抛物线C2的解析式为y＝﹣（x﹣7）2+5或y＝﹣（x﹣2）2， ∴点Q的坐标为（7，5）或（2，0）； 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17．（2026•永川区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是直线BC下方抛物上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标； （3）在（2）中△PBC的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为Q，M为y轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【分析】（1）将A，B点坐标代入抛物线解析式求出系数a，b的值，即可得解析式； （2）过点P作PN∥y轴交BC于点N，根据三角形的面积公式可表达△PBC的面积，再根据二次函数的性质可得结论； （3）根据题意可得出平移后的抛物线的解析式，进而可得出点Q的坐标，最后根据平行四边形的性质进行分类讨论，进而可得结论． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）两点代入抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）， ∴， 解得． ∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3； 如图，过点P作PN∥y轴交BC于点N， 设点P的横坐标为t， ∴P（t，t2﹣2t﹣3），N（t，t﹣3）， ∴PN＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t， ∴S△PBC•（xB﹣xC）•PN •（0+3）•（﹣t2+3t） （t）2， ∴当t时，S△PBC的最大值为，此时P（，）； （3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴平移后的抛物线为：y′＝（x+1）2﹣4， ∴Q（﹣1，﹣4）， ∵M在y轴上， ∴设M（0，m），N（n，n2+2n﹣3）， 若以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形， ∴分以下两种情况： 当PQ为平行四边形的边时， xP﹣xQ＝xM﹣xN或xP﹣xQ＝xN﹣xM， 即（﹣1）＝0﹣xN或（﹣1）＝xN﹣0， 解得xN或xN， ∴N（，）或（，）； 当PQ为平行四边形的对角线时，xP+xQ＝xM+xN， 即（﹣1）＝0+xN， 解得xN， ∴N（，）； 综上，满足题意的点N的坐标为：（，）或（，）或（，）． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查二次函数性质，三角形的面积，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，分类讨论思想等相关知识，解题的关键是进行正确的分类讨论． 类型三 二次函数与矩形的综合 18．（2026•相城区二模）如图，在矩形ABCD中，点A（﹣1，1），点D（2，1），则二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1与矩形ABCD有两个交点时，则m的取值范围为　m＜0　 ． 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线顶点可得抛物线运动轨迹，结合图象求解． 【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+m2+m+1＝（x﹣m）2+m+1， ∴抛物线顶点坐标为（m，m+1）， ∴抛物线顶点在直线y＝x+1上， 如图， 当抛物线顶点在AD上时，m+1＝1， ∴m＝0， 如图，当抛物线经过点A（﹣1，1）时， 1＝1+2m+m2+m+1， 解得m（舍）或m， ∴m＜0， 故答案为：m＜0． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，结合图象求解． 19．（2026•成都模拟）已知，在抛物线上从左往右有两个点A，B；当点A在（0，0）与（2，2）之间运动时，过点A，B分别作x轴，y轴的平行线，平行线相交于点M，N形成矩形，矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点，则A点横坐标a的范围是　0≤a≤1或a或a＝2　 ． 【分析】矩形中的整数点个数问题可以分解为横、纵坐标中的整数个数问题，通过设参数，分类讨论求整数的个数，判断是否满足题意即可． 【解答】解：设，B（b，）， 由矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点可知，矩形的横向边界的点的横坐标为整数的个数，与纵向边界的点的纵坐标为整数的个数，满足相乘等于12， ∵12＝12×1＝6×2＝4×3， 设横向边界的整数个数为n， 分两种情况， 第一种，点A的横坐标为整数， ①若A（0，0），则n﹣1≤b＜n，， 显然，当n≤2时，，此时矩形内的整数点个数一定小于12， ∴n＞2， ∴，即矩形的纵向边界的长度大于横向边界的长度， ∴n＝3， 检验：若横向边界的整数为3，则2≤b＜3， 此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，3×4＝12满足题意； ②若A（1，），则n≤b＜n+1，， 显然，当n≤2时，， 此时矩形内的整数点个数一定小于12， ∴n＞2， ∴， 即矩形的纵向边界的长度大于横向边界的长度， ∴n＝3， 检验：若横向边界的整数为3，则3≤b＜4， 此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，3×4＝12满足题意； ③若A（2，2），则n+1≤b＜n+2，， 显然，当n≥3时，， 此时矩形内的整数点个数一定大于12， ∴n＜3， ∴n＝1或n＝2， 检验：若横向边界的整数为1，则2＜b＜3， 此时，不存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为12； 若横向边界的整数为2，则3≤b＜4， 此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为6，3×4＝12满足题意； 第二种，点A的横坐标不为整数， ①若0＜a＜1，则， 由第一种情况可知，n＝3，此时3≤b＜4，， 则，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，3×4＝12满足题意； ②若1＜a＜2，则， 由第一种情况可知，n＜3， ∴n＝1或n＝2， 检验：若横向边界的整数为1，则2≤b＜3， 此时， 不存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为12； 若横向边界的整数为2，则3≤b＜4， 此时， 此时纵向边界的长度小于6，只有当点A的纵坐标为整数， 即a，时才能使得纵向边界上纵坐标为整数的点的个数为6，满足2×6＝12； 综上，横坐标a的范围为0≤a≤1或a或a＝2． 故答案为：0≤a≤1或a或a＝2． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数与不等式，二次函数的图象与性质，矩形的性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 20．（2026•莘县模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作PM∥y轴交BC于点M，过点Q作QN∥y轴交BC于点N，求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标； （3）如图3，将抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）设P（a，a2﹣2a﹣3），则Q（a+1，a2﹣4），进而得到M（a，a﹣3），N（a+1，a﹣2）；再表示出PM+QN＝﹣2a2+4a+2＝﹣2（a﹣1）2+4，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）分以BC为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C点的坐标为（0，﹣3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B、C点的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， 点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，设P（a，a2﹣2a﹣3），则Q（a+1，a2﹣4）． ∴M（a，a﹣3），N（a+1，a﹣2）， ∴PM＝﹣a2+3a，QN＝﹣a2+a+2， ∴PM+QN＝﹣2a2+4a+2＝﹣2（a﹣1）2+4， 当a＝1时，（PM+QN）max＝4， ∴Q（2，﹣3）； （3）存在E（﹣1，﹣2）或（5，﹣3）或或使以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形．理由如下： 由题意可得：y′＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5， ∴y′的对称轴为x＝2 ∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C． ∴C（0，﹣3）， ∵B（3，0）， ∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°； 如图3.1：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴， ∵D在y′的对称轴为x＝2， ∴FD＝2， ∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5）， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到E（5，﹣2）； 如图3.2：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y′的对称轴为x＝2与x轴交于F， ∵D在y′的对称轴为x＝2， ∴FO＝2， ∴BF＝3﹣2＝1， ∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°， ∴BF＝FD＝3﹣2＝1，即点D（2，1）， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E（﹣1，﹣2）； 如图3.3：当BC为矩形对角线时，设D（2，d），E（m，n）， ∴BC的中点F的坐标为（，），依题意得： ， 解得：， 又∵DE＝BC， ∴（2﹣1）2+（d﹣n）2＝32+32， 解得：d﹣n＝±， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或． 综上，存在E（﹣1，﹣2）或（5，﹣2）或或使以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键． 类型四 二次函数与菱形的综合 21．（2025秋•河南期末）如图，菱形AOBC的顶点A在y轴的正半轴上，抛物线y＝x2经过顶点C．若∠AOB＝60°，则菱形AOBC的面积为（　　） A． B．2 C．4 D． 【分析】过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，连接OC，设C（m，m2），根据，求得点C的坐标，进而求得菱形的边长，根据菱形的性质，即可求解． 【解答】过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，连接OC， ∵∠AOB＝60°， ∴∠AOC＝30°， ∴，， ∵抛物线y＝x2经过顶点C， ∴设C（m，m2）， ∴CD＝m，OD＝m2， ∴， 解得：或m＝0（舍去）， ∴， ∴， ∵菱形AOBC， ∴AC＝AO， 设OA＝t，则AC＝t，AD＝3﹣t， 在Rt△ADC中，AC2＝AD2+DC2， ∴， 解得：t＝2， ∴OA＝2， ∴若∠AOB＝60°，则菱形AOBC的面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．（2025秋•潮南区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx经过边长为2的菱形OABC的三个顶点O、A、C，∠AOC＝120°，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】作CH⊥x轴于点H，求出OH和CH的长，进而求出点C的坐标，将点A和点C的坐标代入y＝ax2+bx，即可求解． 【解答】解：如图，作CH⊥x轴于点H，抛物线y＝ax2+bx经过边长为2的菱形OABC的三个顶点O、A、C，∠AOC＝120°， ∵菱形OABC边长为2， ∴OA＝OC＝2， ∴A（2，0）， ∵∠AOC＝∠OHC+∠OCH＝120°， ∴∠OCH＝120°﹣∠OHC＝120°﹣90°＝30°， ∴，， ∴， 将和A（2，0）代入y＝ax2+bx，得： ， 解得， ∴a的值为． 故选：B． 【点睛】本题考查求二次函数解析式，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，正确记忆相关知识点是解题关键． 23．（2026•宁河区二模）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a为常数，a＜0）的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，Q（m，n）为第二象限一点． （1）若a＝﹣1，m＝﹣6， ①求该抛物线顶点P的坐标； ②当S△ABC＝S△ACQ时，求n的值； （2）E为y轴上一点（不与点C重合），且点E的纵坐标大于或等于，过点E作抛物线对称轴的垂线，垂足为F，连接QF．若四边形AEPQ是菱形，且PQ+QF取得最小值时，求点Q坐标． 【分析】（1）①将a＝﹣1代入抛物线解析式，再将抛物线解析式化为抛物线顶点式即可得出结果； ②过点A作x轴的垂线与CQ交于点D，先分别求出点A，B，C的坐标，从而得到OC，AB的距离，求出△ABC的面积，根据m＝﹣6设出点Q的坐标，由S△ABC＝S△ACQ列出△ACQ面积的表达式，从而求得点D的坐标，利用待定系数法求出直线CQ的解析式，从而得出n的值； （2）将y＝ax2+2ax﹣3转化为顶点式，得出点P的顶点坐标表达式，从而求得对称轴，设E（0，e），则F（﹣1，e），令y＝0，求得点A的坐标，作点A关于y轴的对称点A′（3，0），连接A′E，将A′向左平移1个单位得到A″（2，0），连接A″F，当A″，F，Q三点共线时，PQ+QF的值最小，利用菱形的性质，待定系数法求出直线A″Q的解析式，将点F代入求出，再代入得，求出a的值，进而得出e的值，最终可求得点Q的坐标． 【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a为常数，a＜0）的顶点为P，a＝﹣1， ∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴点P的坐标为（﹣1，4）； ②如图1，过点A作x轴的垂线与CQ交于点D， ∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C， 当y＝0时，得：﹣x2﹣2x+3＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝1； 当x＝0时，得：y＝3， ∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）， ∴AB＝4，OC＝3， ∴S△ABC•AB•OC4×3＝6， ∵Q（m，n）为第二象限一点，m＝﹣6， ∴Q（﹣6，n）， ∴S△ABC＝S△ACQ， ∴S△ACQ6， ∴， 解得：AD＝2， ∴D（﹣3，2）， 设直线CQ的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点C，点D的坐标分别代入得： ， 解得：， 直线CQ的解析式为， 当x＝﹣6时，得：y＝1， ∴n＝1； （2）y＝ax2+2ax﹣3＝a（x+1）2﹣4a， ∴P（﹣1，﹣4a），对称轴为直线x＝﹣1， ∴EF＝1， 设E（0，e），则F（﹣1，e），y＝ax2+2ax﹣3＝a（x2+2x﹣3）， 当y＝0时，得：a（x2+2x﹣3）＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，0）， 如图2，作点A关于y轴的对称点A′（3，0），连接A′E，将A′向左平移1个单位得到A″（2，0），连接A″F， ∵EF＝A′A″，EF∥A′A″， ∴四边形A′A″EF为平行四边形， ∴A′E＝A″F， ∵四边形AEPQ为菱形， ∴PQ＝AE＝PE， ∴PQ+QF＝AE+QF＝A′E+QF＝A″F+QF≥A″Q， ∵当A″，F，Q三点共线时，PQ+QF的值最小， 由菱形性质可得：﹣1﹣m＝0﹣（﹣3），e﹣0＝﹣4a﹣n， 解得：m＝﹣4，n＝﹣e﹣4a， ∴Q（﹣4，﹣e﹣4a），A（﹣3，0）， 设直线A″Q的解析式为y＝k′x+b′（k′≠0），将点A″，点Q的坐标分别代入得： ， ∴直线A″Q的解析式为， 将点F（﹣1，e）代入得：， ∴， ∴， ∵PE＝AE， ∴， 解得：a1，a1，a2（不合题意，舍去）， ∴e， ∴Q（﹣4，）． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，三角形的面积，菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 24．（2026•东西湖区一模）如图，抛物线与x轴交于A和B两点，A在B点左边，与y轴交于C点． （1）直接写出A，B，C三点坐标； （2）如图1，D为OC中点，在抛物线上找一点P，使∠PAO＝2∠DAO，求出P点坐标； （3）如图2，将（2）中的点A和D及抛物线均向下平移4个单位，H为新抛物线对称轴右侧上一点，直线HF与新抛物线交于唯一公共点H，与y轴交于F，是否存在以FH为对角线的菱形EFGH，使E点在y轴上，G点在AD延长线上，若存在，求菱形EFGH的面积S四边形EFGH若不存在，请说明理由． 【分析】（1）分别令x、y＝0即可得出A，B，C三点坐标； （2）分①当P点在AB上方时，②当P点在AB下方时，两种情况求解即可； （3）易得平移后抛物线解析式，设H（h，），利用Δ＝0可得FH解析式为y，可得F（0，），设E（0，e），因为四边形EFGH是菱形，所以FE＝FH，可得e＝﹣1，故E（0，﹣1），设G（m，n），根据菱形性质求出G（h，1），同理可得直线AD解析式为yx﹣2，解得h＝6，所以H（6，﹣9），F（0，9），最后通过S四边形EFGH＝EF×|xH|求解即可． 【解答】解：（1）由抛物线得， 当x＝0时，y＝4， 当y＝0时，， 解得x1＝﹣4，x2＝4， ∴A（﹣4，0），B（4，0），C（0，4）； （2）①当P点在AB上方时，在OA上取点S，使SA＝SD，过A作AP∥SD，交抛物线于点P，交y轴于点T，如图， ∴∠ADS＝∠DAO， ∴∠DSO＝∠ADS+∠DAO＝2∠DAO， ∵AP∥SD， ∴∠PAO＝∠DSO＝2∠DAO， ∵C（0，4），D为OC中点， ∴D（0，2）， ∴OD＝2， 设OS＝m，则SA＝SD＝4﹣m， ∵SD2＝OS2+OD2， ∴（4﹣m）2＝m2+22， 解得， ∴， 设直线SD解析式为y＝k1x+b1， ∴， 解得， ∴直线SD解析式为， 设直线AP解析式为， ∴， 解得， ∴直线AP解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； ②当P点在AB下方时，在OA上取点S，使SA＝SD，过A作AP1∥SD，交抛物线于点P1交y轴于点T，作点T关于x轴对称点Q，连接AQ，交抛物线于点P，如图， 由①得直线AP1解析式为，∠P1AO＝2∠DAO， 当x＝0时，， ， ∵点T与点Q关于x轴对称， ∴，OA垂直平分TQ， ∴OT＝OQ，AT＝AQ， ∴Rt△TAO≌Rt△QAO（HL）， ∴∠PAO＝∠QAO＝2∠DAO，即∠PAO＝2∠DAO， 设直线AQ解析式为y＝k3x+b3， ∴， 解得， ∴直线AQ解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 综上可得或； （3）∵点A和D及抛物线均向下平移4个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 设， 设直线FH解析式为y＝kx+b， 把代入得， ∴直线FH解析式为， ∴与抛物线联立得， ∴x2+4kx﹣h2﹣4kh＝0， ∵直线HF与新抛物线交于唯一公共点H， ∴Δ＝（4k）2﹣4×1×（﹣h2﹣4kh）＝0， 整理得h2+4kh+4k2＝0， 解得， ∴FH解析式为， 当x＝0时，， ∴， 设E（0，e）， ∵四边形EFGH是菱形， ∴FE＝FH， ∴， 整理得eh2+h2＝0， 解得e＝﹣1， ∴E（0，﹣1）， 由，H（h，）， 设G（m，n）， ∴m+0＝0+h，﹣1+n， 解得m＝h，n＝1， ∴G（h，1）， 将（2）中的点A和D及抛物线均向下平移4个单位， ∴A（﹣4，﹣4），D（0，﹣2）， 同理可得直线AD解析式为yx﹣2， ∴1h﹣2， 解得h＝6， ∴H（6，﹣9），F（0，9）， ∴EF＝10， ∴S四边形EFGH＝EF×|xH|＝10×6＝60． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题型，熟练掌握相关知识是解题的关键． 类型五 二次函数与正方形的综合 25．（2026•连州市二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+c（a≠0）的图象过边长为1的正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则a的值为（　　） A． B． C．2 D．﹣2 【分析】可得，根据正方形的性质以及二次函数的对称性可得，再代入函数解析式求解a． 【解答】解：连接BC，交AO于点D， ∵正方形ABOC边长为1， ∴， 则，， 当x＝0时，， 当时，， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，正方形的性质． 26．（2026•雷州市模拟）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝x2+c上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（　　） A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．mn＝1 D． 【分析】分别过A，C两点作y轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为M和N， 由条件可知点A坐标为（m，m2+c），点C坐标为（n，n2+c）， 所以AM＝m，MO＝m2+c，CN＝n，NO＝n2+c． 因为四边形ABCD是正方形， 所以AD＝CD，∠ADC＝90°， 在△CDN和△DAM中， ， 所以△CDN≌△DAM（AAS）， 所以DM＝CN＝n，DN＝AM＝m， 所以MN＝DM+DN＝m+n， 又因为MN＝NO﹣MO＝m2﹣n2， 所以m2﹣n2＝m+n， 即（m+n）（m﹣n）＝m+n， 因为m＞n＞0， 所以m+n≠0， 所以m﹣n＝1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 27．（2025秋•河北期末）如图，边长为1的正方形ABCD顶点A（0，1），B（1，1）；抛物线y＝ax2+bx+c过点M（﹣1，0），若顶点在正方形ABCD内部（包括在正方形的边上），则a的取值范围是　　 ． 【分析】由于抛物线的顶点在正方形ABCD内部（包括在正方形的边上），分别讨论抛物线的顶点在正方形各个顶点上时a的取值，即可得到答案． 【解答】解：设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣h）2+k， ∵顶点是正方形ABCD上的一个动点， 当抛物线的顶点与点A重合时，顶点坐标为（0，1）， 则抛物线的解析式为：y＝ax2+1， 将M（﹣1，0）代入：a+1＝0， ∴a＝﹣1， 当抛物线的顶点与点B重合时，顶点坐标为（1，1）， 则抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+1， 将M（﹣1，0）代入：4a+1＝0， ∴， 当抛物线的顶点与点C重合时，顶点坐标为（1，2）， 则抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+2， 将M（﹣1，0）代入：4a+2＝0， ∴， 当抛物线的顶点与点D重合时，顶点坐标为（0，2）， 则抛物线的解析式为：y＝ax2+2， 将M（﹣1，0）代入：a+2＝0， ∴a＝﹣2， ∵顶点在正方形ABCD内部， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的解析式y＝ax2+bx+c中的a、b、c对抛物线的影响，在对于抛物线的顶点在所给图形内进行运动的判定，充分利用了数形结合的方法，展开讨论是解题的关键． 28．（2026•宜宾模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A、C两点，其中A（﹣1，0），C（4，0），与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结BC，过点D作DE⊥BC于点E，延长DE与直线y＝﹣2交于点F，求DE的最大值及此时点D的坐标； （3）若将原抛物线绕原点O旋转180°得到新的抛物线y′，P是新抛物线y′上的一个动点，H是直线y＝﹣2上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形OPKH为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标． 【分析】（1）根据题意得：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）＝ax2+bx+4，即可求解； （2）证明DMDF，得到DFDE＝DG+DM＝﹣m2+4m﹣m2+3m+6＝﹣2m2+7m+6＝﹣2（m）2，即可求解； （3）证明△PON≌△HOM（AAS），得到PN＝HM＝2，ON＝OM．则P点的坐标为（2，6）或（﹣2，﹣6），H（6，﹣2），再分类求解即可． 【解答】解：（1）根据题意得：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）＝ax2+bx+4， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4； （2）过点D作DM⊥直线y＝﹣2于M，交直线BC于G， ∴DM∥y轴， ∴∠DGE＝∠OBC， ∵抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A、C两点，其中A（﹣1，0），与y轴交于点B． 令y＝0，则0＝﹣x2+3x+4，解得x1＝﹣1，x2＝4，令x＝0，则y＝4， ∴B（4，0），C（0，4）， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴∠DGE＝∠OBC＝45°， ∵DE⊥BC， ∴∠EDG＝∠DGE＝45°， ∴DE＝EG， ∴DGDE， ∵DM⊥直线y＝﹣2， ∴∠EDG＝∠DFM＝45°， ∴DMDF， 由点B、C的坐标得，直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 设直线DM交x轴于N，D（m，﹣m2+3m+4），则G（m，﹣m+4），M （m，﹣2）， ∴DG＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，DM＝﹣m2+3m+4﹣（﹣2）＝﹣m2+3m+6， ∴DFDE＝DG+DM＝﹣m2+4m﹣m2+3m+6＝﹣2m2+7m+6＝﹣2（m）2， ∴DF+DE的最大值为，此时点D的坐标为（，）； （3）如图， 根据旋转得抛物线y'过点（0，﹣4），（1，0），（﹣4，0）， ∴y'＝x2+3x﹣4， 设P（n，n2+3n﹣4）， ∵四边形OPKH为正方形， ∴OP⊥OH，OP＝OH， ∴∠PON+∠NOH＝90°， 过点H作HM⊥x轴于M，过点P作PN⊥y轴于N， ∴∠PNO＝∠HMO＝90°， ∴∠HOM+∠NOH＝90°， ∴∠PON＝∠HOM， ∴△PON≌△HOM（AAS）， ∴PN＝HM＝2，ON＝OM． ∴n＝±2， ∴P点的坐标为（2，6）或（﹣2，﹣6），H（6，﹣2）， ①当P点的坐标为（2，6）时， ∵O（0，0），P（2，6），H（6，﹣2），四边形OPKH为正方形， ∴点K的坐标为（8，4）； ②当P点的坐标为（﹣2，﹣6）时， ∵O（0，0），P（2，6），H（6，﹣2），四边形OPKH为正方形， ∴点K的坐标为（4，﹣8）； 综上，存在，点K的坐标为（8，4）或（4，﹣8）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段长度是解题的关键． 29．（2026•乐清市二模）抛物线y＝x2+bx+3（b为常数）经过点（3，0）． （1）求二次函数的表达式． （2）当t≤x≤t+2时，二次函数y＝x2+bx+3的最大值为15，求t的值． （3）已知正方形ABCD的边长为9，AB∥x轴，AB在CD下方，点A在点B的左侧．在正方形ABCD任意平移的过程中，抛物线的一段y＝x2+bx+3（m≤x≤n）在正方形ABCD的边界及其内部，其中m≤2≤n，当n﹣m达到最大值时，求点D横坐标xD的取值范围． 【分析】（1）将（3，0）代入即可得解； （2）令y＝15，求出x，再根据x范围求解即可； （3）易得AB不能在顶点（2，﹣1）上方，画出图形，找出临界值即可． 【解答】解：（1）把（3，0）代入y＝x2+bx+3， 得0＝32+3b+3， 解得：b＝﹣4， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3； （2）法1：令y＝15，则x2﹣4x+3＝15， 解得x1＝﹣2，x2＝6， ∵t≤x≤t+2， ∴t1＝﹣2，t2＝4； 法2：分类讨论： 由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1可知，对称轴为直线x＝2， 当2≥2，即t≥1时， 此时x＝t+2有最大值，即（t+2）2﹣4（t+2）+3＝15， 解得t＝4或t＝﹣4（舍去）； 当2，即t＜1时， 此时x＝t有最大值，即t2﹣4t+3＝15， 解得t＝﹣2或t＝6（舍去）； 综上，t＝﹣2或4； （3）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）， ∵抛物线的一段y＝x2﹣4x+3（m≤x≤n）在边长为9的正方形ABCD的边界及其内部，且m≤2≤n， ∴AB不能在顶点（2，﹣1）上方， 因为正方形边长为9，再由图象可知，当顶点落在AB中点处，必能取得n﹣m的最大值为6， 此时x＝n＝3+2＝5，y＝8， ∵9＞6， ∴要取到最大值，抛物线顶点在AB上且与CD存在两个交点， ∴5﹣9≤xD≤2﹣3， 即﹣4≤xD≤﹣1． 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式、最值问题、图象和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 30．（2026•越秀区三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ∥AB，交BC于Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由． （3）设点D（1，n），点E（1，1﹣n），将线段DE绕点D顺时针旋转90°后得到线段DF，以DE，DF为边构造正方形DEGF，当正方形DEGF的边与二次函数在x≤3范围上的图象有且仅有一个公共点时，请求出n的值或取值范围． 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出OC＝OB，得出∠OBC＝45°，求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，过点P作PE⊥x轴，交BC于点D．设P（m，﹣m2+2m+3），则D（m，﹣m+3），得出PD＝﹣m2+2m+3+m﹣3＝﹣m2+3m，证明△PDQ为等腰直角三角形，得出，求出最大值即可； （3）分两种情况：当时，点E在点D上方，当时，点E在点D下方，分别画出图形，求出点G的坐标；然后根据正方形DEGF的边与二次函数在x≤3范围上的图象有且仅有一个公共点，得出边EG与抛物线相交或顶点在抛物线上时符合题意；从而可知当EG与抛物线相交时有2﹣2n＞3，再根据点G或点F在抛物线上，求出n的值，即可得出答案． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）线段PQ存在最大值；理由如下： ∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C， 当x＝0时，得y＝3， ∴C（0，3）， ∴OC＝3， ∵B（3，0）， ∴OB＝3， ∴OC＝OB， ∴∠OBC＝45°， 设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B的坐标代入得：3k+3＝0， 解得：k＝﹣1， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， 如图1，过点P作PE⊥x轴，交BC于点D，则∠PEB＝90°， 设P（m，﹣m2+2m+3）（0＜m＜3），则D（m，﹣m+3）， ∴PD＝﹣m2+2m+3+m﹣3＝﹣m2+3m， ∵PQ∥AB， ∴∠QPD＝∠PEB＝90°，∠DQP＝∠OBC＝45°， ∴△PDQ为等腰直角三角形， ∴， ∴当时，PQ有最大值，此时， 即此时； （3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴二次函数的对称轴为直线x＝1， ∴点D、E在抛物线的对称轴上； ∵D（1，n），E（1，1﹣n），当n＝1﹣n时，， ∴当时，点E在点D上方， ∴DE＝1﹣n﹣n＝1﹣2n， ∵将线段DE绕点D顺时针旋转90°后得到线段DF， ∴∠EDF＝90°，DF＝DE， ∴F（2﹣2n，n），G（2﹣2n，1﹣n）； 当时，点E在点D下方， 同理可得：DE＝n﹣（1﹣n）＝2n﹣1， ∴F（2﹣2n，n），G（2﹣2n，1﹣n）， ∴不论n为何值，F点的坐标为F（2﹣2n，n），G点坐标为G（2﹣2n，1﹣n）； ∵正方形DEGF的边与二次函数在x≤3范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴边EG与抛物线相交或顶点在抛物线上时，符合题意． ①当时，点E在点D上方， 如图2，边FG在B点右侧，EG与抛物线相交时， 则2﹣2n＞3， 解得； 如图3，点G在抛物线上时，四边形DEGF是正方形， ∴EG＝DF， ∵G（2﹣2n，1﹣n）， ∴1﹣n＝﹣（2﹣2n﹣1）2+4， 解得（大于的值不合题意，已舍去）； ②当时，点E在点D下方，如图4，此时点F在抛物线上时符合要求， ∴n＝﹣（2﹣2n﹣1）2+4， 解得（小于的值不合题意，已舍去）； 综上所述，n的取值范围为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，分类讨论是解答本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $