专题15 二次函数与图形面积【提优专题+专项训练】2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数与图形面积的六大题型，从基础计算到综合应用，形成完整知识逻辑链，培养几何直观与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |类型一|2题|已知解析式求面积|结合抛物线与坐标轴交点，运用坐标法计算面积| |类型二|3题|求面积最值|通过参数表示面积，转化为二次函数最值问题| |类型三|4题|面积反求解析式/参数|利用面积条件建立方程，求解函数系数| |类型四|1题|面积范围求系数范围|由面积不等式推导参数取值范围| |类型五|5题|综合题|融合动点、图形变换，考查综合分析能力| |类型六|2题|几何图形最值应用|将几何问题转化为二次函数模型求解|

专题15 二次函数与图形面积 类型一 已知二次函数解析式，求图形面积 1．（2026•新城区模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（1，m），B（3，m），则△AOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算△AOB的面积． 【解答】解：由题意可得：二次函数的对称轴为直线， ∵对称轴公式为，a＝1， ∴，解得b＝﹣4， 又∵二次函数图象与x轴只有一个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×c＝0， 解得c＝4， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+4， 将A（1，m）代入解析式，得m＝12﹣4×1+4＝1， ∴A（1，1），B（3，1）， ∴AB＝3﹣1＝2，原点O到直线AB的距离为1， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 2．（2024秋•华安县期中）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3，顶点为点P，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）求顶点坐标； （2）求△PAC的面积； （3）点D是直线AC上方抛物线上的点且不同于顶点P，是否存在点D，使得△DAC和△PAC面积相等？若存在，直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由？ 【分析】（1）把二次函数一般式化为顶点式即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算方法可得C（0，3），A（3，0），B（﹣1，0），运用待定系数法求出直线AC的解析式，如图所示，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，可得F（1，2），，即可求解； （3）点D是直线AC上方抛物线上的点且不同于顶点P，过点D作DG⊥x轴于点G，交AC于点H，设D（d，﹣d2+2d+3）（0＜d＜3，d≠1），计算方法如（2），由此即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得： y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点坐标P（1，4）； （2）令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， 令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0， x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（3，0），B（﹣1，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+3（k≠0），把A（3，0）代入y＝kx+3（k≠0）得， 3k+3＝0， 解得，k＝﹣1， ∴y＝﹣x+3， 如图所示，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F， ∴点F的横坐标为1， 把x＝1代入直线AC得，y＝﹣1+3＝2， ∴F（1，2）， ∴PF＝4﹣2＝2，OE＝1，AE＝3﹣1＝2， ∴， ∴△PAC的面积为3； （3）如图， ∵点D是直线AC上方抛物线上的点且不同于顶点P，过点D作DG⊥x轴于点G，交AC于点H， ∴设D（d，﹣d2+2d+3）（0＜d＜3，d≠1）， ∴点H的横坐标为d， ∴y＝﹣d+3，即H（d，﹣d+3） ∴DH＝﹣d2+2d+3﹣（﹣d+3）＝﹣d2+3d， 根据（2）可得：， ∴DH＝2， ∴﹣d2+3d＝2， ∴d1＝1（舍去），d2＝2， 当d＝2时，﹣d2+2d+3＝﹣22+2×2+3＝3， ∴D（2，3）， ∴存在点D，坐标为D（2，3）． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，二次函数与几何图形面积的计算方法，掌握二次函数顶点式的计算，二次函数与几何图形面积的计算方法阿是解题的关键． 类型二 已知二次函数解析式，求面积最值 3．（2025春•桦川县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值是多少？ 【分析】设D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，然后根据三角形面积公式得出∴S△BCD5×（﹣x2+6x﹣3）（x﹣3）2+15，根据二次函数的性质即可求得最大值． 【解答】解：∵D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点， ∴设D（x，﹣x2+6x）， ∵顶点C的坐标为（4，3）， ∴OC5， ∵四边形OABC是菱形， ∴BC＝OC＝5，BC∥x轴， ∴S△BCD5×（﹣x2+6x﹣3）（x﹣3）2+15， ∵0， ∴S△BCD有最大值，最大值为15， 【点睛】本题考查了菱形的性质，二次函数的性质，注意数与形的结合是解决本题的关键． 4．（2024•牡丹江）如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接BC． （1）求该二次函数的解析式； （2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为 　　 ． 【分析】（1）直接利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出直线BC的解析式，然后过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设点P的坐标为，则点D的坐标为，根据求出面积的最大值，然后求高PN即可． 【解答】解：（1）把（﹣1，0）和（0，﹣3）代入得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）令y＝0，则， 解得：x1＝﹣1，x2＝6， ∴点B的坐标为（6，0）， ∴， 设直线BC的解析式为y＝mx+n，代入得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为， 过点P作PD⊥x轴交BC于点D，如图， 设点P的坐标为，则点D的坐标为， ∴， ∴S△PBCPD•OB6（3x）， ∴△PBC最大值为， ∴PN， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 5．（2026•巴中）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点． （1）求抛物线的表达式． （2）点D为抛物线在第二象限内的动点，求△ACD面积的最大值． 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意易得C（0，2），连接OD，设D（t，﹣t2﹣t+2），﹣2＜t＜0，然后根据割补法得到△ACD的面积，进而根据二次函数的性质进行求解即可； 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2； （2）由（1）可知：抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2， ∴令x＝0时，则有y＝2，即C（0，2）， 连接OD，设D（t，﹣t2﹣t+2），﹣2＜t＜0， ∵A（﹣2，0），C（0，2）， ∴OA＝OC＝2，，，， ∴S△ADC＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC＝﹣t2﹣t+2﹣t﹣2＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1， 当t＝﹣1时，△ACD的面积最大，最大值为1； 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数，三角形面积，二次函数的性质，勾股定理等，掌握其相关知识点是解题的关键． 类型三 已知图形面积求二次函数解析式或参数系数 6．（2020秋•渑池县期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则点C的坐标为　（4，5）或（﹣2，5）　 ． 【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质即可求解． 【解答】解：由x2﹣2x﹣3＝0得x1＝3，x2＝﹣1， 所以AB距离为4， 要使△ABC的面积为10，C的纵坐标应为5， 把y＝5时代入函数y＝x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3＝5， 解得x1＝4，x2＝﹣2． 故答案为：（4，5）或（﹣2，5）． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 7．（2024•汇川区三模）如图在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，若△ABC与△ABD的面积比为3：5，则m值为 　　 ． 【分析】求出顶点D和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于m的方程，解方程即可． 【解答】解：∵y＝x2+mx+2＝（x）2+2， ∴顶点D（，2），C（0，2）， ∴OC＝2， ∵S△ABCAB•OCAB×2＝AB，S△ABDAB•|2|，△ABC与△ABD的面积比为3：5， ∴AB：AB•|2|＝3：5， 解得：m． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键． 8．（2026•同安区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C（0，3），顶点为D，对称轴为直线x＝﹣1，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若△DMP的面积是△CMP的面积的3倍，求抛物线的解析式． 