专题16 圆中常见的辅助线 专项训练讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题16 圆中常见的辅助线 ▌专题目标 1. 理解圆的基本性质，掌握常见辅助线的作法与作用。 2. 掌握连半径构造等腰三角形的方法。 3. 掌握作弦心距应用垂径定理的方法。 4. 掌握见直径构造直角、遇切点连半径的方法。 5. 掌握构造圆周角实现角的转化，提升辅助线构造的主动性。 ▌专题目录 题型01：连半径，构造等腰三角形 题型02：作弦心距，应用垂径定理 题型03：见直径，构造直角（90°的圆周角） 题型04：遇切点（切线），连半径证（用）垂直 题型05：构造圆周角，实现角的转化 ▌题型01：连半径，构造等腰三角形 题型描述：题干给出圆及圆上点，求角度或线段。核心得分点是半径相等，连接圆心与圆上点得等腰三角形。 基础知识： 1. 同圆的半径相等； 2. 连半径得等腰三角形，两底角相等； 3. 圆心角与圆周角的关系：同弧所对圆心角是圆周角的2倍。 解题方法： 1. 连半径：连接圆心与相关圆上点； 2. 标等腰：标出等腰三角形的底角； 3. 倒角算：用等腰性质与圆心角、圆周角关系求角； 4. 验图形：核对角的位置。 解题思路： 口诀：径、腰、角、算。圆中倒角先连半径；等腰底角与圆心角、圆周角配合完成角度转化。 1．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，以为圆心，为半径画弧，分别交、于点、，若，，则弧的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用半径相等及已知条件证得，结合等腰三角形性质与三角形外角性质，通过三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：连接， 由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 2．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，中，弦直径，若的度数是，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将弧的度数问题转化为圆心角的度数问题是解题关键，先由的度数得到圆心角的度数，再利用平行线性质和等腰三角形性质求出圆心角的度数，从而得到的度数． 【详解】解：连接、， 的度数是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数是． 3．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连接，相交于点P，连接，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则平分．其中正确的是（     ） A．①② B．①②③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】由垂径定理，圆周角定理得出，，进而根据等角的余角相等判断①；由点P为的中点，得出，进而证明，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②；连接，根据垂径定理得出，由得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出，继而判断③；由勾股定理得出，则有，由③可得为等边三角形，利用等边三角形的性质即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵点P为的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 则由③知为等边三角形，又， ∴平分， 即平分，故④正确，符合题意； 故正确的是①②③④． 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的两条直径，E为上一点，，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据圆周角定理求出的度数，由可得，进而求出的度数，最后利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ▌题型02：作弦心距，应用垂径定理 题型描述：题干给出弦长、半径（或弦心距）中的部分量，求其余量。核心得分点是作弦心距，构造垂径定理的直角三角形。 基础知识： 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦； 2. 弦心距d、半弦a、半径r满足r²＝d²＋a²； 3. 知二求一：r、d、a中已知两个可求第三个。 解题方法： 1. 作弦心距：过圆心作弦的垂线； 2. 连半径：补出直角三角形的斜边； 3. 用勾股：r²＝d²＋计算； 4. 答所求：求弦长、半径或弦心距。 解题思路： 口诀：距、径、股、求。见弦想垂径；“半径、弦心距、半弦”三件套直角三角形是固定模型。 5．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，的半径为，把劣弧沿折叠，使劣弧经过圆心，再把劣弧沿折叠，使劣弧经过的中点，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据第一次折叠性质得出 的长，根据第二次折叠性质得出且平分，从而求出的弦心距，最后利用勾股定理求的长． 【详解】解：如图 设为的半径，于，则为 中点，， ∵劣弧沿折叠,经过圆心， ∴点与点关于对称， ∴，且 . 如图 ∵劣弧沿折叠，经过的中点， ∴且平分， 设 与 所在直线交于点 F，则． 设为关于的对称点，则为折后弧所在圆的圆心，连接， ∴，， 在中，， 由垂径定理得． 6．（2026·河北沧州·三模）如图，已知，是中位于圆心上下两侧的两条弦，且，设弦，，关于的函数图象如图所示，当时，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于，于，则，，，，由，得，进而得到，即可证，得到，即得到，再根据函数图象可知的直径为，即得，设，则，利用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】解：作于，于，则，， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由函数图象可知，当时，，此时为直径， ∴的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理得，, ∴， ∴． 7．（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，的半径为5，是的弦，若，则弦的长度为__________． 【答案】 【分析】过点作，垂足为，由垂径定理可得，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理计算出，即可得解． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 8．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，． (1)求的度数； (2)若圆的半径为6，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，从而利用三角形的外角的性质求解； （2）过点作于点，根据垂径定理得，再根据含30度角的直角三角形的性质得到，然后由勾股定理求出，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∴， ∵，圆的半径为6，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ▌题型03：见直径，构造直角（90°的圆周角） 题型描述：题干给出圆的直径（或需证垂直、求线段），核心得分点是连接直径端点与圆上点，得90°圆周角。 基础知识： 1. 直径所对的圆周角是直角； 2. 90°的圆周角所对的弦是直径（逆用找直径）； 3. 构造直角后可使用勾股定理。 解题方法： 1. 找直径：确定（或作出）直径； 2. 连圆周点：连接直径端点与圆上的点； 3. 用直角：在直角三角形中用勾股计算； 4. 验合理：检验结果。 解题思路： 口诀：径、连、直、股。见直径连“第三点”出直角；要证某线是直径，先证它所对的圆周角是90°。 9．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，，，是上的点，且，现给出下列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作直径，连接，在上取点E，连接，根据圆内接四边形的性质可得的度数，再由直径，可求出的度数，然后根据圆内接四边形的性质可得的度数，即可． 【详解】解：如图，作直径，连接，在上取点E，连接， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， 综上所述，仅用一把无刻度的直尺能画出，则仅无法画出的是． 10．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是的直径，点C、D都在上，且在的异侧，连接交于点Q，连接．若，，，则的半径为___________． 【答案】 【分析】连接，三角形的外角求出，圆周角定理求出，进而求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴的半径为2． 11．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）把正方形和正方形拼接在一起，、、三点共线，过、、三点作．分别交边，于点、，若，，则的半径长为______． 【答案】 【分析】连接，，，，，根据题意可以推得，根据直角所对的弦是直径可知是的直径，根据直径所对圆周角是直角可得和是直角三角形；设，根据题意和勾股定理列式求解即可． 【详解】解：连接，，，，， 设， ∵正方形和正方形， ∴， ∴， 则是的直径， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴，， ∴， 则在中，， 在中，， 即 解得或（舍） 代入可得， ∴半径为． 12．（2026·吉林长春·模拟预测）【问题提出】如图①，以的边为直径作若经过边的中点M，求证：． (1)【问题解决】证明：如图②，连接． 请你完成上述证明过程 (2)【结论应用】 ①在【问题提出】的条件下，若点B也在上，且，则的面积为________； ②如图，以正方形的边为直径的圆经过的边的中点M，连接．若，则长度的最大值为________． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ∴，， 是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 点在上， ∴， ∴， ∴． (2)①；② 【分析】（1）由四边形是平行四边形，是的中点，是的中点，可得四边形是平行四边形，从而得出，再利用点在上得出，即可证明结论； （2）①连接，由是的直径得出，由（1）可知可得，利用勾股定理求出，即可求出的面积；②连接，先利用勾股定理求出，由（1）可知，从而求出，得出点在以点为圆心，半径为3的圆上（不包括点），所以当点，，在同一直线上时，取得最大值，最大值为． 