专题08 圆中的重要模型之辅助线模型（八大类）（几何模型讲义）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学讲义以“圆中八大辅助线模型”为核心，通过模型提炼与证明、典例分析构建知识体系，用框架图呈现“构造直角三角形、等角”的底层逻辑，覆盖弦、直径、切线等高频场景，清晰梳理重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与易错点总结，如“遇切线连半径”模型结合中考真题解析，培养几何直观与推理能力。A组基础题巩固方法，C组压轴题提升综合应用，配套记忆口诀助力自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

专题08 圆中的重要模型之辅助线模型（八大类） 圆的八大辅助线模型是解决圆综合题的工具类模型，圆综合大题的难点不在于定理记忆，而在于何时添加哪条辅助线。八大模型覆盖圆基础性质、圆周角圆心角、切线、弦长、直径、圆内接四边形、最值等高频场景，是各地中考、模拟考几何压轴（圆综合）的核心知识。 核心底层逻辑：构造直角三角形、构造等角、转移角度 / 线段。圆里绝大多数辅助线，目标都是造出直角或者相等角。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 2 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 5 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 7 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 10 模型5、遇90°的圆周角连直径 12 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 14 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 16 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 19 易错点与方法总结 21 模型运用 22 A组（基础题） 22 B组（能力提升题） 27 C组（综合压轴题） 32 圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦（非直径）的直径垂直于弦； 2）圆周角定理：同弧所对圆周角相等；圆周角 =½ 圆心角；直径所对圆周角= 90°； 3）切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径；切线判定定理； 4）圆内接四边形性质：对角互补，外角等于内对角； 5）两圆位置关系：相交两圆连心线垂直平分公共弦；相切两圆连心线过切点。 模型1.遇弦连半径（构造等腰三角形） 【模型提炼与证明】 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。 【模型运用】 【典例1】（2026·湖南长沙·中考真题）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（2025··陕西一模）如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，点C是弧BD的中点，连接CD，则∠ACD的度数是 【典例3】（2025·安徽滁州·三模）如图，为的直径，，弦，则劣弧的长为（   ） A． B．π C．2π D．4π 【典例4】（2025·广东佛山·三模）如图，在圆内接正六边形中，若，则阴影面积为 ． 模型2.遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 【模型提炼与证明】 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 【模型运用】 【典例1】（2026·安徽阜阳·三模）已知是的直径，弦，垂足为点E，连接，，，则弦的长为________． 【典例2】（2026·河南平顶山·三模）如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 【典例3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，某房屋建筑的棚顶为圆弧形，若该圆弧形棚顶在地面的跨度长为米，该圆弧的半径长为12米，则该屋顶弧的弧长为 米．（结果保留） 【典例4】（2025·河南商丘·二模）如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 模型3.遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 【模型提炼与证明】 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 【模型运用】 【典例1】（2025·湖北十堰·三模）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·陕西咸阳·二模）如图，的半径为2，是的内接三角形，D为上一点，连接，．若，，则弦的长为（   ） A．2 B． C． D． 【典例3】（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 模型4.遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 【模型提炼与证明】 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 【模型运用】 【典例1】（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·宁夏·模拟预测）如图，是的弦，半径于点C，为直径，，则线段的长为 ． 【典例3】（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 ． 模型5.遇90°的圆周角连直径 【模型提炼与证明】 如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的两条弦，，且，则的半径等于___________． 【典例2】（2025·广东深圳·三模）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是______．（结果保留） 【典例3】（2025·河南·校考三模）孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为的最大扇形玉佩，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）    模型6.遇切线连圆心和切点（构造垂直） 【模型提炼与证明】 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。 A B C O 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。 【模型运用】 【典例1】（2025·浙江杭州·三模）如图，在中，是直径，是弦，．过点D作的切线，与的延长线相交于点E．若，则等于 ． 【典例2】（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，与相交于点D，则的长为（   ） A．6 B．4 C． D． 【典例3】（2026·安徽·模拟预测）如图，以为直径的经过点，点是的中点，连接，过点作的切线交延长线于点．(1)求证：；(2)若的半径为，求的长． 模型7.证明切线的辅助线（证垂直或直角） 【模型提炼与证明】 证明直线AB是⊙O的切线. A B C O 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线． 【模型运用】 【典例1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线． 【典例2】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积． 模型8.遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 【模型提炼与证明】 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 【模型运用】 【典例1】（2025·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）如图，的内切圆与斜边相切于点D，，，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【典例2】（2025·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【典例3】（2025·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，求的度数      模型常见易错点 1）垂径定理，忘记 “平分弦（不是直径）” 前提 解决方案：看到弦，优先判断弦是否为直径；只有非直径弦才满足这个推论。做计算题，画图标注直角、中点。 2）证明切线，两种场景混淆 有交点，却作垂线证半径；无交点，强行连半径证垂直。 解决方案：有点就连半径证垂直，无点就作垂线证半径，做题第一步先看直线和圆有没有已知公共交点。 3）直径模型，只记住直角，但找不到圆周上那个点 解决方案：题目出现直径，主动找圆上动点，连接两端点构造直角三角形，是计算线段、三角函数首选。 4）两圆相交漏画公共弦；相切忘记连心线过切点 解决方案：题干出现两个圆相交 / 相切，第一反应先画公共弦（相交）或连心线（相切），公共弦是跨圆倒角桥梁。 5）圆周角定理，看错弧，找错对应的圆心角 解决方案：找角的时候，看角两边与圆的交点，锁定弧，不要凭肉眼估角。 解题方法总结 解题步骤： 1）读题圈关键词：弦 / 直径 / 切线 / 两圆相交 / 相切 / 圆内接四边形 2）匹配八大模型，确定辅助线类型； 3）画出辅助线，标记直角、等角、等线段； 4）利用圆定理倒角，得到相似 / 全等； 5）直角三角形内，勾股、三角函数列式计算。 记忆口诀： 见弦作垂径，见径构直角； 切线连半径，证切分两点； 相交公共弦，相切连心线； 圆周找同弧，内接对角补。 1.（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 2.（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．4 3.（24-25·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，分别切的两边于点D，E，点F在上．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4.（2025·浙江杭州·三模）如图，的切线交直径的延长线于点，连接，若，则的度数为 （用含的代数式表示）． 5.（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E，连接，若，，则的度数为 ． 6.（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点、点，则图中的长为 ． 7．（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数；(2)求证：是的切线． 1．（2026·广东清远·二模）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．如图，若四边形是美角为的圆美四边形，的半径为4，则的长是（     ） A． B． C． D． 2.（2025·广东佛山·三模）如图，是的直径，，是上的点，，则弧的长为 ． 3.（2025·江苏南京·三模）如图，内接于，若，，则的半径是 ． 4.（2026·江苏苏州·中考真题）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 5．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径． 6.（2025·广西南宁·二模）如图，以的边为直径的与边相交于点D，，过点D作于点H．(1)求证：为的切线；(2)若，的直径为8，求的长． 1．（2026·浙江温州·二模）如图，正方形的边长为8，若经过C，D两点的与直线相切，与相交于点E，则为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·湖北武汉·二模）如图，过的顶点，，，且圆心在边上，若，则的半径是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·广西玉林·三模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 4．（2026·河南驻马店·三模）如图，是的直径，是上一点，且，点为的中点，过点作，垂足为点，交于点．已知，则的长为________． 5．（2026·浙江·中考真题）如图1，内接于，是直径上的一点，满足，连接并延长交于点，连接，点在弦上，且．过点作，交于点，交于点．设． (1)用含的代数式表示和的大小；(2)如图1，若，求证：； (3)如图3，若的半径为1，点在上，且，求的长． 6．（2026·贵州·中考真题）如图，已知是的直径，点，在上，． (1)线段与线段的数量关系是________，若连接，则直线与的位置关系是________； (2)求证：；(3)过点作的切线，过点作于点．根据题意补全图形，若，，求的半径． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆中的重要模型之辅助线模型（八大类） 圆的八大辅助线模型是解决圆综合题的工具类模型，圆综合大题的难点不在于定理记忆，而在于何时添加哪条辅助线。八大模型覆盖圆基础性质、圆周角圆心角、切线、弦长、直径、圆内接四边形、最值等高频场景，是各地中考、模拟考几何压轴（圆综合）的核心知识。 核心底层逻辑：构造直角三角形、构造等角、转移角度 / 线段。圆里绝大多数辅助线，目标都是造出直角或者相等角。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 2 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 5 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 7 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 10 模型5、遇90°的圆周角连直径 12 模型6、遇切线连圆心和切点（构造垂直） 14 模型7、证明切线的辅助线（证垂直或直角） 16 模型8、遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 19 易错点与方法总结 21 模型运用 22 A组（基础题） 22 B组（能力提升题） 27 C组（综合压轴题） 32 圆中的辅助线模型源于圆的定义、圆的有关性质（如：垂径定理、圆周角与圆心角定理等）、直线与圆的位置关系（如：切线的性质与判定定理）等。圆中的辅助线模型是对圆相关性质定理的升华，可以有助于学生更全面的认识这些性质定理。 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦（非直径）的直径垂直于弦； 2）圆周角定理：同弧所对圆周角相等；圆周角 =½ 圆心角；直径所对圆周角= 90°； 3）切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径；切线判定定理； 4）圆内接四边形性质：对角互补，外角等于内对角； 5）两圆位置关系：相交两圆连心线垂直平分公共弦；相切两圆连心线过切点。 模型1.遇弦连半径（构造等腰三角形） 【模型提炼与证明】 已知AB是⊙O的一条弦，连接OA、OB，则∠A＝∠B。 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题。 【模型运用】 【典例1】（2026·湖南长沙·中考真题）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形，∴，∴， ∵的半径为，即，∴的长为． 【典例2】（2025··陕西一模）如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，点C是弧BD的中点，连接CD，则∠ACD的度数是 【答案】15° 【解析】如图，连接AO，BO，CO，DO， ∵AB＝AC，∠ACB＝65°，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝50°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝130°，∠BOC＝2∠BAC＝100°， ∵点C是弧BD的中点，∴，∴∠BOC＝∠COD＝100°，∴∠AOD＝30°， ∵∠AOD＝2∠ACD，∴∠ACD＝15°． 【典例3】（2025·安徽滁州·三模）如图，为的直径，，弦，则劣弧的长为（   ） A． B．π C．2π D．4π 【答案】C 【详解】解：连接，，如下图,，的半径为4，即． ，，， 是直角三角形，即，劣弧的长为．故选：C． 【典例4】（2025·广东佛山·三模）如图，在圆内接正六边形中，若，则阴影面积为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵正六边形是的内接正六边形，， ∴，∴是等边三角形， ∴，∴，∴， ∴，故答案为：． 模型2.遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 【模型提炼与证明】 已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 【模型运用】 【典例1】（2026·安徽阜阳·三模）已知是的直径，弦，垂足为点E，连接，，，则弦的长为________． 【答案】 【详解】解：连接，是的直径，，， ，垂足为，由垂径定理得，， 设，，，在中，，由勾股定理得， 在中，，由勾股定理得， 展开整理得，即，将代入得，解得， 把代入得，，，． 【典例2】（2026·河南平顶山·三模）如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 【答案】5 【详解】解：过点O作于点D，延长OD交 于点E， ∵，∴，． 又∵，∴．∵，∴． ∵，，∴．∴． ∴．设，则． ∵，∴，解得．∴． 【典例3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，某房屋建筑的棚顶为圆弧形，若该圆弧形棚顶在地面的跨度长为米，该圆弧的半径长为12米，则该屋顶弧的弧长为 米．（结果保留） 【答案】 【详解】解：过点O作于点C，交于点D， ∵，∴米，在中，， ∴，∴，∴该屋顶弧的弧长为（米），故答案为：． 【典例4】（2025·河南商丘·二模）如图，等边是的内接三角形，若的半径为2，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，过点作于点，如图， ∵等边是的内接三角形，∴, ∵，，∴，，∴， ∵的半径为2，∴，∴， 由勾股定理得：，∴， ∴，， ∴，故选：D． 模型3.遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 【模型提炼与证明】 如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 【模型运用】 【典例1】（2025·湖北十堰·三模）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接， ∵∴点C在上，由题意得：，， ，故选：A． 【典例2】（2025·陕西咸阳·二模）如图，的半径为2，是的内接三角形，D为上一点，连接，．若，，则弦的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵的半径为2，∴，∴，故选：B． 【典例3】（2026·陕西·中考真题）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．若，则的长为_________． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，∵为的直径，∴， ∵的平分线交于点，∴，∴， ∵，∴，∴的长为． 模型4.遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 【模型提炼与证明】 如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 【模型运用】 【典例1】（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，∵是的直径， ∴， ∵，∴， ∵与都是弧所对的圆周角，∴． 【典例2】（2025·宁夏·模拟预测）如图，是的弦，半径于点C，为直径，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ，，．设的半径，． 在中，由勾股定理得：，解得：．． ，，．是直径，． 点分别是的中点，是的中位线．． 在中，．故答案为：． 【典例3】（2025·山西·模拟预测）如图，在中，，以为直径的，交于E点，交于D点．若，则劣弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵是的直径，∴，即． ∵，∴，∴， ∵，∴的半径为1，∴劣弧的长．即劣弧的长为，故答案为：． 模型5.遇90°的圆周角连直径 【模型提炼与证明】 如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点，得到直径。利用圆周角的性质，可得到直径。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的两条弦，，且，则的半径等于___________． 【答案】5 【详解】解：作于点M、N．连接．则，四边形是矩形．∴， 在直角中，．故答案为：5． 【典例2】（2025·广东深圳·三模）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是______．（结果保留） 【答案】 【详解】解：如图，连接，，交于O点， 由条件可知是直径，， 四边形是矩形，， ，，∴是等边三角形，， 门洞的圆弧所对的圆心角为， 改建后门洞的圆弧长是，故答案为：． 【典例3】（2025·河南·校考三模）孔尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉珮丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为的最大扇形玉佩，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）    【答案】 【详解】∵，∴为的直径，即，∴， ∴（平方厘米），∴故答案为：．    模型6.遇切线连圆心和切点（构造垂直） 【模型提炼与证明】 如图，已知直线AB连与圆O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB。 A B C O 已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题。 【模型运用】 【典例1】（2025·浙江杭州·三模）如图，在中，是直径，是弦，．过点D作的切线，与的延长线相交于点E．若，则等于 ． 【答案】 【详解】解：连接，过点D作的切线，， 是直径，是弦，，，， ，，，故答案为：． 【典例2】（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在中，，点O在上，以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，与相交于点D，则的长为（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，∵以点O为圆心，长为半径的与相切于点A，∴，∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴, ∴， ∵，∴解得（负值已舍去） ∴，∴ 故选：B 【典例3】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，以为直径的经过点，点是的中点，连接，过点作的切线交延长线于点．(1)求证：；(2)若的半径为，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点． 与相切于点，，即． 是的直径，，即，． ，，． ∵点是的中点，，； （2）解：设，∵的半径为，∴，∴， ∵点是的中点，，在中，， 在中，，， ，∴，解得，， ∴，． 模型7.证明切线的辅助线（证垂直或直角） 【模型提炼与证明】 证明直线AB是⊙O的切线. A B C O 遇到证明某一直线是圆的切线时： （1）有点连圆心：当直线和圆的公共点已知时，联想圆的切线的判定定理，只要将该店与圆心连接，再证 明该直径与直线垂直。如图，已知过圆上一点C的直线AB，连接OC，证明OC⊥AB，则直线AB是⊙O的切线． （2）无点作垂线：需证明的切线，条件中没有告知与圆之间有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明圆心到垂足的距离等于半径。如图，过点O作OC⊥AB，证明OC等于⊙O的半径，则直线AB是⊙O的切线． 【模型运用】 【典例1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）方法一：证明：过点作于点，，， 与相切于点，，， ，，，， 为的半径，为的半径，，是的切线； 方法二：证明：过点作于点，与相切于点，， ，是的平分线，， 为的半径，为的半径，，是的切线； 【典例2】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析；(2)． 【详解】（1）解：直线与相切，理由，如图，连接，， ∵直线与相切，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴， ∵是半径，∴直线与相切； （2）解：由（）得，，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴． 模型8.遇三角形的内切圆，连内心与顶点（切点） 【模型提炼与证明】 当遇到三角形内切圆，连接内心到三角形各顶点，或连接内心到各边切点（或做垂线）。 利用内心的性质可得一内心到三角形三个顶点的连线是各角的平分线，内心到三角形三边的距离相等。 【模型运用】 【典例1】（2025·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）如图，的内切圆与斜边相切于点D，，，则的面积为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设，根据切线长定理，得，，， 根据勾股定理，得，整理，得， ∴， 则的面积为，故选：C． 【典例2】（2025·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线交、、于点、、，    ， ，， 的长为，，，，，故选：A． 【典例3】（2025·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，是的内切圆，切点分别为、、，，，求的度数      【答案】 【详解】解：如图所示；连接，．    ，，． 是圆的切线，．同理． ．．． 模型常见易错点 1）垂径定理，忘记 “平分弦（不是直径）” 前提 解决方案：看到弦，优先判断弦是否为直径；只有非直径弦才满足这个推论。做计算题，画图标注直角、中点。 2）证明切线，两种场景混淆 有交点，却作垂线证半径；无交点，强行连半径证垂直。 解决方案：有点就连半径证垂直，无点就作垂线证半径，做题第一步先看直线和圆有没有已知公共交点。 3）直径模型，只记住直角，但找不到圆周上那个点 解决方案：题目出现直径，主动找圆上动点，连接两端点构造直角三角形，是计算线段、三角函数首选。 4）两圆相交漏画公共弦；相切忘记连心线过切点 解决方案：题干出现两个圆相交 / 相切，第一反应先画公共弦（相交）或连心线（相切），公共弦是跨圆倒角桥梁。 5）圆周角定理，看错弧，找错对应的圆心角 解决方案：找角的时候，看角两边与圆的交点，锁定弧，不要凭肉眼估角。 解题方法总结 解题步骤： 1）读题圈关键词：弦 / 直径 / 切线 / 两圆相交 / 相切 / 圆内接四边形 2）匹配八大模型，确定辅助线类型； 3）画出辅助线，标记直角、等角、等线段； 4）利用圆定理倒角，得到相似 / 全等； 5）直角三角形内，勾股、三角函数列式计算。 记忆口诀： 见弦作垂径，见径构直角； 切线连半径，证切分两点； 相交公共弦，相切连心线； 圆周找同弧，内接对角补。 1.（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接， ∵是弦的垂直平分线，∴圆心一点在直线上， 又∵是弦的垂直平分线，，∴，， 设圆形工件的半径为，则，∵，∴， 在中，，即，解得，∴圆形工件的半径为，故选：B． 2.（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．4 【答案】A 【详解】解：连接， ，， 为的直径，，， 在中,， ．.故选：A． 3.（24-25·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，分别切的两边于点D，E，点F在上．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接、，    与的两边分别相切于点、，，，， ，，即， ∴，故选：B． 4.（2025·浙江杭州·三模）如图，的切线交直径的延长线于点，连接，若，则的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：如图，连接，∵是的切线，∴； ∵，∴；故答案为：． 5.（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵直径，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，∴．故答案为：． 6.（2025·安徽黄山·模拟预测）如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点、点，则图中的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∴，∴的长为，故答案为：． 7．（2026·宁夏·中考真题）如图，内接于，是直径，．点是上一点且与点位于两侧，，过点作交的延长线于，连接． (1)求的度数；(2)求证：是的切线． 【详解】（1）解：如图所示，连接，，，； ，． 是的直径，，； (2)证明：如图所示，连接， ，，． ，．，， ，，即， 又是的半径，是的切线． 1．（2026·广东清远·二模）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．如图，若四边形是美角为的圆美四边形，的半径为4，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，过点作，如图所示：∴， ∵四边形是圆内接四边形，∴， ∵四边形是美角为的圆美四边形，∴，即， ∴，即，∴，∴， ∵，，∴，∴． 2.（2025·广东佛山·三模）如图，是的直径，，是上的点，，则弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵，，∴，∴， ∵，∴，∴弧的长为 故答案为：． 3.（2025·江苏南京·三模）如图，内接于，若，，则的半径是 ． 【答案】 【详解】解： 过点作，连接 ∵，，∴所在的直线是的垂直平分线， ∴三点共线，∴， 在中，，设的半径是，则， 在中，，∴，解得，故答案为：． 4.（2026·江苏苏州·中考真题）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 【答案】10 【详解】解：连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接， 由题意可得，四边形，四边形都是矩形，∴，，， 设的半径为r，则，∴， ∵过圆心O，且，∴， ∵在中，，∴，解得，∴所在的半径为10分米． 5．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：连接， 是的直径，是的切线，，， ，，， ，， 四边形中，，，， 是的半径，是的切线； （2）解：， 在和中，，， ，，，， ，中，， 在中，，即， 解得，即的半径为． 6.（2025·广西南宁·二模）如图，以的边为直径的与边相交于点D，，过点D作于点H．(1)求证：为的切线；(2)若，的直径为8，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，如图： 为的中位线，∴，，∴， 为的半径，为的切线； （2）解：过点O作于点E，如图． ，∴， ∵，∴为等腰直角三角形．∴， ，∴，∴， ，，∴， ∴四边形为矩形，∴． 1．（2026·浙江温州·二模）如图，正方形的边长为8，若经过C，D两点的与直线相切，与相交于点E，则为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵四边形是边长为8的正方形， ∴，，连接， ∵，∴是的直径，∴O点是的中点， ∵与直线相切，设与边的切点为F，连接并延长，交于G点， 则，∵，∴，∴四边形是矩形，且， ∴，设的半径为r，则，， 在中，，∴，解得， ∴，∴， ∴∴． 2．（2026·湖北武汉·二模）如图，过的顶点，，，且圆心在边上，若，则的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长交于点，连接，过点分别作的垂线，垂足分别为， 设的半径为，∵四边形是的内接四边形，∴， 又∵四边形是平行四边形，∴，， ∴，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴在中，，即， ∵，∴，在中，， ∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴， ∴，解得：（负值舍去），∴的半径是． 3．（2026·广西玉林·三模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，取的中点，作于点， ∵是的中点，于点，∴经过球心，∴取上的球心，连接， ∵四边形是矩形，∴，∵，∴四边形是矩形， ∴，设， ∴， ∵，∴在直角三角形中，，即， 解得：，∴球的半径为． 4．（2026·河南驻马店·三模）如图，是的直径，是上一点，且，点为的中点，过点作，垂足为点，交于点．已知，则的长为________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ，，∵是的直径，，∴， ，，，， ∵点为的中点，， ，是等边三角形，， ，∴平分，∴， ，∴，， ∵，∴，∴， ，，在中，， ，． 5．（2026·浙江·中考真题）如图1，内接于，是直径上的一点，满足，连接并延长交于点，连接，点在弦上，且．过点作，交于点，交于点．设． (1)用含的代数式表示和的大小；(2)如图1，若，求证：； (3)如图3，若的半径为1，点在上，且，求的长． 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵为所对的圆周角，∴， ∵，∴． (2)证明：如图，连接，∵为所对的圆周角，∴， ∵为直径，∴，∴， ∵，∴， ∵，，∴，∴， 同理：，∴，解得：，∴， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，， ∵，∴，∴三点共线， ∴，∴，∴． （3）解：如图，连接，∵，， ∴，同理：，∴， 结合（1）可得：， ∵，∴，∴，即，同理可得：， ∵，∴，∴，设， ∵，∴，，， ∵，∴，∴，∴， ∵为直径，∴，∴，∴， 解得：（大于直径，舍去），∴的长为． 6．（2026·贵州·中考真题）如图，已知是的直径，点，在上，． (1)线段与线段的数量关系是________，若连接，则直线与的位置关系是________； (2)求证：；(3)过点作的切线，过点作于点．根据题意补全图形，若，，求的半径． 【详解】（1）解：∵在中，，∴， ∴线段与线段的数量关系是相等；连接， ∵，∴垂直平分∴直线与的位置关系是互相垂直； (2)证明：延长交于点，由（1）可得，垂直平分，即， ∵，∴是的中位线，∴，即； (3)补全图形如图： 解：如图，连接，延长交于点，由（2）可知， ∵直线是的切线，，∴，∴， ∴四边形是矩形，∴，∴， ∵是的直径，∴，∴， ∴，∴半径为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $