专题13 旋转常见的类型 专项训练讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题13 旋转常见的类型 ▌专题目标 1. 理解旋转的三要素（旋转中心、方向、角度）及旋转的性质。 2. 会解决旋转中的角度计算问题。 3. 会用全等转化解决旋转中的线段计算问题。 4. 会用等积转化解决旋转中的面积问题。 5. 掌握坐标系中绕原点旋转的坐标规律与中心对称的性质。 ▌专题目录 题型01：旋转中的角度计算 题型02：旋转中的线段计算（全等转化） 题型03：旋转中的面积计算（等积转化） 题型04：平面直角坐标系中的旋转（绕原点旋转） 题型05：中心对称的识别与性质应用 ▌题型01：旋转中的角度计算 题型描述：题干给出图形绕点旋转的角度（或旋转后点的位置），求相关角的度数。核心得分点是旋转角相等＋对应角相等。 基础知识： 1. 旋转前后对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角； 2. 对应线段相等、对应角相等； 3. 旋转中心到对应点的距离相等（出等腰三角形）。 解题方法： 1. 定旋转角：找出等于旋转角的各角； 2. 标等腰：旋转中心与对应点构成等腰三角形； 3. 倒角算：用等腰性质、内角和求角； 4. 验图形：核对角的归属。 解题思路： 口诀：角、腰、倒、验。旋转必出等腰（中心连对应点）；求角先把旋转角“传染”给所有对应连线。 1．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方形中，点P是正方形内的一点，且，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将绕点顺时针旋转得到，利用旋转的性质、勾股定理及其逆定理求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接， 由题意得，，， 由旋转性质可知， ∴，，，， 在中，，， 在中，，， ∴ ， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，将绕点A逆时针旋转得到（点B、C、D的对应点分别为点E、F、G），连接，点E恰好在线段上，则的度数为___________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：由旋转的性质知，，， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·江西南昌·期中）一副三角板按图所示放置（点在同一直线上），，．若固定，将绕着公共点顺时针旋转（），当边与的某一边平行时，相应的旋转角的值为_______． 【答案】或或 【分析】利用平行线的性质，分三种情况进行解答即可． 【详解】解：以所在直线为基准，初始时，就是旋转角，． ①顺时针旋转后，如图， ， ， ， ． ②顺时针旋转后，如图， ， ， ， ， ． ③顺时针旋转后，此时三点在同一直线上， ， ， ， 综上所述：的值为或或 ． 4．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，在中，，．将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在边上，点A的对应点为点D，连接，求的度数． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理得，由旋转得，，，再结合等边对等角得，由即可求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转得，，， ∴， ∴． ▌题型02：旋转中的线段计算（全等转化） 题型描述：题干给出旋转后的图形，求线段长或证线段关系。核心得分点是旋转前后的图形全等，把未知线段转化为已知线段。 基础知识： 1. 旋转是全等变换：对应边相等、对应角相等； 2. 旋转角为60°（90°）时，对应点连线构成等边（等腰直角）三角形； 3. 全等三角形的对应关系按旋转对应写。 解题方法： 1. 找对应：确定旋转前后的对应点、边； 2. 用全等：写出对应边、角相等； 3. 转化算：把所求线段转移到已知图形中； 4. 验结果：检验计算合理。 解题思路： 口诀：应、全、转、算。旋转60°连对应点出等边三角形，旋转90°出等腰直角三角形——这两连是常用辅助线。 5．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作轴于点，则点的对应点的坐标是（     ） A． B．) C． D． 【答案】A 【分析】利用旋转性质得出及，通过同角的余角相等证明，利用全等三角形对应边相等求出和的长，进而确定点坐标． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∵轴，， ∴， ， ∵线段绕点顺时针旋转得到 ， ∴， ， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴， ∴点的坐标． 6．（26-27九年级上·天津滨海新区·期中）如图，在 中，，，将绕点逆时针旋转得到 ，点，的对应点分别为 ，，若点恰好落在中点，则线段的长为______． 【答案】 【分析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，由旋转的性质得出，得出是等边三角形，旋转角，由勾股定理求出，再证明是等边三角形，即可求出． 【详解】解：连接， ∵是的中点，， ∴， 由旋转得， ∴是等边三角形，旋转角， 在 中，． 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴． 7．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度得到（点、的对应点分别是点、），点恰好落在的延长线上，在右侧取一点，连接、，使得，．求证：． 【答案】证明：由旋转可得，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】由旋转可得，，推出，结合可得，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 8．