专题15 不规则图形面积的求法 专项训练讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题15 不规则图形面积的求法 ▌专题目标 1. 掌握和差法求不规则图形面积。 2. 掌握割补法与等积转化求面积。 3. 掌握旋转、平移拼接法化零为整。 4. 掌握容斥法处理重叠部分的面积。 5. 会用方程思想求不规则图形的面积，体会转化思想。 ▌专题目录 题型01：和差法（规则图形面积相加、相减） 题型02：割补法（等积转化） 题型03：旋转、平移拼接法（化零为整） 题型04：容斥法（重叠部分的处理） 题型05：方程思想求不规则图形的面积 ▌题型01：和差法（规则图形面积相加、相减） 题型描述：题干给出的阴影由规则图形（三角形、扇形、矩形）叠加或挖去而成。核心得分点是把阴影表示为规则图形面积的和差。 基础知识： 1. 阴影＝整体－空白，或阴影＝几块规则图形之和； 2. 扇形面积、三角形与矩形面积公式； 3. 弓形面积＝扇形－三角形。 解题方法： 1. 圈整体：确定包含阴影的最小规则图形； 2. 找空白：找出需减去的规则部分； 3. 列式：阴影＝整体－空白（或分块求和）； 4. 算结果：代入公式计算。 解题思路： 口诀：整、空、差、算。“整体减空白”优先于“零敲碎打”；重叠交界处别重复减。 1．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、D、E分别在、、上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】阴影部分的面积正好等于长方形的面积，先根据正方形的性质求出扇形的半径，从而求出的长，即可求出长方形的面积． 【详解】解：连接， ∵正方形的边长为1，， ∴，， ∴，，， ，， ∵ ∴， ∴四边形是矩形， ． 2．（2026·四川成都·二模）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为1，点和是格点（小正方形的顶点），连接，在网格中画出以为直径的圆，圆心为点，点，是格点且在圆上，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【分析】连接，，根据网格与勾股定理及其逆定理，得出，进而根据阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，， 点和是格点，为直径，点为圆心， 点为的中点，且点在格点上．根据勾股定理，得，，． ，， ． 是直角三角形，且． 图中阴影部分的面积 ． 3．（25-26九年级上·云南德宏·期末）如图，为的直径，为的弦．的角平分线交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过证明，进而得到，最终求得的度数； （2）通过证明为等腰直角三角形并结合图形可知，阴影部分面积为圆面积减去，分别求解即可得到结果． 【详解】（1）解：为的直径， ， ． ，， ， ． （2）解：为的直径且， ． 是的角平分线且， ． ，， ． ， ， ， 为等腰直角三角形， 阴影部分面积为圆面积减去，即， 即阴影部分面积为． 4．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，是的弦，，垂足为，交于点，点在上，且，． (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理可得，再根据锐角三角函数可求出的长．即可求解； （2）根据垂径定理可得，然后根据阴影部分的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是的弦，，， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 ▌题型02：割补法（等积转化） 题型描述：题干中阴影部分零散分布，无法直接用公式。核心得分点是把一块割下补到另一处，拼成规则图形。 基础知识： 1. 割补前后面积不变； 2. 同底等高的三角形面积相等（平行线间等积转化）； 3. 弓形、弯角形可通过割补拼成扇形或三角形。 解题方法： 1. 找全等块：找出图形中全等（等积）的部分； 2. 移补：把零散块移补到空缺处； 3. 成规则：拼成扇形、三角形、矩形； 4. 算面积：用公式求值。 解题思路： 口诀：块、移、形、算。割补的目标永远是“规则图形”；圆中对称的弓形是天然的可移块。 5．（2026·江苏徐州·模拟预测）在如图所示的正六边形中，点G是边的中点．已知，正六边形的面积是18，则图中阴影部分的面积是____． 【答案】3 【分析】连接，，，利用正六边形的性质得出的面积与正六边形面积的关系，进而求出的面积，最后根据三角形中线的性质求解． 【详解】解：连接，，， 正六边形的面积是18， 正六边形可以分割为6个全等的正三角形，每个正三角形的面积为， ， 在正六边形中，是经过中心的对角线， ∴，， ∴， ， 点到的距离等于点到的距离， ， 是正六边形的对角线， 四边形的面积是正六边形面积的一半，即， ， 点是边的中点， ， ． 6．（2026·河南平顶山·三模）如图，在扇形中，，C是上的一点，连接并将扇形沿翻折，点B恰与点O重合，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】由翻折的性质可知，为线段的垂直平分线．连接， 为等边三角形，得到．求出，．根据求出答案． 【详解】解：由翻折的性质可知，为线段的垂直平分线． 如图，连接， ∴， ∴为等边三角形， ∴． ∵，C是的中点， ∴，． 由题意，得． 7．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，在扇形中，分别为的中点，连接，以点为圆心，为半径作弧，若的长为2，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】根据题意，证明是等边三角形，进而得出，根据阴影部分的面积，进行计算即可求解． 【详解】解：，点分别为的中点， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 如图，过点作于点 ∴， ∴ 阴影部分的面积为． 8．（25-26九年级上·山东·阶段检测）停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．图2是某直角停车楔和轮胎的示意图，，当车辆停于水平地面时，此时停车楔紧贴轮胎，停车楔边与地面重合，是的直径，的平分线，交于点，连接，过点A作交于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为，，求图2中阴影部分的面积为多少． 【答案】(1) 证明：连接，如图， ， ， 的平分线AC， ， ， ， ， ， ， 为圆O的半径， 是的切线； (2) 证明：连接， ， ， ， ， 与相切于点C， ， ， ； (3) 【分析】此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，得出，即可证明结论成立； （2）先证明，，根据切线性质可得，即，由此即得出 （3）先证明是等边三角形，得出，求出，，最后根据阴影部分的面积求出结论即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，过点O作于点H，如图， 的半径为， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 阴影部分的面积 ▌题型03：旋转、平移拼接法（化零为整） 题型描述：题干中几块阴影分居图形各处，单独求困难。核心得分点是把部分图形旋转（平移）后与其他阴影拼成整体。 基础知识： 1. 旋转、平移不改变面积； 2. 中心对称（轴对称）图形中的阴影常可拼成一半； 3. 拼接后化为扇形、三角形等。 解题方法： 1. 观对称：找出图形的对称结构； 2. 定变换：确定旋转（平移）的方向与距离； 3. 拼整体：把分散阴影拼成一整块； 4. 算面积：求拼成图形的面积。 解题思路： 口诀：称、换、整、算。见对称想拼接；圆内多条直径（对称轴）分割的阴影，常可拼成扇形。 9．（2025·青海西宁·一模）如图，正方形的边长为3，分别以，为圆心，，为半径画弧，分别交于点，点，则阴影部分的面积为__． 【答案】 【分析】本题考查的是正方形的性质，扇形面积的计算，根据阴影部分的面积为正方形的面积减去两个扇形的面积可得答案. 【详解】解：四边形为正方形， ，， 阴影部分的面积． 故答案为： 10．（25-26九年级下·河南商丘·期中）如图是小明同学用尺规画的一个“蝴蝶风筝”图案，其中，，分别以，为直径画半圆交于点，则阴影部分的面积为________ 【答案】50 【分析】设，的中点分别为点E、F，连接，根据割补法可知，进而问题可求解． 【详解】解：设，的中点分别为点E、F，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴“蝴蝶风筝”图案左边部分阴影面积等于等腰直角三角形的面积， ∴根据轴对称图形的性质可知：． 11．（2026·广东清远·二模）如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，点是边上的一点，且，连接，并将沿折叠，此时，点的对应点恰好落在弧上，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 【答案】 【分析】根据矩形性质和已知边长求出的长，在中利用三角函数求出的度数，由折叠性质得出，，，进而判断为等边三角形，得出，从而求出的度数，观察图形可知阴影部分面积等于扇形的面积减去四边形的面积，四边形的面积等于2倍的面积，代入数据计算即可． 【详解】解：连接，如下图， 四边形是矩形， ， ，， ， 在中，， ， 由折叠的性质可知，， ，，， ， 又点在弧上， ， 是等边三角形， ， ， 由图可知，阴影部分的面积扇形的面积四边形的面积， 四边形的面积 ， ， 阴影部分的面积为． 12．（2026·河北廊坊·二模）年月日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1．月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为，是弦的中点，是半圆上的一点，且．      (1)连接、，则与的位置关系是________； (2)求的度数； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由垂径定理的推论即可得解； （2）由勾股定理可得的长，即可得到，从而可得是等腰直角三角形，即可得解； （3）连接，由垂径定理可得的长，证明，再由列式计算即可． 【详解】（1）解：是圆心，是弦的中点， ； （2）解：是半圆上的一点，且， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）解：如图，连接， 由（2）知，，， 是弦的中点，， ，， ． ▌题型04：容斥法（重叠部分的处理） 题型描述： 题干中两个（多个）规则图形部分重叠，求覆盖的总面积或阴影面积。核心得分点是重叠部分被重复计算，需加减调整。 基础知识： 1. 容斥原理：A＋B面积＝SA＋SB－S重叠； 2. 多个图形时交替加减重叠部分； 3. 阴影若为多块组合，先分块再容斥。 解题方法： 1. 分图形：把覆盖区域看成几个规则图形的组合； 2. 标重叠：找出被重复计算的部分； 3. 列容斥：加起来再减去重叠； 4. 算结果：代入数据计算。 解题思路： 口诀：分、叠、斥、算。加一次减一次，重叠两层减一层；容斥前先把每块的边界画清。 13．（2026·山西朔州·二模）2025年中国探月工程在载人登月技术验证和月球科学研究双线并进，取得了扎实的突破．为此，某学校科技小组的学生设计了一枚纪念徽章，徽章中心设计图案如下：在一个边长为2的正方形内，以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点O，象征四支火箭轨道汇聚于月球．则四段圆弧围成的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正方形边长求出对角线长，从而确定扇形半径；然后计算四个扇形的面积之和；最后利用面积的和差关系，用四个扇形的面积和减去正方形的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解： 正方形边长为， 正方形面积 ， ∴对角线长为． 扇形半径为对角线长的一半 ， 半径． 四个扇形的圆心角均为 ， 四个扇形的面积之和． ∵正方形被四个扇形完全覆盖，其中阴影部分为两个扇形的重叠部分，空白部分为一个扇形的非重叠部分 ， ． 14．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，正方形的边长为，分别以，为圆心，半径为作弧和，两处阴影部分面积分别记为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减及扇形面积的计算．过点作，交、于点、，连接，可知、，从而可得，根据扇形的面积公式和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如下图所示，过点作，交、于点、，连接， 四边形为正方形， ，，， ，， 设，则， ，， ． 故选：A ． 15．（2026·四川自贡·中考真题）“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____． 【答案】 / 【分析】根据题意，分别算出，，，4个空白半圆的面积为，结合图形即可求解． 【详解】解：根据题意，半径为的圆形纸片的面积为，内部4个小圆的半径都为，则内部4个小圆的面积为， 如图所示， 根据剪纸中折叠的性质得到，，垂足为点O，四边形是正方形，过点O作于点E，圆心为点E， ∴，则， ∴，，，4个空白半圆的面积为， ∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：， ∴在中，弓形的面积为， 同理，大圆内4个花瓣的面积和为， ∴阴影部分的面积为，即剪去空白部分，则剩下部分面积为 ． 16．（25-26七年级下·四川遂宁·期末）计算阴影部分的面积 【答案】 【分析】阴影部分的面积为半径为的半圆面积加圆心角为，半径为的扇形面积（即的圆形面积）减去等腰直角三角形的面积． 【详解】解： ． ▌题型05：方程思想求不规则图形的面积 题型描述：题干中阴影面积无法直接表示，但各部分之间存在和差关系（如两阴影面积相等、差为定值）。核心得分点是设元并列方程，利用“同加同减差不变”。 基础知识： 1. 设未知区域面积为x（或设各块面积）； 2. 等量关系：总面积、面积差、面积相等； 3. 常用技巧：两区域同加一块空白，面积差不变； 4. 列方程求解。 解题方法： 1. 分块设元：把图形分成若干块，设关键块面积为x； 2. 找关系：写出和、差、倍的关系； 3. 列方程：用整体与部分关系列方程； 4. 解验答：求出x并回答问题。 解题思路： 口诀：块、元、程、解。面积差问题记住“同加空白差不变”；列方程时总面积是最常用的等量。 17．（2026·重庆江津·三模）如图，在等腰直角中，，，，以为圆心，为直径作半圆，交的中点，以为圆心，为直径作半圆．连接并延长交半圆于点，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得：，，因为点是的中点，点是的中点，可得：，，根据三角形中位线定理可以求出，，根据扇形的面积公式和梯形的面积公式可以求出，，再根据求出结果． 【详解】解：，，， ，， 点是的中点，点是的中点， ，， 是的中位线， ， ，， ， ， ， . 18．（2026·山东青岛·二模）如图，在等腰中，，，分别以点，为圆心，的长为半径作弧，，是两弧的交点，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】连接、、，延长交于点，可知是的垂直平分线，是等边三角形，根据等边三角形的性质和垂直平分线的性质可以求出，，利用勾股定理求出，根据扇形的面积公式可以求出，根据三角形的面积公式可以求出，可得，根据等边三角形的性质可以证明，可知，根据即可求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接、、，延长交于点， 由作图可知， ， ， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ，， ， 同理可得：， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， ， ． 19．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，绕点逆时针旋转线段，使点落在轴上的点处，连接．则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】/ 【分析】先求出反比例的解析式，联立方程，求出点的坐标，再求出一次函数与坐标轴的交点，判断出为等腰直角三角形，推出，然后根据阴影部分的面积为即可求解． 【详解】∵据题意可知，点在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数为， ∵为一次函数的图象与反比例函数的交点， ∴， ∵，整理得：，解得：，， ∴点， ∵与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，即，当时，，即， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵绕点逆时针旋转线段，使点落在轴上的点处， ∴， ∴阴影部分的面积为： ． 20．（2026·宁夏银川·二模）如图，在中，，点在上，经过点，分别与、相交于点、，与相切于点．于点，连接交于点． (1)求证：直线与相切； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， ∴直线与相切． (2) 【分析】（1）连接．证明．由是的半径，即可得到结论； （2）设的半径为，连接，证明四边形是正方形，得到，在中，，即，解得，利用进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为，连接． ∵与相切于点， ， ，且， ∴四边形是正方形， ∴， ， ， 在中，，即， 解得（负值舍去）． ∵是正方形的对角线， ∴， ∴． ▌专题综合训练 一、选择题 1．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设空白部分的面积为，则，，得到，根据，即可求解． 【详解】解：设空白部分的面积为， ，， ， ， ， 故选：D． 2．（2026·河南南阳·模拟预测）如图，在中，，，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点E，连接，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据题意可得，阴影部分的面积为扇形的面积，求得，利用扇形面积求解即可． 【详解】解：连接，如图： 在中，，可得到的距离相等，则 则阴影部分的面积为扇形的面积， 由题意可得，，， ∴， ∴， 由扇形面积公式可得，，B选项符合题意． 3．（2026·湖北武汉·二模）如图，将弧沿弦翻折恰好过圆心O点，点C为弧的中点，的半径为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据翻折的对称性，得出和是等边三角形，再利用三角形全等将求阴影部分的面积转化为求扇形的面积，最终求出答案． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵点C为弧的中点， ∴， 又∵弧沿弦翻折恰好过圆心O点， ∴点关于对称，所在直线是线段的垂直平分线， ∴，即和是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴阴影部分的面积等于扇形的面积． 4．（2026·山西朔州·一模）如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与的延长线交于点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，与的延长线交于点．若，则线段，，所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件和平行四边形的性质，得出是等边三角形，则，，进而根据勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，求得的长，进而根据线段，，所围成的图形（图中阴影部分）的面积为，利用扇形面积公式和三角形公式，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵在平行四边形中，，， ∴，， 又∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴线段，，所围成的图形（图中阴影部分）的面积为 二、填空题 5．（2026·河南平顶山·三模）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】记与半圆O交于点C，连接，由旋转的性质，可知两个半圆的面积相等，，则，根据计算即可． 【详解】解：记与半圆O交于点C，连接，如图所示． 由旋转的性质可知两个半圆的面积相等，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 6．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中， ，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点D，E．若，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】由题意，通过导角计算可证明，则为等边三角形，则可求相关的边长和角度，根据进行计算即可． 【详解】解：连接，作交于， 由题意， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴，‘ 则 ． 7．（2026·河南漯河·模拟预测）如图，在中，，以为直径作半圆交于点，若点两侧的阴影部分的面积相等，则的长度为______． 【答案】 【分析】由于点两侧的阴影部分的面积相等，则它们分别加上空白部分的面积后的面积相等，即半圆的面积等于的面积，据此求解即可． 【详解】解：∵点两侧的阴影部分的面积相等， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（2026·河南南阳·三模）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留） 【答案】 【分析】用三角形的面积加上平行四边形的面积，再减去扇形的面积即可. 【详解】解：，， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得（负值舍去）， ， 四边形是平行四边形，，且， ， ，， . 三、解答题 9．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在中，，点D为上一点，以为直径的交于点E，连接，且平分． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到，证明得到，然后利用切线的判定定理可证得结论； （2）先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，，进而根据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ∴，， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定、角平分线的定义、含30度角的直角三角形的性质、扇形面积等知识，熟练掌握切线的判定定理是解答的关键． 10．（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）如图是一块和田玉璧的平面图，圆环中镶嵌着一个正方形，A，B为两个切点．正方形的边长为． (1)求圆环内外两圆之间的距离； (2)求与正方形围成的阴影部分的面积． 【答案】(1)圆环内外两圆之间的距离为 (2)与正方形围成的阴影部分的面积为 【分析】（1）作辅助线利用正方形的性质和切线的性质得到，证明四边形是正方形，从而得到正方形的边长，即内圆的半径，再利用勾股定理求得的长度，即外圆的半径，最终可得到圆环内外两圆之间的距离； （2）根据（1）中的结论，先求出正方形的面积，再由已知条件可求出对应的扇形面积，最终可用正方形的面积减去对应的扇形面积即可得到阴影面积． 【详解】（1）解：如图，连接，，， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴， 又∵点A，B是内圆的切点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，即内圆的半径为， ∴， ∴外圆的半径为， ∴圆环内外两圆之间的距离为． （2）解：由（1）知，四边形是正方形，且边长为， ∴， 又∵点A，B是内圆的切点，， ∴对应的扇形面积为， ∴与正方形围成的阴影部分的面积为． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题15不规侧图形面积的求法 专题目标 掌握和差法求不规则图形面积。 2. 掌握割补法与等积转化求面积。 3. 掌握旋转、平移拼接法化零为整。 掌握容斥法处理重叠部分的面积。 会用方程思想求不规则图形的面积，体会转化思想。 专题目录 题型01：和差法（规则图形面积相加、相减) 题型02：割补法（等积转化) 题型03：旋转、平移拼接法（化零为整） 题型04：容斥法（重叠部分的处理) 题型05：方程思想求不规则图形的面积 题型01：和差法（规则图形面积相加相减） 题型描述：题干给出的阴影由规则图形（三角形、扇形、矩形）叠加或挖去而成。核心得 分点是把阴影表示为规则图形面积的和差。 基础知识： 1/13 阴影=整体一空白，或阴影=几块规则图形之和； nar2 扇形面积360、三角形与矩形面积公式： 弓形面积=扇形一三角形。 解题方法： 圈整体：确定包含阴影的最小规则图形： 找空白：找出需减去的规则部分； 列式：阴影=整体一空白（或分块求和）； 算结果：代入公式计算。 解题思路： 口诀：整、空、差、算。“整体减空白”优先于“零敲碎打”；重叠交界处别重复减。 1.(26-27九年级上江苏无锡阶段检测)如图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的 顶点C、D、E分别在OA、AB、OB上，AF⊥ED,交ED的延长线于点F则图中阴影部分面积是 () B E A.2-1 D.2-N2 2.(2026四川成都二模)如图是6×6的小正方形网格，小正方形的边长为1，点A和B是格点（小正方 形的顶点)，连接AB,在网格中画出以AB为直径的圆，圆心为点O,点C,D是格点且在圆上，连 接CD,则图中阴影部分的面积是_ D B A 2/13 3.(25-26九年级上·云南德宏期末)如图，AB为⊙0的直径，AC为⊙0的弦.∠ACB的角平分线CD 交⊙0于点D. B D (1)若∠ADC=27°，求∠CAB的度数： (2)若AB=8,求阴影部分的面积（结果保留π）· 4.(2425九年级上云南德宏期末)如图，AB是⊙0的弦，OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E 在⊙O上，且∠DEB=30°，OA=6. E (I)求CD的长： (2)求阴影部分的面积. 题型02：割补法（笔积转化 题型描述：题干中阴影部分零散分布，无法直接用公式。核心得分点是把一块割下补到另 一处，拼成规则图形。 基础知识： 割补前后面积不变； 同底等高的三角形面积相等（平行线间等积转化）； 弓形、弯角形可通过割补拼成扇形或三角形。 解题方法： 找全等块：找出图形中全等（等积）的部分； 3/13 移补：把零散块移补到空缺处： 成规则：拼成扇形、三角形、矩形： 算面积：用公式求值。 解题思路： 口诀：块、移、形、算。割补的目标永远是“规则图形”；圆中对称的弓形是天然的可移 块。 5.(2026江苏徐州模拟预测)在如图所示的正六边形ABCDEF中，点G是边EF的中点.已知，正六边 形ABCDEF的面积是18，则图中阴影部分的面积是 A C D 6.(2026河南平顶山·三模)如图，在扇形OAB中，OA=2,C是OB上的一点，连接AC并将扇形OAB 沿AC翻折，点B恰与点O重合，则图中阴影部分的面积为 7.(2026河南驻马店模拟预测)如图，在扇形0AB中，∠4OB=60°，P,0分别为OA,OB的中点，连接 2,以点”为圆心，5为半径作弧，若1的长为2，则阴影部分的面积为 PO 0 OB OA 8.(25-26九年级上·山东阶段检测)停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止 车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动.图2是某直 角停车楔和轮胎的示意图，AD⊥DE,当车辆停于水平地面EF时，此时停车楔AC紧贴轮胎，停车楔 4/13 边CD与地面EF重合，AB是OO的直径，∠DAB的平分线AC,AC交⊙O于点C,连接BC,过点 A作AF∥BC交EF于点F B C D F 图1 图2 (1)求证：EF是⊙O的切线 (2)求证：∠B+∠AFC=90°： (3)若⊙0的半径为5dm,∠ACD=30°，求图2中阴影部分的面积为多少dm2 题型03：旋转平移拼接法（化零为整） 题型描述：题干中几块阴影分居图形各处，单独求困难。核心得分点是把部分图形旋转 (平移)后与其他阴影拼成整体。 基础知识： 旋转、平移不改变面积： 中心对称（轴对称）图形中的阴影常可拼成一半； 拼接后化为扇形、三角形等。 解题方法： 观对称：找出图形的对称结构； 定变换：确定旋转（平移）的方向与距离； 拼整体：把分散阴影拼成一整块： 算面积：求拼成图形的面积。 解题思路： 口诀：称、换、整、算。见对称想拼接：圆内多条直径（对称轴）分割的阴影，常可拼成 扇形。 9.(2025青海西宁·一模)如图，正方形ABCD的边长为3，分别以A,C为圆心，AB,CD为半径画弧， 分别交AC于点E,点F,则阴影部分的面积为一· 5/13 B 10.(25-26九年级下·河南商丘期中)如图是小明同学用尺规画的一个“蝴蝶风筝”图案，其中 AB=BC=10cm,∠ABC=90°，分别以AB,BC为直径画半圆交于点D,则阴影部分的面积为 cm2 1.(2026广东洁运二模)如图，在矩形4BCD中，MB=35,BC=3,以点B为圆心，BC长为半径 面弧。交AB边于点E,点F是B边上的一点，且F-号B,连接CP,并将。BCF沿Cr折叠， 此时，点B的对应点B恰好落在弧CE上，则图中阴影部分的面积是一.（结果保留π） E F D 12.(2026河北廊坊二模)2026年3月3日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天 体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图 1.月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完 全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多， 因而出现“红月亮”.小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若⊙0的半径为2，A是 法CD的中点，B是半圆4上的一点，且B=5 6/13 太阳 地球 图1 图2 (I)连接OA、OD,则OA与CD的位置关系是 (2)求∠AOD的度数： 3)求图中阴影部分的面积。 题型04：容兵法（重叠部分的处理） 题型描述： 题干中两个（多个）规则图形部分重叠，求覆盖的总面积或阴影面积。核心得分点是重叠 部分被重复计算，需加减调整。 基础知识： 容斥原理：A十B面积=SA十SB一S重叠； 多个图形时交替加减重叠部分： 阴影若为多块组合，先分块再容斥。 解题方法： 分图形：把覆盖区域看成几个规则图形的组合： 标重叠：找出被重复计算的部分： 列容斥：加起来再减去重叠： 算结果：代入数据计算。 解题思路： 口诀：分、叠、斥、算。加一次减一次，重叠两层减一层；容斥前先把每块的边界画清。 13.(2026山西朔州二模)2025年中国探月工程在载人登月技术验证和月球科学研究双线并进，取得了 扎实的突破.为此，某学校科技小组的学生设计了一枚纪念徽章，徽章中心设计图案如下：在一个边 长为2的正方形内，以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相 交于点O,象征四支火箭轨道汇聚于月球.则四段圆弧围成的阴影部分的面积为() 7/13 B A.2m-4 B.元-2 C.2π 14.(24-25九年级上河南驻马店期末)如图，正方形ABCD的边长为1，分别以A,D为圆心，半径为 1作领D和C,两处阴影部分面积分别记为.今，则 -S2=() D A.2 B.1- n.1-君 15.(2026四川自贡·中考真题)“剪纸”是自贡“小三绝”之一.学校劳动实践课上，要求用半径为 2m的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为ldm,剪去空白部分，则剩下部分 面积为 dm2 16.(25-26七年级下·四川遂宁·期末)计算阴影部分的面积 10 10 题型05：方程思想求不规则图形的面积 8/13 题型描述：题干中阴影面积无法直接表示，但各部分之间存在和差关系（如两阴影面积相 等、差为定值)。核心得分点是设元并列方程，利用“同加同减差不变”。 基础知识： 设未知区域面积为x(或设各块面积)； 等量关系：总面积、面积差、面积相等： 常用技巧：两区域同加一块空白，面积差不变： 列方程求解。 解题方法： 分块设元：把图形分成若干块，设关键块面积为x; 找关系：写出和、差、倍的关系： 列方程：用整体与部分关系列方程； 解验答：求出x并回答问题。 解题思路： 口诀：块、元、程、解。面积差问题记住“同加空白差不变”；列方程时总面积是最常用 的等量。 17.(2026重庆江津·三模)如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,AC=12,以O为圆 心，AB为直径作半圆，交AC的中点D,以D为圆心，AC为直径作半圆.连接OD并延长交半圆D 于点E,则图中阴影部分的面积是() E A 24π-18V5 B.9m+27 C.8m+27 D 24π-12√5 18.(2026山东青岛·二模)如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2,分别以点B,C为圆 心.C的长为半径作①.D,D是两弧的交点，则图中阴影部分的面积为一 9/13 B 19.(25-26九年级下河南南阳期中)如图，一次函数y=-x+3的图象与反比例函数y-的图象分别交 m 于A(-l,4)、B两点，与x轴交于点C,与y轴交于点D,绕点C逆时针旋转线段CA,使点A落在x 轴上的点E处，连接OB.则图中阴影部分的面积为 20.(2026宁夏银川二模)如图，在△ABC中，AB=AC,点O在AC上，⊙O经过点C,分别与BC、 AC相交于点D、E,与AB相切于点G.DF⊥AB于点F,连接OF交OO于点H. (1)求证：直线DF与OO相切； (2)若AC=8，,BF=1,求图中阴影部分的面积. 专题综合训练 一、选择题 1.(25-26七年级下·山东青岛期末)如图，长方形的长和宽分别为6cm和2cm,图中阴影部分面积 10/13 S,-S2=5cm2 ,则图中扇形面积为() S2 S A.16πcm2 B.25πcm2 C.15cm2 D.17cm2 2.(2026河南南阳模拟预测)如图，在口ABCD中，AB=4,∠ABC=45°，以点A为圆心，AB的长为 半径作弧，交BC于点E,连接BD,ED,则图中阴影部分的面积为() D B EC A.2π B.4π C.8π D.10π 3.(2026湖北武汉：二模)如图，将弧AB沿弦AB翻折恰好过圆心O点，点C为弧AB的中点，⊙0的半 径为2，则图中阴影部分的面积为() 1 1 B.2 2 A.3π C.下 D. 4.(2026山西朔州一模)如图，在平行四边形ABCD中，AB=2,∠DAB=60°，以点C为圆心，CD 的长为半径画弧，与CB的延长线交于点F,连接AF,以点A为圆心，AF的长为半径画弧，与AD 的延长线交于点E.若4F1CF,则线段DB,F,D, 所围成的图形（图中阴影部分）的面积为 () 11/13 B 44π-243 17π3V3 44π-125 A.3 B.122 C.3 D.17-3 2 二、填空题 5.(2026河南平顶山三模)如图，AB是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转45得到半圆0'， 点B的对应点为B.若AB=6,则阴影部分的面积为 (结果保留π)· 6.(2026河南平顶山三模)如图，在△ABC中，∠B=90°，以点B为圆心，BA长为半径画弧，分别交 AC,BC于点D,E.若CD=AB=4,则阴影部分的面积为 D Bh C E 7.(2026河南漯河模拟预测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,以AC为直径作半圆交AB于点 P,若点P两侧的阴影部分的面积相等，则BC的长度为， B 8.(2026河商南阳三模)如图，在扇形40B中，∠40B=45°，01=25，点C在0B上，且0C=4C 12/13 延长CB到D,使CD=CA.以CA,CD为邻边作ACDE,则图中阴影部分的面积为. (结果保留π) E C B D 三、解答题 9.(25-26九年级上山西朔州阶段检测)如图，在△ABC中，∠B=90°，点D为AC上一点，以CD为直 径的⊙O交AB于点E,连接CE,且CE平分∠ACB (I)求证：AE是OO的切线： (2)若∠A=30°，⊙0的半径为5，求图中阴影部分的面积. 10.(25-26九年级下·河北廊坊开学考试)如图是一块和田玉璧的平面图，圆环中镶嵌着一个正方形， A,B为两个切点.正方形的边长为4cm, H (1)求圆环内外两圆之间的距离： ②)求AB与正方形围成的阴影部分的面积。 13113