【详解】（1）略 （2）解：①如图所示，连接， 点落在圆上，是的直径， ∴， 四边形是平行四边形， ∴， 由（1）可知， ， ∴， 在中，， ∴； ②如图所示，连接， 四边形是正方形，， ∴，， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为3的圆上（不包括点）， ∴当点，，在同一直线上时，取得最大值，最大值为． ▌题型04：遇切点（切线），连半径证（用）垂直 题型描述：题干给出圆的切线（或切点），求角、线段或证关系。核心得分点是切点连圆心，半径垂直于切线。 基础知识： 1. 切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径； 2. 切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，切线长相等； 3. 弦切角等于所夹弧对的圆周角。 解题方法： 1. 连切点：连接圆心与切点； 2. 标直角：半径⊥切线； 3. 用性质：直角三角形中计算或用切线长定理； 4. 倒角算：结合圆周角、等腰求角。 解题思路： 口诀：点、垂、性、算。见切线连半径出直角是条件反射；圆外一点两切线想切线长相等。 13．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，求圆心O到的距离． 【答案】(1)证明：连接、， ∵是的直径， ∴，即． 又， ∴，即D是的中点． ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 又是的半径， ∴是的切线； (2) (3)4 【分析】（1）连接、，根据圆周角定理得出，结合，得出，则是的中位线，即可得，结合，得出，即可证明是的切线； （2）在中，根据勾股定理求出，再根据等面积法求解即可； （3）过点O作于点H，根据三线合一得出，在中，是的中位线，即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴在中，． ∵， ∴，解得． （3）解：过点O作于点H， ∵， ∴， ∵O是的中点， ∴在中，是的中位线， ∴． ∴圆心O到的距离为4． 14．（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图所示，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ，即， 又是的半径， 是的切线． 【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再根据等弧所对的圆周角相等得到，据此可求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，据此可得答案； （2）连接，根据（1）所求可得的度数，则可求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，再由切线的判定定理可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ，， ； ， ． 是的直径， ， ； （2）略 15．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 【答案】(1)过点作于点，连接、． ∵是等腰三角形，是底边中点， ∴，且平分． ∵与相切于， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴也等于的半径， ∴是的切线． (2)①是等腰直角三角形，证明如下： ∵是的直径 ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形． ②． 【分析】（1）过点作的垂线，记垂足为点H，因为与相切，所以到的距离等于半径，结合等腰三角形三线合一、角平分线的性质，证明到的距离等于半径即可． （2）①因为是的直径，所以先由直径所对圆周角是直角确定为直角，再结合角平分线的条件得到弧和弧相等，所以对应弦，据此判断三角形形状．②先在中用勾股定理求长度，得到的半径，再结合角平分线定义求出度数，根据圆周角定理求出的度数，最后用扇形的面积减去的面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）略． （2）①略． ②连接， ∵在中，，，， ∴， ∴的半径． ∵平分， ∴， ∴． ∴扇形的面积：． ∵的面积：： ∴． 16．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，为的直径，为上一点，过点的直线和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）连接，利用切线的性质，推出，得到，利用等边对等角得到，进而得到，即可； （2）连接，交于点，连接，交于点，分割法求阴影部分面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点，连接，交于点， ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． ▌题型05：构造圆周角，实现角的转化 题型描述：题干中需要求的角与已知角位置分散。核心得分点是利用“同弧所对圆周角相等”把角转移到便于计算的位置。 基础知识： 1. 同弧（等弧）所对的圆周角相等； 2. 同弧所对圆心角是圆周角的2倍； 3. 圆内接四边形对角互补； 4. 倒角路径：圆周角↔圆周角↔圆心角。 解题方法： 1. 找弧：确定目标角与已知角所对的弧； 2. 作转移：连接构造同弧圆周角； 3. 倒角算：用相等圆周角或2倍关系计算； 4. 验弧：核对角与弧的对应。 解题思路： 口诀：弧、移、倍、算。圆中角的问题“弧是桥梁”；找不到等角时，把角沿弧“搬”到需要的位置。 17．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）在上，点A，B，C，D，E的位置如图所示，若，则弧的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用圆的内接四边形的性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴弧的度数为． 18．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知四边形内接于半径为4的，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵四边形内接于半径为4的 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ ∴ ∴． 19．（2026·四川广安·中考真题）如图，内接于，是的直径，过点作射线交的延长线于点，使．求证：是的切线； 【答案】证明：连接， ，， ∵， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的切线． 【分析】连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； 【详解】略． 20．（2026·四川遂宁·二模）已知：如图，是的直径，点C为上一点，于点F，交于点E，与交于点H，连接，是的切线，与的延长线相交于点D．求证：； 【答案】证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【分析】由切线的性质得到，即，然后由得到，推出，等量代换证明即可； 【详解】略 ▌专题综合训练 一、选择题 1．（2026·安徽合肥·一模）如图，是外接圆，，若，弦的弦心距为2，则弦的长是（   ） A．10 B． C．12 D．15 【答案】B 【分析】过点作，交于点，连接，过点作于点，首先结合垂径定理证明，易得，在中，由勾股定理解得的长度，设半径为，即，则，在中，由勾股定理解得的值，然后在中，由勾股定理解得的长度，根据垂径定理即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作，交于点，连接，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 设半径为，即，则， 在中，由勾股定理可得， 即，解得， ∴， ∵弦的弦心距为2，即， ∴在中，由勾股定理可得， ∵， ∴． 2．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的直径，，，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，利用垂径定理求平行弦问题，半圆（直径）所对的圆周角是直角等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 过O作于点G，过C作于点F，过D作于点E，证明，得到，由矩形的性质得到，分别在和中应用勾股定理得到，，从而可得关于的方程求解即可． 【详解】解：如图，过O作于点G，过C作于点F，过D作于点E， 则，，， 设的半径为，， ∵是的直径， ， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在与中， ， ， 在四边形中，，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故选：A． 3．（2026·安徽芜湖·三模）如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，且，则线段的长不可能为（     ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意可得，从而得到点F在以为直径的半圆上运动，设的中点为O，以为直径画圆，连接， 设与圆O交于点，则圆O的半径为，则当点F与点重合时，线段最小，最小值为，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， 如图，设的中点为O，以为直径画圆，连接， 设与圆O交于点，则圆O的半径为， ∴当点F与点重合时，线段最小，最小值为， 在中，，， ∴， 即的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值大于，故A选项符合题意． 4．（2026·安徽淮南·二模）如图，为正方形的对角线，平分，交于点E，把绕点B逆时针方向旋转得到，延长交于点M，连接，交于点N．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论错误的是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】首先根据正方形的性质和全等三角形的性质可知，易得，即可判断结论①；结合且，即可判断结论②；首先确定在以为直径的圆上，由圆周角定理可得，即可判断结论③；过点作，交于，证明，再设，在中利用勾股定理解得，进而确定，易得，即可判断结论④． 【详解】解：由旋转可知，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故结论①正确， ∵，， ∴，故结论②错误； 如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴在以为直径的圆上， ∵， ∴，故结论③正确； 如图，过点作，交于， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，在中，， ∴， ∴（负根已舍去）， ∵， ∴， ∴，故结论④正确． 二、填空题 5．（25-26九年级上·山东泰安·期末）如图，点、、在上，是弧的中点，交于点．若，，则的度数是______． 【答案】/95度 【分析】连接，设与交于点，由圆心角、弧、弦的关系定理推出，由圆周角定理得到，然后由三角形外角的性质求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵是弧的中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，C为圆上一点是弧的中点，与交于点E，若E是的中点，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查垂径定理的推论、勾股定理、全等三角形的性质与判定及圆周角的性质，熟练掌握垂径定理的推论、勾股定理、全等三角形的性质与判定及圆周角的性质是解题的关键；连接，交于点F，由题意易得，则有，然后可得，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，交于点F，如图所示： ∵点D是弧的中点，是的半径， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：，负值舍去， ∴． 故答案为：2． 7．（2025·江苏宿迁·一模）如图，是的直径，在上，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形，直径所对圆周角是直角，直角三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，求出，得到，求出，根据圆周角定理得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是的内接四边形，， ， 是的直径， ， ， ， 故答案为：. 8．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，是的直径，弦交于，且，，且，则弦的长为______． 【答案】 【分析】过点O作于点E，连接，根据圆的性质可求出，由垂径定理得到，证明是等腰直角三角形，则可求出，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于点E，连接， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 9．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，矩形内接于，E是上一点，且 ，连接，分别交于点 F，G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】本题主要考查勾股定理，圆周角定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等得出，由矩形的性质得出，等量代换可得出，由等角对等边得出． （2）连接，先得出是直径，再得出，进而可得出，再得出，再证明，由全等三角形的性质得出，利用勾股定理先求出，再求出，进而可求出半径． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵， ∴， ∴， 在矩形中， ，，， ∴是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径为． 10．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，是的外接圆的直径，，是上的一点，满足，连接并延长交于点，连结． (1)如图，若，求的值； (2)如图，点在弦上，过点作于，交于点． ①若，求证：； ②若，连接，，且是以为腰的等腰三角形，设，求的值． 【答案】(1)2 (2)①证明：如图，连接， ∵是的直径，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②或 【分析】（1）由是的直径，，可得，可得，即可求得的长； （1）①连接，由是的直径，，可得，再由圆周角定理可得，则，由，可得，可证得，由，，，可得，即可证明结论； ②分和两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①略 ②（Ⅰ）当时，如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，则， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∴， 整理得， ∴，即， 解得，， 当时，，， ∴，则点不在弦上，不合题意，舍去； 当时，，，， ，点在弦上，符合题意； ∴； （Ⅱ）当时，如图，连接， 同理（Ⅰ）可得，，， ∴， 设，则， ， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 整理得， 解得， ， ∵当时，，， ∴，则点不在弦上，不合题意，舍去； 当时，，， ∴，点在弦上，符合题意； ∴； 综上所述，的值或． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题16圆中常见的辅助线 专题目标 理解圆的基本性质，掌握常见辅助线的作法与作用。 2. 掌握连半径构造等腰三角形的方法。 3 掌握作弦心距应用垂径定理的方法。 掌握见直径构造直角、遇切点连半径的方法。 掌握构造圆周角实现角的转化，提升辅助线构造的主动性。 专题目录 题型01：连半径，构造等腰三角形 题型02：作弦心距，应用垂径定理 题型03：见直径，构造直角(90°的圆周角) 题型04：遇切点（切线），连半径证（用)垂直 题型05：构造圆周角，实现角的转化 题型01：连半径，构造等腰三鱼形 题型描述：题干给出圆及圆上点，求角度或线段。核心得分点是半径相等，连接圆心与圆 上点得等腰三角形。 基础知识： 1/14 同圆的半径相等： 连半径得等腰三角形，两底角相等： 圆心角与圆周角的关系：同弧所对圆心角是圆周角的2倍。 解题方法： 连半径：连接圆心与相关圆上点： 标等腰：标出等腰三角形的底角； 倒角算：用等腰性质与圆心角、圆周角关系求角： 验图形：核对角的位置。 解题思路： 口诀：径、腰、角、算。圆中倒角先连半径；等腰底角与圆心角、圆周角配合完成角度转 化。 1.(26:27九年级上江苏盐城阶段检测)如图，在△18 C中，以B为圆心， BM为半径画弧M正，分别交 4C、BC于点D、B,若CD=B.∠B=87 DE ,则 的度数为() A.29° B.30° C.31° D.32° 2.(26-27九年级上·江苏盐城阶段检测)如图， 中，弦CD ⊙0 直径4B,岩C的度数是50，则D 的度数是() D A.50° B.60° C.80° D.100° 3.(26-27九年级上江苏泰州阶段检测)如图，AB是⊙O的直径，点C,点D是半圆上两点，连接AC, BD相交于点P,连接AD,OC.己知OC⊥BD于点E,AB=2.下列结论：①∠CAD+∠OBC=90°： 2/14 ②若点P为AC的中点，则CE=2OE;③若AC=BD,则CE=OE:④若BC2+BD2=4,则DB平分 ∠CBA.其中正确的是() A.①② B.①②③④ C.②③④ D.①②③ 4.(2026陕西咸阳模拟预测)如图，AB,CD是⊙O的两条直径，E为⊙0上一点，CE=BE,连接 BC,DE.若∠CDE=35°，则∠ABC的度数为() A B D A.20° B.23° C.30° D.35° 题型02：作弦心距，应用垂径定理 题型描述：题干给出弦长、半径（或弦心距）中的部分量，求其余量。核心得分点是作弦 心距，构造垂径定理的直角三角形。 基础知识： 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦： 弦心距d、半弦a、半径r满足r2=d2+a2: 知二求一：r、d、a中已知两个可求第三个。 解题方法： 作弦心距：过圆心作弦的垂线； 连半径：补出直角三角形的斜边： 2 弦 用勾股：2=d2+ 、2 计算； 答所求：求弦长、半径或弦心距。 3/14 解题思路： 口诀：距、径、股、求。见弦想垂径；“半径、弦心距、半弦”三件套直角三角形是固定 模型。 5.(26-27九年级上浙江杭州阶段检测)如图， O0的半径为8cm,把劣弧MB沿MB折叠，使劣弧MB ⊙0 经过圆心0，再把劣D沿C 折叠，使劣D 经过4B的中点B,则折痕CD的长为() A.8cm B.83 cm C.27em D 4v7 cm 6.(2026河北沧州三模)如图1，己知AB,CD是⊙0中位于圆心上下两侧的两条弦，且 ∠C0D+∠40B=180,设弦4B=,CD-y,'关于的函数图象如图2所示，当CD=2M0时，则 CD的长为() 9 D B 图1 图2 3W5 6W5 9√5 A.5 B.5 C.5 D.5 7.(26-27九年级上江苏盐城阶段检测)如图，⊙0的半径为5，AB是⊙0的弦，若∠AOB=120°，则 弦AB的长度为 4/14 B 8.(26-27九年级上江苏无锡阶段检测)如图，AB是⊙0的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙0 上，且CD=OB,CD的延长线交⊙O于点E,∠C=15° (1)求∠BOE的度数： (2)若圆的半径为6，求CE的长 题型03：见直径，构造直角(90的圆周鱼) 题型描述：题干给出圆的直径（或需证垂直、求线段），核心得分点是连接直径端点与圆 上点，得90°圆周角。 基础知识： 直径所对的圆周角是直角： 90°的圆周角所对的弦是直径（逆用找直径）； 构造直角后可使用勾股定理。 解题方法： 找直径：确定（或作出）直径： 连圆周点：连接直径端点与圆上的点； 用直角：在直角三角形中用勾股计算： 验合理：检验结果。 解题思路： 口诀：径、连、直、股。见直径连“第三点”出直角：要证某线是直径，先证它所对的圆 周角是90°。 5/14 9.(26-27九年级上江苏南京阶段检测)如图，A,B,C是⊙0上的点，且∠ABC=130°，现给出下 列度数的圆周角，仅用一把无刻度的直尺无法画出的是() A.50° B.40° C.100 D.140° 10.(25-26九年级上陕西安康期中)如图，AB是⊙0的直径，点C、D都在⊙0上，且在AB的异侧， 连接CD交AB于点Q,连接BC、BD.若∠ABD=45°，∠AQD=75°，BC=2,则⊙0的半径为 B 11.(26-27九年级上·江苏无锡阶段检测)把正方形ABCD和正方形CEFG拼接在一起，B、C、E三点 共线，过A小C~F三点作00：O0分别交边C,MB于点HQ,若DG-5,M-名.则00 的半径长为一· 6/14 12.(2026·吉林长春模拟预测)【问题提出】如图①，以口ABCD的边AD为直径作⊙0，若⊙0经过边BC 的中点M,求证：AD=2DC 图① 图② 图③ (I)【问题解决】证明：如图②，连接OM 请你完成上述证明过程 (2)【结论应用】 ①在【问题提出】的条件下，若点B也在⊙O上，且AB=4,则口ABCD的面积为. ②如图，以正方形ADEF的边AD为直径的圆经过口ABCD的边BC的中点M,连接FC.若AF=6, 则FC长度的最大值为 题型04：遇切点（切线），连半径证（用）垂直 题型描述：题干给出圆的切线（或切点），求角、线段或证关系。核心得分点是切点连圆 心，半径垂直于切线。 基础知识： 切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径： 切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，切线长相等： 弦切角等于所夹弧对的圆周角。 解题方法： 连切点：连接圆心与切点： 标直角：半径⊥切线： 用性质：直角三角形中计算或用切线长定理： 倒角算：结合圆周角、等腰求角。 解题思路： 口诀：点、垂、性、算。见切线连半径出直角是条件反射：圆外一点两切线想切线长相 等。 7/14 13.(26-27九年级上江苏泰州期中)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的OO交BC于点D, 过点D作DE⊥AC于点E. (1)求证：DE是OO的切线； 2)若AB=10,BC=12,求DE的长： 3)在(2)的条件下，求圆心O到BC的距离. 14.(2026宁夏·中考真题)如图，△ABC内接于⊙0，AB是直径，∠ABC=40°.点D是⊙0上一点且 与点C位于4B两侧，D=⑦，过点D作D51CB交CB的延长线于B,连接CD, D 1)求∠DCB的度数； (②)求证：DE是⊙O的切线. 15.(23-24九年级上河北邢台期末)如图1，△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙0 相切于点D. B 6 G 图1 图2 8/14 1)求证：AC是⊙0的切线： 2)如图2，⊙O与边BC交于点E、点F,连接DE、DF,作∠EDF的平分线交O0于点G,连接 EG、FG ①求证△EGF的形状，并说明理由； ②若DE=6,DF=8,求弦GF与劣弧GF围成的阴影的面积 16.(2026湖北武汉·中考真题)如图，AB为⊙0的直径，C为⊙0上一点，过点A的直线和过点C的切 线互相垂直，垂足为D,AD交⊙O于点E,连接AC, D B (I)求证：AC平分∠DAB: (2②)若AE=6,ED=3.求图中阴影部分的面积. 题型05：构造圆周鱼，实现角的转化 题型描述：题干中需要求的角与已知角位置分散。核心得分点是利用“同弧所对圆周角相 等”把角转移到便于计算的位置。 基础知识： 同弧（等弧）所对的圆周角相等： 同弧所对圆心角是圆周角的2倍： 圆内接四边形对角互补： 倒角路径：圆周角一圆周角日圆心角。 解题方法： 找弧：确定目标角与己知角所对的弧： 作转移：连接构造同弧圆周角： 倒角算：用相等圆周角或2倍关系计算； 验弧：核对角与弧的对应。 9/14 解题思路： 口诀：弧、移、倍、算。圆中角的问题“弧是桥梁”；找不到等角时，把角沿弧“搬”到 需要的位置。 17. (26-27九年级上江苏南京阶段检测)在⊙0上，点A,B,C,D,E的位置如图所示，若 ∠B+∠D=160°，则弧AE的度数为() C D B ·0 A E A.20 B.40° C.60° D.80° 18.(26-27九年级上·浙江杭州阶段检测)已知四边形ABCD内接于半径为4的O0,且∠C=2∠A,则 BD=() D A.43 B.2V5 c.2V2 D.4V2 19.(2026四川广安·中考真题)如图，△ABC内接于⊙0，AD是⊙0的直径，过点A作射线AE交BC的 延长线于点E,使∠EAB=∠ECA.求证：AE是OO的切线； D C○ 10/14 20.(2026四川遂宁·二模)已知：如图，AB是⊙0的直径，点C为⊙0上一点，OF1BC于点F,交 ⊙ 于点，ME与BC交于点H,连接CE,B CE BD⊙O OE 是的切线，与的延长线相交于点D.求证： ∠D=∠AEC: B 专题综合训练 一、选择题 1,(2026安微合肥一模)如图.O0是M8C外接圆，BC=2C,者8C=235,4C=2下，改4B的 弦心距为2，则弦AB的长是() O。 A.10 B.&2 C.12 D.15 2.(25-26九年级上浙江绍兴期中)如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=∠CAB,AD=2,DC=4,则 ⊙0 的半径为() 11/14 A.3+1 B.6 c.5+1 D.25-1 3.(2026安徽芜湖三模)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=6,AD=4,AD<BC, 点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，且∠ADF=∠BAE,则线段BF的长不可能为() 4.25 B.25 C.5 D.6 4.(2026安徽准南二模)如图，AC为正方形ABCDABCD的对角线，CE平分∠ACB,交AB于点E, 把△CBE绕点B逆时针方向旋转9O°得到△ABF,延长CE交AF于点M,连接DM,交AC于点N 出下列结论：OCM4E:②GF=AF:③CD45:④、=V2-.以上结论错误的是 () M E B A.① B.② c.③ D.④ 二、填空题 5.(25-26九年级上山东泰安期末)如图，点A、B、C在⊙0上，D是弧AB的中点，CD交OA于点 E.若∠AOB=100°，∠OBC=20°，则∠OEC的度数是 12/14 D E 6,(25,26九年级上浙江杭州期中)如图，4B是00的直径，C为圆上一点4C=4W2,D 是弧4C的中 点，AC与BD交于点E,若E是BD的中点，则BC的长为一 B 7.(2025江苏宿迁·一模)如图，AB是⊙0的直径，C,D,E在⊙0上，若∠C=125°，则∠E=°. 8.(26-27九年级上江苏南京阶段检测)如图，AB是OO的直径，弦CD交AB于P,且AP=1, BP=5,且∠DPB=45°，则弦CD的长为 D P B 三、解答题 13/14 ABCD 9.(25-26九年级上湖北武汉·阶段检测)如图，矩形 CD内接于o0,B是D上一点，且B= 连接EB,EC分别交AD于点F,G. (I)求证：AG=CG: (②)若AF=1,FG=3,求⊙O的半径. 10.(26-27九年级上·江苏泰州阶段检测)已知，AB是△ABC的外接圆O0的直径，AB=4,D是AB 上的一点，满足AC=AD,连接CD并延长交O0于点E,连结BE. C D B A B A B E 图1 图2 备用图 (1)如图1，若∠A=60°，求BD的值： ②)如图2，点F在弦BC上，过点F作FG⊥AB于G,交CE于点H. ①若FH=HE,求证：DE=BF; ②若CF=AC,连接OF,OH,且△OFH是以OF为腰的等腰三角形，设AC2=t,求t的值. 14/14