（26-27九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为1． (1)求b的值； (2)若点C在y轴上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)如图2，若点P坐标是，将线段绕点P顺时针旋转至线段，且当线段与反比例函数在第三象限的图象有交点时，求m的取值范围． 【答案】(1)7 (2)或 (3) 【分析】（1）求出点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，直线交轴于点，先求出点的坐标，再根据求解即可； （3）先利用全等三角形的性质求出点，的坐标，再代入反比例函数的解析式，由此即可得． 【详解】（1）解：将代入反比例函数得：， ∴， 将点代入一次函数得：， 解得． （2）解：如图，设点的坐标为，直线交轴于点， 由（1）可知，直线的解析式为，点的坐标为， 将代入函数得：，即， ∴， 联立， 解得或， ∴， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∵的面积为5， ∴，即， 解得或， ∴点的坐标为或． （3）解：如图，过点作轴的垂线，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 同理可得：， ∵线段与反比例函数在第三象限的图象有交点， ∴有以下两个临界点： ①将点代入反比例函数得：， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ②将点代入反比例函数得：， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ∴． ▌题型03：旋转中的面积计算（等积转化） 题型描述：题干给出图形旋转，求阴影部分或某图形的面积。核心得分点是旋转前后面积相等，用割补把阴影转化为规则图形。 基础知识： 1. 旋转不改变图形面积； 2. 阴影面积常＝扇形（三角形）面积之差； 3. 扇形面积＝²； 4. 等积转化：把分散阴影拼成整体。 解题方法： 1. 析阴影：分析阴影由哪些图形加减而成； 2. 用等积：把旋转部分面积等量替换； 3. 拼规则：拼成扇形、三角形等规则图形； 4. 算面积：套公式计算。 解题思路： 口诀：析、换、拼、算。旋转题中的阴影面积“旋转不变性”是钥匙；常化为扇形减三角形。 9．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）生活中有很多图形可以通过图形变换得到．如图是把正方形绕中心顺时针旋转以后与原图形组成的十六边形，若十六边形的面积为16，则阴影部分的面积为__________． 【答案】6 【分析】根据旋转的性质和正方形的性质可知，该十六边形是中心对称图形，对称中心为点，且阴影部分与空白部分的分界线经过对称中心，根据中心对称图形的性质可得阴影部分的面积是十六边形面积的． 【详解】解：由题意可知，该十六边形是由正方形绕中 顺时针旋转 以后与原图形组成的， 该十六边形是中心对称图形，对称中心为点． 观察图形可知，阴影部分与空白部分的分界线经过对称中心， 阴影部分的面积等于十六边形面积的． 十六边形的面积为 ， 阴影部分的面积为 ． 10．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 【答案】/6.25/ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形三线合一的性质．连接，利用正方形的性质及已知条件得出，，再由得出，从而证明，进而得出，求出面积． 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， ∴， 又∵O为对角线中点， ∴，， ∴， ∴， 又∵四边形为正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·天津河东·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． (1)如图①，若，则的长是__________，点的坐标是__________； (2)如图②，若，求点的坐标； (3)记为的中点，为的面积，求的最小值和最大值（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2) (3)最小值，最大值 【分析】（1）勾股定理求出的长，旋转结合勾股定理求出的长，作轴，证明，求出的长，求出点的坐标即可； （2）过作轴于，易得为含30度角的直角三角形，求出的长，进而求出点的坐标即可； （3）根据旋转的性质，推出当点在上时，的面积最小，当点在线段的延长线上时，的面积最大，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 作轴，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图② ，过作轴于，则． 由旋转的性质可得：，， 在中，由， ∴． ． 由勾股定理， ． 点的坐标为； （3）∵旋转， ∴， 由（1）可知， ∵为的中点， ∴， 作，则：， ∴的面积随着的变化而变化， 如图所示，当点在上时，此时，重合，最小，的面积最小， 最小面积， 当点在的延长线上时，此时重合，最大，的面积最大， 最大面积． 12．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是，点A的坐标是，连接．将绕点A逆时针旋转得到，反比例函数的图象经过点D，与 交于点E，连接，，． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长 交x轴正半轴于点F，证明四边形为正方形，求解即可． （2）根据，求解即可； 【详解】（1）解：由题意，得，． 由旋转的性质，可知，，． 延长 交x轴正半轴于点F，如图，则四边形为正方形． ∴点D的坐标为，即． ∵反比例函数的图象经过点D， ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：将代入，得， ∴点E的坐标为． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ， ∴； ▌题型04：平面直角坐标系中的旋转（绕原点旋转） 题型描述：题干给出点的坐标，求绕原点旋转90°、180°后的坐标。核心得分点是熟记旋转坐标规律。 基础知识： 1. 绕原点旋转90°（逆时针）：(x, y)→(－y, x)；顺时针90°：(x, y)→(y, －x)； 2. 旋转180°：(x, y)→(－x, －y)（即关于原点中心对称）； 3. 旋转前后到原点距离不变。 解题方法： 1. 定方向角度：明确旋转方向与角度； 2. 套规律：代入坐标变换规律； 3. 求新点：写出对应点坐标； 4. 验距离：检验到原点距离不变。 解题思路： 口诀：向、律、点、验。90°旋转坐标“交换加符号”，180°直接变号；方向易错，画图核对最稳。 13．（25-26九年级下·江西·中考复习）如图，在平面直角坐标系中，是菱形对角线的中点，轴，，．将菱形绕点顺时针旋转，使点落在轴的正半轴上，则旋转后点对应点的坐标是_________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质和判定为等边三角形，求出对角线的长，进而利用勾股定理求出的长；根据旋转的性质及点与点的相对位置关系，确定旋转后点落在轴负半轴，从而得出坐标． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由图可知，旋转前点在第一象限，点在第四象限，且， 即点在点的顺时针方向， 当菱形绕点顺时针旋转，使点落在轴的正半轴上时， 点落在轴的负半轴上， ∴旋转后点对应点的坐标是． 14．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，在中，点的坐标是，点的坐标是． (1)画出将绕点逆时针旋转后的△； (2)在平面内有一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）结合网格的直角特性，分别将点和点绕点逆时针旋转，得到点和，再顺次连接即可得到． （2）分别以为对角线、以为对角线、以及以为对角线，作平行四边形，进而根据平行四边形的性质得到点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：如图，当以为对角线的，此时点； 当以为对角线的，此时点； 当以为对角线的，此时点； 15．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）如图在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为，，，将此三角板绕原点O顺时针旋转，得． (1)某抛物线经过点，B，，求该抛物线的表达式； (2)点M为第一象限内的抛物线上的一动点，使得四边形是平行四边形．请写出M的坐标______． (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先确定B点坐标，二次函数解析式设为交点式，代入点，求解即可； （2）作，求出M点坐标，进而验证； （3）根据点A、B、的坐标得出及的长，从而求出的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，由旋转的性质得，， ∴， 设抛物线， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作交抛物线于M点， ∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）解：∵，，，， ∴， ∴． 16．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过点，． (1)与的数量关系是； (2)如图2，若点绕轴上的点顺时针旋转，恰好与点重合．求点的坐标及反比例函数的表达式； (3)若点在反比例函数的图象上，点在轴上，在（2）的条件下，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，； (3)存在，或． 【分析】利用反比例函数上的点横纵坐标乘积等于，建立，的关系式； 旋转模型，构造“一线三垂直”全等三角形，列方程组求出点坐标与； 平行四边形存在性，分为边、为对角线两种情况，利用坐标中点公式求解，最后验证在反比例图象上． 【详解】（1）反比例函数经过、，则 ， ， ， 即． （2）由得、，设． 如图所示，过作轴于，过作轴于． 由旋转知，，则 对应边相等，得 ，即 ，即 把代入： ∴，，． 把代入： （3）平行四边形满足对角线中点相同，分两类讨论： ①AB作为平行四边形的边： ，即 ②AB作为平行四边形的对角线： ，即 【点睛】本题综合考查反比例函数、旋转全等、平行四边形坐标存在性．旋转90°的问题，优先想到“一线三垂直全等模型”；平行四边形坐标问题口诀：对边向量相等，对角线中点重合；存在性问题一定要分类讨论，不要遗漏情况． ▌题型05：中心对称的识别与性质应用 题型描述：题干给出中心对称图形或两个成中心对称的图形，求坐标、面积或判断对称中心。核心得分点是对应点连线都经过对称中心且被其平分。 基础知识： 1. 中心对称：对应点连线被对称中心平分（中点公式）； 2. 关于原点对称的点坐标互为相反数； 3. 中心对称图形绕对称中心旋转180°后与自身重合； 4. 成中心对称的两个图形全等。 解题方法： 1. 定中心：用对应点中点求对称中心； 2. 用性质：对应线段平行（共线）且相等； 3. 算所求：求坐标、面积； 4. 判图形：识别常见中心对称图形（平行四边形、圆等）。 解题思路： 口诀：心、中、性、算。对称中心＝对应点连线的中点；坐标题多考“关于原点对称变号”。 17．（25-26九年级下·江西鹰潭·阶段检测）数轴上，点表示的数分别为、4和，若这三点中，其中两个点关于第3个点成中心对称，则的值不可能为（   ） A． B．3 C．1 D．10 【答案】B 【分析】中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分． 【详解】解：①如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； ②如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； ③如图，当点为点的对称中心时，则， ∵点表示的数分别为、4和， ∴，， ∴， 解得； 综上，的可能值为、、，不可能为． 18．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有3个半径为1的小圆拼在一起，y轴过右边两个小圆的圆心，且这两个圆有唯一一个公共点P．若过点P有一条直线平分这3个小圆的总面积，则该直线的函数解析式为______． 【答案】 【分析】由右边两个圆关于点P中心对称，可知过点P的任一直线平分右边两个圆的面积之和，所以若过点P有一条直线平分这3个小圆的总面积，则该直线经过左边圆的圆心，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：由图可知，右边两个圆关于点P中心对称， 过点P的任一直线平分右边两个圆的面积之和； 若过点P有一条直线平分这3个小圆的总面积，则该直线经过左边圆的圆心， 由题意知，点P的坐标为，左边圆的圆心坐标为， 设该直线的函数解析式为， 将和代入，得：， 解得， 该直线的函数解析式为． 19．（2026·陕西西安·二模）冰雪运动已经逐渐走向大众，某滑雪场的跳台滑雪深受大家喜欢．图1为滑雪大跳台的简化模型：段为抛物线型的滑道．滑雪爱好者小华某一次从台端B点出发，在滑道上获得高速度，从跳台区的末端C点飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行，段的抛物线与段的抛物线恰好关于点C成中心对称．我们以为y轴，水平面为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，已知，，跳台高是，长度，高度，段的抛物线最低点到y轴的距离为． (1)求小华在空中飞行的最大高度为多少米？ (2)为了安全着想，利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为，求落点到的水平距离？ 【答案】(1)7.6米 (2) 【分析】（1）根据段的抛物线最低点到y轴的距离为．设抛物线的解析式为．把，代入，解方程组即可得抛物线的解析式，根据中心对称得段的抛物线的顶点坐标为，即得段的抛物线的函数解析； （2）根据小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为，求出小华在斜坡上的落点高度为，代入段的抛物线的函数解析式，解方程即得答案． 【详解】（1）解：∵运动员从跳台区的末端C点水平飞出， ∴C坐标为． ∵， ∴B坐标为． ∵段的抛物线最低点到y轴的距离为． ∴设抛物线的解析式为． 依题意，得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． ∵段的抛物线与段的抛物线关于点成中心对称， ∴段的抛物线的顶点坐标， ∴段的抛物线的函数解析式：． ∴飞行过程中最大高度为7.6米． （2）∵小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为， ∴小华在斜坡上的落点高度为， 令解得，（舍去）． 答：落点到的水平距离是． 20．（25-26八年级下·吉林长春·期末）若一次函数的图象经过点、，点的坐标为，点的横坐标为． (1)的值为_________； (2)若线段的最高点与最低点的纵坐标差为，求的值； (3)已知点，以坐标原点为中心构造矩形，且轴． ①若矩形的周长是，求此时点的坐标； ②若线段与矩形的边有且只有两个公共点，的取值范围是___________________． 【答案】(1) (2)当时，；当时，； (3)①或；②或 【分析】（1）将点代入一次函数解析式，解方程求出的值． （2）先得到完整一次函数解析式，根据一次函数得出函数单调递增，分、两种情况，利用纵坐标差为列方程求解 （3）①根据原点中心对称、轴写出矩形顶点坐标，设边长列周长方程，求出后得到点坐标；②先写出矩形各边对应的直线，结合图象分类讨论线段与矩形边仅有两个公共点的边界条件，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵过， ， 解得； （2）解：由（1）得一次函数的解析式， ∵， ∴随增大而增大， 点横坐标为，纵坐标为， ①当时，最高点为，最低点为， ， 解得； ②当时，最高点为，最低点为， ， 解得； 综上，当时，；当时，； （3）解：①如图， ∵，矩形以原点为中心，轴， ∴矩形对角顶点：，，， ∴，， ∵矩形周长为， ∴， ∴， ∴或， 当时，解得，此时； 当时，解得，此时； 故点坐标为或 ②由①可得矩形的各顶点：，，， ∴直线为， 如图，当不在点左侧时，且与轴不重合时，线段与矩形的边有且只有两个公共点， ∵点横坐标为， ∴， 解得， ∵与轴不重合时， ∴， ∴， ∴的取值范围是或． ▌专题综合训练 一、选择题 1．（26-27九年级上·海南·期中）如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为（     ） A．30度 B．40度 C．20度 D．90度 【答案】C 【分析】由旋转的性质得，，，，再利用等腰三角形和直角三角形的性质分别求出，，最后利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：由旋转的性质得，，，， ，， ， 的度数为20度． 2．（26-27九年级上·内蒙古·期中）将绕点C逆时针旋转，得到，点A的对应点恰好落在边上，下列结论不正确的是（     ） A．若，则 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得到，，，，以此为基础推导其余结论．因为，所以是等腰三角形，可得与的关系。根据等腰三角形内角和关系，结合已知的度数推导旋转角的大小．因为点、、共线，所以，结合前面得到的角的等量关系，可推导和的数量关系．因为题目未给出的相关确定条件，所以判断该选项是否存在确定性，其余选项结合上述推导验证是否成立． 【详解】由旋转的性质可得， ∴， 当时，， ∴； A正确； B正确； 根据现有条件无法得到， C不正确； ； D正确． 3．（2026·广东·中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长，根据旋转的性质得到及，进而证得，通过构造直角三角形求出的长，最后计算周长即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的周长为． 4．（26-27九年级上·辽宁辽阳·阶段检测）如图，在正方形中，若，则①；②；③平分，平分；④．正确结论有(        )个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用旋转变换构造全等三角形，结合正方形性质和勾股定理逐一判断四个结论，将绕点逆时针旋转得到，证明，进而判断①②，对于③，由得，将绕点逆时针旋转得到，连接，证明得到，进而根据勾股定理，即可判断④． 【详解】解：对于①，如图， 将绕点逆时针旋转得到，则，，，， ， ,即三点共线， 在和中， ，故①正确 对于②，，故②正确 对于③，由得，即平分同理可证平分，故③正确 对于④，如图， 将绕点逆时针旋转得到，则，， 在和中， 在中， ，故④正确 综上所述，正确的结论有4个． 二、填空题 5．（26-27九年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，如果将绕点A顺时针旋转得到，点D、E分别与点B、C对应，如果，那么旋转角（）的度数是______． 【答案】 或 【分析】分点D在上方，点D在下方两种情况，根据角的和差关系分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点D在上方时， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角的大小为； 如图所示，当点D在下方时， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴旋转角的大小为； 综上所述，旋转角的大小为或. 6．（26-27九年级上·重庆铜梁·阶段检测）如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据点A的坐标得到的长，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据旋转的性质确定点D的坐标，并得到轴，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 由旋转的性质可得，， ∴点D在y轴上，则轴， ∴， 在中，当时，， 解得或（舍去）， ∴． 7．（26-27八年级上·江苏常州·期中）如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点点恰好落在边上，若，，则的长为________________． 【答案】 【分析】连接，由旋转的性质可得，，，容易判断和都是等边三角形，则． 【详解】解：如图，连接， 由旋转的性质可得，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 8．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）矩形绕点A旋转得到矩形（B与E，C与F对应），的延长线交于点H，若点G恰好为的中点，，，则_____． 【答案】 【分析】过点F作交延长线于T，过点C作于Q，连接，设，则，由旋转的性质可得，先证明，再证明，得到，通过证明，推出，再证明，得到，则，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点F作交延长线于T，过点C作于Q，连接， ∵四边形是矩形， ∴ 设，则， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵点G恰好为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 9．（25-26八年级下·上海徐汇·期末）在菱形中，，，点为对角线所在直线上的一个动点，以为边，沿着点顺时针方向作，角的另一边交射线于点，交射线于点，连接、． (1)如图1，当点在对角线上（点不与点、重合）时， ①求证：； ②设的长为，的面积为．求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)连接，当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)①证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②； (2)或 【分析】（1）①先证明，可得，，利用三角形外角性质可得，即得，即可求证； ②过点作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三线合一可得，即可由三角形面积公式得到与的函数表达式，最后由点在对角线上且点不与点、重合，可得自变量的取值范围； （2）根据题意分和两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）①略； ②解：过点作于，则， ∵， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 点在对角线上且点不与点、重合， ， ∴； （2）解：当时，是直角三角形，如图所示， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ，即， 的长为； 当时，是直角三角形，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴的长为， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题以菱形为背景，综合考查全等三角形的判定与性质、锐角三角函数解直角三角形、二次函数面积建模以及直角三角形存在性分类讨论，解题关键在于通过全等及角度传递证明，架起边角转化的桥梁，利用等腰三角形“三线合一”将底边用表示，再借助角的三角形边与边之间的关系建立面积与的二次函数关系，最后对直角三角形可能情形逐一排除，锁定唯一情况，结合边长关系列方程求解，体现数形结合与分类讨论的核心思想． 10．（2026·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点和点都在抛物线上，点的横坐标为，点关于点的对称点在轴上，过点作轴于点，连接． (1)求该抛物线对应的函数关系式； (2)当时，求点的坐标； (3)当抛物线落在内部的部分最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的取值范围； (4)连接，．若，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）把点代入抛物线，求出c的值，即可解答； （2）根据点Q，点A关于点P的对称得到点P为的中点，根据点A，P的横坐标得到点Q的横坐标，代入函数关系式即可求出点Q的坐标； （3）分和两种情况，结合图象及纵坐标之差为列式求解即可； （4）分别表示出，，根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴该抛物线对应的函数关系式为． （2）解：∵点Q，点A关于点P对称， ∴点P为的中点， ∵点A在y轴上， ∴点A的横坐标为0， ∵点P的横坐标为m， ∴点Q的横坐标为， 当时，， 把代入函数，得， ∴点Q的坐标为． （3）解：∵点P的横坐标为m，点Q的横坐标为，且点P，Q都在抛物线上， ∴点P的坐标为，点Q的坐标为， ∵点P为的中点， ∴， ∴点A的坐标为． ∵抛物线， ∴顶点坐标为， 把代入抛物线，得， ∴点C的坐标为． ①若，则抛物线落在内部的部分最高点为点P，最低点为点C，如图， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 解得或（不满足，舍去）． ②若，当轴时，， 解得，． 当时，抛物线落在内部的部分最高点为点P，最低点为点Q，如图， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数解， ∴当时，不存在抛物线落在内部的部分最高点与最低点的纵坐标之差为． 当时，轴时，不存在抛物线落在内部的部分最高点与最低点的纵坐标之差为． 当时，抛物线落在内部的部分最高点为点与抛物线的交点，最低点为点P，如图， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 整理，得， 解得或（都不满足，舍去）． 点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为， 当时，抛物线落在内部的部分最高点为点C，最低点为抛物线顶点，如图， ∵点C的纵坐标为，抛物线顶点的纵坐标为，它们的差为， ∴时，都满足抛物线落在内部的部分最高点与最低点的纵坐标之差为． 当时，抛物线落在内部的部分最高点为点P，最低点为抛物线顶点，如图， ∵最高点与最低点的纵坐标之差为， ∴， 整理，得， 解得或（不满足，舍去）． 综上所述，m的取值范围为或． （4）解：∵，，，轴， ∴， ， ∵， ∴， 解得，，（不合题意，舍去）． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度人教版数学九年级上册专项训练讲义 专题13旋转常见的类型 专题目标 理解旋转的三要素（旋转中心、方向、角度）及旋转的性质。 2. 会解决旋转中的角度计算问题。 3. 会用全等转化解决旋转中的线段计算问题。 会用等积转化解决旋转中的面积问题。 掌握坐标系中绕原点旋转的坐标规律与中心对称的性质。 专题目录 题型01：旋转中的角度计算 题型02：旋转中的线段计算（全等转化） 题型03：旋转中的面积计算（等积转化） 题型04：平面直角坐标系中的旋转（绕原点旋转） 题型05：中心对称的识别与性质应用 题型01：旋转中的角度计算 题型描述：题干给出图形绕点旋转的角度（或旋转后点的位置），求相关角的度数。核心 得分点是旋转角相等十对应角相等。 基础知识： 1/15 旋转前后对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角： 对应线段相等、对应角相等： 旋转中心到对应点的距离相等（出等腰三角形）。 解题方法： 定旋转角：找出等于旋转角的各角： 标等腰：旋转中心与对应点构成等腰三角形； 倒角算：用等腰性质、内角和求角； 验图形：核对角的归属。 解题思路： 口诀：角、腰、倒、验。旋转必出等腰（中心连对应点）；求角先把旋转角“传染”给所 有对应连线。 1.(26-27八年级上广东深圳阶段检测)如图，在正方形ABCD中，点P是正方形内的一点，且PA=1, PB=2,PC=3,则∠APB的度数为() A.120° B.135° C.150° D.165 2.(25-26九年级上：陕西安康期中)如图，将口ABCD绕点A逆时针旋转40°得到口AEFG(点B、C、D 的对应点分别为点E、F、G),连接BF,点E恰好在线段BF上，则∠AEF的度数为 3.(25-26九年级上江西南昌·期中)一副三角板按图所示放置（点A,D,B在同一直线上），∠ABC=30° ∠BDE=45°.若固定△ABC,将△BDE绕着公共点B顺时针旋转a(0°<a<18O°)，当边DE与 △ABC的某一边平行时，相应的旋转角的值为 2/15 4.(25-26九年级上江西南昌期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=50°.将△ABC绕点B按逆 时针方向旋转得△DBE,使点C落在AB边上，点A的对应点为点D,连接AD,求∠ADE的度数. D 题型02：旋转中的线段计算（全等转化） 题型描述：题干给出旋转后的图形，求线段长或证线段关系。核心得分点是旋转前后的图 形全等，把未知线段转化为己知线段。 基础知识： 旋转是全等变换：对应边相等、对应角相等： 旋转角为60°(90°)时，对应点连线构成等边（等腰直角）三角形： 全等三角形的对应关系按旋转对应写。 解题方法： 找对应：确定旋转前后的对应点、边： 用全等：写出对应边、角相等： 转化算：把所求线段转移到已知图形中： 验结果：检验计算合理。 解题思路： 口诀：应、全、转、算。旋转60°连对应点出等边三角形，旋转90出等腰直角三角形 这两连是常用辅助线。 5.(25-26九年级上陕西安康期中)如图，在平面直角坐标系中，已知 A(2,0)B(0,1) ,连接AB 将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC,过点C作CD⊥x轴于点D,则点B的对应点C的坐标 是() 3/15 B A D A.3,2) B.(42) c.(3,3) D.(4,3) 6.(26-27九年级上·天津滨海新区·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6,将△ABC绕点 C逆时针旋转得到△A'CB,点A,B的对应点分别为A',B,若点B恰好落在AB中点，则线段 AA的长为一· A A 7.(25-26九年级上陕西安康期中)如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度得到△ADE(点 B、C的对应点分别是点D、E),点D恰好落在BC的延长线上，在BD右侧取一点F,连接DF、 CF,使得DF=AD,∠CDF=∠ADE.求证：AC=CF. D 8.(26-27九年级上江苏无锡阶段检测)如图1，在平面直角坐标系x0少中，一次函数y=-x+b的图象 6 与反比例函数y=x的图象交于A,B两点，点A的横坐标为1. 4/15 图1 图2 (1)求b的值： (2)若点C在y轴上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标： (m,2 (3)如图2，若点P坐标是 ,将线段AB绕点P顺时针旋转90°至线段AB,且当线段AB'与反比 6 例函数y=在第三象限的图象有交点时，求心的取值范围。 题型03：旋转中的面积计算（等积转化） 题型描述：题干给出图形旋转，求阴影部分或某图形的面积。核心得分点是旋转前后面积 相等，用割补把阴影转化为规则图形。 基础知识： 旋转不改变图形面积： 阴影面积常=扇形（三角形）面积之差： nr2 扇形面积=3602； 等积转化：把分散阴影拼成整体。 解题方法： 析阴影：分析阴影由哪些图形加减而成： 用等积：把旋转部分面积等量替换： 拼规则：拼成扇形、三角形等规则图形： 算面积：套公式计算。 解题思路： 口诀：析、换、拼、算。旋转题中的阴影面积“旋转不变性”是钥匙；常化为扇形减三角 5/15 形。 9.(25-26七年级下·江苏苏州·期中)生活中有很多图形可以通过图形变换得到.如图是把正方形绕中心 O顺时针旋转45°以后与原图形组成的十六边形，若十六边形的面积为16，则阴影部分的面积为 10.(25-26九年级上四川成都期末)如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点.正方形 OA'B'C'在绕点O旋转的过程中，边OA'与AB交于点E(不与点A,B重合)，边OC'与BC交于点 F.若AD=5,则四边形BEOF的面积为 B 1。(25-26九年级上天津河东期中)在平面直角坐标系中，0为原点，点4(4,0)，点B(0,3,把 ,点 △ABO绕点A顺时针旋转，得△AB'O',点B,O旋转后的对应点为B,O'.记旋转角为a. O' O' B B B A 0 A 图① 图② (1)如图①，若a=90°，则BB的长是 点B的坐标是 (2)如图②，若a=120°，求点0'的坐标； 3)记K为AB的中点，S为△KOB的面积，求S的最小值和最大值（直接写出结果即可）. 12.(2026河南平顶山三模)如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是 -1,0 ,点A的坐标是@，3) 6/15 连接AB·将△4OB绕点A逆时针旋转900得到aACD,反比例函数y= (x>0)的图象经过点D,与 AC交于点E,连接BE,BD,DE. ()求反比例函数的表达式. (2)求△BED的面积. 题型04：平面直角坐标系中的旋转（绕原点旋转） 题型描述：题干给出点的坐标，求绕原点旋转90°、180°后的坐标。核心得分点是熟记旋转 坐标规律。 基础知识： 绕原点旋转90°（逆时针）：x,)→（一y,x):顺时针90°：（化，）→(y,一x): 旋转180°：，)→（一x,一y)(即关于原点中心对称）； 旋转前后到原点距离不变。 解题方法： 定方向角度：明确旋转方向与角度： 套规律：代入坐标变换规律： 求新点：写出对应点坐标： 验距离：检验到原点距离不变。 解题思路： 口诀：向、律、点、验。90°旋转坐标“交换加符号”，180°直接变号：方向易错，画图核 对最稳。 13.(25-26九年级下·江西中考复习)如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点， AD∥x轴，AD=4,∠A=60°.将菱形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的正半轴上，则 旋转后点C对应点的坐标是 7/15 D B 14.(26-27九年级上北京西城阶段检测)如图，在△0AB中，点B的坐标是 0)，点4的坐标是3,0 )画出将△OAB 绕点O逆时针旋转90°后的△ OAB (2)在平面内有一点D,当以O,A,B,D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点D的坐 标 15.(26-27九年级上山东日照·阶段检测)如图在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A(-1,0)B'(0,20(0,0 ,将此三角板绕原点O顺时针旋转90°，得△40B, B (I)某抛物线经过点A',B,B,求该抛物线的表达式： (②)点M为第一象限内的抛物线上的一动点，使得四边形MB'A'O是平行四边形.请写出M的坐标 8/15 3)求△ABB'的面积. 16.(26-27九年级上：江苏镇江阶段检测)如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数y= x（k为常数， x>0)的图象经过点 A(2,m)B(6,n) B 图1 图2 备用图 (I)m与n的数量关系是： 2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转90°，恰好与点B重合.求点P的坐标及反比例函数的 表达式： 点刘在反比例居数y卓>0)的象上，点N在y箱上，在（②的条件下，是香在在以4小 B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理 由. 题型05：中心对称的识别与性质应里 题型描述：题干给出中心对称图形或两个成中心对称的图形，求坐标、面积或判断对称中 心。核心得分点是对应点连线都经过对称中心且被其平分。 基础知识： 中心对称：对应点连线被对称中心平分（中点公式）； 关于原点对称的点坐标互为相反数： 中心对称图形绕对称中心旋转180°后与自身重合： 成中心对称的两个图形全等。 解题方法： 定中心：用对应点中点求对称中心： 用性质：对应线段平行（共线）且相等： 算所求：求坐标、面积： 9/15 判图形：识别常见中心对称图形（平行四边形、圆等）。 解题思路： 口诀：心、中、性、算。对称中心=对应点连线的中点；坐标题多考“关于原点对称变 号”。 17.(25-26九年级下江西鹰潭阶段检测)数轴上，点AB,C表示的数分别为-2、4和C,若这三点中， 其中两个点关于第3个点成中心对称，则C的值不可能为() A.-8 B.3 C.1 D.10 18.(2026湖南长沙模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，有3个半径为1的小圆拼在一起，y轴过右 边两个小圆的圆心，且这两个圆有唯一一个公共点P.若过点P有一条直线平分这3个小圆的总面积， 则该直线的函数解析式为 19.(2026陕西西安·二模)冰雪运动已经逐渐走向大众，某滑雪场的跳台滑雪深受大家喜欢.图1为滑 雪大跳台的简化模型：BC段为抛物线型的滑道.滑雪爱好者小华某一次从台端B点出发，在滑道BC 上获得高速度，从跳台区的末端C点飞出后，身体以抛物线轨迹CD在空中飞行，BC段的抛物线与 CD段的抛物线恰好关于点C成中心对称.我们以OC为y轴，水平面OA为x轴建立如图2所示的平 面直角坐标系，已知AB⊥OA,OC⊥OA,跳台高AB是8m,OA长度10m,OC高度6m,BC段的 抛物线最低点到y轴的距离为4m. D E 图1 图2 (1)求小华在空中飞行的最大高度为多少米？ (2)为了安全着想，利用斜坡CE的角度进行有效的缓冲，若小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高 点的高度差为6.4m,求落点到OC的水平距离？ 20。(25-26八年级下吉林长春期末)若一次函数)=2x+b的图象经过点4、B,点4的坐标为亿4) 点B的横坐标为m. 10/15 yA 41 3 2 -4-3-2-10 1234x -2 -3 -4 (1)b的值为， (2)若线段AB的最高点与最低点的纵坐标差为6，求m的值： 3)已知 C(m+l,3),以坐标原点0为中心构造矩无CDEF,且CDLx轴。 ①若矩形CDEF的周长是20，求此时点C的坐标： ②若线段AB与矩形CDEF的边有且只有两个公共点，m的取值范围是 专题综合训练 一、选择题 1.(26-27九年级上海南期中)如图，把Ru△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△ABC',点C'恰好落 在边AB上，连接BB',则∠BB'C'的度数为() B A.30度 B.40度 C.20度 D.90度 2.(26-27九年级上内蒙古期中)将△ABC绕点C逆时针旋转 (0°<a<180 ）,得到△ABC,点A的对 应点A'恰好落在AB边上，下列结论不正确的是() 11/15 B A.若∠A=70°，则a=40° B.BC=B'C C.∠A'CB=30° D.∠BA'B'=180°-2∠A 3.(2026广东中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=8,将△ABC绕点A逆时针 旋转90°得△AB'C,连接B'C,则△AB'C的周长为() C"' dB' C A.16+210 B.18 C.18+2V10 D.24 4.(26-27九年级上·辽宁辽阳阶段检测)如图，在正方形ABCD中，若∠EAF=45°，则① EF=BE+DF:②CA=2AB,③FA平分∠DFE,EA平分∠BEF:④MN=BM+DN.正确结 论有()个 D N M C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 5.(26-27九年级上广西南宁·期中)如图，在△ABC中，∠BAC=75°，如果将△ABC绕点A顺时针旋转得 12/15 到△ADE,点D、B分别与点B、C对应，如果∠EAC=4∠DAC,那么旋转角a(0°<a<180°)的度 数是一· B 6,(26.27九年级上重庆铜梁阶段检测)如图，Rta01B的顶点(-2,4)在抛物线=上，将Rta0AB 绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为一， A B 0 7.(26-27八年级上江苏常州期中)如图，将R1aABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到R1aADE，点 B的对应点D点拾好落在BC边上，者1C=25.B=60°，则CE的长为 C.2- 60B 8.(26-27九年级上·四川成都阶段检测)矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AEFG(B与E,C与F对应)， DG的延长线交FC于点H,若点G恰好为DH的中点，∠CHD=30°，CH=l,则DH= 13/15 D 三、解答题 9.(25-26八年级下·上海徐汇期末)在菱形ABCD中，AB=10cm,∠ABC=60°，点E为对角线AC所 在直线上的一个动点，以DE为边，沿着点E顺时针方向作∠DEF=6O°，角的另一边EF交射线BC于 点F,交射线DC于点G,连接BE、DF 图1 备用图 (I)如图1，当点E在对角线AC上（点E不与点A、C重合）时， ①求证：BE=EF: ②设CE的长为cm,ABF的面积为心m.求'与”的函数表达式，并写出自变量”的取值范用； (②)连接AF，当△ADF是直角三角形时，直接写出CE的长 10。(2026吉林长春模拟顶测)在平面直角坐标系中，点0是坠标原点，抛物线'=-2x+C与产轴交 0 于点仁1,0)，与”轴交于点C,点P和点P都在抛物线上，点P的横坐标为m,点P关于点P的对称 点A在y轴上，过点作QB1y轴于点B,连接BP, (I)求该抛物线对应的函数关系式： (2)当m=-2时，求点Q的坐标： 3)当抛物线落在△AB吧内部的部分最高点与最低点的纵坐标之差为1时，求m的取值范围： 14/15 ④准接OP,C.若m=2,直接与出m的值. ·若 15/15