【分析】先利用点C坐标与对称轴为x＝﹣1求出b＝2a，再求出点D的坐标，进而分别求出点C、D到MP的距离，利用，列出方程，求出a、b的值，从而求出抛物线的解析式． 【解答】解：如图， 将点C（0，3）代入抛物线y＝ax2+bx+c得：c＝3， ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴b＝2a， ∴抛物线解析式为y＝ax2+2ax+3， 将x＝﹣1代入y＝ax2+2ax+3得：y＝a•（﹣1）2+2a•（﹣1）+3＝3﹣a， ∴D（﹣1，3﹣a）， ∵PM∥x轴，点P的纵坐标为2， ∴CE⊥MP、DF⊥MP， ∴CE＝|3﹣2|＝1、DF＝|3﹣a﹣2|＝|1﹣a|， ∵抛物线的图象开口向下， ∴a＜0， ∴1﹣a＞0， ∴DF＝1﹣a， ∴， ∴， 解得：a＝﹣2， ∴b＝2×（﹣2）＝﹣4， ∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+3． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式，掌握抛物线的解析式是解题的关键． 9．（2026春•金华期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为y＝x2﹣2kx+k2﹣1（其中k为实数）． （1）当该函数图象经过原点时，求k的值； （2）当k＝3时，将该抛物线向左平移h（h＞0）个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； （3）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当△ABC的面积为3时，求k的值． 【分析】（1）依据题意，当该函数图象经过原点时，则k2﹣1＝0，从而计算可以得解； （2）依据题意，当k＝3时，y＝x2﹣2kx+k2﹣1＝（x﹣k）2﹣1＝（x﹣3）2﹣1，从而该抛物线向左平移h（h＞0）个单位长度得到新的抛物线为y＝（x﹣3+h）2﹣1，故当x＝0时，y＝（0﹣3+h）2﹣1；当x＝0时，y＝02﹣2×3×0+k2﹣1＝32﹣1＝8，结合两抛物线交于y轴上的点M，可得（0﹣3+h）2﹣1＝8，从而计算可以得解； （3）依据题意，令y＝x2﹣2kx+k2﹣1＝0，则x＝k+1或x＝k﹣1进而可得AB＝2，结合抛物线与y轴交点为C（0，k2﹣1），故S△ABCAB•OC2×|k2﹣1|＝3，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，当该函数图象经过原点时， ∴k2﹣1＝0． ∴k＝1或﹣1； （2）由题意，当k＝3时，y＝x2﹣2kx+k2﹣1＝（x﹣k）2﹣1＝（x﹣3）2﹣1， ∴该抛物线向左平移h（h＞0）个单位长度得到新的抛物线为y＝（x﹣3+h）2﹣1， ∴当x＝0时，y＝（0﹣3+h）2﹣1；当x＝0时，y＝02﹣2×3×0+k2﹣1＝32﹣1＝8， 又∵两抛物线交于y轴上的点M， ∴（0﹣3+h）2﹣1＝8， ∴h＝0（不合题意，舍去）或h＝6； （3）由题意，令y＝x2﹣2kx+k2﹣1＝0， ∴[x﹣（k+1）][x﹣（k﹣1）]＝0． ∴x＝k+1或x＝k﹣1． ∵抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧）， ∴A（k﹣1，0），B（k+1，0），则AB＝2． 又∵抛物线与y轴交点为C（0，k2﹣1）， ∴S△ABCAB•OC2×|k2﹣1|＝3． ∴k＝2或﹣2． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 类型四 已知图形面积范围，求系数范围 10．（2026•钢城区模拟）图形的旋转是初中数学中一种常见的几何变换，已知抛物线w的解析式为y＝ax2+4ax+3a．顶点为A点且与y轴交于B点，若将抛物线w绕原点旋转180°得到新抛物线g，新抛物线g的顶点为C点且与y轴交于D点，若四边形ABCD的面积不小于6，则a的取值范围是（　　） A．或a≥1 B．或 C．且a≠0 D．a≤﹣1或a≥1 【分析】先将原抛物线化为顶点式，求出顶点A 和与 y轴交点B 的坐标，再根据旋转 180° 的性质，求出新抛物线的顶点C 和交点D 的坐标．接着分析四边形 ABCD 的形状，求出四边形的面积，由四边形ABCD的面积不小于6，列出不等式，解出a的取值范围． 【解答】解：y＝ax2+4ax+3a，配方得： y＝a（x2+4x+4）﹣4a+3a＝a（x+2）2﹣a， ∴顶点A（﹣2，﹣a）， 令x＝0，得y＝3a， ∴B（0，3a）， 绕原点旋转180°后，顶点A（﹣2，﹣a）变为C（2，a），与y轴交点B（0，3a）变为D（0，﹣3a）， 四边形四边形 ABCD 是对角线互相垂直的四边形，面积为：S4×|6a|＝12|a|， ∵S≥6， ∴12|a|≥6， ∴a或a， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与旋转变换，核心是利用旋转 180° 的坐标变化规律，求出关键点坐标并计算四边形面积．熟练掌握二次函数的顶点式和图形旋转的性质，是解决这类问题的关键． 类型五 二次函数与图形面积综合题 11．（2026•南开区三模）如图，在边长为8cm的正方形ABCD中，点E在边CD上，且DE＝2cm，动点P从点C出发，以1cm/s的速度沿边CD向终点D运动；动点Q从点D同时出发，以2cm/s的速度沿边DA，边AB，向终点B运动．连接EQ和PQ，设运动的时间为ts．有下列结论： ①当t＝5s时，PQ∥BC； ②当0≤t≤4时，△EPQ的最大面积为9cm2； ③t只有两个不同的值满足△EPQ的面积为4cm2． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】分别表示出AQ、DP，CQ等线段长，根据平行线的判定判断①；根据三角形面积公式列出函数关系式，利用二次函数性质求最值判断②；分段讨论Q的位置，列方程求解判断③． 【解答】解：∵正方形ABCD边长为8cm，DE＝2cm，P的速度为1cm/s，Q的速度为2cm/s， ∴CP＝t，DP＝8﹣t，AD∥BC． 当0≤t≤4时，Q在DA上，DQ＝2t； 当4＜t≤8时，Q在AB上，AQ＝2t﹣8； ①如图1，当t＝5s时，P在CD上，CP＝5，则DP＝8﹣5＝3，Q走过的路程为2×5＝10， 此时Q在AB上，AQ＝10﹣8＝2， ∵3≠2， ∴PO不垂直于AB，即PQ不平行于BC，故①错误； ②如图2，当0≤t≤4时，Q在DA上，DQ＝2t， ∵t≤4， ∴DP＝8﹣t≥4＞DE＝2，即P在E右侧． ∴EP＝DP﹣DE＝8﹣t﹣2＝6﹣t． ∴， ∵﹣1＜0， ∴当 t＝3 时，△EPQ 的最大面积为9cm2，故②正确； ③当0≤t≤4时，由②可得， 令﹣t2+6t＝4，解得或（不符合题意舍去）； 当4＜t≤8时，Q在AB上，△EPQ的高为8，EP＝|DP﹣DE|＝|8﹣t﹣2|＝|6﹣t|， ∴， 令4|6﹣t|＝4，解得t＝5或t＝7． ∴满足条件的t值有，5，7，共3个，故③错误． 综上，正确的结论只有②，个数为1． 故选：B． 【点睛】本题考查动点分段函数与三角形面积．分段找准动点位置、列式求面积是解题关键． 12．（2024秋•阳信县期末）如图，已知抛物线交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC，BC． （1）求b，c的值； （2）若点P在第一象限内，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点D，求线段PD的最大值； （3）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，请判断是否存在符合要求的点，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入yx2+bx+c，即可求解； （2）设直线BC的表达式为y＝kx+n，将B（4，0），C（0，4）分别代入，解方程组得到直线BC的表达式为y＝﹣x+4，设P（a，a2a+4），则D（a，﹣a+4），根据二次函数的性质即可得到结论； （3）先求出S△OAC＝6，则S△BOP＝12，设P（m，m2m+4），可得m2m+8＝12，即可求P点坐标． 【解答】解：（1）由题意得，， 解得：， ∴b，c＝4； （2）设直线BC的表达式为y＝kx+n， 将B（4，0），C（0，4）分别代入， 得， 解得， 故直线BC的表达式为y＝﹣x+4， 设P（a，a2a+4），则D（a，﹣a+4）， ∴PDa2a+4﹣（﹣a+4）（a﹣2）2， ∵0， ∴当a＝2时，线段PD有最大值，最大值为； （3）由（1）知，抛物线解析式为yx2x+4， 当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4）， ∵A（﹣3，0），B（4，0）， ∴OA＝3，OB＝4，OC＝4， ∴S△AOCOA•OC3×4＝6； ①如图，当P在x轴上方时， 设P（m，m2m+4）， ∴S△BOPOB•yP4（m2m+4） m2m+8， 根据题意得m2m+8＝12， 整理得：m2﹣m+6＝0， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×6＝﹣23＜0， ∴此方程无实数根， ∴在x轴上方不存在P点满足题意； ②如图，当P在x轴下方时， 由①得S△BOPOB•（﹣yP）4（m2m﹣4）m2m﹣8， ∵S△BOP＝2S△AOC， ∴m2m﹣8＝12， 解得m1＝6，m2＝﹣5， 当m＝6时，yx2x+4626+4＝﹣6； 当m＝﹣5时，yx2x+4（﹣5）2（﹣5）+4＝﹣6； ∴P的坐标为（6，﹣6）或（﹣5，﹣6）． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形的面积，直角三角形的性质，根据题意求得函数解析式是解题的关键． 13．（2025•杨浦区二模）已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E． （1）直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； （2）联结AE，如果AE平分∠BAC，求a的值； （3）点P是抛物线上一点，线段PD、AE交于点F，如果S△AFD＝S△PFE，那么直线PD是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 【分析】（1）令y＝ax2﹣2ax﹣3a＝0，则x＝﹣1或3，即点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），则抛物线的对称轴为直线x＝1； （2）证明AC＝CE，即可求解； （3）S△AFD＝S△PFE，则S△APD＝S△APE，则DE∥AP，进而求解． 【解答】解：（1）令y＝ax2﹣2ax﹣3a＝0，则x＝﹣1或3， 即点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）， 则抛物线的对称轴为直线x＝1； （2）∵CE∥x，则∠AEC＝∠EOB， ∵AE平分∠BAC，则∠CAE＝∠EBA， 则∠CAE＝∠AEC，则AC＝CE， 由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3a），则点E（2，﹣3a），而点A（﹣1，0）， 则1+9a2＝4，解得：a（不合题意的值已舍去）； （3）过定点，理由： 连接AP，DE， ∵S△AFD＝S△PFE，则S△APD＝S△APE， 则DE∥AP， 由点D（1，﹣4a）、E的坐标得，直线DE的表达式为：y＝a（x﹣1）﹣4a， 则直线AP的表达式为：y＝a（x+1）， 联立上式和抛物线的表达式得：ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）， 解得：x＝0（舍去）或4，即点P（4，5a）， 由点P、D的坐标得，直线PD的表达式为：y＝3a（x﹣1）﹣4a＝a（3x﹣7）， 当x时，y＝0， 即直线PD过定点（，0）． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 14．（2026•伍家岗区模拟）已知平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为：，，，将△ABC沿直线AC翻折得到△ADC，抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点． （1）当t＝﹣1时， ①填空：点D的坐标为（　﹣2　 ，　9　 ）；四边形ABCD的形状是　菱　 形； ②求直线CD的解析式； （2）若直线CD与抛物线y＝x2+bx+c的交点为M，N． ①求△AMN的面积； ②当﹣1≤x≤2时，抛物线y＝x2+bx+c的最小值是2﹣t，求t的值． 【分析】（1）①代入t＝﹣1后直接可得各点坐标，再根据对称性质可得点D坐标，利用中垂线性质证明菱形即可； ②直接利用待定系数法求解即可； （2）①先求出CD的表达式为y＝4x，再求出抛物线表达式y＝x2﹣2tx+t2t，再与直线CD联立可得x2﹣（2t+4）x+t2+4t﹣13＝0，由根系关系可得xM+xN＝2t+4，xM•xN＝t2+4t﹣13，最后利用S△AMN可求面积； ②根据区间情况和对称轴，分为三类情形讨论最小值在何处取得，从而建立方程求解即可． 【解答】解：（1）①当t＝﹣1时，可得点A（0，1）、B（2，9）、C（0，17）， 则直线AC为y轴，将△ABC沿直线AC翻折得到△ADC， 故点D与点B关于y轴对称， 即D（﹣2，9）， ∵， ∴点B在AC的中垂线上， 故BC＝BA，由折叠可得AB＝BC＝CD＝AD， 故四边形ABCD为菱形， 故答案为：﹣2，9，菱； ②设直线CD的表达式为y＝kx+b， ∵C（0，17），D（﹣2，9）， ∴，解得， 则直线CD的表达式为y＝4x+17； （2）①由对称可知点D（t﹣1，），C（t+1，）， 则由待定系数法可得直线CD的表达式为y＝4x， ∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点，则代入A，B两点可得： ，解得， 故抛物线y＝x2﹣2tx+t2t， 再与直线CD联立可得x2﹣2tx+t2t4x， 整理可得x2﹣（2t+4）x+t2+4t﹣13＝0， ∵直线CD与抛物线y＝x2+bx+c的交点为M，N， ∴由根系关系可得xM+xN＝2t+4，xM•xN＝t2+4t﹣13， ∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点， ∴点C必在M、N两点之间， ∴S△AMN ＝8 ； ②∵y＝x2﹣2tx+t2t，图象开口向上，对称轴为直线x＝t， 故分以下三类讨论： Ⅰ：当t≤﹣1时，即当x＝﹣1时，y有最小值， 即ymin＝1+2t+t2t2﹣t， 整理得2t2+3t﹣5＝0，解得：t或1（不合题设，舍去）； Ⅱ：当﹣1＜t＜2时，即当x＝t时，y有最小值， 即ymint2﹣t，解得t＝﹣7（不合题设，舍去）； Ⅲ：当t≥2时，即当x＝2时，y有最小值， 即ymin＝4﹣4t+t2t2﹣t， 整理可得2t2﹣9t+1＝0，解得：t， 从而t． 综上，t的值为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，菱形的判定，根系关系，三角形的面积，轴对称的性质，熟练掌握以上内容并综合运用是解题关键． 15．（2026•南岸区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣6，0），B两点，与y轴交于点C，且经过点（﹣2，4）． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，连接AP、CP，点D、E为x轴上的动点（点E在点D的左侧），且DE＝2，连接PE、CD．当△APC的面积取得最大值时，求四边形PCDE周长的最小值； 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过P作PH∥y轴交AC于H，求出直线AC的解析式为，设，则，当m＝﹣3时取最大值，此时P（﹣3，4），将CD沿DE方向平移2个单位至C′E，此时C′（﹣2，2），作C′（﹣2，2）关于x的对称点C″（﹣2，﹣2），连接PC″，当且仅当P、E、C″三点共线时取得最小值，即可求解； 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣6，0），B两点，且经过点（﹣2，4）．将两点坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线表达式为； （2）如图1，过P作PH∥y轴交AC于H， 抛物线与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝2， ∴C（0，2）， ∵， ∴PH越大，S△APC越大， 设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为， 设，则， ∴， ∵，开口朝下， ∴当时取最大值，此时P（﹣3，4）， 将CD沿DE方向平移2个单位至C′E，此时C′（﹣2，2），作C′（﹣2，2）关于x的对称点C″（﹣2，﹣2），连接PC″， ∴CD＝C′E＝EC''， ∴PE+CD＝PE+EC″≥PC″， ∴C四边形PEDC＝PC+ED+PE+CD≥PC+ED+PC″， 当且仅当P、E、C″三点共线时取得最小值， ∵，， ∴四边形PCDE周长的最小值为； 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质，掌握这些知识和方法是解答本题的关键． 类型六 应用二次函数求几何图形的最值 16．（2025•南通一模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于 　　 ． 【分析】由旋转的性质可得△BDC≌△ACE，由等腰直角三角形的性质可求AB＝2，由三角形的面积公式可求Sx（2﹣x）（x﹣1）2，由二次函数的性质可求解． 【解答】解：∵将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE， ∴△BDC≌△ACE， ∴∠B＝∠BAC＝45°＝∠CAE， ∴∠DAE＝90°， ∵BC＝AC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝2， 设BD＝AE＝x，则AD＝（2﹣x）， ∴Sx（2﹣x）（x﹣1）2， 当x＝1时，△ADE面积的最大值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，二次函数的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 17．（2026春•双流区期末）用一根长为20cm的细绳围成一个长方形，这个长方形的一边的长为xcm，它的面积为ycm2． （1）写出y与x之间的关系式，并列表表示当x的值从1变到9时（每次增加1），y的相应值； （2）你认为怎样的围法，能得到面积最大的长方形？请说明你的理由； （3）估计一下，当围成的长方形的面积是20cm2时，x的值应介于哪两个相邻整数之间？ 【分析】（1）根据周长的等量关系可得长方形的另一边为10﹣x，那么面积＝x•（10﹣x），自变量是x，取值范围是0＜x＜10；把相关x的值代入函数解析式求值即可； （2）根据表格可得x为5时，y的值最大； （3）观察表格16＜y＜21时，对应的x的取值范围即为所求． 【解答】解：（1）∵长方形的一边的长为xcm，∴长方形的另一边为（20÷2﹣x） cm， ∴y＝（20÷2﹣x）•x ＝（10﹣x）•x ＝10x﹣x2， ∴y＝10x﹣x2， x是自变量，0＜x＜10； 把x的值代入函数解析式可得， 当x从1变到9时（每次增加1），y的相应值列表如下： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 9 16 21 24 25 24 21 16 9 （2）从上面的表格中，可以看出的规律：①当x逐渐增大时，y的值先由小变大，后又由大变小；②y的值在由小变大的过程中，变大的速度越来越慢，反过来，y的值在由大变小的过程中，变小的速度越来越块；③当x取5等距离的两数时，得到的两个y值相等； ∴当长方形的长与宽相等即x为5时，y的值最大，最大值为25cm2； （3）由表格可知，当围成的长方形的面积是20cm2时， x的值应在2～3之间或7～8之间． 【点睛】本题考查了变量与函数，函数的表示方法，求函数值等知识，掌握长方形的长与宽的和等于周长的一半，长方形的面积等于长×宽是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 二次函数与图形面积 类型一 已知二次函数解析式，求图形面积 1．（2026•新城区模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（1，m），B（3，m），则△AOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（2024秋•华安县期中）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3，顶点为点P，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）求顶点坐标； （2）求△PAC的面积； （3）点D是直线AC上方抛物线上的点且不同于顶点P，是否存在点D，使得△DAC和△PAC面积相等？若存在，直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由？ 类型二 已知二次函数解析式，求面积最值 3．（2025春•桦川县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值是多少？ 4．（2024•牡丹江）如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接BC． （1）求该二次函数的解析式； （2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为 　　 ． 5．（2026•巴中）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点． （1）求抛物线的表达式． （2）点D为抛物线在第二象限内的动点，求△ACD面积的最大值． 类型三 已知图形面积求二次函数解析式或参数系数 6．（2020秋•渑池县期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则点C的坐标为　 　 ． 7．（2024•汇川区三模）如图在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，若△ABC与△ABD的面积比为3：5，则m值为 　 ． 8．（2026•同安区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C（0，3），顶点为D，对称轴为直线x＝﹣1，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若△DMP的面积是△CMP的面积的3倍，求抛物线的解析式． 9．（2026春•金华期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为y＝x2﹣2kx+k2﹣1（其中k为实数）． （1）当该函数图象经过原点时，求k的值； （2）当k＝3时，将该抛物线向左平移h（h＞0）个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； （3）设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当△ABC的面积为3时，求k的值． 类型四 已知图形面积范围，求系数范围 10．（2026•钢城区模拟）图形的旋转是初中数学中一种常见的几何变换，已知抛物线w的解析式为y＝ax2+4ax+3a．顶点为A点且与y轴交于B点，若将抛物线w绕原点旋转180°得到新抛物线g，新抛物线g的顶点为C点且与y轴交于D点，若四边形ABCD的面积不小于6，则a的取值范围是（　　） A．或a≥1 B．或 C．且a≠0 D．a≤﹣1或a≥1 类型五 二次函数与图形面积综合题 11．（2026•南开区三模）如图，在边长为8cm的正方形ABCD中，点E在边CD上，且DE＝2cm，动点P从点C出发，以1cm/s的速度沿边CD向终点D运动；动点Q从点D同时出发，以2cm/s的速度沿边DA，边AB，向终点B运动．连接EQ和PQ，设运动的时间为ts．有下列结论： ①当t＝5s时，PQ∥BC；②当0≤t≤4时，△EPQ的最大面积为9cm2；③t只有两个不同的值满足△EPQ的面积为4cm2．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 12．（2024秋•阳信县期末）如图，已知抛物线交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC，BC． （1）求b，c的值； （2）若点P在第一象限内，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点D，求线段PD的最大值； （3）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，请判断是否存在符合要求的点，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2025•杨浦区二模）已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E． （1）直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； （2）联结AE，如果AE平分∠BAC，求a的值； （3）点P是抛物线上一点，线段PD、AE交于点F，如果S△AFD＝S△PFE，那么直线PD是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 14．（2026•伍家岗区模拟）已知平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为：，，，将△ABC沿直线AC翻折得到△ADC，抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点． （1）当t＝﹣1时， ①填空：点D的坐标为（　 　 ，　 　 ）；四边形ABCD的形状是　 　 形； ②求直线CD的解析式； （2）若直线CD与抛物线y＝x2+bx+c的交点为M，N． ①求△AMN的面积； ②当﹣1≤x≤2时，抛物线y＝x2+bx+c的最小值是2﹣t，求t的值． 15．（2026•南岸区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣6，0），B两点，与y轴交于点C，且经过点（﹣2，4）． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线AC上方抛物线上的一动点，连接AP、CP，点D、E为x轴上的动点（点E在点D的左侧），且DE＝2，连接PE、CD．当△APC的面积取得最大值时，求四边形PCDE周长的最小值； 类型六 应用二次函数求几何图形的最值 16．（2025•南通一模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值等于 　 ． 17．（2026春•双流区期末）用一根长为20cm的细绳围成一个长方形，这个长方形的一边的长为xcm，它的面积为ycm2． （1）写出y与x之间的关系式，并列表表示当x的值从1变到9时（每次增加1），y的相应值； （2）你认为怎样的围法，能得到面积最大的长方形？请说明你的理由； （3）估计一下，当围成的长方形的面积是20cm2时，x的值应介于哪两个相邻整数之间？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $